泸州一诊文科数学答案
四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A．B．C．D．2. 已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（ ）A．B．C．D ．23. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y＝4. 若数列满足，则的值为（ ）A ．2B．C．D．5. 已知圆内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ）A．B．C．D．6. 抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ）A．B ．1C．D．7. 下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4)8. 已知随机变量X 的分布列为X024Pm则（ ）A．B ．1C．D．9. 若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数不是“伙伴函数”是（ ）A．B．C．D．10. 下列说法正确的是（ ）A ．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好B．若随机变量，则四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(2)四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(2)三、填空题四、解答题C．现安排，，三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种D ．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）A ．函数在上单调递增B．存在，使得函数为奇函数C ．任意，D ．函数有且仅有2个零点12. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．图中的x 值为0.020B ．这组数据的极差为50C ．得分在80分及以上的人数为400D ．这组数据的平均数的估计值为7713. 已知函数.若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是____，___.（只需写出一组）14.是虚数单位，复数的共轭复数为______．15. 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为 鳖臑.已知直三棱柱中，，，，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个 鳖臑，则鳖臑的体积与其外接球的体积之比为 ______ .16. 已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数的最大值和最小值.17. 已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：直线轴；(3)以线段为直径作圆，交直线于，求的取值范围．18. 设抛物线方程为，其焦点为为直线与抛物线的一个交点，.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于两点，试问在抛物线的准线上是否存在一点，使得为等边三角形，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，.（1）证明：；（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.20. 如图，已知椭圆E：的离心率为，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线过点B且垂直于x轴，直线AP与交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为，△BQR的面积为，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围.21. 已知函数．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求证：．。
2024年四川省泸州市泸县第一中学中考一模数学试题真题卷(含答案与解析)
泸县一中初2024届一诊模拟考试数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：120分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷 选择题（36分）一、单选题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 一元二次方程220x x +=的根为（ ）．A. 0x =B. 2x =C. 120,2x x ==-D. 120,2x x == 3. 不透明的袋子中装有10个球，其中有3个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为（ ） A. 110 B. 15 C. 310 D. 254. 若ABC DEF △△∽且面积比为4925：，则ABC 与DEF 的周长之比为（ ）A. 4925：B. 725：C. 75：D. 57： 5. 由抛物线2y x =平移得到抛物线()27y x =+，则下列平移方式可行的是（ ）A. 向上平移7个单位长度B. 向下平移7个单位长度C. 向左平移7个单位长度D. 向右平移7个单位长度 6. 抛物线2()y x h k =-+的顶点坐标为(3,1)-，则h k -=（ ）A. 2B. 4-C. 4D. 2-7. 某超市1月份营业额为900万元，第一季度的营业额共4800万元，如果平均每月的增长率为x ，则根据题意列出的方程正确的为（ ）的A. ()()2900114800x x ⎡⎤+++=⎣⎦B. ()()2900900190014800x x ++++=C. 90090024800x +⨯=D. ()290014800x += 8. 如图，已知O 是ABD △的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，58ABD ∠=︒，则BCD ∠等于（ ）A 29° B. 42° C. 58° D. 32°9. 如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转110︒，得到ADE V ，若点D 恰好在BC 的延长线上，则BDE ∠的度数为（ ）A. 100︒B. 80︒C. 70︒D. 60︒10. 如图，点D 在ABC 的边AC 上，要判定ADB 与ABC 相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（ ）A. ABD C ∠=∠B. ADB ABC ∠=∠C. A B B D ＝CB CAD. AD AB ＝AB AC 11. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将0.7化成分数，设0.7x =，则有107.7x =，97x =，解得79x ==（ ）.A. 3B. 165C. 175D. 145 12. 已知二次函数22226y x ax a a =-+--（a 为常数）的图象与x 轴有交点，当4x >时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ）A 3a ≥- B. 34a -≤< C. 4a < D. 34a -≤≤第2卷 非选择题（84分）二．填空题（3分每题，共12分）13. 点()3,2P -关于原点轴对称的点P '的坐标是________．14. 若抛物线22y x x m =--+的顶点在x 轴上，则m =__________．15. 已知：如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，垂足为D ，⊙O 的半径为5，OD =3，那么AB 的长为_______．16. 如图，AB 是O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC BD ，相交于点P ，连结AD OC ，． 已知OC BD ⊥于点E ，2AB =；下列结论：①90CAD OBC ∠+∠=︒；②若点P 为AC 的中点，则2CE OE =；③若AC BD =，则CE OE =；④224BC BD +=；其中正确的是______．三．解答题（每题6分，共18分）17. 用适当的方法解下列方程：()322x x x -=-18. 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，DB=DC 求证：∠CAD=∠EAD ．．.19. 已知关于x 的方程2x 2+kx -1=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)若方程一个根是-1，求方程的另一个根．四．解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）20. 抛物线y ＝ax 2﹣2x+c 与x 轴交点坐标为A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交点坐标为C （0，n ）． （1）求抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积．21. 如图，ABC 三个顶点的坐标分别为(1,1),(4,2),(3,4)A B C（1）请画出将ABC 向左平移4个单位长度后得到图形111A B C △；（2）请画出ABC 绕点O 旋转180度的图形222A B C △；（3）在x 轴上找一点P ，使PA PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．五．解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）22. 学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题：的的（1）扇形统计图中m =______，并补全条形统计图；（2）已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人？（3）在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率．23. 某公司生产的一种商品其售价是成本的1.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%．若不进行任何推广年销售量为1万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入的推广费x 万元时销售量y （万件）是x 的二次函数：当x 为1万元时，y 是1.5（万件）．当x 为2万元时，y 是1.8（万件）．（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？（2）求出年利润与年推广费x 的函数关系式；（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？六．解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）24. 如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ， AD ，使得FAC AOD ∠=∠，D BAF ∠=∠（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若O 的半径为5，2CE =，求EF 的长.25. 如图，抛物线y＝﹣1x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，2对称轴分别交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．参考答案一、单选题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180︒后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．2. 一元二次方程220x x +=的根为（ ）．A. 0x =B. 2x =C. 120,2x x ==-D. 120,2x x ==【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法解该方程即可．【详解】解：220x x +=， (2)0x x +=，∴120,2x x ==-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．3. 不透明的袋子中装有10个球，其中有3个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为（ ） A. 110 B. 15 C. 310 D. 25【答案】C【解析】【分析】根据概率公式计算即可.【详解】袋子中装有10个球，其中有3个红球、3个绿球和4个蓝球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为310， 故选：C .【点睛】此题考查简单事件的概率计算公式，掌握公式的计算方法，理解所求的事件是解题的关键. 4. 若ABC DEF △△∽且面积比为4925：，则ABC 与DEF 的周长之比为（ ）A. 4925：B. 725：C. 75：D. 57： 【答案】C【解析】【分析】先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比的得出答案．【详解】∵ABC ∽DEF 且面积比为49:25，∴ABC 和DEF 的相似比为7:5，∴ABC 和DEF 的周长比为7:5．故选：C ．5. 由抛物线2y x =平移得到抛物线()27y x =+，则下列平移方式可行的是（ ）A. 向上平移7个单位长度B. 向下平移7个单位长度C. 向左平移7个单位长度D. 向右平移7个单位长度【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的法则即可判断，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键．【详解】根据“上加下减，左加右减”法则，∴抛物线2y x =向左平移7个单位长度得到抛物线()27y x =+，故选：C ．6. 抛物线2()y x h k =-+的顶点坐标为(3,1)-，则h k -=（ ）A. 2B. 4-C. 4D. 2- 【答案】B【解析】【分析】由抛物线的顶点坐标求得h 、k ，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线2()y x h k =-+的顶点坐标为(3,1)-，∴h =-3，k =1，∴h -k =-3-1=-4，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．7. 某超市1月份的营业额为900万元，第一季度的营业额共4800万元，如果平均每月的增长率为x ，则根据题意列出的方程正确的为（ ）A. ()()2900114800x x ⎡⎤+++=⎣⎦B. ()()2900900190014800x x ++++= 的C. 90090024800x +⨯=D. ()290014800x += 【答案】B【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．如果平均每月的增长率为x ，则2月份的营业额为()9001x +，3月份的营业额为()29001x +，根据“第一季度的营业额共4800万元”，即可列出方程．【详解】设平均每月的增长率为x ，则2月份的营业额为()9001x +，3月份的营业额为()29001x +，根据题意，得()()2900900190014800x x ++++=．故选：B8. 如图，已知O 是ABD △的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，58ABD ∠=︒，则BCD ∠等于（ ）A. 29°B. 42°C. 58°D. 32°【答案】D【解析】 【分析】根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，求出A ∠的度数，根据圆周角定理解答即可．【详解】AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9032A ABD ∴∠=︒-∠=︒，则32BCD A ∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握圆周角定理是解题的关键．9. 如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转110︒，得到ADE V ，若点D 恰好在BC 的延长线上，则BDE ∠的度数为（ ）A. 100︒B. 80︒C. 70︒D. 60︒【答案】C【解析】 【分析】根据ABC 绕点A 按逆时针方向旋转110︒得到ADE V ，可得E ACB ∠=∠，110∠=︒EAC ，根据四边形内角和定理及三角形内角和定理即可得到答案；【详解】解：∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转110︒得到ADE V ，∴E ACB ∠=∠，110∠=︒EAC ，在ABC 与四边形ABDE 中，∵180B ACB CAB ∠+∠+∠=︒，360B E BDE EAB ∠+∠+∠+∠=，∴36018011070BDE ∠=︒-︒-︒=︒，故选C ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，解题的关键是根据旋转得到角度的代换．10. 如图，点D 在ABC 的边AC 上，要判定ADB 与ABC 相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（ ）A. ABD C ∠=∠B. ADB ABC ∠=∠C. A B B D ＝CB CAD. AD AB ＝AB AC 【答案】C【解析】 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解；【详解】解： 若 ,ABD C A A ∠=∠∠=∠，则 ADB ABC ∽，故选项 A 不合题意；若 ,ADB ABC A A ∠=∠∠=∠，则 ADB ABC ∽， 故选项 B 不合题意；若 ,AD AB A A AB AC=∠=∠，则 ADB ABC ∽，故选项 D 不合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．11. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将0.7化成分数，设0.7x =，则有107.7x =，97x =，解得79x ==（ ）A. 3B. 165C. 175D. 145 【答案】A【解析】【分析】x =，等式两边平方得26x x +=，然后解一元二次方程即可．【详解】x =，两边平方得26x x +=，整理得260x x --=，解得13x =，2=2x -（舍去），3=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法．12. 已知二次函数22226y x ax a a =-+--（a 为常数）的图象与x 轴有交点，当4x >时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ）A. 3a ≥-B. 34a -≤<C. 4a <D. 34a -≤≤【答案】D【解析】【分析】根据图象与x 轴有交点，得出判别式0≥ ，从而解得3a ≥-，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当4x >时，y 随x 的增大而增大，可得4a ≤，从而得出选项．【详解】解：22226y x ax a a =-+--∵图象与x 轴有交点，∴()()2224260a a a =----≥ ， 解得3a ≥-； ∵抛物线的对称轴为直线22a x a -=-= 抛物线开口向上，且当>4x 时，y 随x 的增大而增大，∴4a ≤，∴实数a 的取值范围是34a -≤≤．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，明确抛物线与x 轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．第2卷 非选择题（84分）二．填空题（3分每题，共12分）13. 点()3,2P -关于原点轴对称的点P '的坐标是________．【答案】()3,2-【解析】【分析】关于原点对称的两点的坐标关系：横、纵坐标互为相反数，据此即可得到答案．【详解】解： 点P '和点()3,2P -关于原点轴对称，()3,2P '∴-，故答案为()3,2-．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，解题关键是掌握关于原点对称的两点，横、纵坐标互为相反数．14. 若抛物线22y x x m =--+的顶点在x 轴上，则m =__________．【答案】1-【解析】【分析】将抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标，然后根据顶点在x 轴上，可得顶点纵坐标为0，然后求解即可．【详解】解：∵()22211y x x m x m =--+=-+++，∴抛物线22y x x m =--+的顶点坐标为()1,1m -+，∵顶点在x 轴上，∴10m +=，解得：1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，求出顶点坐标是解题的关键．15. 已知：如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，垂足为D ，⊙O 的半径为5，OD =3，那么AB 的长为_______．【答案】8【解析】【分析】连接OA ，先利用勾股定理可得4=AD ，然后根据垂径定理即可得．【详解】解：如图，连接OA ，O 的半径为5，5OA ∴=，,3OC AB OD ⊥= ，4AD ∴===，又AB 是O 的弦，OC AB ⊥，2248AB AD ∴==⨯=，故答案为：8．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．16. 如图，AB 是O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC BD ，相交于点P ，连结AD OC ，． 已知OC BD ⊥于点E ，2AB =；下列结论：①90CAD OBC ∠+∠=︒；②若点P 为AC 的中点，则2CE OE =；③若AC BD =，则CE OE =；④224BC BD +=；其中正确的是______．【答案】①②③【解析】【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出CAD CAB ∠=∠，由AB 是O 的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点P 为AC 的中点，得出AP CP =，进而证明AAS APD CPE ≌（）全等三角形的判定和性质，得出AD CE =，进而根据三角形中位线定理得出2AD OE =，等量代换得出2CE OE =即可判断②，连接OD ，根据垂径定理得出 BC CD =，根据AC BD =得出 AC BD=，则 AD BC CD ==，得出OBC △为等边三角形，由BD OC ⊥，即可得出CE OE =继而判断③；勾股定理得出2224AD BD AB +==，当≠BC AD 时，224BC BD +≠，即可判断④．【详解】解：①∵OC BD ⊥，∴ CDBC =， ∴CAD CAB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB ABC ∠+∠=︒，∴90CAD ABC ∠+∠=︒故①正确，符合题意；②∵点P 为AC 的中点，∴AP CP =，∵AB 为直径，∴90ADP CEP ∠=︒=∠，∵APD CPE ∠=∠，∴AAS APD CPE ≌（）， ∴AD CE =，∵OA OB ED EB ==，，∴2AD OE =，∴2CE OE =，故②正确，符合题意；③连接OD ，∵OC BD ⊥∴ BCCD = ∵AC BD =，∴ AC BD= ∴ AD BCCD ==， ∴60AOD COD BOC ∠=∠=∠=︒，∵OB OC =，∴OBC △为等边三角形，∵BD OC ⊥，∴CE OE =，故③正确，符合题意；④∵90ADB ∠=︒，∴2224AD BD AB +==，当≠BC AD 时，224BC BD +≠，故④错误，不符合题意；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．三．解答题（每题6分，共18分）17. 用适当的方法解下列方程：()322x x x -=- 【答案】113x =，22x = 【解析】【分析】先移项，然后提公因式，再运用因式分解法进行解方程即可．【详解】解：∵()322x x x -=-∴移项，()()3220x x x ---=，∴提公因式，()()3120x x --= 解得113x =，22x = 【点睛】本题考查了解一元二次方程，涉及因式分解法，难度较小．18. 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，DB=DC 求证：∠CAD=∠EAD ．．【答案】见解析【解析】【分析】根据圆周角定理，等腰三角形的性质证明EAD DCB ∠∠=，DAC DBC ∠∠=即可解决问题．【详解】解：DB DC = ，DBC DCB ∠∠∴=，EAD BAD 180∠∠+= ，BAD DCB 180 ∠∠+=，EAD DCB ∠∠∴=，DAC DBC ∠∠=，CAD EAD ∠∠∴=．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19. 已知关于x 的方程2x 2+kx -1=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)若方程的一个根是-1，求方程的另一个根．【答案】(1)证明见解析；(2)12.【解析】【分析】（1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可直接求出方程的另一个根.【详解】解：(1)∵△=k 2+8＞0，∴不论k 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；(2)设方程的另一个根为x 1， 则1112x -⋅=-， 解得：112x =， ∴方程的另一个根为12.【点睛】本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．四．解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）20. 抛物线y ＝ax 2﹣2x+c 与x 轴交点坐标为A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交点坐标为C （0，n ）． （1）求抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）6【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先利用抛物线解析式求出C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【详解】（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入20960a c a c ++=⎧⎨-+=⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩， 所以抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），所以△ABC 的面积＝12×4×3＝6． 故答案为（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）6.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 21. 如图，ABC 三个顶点的坐标分别为(1,1),(4,2),(3,4)A B C（1）请画出将ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形111A B C △；（2）请画出ABC 绕点O 旋转180度的图形222A B C △；（3）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）()2,0【解析】【分析】本题考查了利用平移变换作图、轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴交点问题．（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2）找出点A 、B 、C 绕原点O 顺时针旋转180︒的对称点的位置，即ABC 与222A B C △关于点O 中心对称，然后顺次连接即可；（3）作A 点关于x 轴的对称点A '，连接BA '交x 轴于点P ，如图，则()1,1A '-，根据两点之间线段最短可判断此时PA PB +的值最小，再利用待定系数法求出直线A B '的解析式为2y x =-，然后利用x 轴上点的坐标特征确定P 点坐标．