群置换循环教学文案
2.6 置 换 群
2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。
n S 的每一个子群都叫一个次置换群。
n S 中的每个元素都叫一个置换。
σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。
注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。
例如(123)(231)(312)==。
当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。
当2k =时叫做对换。
一般形式()12i i 。
无公共元素的循环称为不相交循环。
例如(135)与(24)不相交。
3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。
4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。
合起来正好24个。
（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
置换群中的循环节问题
置换群中的循环节问题置换群是代数学中的一个概念，它描述了一种将元素重新排序的操作。
在置换群中，我们可以进行元素的置换，形成新的置换群。
然而，在置换群中存在一个重要的问题，那就是循环节问题。
本文将讨论置换群中的循环节问题，并探究其相关性质和应用。
一、循环节的定义和性质1.1 循环节的定义在置换群中，循环节是指由若干个元素组成的轮换形式的置换。
一个循环节可以由一个元素的置换表示，也可以由多个元素的置换表示。
例如，置换(1 2)(3 4)可以看作是一个由两个元素组成的循环节。
1.2 循环节的表示方法循环节可以用置换的形式表示，也可以用循环的形式表示。
在置换的形式中，我们用括号表示置换，括号内的数字表示被置换的元素。
在循环的形式中，我们用圆括号将循环的元素括起来，并将括号外的数字按照置换中出现的顺序排列。
例如，置换(1 2)(3 4)可以用循环形式表示为(1 2)(3 4)= (1 2 3 4)。
1.3 循环节的长度循环节的长度是指循环中的元素个数。
对于循环(1 2 3 4)，其长度为4。
循环节的长度可以用来描述置换的复杂程度和循环的次数。
二、循环节的应用2.1 置换密码的加密和解密在密码学中，循环节被广泛应用于置换密码的加密和解密过程。
置换密码是一种将明文中的字符按照一定规则重新排列的加密方法。
通过将明文中的字符置换成密文中的字符，可以实现信息的保密传输。
循环节在置换密码中被用作密钥的生成和置换规则的确定。
2.2 美术领域中的创作在美术领域中，循环节的概念被广泛应用于创作和设计。
艺术家通过将元素按照一定规律进行置换和循环，形成独特的作品风格和视觉效果。
例如，著名画家埃舍尔通过循环节的应用，创作出了许多以递归和循环为主题的艺术作品。
三、循环节问题的解决方法3.1 循环节的计算在置换群中，循环节通常需要通过计算才能确定。
一种常用的计算方法是置换乘法。
我们可以将置换看作是一个映射，将原始集合中的元素映射到新的位置上。
群论中的循环群与置换群
群论是数学中的重要分支，研究群及其性质。
在群论中，循环群和置换群是两个重要的概念。
本文将介绍循环群和置换群的定义及其性质。
循环群是群论中最简单的一类群。
循环群的定义是由一个元素生成的群。
换句话说，循环群是由一个元素通过重复进行群运算得到的。
考虑一个群G和其中的一个元素a，如果我们用a对自身进行重复的群运算，直到得到的结果覆盖了G中的所有元素，那么我们可以说G是由元素a生成的循环群。
这样的元素a称为循环群G的一个生成元。
循环群可以用符号⟨a⟩来表示，其中⟨a⟩表示由元素a生成的循环群。
循环群有一个重要的性质，即循环群的阶（群中元素的个数）等于生成元素的次数。
例如，考虑一个由整数1生成的循环群，那么这个循环群的阶就是正整数的个数，即无穷大。
另一个例子是由元素a生成的循环群，如果a的次数为n，那么这个循环群的阶就是n。
与循环群相对应的是置换群。
置换群是指由有限个元素进行交换操作得到的群。
换句话说，置换群是由元素的排列组合形成的。
例如，考虑一个由4个元素{1, 2, 3, 4}构成的集合，通过对元素的交换操作，我们可以获得所有可能的排列组合，形成一个置换群。
置换群的元素可以表示为如下形式的置换：(1 2)(3 4)，其中数字表示被交换的元素的位置。
置换群也有一些特殊的性质。
首先，每个置换群都有一个单位元，即空置换，不对任何元素进行置换。
其次，对置换群中的两个置换进行群运算，结果仍然是一个置换。
最后，置换群中每个置换都有一个逆元，即将置换中的每个元素的位置进行逆置。
循环群与置换群之间有一个重要的联系，即每个循环群都可以用置换群的形式表示。
例如，考虑一个由元素a生成的循环群⟨a⟩，我们可以定义一个置换群S，其中元素的排列由元素a的次幂定义。
换句话说，置换群S中的元素就是元素a进行有限次幂运算得到的结果。
由此可见，循环群和置换群是紧密相关的。
综上所述，循环群和置换群是群论中的重要概念。
循环群由一个元素生成，其阶等于生成元素的次数；置换群由有限个元素的排列组合生成，具有单位元、群运算封闭性和逆元等性质。
群置换循环
p1
p2
1 a1
2 ... a2 ...
