离散数学复习思考题2016.06
离散数学复习题含答案
离散数学复习题含答案1. 集合论基础集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含所有既属于A又属于B的元素。
请写出集合{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的交集。
答案：{2, 3}2. 逻辑运算设命题p为“今天是周一”，命题q为“明天是周三”。
请判断复合命题“p且q”的真值。
答案：假3. 图论初步在无向图中，若存在一条路径使得起点和终点相同，则称该图为欧拉图。
请判断一个有5个顶点且每个顶点的度均为2的无向图是否一定是欧拉图。
答案：是4. 组合数学从5个不同的球中选取3个，有多少种不同的选取方法？答案：10种5. 布尔代数在布尔代数中，逻辑或运算符表示为∨，逻辑与运算符表示为∧。
请计算表达式(A∨B)∧(¬A∨¬B)的值。
答案：¬(A∧B)6. 归纳与递归给定递归关系式T(n) = 2T(n-1) + 1，初始条件为T(1) = 1，求T(3)的值。
答案：T(3) = 2T(2) + 1 = 2(2T(1) + 1) + 1 = 2(2*1 + 1) + 1 =2(3) + 1 = 77. 有限状态机在有限状态机中，状态转移可以通过一个转移函数来描述。
若状态转移函数定义为δ(q, a) = q'，其中q和q'是状态，a是输入符号，请说明该函数的作用。
答案：该函数定义了在给定当前状态q和输入符号a的情况下，有限状态机将转移到新的状态q'。
8. 正则表达式正则表达式用于描述字符串的模式。
请写出匹配任意长度的数字串的正则表达式。
答案：\d*9. 命题逻辑命题逻辑中的等价关系是指两个命题逻辑表达式在所有可能的真值赋值下具有相同的真值。
请判断命题p∨¬p和命题¬(p∧¬p)是否等价。
答案：是10. 树的遍历在计算机科学中，树的遍历有前序、中序和后序三种方式。
请简述后序遍历的步骤。
答案：后序遍历的步骤是先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点。
《离散数学》课后习题解答--第5章
习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬，B=⎨1,2,3⎬，试说明下列A到B二元关系，哪些能构成A到B的函数？⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解：⑴不能构成函数。
因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。
因为dom f3≠A⑷不能构成函数。
因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。
2.试说明下列A上的二元关系，哪些能构成A到A的函数？⑴A=N(N为自然数集合)，f1=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧a＋b＜10⎬⑵A=R(R为实数集合)，f2=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=a2⎬⑶A=R(R为实数集合)，f3=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b2=a⎬⑷A=N(N为自然数集合)，f4=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b为小于a的素数的个数⎬⑸A=Z(Z为整数集合)，f5=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=|2a|＋1⎬解：⑴不能构成函数。
由于1+1＜10且1+2＜10，所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。
⑵能构成函数。
⑶不能构成函数。
由于12=1且(-1)2=1，所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。
⑷能构成函数。
⑸能构成函数。
3. 回答下列问题。
⑴设A=⎨a,b⎬，B=⎨1,2,3⎬。
求B A，验证|B A|= |B||A|。
离散数学 习题问题详解
离散数学 习题 参考答案1、构造公式(p ∧q)∨ (¬p ∧¬q)、p↔q 的真值表。
2、构造公式¬(p ∨q)与¬p ∧¬q 的真值表。
3、构造公式 p 、p ∧p 、p ∨p 的真值表。
4、构造公式 p ∨(q ∧r)、(p ∨q)∧(p ∨r)的真值表。
5、构造公式 p ∨(p ∧r)、p 的真值表。
6、构造公式 p ∧(p ∨r)、p 的真值表。
7、构造公式 p↔q 、¬q↔¬p 的真值表。
8、构造公式(p→q)∧(p→¬q)、¬p 的真值表。
9、构造公式 p 、¬¬p 的真值表。
10、构造公式 p ∨¬p 、p ∧¬p 的真值表 略一、分别用等算演算与真值表法，判断下列公式是否存在主析取式或主合取式，若有，请写出来。