【小问1详解】解：将ABC 向左平移4个单位长度后，将(1,1),(4,2),(3,4)A B C 横坐标减去4，即()()()1113,1,0,2,1,4A B C --，如图，111A B C △为所作；【小问2详解】解：ABC 绕点O 旋转180度的图形222A B C △，则ABC 与222A B C △关于点O 中心对称，取(1,1),(4,2),(3,4)A B C 横纵坐标的相反数，即()()()2221,1,4,2,3,4A B C ------，如图，222A B C △为所作；【小问3详解】解：作A 点关于x 轴的对称点A '，连接BA '交x 轴于点P ，如图，则()1,1A '-，PA PA '= ，PA PB PA PB A B ∴+='+='，∴此时PA PB +的值最小，设直线A B '的解析式为y kx b =+，把()()1,14,2,A B '-分别代入得142k b k b +=-⎧⎨+=⎩， 解得12k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线A B '的解析式为2y x =-，当0y =时，20x -=，解得2x =，∴P 点坐标为()2,0．五．解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）22. 学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中m =______，并补全条形统计图；（2）已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人？（3）在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）20；补全图形见解析（2）300人 （3）16 【解析】【分析】（1）用C类别人数除以其占总人数的比例可得总人数，再求出A类别的人数，由A的人数可得其所占百分比，由A得人数即可补全条形图；（2）用1200乘以文学社团所占得比例即可；（3）首先根据题意列出表格，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．【小问1详解】解：本次调查的总人数为1525%60÷=（人）,A∴类别人数为：60(24159)12-++=,则12%100%20%60m=⨯=, 20m∴=．补全图形如下：；【小问2详解】解：估计“文学社团”共有120025%300⨯=（人）；【小问3详解】解：列表得：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的有2种情况，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为21126=. 【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，需要注意概率=所求情况数与总情况数之比．23. 某公司生产的一种商品其售价是成本的1.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%．若不进行任何推广年销售量为1万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入的推广费x 万元时销售量y （万件）是x 的二次函数：当x 为1万元时，y 是1.5（万件）．当x 为2万元时，y 是1.8（万件）．（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？（2）求出年利润与年推广费x 的函数关系式；（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？【答案】（1）该商品每件的的成本与售价分别是20元、30元；（2）2131105y x x =-++；（3）推广费在1万元到2．5万元（包括1万元和2．5万元）时，公司获得的年利润随推广费的增大而增大．【解析】【分析】（1）根据售价−成本价＝利润，成本价乘以利润率＝利润，列方程即可求解；（2）根据每年投入的推广费x 万元时销售量y （万件）是x 的二次函数，代入所给数据即可求解； （3）根据年利润＝单件利润乘以销售量再减去推广费即可列出二次函数，根据二次函数的性质即可确定推广费的取值范围．【详解】（1）设该商品每件的的成本为a 元，则售价为元1.5a 元，根据题意，得1.5a ﹣5﹣a ＝25%a ，解得a ＝20，则1.5a ＝30，答：该商品每件的的成本与售价分别是20元、30元．（2）根据题意每年投入的推广费x 万元时销售量y （万件）是x 的二次函数，设y ＝ax 2+bx+c∵不进行任何推广年销售量为1万件，即当x ＝0时，y ＝1（万件），当x 为1万元时，y 是1.5（万件）．当x 为2万元时，y 是1.8（万件）．∴1 1.542 1.8c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得110351a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩所以销售量y 与推广费x 的函数解析式为2131105y x x =-++． 所以设公司获得年利润为w 万元，答：年利润与年推广费x 的函数关系式为w ＝10y ＝﹣x 2+6x+10．（3）公司获得的年利润为w 万元，根据题意，得w ＝10y ﹣x＝10（﹣110x 2+35x+1）﹣x ＝﹣x 2+5x+10 ＝﹣（x ﹣52）2+654 ∵1≤x≤3，∴当1≤x≤2.5时，w 随x 的增大而增大，答：推广费在1万元到2.5万元（包括1万元和2.5万元）时，公司获得的年利润随推广费的增大而增大．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的等量关系．六．解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）24. 如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ， AD ，使得FAC AOD ∠=∠，D BAF ∠=∠（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若O 的半径为5，2CE =，求EF 的长.的【答案】（1）见解析 （2【解析】 【分析】（1）由BC 是⊙O 直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解（1）BC 是O 的直径90BAF FAC ∴∠+∠=FAC AOD ∠=∠ ，D BAF ∠=∠90D AOD ∴∠+∠=90OAD ∴∠=AD ∴是O 的切线（2）连接BFFAC AOD ∴∠=∠~ACE DCA ∴∆∆AC AE CE OC OA AC∴== 255AC AE AC ∴==AC AE ∴==CAE CBF ∠=∠~ACE BEF ∴∆∆AE BE CE EF∴=的8=-=BE BC CE8=EF∴=EFx2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，25. 如图，抛物线y＝﹣12对称轴分别交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．【答案】（1）抛物线的对称轴x＝2，A（6，0）；（2）△ACD的面积为12；（3）点P的坐标为（2，2）或（2，6）或（2，3）．【解析】【分析】（1）令y=0，求出x，即可求出点A、B的坐标，令x＝0，求出y即可求出点C的坐标，再根据对称轴公式即可求出抛物线的对称轴；（2）先将二次函数的一般式化成顶点式，即可求出点D 的坐标，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而求出点F 的坐标，根据“铅垂高，水平宽”求面积即可；（3）根据等腰三角形的底分类讨论，①过点O 作OM ⊥AC 交DE 于点P ，交AC 于点M ，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质即可得出此时AC 为等腰三角形ACP 的底边，且△OEP 为等腰直角三角形，从而求出点P 坐标；②过点C 作CP ⊥DE 于点P ，求出PD ，可得此时△PCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，从而求出点P 坐标；③作AD 的垂直平分线交DE 于点P ，根据垂直平分线的性质可得PD ＝PA ，设PD ＝x ，根据勾股定理列出方程即可求出x ，从而求出点P 的坐标.【详解】（1）对于抛物线y ＝﹣12x 2+2x +6令y ＝0，得到﹣12x 2+2x +6＝0，解得x ＝﹣2或6，∴B （﹣2，0），A （6，0），令x ＝0，得到y ＝6，∴C （0，6）， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣2b a＝2，A （6，0）． （2）∵y ＝﹣12x 2+2x +6＝21(2)82x --+， ∴抛物线的顶点坐标D （2，8），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （6，0）和C （0，6）代入解析式，得0666k b =+⎧⎨=⎩解得：16k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6，将x=2代入y ＝﹣x +6中，解得y=4∴F （2，4），∴DF ＝4， ∴12ACD S DF OA =⋅ ＝1462⨯⨯＝12； （3）①如图1，过点O 作OM ⊥AC 交DE 于点P ，交AC 于点M ，∵A （6，0），C （0，6），∴OA ＝OC ＝6，∴CM ＝AM ，∠MOA=12∠COA=45°∴CP ＝AP ，△OEP 等腰直角三角形，∴此时AC 为等腰三角形ACP 底边，OE ＝PE ＝2．∴P （2，2），②如图2，过点C 作CP ⊥DE 于点P ，∵OC ＝6，DE ＝8，∴PD ＝DE ﹣PE ＝2，∴PD ＝PC ，此时△PCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，∴P （2，6），③如图3，作AD 的垂直平分线交DE 于点P ，为的则PD＝PA，设PD＝x，则PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE2+AE2＝PA2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴PE＝8﹣5=3，∴P（2，3），综上所述：点P的坐标为（2，2）或（2，6）或（2，3）．【点睛】此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、利用“铅垂高，水平宽”求三角形的面积和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.。
四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)解析版
高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x||x|≤2}，则A∩B=（）A. {03}B. {0，1，2}C. {1，2}D. {0，1，2，3}2.下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”的是（）A. f（x）=B. f（x）=2-xC. f（x）=ln xD. f（x）=x33.“sinα=0”是“sin2α=0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）A. 2B. 3C. 4D. 55.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A. 异面B. 相交C. 平行D. 不能确定6.函数f（x）=（x-1）ln|x|的图象大致为（）A. B. C. D.7.己知p：∀α∈（0，），sinα＜α，q：∃x0∈N，x02-2x0-1=0，则下列选项中是假命题的为（）A. p∨qB. p∧（￢q）C. p∧qD. p∨（￢q）8.函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A. -B. -C.D.9.我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程=x确定x的值，类似地的值为（）A. 3B.C. 6D. 210.将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝ae nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为( )A. 5B. 8C. 9D. 1011.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形，若AB=3，PA=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A. 4πB. 16πC. 8πD. 32π12.已知函数f（x）=log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，h（x）=g（x）-1，若函数y=k•f（x）+h（x）有3个零点，则实数k的取值范围是（）A. （1，2log73）B. （-2，-2log53）C. （-2log53，-1）D. （-log73，-）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=的定义域为______．14.设函数f（x）=，那么f（18）的值______．15.（文）函数f（x）=cos2x+2sin x的最小值为______ ．16.己知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形或空间几何体．在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的______．（写出所有正确结论的编号）①每个面都是直角三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是全等的直角三角形的四面体：④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=x3-x2+ax（其中a为常数）．（Ⅰ）若x=-1是f（x）的极值点，求函数f（x）的减区间；（Ⅱ）若f（x）在（-2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知c=a（cos B-sin B）．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）已知c=，BC边上的高AD=1，求b的值．19.己知函数f（x）=2cos x（sin x+cos x）-1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值及取最小值时x取值的集合；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，且g（α）=，α∈（，），求g（α-）的值．20.如图，己知BD为圆锥AO底面的直径，点C是圆锥底面的圆周上，AB=BD=2，∠BDC=，AE=ED，F是AC上一点，且平面BFE⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：AD⊥BF；（Ⅱ）求多面体BCDEF的体积．21.己知函数f（x）=ln x，g（x）=（其中a是常数），（Ⅰ）求过点P（0，-1）与曲线f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）是否存在k≠1的实数，使得只有唯一的正数a，当x＞时不等式f（x）g（x-）≤kx恒成立，若这样的实数k存在，试求k，a的值；若不存在，请说明理由．22.如图，在极坐标系Ox中，过极点的直线l与以点A（2，0）为圆心、半径为2的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，曲线M2是优弧．（Ⅰ）求曲线M1的极坐标方程；（Ⅱ）设点P（ρ1，θ）为曲线M1上任意一点，点Q（ρ2，θ-）在曲线M2上，若|OP|+|OQ|=6，求θ的值．23.设f（x）=|x-3|+|x-4|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）已知x，y实数满足2x2+3y2=a（a＞0），且x+y的最大值为1，求a的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={0，1，2，3}，B={x|-2≤x≤2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，结合选项可知，f（x）=在（0，+∞）单调递增，不符合题意，f（x）=2-x=在（0，+∞）单调递减，符合题意，f（x）=ln x在（0，+∞）单调递增，不符合题意，f（x）=x3在（0，+∞）单调递增，不符合题意，故选：B．对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”，可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，结合选项即可判断．本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．3.【答案】A【解析】解：sin2α=0，则A={α|α=，k∈Z}，sinα=0，则B={α|α=kπ=•2kπ，k∈Z}，B是A的真子集，所以前者是后者的充分不必要条件，故选：A．解出关于α的集合，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．由函数y=f（x）+x是偶函数，得f（-2）-2=f（2）+2，得f（-2）=f（2）+2+2=5．【解答】解：∵函数y=f（x）+x是偶函数，∴f（-2）-2=f（2）+2，∴f（-2）=f（2）+2+2=5．故选：D．5.【答案】C【解析】解：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c．又b⊂α，α∩β=l，∴b∥l．∴a∥l．故选：C．由题意设α∩β=l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．此题考查平面与平面平行的性质及其应用，解题的关键的画出图形，此题是道基础题．6.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）=（x-1）ln x＞0，故排除C，D，当0＜x＜1时，x-1＜0，ln x＜0，∴f（x）=（x-1）ln x＞0，故排除B故选：A．利用排除法，根据函数值即可判断．本题考查了函数图象的识别，利用排除法是关键，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：命题p：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足是M，单位圆交x轴于点A，则sinα=MP，弧长PA即为角α；显然MP＜弧长PA；∴p：∀α∈（0，），sinα＜α是真命题；命题q：解方程x02-2x0-1=0，则x=1±，因此q：∃x0∈N，x02-2x0-1=0，是假命题．则下列选项中是假命题的为p∧q．而A，B，D都是真命题．故选：C．命题p：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q：由求根公式，即可判断出真假．根据复合命题真值表判断结果即可．本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．本题考查了函数y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选A．9.【答案】A【解析】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则=m2，即3+2m=m2，解得，m=3，m=-1舍去．故选：A．通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．10.【答案】A【解析】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n=a可得n=ln，因此，当k min后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k-5=5分钟，即m=5．故选：A．由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k-5即可得到．本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，此时三棱锥四个点的外接球，与三棱柱6个点的外接球是同一个，所以问题转化为求解正三棱柱外接球的问题，设球心为O，作OO'⊥平面ABC，连接O'A，OA，则OO'=PA=1，设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理，得，，所以，在Rt△OO'A中，O'A2+OO'2=OA2，所以3+1=R2，解得R=2，所以S=4πR2=16π．故选：B．根据题给信息，可以将直三棱锥补形成为直棱柱问题，即可用直棱柱外接球问题的求解方法求解．本题考查球的表面积，考查直棱柱外接球问题，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：由函数f（x）=log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，得g （x）=3x，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，h（x）=g（x）-1=3x-1，函数y=k•f（x）+h（x）有3个零点，即k log3x=-h（x）有3个不同根，画出函数y=k log3x与y=-h（x）的图象如图：要使函数y=k log3x与y=-h（x）的图象有3个交点，则k＜0，且，即-2＜k＜-2log53．∴实数k的取值范围是（-2，-2log53）．故选：B．把函数y=k•f（x）+h（x）有3个零点，转化为k log3x=-h（x）有3个不同根，画出函数y=k log3x与y=-h（x）的图象，转化为关于k的不等式组求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可得，，解可得，0＜x≤1．即函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]由题意可得，，解不等式即可求解．本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础试题．14.【答案】9【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（18）=f（3×5+3）=f（3）=32=9．故答案为：9．推导出f（18）=f（3×5+3）=f（3），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】-3【解析】解：∵f（x）=cos2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1=-2+∵-1≤sin x≤1当sin x=-1时，函数有最小值-3故答案为：-3利用二倍角公式对已知函数化简，f（x）=cos2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1结合-1≤sin x≤1及二次函数的性质可求函数的最小值本题主要考查了二倍角公式及二次函数闭区间上的最值的求解，属于基础试题16.【答案】①②④【解析】解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E-ABC，所以①正确；②每个面都是等边三角形的四面体；如E-BGD，所以②正确；③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A-BDE，所以④正确；故答案为：①②④．画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可．本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．17.【答案】解：（I）∵f（x）=x3-x2+ax，∴f′（x）=x2-2x+a，∵x=-1是f（x）的极值点，∴f′（-1）=3+a=0，∴a=-3，f′（x）=x2-2x-3，当x＜-1或x＞3时，f′（x）＞0，当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，即a=-3时符合题意，即f（x）的单调单调递减区间（-1，3），（II）f（x）在（-2，+∞）上是增函数，∴f′（x）=x2-2x+a≥0在（-2，+∞）上恒成立，∴a≥-x2+2x在（-2，+∞）上恒成立，令g（x）=2x-x2，则g（x）在（-2，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故g（x）max=g（1）=1，∴a≥1，即a的范围为[1，+∞）．【解析】（I）先对函数求导，然后结合已知可知f′（-1）=0，代入即可求解，（II）由题意可得，f′（x）=x2-2x+a≥0在（-2，+∞）恒成立，分离得a≥-x2+2x在（-2，+∞）上恒成立，结合恒成立与最值的相互转化及二次函数的单调性即可求解．本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及转化思想的应用，考查计算能力．18.【答案】解：（Ⅰ）∵c=a（cos B-sin B），∴由正弦定理可得sin C=sin A（cos B-sin B），可得sin A cos B+sin B cos A=sin A cos B-sin A sin B，可得cos A sin B+sin A sin B=0，∵B为三角形内角，sin B≠0，∴tan A=-1，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵S=bc sin A=AD•a，∴代入c=，AD=1，sin A=，可得a=b，∵由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+10+2b，∴代入a=b，可得4b2-2b-10=0，∴解得b=，或b=-（舍去），∴b=．【解析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin B≠0，可得tan A=-1，结合范围A∈（0，π），可求A=．（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可求得a=b，由余弦定理可得4b2-2b-10=0，解方程可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos x（sin x+cos x）-1=2sin x cosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=sin（2x+），故当2x+=2kπ-时，函数f（x）取得最小值．∴f（x）的最小值为-，f（x）取最小值时x取值的集合为{x|x=kπ-，k∈Z}．（Ⅱ）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（+）的图象，且g（α）=sin（+）=，∴sin（+）=．∵α∈（，），∴+∈（，π），∴cos（+）=-=-．∴g（α-）=sin（+）=sin=sin[（+）-]=sin（+）cos-cos（+）sin=•-•（-）•=．【解析】（Ⅰ）由题意利用三角恒等变换化简函数f（x）得解析式，再根据正弦函数的最值求得函数f（x）的最小值及取最小值时x取值的集合．（Ⅱ）由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用两角和的正弦公式求得g（α-）的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：∵△ABD是等边三角形，AE=ED，∴AD⊥BE，∵平面BFE⊥平面ABD，且交线为BE，∴AD⊥平面BEF，∵BF⊂平面BEF，∴AD⊥BF．（Ⅱ）解：∵∠BDC=30°，∠BCD=90°，BD=2，∴CD=，cos∠CAD==，在Rt△AEF中，cos∠CAD==，∵AE=1，∴AF=，CF=，∴点F到平面ABE的距离为点C到平面ABE的距离的，∴V F-ABE==，∴多面体BCDEF的体积为：V BCDEF====．【解析】（Ⅰ）推导出AD⊥BE，从而AD⊥平面BEF，由此能证明AD⊥BF．（Ⅱ）推导出点F到平面ABE的距离为点C到平面ABE的距离的，V F-ABE==，多面体BCDEF的体积为：V BCDEF=，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（I）设过P（0，-1）的直线与曲线f（x）相切于点（x0，ln x0），∵f′（x）=，∴在（x0，ln x0）点处的切线方程为y-ln x0=（x-x0），把（0，-1）代入可得ln x0=0即x0=1，故切线方程为y=x-1；（II）假设存在k≠1的正实数，使得只有唯一的正数a，当x＞时不等式f（x）g（x-）≤kx恒成立，即恒成立，∵x，∴即ln x-≤0，令m（x）=ln x-=ln x-+，（x），则=0可得x=，（1）当即0＜k＜a2时，x∈（）时，m′（x）＞0，则m（x）在（）上为增函数，当x∈（x0，+∞）时，m′（x）＜0，则m（x）在（x0，+∞）上为减函数，则m（x）max=m（x0）=≤0，即，令h（a）=，（a），则h′（a）=-=，由h′（a）=0可得，a=（a），当a∈（）时，h′（a）＜0时，h（a）在（）单调递减，当a∈（）时，h′（a）＞0时，h（a）在（）单调递增，故存在唯一的正数a，使得h（a）≤1，只能h（a）min=1，∴h（a）min=h（）==1故k=，此时a只有唯一的值（2）当即k≥a2，m′（x）＞0，m（x）在（）为增函数，∴=ln≤0，即a≥1，故k＞1，显然满足1的a不唯一，综上可知，存在实数k=，a只有唯一值，当x＞时，原式恒成立．【解析】（I）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程，（II）假设存在k≠1的正实数，使得只有唯一的正数a，当x＞时不等式f（x）g（x-）≤kx恒成立，然后根据恒成立与最值求解的相互转化思想即可求解．本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）过极点的直线l与以点A（2，0）为圆心、半径为2的圆上任意一点（ρ，θ），整理得ρ=4cosθ．由于的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，所以M1的方程为．（Ⅱ）点P（ρ1，θ）为曲线M1上任意一点，所以，点Q（ρ2，θ-）在曲线M2上，所以（）．整理得．由于|OP|+|OQ|=6，所以ρ1+ρ2=6，整理得=6，即：，由于且，所以．解得．【解析】（Ⅰ）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果．（Ⅱ）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）=|x-3|+|x-4|，当x＜3时，不等式f（x）≤2化为-x+3-x+4≤2，解得2.5≤x＜3；当3≤x≤4时，不等式f（x）≤2化为x-3-x+4≤2，即1≤2恒成立，此时3≤x≤4；当x＞4时，不等式f（x）≤2化为x-3+x-4≤2，解得4＜x≤4.5；综上知，不等式f（x）≤2的解集为{x|2.4≤x≤4.5}；（Ⅱ）由柯西不等式得[+][+]≥（x+y）2，又2x2+3y2=a（a＞0），所以（x+y）2≤a，当且仅当2x=3y时取等号；又因为x+y的最大值为1，所以a=1，解得a的值为．【解析】（Ⅰ）讨论x的取值范围，去掉绝对值求出不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）结合题意，利用柯西不等式求得（x+y）2的最大值，列方程求出a的值．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．。