n a1 an ba1
a2 ba2
... an
...
ban
1 2 ... n
ba1
ba2
...
ban
.
可以证明，[1,n]上所有的置换按上述乘法构成一个 群，即满足
1. 封闭 e 1
2 ... 2 ...
n n,
❖ 设G是群，H是G的子集，若H在G原有的运算之 下也是一个群，则称为G的一个子群。
2. 置换群
置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用 它表示。 置换：[1,n]到自身的1-1变换：[1,n][1,n]，
p：i ai , (ai aj, i j)
于是，a1a2…an是[1,n] 的一个全排列。称此置换为n 阶置换，它可如下表示：
例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合{Ta}构成群，
其中
Ta:x y1 1 csoisnaa
sinax cosay
❖ 前两例群元素的个数是有限的，称为有限群；
后一例群元素的个数是无限的，称为无限群。
❖ 有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。
❖ 若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba，则称G为 交换群，或Abel群。
1 2 3 44 3 2 1 =4 3 2 14 2 1 3
1 2 3 4
4
2
1
3.
显然有
p1p2p2p1.
于是我们定义乘法如下：
1 2 ... n
p1
a1
a2
...
an
,
p2 1 b 12 b2 ......b n n b a a 1 1
a2 ba2
循环群和置换群-置换群
1
置换群的元素都是一一对应的，即每个元素都有 一个唯一的逆元素。
2
置换群中的元素可以相乘，满足结合律和单位元 存在性。
3
置换群中的元素可以相逆，满足逆元存在性。
置换群的例子
01
02
03
置换群的一个简单例子 是$S_n$，即所有$n$个 元素的排列组成的群。
置换群也可以是有限集 合上的自同构群，例如 有限环上的模运算构成
定义
通过同态映射将置换群映射到另一个群或半 群上，从而将问题转化为更易于处理的形式 。
优点
能够将复杂问题简化，便于理解和分析。
缺点
同态映射的选择需要具备一定的理论基础和 实践经验，且可能引入额外的复杂性。
05
CATALOGUE
置换群的应用
在对称性物理中的应用
量子力学
置换群在量子力学中用于描述粒子的 对称性，例如在描述原子或分子的电 子排布时，置换群可以用来描述电子 的对称性。
在密码学中的应用
密码算法
置换群在密码学中被广泛应用于各种密码算法，例如AES、DES等对称加密算 法中都涉及到置换群的概念。
密钥管理
置换群可以用于密钥管理，例如通过对称加密算法中的置换操作来生成密钥， 保证通信的安全性。
THANKS
感谢观看
晶Hale Waihona Puke 结构在晶体物理学中，置换群被用来描述 晶体的对称性，例如空间群可以描述 晶体在三维空间中的对称性。
在组合数学中的应用
组合问题
置换群在组合数学中用于解决各种组合问题，例如排列、组合、划分等问题。
组合恒等式
置换群可以用来证明和推导组合恒等式，例如在证明帕斯卡恒等式时，置换群被用来证明组合数的对称性。
循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。
的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。
·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。
2.6 置 换 群
2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。
n S 的每一个子群都叫一个次置换群。
n S 中的每个元素都叫一个置换。
σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。
注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。
例如(123)(231)(312)==。
当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。
当2k =时叫做对换。
一般形式()12i i 。
无公共元素的循环称为不相交循环。
例如(135)与(24)不相交。
3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。
4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。
合起来正好24个。
（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。
离散数学课件变换群、置换群与循环群
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义13.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 定义13.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
离散数学课件变换群,置换群与循环群 13.10:g,egag, ra =era;arraa p17112.(2) autohwd 分享于 2017-03-30 16:16:11.0 暂无简介 文档格式: .ppt 文档页数: 22页 文档大小: 496.5k 文档热度: 文档分类: 待分类 系统标签: 数学课 置换 离散 变换 egag 循环
离散数学第6讲置换群和循环群
i个
