高中数学必修二2.2 直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案

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【优质文档】2.2直线、平面平行的判定及其性质第2课时课堂练习及答案.

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
一、基础过关
1．直线 l ∥平面 α，直线 m∥平面 α，直线 l 与 m 相交于点 P，且 l 与 m 确定的平面为 β，
则 α与 β的位置关系是
()
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．不确定
2．平面 α与平面 β平行的条件可以是
()
A ． α内的一条直线与 β平行
B ． α内的两条直线与 β平行
C． α内的无数条直线与 β平行
D ． α内的两条相交直线分别与 β平行
3．给出下列结论，正确的有 ①平行于同一条直线的两个平面平行；
()
②平行于同一平面的两个平面平行； ③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若 a， b 为异面直线，则过 a 与 b 平行的平面只有一个．
A1E∩ A1D1＝ A1，
∴ 平面 A1EFD 1∥ 平面 BCF1E1.
9． D 10.A 11.M ∈线段 FH
12．证明
(1)∵ E、F 分别是
B1C1、C1D 1 的中点，
∴ EF
綊1 2B1D1，∵ DD 1 綊 BB 1， ∴ 四边形 D 1B1BD 是平行四边形， ∴ D 1B1∥BD . ∴ EF ∥BD ，即 EF、 BD 确定一个平面，故 E、F 、 D、 B 四点共面． (2) ∵ M 、N 分别是 A1B1、 A1D 1 的中点， ∴ MN ∥ D1B1∥ EF. 又 MN ?平面 EFDB ， EF ? 平面 EFDB . ∴ MN ∥ 平面 EFDB . 连接 NE，则 NE 綊 A1B1 綊 AB. ∴ 四边形 NEBA 是平行四边形． ∴ AN∥ BE .又 AN?平面 EFDB ，BE? 平面 EFDB .∴ AN∥ 平面 EFDB . ∵ AN、 MN 都在平面 AMN 内，且 AN∩ MN ＝ N， ∴ 平面 AMN ∥ 平面 EFDB . 13． (1) 证明连接 BM、 BN、 BG 并延长交 AC、 AD 、 CD 分别于 P、 F、 H .

(完整版)高中数学必修二2.2直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案

2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

高中数学必修二《2.2直线、平面平行的判定及其性质》测试卷及答案解析

2019-2020学年高中数学必修二《2.2直线、平面平行的判定及其性质》测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．2．已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥n，m⊥β，则n∥β【分析】对于A，平行于同一平面的两条直线可以平行、相交，也可以异面；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交；对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β；对于D，只有n也不在β内时成立．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则当m平行于α，β的交线时，也成立，故不正确；对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β，故正确；对于D，若m⊥n，m⊥β，则n∥β，n也可以在β内故选：C．【点评】本题考查空间中直线和平面的位置关系．涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．3．下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是（）A．B．C．D．【分析】在B中，推导出AB∥DE，AC∥EF，从而平面ABC∥平面DEF．【解答】解：在B中，如图，连结MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB、AC⊂平面ABC，DE、EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF．故选：B．。

高中数学必修2试卷直线、平面的平行判定及性质(2.2)