四川省泸州市合江县2024届高三一诊模拟考试数学(文)试题含解析
高2021级高三一诊模拟考试数学（文史类）（答案在最后）第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()i i 1i x y +=+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位），复数i z x y =+，则z z ⋅=（）A.2B.C.23i +D.23i-+【答案】A 【解析】【分析】对()i i 1i x y +=+化简，可求出复数z ，从而可求出z z ⋅【详解】由()i i 1i x y +=+，得i 1i y x +=-+．所以1,1x y ==-因为i z x y =+，所以1i z =-，1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=-+=．故选：A2.设集合{}| 0M x x =<，1|282x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，R 是实数集，则()R C M N =U （）A.{|3}x x ≥B.{}|10x x -<< C.{}|10x x x ≤-≥或 D.{}|3x x <【答案】A 【解析】【分析】先求出集合N ，再求解并集和补集.【详解】因为1282x <<，所以13222x -<<，即13x -<<，{3}M N x x ⋃=<，所以(){3}R M N x x ⋃=≥ð，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（参考数据：20.3010lg ≈）A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602【答案】C 【解析】【分析】根据对数运算以及pH 的定义求得此时胃酸的pH 值.【详解】依题意()22.5100lg 2.510lg lg lg 401002.5pH -=-⨯=-==()lg 410lg 4lg102lg 2120.30101 1.602=⨯=+=+≈⨯+=.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.4.若2log 0.2a =，0.22b =，0.2log 0.3c =，则下列结论正确的是A.c b a >> B.b a c>> C.a b c >> D.b c a>>【答案】D 【解析】【详解】分析：利用指数函数的性质以及对数函数的性质，分别确定2log 0.2a =，0.22b =，0.2log 0.3c =的范围，从而可得结果.详解：因为0.22log 0.20,21,a b ==0.20log 0.31c <=<，所以b c a >>，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.函数()41f x x x=+的图象为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性和函数值符号使用排除法可得.【详解】因为()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且()4411()()f x f x x x x x-===-+-+所以()f x 为偶函数，可排除AB ；又当0x >时，()410f x x x=>+，故C 错误.故选：D6.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，点()2,5P -是角α终边上的一点，则cos 2=α（）A.2029B.2129C.2129-D.2029-【答案】C 【解析】【分析】首先由任意角的三角函数的定义求出cos α，再利用二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为点()2,5P -是角α终边上的一点cos α∴==，故2421cos 22cos 1212929αα=-=⨯-=-，故选：C ．【点睛】本题考查任意角的三角函数及二倍角公式的应用，属于基础题.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面11AB D 的交点为,M O 为线段11B D 的中点，则下列结论错误的是（）A.,,A M O 三点共线B.1,,,M O A B 四点异不共面C.1,,,B B O M 四点共面D.1,,,B D C M 四点共面【答案】C 【解析】【分析】由长方体性质易知11,,,A A C C 四点共面且1,OM BB 是异面直线,再根据M 与1AC 、面11ACC A 、面11AB D 的位置关系知M 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上,同理判断O A 、,即可判断各选项的正误.【详解】因为11//AA CC ,则11,,,A A C C 四点共面.因为1M A C ∈,则M ∈平面11ACC A ,又M ∈平面11AB D ,则点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,同理,O A 、也在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,所以,,A M O 三点共线;从而1,,,M O A A 四点共面,都在平面11ACC A 内，而点B 不在平面11ACC A 内，所以1,,,M O A B 四点不共面，故选项B 正确；1,,,B B O 三点均在平面11BB D D 内，而点A 不在平面11BB D D 内，所以直线AO 与平面11BB D D 相交且点O 是交点，所以点M 不在平面11BB D D 内，即1,,,B B O M 四点不共面，故选项C 错误；11BC D A ，且11=BC D A ，所以11BCD A 为平行四边形，所以11,CA BD 共面，所以1,,,B D C M 四点共面，故选项D 正确.故选:C.8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,∞+上是增函数，则下列各式一定成立的是（）A.()()25f f >-B.()()50f f -<C.()()20f f -<D.()()52f f ->【答案】D 【解析】【分析】由()f x 是R 上的偶函数，得()()55f f -=，()()22f f -=，再根据()f x 在[)0,∞+上是增函数可逐项判断得出答案.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()55f f =-，()()22f f -=，且()f x 在[)0,∞+上是增函数，因为()()()255f f f <=-，所以A 错误；因为()()()550f f f -=>，所以B 错误；因为()()()220f f f -=>，所以C 错误；因为()()()552f f f -=>，所以D 正确.故选：D.【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路：（1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间；（2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥，则A =（）A.102B.10 C.5D.10【答案】B 【解析】【分析】由题意()f x 的周期6T =可得π3ω=，由()f x 图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭可得π6ϕ=，从而π()sin 3π6f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 与y 轴的交点0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭，由0NM NP ⋅= 解得A .【详解】若()f x 的周期为T ，由题意有531422M P T x x =-=-=，所以6T =，所以2ππ63ω==，()f x 图象与x 轴的交点为5,02M⎛⎫ ⎪⎝⎭，则)π5π(32k k ϕ⨯+=∈Z ，因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=，即π()sin 3π6f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 与y 轴的交点0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭，由NM NP ⊥，则NM NP ⋅= 255,1,022224A A A ⎛⎫⎛⎫-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10A =或10A =(舍)．故选：B.10.若函数()329f x x ax =+-在2x =-处取得极值，则=a （）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由()f x 在2x =-时取得极值，求出()f x '得(2)0f '-=，解出a 的值．【详解】解：32()9f x x ax =+- ，2()32f x x ax ∴'=+；又()f x 在2x =-时取得极值，(2)1240f a ∴'-=-=；3a ∴=．故选：B ．【点睛】本题考查了应用导数求函数极值的问题，是基础题．11.在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90ABC ∠=︒，2PA =，若三棱锥-P ABC 的体积为6，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.18π B.24πC.36πD.40π【答案】D 【解析】【分析】PA ⊥平面ABC ，则有PA AC ⊥，PA BC ⊥，然后由AB BC ⊥得线面垂直后得PB BC ⊥，从而可得PC 就是外接球直径，再由体积计算出PC 长后可得球表面积．【详解】∵PA ⊥平面ABC ，∴PA AC ⊥，PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC PB ⊥，PC 中点到四个点,,,P A B C 的距离相等，即PC 为三棱锥-P ABC 外接球的直径．12633P ABC ABC ABC V PA S S -=⋅==△△，9ABC S = ，又,90BA AC ABC =∠=︒，∴2192ABC S BA ==△，BA =6AC ==，PC ==∴所求外接球表面积为224402PC S PC πππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故选：D .【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定外接球的球心，本题是利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中点到三顶点的距离相等”确定的．12.已知0ω>，函数()sin(4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.221log 12log 92-=______.【答案】2；【解析】【分析】根据对数的运算性质求值即可.【详解】222222211log 12log 9log 34)log 32log 3log 3222(-=⨯-=+-=，故答案为：214.曲线()3f x x x =-在点（2，6）处的切线方程为_______．【答案】11160x y --=【解析】【分析】求出()f x '，()2f '即可.【详解】因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --=故答案为：11160x y --=15.已知奇函数()f x 为R 上的减函数，若()()23210f a f a +-≥，则实数a 的取值范围是__________．【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【详解】分析：由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性得到关于a 的不等式求解二次不等式即可确定实数a 的取值范围.详解：不等式()()23210f af a +-≥即：()()2321f a f a ≥--，函数为奇函数，则不等式等价于()()2321f af a ≥-+，函数在R 上单调递减，脱去f 符号有：2321a a ≤-+，即：23210a a +-≤，()()11310,13a a a +-≤-≤≤，故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．16.在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.【答案】6+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c==，22,22b b b c +===+时等号成立.故答案为：6+三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=>，()f x 图像的相邻两对称轴之间的距离为2π．（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，求5sin 46πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（1）2ω=；（2）79-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可．（2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可．【详解】（1）13()2(sin )2sin()23f x x x x πωωω=+=+，()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离为2π，∴22T π=，即2T ππω==，得2ω=．（2）2ω=Q，()2sin(2)3f x x π∴=+，2()3f α=，22sin(2)33πα∴+=，得1sin(2)33πα+=，设23πθα=+，则1sin 3θ=，且23παθ=-，55523sin(4)sin[2()]sin(2)sin(2)663632ππππππαθθθ-=--=-+=-sin(2)cos 22πθθ=--=-217(12sin )1299θ=--=-+⨯=-18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且)()sin sin sin b B a A c A B -=-+.（1）求A 的大小；（2）过点C 作CD BA ∥，在梯形ABCD 中，4BC =，CD =，120ABC ∠=︒，求AD 的长.【答案】（1）45︒（2【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得22)b a c c -=-，利用余弦定理计算即可得出结果.（2）在BCD △中，由正弦定理求得AC =，在ACD 中，由余弦定理2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠计算即可求得结果.【小问1详解】由正弦定理可得：22)b a c c -=-，即222b c a +-=，所以222cos 22b c a A bc +-==，又0180A << ,所以45A =︒.【小问2详解】在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，因为445,120BC BAC ABC =∠=︒∠=︒，，所以AC =.在ACD 中，由余弦定理可得，222222cos 2cos 4515AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯︒=所以AD =.19.已知函数()32215333f x x ax a x =-++-．(1)若1a =-时，求()f x 在区间[4,2]-上的最大值与最小值；(2)若函数()f x 仅有一个零点，求a 的取值范围．【答案】(1)最大值为0，最小值为323-；(2)(1)3-，．【解析】【分析】(1)求导，并判断()f x 在[4,2]-上的单调性，再求出其最大值与最小值；(2)利用分类讨论判断()f x 在定义域内的单调性，求出极值，再判断极值与0的大小关系，进一步求出参数a 的取值范围.【详解】(1)由题意得()()()22'233f x x ax a x a x a =-++=--+．当1a =-时，()(1)(3)f x x x -'=-+，[4,2]x ∈-．由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43x -≤<-或12x <≤．∴函数()f x 在区间(3,1)-上单调递增，在区间[4,3)--，(1,2]单调递减．又2532(4)(3)33f f -=--=-，，()()71023f f ==-，，∴函数()f x 在区间[4,2]-上的最大值为0，最小值为323-．(2)函数()f x 只有一个零点．∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a =-++--+'，i )当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数()f x 在区间(3,)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数()f x 在区间(,3)a -∞，(,)a -+∞上单调递减．又5(0)03f =-<，∴只需要()0f a -<，解得10a -<<．∴实数a 的取值范围为10a -<<．ii )当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立．iii )当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<，即()f x 在区间(,3)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(,)a -∞-，(3,)a +∞上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得03a <<．综上：实数a 的取值范围是(1-．【点睛】利用导数求最值问题，既要求函数的极值，也需要求出其端点值，再比较大小；零点相关问题求参数取值范围，通常有两种思路，一种是分离参数，转化为求参数与另外一个函数的交点个数问题，另一种是直接含参讨论单调性求极值解不等式.20.如图所示，ABC 是等边三角形，//DE AC ，//DF BC ，面ACDE ⊥面ABC ，22AC CD AD DE DF =====．（1）求证：EF BC ⊥；（2）求四面体FABC 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】(1)由余弦定理可得E F EF DF ⊥，结合//DF BC 即可得出结果.(2)由面面垂直的性质定理得DO ⊥平面ABC ，且DO =，根据线线平行得出平面//DEF 平面ABC ，进而得到F 与D 到底面ABC 的距离相等，结合棱锥体积公式即可.【详解】（1）证明：//DE AC ，//DF BC ，又ABC 是等边三角形，60EDF ACB ∴∠=∠=︒，又22AC DE BC DF ====，在EDF 中，由余弦定理可得，EF =，222EF DF DE ∴+=，故EF DF ⊥，又//DF BC ，EF BC ∴⊥；（2）解：取AC 的中点O ，连接DO ，由AD DC =，得DO AC ⊥，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE 平面ABC AC =，DO ∴⊥平面ABC ，且求得DO ==．由//DE AC ，DF ⊄平面,ABC BC ⊂平面ABC ，可得//DF 平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积11221322V =⨯⨯⨯⨯．【点睛】(1)证明线线垂直的方法主要有：线面垂直的性质定理、勾股定理的逆定理或者采用空间向量法；(2)求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．21.已知函数()ln 1f x a x ax =++.（1）当1a =时，求()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()e x f x x ≤恒成立，求a 的取值集合.【答案】（1）y =2x（2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数()e ln 1x g x x a x ax =---，将问题转化成求()g x 的最小值，通过对a 进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln 1f x x x =++，所以(1)2f =，又()11f x x '=+，所以()11121f '=+=，故()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)2y x =-+，即2y x =.【小问2详解】解法一：因为()e x f x x ≤恒成立，e ln 10x x a x ax ---≥恒成立，令函数()e ln 1x g x x a x ax =---，则()()1e e (1)e (1)(e )x x x x a x a a g x x a x x x x x +'=+--=+-=+-①当0a ≤时，()()1(e )0x a g x x x'=+->在区间(0,)+∞恒成立，此时g (x )在区间(0,)+∞单调递增，又11221111()e ln21(e 2)(ln2)22222a g a a =+--=-+-，易知12e 2,<1ln 22<，所以1(02g <，故0a ≤不合题意，②当0a >时，由()()1e 0xa g x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，可得e 0x a x -=，即e 0x x a -=令()e x h x x =，则()()e e 1e 0x xx h x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立所以()e xh x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00h =，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得00e x x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=，则当0(0,)x x ∈时，e x x a <，即()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，e x x a >，即()0g x '>，所以当0x x =时，()0000min e ln 1ln 1xg x x a x ax a a a =⋅---=--，故要使()0g x ≥恒成立，只需ln 10--≥a a a ，令()ln 1a a a a ϕ=--，则()11ln ln a a a a aϕ=--⨯=-'，由()0a ϕ'>，得到01a <<，由()0a ϕ'<，得到1a >，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，()()10a ϕϕ≤=，即()ln 10a a a a ϕ=--≤，所以ln 10--≥a a a 只有唯一解，即1a =.综上，a 的取值集合为{}1.解法二：由题意可得()e ln e10x x x a x --≥恒成立，令()e x t x x =，则()()e e 1e 0x x xt x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立，所以()e xt x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00t =，所以()e 0x t x x =>，所以()e ln e 10x xx a x --≥恒成立，即ln 10t a t --≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln 1g t t a t =--，又因为(1)0g =，要使()0g t ≥恒成立，则1t =是()g t 的极小值点，又因为()1a g t t '=-，所以()110g a '=-=，解得1a =.当1a =时，令()ln 1ln 1g t t a t t t =--=--，11()1t g t t t -'=-=，所以(0,1)t ∈时，()0g t '<，()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()(1)1ln110g t g ≥=--=，满足题意.综上，a 的取值集合为{}1.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0g x ≥，然后由导数求得()g x 的最小值min ()g x ，解不等式min ()0g x ≥即可得参数范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4极坐标与参数方程）22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，倾斜角为α的直线l 过点0M ，点0M 的极坐标为π(2,)3.（1）求曲线1C 的普通方程和直线l 的参数方程.（2）若l 与1C 交于A ，B 两点，且点B 为0AM 的中点，求AB【答案】（1）222x y x +=，1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即得1C 的普通方程，求出点0M 的直角坐标，按条件写出l 的参数方程作答.（2）将l 的参数方程代入1C 的普通方程，再利用参数的几何意义计算作答.【小问1详解】曲线1C ：22cos ρρθ=，把222cos x x yρθρ=⎧⎨=+⎩代入得1C 的普通方程：222x y x +=，因点0M 的极坐标为π(2,3，则点0M的直角坐标是，而直线l 的倾斜角为α所以直线l的参数方程为：1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.【小问2详解】把直线l的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入曲线1C 的普通方程22(1)1x y -+=得：22(cos )sin )1t t αα++=，整理得：2sin 20t α++=，212sin 80α∆=->，即6sin 3α>，令点A ，B 所对参数分别为12,t t ，则有122t t =，因点B 为0AM 的中点，即有212t t =，于是得2||1t =，所以122||||1AB t t t =-==.（选修4-5不等式选讲）23.设函数()4f x x x a =+-，其中R a ∈.（1）当6a =时，求曲线()y f x =与直线480x y -+=围成的三角形的面积；（2）若a<0，且不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-，求a 的值.【答案】（1）64（2）17-【解析】【分析】（1）由题知()56,636,6x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分x a ≥和x a <两种情况求解得()2f x <的解集为2{|}5a x x +<，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当6a =时，()56,64636,6x x f x x x x x -≥⎧=+-=⎨+<⎩，所以，()624f =，设(6,24)C ；直线480x y -+=与36y x =+交于点(2,0)A -，与直线56y x =-交于点(14,64)B ，且AB =点(6,24)C 到直线480x y -+=的距离d =，所以，要求图形的面积1642S AB d =⨯⨯=；【小问2详解】解：当x a ≥时，()5f x x a =-，()2f x <，即52x a -<，解可得25a x +<，此时有25a a x +≤<，当x a <时，()3f x x a =+，()2f x <，即32x a +<，解可得23a x -<，又由a<0，则23a a ->，此时有x a <，综合可得：不等式的解集为2{|}5a x x +<，因为不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-所以，235a +=-，解可得17a =-；所以，17a =-.。