例如k=4时, 这个群如右表 所示, 其中[0]是么元, [1]或 [3]是生成元。
二、循环群
定理11：设<G,*>是由g∈G为生成元的循环群。 (a)若G是无限集，则<G,*>与<I,+>同构。 (b)若G是有限集且|G|=k,则<G,*>与<Nk, +k>同构。
定理9：任何一个循环群必定是阿贝尔群(可交换群)。 证明： 设<G,*>是一个循环群，它的生成元为g,那么对于任意的a, b∈G, 必有i, j∈I,使得
gi=a, gj=b 那么a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a，因此，<G,*>是一个阿贝尔群。
二、循环群
定理10：设<G, *>是由g∈G生成的有限循环群, 如果|G|=n,则gn=e, G ={g, g2, g3, …, gn=e}且n是使 gn=e的最小正整数。 证明： (1)先证gm=e而m＜n是不可能的。
所以<Sn, ◇>是一个群。
一、置换群
给定n个元素组成的集合A: A上的若干置换所构成的群称为n次置换群； A上所有置换构成的群称为n次对称群, <Sn,◇>。 n次对称群<Sn,◇>的子群即为n次置换群。
例1 令A＝{1,2,3}，A上置换的全体S3={pi i = 1,2,3,4,5,6}。
(pa◇pb)(x) = (x * a) * b =x * (a * b) =pa*b(x)∈P
(1)
(b) 存在幺元 设e是<G , *>的么元, a∈G是任一元素,则有
循环群和置换群
定义11.16 对任意集合A定义
集合S S = {f fAA∧f
为双射} 那么群<S，○>及其子
群称为变换群.其中
○ 为函数的合成运 算．
定理11.29
每个群均同构
于一个变换群， 特别地,每一个 有限群均同构于 一个置换群.
离散1.1 循环群
定理 11.27 循环群的子群都是循环群．
定理11.28 设<G，>为g生成的循环群．
（1）若G为无限群，则G有无限多个子群， 它们分别由g0,g1,g2, g3,…生成．
（2）若G为有限群， G ＝ n，且n有因子 k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由 gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者．）
.
循环群和置换群
1.2 置换群
定义11.14
称有限集上的双射函数为置换． 称任意集合上的双射函数为变换．
定义11.15 将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称
群<S, ○>为n次对称群（symmetric group），它的 子群又称为n次置换群（permutation group）．
.
循环群和置换群
离散数学导论
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定义11.13
称<G，>为循环群(cyclic group)，
如果 G为群，且G中存在元素 g ,使 G以{g}为 生成集，即 G的任何元素都可表示为 g 的幂 （约定e = g0），这时g称为循环群G的
生成元（generater）．
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定理11.26 设<G，>为循环群，g为生成元，那么
《群置换循环》课件
在这个演示文稿中，我们将要介绍群置换循环的概念和性质，并展示置换群 在不同应用中的作用和表达方式。
什么是群置换循环
群置换循环是一种数学概念，用于描述元素在集合内的置换和组合。它是群 论中的重要内容，有着广泛的应用。
置换的基本概念
置换是将集合中的元素重新排列的操作。它可以是改变元素的位置、交换元 素的值，或者同时进行多个元素的操作。
循环记号的定义
循环记号用来表示循环的操作和顺序。它可以简洁地描述置换的循环结构和 元素的移动方式。
循环类型的定义
循环类型是指群置换循环中的循环长度和循环个数。它们决具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质的代数结构。它可以用 来描述一些对称性和变换性质。
群置换循环的定义
群置换循环是一种特殊类型的群置换，它由具有循环结构的置换组成。循环结构意味着元素按照一定的 顺序循环出现。
置换群的例子
置换群的例子包括对称群、置换群Sn等。它们具有不同的循环类型和置换规 则，在代数和组合学中都有着重要的应用。
循环群与置换群
• 循环群是互换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G旳生成元，则G旳构造
在同构旳意义下完全由 g旳阶所拟定：
（1）若 g旳阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g旳阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例7.3.7 在 S3中，我们有
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 2
2 3
3 1
4 4
55
(123)
(231)
(312)
1 4
2 2
3 5
4 3
15
(1435)
(4351)
(3514)
(5143)
1 2
2 3
3 4
4 5
15
(12345)
(23451)
(34512)
都能够看作n个元素旳循环置换。所以，τ 就分解成若干个
不含公共元素旳循环置换旳乘积。
注意，不含公共元素旳循环置换旳乘法是可互换旳。
例如，
1 3
2 6
3 4
4 1
5 8
6 2
7 5
8 7
(587)(26)(134)
(134)(26)(587)