(1)(¬p→q)→(¬q ∨p) (2)(¬p→q)→(q ∧r)(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r) (4) ¬(q→¬p)∧¬p (5)(p ∧q)∨(¬p ∨r) (6)(p→(p ∨q))∨r (7)(p ∧q)∨r(8) (p→q)∧(q→r) (9) (p ∧q)→q (10) ¬(r↔p)∧p ∧q存在主析取式=成真赋值对应的小项的析取 =m 00∨m 10∨m 11=(¬p ∧¬q)∨(p ∧¬q)∨(p ∧q)主析取式=成假赋值对应的大项的合取 =M 01=p ∨¬q等值演算：(¬p→q)→(¬q ∨p) ⇔¬ (¬¬p ∨q)∨(p ∨¬q) ⇔¬ (p ∨q)∨(p ∨¬q) ⇔ (¬p ∧¬q)∨(p ∨¬q) ⇔ (¬p ∨(p ∨¬q))∧(¬q ∨(p ∨¬q)) ⇔ (¬p ∨p ∨¬q)∧(¬q ∨p ∨¬q) ⇔ (1∨¬q)∧(p ∨¬q) ⇔ (p ∨¬q)这是大项，故为大项的合取，称为主合取式(¬p→q)→(¬q ∨p) ⇔ (p ∨¬q) ⇔ (p)∨(¬q) ⇔ (p ∧1)∨( 1∧¬q)⇔ (p ∧(q ∨¬q))∨( (p ∨¬p)∧¬q) ⇔ (p ∧q)∨ (p ∧¬q)∨(p ∧¬q)∨(¬p ∧¬q) ⇔ (p ∧q)∨ (p ∧¬q)∨(¬p ∧¬q)因为一个公式的值不是真，就是假，因此当我们得到一个公的取值为真的情况时，剩下的组合是取值为假， 因此当得到小项的析取组成的主析取式后，可以针对剩下的组合写出主合取式。
离散数学主观思考题(概念辨析、学习心得)
离散数学主观思考题（概念辨析、学习心得）1.请浅谈离散和连续有什么区别和联系？离散型变量的域是一个离散的点集，连续型变量的域则是一个连续的集合。
在一个给定的范围内，一定能够枚举出所有离散变量，却不能枚举出所有连续型变量（无限个）。
按照百度百科的权威定义：离散变量：离散变量指变量值可以按一定顺序一一列举，通常以整数位取值的变量。
（不能在某区间内任意取值）连续变量：在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量，其数值是连续不断的，相邻两个数值可作无限分割，即可取无限个数值。
离散型变量包括一个个体所属的生物种类比如黄种人白种人等人种、鸟类鱼类等物种，不存在一个临界点，既是黄种人又是白种人，既是鸟类又是鱼类。
还有，我认为一切的二元性质或者明确可分的n元性质，都是离散变量。
比如某只动物的生死性，只有活着和死掉两种，不存在衔接两者、又活着又死掉的第三种状态。
药物的有效性，只有有效和无效两种。
成绩的等第，只有优秀、良、及格和不及格。
新冠病毒检测结果，只有阴性和阳性。
大学的双一流性，只有双一流和非双一流…这些性质都有一个特点，都只能在某个可数集合里取值，不能在非连续集合里任意取值，例如生死性，活就是活，死就是死，没有0.7*活+0.3*死这种取值。
双一流与否没有某所大学是0.8个双一流加上0.2个非双一流。
同时，离散变量的分布有时是有一定规则的，例如二项分布、泊松分布、超几何分布，这些都是离散变量的概率分布。
连续的变量也有很多。
比如时间，时间可以划分得无穷细到0.0000000000000001秒并且继续无穷细下去。
比如身高，身高是实实在在的，没有人的身高正好是一个0.000000000000000001纳米都不差的整数。
又比如体重，没有人的体重正好是一个0.000000000000000000001毫克都不差的整数。
时间、身高、体重是多少就是多少，在一个连续区间里取任何值都可以。
然而，由于人类科技水平的限制，显然，人类在现实世界中大多数情况下只能用离散的形式表示连续变量。
《离散数学》复习题及答案
《失散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、以下哪些公式为永真包含式？()(1) Q=>Q→P (2) Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4) P (P Q)=>P答：（1），（4）2、以下公式中哪些是永真式？()(1)( ┐P Q)→(Q→R) (2)P →(Q→Q) (3)(P Q)→P (4)P→(P Q)答：（2），（3），（4）3、设有以下公式，请问哪几个是永真蕴涵式?()(1)P=>P Q (2) P Q=>P (3) P Q=>P Q(4)P (P→Q)=>Q (5)(P→Q)=>P (6)P (P Q)=> P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式 x((A(x) B(y ，x))z C(y ，z)) D(x) 中，自由变元是 ( )，拘束变元是( )。
答： x,y,x,z5、判断以下语句能否是命题。
假如，给出命题的真值。
()(1)北京是中华人民共和国的国都。
(2)陕西师大是一座工厂。
(3)你喜爱唱歌吗？(4)若 7+8＞18，则三角形有 4 条边。