2024届泸州市高三数学(文)上学期第一次诊断性考试卷附答案解析
2024届泸州市高三数学（文）上学期第一次诊断性考试卷（试卷满分150分；考试时间120分钟）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}4,A x x x =<∈Z，{}21B x x =>，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}1,32．已知命题p ：R x ∀∈，32x x >，命题q ：0R x ∃∈，使得0ln 2x =-，则下列命题是真命题的为（）A ．p q ∧B ．()p q⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3．若sin x =，则cos2x =（）A ．19B ．19-C ．79D ．79-4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2πB ．32πC ．2πD ．4π5．“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式tS ab =，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为34a（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为3a（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）A ．13年B ．14年C ．15年D ．16年6．“sin()0αβ-=”是“tan tan αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数21()sin 21x x f x x-=⋅+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，则下列结论一定正确的是（）A ．平面AEF ⊥平面PBCB ．平面AEF ⊥平面ABCDC ．直线//EF 平面PCD D ．直线EF ⊥平面PAB9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()ln 1f x x =+，则20232f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．1ln2B ．3ln2C ．2ln 3D ．ln210．已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=，将BCD △沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A BD P --为90，则此时三棱锥P ABD -的外接球的表面积为（）A ．48πB ．C ．D ．60π11．已知()()21,()(2),ax x a f x x x a -<⎧=⎨-≥⎩的值域为R ，则a 的最小值为（）A ．0B ．2C ．54D ．112．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共10个小题，共90分．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．13．函数()1xf x x =-的对称中心为．14．已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为15．写出“使函数()e ln x f x a x=-在区间()1,2上单调递增”的实数a 的一个值．16．过点(0,)m 有两条直线与曲线1ln y x x =+相切，则实数m 的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数()22sin cos 1f x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()g x 的图象，若π22127g θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ的值．18．已知32x =是函数2()11ln f x x x a x =-+的极值点．(1)求a 的值；(2)若函数()f x 在(1,)c 上存在最小值，求c 的取值范围．19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知12sin sin cos sin cos b B c A B a B C =+．(1)求ab 的值；(2)若6a =，AD 为ABC 的内角平分线，且AD CD =，求cos C 的值．20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，且平面PBC ⊥平面ABCD ．O ，E 分别是BC ，PA 的中点，经过O ，D ，E 三点的平面与棱PB 交于点F ，平面PBC ⋂平面PAD l =，直线DE 与直线l 交于点G ．(1)求PFFB 的值；(2)若2PB PC CD ===，求多面体POCDEF 的体积．21．已知函数()tan f x x ax=-．(1)若1a ≤，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；(2)若函数()()sin g x f x x =+在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上有三个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为π33sin 3ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，曲线21cos :sin x C y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）．(1)求2C 的极坐标方程；(2)已知点(2,0)M ，曲线3C 的极坐标方程为π3θ=，3C 与1C 的交点为P ，与2C 的交点为O ，Q ，求MPQ 的面积．选修4-5：不等式选讲23．已知函数()|||2|1f x x x =+--．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若函数()f x 的最小值为m ，且a b m +=（0a >，0b >）．求证：221113a b a b +≥++．1．B【分析】首先化简集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}{}{}4,44,3,2,1,0,1,2,3A x x x x x x =<∈=-<<∈=---Z Z ，又{}1212B x x x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，所以{}1,2,3A B = .故选：B2．B【分析】首先判断命题p 与命题q的真假，然后逐一判断四个选项复合命题的真假.【详解】对于命题p ，当0x =时，32x x=，故命题p 为假命题；对于命题q ，当20e x -=时，0ln 2x =-，故命题q 为真命题.因此p q ∧为假命题；p 为假命题，p ∴⌝为真命题，()p q ⌝∧为真命题；q 为真命题，q ∴⌝为假命题，()p q ∧⌝为假命题；()()p q ⌝∧⌝为假命题.故选：B3．D【分析】根据二倍角余弦公式求解.【详解】sin x =，227cos 212sin 1239x x ⎛⎫∴=-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.4．B【分析】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，根据数据可计算出几何体体积.【详解】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，如图：故该几何体体积为2213121122V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，考查了圆柱的体积公式，考查了学生的直观想象能力.属于基础题.5．D【分析】由条件列式434a ab =先确定参数，再结合对数运算解方程3t a ab =.【详解】由题意可得434aab =，即434b =，所以b =，令3t a ab =，即13t b =，故13t=，即1lg 3t =，可得1(lg32lg 2)lg34t -=-，即4lg3162lg 2lg3t =≈-．故选：D6．B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由sin()0αβ-=，则πk αβ-=，Z k ∈，则πk αβ=+，Z k ∈，当π2β=，ππ2k α=+，Z k ∈时tan α、tan β均无意义，故充分性不成立，由tan tan αβ=，则πk αβ=+，Z k ∈，所以sin()0αβ-=，故必要性成立，故“sin()0αβ-=”是“tan tan αβ=”的必要不充分条件.故选：B7．A【解析】根据奇偶性，单调性，特殊值等，用排除法判断即可.【详解】设21()21x x g x -=+，()2112()2121x x x x g x g x -----===-++故21()21x xg x -=+为奇函数.sin y x =为奇函数.故21()sin 21x x f x x-=⋅+为偶函数，排除C 、D 0πx <<时，sin 0x >，2121x x ->+，故21()sin 021x x f x x -=⋅>+.故选：A【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8．A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，令2PA AB ==，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,0,1E ，设()2,,0F a ，[]0,2a ∈，则()1,0,1AE =uu u r，()2,,0AF a =，()1,,1EF a =-，()2,0,2PB =-，()2,2,2PC =-，()0,2,2PD =-设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则2202220m PB x z m PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取()1,0,1m = ，同理可求平面PCD 的一个法向量为()0,1,1n =，①当F 与B 重合即0a =时设平面AEF 的一个法向量为()0,1,0i =，此时0i m ⋅=，所以平面AEF ⊥平面PBC ，又平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1j =，满足0j i ⋅=，所以平面AEF ⊥平面ABCD ，又()1,0,1EF =- ，所以10EF n ⋅=-≠ ，显然直线EF 与平面PCD 不平行，故C 错误；而直线EF ⊂平面PAB ，故D 错误；②当F 与B 不重合即0a ≠时设平面AEF 的一个法向量为()111,,k x y z =，则1111020k AE x z k AF x ay ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21,,1k a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，此时0k m ⋅= ，即平面AEF ⊥平面PBC ，又10k j ⋅=-≠ ，所以平面AEF 与平面ABCD 不垂直，故B 错误；综上可得若F 为线段BC 上的点，均可满足平面AEF ⊥平面PBC ，故A 正确；故选：A9．C【分析】首先推出()f x 是以4为周期的周期函数，再根据周期性及奇偶性计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，又()()2f x f x +=-，所以()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以4为周期的周期函数，又当[]0,1x ∈时，()()ln 1f x x =+，所以202311113210124253ln ln 2222223f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C10．D【分析】根据给定条件，先确定三棱锥P ABD -的外接球球心的位置，再构造直角三角形求出球半径即可计算出外接球的表面积.【详解】依题意，三棱锥P ABD -中，6PB PD AB AD BD =====，平面ABD ⊥平面PBD ，取BD 中点E ，连接AE ，PE.则AE PE ==.则PE BD ⊥，又因为平面ABD ⋂平面PBD BD =，PE ⊂平面PBD ，所以PE ⊥平面ABD .同理⊥AE 平面PBD .设F 、G 分别为ABD △、PBD △的中心，则FE GE ==设O 为三棱锥P ABD -的外接球球心.连接OA 、OP 、OF 、OG.则OF ⊥平面ABD ，OG ⊥平面PBD .则//OG AE ，//OF PE .则四边形OFEG为矩形，即OF GE ==AF =则(2222215R AF OF =+=+=.因此三棱锥P ABD -的外接球的表面积为2460R ππ=.故选：D.11．D【分析】首先判断0a >，再分02a <≤和2a >两种情况讨论，求出a 的取值范围，即可得解.【详解】因为()()21,()(2),ax x a f x x x a -<⎧=⎨-≥⎩的值域为R ，当0a =时()()21,(0)(2),0x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，显然值域不为R ，故舍去；当a<0时函数1y ax =-()x a <单调递减，即211ax a ->-，又()220y x =-≥，函数()f x 的值域不为R ，故舍去；所以0a >，此时当x a <时()1f x ax =-，函数单调递增，又函数()22y x =-在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，且2x =时0y =，当02a <≤时，只需满足21002a a ⎧-≥⎨<≤⎩，解得12a ≤≤，当2a >时，只需满足()22122a a a ⎧-≥-⎪⎨>⎪⎩，解得2a >，综上可得1a ≥，即a 的最小值为1.故选：D12．C【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭进行最值分析，对区间2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上进行单调分析；【详解】当π03x <<时，因为0ω>，则ππππ6636x ωω-<-<-，因为函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则πππ362ω->，解得2ω>，当2ππ3x <<时，2πππππ3666x ωωω-<-<-，因为函数()f x 在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则()2πππππ,ππ,π36622k k k ωω⎛⎫⎛⎫--⊆-+∈ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，所以2ππππ,362ππππ,62k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩其中k ∈Z ，解得()312223k k k ω-≤≤+∈Z ，所以312223k k -≤+，解得73k ≤，又因为0ω>，则{}0,1,2k ∈．当0k =时，203ω<≤；当1k =时，513ω≤≤；当2k =时，5823ω≤≤．又因为ω>2，因此ω的取值范围是58,23⎡⎤⎢⎣⎦．故选：C ．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.13．()1,1【分析】依题意可得()111f x x =+-，再根据幂函数的性质及函数的平移变换判断即可.【详解】因为()1111111x x f x x x x -+===+---，则()1x f x x =-的图象可以由函数1y x =向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，因为1y x =为奇函数，函数图象关于原点()0,0对称，所以()f x 关于()1,1对称.故答案为：()1,114【分析】根据圆锥的体积公式以及侧面公式即可求解.【详解】设圆锥的母线和底面圆半径分别为,l r，则圆锥的高为h =，由21=22π2π22S S rl r l r ⇒⨯=⇒=侧底，故h =由221π3π93V r h r h ==⇒=39=，解得r =，15．1（满足1e a ≥的任意实数a 均可）【分析】依题意可得()1e 0x f x a x '=-≥在()1,2恒成立，显然0a >，参变分离可得1e x x a ≤在()1,2恒成立，令()e xg x x =，()1,2x ∈，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围.【详解】对于()e ln x f x a x=-，则()1e xf x a x '=-，因为()e ln x f x a x=-在区间()1,2上单调递增，所以()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2恒成立，显然0a >，所以1e x x a ≤在()1,2恒成立，令()e xg x x =，()1,2x ∈，则()()1e 0x g x x '=+>，所以()g x 在()1,2上单调递增，所以1e a ≤，则1e a ≥或a<0（舍去），所以实数a 的取值范围为1e a ≥.故答案为：1（满足1e a ≥的任意实数a 均可）16．(ln 2,)+∞【分析】利用导数的几何意义得到2ln 1m t t =+-，构造函数2()ln 1g t t t =+-，利用导数研究()g t 的图象性质，将问题转化为()g t 与y m =的图象有两个交点，从而得解.【详解】由1()ln f x xx =+，得211()f x x x '=-+，设切点为1,ln t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则过切点的切线方程为2111()ln y x t t t t t ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，把点(0,)m 代入切线方程，可得2ln 1m t t =+-，令2()ln 1g t t t =+-，则22212()t g t t t t -'=-+=，当(0,2)t ∈时，()0,()'<g t g t 单调递减，当(2,)t ∈+∞时，()0,()'>g t g t 单调递增，所以min ()(2)ln 2g t g ==，又当0t →时，()g t →+∞，当t →+∞时，()g t →+∞，所以若过点(0,)m 有两条直线与曲线()y f x =相切，则()g t 与y m =的图象有两个交点，结合图象可得实数m 的取值范围是(ln 2,)+∞.故答案为：(ln 2,)+∞.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数2()ln 1g t t t =+-，将问题转化为()g t 与y m =的图象有两个交点，从而数形结合即可得解.17．(1)πT =(2)1114【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据6si ππsin n 6θθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦计算可得.【详解】（1）因为()22sin cos 1f x x x x =+-1cos 21x x =-+-12cos 22x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()πππ2sin 22sin 22cos 2662g x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则πππ22cos 22cos 21221267g θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以πcos 671θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以6 sπinπππππsin sin cos cos sin66666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111727214=-⨯=.18．(1)12(2)(4,)+∞【分析】（1）直接求导代入得到12a=，再验证即可；（2）计算出(1)10f=-，(4)2824ln2f=-+，再比较两者大小即可.【详解】（1）因为2()11lnf x x x a x=-+，所以()211(0)af x x xx'=-+>，因为32x=是函数函数()f x的极值点，所以32311023af⎛⎫=-'+=⎪⎝⎭，12a=，此时(4)(23)()(0)x xf x xx--'=>，所以在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x'>，在3,42⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x'<，在(4,)+∞上()0f x'>，所以()f x在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在(4,)+∞上单调递增，此时32x=为函数极值点，故所求a的值为12.（2）当12a=时，()f x在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在(4,)+∞上单调递增，(1)11110f=-=-，(4)164412ln42824ln2f=-+=-+，(1)(4)10(2824ln2)6(3ln16)f f-=----=-，因为3e16>，所以3ln16>，所以(1)(4)f f>，所以c的取值范围(4,)+∞.19．(1)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到2212sin sinB A=，再由正弦定理计算可得；（2）由角平分线的性质得到AB BD AC CD =，令AB BDm AC CD ==()0m >，即可表示出AB ，BD ，CD ，再由余弦定理表示出cos C ，设AC 的中点为E 连接DE ，则DE AC ⊥，在Rt CED 中表示出cos C ，即可得到方程，解得m 即可.【详解】（1）因为12sin sin cos sin cos b B c A B a B C =+，由正弦定理得212sin sin sin cos sin sin cos B C A B A B C =+，即()()2212sin sin sin cos sin cos sin sin sin B A C B B C A B C A=+=+=，所以由正弦定理得2212b a =，又0a >、0b >，则23a b =或23a b =-（舍去）.（2）因为AD 为ABC 的内角平分线，所以1sin 21sin 2ABDADCAD AB BADS BD S CD AD AC CAD ⋅∠==⋅∠ ，所以AB BD AC CD =，设AB BD m AC CD ==()0m >，由6a =，23ab =，所以3b =，则3AB m =，61m BD m =+，61CD m =+，在ABC 中由余弦定理得()22363cos 236mC +-=⨯⨯，设AC 的中点为E 连接DE ，则DE AC ⊥，在Rt CED 中()31cos 12m CEC CD+==，所以()()223633112236mm +-+=⨯⨯，解得3m =或4m =-（舍去），所以3cos 3C =20．(1)2(2)739【分析】（1）连接OG ，根据线面平行的性质定理结合相似三角形即可求；（2）多面体POCDEF 的体积为P OCD E POD E POF V V V V ---=++，再根据锥体体积公式，结合线面垂直的判定和性质求解即可.【详解】（1）连接OG ，由题意，OG 与PB 的交点即为点F ，连接EF ，因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ,又因为AD ⊄面PBC ，BC ⊂面PBC ，所以//AD 面PBC ，因为平面PBC ⋂平面PAD l =，AD ⊂面PAD ，所以//AD l ，又E 为PA 中点，所以GPE DAE ≅ ，所以AD GP =，又因为//AD BC 且=AD BC ，所以//GP BC 且=GP BC ，所以OBF GPF ，因为O 是BC 中点，所以2PF GPFB OB ==.（2）连接OP ，OE ，所以多面体POCDEF 的体积为P OCD E POD E POFV V V V ---=++因为2PB PC ==，O 是BC 中点，所以PO BC ⊥，PO ==又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥面ABCD ，所以11112332P OCD OCD V S PO -=⨯⨯=⨯⨯⨯△，因为E 为PA 中点，所以11111322222323E POD A POD P OAD V V V ---===⨯⨯⨯⨯=，由（1）可知12FB PF =，所以2211113123323329E POF E POB A POB V V V ---==⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以多面体POCDEF的体积为V =.21．(1)证明见解析；(2)(2,)+∞.【分析】（1）通过导函数在给定区间上的符号即可判断；（2）先通过函数图像过原点及奇偶性，将条件进行等价转化，再进行换元，对a 的取值依次分类讨论，运用零点存在定理得出结论.【详解】（1）由()tan f x x ax =-求导得21(),cos f x a x '=-π(0,),cos (0,1),2x x ∈∴∈ 故有211,cos x >而1a ≤，则()0,f x '>故()tan f x x ax =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，()(0)0.f x f >=（2）由()()sin tan sing x f x x x ax x=+=-+，在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有三个零点，因(0)0,g =且由()()g x g x -=可知()g x 为奇函数，故只需使()g x 在π(0,2上有且只有一个零点.232211cos cos π()cos ,(0,)cos cos 2a x x g x a x x x x -+'=-+=∈ 不妨设cos ,t x =则(0,1)t ∈，记23()1.h t at t =-+①当0a ≤时，23()10,h t at t =-+>故()0,g x '>()g x 在π(0,)2上递增，()(0)0,g x g >=此时()g x 在π(0,)2上无零点，不合题意；②当0a >时，2()32(32),h t t at t t a '=-=-由得：0=t 或2.3t a =<1>当213a <时，即302a <<时，若2(0,)3t a ∈，()0h t '<，若2(,1)3a t ∈，()0h t '>，故()h t 在2(0,)3a 上递减，在2(,1)3a 上递增，则2()(),3h t h a ≥而324()1,327h a a =-又302a <<，24271()10,32782f a ∴>-⨯=>()0h t ∴>在(0,1)上恒成立，故()0,g x '>()g x 在π(0,)2上递增，此时，()g x 在π(0,)2上无零点，不合题意；<2>当213a ≥时，即32a ≥时，若(0,1)t ∈，()0h t '<，则()h t 在(0,1)上递减，(1)()(0),h h t h <<即：2()1a h t -<<.（Ⅰ）当20a -≥时，()0h t >，即()0,g x '>()g x 在π(0,2上递增，此时，()g x 在π(0,)2上无零点，不合题意；（Ⅱ）当20a -<时，2a >，因(0)1,(1)20,h h a ==-<由零点存在定理，0(0,1),t ∃∈使0()0,h t =当0(0,)t t ∈时，()0,()0,h t g x '>>()g x 递增，当0(,1)t t ∈时，()0,()0,h t g x '<<()g x 递减；令00cos ,t x =即当0π(,)2x x ∈时，0(0,)t t ∈，()0,()h t g x >递增，当0(0,)x x ∈时，0(,1)t t ∈，()0,()h t g x <递减，故0()(0)0g x g <=，又π2x →时，(),g x →+∞由零点存在定理，此时，()g x 在π(0,2上有且只有一个零点.综上，实数a 的取值范围为：(2,).+∞【点睛】关键点点睛：本题考查含多个三角函数的零点个数问题，关键点是对原函数求导后要对余弦进行换元处理，减少运算量，便于后续就导函数中参数a 范围的分类讨论.22．(1)2cos ρα=【分析】（1）首先将2C 的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；（2）设点P 、Q 的极坐标分别为()11,ρθ、()22,ρθ，即可求出P 、Q 的极坐标，从而求出PQ ，再将曲线3C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出点M 到直线的距离，即可求出面积.【详解】（1）曲线21cos :sin x C y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）消去参数可得()2211x y -+=，又cos sin x y ραρα=⎧⎨=⎩，代入上式得()()22cos 1sin 1ραρα-+=，整理得2cos ρα=，即2C 的极坐标方程为2cos ρα=.（2）设点P 、Q 的极坐标分别为()11,ρθ、()22,ρθ，由111π3πsin 3θρθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得11π33θρ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即P 的极坐标为π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，由222π32cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22π31θρ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即Q 的极坐标为π1,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以122PQ ρρ=-=，曲线3C 的极坐标方程为π3θ=，则曲线3C的直接坐标方程为y =，则点M 到曲线3C 的距离d ==，所以122MPQ S == 23．(1)[]2,4-(2)证明见解析【分析】（1）首先将函数写成分段函数，再分段得到不等式，解得即可；（2）由（1）可得1m =，再利用乘“1”法及基本不等式证明即可.【详解】（1）因为23,2()211,0221,0x x f x x x x x x -≥⎧⎪=+--=<<⎨⎪-+≤⎩，所以不等式()5f x ≤等价于2352x x -≤⎧⎨≥⎩或1502x ≤⎧⎨<<⎩或2150x x -+≤⎧⎨≤⎩，解得24x ≤≤或02x <<或20x -≤≤，综上可得不等式()5f x ≤的解集为[]2,4-.（2）由（1）可得()min 1f x =，当且仅当02x ≤≤时取得，所以1a b +=，又0a >，0b >，所以2211111111a b a b a b a b +=-++-+++++()()11111113a b a b +++⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭11112311a b b a +⎛⎫=-+++ ⎪++⎝⎭111233⎛⎫≥-+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1111b a a b ++=++，即12a b ==时等号成立，所以原不等式成立.。