例 利用循环置换旳措施，我们有 3次对称群 S3旳元素能够表达为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4旳元素能够表达为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34);
置换群——精选推荐
11.7 循环群与置换群一、循环群1. 循环群的定义定义11.14 设G 是群，若a G ∃∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作G a =<>，称a 为G 的生成元。
注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。
(2) 任何素数阶的群都是循环群。
设G 是循环群，若a 是n 阶元，则0121{,,,,}n G a e a a a -== ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。
若a 是无限阶元，则012{,,,}G a e a a ±±== ， 这时称G 为无限阶循环群。
例如 (1)G=<Z,+>是无限阶循环群。
(2)G=<Z 6,⊕>是6阶循环群。
2.循环群的性质定理 11.20 设G a =<>是循环群.(1)若G 是无限循环群，则G 只有两个生成元，即a 和a -1.(2)若G 是n 阶循环群，则G 含有()n ϕ个生成元，对于任何小于等于n 且与n 互质的正整数r ，a r 是G 的生成元。
证 (1)显然1a G -<>⊆，为了证明1G a -⊆<>，只须证明对任何k a G ∈，a k 都可以表达成a -1的幂。
由定理11.1有11()k a a --=，从而得到1G a -=<>，1a -是G 的生成元。
再证明G 中只有a 和a -1这两个生成元，假设b 也是G 的生成元，则G b =<>。
由a G ∈可知存在整数t 使得ta b =，又由b G a ∈=<>可知存在整数m 使得m b a =。
从而得到()t m t mt a b a a === 则由消去律得1mt a e -=。
因为G 是无限群，必有mt-1=0。
从而证明了m=t=1或m=t=-1，即b=a 或b=a -1。
(2) 只须证明：()r Z r n ∀∈≤，a r 是G 的生成元当且仅当n 与r 互质。
循环群与置换群
例. (GF ,∘) 和 (AF ,∘)都是平面上的变换群。
例7.3.4 在已建立平面直角坐标系的平面上，
用σp表示平移：σp (Q)= Q +P；
用τθ表示绕坐标原点的旋转。 一般地， σp∘τθ ≠τθ∘σp 。
比如取P =(0,1)，θ =½π ，则有：
(0,1) (0,0) (0,1) 而 (0,1)(0,0) (1,0)
② n=∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中，假若 gs= gt，则有gs-t=e因 此 G没有相同的元素，故 G的阶 m=∞ 。
• 循环群是交换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G的生成元，则G的结构
在同构的意义下完全由 g的阶所确定：
（1）若 g的阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g的阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
综合上述结论可知：( T(G ),◦) 是一个变换群。
再证明 ( G, ∗) ≅ ( T(G ),◦)
作映射 f : G →T(G), g →Tg 显然 f 是一个满射, 若Tg = Th，则 Tg( a) = Th ( a)，即 g∗a = h∗a ， 由消去律得 g = h，故 f 是单射。
而Tg ∗ h ( a) = (g∗h)∗a = Tg◦Th( a) , 故 f ( g ∗ h) = Tg ∗ h = Tg◦Th ，即 f 保持运算。
证. 对元素的个数 n作归纳法。n=1 定理成立。 假设对≤n-1个元素的置换来说定理成立，考虑 n元置换
1 (1)
2
(2)
(nn)
不妨设 τ : 1 → j1 , j1 → j2 , ⋅⋅⋅, jk → 1 , 于是置换τ 可改写为
4-1 群、置换、循环
15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试 15岁 伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。 时，伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。 就是在这所学校，伽罗华写出了他的第一篇关于连 就是在这所学校， 分数的数学论文，显示了他的能力。 分数的数学论文，显示了他的能力。 他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院 的拒绝。更糟的是， 的拒绝。更糟的是，两篇论文手稿还莫名其妙地被 丢失了。 丢失了。
1545年 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》 1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》 (ArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法。这部 ArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法。 书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法。 书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法。 但事情的发展似乎突然停了下来。 但事情的发展似乎突然停了下来。虽然有很多数学 家作出了努力，其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数 家作出了努力，其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数 学家欧拉(Euler) 但没有一个人能找出五次方程 五次方程的 学家欧拉(Euler)，但没有一个人能找出五次方程的 求根公式。 求根公式。