(5)行进！(6)给我一杯水吧！答：（ 1）是， T（2）是， F（3）不是（4）是， T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否认是()，而命题“所有的人都是要死的”的否认是 ()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设 P：我患病， Q：我去学校，则以下命题可符号化为( )。
(1)只有在患病时，我才不去学校 (2) 若我患病，则我不去学校(3)当且仅当我患病时，我才不去学校 (4) 若我不患病，则我必定去学校答：（1）Q P（2）P Q（3）P Q（4）P Q8、设个体域为整数集，则以下公式的意义是( )。
(1)x y(x+y=0) (2)y x(x+y=0)答：（ 1）对任一整数 x 存在整数 y 知足 x+y=0（ 2）存在整数 y 对任一整数 x 知足 x+y=0 9、设全体域 D是正整数会合，确立以下命题的真值：(1)x y (xy=y)()(2)x y(x+y=y)()(3)x y(x+y=x)()(4)x y(y=2x)()答：（ 1） F（2） F（3）F（4）T10、设谓词 P(x) ： x是奇数， Q(x) ：x 是偶数，谓词公式x(P(x) Q(x)) 在哪个个体域中为真 ?()(1) 自然数(2)实数(3)复数(4) (1)--(3)均建立答：（ 1）11、命题“ 2 是偶数或 -3 是负数”的否认是（）。
离散数学课后习题答案(第三章)
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。
r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA
={＜a,b＞,＜b,a＞,＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞,＜c,c＞}
不是A上的等价关系。
3-10.8设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。
c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1＜b, a＞∈R12
即R12是对称的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
a）（A×A）-R1；
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等价关系。
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
离散数学复习题及答案
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。
答案：2.证明 答案：3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案：4. 写出下列式子的主析取范式： 答案：)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ⌝∧⌝∨∧⇔∧∨∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∧∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔↔Q Q P P ⇒∨∧⌝)()()(R P Q P ∨∧∧⌝5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →⌝r, s →t, ⌝s →r, ⌝t ⇒ q 答案：①s →t 前提 ②t 前提③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. 用反证法证明：p →(⌝(r ∧s)→⌝q), p, ⌝s ⇒ ⌝q)()(R P Q P ∨∧∧⌝)()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)(Q R P ⌝∧∧⌝∨7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。
答案：令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中))((W(x)F(x)x →∀8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。
答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。
答案：令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学复习题有答案
离散数学复习题有答案1. 什么是集合的子集？子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A就是集合B的子集。
2. 描述有限集合和无限集合的区别。
有限集合是指元素数量有限的集合，可以被一一列举。
无限集合则包含无限多个元素，无法被完全列举。