四川省泸州市2024届高三上学期一诊模拟(二)数学(文)试题(解析版)
泸州老窖高2021级高三上期一诊模拟(二)数学（文科）（答案在最后）第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}|2B x x =≤，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,2,3 D.{}1,2,3,4解：由题意知A B = {}1,2.故选：B2.已知34a =，2log 3b =，则ab =（）A .2 B.9C.4D.5解：因为34a =，所以3log 4a =，所以322lg 2lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⨯=⨯=.故选：A3．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β解：对于A 选项，设α∩β＝a ，若l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，此时α与β相交，故A 选项错误；对于B 选项，l ∥α，l ⊥β，则存在直线a ⊂α，使得l ∥a ，此时a ⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B 选项正确；对于C 选项，若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β或l ⊂β，故C 选项错误；对于D 选项，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系不确定，故D 选项错误．选B.答案：B4.当某种药物的浓度大于100mg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L （安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L ，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈，lg86 1.935≈）A.4小时 B.6小时 C.8小时 D.12小时【分析】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y -=⨯-，由题意可得()160010.14100n -⨯-<，两边取常用对数求解即可.解：设n 小时后药物浓度为()160010.14n y-=⨯-若n 小时后药物浓度小于100mg/L ，则需再服药.由题意可得()160010.14100n -⨯-<，即110.866n -<所以()1lg 0.86lg 6n -<-，则lg 6lg 2lg 30.3010.4770.778111.969lg 0.86lg 86lg100 1.93520.065n -++->=-=-=≈--所以12.969n >所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适故选：D5.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）A .()1,0- B.[]0,1C.(]()10,-∞-+∞ , D.(](),11,-∞-⋃+∞解：若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则201440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A 6.已知π3sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.33- D.33解：因为22πππ31cos 2=cos212sin 1236633ααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2πππ1cos 2cos π2cos 23333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A.7．若1a b >>，01c <<，则（C）A ．c ca b <B ．c cab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a b c c<解：用特殊值法，令a =3，b =2，12c =，可知选项A 错误；11223223⨯>⨯，选项B 错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误.故选C.考点：指数函数与对数函数的性质8.如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=-，D 是BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为（）A ．94πB ．52πC ．92πD ．5π且长方体的长、宽、高分别为1、2、2，设三棱锥C ABD '-外接球的半径为R ，则2222222(2)1(2)(2)5R DA DB DC '=++=++=.所以，三棱锥C ABD '-外接球的表面积为24π5πS R ==.故选D.9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A ．32B ．72C ．2D ．3【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.解：将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝3（km ），CD ＝33（km ），在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，∠BED ＝150°，则两山顶A 、C 之间的距离为（）A ．63(km)B ．53(km)C(km)D(km)【分析】先计算BE ，DE ，利用余弦定理计算BD ，再利用勾股定理计算AC ．解：在Rt △ABE 中，∵AB＝，CD ＝3，∠AEB ＝30°，∠CED ＝45°，∴BE ＝3，DE ＝3，又∠BED ＝150°，∴BD ＝＝3，过A 作AF ⊥CD 于F ，则AF ＝BD ＝3，CF ＝CD ﹣AB ＝2，∴AC＝＝＝5（km ）．故选：B ．11.已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（）A．BC ．1D ．e【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.解：函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P '=+=⇒=⇒=⇒，所以min PQ==故选：A12.若函数f (x )的定义域为R ，且f (2x +1)为偶函数，f (x –1)的图象关于点(3，3)成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①f (x )的一个周期为2；②f (22)=3；③f (x )图象的一条对称轴为x =5；④191()57i f i ==∑.A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.曲线e cos x y x =在0x =处的切线方程为_____．【答案】10x y -+=【分析】根据导数的几何意义即得.解：因为e cos x y x =，所以si e c s e n o x x y x x -⋅'⋅=，当0x =时，00e cos 0e sin 0=1y '=-⋅⋅，0co e s 01y ==，故切线方程为：()110y x -=⨯-，即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解：由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C 1ABCD )，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC 1.由正方体棱长AB ＝2知最长棱AC 1的长为2 3.答案：2315.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=___________．255-解：∵()f x =sin 2cos x x -5(sin cos )55x x -令cos ϕ=5，sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=5-.则下列结论中正确的有①//AF 平面1A DE③1A ，D ，E ，H 四点共面【答案】①③【分析】取1A D 的中点的中点N ，连接NG ，延长面1A DP 相交，可判断②；显然不成立可判断④.如上图，取1A D 的中点M ，连接AM //AM ，=EF AM ，则四边形⊄平面1A DE ，ME ⊂平面如上图，取11D C 的中点N ，连接NG ，延长DE 与11D C 交与点P ，连接1A P ，因为11//=A A NG A A NG ，，所以四边形1A AGN 是平行四边形，可得1//A N AG ，因为1A ∈平面1A DP ，N ∉平面1A DP ，所以直线1A N 与平面1A DP 相交，所以AG 与平面1A DE 相交，故②错误；如下图，连接EH ，则1//EH B C ，11//A D B C ，所以1//EH A D ，可得1A ，D ，E ，H 四点共面，故③正确；若1A ，D ，E ，1C 四点共面，则11//A D C E ，显然不成立，所以④错误.故填：①③.PAB，平面AEF，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.的极坐标；，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到30,2MOK ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.。
2019-2020学年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)
四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x |﹣1＜x ≤2，x ∈N }，B={2，3}，则A ∩B=（ ） A ．{0，1，2，3} B ．{2} C ．{﹣1，0，1，2} D ．∅2．（5分）“x ＞0”是“x +1＞0”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）已知tan （）=，则tanα的值为（ ） A ．B ．C ．3D ．﹣34．（5分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱所在直线与直线BA 1是异面直线的条数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．（5分）定义在R 上的函数f （x ）=﹣x 3+m 与函数g （x ）=f （x ）﹣kx 在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，﹣3]C ．[﹣3，+∞）D ．[0，+∞）6．（5分）函数y=xln |x |的大致图象是（ ）A ．B ．C．D ．7．（5分）设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．α∥β，a ⊂α，则a ∥βB ．a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b祝您高考马到成功！C ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥βD ．a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α 8．（5分）已知函数y=sin （2x +φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos （2x +φ）的图象（ ） A ．关于点（，0）对称 B ．关于点（，0）对称 C ．关于直线x=对称 D ．关于直线x=对称9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4π B ．36π C ．48π D ．24π 10．（5分）已知函数f （x ）=x （2x ），若f （x ﹣1）＞f （x ），则x 的取值范围是（ ） A ．（） B ．（） C ．（） D ．（）11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（5分）函数f （x ）=x ﹣ln （x +2）+e x ﹣a +4e a ﹣x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0使f （x 0）=3成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln2 B ．ln2﹣1 C ．﹣ln2 D ．﹣ln2﹣1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα= ．祝您高考马到成功！14．（5分）设函数f （x ）=，若f （a ）=9，则a 的值 ．15．（5分）如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为30°，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为45°，则此山的高CD= m ．16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x +a 的最大值为．（1）求a 的值；（2）求f （x ）≥0使成立的x 的集合．18．（12分）设f （x ）=ae x ﹣cosx ，其中a ∈R ．（1）求证：曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线过定点；（2）若函数f （x ）在（0，）上存在极值，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinA=2sin （A +B ），它的面积S=c 2．（1）求sinB 的值；（2）若D 是BC 边上的一点，cos，求的值．20．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC=90°，祝您高考马到成功！AD=SD ，BC=CD=，侧面SAD ⊥底面ABCD ．（1）求证：平面SBD ⊥平面SAD ；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S ﹣BCD 的体积为，求侧面△SAB 的面积．21．（12分）已知函数f （x ）=﹣ax +alnx ．（Ⅰ）当a ＜0时，论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f （x ）=+m （m ＜﹣2）有两个相异实根x 1，x 2，且x 1＜x 2．证明x 1＜．请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C 的极坐标方程为ρ=4acosθ（a ＞0）．（1）设t 为参数，若y=﹣2，求直线l 参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ，设M （0，），且|PQ |2=|MP |•|MQ |，求实数a 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|a ﹣3x |﹣|2+x |． （1）若a=2，解不等式f （x ）≤3；（2）若存在实数a ，使得不等式f （x ）≤1﹣a ﹣4|2+x |成立，求实数a 的取值范围．祝您高考马到成功！四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x |﹣1＜x ≤2，x ∈N }，B={2，3}，则A ∩B=（ ）A ．{0，1，2，3}B ．{2}C ．{﹣1，0，1，2}D ．∅【解答】解：∵集合A={x |﹣1＜x ≤2，x ∈N }={0，1，2}，B={2，3}， ∴A ∩B={2}． 故选：B ．2．（5分）“x ＞0”是“x +1＞0”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：“x +1＞0”⇔“x ＞﹣1”，故“x ＞0”是“x +1＞0”的充分不必要条件，故选：B ．3．（5分）已知tan （）=，则tanα的值为（ ） A ． B ． C ．3D ．﹣3【解答】解：由tan （）=，得，∴，解得tanα=．故选：A ．4．（5分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱所在直线与直线BA 1是异面直线的条数为（ ）祝您高考马到成功！A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由右边的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， 直线CD ，C 1D 1，C 1C ，D 1D ，B 1C 1，AD ， 共有6条直线与直线BA 1是异面直线， 故选：C ．5．（5分）定义在R 上的函数f （x ）=﹣x 3+m 与函数g （x ）=f （x ）﹣kx 在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，﹣3]C ．[﹣3，+∞）D ．[0，+∞）【解答】解：f′（x ）=﹣3x 2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f （x ）在[﹣1，1]递减， 结合题意g （x ）=﹣x 3+m ﹣kx 在[﹣1，1]递减， 故g′（x ）=﹣3x 2﹣k ≤0在[﹣1，1]恒成立， 故k ≥﹣3x 2在[﹣1，1]恒成立，故k ≥0， 故选：D ．6．（5分）函数y=xln |x |的大致图象是（ ）A ．B ．C．祝您高考马到成功！D ．【解答】解：令f （x ）=xln |x |，易知f （﹣x ）=﹣xln |﹣x |=﹣xln |x |=﹣f （x ），所以该函数是奇函数，排除选项B ；又x ＞0时，f （x ）=xlnx ，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D 选项；令f （x ）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x ＞0时，函数图象与x 轴只有一个交点，所以C 选项满足题意． 故选：C ．7．（5分）设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．α∥β，a ⊂α，则a ∥βB ．a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥bC ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥βD ．a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α【解答】解：由a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A 中，α∥β，a ⊂α，则由直线与平面平行的判定定理得a ∥β，故A 正确；在B 中，a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 平行或异面，故B 错误；在C 中，a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α或a ⊂α，故D 错误．故选：A ．8．（5分）已知函数y=sin （2x +φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos （2x +φ）的图象（ ） A ．关于点（，0）对称 B ．关于点（，0）对称C ．关于直线x=对称 D ．关于直线x=对称【解答】解：∵函数y=sin （2x +φ）在x=处取得最大值，∴sin （+φ）=1，∴cos （+φ）=0，∴函数y=cos （2x +φ）的图象关于点（，0）对称，故选：A ．祝您高考马到成功！9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4π B ．36π C ．48π D ．24π 【解答】解：设球的半径为R ， 则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=，∴R 2=（R ﹣h ）2+r 2，即R 2=（R ﹣5）2+5， 解得：R=3，故该球的表面积S=4πR 2=36π， 故选：B10．（5分）已知函数f （x ）=x （2x ），若f （x ﹣1）＞f （x ），则x 的取值范围是（ ） A ．（） B ．（） C ．（） D ．（）【解答】解：x ＞0时，f （x ）在（0，+∞）递增， 而f （﹣x ）=f （x ），f （x ）是偶函数，故f （x ）在（﹣∞，0）递减，若f （x ﹣1）＞f （x ），则|x ﹣1|＞|x |，即（x ﹣1）2＞x 2，解得：x ＜，故选：A ．11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体， 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：， 半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π， 故组合体的体积V=+π， 故选：D12．（5分）函数f （x ）=x ﹣ln （x +2）+e x ﹣a +4e a ﹣x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0使f （x 0）=3成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln2B ．ln2﹣1C ．﹣ln2D ．﹣ln2﹣1【解答】解：令f （x ）=x ﹣ln （x +2）+e x ﹣a +4e a ﹣x ，令g （x ）=x ﹣ln （x +2），g′（x ）=1﹣=，故g （x ）=x ﹣ln （x +2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，g （x ）有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a +ln2时，等号成立）； 故f （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a +ln2=﹣1， 即a=﹣1﹣ln2． 故选：D ．祝您高考马到成功！二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα= ﹣ ． 【解答】解：∵sinα+cosα=， ∴（sinα+cosα）2=， ∴1+2sinαcosα=， 解得sinαcosα=﹣， 故答案为：﹣．14．（5分）设函数f （x ）=，若f （a ）=9，则a 的值 3 ．【解答】解：若a ＞2，由f （a ）=9，得2a +1=9，得a=3，若0＜a ≤2，由f （a ）=9，得log 2a +4=9，得a=32，舍去．综上a=3，故答案为：3．15．（5分）如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为30°，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为45°，则此山的高CD= 150m ．【解答】解：设此山高h （m ），由题意在点A 处时测得点D 的仰角为30°，得AC=h ，在△ABC 中，∠CBA=90°，测得点D 的仰角为45°， ∴BC=h ，AB=300．根据勾股定理得，3h 2=h 2+90000，祝您高考马到成功！∴h=150． 即CD=150m ．故答案为：150．16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 （，） ．【解答】解：长方体ABCD ﹣EFGH ，若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ；而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱G ﹣EHD 的体积，并且小于长方体ABCD ﹣EFGH 体积﹣三棱柱B ﹣AFC 体积1﹣=， 故答案为：（，）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x +a 的最大值为．（1）求a 的值；祝您高考马到成功！（2）求f （x ）≥0使成立的x 的集合． 【解答】解：（1）∵f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x +a==， ∴=，∴a=；（2）由（1）知，f （x ）=，由f （x ）≥0，得≥0，即，k ∈Z ． ∴，k ∈Z ．∴f （x ）≥0成立的x 的集合为[]，k ∈Z ．18．（12分）设f （x ）=ae x ﹣cosx ，其中a ∈R ．（1）求证：曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线过定点； （2）若函数f （x ）在（0，）上存在极值，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）设f （x ）=ae x ﹣cosx ，其中a ∈R ．可得f′（x ）=ae x +sinx ，f′（0）=a ，f （0）=a ﹣1，曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为：y ﹣（a ﹣1）=ax ，即a （x +1）﹣（y +1）=0，切线恒过（﹣1，﹣1）点．（2）由（1）可知：f′（x ）=ae x +sinx=0，函数f （x ）在（0，）上存在极值，说明方程有解， 可得a=，令h （x ）=，h′（x ）=，x ∈（0，），祝您高考马到成功！当x ∈（0，）时，h′（x ）＜0，函数是减函数， 当x ∈（，）时，h′（x ）＞0，函数是增函数，函数的最小值为：=，函数的最大值为：x=0时的函数值，即：h （0）=0．所以实数a 的取值范围：[，0）．19．（12分）如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinA=2sin （A +B ），它的面积S=c 2．（1）求sinB 的值；（2）若D 是BC 边上的一点，cos，求的值．【解答】解：（1）∵sinA=2sin （A +B ），∴sinA=2sinC ，a=2c ，∴S=sinB•c•2c=c 2， 故sinB=；（2）由（1）sinB=，cos ，∴cosB=，sin ∠ADB=，∴sin ∠BAD=sin （B +∠ADB ）=sinBcos ∠ADB +cosBsin ∠ADB =×+×=，祝您高考马到成功！由=，得：=，解得：BD=c ，故=3．20．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC=90°，AD=SD ，BC=CD=，侧面SAD ⊥底面ABCD ．（1）求证：平面SBD ⊥平面SAD ；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S ﹣BCD 的体积为，求侧面△SAB 的面积．