在普通乘法下是群。 例 G={1,-1}在普通乘法下是群。 在普通乘法下是群 的加法下是群。 例 G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群。 在 的加法下是群 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合{T 构成群 构成群， 例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合 α}构成群， 其中 x1 cos α sin α x
给定一个集合G={a,b,c,…}和集合 上的二元运算 ， 和集合G上的二元运算 给定一个集合 和集合 上的二元运算•， 满足如下条件： 满足如下条件： 1. 封闭性：若a,b∈G，则存在 ∈G使得 封闭性： 使得a•b=c； ∈ ，则存在c∈ 使得 ； 2. 结合律：(a•b)•c=a•(b•c)； 结合律： ； 3. 存在单位元：G中存在一个元素 ，使得对于 的 存在单位元： 中存在一个元素 使得对于G的 中存在一个元素e， 任意元素a， 任意元素 ，恒有 a•e=e•a=a； ； 4. 存在逆元：对G的任意元素 ，恒有一个 ∈G， 存在逆元： 的任意元素a，恒有一个b∈ ， 的任意元素 使得a•b=b•a=e，则元素 称为元素 的逆元素，记 称为元素a的逆元素 使得 ，则元素b称为元素 的逆元素， 为a-1。 则称集合G在运算 之下是一个 是一个群 则称集合 在运算•之下是一个群，或称 是一个群。 在运算 之下是一个群 或称G是一个
第6讲 循环群和置换群
映射复合构成群S3={f1, f2, f3, f4, f5, f6}，
f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
11
2 2
33
13
2 2
13
1 2
2 1
33
11
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置换群子群
S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234)
,(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(143
,(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(143
2)}
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n元置换的轮换表示
性质： 任何n元置换都可以表成不交的 轮换之积，并且表法是唯一的.
=12…t =12…l
{1,2,…,t} ={1,2,…,l }
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7
循环群的生成元
定理10.11 G=<a>是循环群
(1) 若G 是无限循环群，则G 的生成元是 a 和a−1;
(2) 若G 是n 阶循环群，则G 有φ(n)个生 成元。
Eulerφ函数φ(n)：当n＝1 时， φ(1)＝1；当n>1时，它的值 φ(n)等于比n小而与n互素的正 整数的个数。
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1. 群的概念
群论是现代数学非常重要的分支，群论产生的开 端非常平凡，但是群论的创立者却充满了传奇。
我们熟知的公式
xb b2 4ac 2a
是二次方程
ax2bxc0
的求根公式。
1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》 (ArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法。这部 书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法。
伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊。
14岁那年因考试不及格而重上三年级。
15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试 时，伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。
就是在这所学校，伽罗华写出了他的第一篇关于连 分数的数学论文，显示了他的能力。
他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院 的拒绝。更糟的是，两篇论文手稿还莫名其妙地被 丢失了。
在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击)，伽罗华 的胃部中弹，24小时后去世。享年不足21岁。
伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群，他被 公认为是群论的创始人。
给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运算•， 满足如下条件：
1. 封闭性：若a,bG，则存在cG使得a•b=c；