3. 什么是二元关系？二元关系是集合A和集合B之间的一种对应关系，它由有序对(a, b)组成，其中a属于集合A，b属于集合B。
4. 什么是函数？函数是一种特殊的二元关系，其中每个定义域中的元素都与值域中的一个且仅一个元素相关联。
5. 什么是等价关系？等价关系是一种自反的、对称的、传递的二元关系。
在集合A上的等价关系将A划分为若干个不相交的等价类。
6. 什么是偏序关系？偏序关系是一种自反的、反对称的、传递的二元关系。
它在集合上定义了一个部分顺序。
7. 什么是有向图和无向图？有向图是一种图，其中的边有方向，表示从一个顶点指向另一个顶点。
无向图的边没有方向，表示两个顶点之间的双向连接。
8. 什么是强连通分量？在有向图中，强连通分量是指图中的一组顶点，这些顶点中的每一个顶点都可以到达集合中的其他任何顶点。
9. 什么是二进制数？二进制数是一种基数为2的数制，只使用0和1两个数字来表示数值。
10. 什么是逻辑运算？逻辑运算是对逻辑值（真或假）进行的操作，包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等运算。
11. 什么是归纳法？归纳法是一种数学证明方法，通过证明一个基本情况，然后假设某个情况成立，再证明下一个情况也成立，从而证明整个命题。
12. 什么是图的遍历？图的遍历是指按照一定的规则访问图中的每个顶点，确保每个顶点都被访问一次。
常见的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
13. 什么是正规表达式？正规表达式是一种描述字符串集合的模式，用于文本搜索和文本处理。
它由一系列字符和元字符组成，定义了字符串的匹配规则。
离散数学课后习题答案
1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。
离散数学复习题答案
离散数学复习题答案一、逻辑与证明1. 命题逻辑的真值表：- 对于命题P和Q，给出所有可能的真值组合，并确定复合命题的真值。
2. 命题逻辑的等价性：- 证明两个命题逻辑表达式是等价的，即它们在所有可能的真值组合下都具有相同的真值。
3. 直接证明：- 给出一个逻辑命题，并使用直接证明方法证明其正确性。
4. 反证法：- 描述如何使用反证法证明一个命题的否定。
二、集合论1. 集合的基本运算：- 给出两个集合A和B，计算它们的并集、交集、差集和补集。
2. 子集和幂集：- 确定一个集合的所有子集，并构造它的幂集。
3. 集合的表示法：- 使用描述法和列举法表示集合。
三、关系与函数1. 关系的表示：- 给出一个关系R，并使用有序对集合的形式表示它。
2. 关系的性质：- 确定一个关系是否是自反的、对称的、传递的或反对称的。
3. 函数的定义：- 给出一个函数f的定义域和值域，并描述其性质。
4. 函数的复合：- 给出两个函数f和g，并计算它们的复合。
四、图论1. 图的基本概念：- 定义图的顶点、边、路径、回路等基本概念。
2. 图的分类：- 区分有向图、无向图、加权图和平面图。
3. 图的遍历：- 描述深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法。
4. 最短路径问题：- 使用Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法求解图中的最短路径。
五、代数结构1. 群的定义：- 给出一个代数结构，并判断它是否构成一个群。
2. 子群和陪集：- 确定一个群的子群，并计算它的左陪集和右陪集。
3. 环和域：- 描述环和域的定义，并给出它们的性质。
六、布尔代数1. 布尔代数的基本运算：- 给出布尔代数中的逻辑运算：AND、OR、NOT。
2. 布尔表达式的简化：- 使用代数恒等式简化布尔表达式。
3. 布尔函数的真值表：- 为一个布尔函数构造真值表，并确定其等价的最小形式。
七、组合数学1. 排列组合：- 计算给定条件下的排列数和组合数。
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
离散数学复习思考题2016.06讲解
《离散数学》复习思考题一、选择题
一个连通图G 具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过图中每边仅一次回到该结点（ ）。
A ．G 没有奇数度的结点；
B ．G 有1个奇数度的结点；
C ．G 有2个奇数度的结点；
D ．G 没有或有2个奇数度的结点．在自然数集合上，下列运算满足结合律的是（ ）。
A ．2a b a b *=- B ．min{,}a b a b *= C ．a b a b *=-- D ．
a b a b
*=-
二、填空题
令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为_______。
设p ：明天上午8点下雨，q ：明天上午8点下雪，r ：我去学校，则命题“如果明天上午8点不下雨并且也不下雪，我就去学校”可符号化为 。
设)(x F ：x 是偶数，)(x G ：x 是素数，则命题“存在着偶素数”可符号化为_______。
n 个顶点的无向完全图记为
n