【解答】（1）证明：在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC=90°，BC=CD=，设BC=a ，则CD=a ，AB=2a ，在直角三角形BCD 中，∠BCD=90°，可得BD=a ，∠CBD=45°，∠ABD=45°，由余弦定理可得AD==a ，则BD ⊥AD ，由面SAD ⊥底面ABCD ．可得BD ⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，可得平面SBD ⊥平面SAD ； （2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S ﹣BCD 的体积为，由AD=SD=a ，在△SAD 中，可得SA=2SDsin60°=a ，△SAD 的边AD 上的高SH=SDsin60°=a ，由SH ⊥平面BCD ，可得 ×a ××a 2=，祝您高考马到成功！解得a=1，由BD ⊥平面SAD ，可得BD ⊥SD ， SB===2a ，又AB=2a ，在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为=a ，则△SAB 的面积为×SA ×a=a=．21．（12分）已知函数f （x ）=﹣ax +alnx ．（Ⅰ）当a ＜0时，论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f （x ）=+m （m ＜﹣2）有两个相异实根x 1，x 2，且x 1＜x 2．证明x 1＜．【解答】（Ⅰ）解：函数f （x ）=﹣ax +alnx （a ＞0）的定义域为（0，+∞）f′（x ）=x ﹣a +=，（a ＜0），△=a 2﹣4a ．当a ＜0时，△＞0，f′（x ）=0的根＜0，＞0x ∈（0，x 2）时，f′（x ）＜0，x ∈（x 2，+∞）时，f′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，x 2）递减，（x 2，+∞）上单调递增， （Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f （x ）=+m （m ＜﹣2）有两个相异实根x 1，x 2⇔方程lnx ﹣x ﹣m=0（m ＜﹣2）有两个相异实根x 1，x 2．祝您高考马到成功！令g （x ）=lnx ﹣x ﹣m ，定义域为（0，+∞），g′（x ）=﹣1 令g′（x ）＜0得x ＞1，令g′（x ）＞0得0＜x ＜1所以函数g （x ）=lnx ﹣x ﹣m 的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）， 又lnx 1﹣x 1﹣m=lnx 2﹣x 2﹣m=0， 由题意可知lnx 2﹣x 2=m ＜﹣2＜ln2﹣2，又可知g （x ）=lnx ﹣x ﹣m 在（1，+∞）递减，故x 2＞2，令h （x ）=g （x ）﹣g （），（x ＞2）， h （x ）=g （x ）﹣g （）=）=﹣x ++3lnx ﹣ln2（x ＞2），h′（x ）=﹣，当x ＞2时，h′（x ）＜0，h （x ）是减函数，所以h （x ）＜h （2）=2ln2﹣＜0． 所以当x 2＞2 时，g （x 2）﹣g （）＜0，即g （x 1）＜g （），因为g （x ）在（0，1）上单调递增，所以x 1＜，请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C 的极坐标方程为ρ=4acosθ（a ＞0）． （1）设t 为参数，若y=﹣2，求直线l 参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ，设M （0，），且|PQ |2=|MP |•|MQ |，求实数a 的值． 【解答】解：（1）由=3，即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3，直线l 的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x ﹣y ﹣6=0．祝您高考马到成功！∵y=﹣2+t ，∴x=y +6=t ，∴直线l 的参数方程为：（t 为参数）．（2）曲线C 的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4ax=0．将（1）中的直线参数方程代x 2+y 2﹣4ax=0，并整理得：t 2﹣2（1+a ）t +12=0，又△=12（1+a ）2﹣4×12=12（a 2+2a ﹣3）＞0，解得：a ＞1， 设P 、Q 对应参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=2（1+a ），t 1•t 2=12，由t 的几何意义得|PQ |2=|t 1﹣t 2|2=（t 1+t 2）2﹣4t 1•t 2=12（1+a ）2﹣4×12，|MP |•|MQ |=|t 1|•|t 2|=|t 1t 2|=12，所以12（1+a ）2﹣4×12=12，解得：a=﹣1，∴实数a 的值﹣1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|a ﹣3x |﹣|2+x |． （1）若a=2，解不等式f （x ）≤3；（2）若存在实数a ，使得不等式f （x ）≤1﹣a ﹣4|2+x |成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f （x ）=|3x ﹣2|﹣|x +2|≤3， 可得或或，解得：﹣≤x ≤；故不等式的解集是[﹣，]；（2）不等式f （x ）≤1﹣a ﹣4|2+x |成立， 即|3x ﹣a |﹣|3x +6|≤1﹣a ， 由绝对值不等式的性质可得：||3x ﹣a |﹣|3x +6||≤|（3x ﹣a ）﹣（3x +6）|=|a +6|， 即有f （x ）的最大值为|a +6|，祝您高考马到成功！∴或，解得：a≥﹣．！功成到马考高您祝。
四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文科)试题11.23(含答案)
D．4
11．在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中， E ， F 分别为 C1D1 ， B1C1 的中点， O ， M 分别为 BD ， EF 的
中点，则下列说法错误的是 A. 四点 B、D、E、F 在同一平面内 B. 三条直线 BF ， DE ， CC1 有公共点 C. 直线 A1C 上存在点 N 使 M ， N ， O 三点共线 D. 直线 A1C 与直线 OF 不是异面直线
则 tan( − ) = ___________．
16．已知直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的所有棱长均为 4，且 ABC = 120 ，点 E 是棱 BC 的中点，
则过 E 且与 BD1 垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) = 3 sin x − 2cos2 x +1． 2
（Ⅰ）若 f ( ) = 2 3 f ( + ) ，求 tan 的值； 6
（Ⅱ）若函数 f (x) 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 1 倍得到函数 g(x) 的图象，求函 2
第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、 选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的．
1．已知集合 A = {1, 2,3, 4}， B = x | x = 2n −1, n N ，则 A B =
A． 3
B． 1, 3
2021届四川省泸州市高三第一次诊断性考试数学(文)试题Word版含解析
2021届四川省泸州市高三第一次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|12,}A x x x N =-<≤∈， {}2,3B =，则A B ⋂=（ ）A. {}0,1,2,3B. {}2C. {}1,0,1,2-D. ∅【答案】B【解析】由题意得{}{}|12,0,1,2A x x x N =-<≤∈=,∴{}{}{}0,1,22,32A B ⋂=⋂=。
选B 。
2．“0x >”是“10x +>”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】“10x +>”即为“1x >-”。
所以当“0x >”时“1x >-”成立，反之不一定成立。
因此“0x >”是“10x +>”的充分不必要条件。
选B 。
3．若1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值为（ ） A. 13- B. 13C. 3D. 3- 【答案】A 【解析】1tan()tan 11442tan tan[()]14431tan[()tan 11442ππαππααππα+--=+-===--++⨯，选A 。
（也可将tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开直接求tan α。
） 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，棱所在直线与直线1BA 是异面直线的条数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中与棱1BA 所在直线是异面直线的有1111,,,,DC DA D C D A 11,DD CC ，共6条。
选C 。
点睛：（1）异面直线是指不同在任何一个平面内的直线，而不是指在两个平面内的直线，注意“任意”一词的含义。
（2）判断异面直线时常用的结论是：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
5．定义在R 上的函数()3f x x m =-+与函数()()g x f x kx =-在[]1,1-上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. (],3-∞-C. [)3,-+∞D. [)0,+∞【答案】D【解析】由题意知，函数()3f x x m =-+在R 上单调递减。
四川省泸州市高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题文(含解析)
数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.命题“，”的否定是A. 不存在，使B. ，使C. ，使D. ，使【答案】D【解析】【分析】利用全称命题“”的否定为特称命题“”可得结果.【详解】全称命题的否定是特称命题，否定全称命题要改全称量词为存在量词,“，”的否定是，使，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.设，，，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4.已知函数，则函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，故选C.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．5.函数的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，故选D.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】7.实数，满足，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法则可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数的性质与对数的运算法则，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.在中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，表面积为两个圆锥侧面积的和，，故选A.【点睛】求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 16B. 8C. 4D. 20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考查数形结合思想的应用，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，则，要使的值域为，则，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，则，在上递增，在上递减，要使的值域为，则，，又，的范围是，故选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：（1）求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据单调性可得函数的极值，如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（3）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】本题主要考查对数的基本性质，意在考查对基础知识的理解与运用，属于简单题.14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．15.已知函数，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，，，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.（1）若，求的值；（2）的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】（1）由，则，且，由正弦定理，因为，所以，所以，（2），∴，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）。
2019年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）
2019年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合山={—1,0,2,3},B={y\y2x],贝!UnB=()A.{—1,0,2,3}B.{2,3}C.{0,2,3}D.{3}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合4,B,由此能求出AHB.【解答】集合A={-1,0,2,3},B={y|y2X}={y|y>0},A n B={2,3}.2,命题“Vx ER,e>x”的否定是()A.Sx G R,e x<xB.Vx G R,e x<xC.Vx e R,e x<xD.3x E R,e x<x【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题G R,e>x"的否定是：三牛e R, e x<x.故选：D.3.设a=ln7T,b=ln|,c=(|)2,则下列关系正确的是()A.a>b>c S.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】111Q=ln7r>l,&=ln-0,c=(-)2e(0,1).a>c>b.4.已知函数产3）=浅云，则函数f （x ）的最小正周期为（）A -B -C.7TD.27T"4"2【答案】B【考点】三角函数的周期性【解析】切化弦，结合二倍角公式，利用周期公式可得答案；【解答】sinx o -----COS ’Xcosx函数 f (x) = tanx 一'、' l-tan 2x cos 2x-sin 2xsinxcosx 1 . 二------=-tanzx-c 2cos2x定义域满足：tan 2%。
四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试文科数学(一模)答案
四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试文科数学（一模）答案1．【答案】B 【分析】直接利用交集的定义求解. 【解析】由题得{}{}21,1,1,3,5,7,B x x n n ==-∈=-N ，所以AB ={}1,3.故选：B2．【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】由2a a =得：0a =或1，则“1a =”是“2a a =”的充分不必要条件.故选：A . 3．【答案】A 【分析】利用指对数函数的性质，确定a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系.【解析】由3log 51a =>，1ln02b =<， 1.10 1.51c -<=<，可知a c b >>.故选：A 4．【答案】C 【分析】由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．【解析】由题意得：()()()222log 1log 19960%log 199W W W λ+-+≈+， 则()22log 1 1.6log 100λ+≈， 1.6 3.230.211001*********λ+≈==⋅≈，1579λ∴≈故选：C5．【答案】D 【分析】利用初等函数的奇偶性逐一分析选项，利用导数判断含有三角函数的单调性即可.【解析】解：A 选项：1()f x x=为奇函数，在(),0-∞和()0,∞+上单调递减，故A 错误；B 选项：()sin f x x =定义域为(),-∞+∞，但在定义域上不单调，故B 错误；C 选项：()cos f x x x =，定义域为(),-∞+∞且为奇函数，取10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10f x >，取 2,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()20f x <，12x x <，()()12f x f x >，在()0,∞+上不是单调增函数，故C 错误；D 选项：()sin f x x x =+，定义域为(),-∞+∞且为奇函数，'()1cos 0f x x =+≥，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增，故D 正确.故选：D.6．【答案】A 【分析】由三视图确定几何体为圆锥体，应用圆锥体侧面积公式求面积即可.【解析】由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体， ∴其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半径的扇形，故几何体的侧面积为122S π==，故选：A 7．【答案】B 【分析】由已知得112232T ππω==⨯，解之可得选项． 【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，则由已知得112232T ππω==⨯，解得3ω=，故选：B ．8．【答案】A 【分析】由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案.【解析】由题得函数的定义域为R , 因为3()()x xxf x f x e e ---==-+，所以函数是奇函数，所以排除B ；当0x >时，()0f x >，所以排除C ； 当x →+∞时，()0f x →，所以选A . 故选：A9．【答案】C 【分析】由题意，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内，得到四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球，结合长方体的性质，求得球的半径，根据球的面积公式，即可求解.【解析】由题意，四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形， 3AB =且AB ⊥平面BCDE ，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R ，可得2R =，解得R =，所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=4(172S R πππ⨯=.故选：C.10．【答案】C 【分析】由题设可知()f x 的周期为2，关于1x =对称的偶函数，结合已知区间的解析式及()g x x =，可得两函数图象，即知图象交点个数. 【解析】由题意知：()f x 的周期为2，关于1x =对称，且(2(2))()(2)()f x f x f x f x -+=-=+=，∴()f x 为偶函数，即可得()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 交于(1,1),(0,0),(1,1)-三点， 故选：C11．【答案】C 【分析】利用两条平行线确定一个平面可判断A ；利用点共线公理可判断B ；根据异面直线的定义可判断C ；连接OM 可判断D. 【解析】作出图象，如图：对于A ，连接11B D ，则11//B D BD ，11//B D EF ，所以//BD EF ， 所以四点B ，D ，E ，F 在同一平面内，故A 正确； 对于B ，延长,BF DE ，则,BF DE 相交于点P ， 又BF ⊂平面11BCC B ，DE ⊂平面11DD C C ， 则P ∈平面11BCC B ，P ∈平面11DD C C ， 且平面11BCC B 平面111DD C C CC =，所以1P CC ⊂，即三条直线BF ，DE ，1CC 有公共点，故B 正确； 对于C ，直线1A C 为正方体的体对角线，所以直线1A C 与直线OF 不可能在同一平面内，所以直线1A C 与直线OF 是异面直线，故C 错误； 对于D ， 11,,,A O C C 均在平面11AAC C 内，连接OM ，则OM 与1A C 相交， 所以直线1A C 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线，故D 正确； 故选：C12．【答案】D 【分析】根据导数判断函数的单调性，画出函数的大致形状，然后根据题意进行求解即可.【解析】32'212()()2()3f x ax x f x ax x ax x a=+⇒=+=+， 因为0a >，所以当0x >或2x a<-时，'()0f x >，()f x 单调递增，当20x a-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，()00f x x =⇒=或3x a=-，函数图象大致如下图所示：因为存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以有21221(1)1(1)()2a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，或312(2)2a a -<-<-， 解(1)得：1847x <<，解(2)得46x <<，故选：D 二、填空题13．【答案】3【分析】根据解析式求出()11f -=，再求出()1f 即可. 【解析】23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，()1231f ∴-=-+=，()()()11213f f f ∴-==+=.故答案为：314．【答案】0【分析】由二次函数、对数函数的单调性确定复合函数的单调性，进而求最值即可【解析】由2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，且02x <<，∴令21(1)()x t x --=+，()ln f t t =，即()t x 在01x <<为单调递增，12x <<为单调递减，而()f t 为增函数，∴()f x 在01x <<上单调递增，12x <<上单调递减，max ()(1)0f x f ==，故答案为：015．【答案】43-【分析】由题意得βπα=-，然后由tan()t an 2αβα-=求解. 【解析】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，且tan 2α=， 所以βπα=-，所以22t an 4tan()tan(2)t an 21-t an 3ααβαπαα-=-===-，故答案为：43-16．【解析】由题意，取AB 的中点F ，在1BB 取点M ，使得1BM =，分别连接,,EF ME MF ，且BD 与EF 交于点N ，连接MN ， 因为底面ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥，又由,E F 是,BC AB 的中点，可得//EF AC ，所以EF BD ⊥，因为直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1EF BB ⊥，所以EF ⊥平面11BDD B ，又由1BD ⊂平面11BDD B ，可得1EF BD ⊥，在正方形11BDD B 中，可得11BD B D ⊥，因为1//MN B D ，可得1MN BD ⊥， 从而得到1BD ⊥平面MEF ，此时MEF 为等腰三角形， 在直角BME 中，2,1BE BM ==，可得5ME =， 又由111433244EN EF AC ===⨯=， 在直角MNE 中，可得222MN ME NE =-=， 所以截面的面积为11232622S EF MN =⋅=⨯⨯=. 故答案为：6.三、解答题17．【分析】（Ⅰ）先将函数解析式整理，得到()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题中条件，结合三角恒等变换，即可得出结果；（Ⅱ）先根据三角函数的伸缩变换，得到()g x 的解析式，再结合正弦函数的性质，即可求出结果.【解析】解：（Ⅰ）2()32cos12x f x x =-+ 3cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()236f παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以sin 236παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即31cos 2322ααα-=，所以33cos αα-=，所以3tan 9α=-；（Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象， 所以()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭， 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1()2g x -≤≤ 故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-. 18．【分析】（1）求出2f k π⎛⎫'= ⎪⎝⎭即得k 的值，求出22kf b ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即得b 的值； （2）先证明()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为单调递增函数且图象连续不断，再求出(0)30f =-<，302f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即得证.【解析】（1）因为()sin cos f x k x kx x '=+， 所以sin cos 2222f k k k ππππ⎛⎫'=+⨯=⎪⎝⎭， 又因为sin 2222k f k b b ππππ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭， 因为曲线()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为230x y --=． 所以2k =， 所以223,222f b πππ⎛⎫=+=⨯-⎪⎝⎭所以3b =-； （2）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点， 因为()2sin 2cos f x x x x '=+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为单调递增函数且图象连续不断，因为(0)30f =-<，302f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点． 19．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得sin cos2A A=，再利用二倍角公式即可求解.（Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ，根据3ABDADCSS=可得12h h =，从而确定AD 是ABC 角A 的内角平分线，然后由34ABD ABC S S =△△，结合三角形面积公式即可求解. 【解析】解：（Ⅰ）因为sin cos 2Aa C c =，由正弦定理得sin sin sin cos 2AA C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos2A A =， 所以2sincos cos 222A A A =，因为022A π<<，所以cos 02A≠，所以1sin22A =，即26A π=，所以3A π=． （Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ， 因为3ABDADCS S=，3c =，1b =，所以1211322c h b h ⋅=⨯⋅， 所以12h h =，AD 是ABC 角A 的内角平分线，所以π6BAD ∠=， 因为3ABDADC S S=，可知34ABD ABC S S =△△， 所以131sin sin 26423AB AD AB AC ππ⨯⨯=⨯⨯⨯，所以AD =． 20．【分析】（1）运用面面平行的性质定理可做出图形所需的步骤；.（2）运用线与面平行时，线上的所有点面的距离相等和等体积法可求得所求得三棱锥的体积.【解析】解：（1）第一步：在平面ABCD 内作//GH BC 交CD 于点H ；第二步：在平面SCD 内作//HP SC 交SD 于P ； 第三步：连接GP ，点P ､GP 即为所求.