中考数学压轴题分类汇编：图形变换

中考数学分类汇：几何综合——图形变换

某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图1，在正三角形△ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝60º，则BM ＝CN ；

②如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝90º，则BM ＝CN ；

然后运用类比的思想提出了如下命题：

③如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108º，则BM ＝CN 。 任务要求：

（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分） (2)请你继续完成下列探索：

①请在图3中画出一条与CN 相等的线段DH ，使点H 在正五边形的边上，且与CN 相交所成的一个角是108º，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）

②如图4，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、EA 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108º，请问结论BM ＝CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

[解] （1）以下答案供参考： （1） 如选命题①

证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3

又∵BC=CA ，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM ≌ΔCAN ∴BM=CN （2）如选命题② 证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3

又∵BC=CD ，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM ≌ΔCDN ∴BM=CN

（3）如选命题③

证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 又∵BC=CD ，∠BCM=∠CDN=108° ∴ΔBCM ≌ΔCDN

O

C M

N A 图1 A C M

N O D 图2 图4

N

M

O E D C

B A

∴BM=CN

(2)①答：当∠BON=0

(n-2)180n

时结论BM=CN 成立．

②答当∠BON=108°时。BM=CN 还成立 证明；如图5连结BD 、CE. 在△BCI)和△CDE 中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE ∴ΔBCD ≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108° ∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN ∴ΔBDM ≌ ΔCNE ∴BM=CN 2．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，

G 为DF 中点，连接EG CG ，

． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；

（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

图3

图2

图1

F

E

A

B

C

D

A

B

C

D

E

F

G

G

F

E

D C

B

A

解：

（1）CG EG = （2）（1）中结论没有发生变化，即CG EG =．

证明：连接AG ，过G 点作MN AD ⊥于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在DAG ∆与DCG ∆中， ∵AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，， ∴DAG DCG ∆∆≌． ∴AG CG =．

在DMG ∆与FNG ∆中， ∵DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，， ∴DMG FNG ∆∆≌． ∴MG NG =

在矩形AENM 中，AM EN = 在Rt AMG ∆与Rt ENG ∆中， ∵AM EN MG NG ==，， ∴AMG ENG ∆∆≌． ∴AG EG =． ∴EG CG =

M N

图2

A

B

C

D

E

F

G

（3）（1）中的结论仍然成立．

G

图3

F

E

A

B

C

D

3．（满分13分） 几何模型：

条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．

方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；

（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；

（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．

A B

A '

P

l

O

A

B P

R

Q O

A

B C A

B E C

P P