K ，当n 满足条件__________时,
n
K
且每个结点的度数都是2，则G的结点数是
a
,>
d
三、计算题
四、证明。
(0004)离散数学复习思考题
（0004）《离散数学》复习思考题一、填空题1．（（（P→Q）∨￢Q）→RQ）合式公式。
2．“我正在说谎”命题。
3．公式（R∧（R→Q））→Q 重言式。
4．（（（￢P∨R）→Q）∧R）∨Q）合式公式。
5．公式（∃x）（P（x）→Q(y)）∧R(x)中的自由未知量为。
6.“如果雪是黑的，太阳从西边出”是命题。
7．A，B为集合，则A-B B-A。
8．A，B为集合，则A∩（B∪A） A。
9．设Y={a,b,c},,则P(Y) 中有个元素。
10．A，B为集合，则A∩B B∪A。
11．A，B为集合，则B∪（A-B） B。
12．设X={1,2,3},,则X 上不同的关系有种。
13．A，B为集合，B⊆A , 则(B-A)∪B B。
14．R，S都是A上的自反，传递，对称关系，则s（R∩S）= 。
15. R，S都是A上的自反，传递，对称关系，则t（R∩S）= 。
16．A是一个集合，则P（A）上集合的包含关系是关系。
17．A={1，2，3}上的小于关系函数。
18．A，B，C为集合，则（A－B）∩C A∩C－B∩C。
19．一个二元运算函数。
20．设X={a,b,c},Y={s,r},从X 到Y上有个不同的函数。
21．函数二元关系。
22．I是一个整数集，*是加法运算，代数系统<I，*>中的幺元是。
23．A是整数集，*是乘法运算，代数系统<A，*>中的幺元是。
24．独异点半群。
25．群中的元素逆元。
26．群一定是交换群。
27．n个结点的树中有边数为。
28．5个结点的无向完全图平面图。
29．根树中有一个结点的入度为。
30．有n个结点的无向完全图的边数结点数。
31．欧拉图汉密尔顿图。
32．根树中有个结点的入度为0。
33. 无回路的连通图是。
34．欧拉图连通图。
35．图中所有结点的度数之和为。
二．判断题1．A，B，C为命题公式，如果A ∨C⇔ B∨C，则有A⇔B。
( )2．P→（Q→R） Q→（P→R）。
离散数学复习题及答案
总复习题（一）一．单选题1 (C)。
一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。
、4 、5 、6 、72、 (A)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。
、1 、2 、3 、43、 (D)。
为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。
、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。
一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。
、9 、10 、11 、125、 (D)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。
、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、107、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、12A B C D G G ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v j e B i v j e C i v j e D i v j e A B C D G G ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D9、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、1010、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、1212、 (B)。
为有向图，为的邻接矩阵，则。
、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。
在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。
A 、B 、C 、D 、14、 (C)。
任意平面图最多是（）色的。
A 、3B 、4C 、5D 、615、 (A)。
对与10个结点的完全图，对其着色时，需要的最少颜色数为（）。
《离散数学》复习练习题带答案(六)