（2）因为P 是SD 的中点，//HP SC ，所以H 是CD 的中点，而//GH BC ，所以G 是AB 的中点，所以13sin1202GBCSBC GB ︒=⋅⋅=， 连接AC ，GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ，因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==，即M 为ABD △的外心，所以M 与O 重合， 因为233OD =，2SD =，所以63SO =，所以1233S GBC GBC V S SO -=⋅⋅=△，因为GP //平面SBC ， 所以2S PBC P SBC G SBC S GBC V V V V ----====. 21．【分析】（Ⅰ）由52m =得到155()ln 22f x x x x =---，然后用导数法求解. （Ⅱ）将不等式1()ln f x x x kx n x≤--+对[]1,e x ∀∈恒成立,转化为(1ln )ln m x x x x n k x+-++≤，对[]1,e x ∀∈恒成立,根据[]1,e m ∈，[]1,e x ∈，得到(1ln )ln 1ln ln m x x x x n x x x x nx x +-+++-++≥，令1ln ln ()x x x x n g x x +-++=，求导2ln ()x x n g x x-+-'=，令()ln p x x x n =-+-，分(1)0p ≥，(e)0p ≤，(1)(e)0p p <讨论求解.【解析】（Ⅰ）当52m =时，155()ln 22f x x x x =---， 所以22215252()122x x f x x x x-+'=+-=， 因为0x >，由()0f x '>得22520x x -+> 所以102x <<，或2x >， ()f x 在[)1,2上单减，(]2,e 上单增，所以函数()f x 在[)1,2上的最小值为1555(2)2ln 21ln 22222f =---=--； （Ⅱ）因为x 的不等式1()ln f x x x kx n x≤--+对[]1,e x ∀∈恒成立, 所以(1ln )ln m x x x x nk x+-++≤，对[]1,e x ∀∈恒成立,令1ln ln ()x x x x ng x x+-++=，即2ln ()x x ng x x -+-'=，令()ln p x x x n =-+-，即1()10p x x'=-+>，所以()p x 在[]1,e x ∈上递增； ①当(1)0p ≥，即1n ≤时， 因为[]1,e n ∈，所以1n =，当[]1,e x ∈，()0p x ≥，即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,e 上递增， 所以min ()(1)c g x g n ===， 故22n c n +==；②当(e)0p ≤即[]e 1,e n ∈-时，因为[]1,e x ∈，()0p x ≤，即()0g x '≤，所以()g x 在[]1,e 上递减，所以min 2()(e)en c g x g +===， 故212e ,e 1e ee n n c n +⎡⎤+=+∈+++⎢⎥⎣⎦； ③当(1)(e)0p p <，即(1,e 1)n ∈-时， 因为()ln p x x x n =-+-在[]1,e 上递增，所以存在唯一实数0(1,e)x ∈，使得()00p x =，即00ln n x x =-，则当()01,x x ∈时，()0p x <，即()0g x '<；当()0,e x x ∈时，()0p x >，即()0g x '>，故()g x 在()01,x 上单减，()0,e x 上单增，所以()0000min 00001ln ln 1()ln x x x x n c g x g x x x x +-++====+， 所以00000011ln ln n c x x x x x x +=++-=+， 设()0001()(1,e)u x x x x =+∈，则2020011()10x u x x x -'=-=>， 所以()u x 在[]1,e 上递增，所以12,e e n c ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭． 综上所述，22,e 1e n c ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦． 22．【分析】（1）求出曲线1C 的直角坐标方程，根据直角坐标与极坐标的转换关系可得出曲线1C 的极坐标方程；（2）求出点A 、B 的坐标，求出线段AB 的极坐标方程，设P 、Q 的极坐标分别为()1,P ρθ、()2,Q ρθ，求出1ρ、2ρ关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得OMOP 的最大值．【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为24sin ρρθ=，即4sin ρθ=；（2）曲线2C的参数方程为4x t y t π⎧=⎪⎨⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎩， 因为曲线2C 与两坐标轴相交，所以曲线2C 交x 轴于点()2,0A 、交y 轴于点()0,2B ，所以，线段AB 的方程为()2002x y x +-=≤≤，则线段AB 的极坐标方程为cos sin 2002πρθρθθ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭， 设点P 、Q 的极坐标分别为()1,P ρθ、()2,Q ρθ， 点P 在线段AB 上，可得11cos sin 2ρθρθ+=，可得12sin cos OP ρθθ==+， 点Q 在曲线1C 上，则24sin OM ρθ==， 2sin cos 4sin 2sin 2sin cos sin 2cos 212OM OP θθθθθθθθ+=⨯=+=-+2sin 214πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 02πθ≤≤，可得32444πππθ-≤-≤， 当242ππθ-=时，即当38πθ=时，OM OP 取得最大值21+．23．【分析】（1）由基本不等式，可知32222ab a b ab -=+≥2ab t =，可得23222t t -≥，可求出ab 的取值范围，进而可求出答案； （2）由（1）知2k =，则0R x ∃∈，使不等式22x m x -+-≤成立，求出2x m x -+-的最小值，令()min 22x m x -+-≤，即可求出实数m 的取值范围.【解析】（1）因为0a >，0b >，所以32222ab a b ab -=+≥当且仅当2a b =时等号成立，2ab t =，则0t >且22t ab =，所以23222t t -≥，整理得()()3220t t +-≥，解得2t ≥或23t ≤-，因为0t >，所以2t ≥2≥，解得2ab ≥.所以ab 的最小值为2.（2）由（1）知2k =，则0R x ∃∈，使不等式22x m x -+-≤成立， 因为()222x m x x m x m -----+≥=-，所以22m -≤，解得04m ≤≤. 所以实数m 的取值范围是04m ≤≤.。
四川省泸州市2021 2021学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解
四川省泸州市2021 2021学年高三数学一诊试卷（文科）Word版含解四川省泸州市2021-2021学年高三数学一诊试卷（文科）word版含解四川省泸州市2022-2022学年高三试卷（文科数学）一、多项选择题（每个子题5分，共50分。
每个子题给出的四个选项中只有一个符合问题要求）1。
设置a={x | x2x≤ 0}，B={0，1，2}，然后是a∩ B=（）A？b、{0}C.{0，1}D.{0，1，2}2。
复数z=a.1b．（I是一个虚单位），然后| Z |=（）Cd．2)图像的对称轴方程为（）d．x=π3.函数f（x）=sin（x+a.x）=b．x=c、 x=4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出s=（）a、不列颠哥伦比亚省。
5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，分层抽样，120分以上100人，90~120分250人。
那么在这个测试中得分低于90分的人数是（）a.600b。
450摄氏度。
300天。
1506．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）a．108b．72c．36d．97.是单位向量，|+2 |=，那么向量的夹角是（）A.30°b.45°c.60°d.90°8．实数x、y满足，这z=3x+4y，则z的取值范围是（）a、 [1,25]B[4,25]C[1,4]D[5,24]9。
下面的命题是正确的（）a．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件b．“?x∈r，x2＞0”的否定是“?x0∈r，x02＞0”c、“如果a=4，那么函数f（x）=AX2+4x1只有一个零点”的逆命题是真命题D。
“函数f（x）=lnx2和函数g（x）=的图象相同”10.已知两个方程x2+（1+a）x+1+a+B=0（a，B）∈ R）大约X分别是X1和X2，并且0<X1<1<X2，那么X的值范围是（）ab．c。
四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题 (2)
一、单选题1. 若关于x 的方程有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2.函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．3.已知，则（ ）A．B．C．D．4. 已知集合，，则（ ）A．B．C ．或D．5. 设实数满足，且，双曲线的渐近线分别是和，且都经过原点，则双曲线的离心率的比值（ ）A．B．C ．1D ．26. 已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7. 已知函数，且，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．8.已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）A．公差B ．在所有中，最大C ．满足的n 的个数有11个D．四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题 (2)四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题 (2)二、多选题三、填空题四、解答题9. 在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）A ．关于直线对称B ．关于原点对称C ．点在内D ．所围成的图形的面积为10.设函数，若在上有且仅有3条对称轴，则（ ）A ．在上有且仅有2个最大值点B ．在上有且仅有2个零点C ．的取值范围是D ．在上单调递增11. 已知是的导函数（ ）A ．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到的B ．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的C ．的对称中心坐标是D ．是的一条切线方程.12. 设函数，则（ ）A ．是偶函数B ．在上有6个零点C．的是小值为D ．在上单调递减13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A 是双曲线右支上的一点，若直线与直线平行且的周长为9a ，则双曲线的离心率为______.14.已知函数，若，则________.15.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．16. 已知向量，，向量，，函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，，且恰是在，上的最大值，求，和的面积．17. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，，都有，求实数的取值范围.18. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．19. “绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.20. 已知椭圆的上、下顶点为、，左焦点为，定点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，直线与轴交于点（在，之间），直线与轴交于点，若，求的值．21. 某中学经市人民政府批准建分校，工程从2010年底开工到2013年底完工，工程分三期完成．经过初步招投标淘汰后，确定只由甲、乙两家建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立承建，必须在建完前一期工程后再建后一期工程．已知甲公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为.（1）求甲、乙两公司各至少获得一期工程的概率；（2）求甲公司获得工程期数的分布列和数学期望.。
四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知是第二象限的角，，则A．B．C．D．3.已知为坐标原点，点，，以为邻边作平行四边形，，则的最大值为（ ）A．B．C．D．4. 若复数z 满足（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点逆时针旋转后得到，则的坐标为（ ）A．B．C．D．6.已知，若不等式恒成立，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 意大利数学家斐波那契（1170-1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，，若，则（ ）A ．2025B ．2026C ．2028D ．20248. 设全集，集合，，则A．B．C．D．9. 已知事件A ，B ，且，则（ ）A ．如果，那么B ．如果，那么C ．如果A 与B相互独立，那么D ．如果A 与B相互独立，那么10. 已知圆C 过点，，直线m ：平分圆C的面积，过点且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M ，N ，则（ ）A．圆心的坐标为B ．圆C的方程为C ．k的取值范围为D ．当时，弦MN的长为11. 已知向量，，函数则下列选项正确的（ ）A ．函数是偶函数四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(1)四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(1)三、填空题四、解答题B ．函数的值域为C ．函数在区间内所有零点之和为D．将函数图象上各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象上各点向下平移个单位长度，最后将所得图象向左平移个单位长度，可得函数的图象12. 中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（ ）A ．若，则必有两解B．若，则一定为等腰三角形C ．若，则一定为直角三角形D．若，且该三角形有两解，则的范围是13. 已知定义在上的函数满足，当时，．若，则的取值范围是______．14. 已知集合，，则集合________.15. 若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值为______.16. 某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前名女生的平均得分为分.（1）①求茎叶图中的值；②如果在竞赛成绩高于分且按男生和女生分层抽样抽取人，再从这人中任选人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这人中有女生的概率；（2）如果在竞赛成绩高于分的学生中任选人参加学校座谈会，用表示人中成绩超过分的人数，求的分布列和期望.17. 联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，促进联合国六种官方语言平等使用，为宣传“联合国中文日”，某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答，其中“拼音类”有4道，“成语类”有6道，“文化类”有8道，若答对将获得一份奖品．②对抗赛规则：两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．(1)留学生甲参加个人赛，根据以往答题经验，留学生甲答对“拼音类”、“成语类”“文化类”的概率分别为，，，求留学生甲答对了所选试题的概率．(2)留学生乙和留学生内参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为，，求留学生乙获得奖品的概率．18. 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，．（1）求,的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．19. 北京冬奥会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某高校组织了20000名学生参加线上冰雪运动知识竞赛活动，并抽取了100名参赛学生的成绩制作了如下表格：竞赛得分频率(1)如果规定竞赛得分在为“良好”，在为“优秀”，以这100名参赛学生中竞赛得分的频率作为全校知识竞赛中得分在相应区间的学生被抽中的概率．现从该校参加知识竞赛的学生中随机抽取3人，记竞赛得分结果为“良好”及以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望；(2)已知此次知识竞赛全校学生成绩近似服从正态分布，若学校要对成绩不低于分的学生进行表彰，请估计获得表彰的学生人数．附：若随机变量，则.20. 已知函数．(1)若对恒成立，求的值；(2)求证：（）．21.已知四边形是直角梯形，，分别为的中点（如图1），以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面（如图2）.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.。
四川省泸州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题(2)
一、单选题二、多选题1.已知，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是A．B．C．D．5. 在长方体中，,点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为A．B．C．D ．16. 若函数为奇函数，则（ ）A ．0B．C．D．7. 若为奇函数，则的解集为（ ）A．B．C．D．8. 已知点，曲线，直线）与曲线交于，两点，若周长的最小值为，则的值为（ ）A．B．C．D．9.已知，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．10.已知双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，双曲线上一点P 满足PA =2，则PF 的长度可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511. 用“五点法”画函数（，，）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（ ）x00200A．B ．不等式的解集为四川省泸州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(2)四川省泸州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(2)三、填空题四、解答题C．函数的图象关于直线对称D ．函数在区间上单调递增12.已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当时，有2个零点B ．当时，至少有2个零点C ．当时，有1个零点D ．当时，可能有4个零点13.已知等差数列的前项和为，若，则__________.14. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为___________．（参考公式：）15. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，．已知m满足不等式，则实数m 的取值范围为_______．16. 设函数．(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．17.在中， ，，分别为角，，的对边，.（1）求角；（2）若的面积为，边上的高，求和的大小.18.在中，内角所对的边分别为，若为钝角，且.（1）求角的大小；（2）记，求函数的值域.19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点E到平面的距离.20. 已知函数的最小正周期为.(1)求在上的单调增区间；(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围.21. 已知函数．(1)是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；(2)已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，．求证：；。
四川省泸州市2022年高三一诊一诊文科数学答案2022
泸州市高2020级第一次教学质量诊断性考试数 学（文科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：二、填空题：13．12±； 14．2,3k k Z πϕπ=-∈中的任意一个值； 15．(2,)+∞； 16．9π．三、解答题：17．解：（Ⅰ）由()f x 的图象相邻两最高点的距离为π可得()f x 的周期为π，因为2πT πω==， ··········································································· 1分所以2ω=， ·················································································· 2分 又函数图象的一个对称中心为π(,0)3，所以2πsin()03ϕ+=， ······································································ 3分 所以2ππ()3k k Z ϕ=∈+， ·································································· 5分 又0ϕπ<<，所以π3ϕ=； ······························································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()sin(2)3f x x π=+，因为()6f πθ-=所以sin[2()]sin 263ππθθ-+== ··················································· 7分因为84ππθ<<，所以242ππθ<<， ······················································ 8分所以1cos 23θ==， ···························································· 9分 所以sin(23())f πθθ+= ····································································· 10分1sin 222θθ= ······································································· 11分1312==················································································ 12分 18．解：（Ⅰ）由3()f x ax cx =+，得2()3f x ax c '=+， ················································ 1分因为()f x 在点(1(1))f ，处的切线斜率为9-，所以(1)39f a c '=+=-， ① ····························································· 2分 因为当2x =时，()f x 取得极值，所以(2)120f a c '=+=， ② ····························································· 3分 由①②可得，1a =，12c =-， ··························································· 5分 所以3()12f x x x =-； ······································································ 6分 （Ⅱ）因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+， ················································ 7分所以当(2,2)x ∈-时，有()0f x '<，()f x 在(2,2)-上单调递减， ················· 8分 当(2,)x ∈+∞时，有()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上单调递增， ······················ 9分 所以当2x =时，()f x 取得最小值， ················································· 10分因为()f x 在区间(1,)m -上存在最小值， ···············································11分所以实数m 的取值范围为(2,)+∞． ····················································· 12分19．解：（Ⅰ）因为sin sin sin A B c bC a b--=+，由正弦定理得：a b c b c a b--=+， ················································································· 1分即222b c a bc +-=，·········································································· 3分 所以2221cos 22b c a A bc +-==，································································ 5分 因为(0,)2A π∈，所以π3A =； ····························································· 6分 （Ⅱ）由sin B =，因为ABC △是锐角三角形，所以1cos 7B =，······························································ 7分 则cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+ ········································ 8分111107214=-⨯=>， ····························································· 9分 所以C为锐角，且sin C =，4c =，················································ 10分 由正弦定理sin sin a cA C=可得：sin 3a π=， ······································· 11分即285a ==．···································································· 12分 20．