2. 结合律：(a•b)•c=a•(b•c)；
1829年7月，他在巴黎高等工科大学的入学考试中 再次失败.怀着沮丧之情，伽罗华于1830年初又向科 学院提交了另一篇论文，这次是为竞争一项数学大 奖。
科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿拿回家去审 读，不料在写出评审报告前去世了，此文再也没有 找到。
三失手稿，加之考巴黎高等工科大学两度失败，伽 罗华遂对科学界产生排斥情绪，变成了学生激进分 子，被学校开除。
❖ 设G是群，H是G的子集，若H在G原有的运算之 下也是一个群，则称为G的一个子群。
2. 置换群
置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用 它表示。 置换：[1,n]到自身的1-1变换：[1,n][1,n]，
p：i ai , (ai aj, i j)
于是，a1a2…an是[1,n] 的一个全排列。称此置换为n 阶置换，它可如下表示：
但是虽然没有通用公式，有些特殊的五 次方程有求 根公式，那么自然会问：如何判定一个给定的五次 方程是否有这样的求根公式？
阿贝尔去世(1829年，26岁)前一直在竭尽全力地研 究这个问题。
在这一时期，碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研 这个问题，而且最终取得了成功，他就是伽罗华 (Galois)。
可是这位年轻人获得的非凡成果，在他因决斗去世 11年后才开始得到数学界的承认。
在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上，伽罗华 手中举着出鞘的刀提议为国王干杯，这一手势被同 伙们解释成是要国王的命；第2天他就被捕了。后 来被判无罪，并于6月15日获释。
7月4日，他终于打听到他给科学院的那篇论文的命 运：因“无法理解”而遭拒绝。 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson)。
7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁，因为他 在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服。
在获释不久，他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情。这 导致了他的早亡。这次恋爱事件不知何故引出了一 场决斗。
1832年5月29日，决斗的前夜，伽罗华写了封很长 的信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier)，其中大致 描述了他的数学理论，从而给数学界留下了唯一一 份它将蒙受何等损失的提要。
但事情的发展似乎突然停了下来。虽然有很多数学 家作出了努力，其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数 学家欧拉(Euler)，但没有一个人能找出五次方程的 求根公式。
拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测： 这样的求根公式不存在。
1824年，挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日 的猜想是正确的。
3. 存在单位元：G中存在一个元素e，使得对于G的 任意元素a，恒有 a•e=e•a=a；
4. 存在逆元：对G的任意元素a，恒有一个bG， 使得a•b=b•a=e，则元素b称为元素a的逆元素，记 为a-1。 则称集合G在运算•之下是一个群，或称G是一个群。
例 G={1,-1}在普通乘法下是群。
例 G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群。
第四章 Polya计数定理
4.1 群、置换、循环 4.2 Burnside引理和Polya定理
4.1 群、置换、循环
1. 群的概念 2. 置换群 3. 循环
考虑下面的计数问题：把一个22的方格棋盘用蓝 或白两色涂色，如果棋盘可以随意转动，问有多少 种不同的涂色方案？
123 4 567 8
9 10 11 12 13 14 15 16
类似有：
12341234 p2p 1 4321 3124
1 2 3 44 3 2 1 =4 3 2 14 2 1 3
1 2 3 4
4
2
1
例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合{Ta}构成群，
其中
Ta:x y1 1 csoisn有限的，称为有限群；
后一例群元素的个数是无限的，称为无限群。
❖ 有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。
❖ 若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba，则称G为 交换群，或Abel群。
担任私人辅导教师谋生，但他的数学研究工作依然 相当活跃。在这一时期写出了最著名的论文“关于 方程可根式求解的条件”，并于1831年1月送交科 学院。
到3月，科学院方面仍杳无音讯，于是他写信给院 长打听他的文章的下落，结果又如石沉大海。
他放弃了一切希望，参加了国民卫队。在那里和他 在数学界一样运气不佳。他刚加入不久，卫队即遭 控告阴谋造反而被解散。
1 2 ... n
p
a1
a2
...
an
.
置换的乘法运算：设
1234 1234 p 1 3124 ,p 2 4321 ,
定义这两个置换的乘法为：
12341234 p 1p2 3124 4321
1 2 3 43 1 2 4 =3 1 2 42 4 3 1
1 2
2 4
3 3
4 1.