离散数学试题带答案四、证明题1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群2. 形式证明q s p r s r q p ⇒∧⌝→∨→,,3. 证明：P →(Q →R)⇔P ∧Q →R.4．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 5．试证明：Q R R Q Q P ⌝⇒⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝)()( 6. 证明：)()(x xB x xA ∀→∃⇒))()((x B x A x →∀7．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树. 8. 设B 是任意集合，试验证(P(B),⊕)是群. P(B)是集合B 的幂集，⊕是集合的对称差运算， 9．给定代数系统(G,+,*), 二元运算见表一，表二.表一 表二证明(G ,+,*)是域.10. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系． 11．试证A －(B －C)＝(A －B)⋃(A ⋂C)12．设非空集合A ，验证(A A P ,~,,,),(∅⋂⋃)是布尔代数，13. 试证明属于关系不满足传递性，即对于任意的集合A,B,C 若A ∈B 且B ∈C 不一定有 A ∈C14．设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø15. 设R,S 都是非空集合A 上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS 具有对称性当且仅当 RoS=SoR.16. 已知g ：A->B,f ：B->C1） 已知fog 是单射的且g 是满射的，证明f 是单射的 2） 已知fog 是满射的且f 是单射的，证明g 是满射的 17．设A 是传递集，证明A+也是传递集。
18．设G 是n 阶无向简单图，其直径为d(G)=2, ο(G)=n-2，证明G 的边数m ≥2n-4 19．V=<S,*>是可交换半群,若a,b ∈S 是V 中得幂等元，证明a*b 也是V 中的幂等元20．设 L 是格，证明对于任意a,b,c,d ∈L 有：( a ∧b)∨(c ∧d)≤(a ∨c)∧(b ∨d)五、计算题1. 无向树T 有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其他的都是树叶，问T 中有多少片树叶？2. 设公式()()x Q x P → ，其中P(x)：x>2，Q(x)：x=0，F 是永假式，个体域是{1，2}，求公式A(x)的真值 3. 设集合X={1，2，3, 4}，X 中的关系为F={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>} 写出F 的关系矩阵及其关系图，F 有哪些性质？4. (1) n(n ≥1)阶无向完全图与有向完全图各有多少条边?为什么？ (2)完全二部图K m n ,中共有多少条边?为什么？(3) 每个顶点的度都为k 的无向图称为k 正则图，问：n 阶k 正则图中共有多少条边?为什么？5. 设集合L={a ，b}，在L 中规定 + 和·如下：a+a=a ，a+b=b+a=b ，b+b=b a ·a=a ，a ·b=b ·a=a ，b ·b=b问<L ，+，·>能构成代数系统吗？若可以，写出该代数系统的运算表。
离散数学导论复习题答案
离散数学导论复习题答案1. 什么是命题逻辑？它在离散数学中的作用是什么？命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的形式系统。
它在离散数学中的作用是提供了一种精确描述和推理问题的方法，是构建复杂逻辑结构的基础。
2. 什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何不同？谓词逻辑是一种更复杂的逻辑系统，它允许我们讨论个体对象及其属性。
与命题逻辑不同，谓词逻辑引入了量词（如全称量词∀和存在量词∃）来表达对所有个体或某些个体的陈述。
3. 什么是集合论？集合论在离散数学中的重要性是什么？集合论是研究集合及其关系的数学分支。
在离散数学中，集合论提供了一种描述和操作离散对象集合的框架，是研究其他离散结构如关系、函数和图论的基础。
4. 什么是关系？如何表示一个关系？关系是集合之间元素的有序对集合。
一个关系可以通过关系表、图形或数学表达式来表示。
5. 什么是函数？函数与关系有何不同？函数是一种特殊类型的关系，其中每个定义域中的元素都与值域中的一个元素唯一对应。
函数与关系的最主要区别在于函数具有唯一性，而关系则没有这个限制。
6. 什么是图？图在离散数学中的应用有哪些？图是由顶点（节点）和边（连接顶点的线）组成的结构。
图在离散数学中的应用非常广泛，包括网络分析、算法设计、数据结构和计算机科学中的许多领域。
7. 什么是二进制树？它在计算机科学中有何应用？二进制树是一种特殊的树结构，其中每个节点最多有两个子节点。
在计算机科学中，二进制树常用于实现二叉搜索树、堆和优先队列等数据结构。
8. 什么是布尔代数？它在数字逻辑设计中的作用是什么？布尔代数是一种数学逻辑系统，它使用二元变量（真和假）和逻辑运算符（如AND、OR、NOT）来表达逻辑关系。
在数字逻辑设计中，布尔代数用于简化和优化逻辑电路。
9. 什么是归纳和演绎推理？它们在数学证明中有何作用？归纳推理是从特殊到一般的推理过程，而演绎推理是从一般到特殊的推理过程。
在数学证明中，归纳推理用于证明涉及自然数的命题，而演绎推理用于从已知事实推导出新的事实。