证明：（Ⅰ）因为CD SD =，SM CM =，所以DM SC ⊥， ······································ 1分 因为平面SCD ⊥平面SBC ，平面SCD 平面SBC SC =， 所以DM ⊥平面SBC ， ······························ 3分 又因为BC ⊂平面SBC ，所以DM BC ⊥； ······································ 4分 （若有一个条件缺失，如线在面内，平面与平面相交等，总体扣1分） （Ⅱ）因为BC AB ⊥，//AB DC ，所以BC CD ⊥， ·············································································· 5分 由（Ⅰ）可知DM BC ⊥，所以BC ⊥平面SDC ， ······································································ 6分所以BC SC ⊥，在SCB Rt △中，SC === ·········································· 7分 在SDC △中，由余弦定理得，2221cos 22SD DC SC SDC SD DC +-∠===-⋅，所以120SDC ∠=，·········································································· 8分 过点N 作NG CD ⊥于点G ，则//NG BC ，因为DN =所以4DG ==， ·················· 9分 2BN CG ==，所以6AN =， ·························································· 10分 过点S 作SE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ， 因为平面SDC ⊥平面ABCD ，所以SE ⊥平面ABCD ，且sin3033SE SC == ··································11分所以117632D SAN S ADN V V --==⨯⨯⨯⨯=．······································ 12分21．解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(0)+∞，，当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，且11()1xf x x x-'=-=， ··························· 1分 由()0f x '>，得01x <<；由()0f x '<，得1x >； ·································· 2分 所以()f x 在(01)，上是增函数；在(1)+∞，上是减函数， ······························ 3分 所以当1x =时，max ()(1)0f x f ==； ····················································· 4分（Ⅱ）因为对任意()0x ∈+∞，，都有()e xf x x ≤成立，则e ln 1x x x a x --≤恒成立，即min e ln 1()xx x a x--≤， ···························· 5分 令e ln 1()(0)x x x F x x x --=>，则22e ln ()x x xF x x+'=， 令2()e ln (0)x g x x x x =+>，则21()(2)e 0x g x x x x'=++>，························ 6分所以()g x 在(0)+∞，上为增函数， ····················································· 7分 又(1)e 0g =>，12e 1()e 10eg -=-<，所以存在01(,1)ex ∈，使得0()0g x =，即0200e ln 0xx x +=，······················· 8分 所以当0(0,)x x ∈时，()0F x '<，当0()x x ∈+∞，时，()0F x '>， 即()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0()x +∞，上单调递增，所以000min00e ln 1()()x x x F x F x x --==， ··············································· 9分 由0200e ln 0x x x +=可得001ln000000ln 111e ln ln()e x x x x x x x x =-==， ·················· 10分令()e x h x x =，则001()(ln)h x h x =， 又()(1)e 0x h x x '=+>，所以()h x 在(0)+∞，上单调递增， 所以001lnx x =，则00ln x x =-，001e x x =， ········································· 11分 所以000000min001()1e ln 1()()1x x x x x x F x F x x x ⋅-----====，故a 的取值范围是(,1]-∞． ····························································· 12分 方法二：因为对任意()0x ∈+∞，，都有()e xf x x ≤成立，则e ln 1x x x a x --≤恒成立即min e ln 1()xx x a x--≤， ······························· 5分 设()e 1x h x x =--（()0x ∈+∞，），则()e 10x h x '=->，··························· 6分 故()e 1x h x x =--在()0+∞，上是增函数， ·········································· 7分 所以()e 10x h x x =-->即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，取等号， ··························································· 8分 因为ln e ln 1eln 1x x xx x x x x+----= ····················································· 10分 ln 1ln 11x x x x++--≥=，······························································ 11分 当且仅当ln 0x x +=时，取等号，故a 的取值范围是(,1]-∞． ····························································· 12分22．解：（Ⅰ）设点P 的直角坐标是(,)m n ，因为(2,)6P π-，则2cos()36m π=-=，2sin()16n π=-=-，所以点P 的直角坐标是(3,1)-， ····················································· 1分 所以OQ 的直角坐标方程为22(3)(1)4x y -++=， ······························· 2分 且03x ≤≤，01y ≤≤，···························································· 3分 所以OQ 的极坐标方程为2(3cos sin )ρθθ=-， ·································· 4分 且63ππθ≤≤； ··········································································· 5分（只要一处有范围，不扣分，否则扣1分）（Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为：320x y +-=，········································ 5分 其极坐标方程为：(3cos sin )20ρθθ+-=，·········································· 6分 因为OQ 的极坐标方程为2(3cos sin )()63ππρθθθ=-≤≤，所以2(3cos sin )(3cos sin )20θθθθ-+-=， ······································· 7分 即223cos sin 10θθ--=， ····························· 8分 因为63ππθ≤≤，所以4πθ=， ····················· 9分 所以62ρ=-，曲线C 与OQ 交点的极坐标为(62,)4M π-． ······· ····························· 10分23．解：（Ⅰ）因为()|||3|f x x x =+-，（1）所以当0<x 时，5||()x f x x>等价于35x x +->-，该不等式恒成立；1分 （2）当03x <≤时，5||()x f x x>等价于35>，该不等式不成立； ············· 2分 （3）当3x >时，5||()x f x x >等价于3235x x >⎧⎨->⎩，解得4x >，··················· 4分 所以，不等式5||()x f x x>的解集为(,0)(4,)-∞+∞；······························· 5分（Ⅱ）因为32,0()|||3|3,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=⎨⎪->⎩≤≤， ······································ 6分 所以()f x 的最小值为3，即3M =， ····················································· 7分 所以111123a b c++=， 又a ，b ，c 为正数， 所以11123(23)()23a b c a b c a b c++=++++23233()()()2332a b a c b c b a c a c b=++++++ ····················································· 8分39+≥， ··········································· 9分 当且仅当2,23,32332a bb a ac c a b c c b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩即3321a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，所以239a b c ++≥． ············ 10分。
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泸州市高2018级第一次教学质量诊断性考试数 学（文科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．13．3； 14．0； 15.43-； 16三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为2()2cos 12xf x x =-+cos x x - ·················································································· 1分 2sin()6x π=-， ··············································································· 2分因为()()6f παα=+，所以sin()6παα-=， ······························· 3分1cos 2ααα-=， ························································· 4分即cos αα-=， ·········································································· 5分所以tan α=； ·············································································· 6分 （Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象， 所以函数()g x 的解析式为()2sin(2)6g x x π=-， ········································ 8分因为02x π≤≤，所以52666x πππ--≤≤， ··········································· 9分 所以1()2g x -≤≤， ········································································· 11分故()g x 在[0,]2π上的值域为[1,2]-． ··························································· 12分18．解：（Ⅰ）因为()sin cos f x k x kx x '=+， ··································································· 2分所以()sin cos 2222f k k k ππππ'=+⨯=， ·························································· 3分又因为()sin 2222kf k b b ππππ=⨯+=+， ························································ 4分点(,())22f ππ处的切线方程为230x y --=．所以2k =, ····························································································· 5分 3b =-；······························································································· 6分 （Ⅱ）()f x 在(0,)2π上有且只有一个零点， ························································ 7分因为()2sin 2cos f x x x x '=+， ··································································· 8分当(0,)2x π∈时，()0f x '>，······································································ 9分所以()f x 在(0,)2x π∈上为单调递增函数且图象连续不断， ····························· 10分因为(0)30f =-<，()302f ππ=->， ······················································· 11分所以()f x 在(0,)π上有且只有一个零点． ···················································· 12分19························································ 2分因为sin 0C ≠，所以sin cos 2AA =， ···························································· 3分······································································· 4分cos 02A≠，····················································································· 5分······································································· 6分 （Ⅱ）解法一：设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC △的AC 边上的高为2h ，因为3,3,1ABD ADC S S c b ===△△， ································································ 7分所以1211322c h b h ⋅=⨯⋅， ·········································································· 8分所以12h h =，AD 是ABC △角A 的内角平分线，所以30BAD ∠=， ·················· 9分 因为3ABD ADC S S =△△，可知34ABD ABC S S =△△， ··············································· 10分所以131sin 30sin 60242AB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯， ·········································· 11分所以AD =. ···················································································· 12分解法二：设=(0)3BAD παα∠<<，则=3DAC πα∠-， ······················································· 7分 因为3ABD ADC S S =△△，3,1c b ==，所以11sin 3sin()223c AD b AD παα⨯⨯=⨯⨯⨯-， ·8分 所以sin sin()3παα=-，······························· 9分所以1sin sin 2ααα=-，tan α∴=， 因为03πα<<，所以30BAD ∠=， ·························································· 10分 3ABD ADC S S =△△，可知34ABD ABC S S =△△， ····················································· 11分所以131sin 30sin 60242AB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯，所以AD =. ···················································································· 12分解法三：设AD x =，=BDA α∠，则=ADC πα∠-，在ABC △中，由3,1c b ==及余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，所以a ························································································ 7分因为3ABD ADC S S =△△，可知3BD DC = ·············································· 8分在ABD △中2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD AD α=+⋅， ····························································· 9分在ADC △中，271cos()16AD AD πα=+⋅-， ········································ 10分即271cos 16AD AD α=+⋅，······························································· 11分所以AD =． ·················································································· 12分 20.解：（Ⅰ）第一步：在平面ABCD 内作GH ‖BC 交CD 于点H ； ······································· 2分第二步：在平面SCD 内作HP ‖SC 交SD 于P ； ········································· 4分第三步：连接GP ，点P 、GP 即为所求． ······················································· 5分 （Ⅱ）因为P 是SD 的中点，//HP SC ，所以H 是CD 的中点，而//GH BC ，所以G 是AB 的中点， ················································································ 6分所以1sin1202GBC S BC GB ︒=⋅⋅=△，连接AC ，GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ， 因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==， ································ 7分 即M 为ABD △的外心，所以M 与O 重合，····································· 8分因为OD ，2SD =，所以SO =······································· 9分所以13S GBC GBC V S SO -=⋅⋅=△， ················· 10分 因为GP //平面SBC ， ································· 11分所以S PBC P SBC G SBC S GBC V V V V ----====··················································· 12分 21.解：（Ⅰ）当52m =时，152)ln 2(5x x x f x =---， ························································· 1分 所以()22215252122x x f x x x x -+'=+-=， ························································ 2分 因为0x >,由()0f x '>得22520x x -+>， ·································································· 3分 所以102x <<，或2x >， 所以()f x 在[1,2)上单减，(2,e]上单增， ······················································ 4分 所以函数()f x 在[1,e]上的最小值为51ln 22--； ············································· 5分（Ⅱ）原不等式()1ln ln m x x x x nk x+-++⇔≤. ····················································· 6分因[]1,e m ∈,[],e 1x ∈,所以()1ln ln 1ln ln m x x x x nx x x x nxx+-+++-++≥,令()1ln ln x x x x ng x x+-++=, ··································································· 7分即()2ln x x n g x x -+-'=，令()ln p x x x n =-+-，即()11p x x '=-+， 所以()p x 在[],e 1x ∈上递增； ···································································· 8分 ①当()10p ≥即1n ≤时, 因为[]1,e n ∈,所以1n =，当[],e 1x ∈,()0p x ≥,即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,e 上递增， 所以()()min 1c g x g n ===，故22n c n +==， ··············································································· 9分 ②当()e 0p ≤即[]e 1,e n ∈-时， 因为[],e 1x ∈,()0p x ≤,即()0g x '≤，所以()g x 在[]1,e 上递减，所以()()min 2e en c g x g +===， 故212e ,e 1e ee n n c n +⎡⎤+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ························································ 10分 ③当()()1e 0p p <即()1,1n e ∈-时, 又()ln p x x x n =-+-在[]1,e 上递增，所以存在唯一实数()01,e x ∈,使得()00p x =,即00ln n x x =-，则当()01,x x ∈时()0p x <，即()0g x '<，当()0,e x x ∈时()0p x >即()0g x '>， 故()g x 在()01,x x ∈上减，()0,e x x ∈上增， 所以()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x n x x x c g x g x +-++=+===. ························ 11分所以00000011ln ln n c x x x x x x +=++-=+， 设()001x x x u =+（()01,e x ∈），则()2'02001110x u x x x -=-=>， 所以()u x 在[]1,e 上递增,所以12,e e n c ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述22,e 1e n c ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦.··································································· 12分22.解： (Ⅰ) 解法一：设曲线1C 与过极点且垂直于极轴的直线相交于异于极点的点E ，且曲线1C 上任意点F (,)ρθ，边接OF ，EF ，则OF ⊥EF ， ····································· 2分在△OEF 中，4cos()4sin 2πρθθ=-=，······················································ 4分解法二：曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ······································ 2分即2240x y y +-=， 所以曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=； ·························· 4分（Ⅱ）因曲线2C的参数方程为)4x ty t π⎧=⎪⎨=-⎪⎩与两坐标轴相交，所以点(2,0),(0,2)A B ， ············································································ 6分 所以线段AB 极坐标方程为cos sin 20(0)2πρθρθθ+-=≤≤， ·························· 7分12||sin cos OP ρθθ==+，2||4sin OM ρθ==,sin cos 4sin 2OMOP θθθ+=⨯22sin 2sin cos θθθ=+ ···················· 8分 1cos2sin2θθ=-+)14πθ=-+， ····················································· 9分 当38πθ=时取得最大值为1． ···························································· 10分 23.解：(Ⅰ)由3222,ab a b =++≥ ······································································· 2分220-≥，（舍去）， ··························································· 4分 当且仅当1,2a b ==时取得“=，即k 的最小值为2． ···················································································· 5分（Ⅱ）由2k =，2()(2)2x m x x m x m -+-≥---=-， ········································· 7分因0,x R ∃∈使不等式22x m x -+-≤成立， 所以22,m -≤即222m -≤-≤， ····················································································· 9分 即m 的取值范围是[0,4] ············································································· 10分。