【精品】离散数学复习资料试卷习题与答案
离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点,且这三个点构成的三角形面积小于18。
＃ 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +,从k a 开始上升子序列最长的长度为k x ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k k x y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列,那么,k k x n y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个,则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ,由于i j a a ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >,则i y 至少比j y 大1,这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾.故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解：设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ，1=⋂⋂C B A ，进而有CB A AC C B B A C B A C B A ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃601658202533=+---++= 故有4060100=-=⋃⋃-=⋃⋃C B A U C B A即}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
离散数学深刻复知识题（全）
离散数学深刻复知识题（全）离散数学复习资料⼀、填空1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在⽐它⼤的实数”令F(x)：x 为实数，yx y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为。
2. 设p ：王⼤⼒是100⽶冠军，q ：王⼤⼒是500⽶冠军，在命题逻辑中，命题“王⼤⼒不但是100⽶冠军，⽽且是500⽶冠军”的符号化形式为。
命题“存在⼀个⼈不但是100⽶冠军，⽽且是500⽶冠军”的符号化形式为____。
3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直⾓坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”则A= 。
4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。
则谓词(()(()(,)))x P x y O y N y x ?→?∧的⾃然语⾔是对于任意⼀个素数都存在⼀个奇数使该素数都能被整除。
5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ??∨?写成不含量词的形式是。
6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ∧→?的前束范式为。
7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →?∧→?∨?的主合取范式为，其编码表⽰为。
8. 设E 为全集，，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ，～Φ= 。
9. 设={256},{234},{134}A B C ==，，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。
10. 设},,{c b a A =考虑下列⼦集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S =则A 的覆盖有，A 的划分有。
离散数学复习思考题201606
《离散数学》复习思考题一、选择题设A-B=，则有( )。
A．B=；B．B≠；Ｃ．A⊆B；D．A⊇B．谓词公式∀x(Ｐ(x)∨yＲ(y)）→Q（x）中的变元ｘ是( ）。
Ａ.自由出现的;ﻩB．约束出现的;C.既不是自由出现也不是约束出现；D．既是自由出现也是约束出现.下列不是谓词公式的是( )。
A.∀x∧y∨P(x,y)；B.∀ｘ（P(x)→x(Q（ｘ）∧A(x,y））)；ﻩC．∀ｘＰ（ｘ）→R(ｙ）； D．xＰ（ｘ）∧Q（y，ｚ）.下列命题正确的是（）。
A．{｝＝； B．{}=;C．｛ａ｝{a,ｂ,c} ；D．{ａ,b,c}．C．还记得我吗？Ｄ.地球是运动的．下面既是哈密顿图又是欧拉图的是（）。
Ｂ一个连通图G具有以下何种条件时,能一笔画出：即从某结点出发,经过图中每边仅一次回到该结点( )。
A．G没有奇数度的结点; ﻩ B．Ｇ有1个奇数度的结点；C．G有2个奇数度的结点； D.G没有或有2个奇数度的结点．A在自然数集合上,下列运算满足结合律的是( ）。
Ａ．2a b a b*=- B.min{,}a b a b*=C.a b a b*=--D．a b a b*=-B二、填空题令p：今天下雪了,ｑ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为＿＿_____。
p∧┐q设p：明天上午８点下雨，q:明天上午8点下雪，r：我去学校，则命题“如果明天上午8点不下雨并且也不下雪,我就去学校”可符号化为。
rqp→⌝∧⌝)(设)(xF:x是偶数,)(xG:x是素数,则命题“存在着偶素数”可符号化为___＿＿__。
))()((xGxFx∧∃n个顶点的无向完全图记为nK，当n满足条件________＿_时，nK不是平面图。
4n>设p：我们勤奋,q:我们好学，r：我们取得好成绩，则命题“我们只要勤奋好学，就能取得好成绩”符号化为。
rqp→∧)(设A(x）：x是人,B(x）:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为＿_＿____。
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《离散数学》复习思考题一、选择题
一个连通图G 具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过图中每边仅一次回到该结点（ ）。
A ．G 没有奇数度的结点；
B ．G 有1个奇数度的结点；
C ．G 有2个奇数度的结点；
D ．G 没有或有2个奇数度的结点． A
在自然数集合上，下列运算满足结合律的是（ ）。
A ．2a b a b *=- B ．min{,}a b a b *= C ．a b a b *=-- D ．
a b a b
*=-
B
二、填空题
令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为_______。
p ∧┐q
设p ：明天上午8点下雨，q ：明天上午8点下雪，r ：我去学校，则命题“如果明天上午8点不下雨并且也不下雪，我就去学校”可符号化为 。
r q p →⌝∧⌝)(
设)(x F ：x 是偶数，)(x G ：x 是素数，则命题“存在着偶素数”可符号化为_______。
))()((x G x F x ∧∃
n 个顶点的无向完全图记为
n
K ，当n 满足条件__________时,
n
K 不是平面
图。
4n >
设p ：我们勤奋，q ：我们好学，r ：我们取得好成绩，则命题“我们只要勤奋好学，就能取得好成绩”符号化为 。
r q p →∧)( 设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为_______。
()((x B x A x ⌝∧⌝∃或
))()((x B x A x →∀
设G 是连通的平面图，已知G 中有6个顶点，8条边，则G 有_______个面。
4
设P ：他聪明，Q ：他用功，则命题“他虽聪明,但不用功” 可符号化为_______。
P ∧⎤ Q 设集合}3,2,1{=A ，}5,4,3{=B ，则=-B A 。
}2,1{ 设集合},,{c b a A =，},,{d c b B =，则=⊕B A 。
},{d a
设集合}2,1{=A ，则A 的幂集=)(A P 。
}}2,1{},2{},1{,{φ
设集合}}2{,1{=A ，则A 的幂集=)(A P 。
答案：}}}2{,1{}},2{{},1{,{φ
设x x M :)(是人，x x P :)(要吃饭，则命题“人都是要吃饭的” 可符号化为_______。
答案：))()((x P x M x →∀
设x x M :)(是跳高运动员，a ：小，则命题“小不是跳高运动员”可符号化为_______。
)(a M ⌝
无向图G=<V,E>如右所示， 则图G 的最大度数 Δ(G)= _______。
4
无向图G 中有16条边，且每个结点的度数都是2，则G 的结点数是_______个。
16 无向完全图5K 中有________条边。
10
已知关系},,,,,{1><><><=d b b a a a R ,
},,,,,,,{2><><><><=b c d b c b d a R ,
则12R R =_______。
答案：},,,{><><d a c a
已知关系},,,,,{><><><=d b b a a a R , 则2
R = 。
}
,,,,,{><><><d a b a a a 已知关系},,,,,{1><><><=c b c a b a R ，},,,{2><><=a a b a R ， 则21R R = 。
答案：},,,{><><b a c a
已知关系},,,,,,,{><><><><=b c d b c b d a R ,则3
R = 。
答案：},,,,,{><><><d b c b b c
三、计算题
构造命题公式⌝（P →Q ）∧Q 的真值表，并判断其类型。
解 ：真值表
四、证明。