直线、平面的平行判定及性质(2.2)一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1.若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是（）A.α内的所有直线与m异面B.α内不存在与m平行的直线C.α内存在唯一的直线与m平行D.α内的直线与m都相交2.已知直线a⊂平面α，直线b与a没有公共点，则（）A.b⊂αB.b⊄αC.b∥αD.以上都有可能3.下面命题正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一直线平行;④若直线l在平面α外，则l∥α.A.0B.1C.2D.34.如果直线a∥平面α，则（）A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a垂直的直线D.平面α内有且仅有一条与a垂直的直线5.下列说法中错误．．的个数是（）①过平面外一点有一条直线和该平面平行②过平面外一点只有一条直线和该平面平行③过平面外有且只有一条直线和该平面平行A.0B.1C.2D.36.下面四种说法中：①两条平行线中的一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；②平行于平面内一条直线的直线平行于该平面；③过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；④若一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面内所有直线都平行.其中正确说法的个数是（）A.0B.1C.2D.37.在平面内总存在一条直线a与空间任一条直线l （）A.平行B.相交C.异面D.垂直8. a、b是两条异面直线，下列结论正确的是…………（）A.过不在a、b上的任一点P，可作一个平面与a、b平行B.过不在a、b上的任一点P，可作一条直线与a、b相交C.过不在a、b上的任一点P，可作一条直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一平面与b平行9.已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面.①a∥c，b∥c⇒a∥b②a∥γ，b∥γ⇒a∥b③a∥c，α∥c⇒a∥α④a∥γ，α∥γ⇒a∥α⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α其中正确的命题是（）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤10. 下列命题中，假命题的个数为（）①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边 ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边 ③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面 A.0 B.1 C.2 D.311. 如图所示，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 四边上的点，且它们共面，AC ∥面EG ，BD ∥面EG ，AC=m ，BD=n ，当EFGH 为菱形时，AE ∶EB 等于（） A.21B.n mC.mn D.不能确定 12.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是（）1AA.AC ∥平面BA 1C 1B.AC 与平面BA 1C 1相交C.AC 在平面BA 1C 1内D.上述答案均不正确二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别为棱BB 1，B 1C 1的中点，则过点A 、E 、F 的截面的形状是 . 14.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若NDANMB AM ，则MN 与平面BDC 的位置关系是． 15. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是.16. A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若MN =34，则BD=__________.三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 、N 分别为AC 和BF 上的点，且AM ＝FN ．求证：MN ∥平面BE C.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点．(1)求证：E 、F 、B 、D 四点共面； (2)求证：平面AMN ∥平面EF 、DB ，19.（本小题满分12分）ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体.(1)画出过A 、C 、B 1的平面与下底面的交线l ； (2)求直线l 与直线AC 的距离.20.（本小题满分12分）如图，设AB 、CD 分别是位于平面α两侧的异面线段，且AB ∥α，CD ∥α，AC 、AD 、BC 、BD 分别交α于E 、F 、H 、G .求证：EG 与FH 互相平分.21.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 和正方形ADEF 的边长为a ,M 、N 分别是对角线BD 和AE 上的点，且BM =AN =22a .（1）求证：MN ∥平面CDE ；（2）求MN 的长.如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD ＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)点E在什么位置时，EFGH的面积最大.备用题:1. 已知两条异面直线a、b分别与三个平行平面α、β、γ相交于点A、B、C和点P、Q、R，又AR、CP与平面β相交于点M、N（如图所示），求证：MBNQ为平行四边形.2. 已知平面α，BC∥α，D∈BC，A∉α，直线AB、AD、AC分别交α于E、F、G，且BC=a，AD=b，DF=c，求EG的长度.数学参考答案与解析1. B 解析：∵m 不平行于平面α，且m ⊄α，∴m 和平面α相交，即m 和平面α有且只有一个公共点.∴m ⊄α，由异面直线判定定理，知平面内的直线和m 成异面直线或相交直线.故选B.2.D 解析：直线b 与a 没有公共点, 则直线b 与平面α的关系可以是b ⊂α、b ⊄α、b ∥α中任意一个.3.A 解析：①直线l 上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所有点都不在平面α内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.②直线l 虽与α内无数条直线平行，但l 有可能在平面α内，所以直线l 不一定平行于α.③这是初学直线与平面平行的性质时常见的错误，借助教具我们很容易看到：当l ∥α时，若m ⊂α且m ∥l ，则在平面α内，除了与m 平行的直线以外的每一条直线与α都是异面直线.④直线l 在平面α外，应包括两种情况：l ∥α和l 与α相交，所以l 与α不一定平行.4. B 解析：由直线a ∥平面α，则在平面α内一定存在一条直线a ′∥a ，而在平面α内，可作无数条直线与a ′平行，由平行公理得B 正确.5. C 解析：①正确，②、③都不正确.6. A 解析：①②均不正确，这条直线并没有确定是在平面外，不符合判定定理的条件；③不正确，过平面外一点有无数条直线与已知平面平行；④不正确，此直线与平面内的直线无公共点，但位置关系是可能平行，也可能异面.7. D 解析：当l ⊂α时，l 与a 不异面，排除C ；当l ∥α时，l 与a 没有公共点，则l 与a 不相交，排除B ；当l ∩=P 时，l 与a 必不平行，排除A.故选D. 8. D 解析：如图所示，在直线a 上任取一点P ，过P 作b ′∥b ，则a ∩b ′=P.那么a 与b ′确定一个平面α.∵b ∥b ′，b ′⊂α，b ⊄α，∴b ∥α. ∴过a 可以作一个平面α与b 平行.假设还可作一平面β与b 平行，则α∩β=a ，b ∥α，b ∥β， ∴a ∥b.这与a 、b 异面相矛盾，即假设不成立.∴只有一个平面α. 综上所述，过a 有且只有一个平面与b 平行.故选D.9. A 解析：由公理4知①正确，由直线与平面平行的判定定理知⑤正确，从而选A.其中②是错误的，因平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面.③④亦错误. 10.B 解析：③是假命题，如果三个顶点不在平面的同侧，则该平面与三角形所在的平面相交.11. B 解析：∵AC ∥面EG ，面ABC ∩面EG=EF ，AC ⊂面ABC ，∴EF ∥AC.∴ACEF BA BE =. ① 同理可证BD EHBA AE =. ②又∵EFGH 是菱形，∴EF=EH. ②÷①，得BDACBE AE =.又∵AC=m ，BD=n ，∴nmBE AE =.故选B. 12. A 解析：∵AC ∥A 1C 1且A 1C 1⊂平面BA 1C 1, ∴AC ∥平面BA 1C 1.13. 等腰梯形解析：通过作图可得该截面为一个四边形,两对边平行,另两对边相等且不平行.14. MN ∥平面BDC 解析：∵在△ABD 中， AM ∶MB ＝AN ∶ND ，∴MN ∥BD ，而BD 在平面BDC 内，MN ⊄平面BDC ∴MN ∥平面BD C.15. BD 1∥平面AEC 解析：连结AC 、BD 相交于一点O ，连结OE 、AE 、EC ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴DO ＝BO .而DE ＝D 1E ，∴EO 为△DD 1B 的中位线， ∴EO ∥D 1B , ∴BD 1∥平面AEC .16. 4解析：连结AM 、AN 并延长交BC 、CD 于E 、F ，则E 、F 为BC 、CD 的中点，又AE AM =AF AN =32, ∴EF MN =32,而EF =21BD , ∴BD MN =31.∴BD =3MN =4.17. 证明：如图，过M 、N 分别作MR ⊥BC 于R ，NQ ⊥BE 于Q∵MR ∥AB ∥NQ又由△MRC ≌△NQB ，得MR ＝NQ ∴MNRQ 为平行四边形， ∴MN ∥RQ又RQ ⊂平面BEC ， ∴MN ∥平面BEC18. 证明：(1)分别连结B 1D 1，ED ，FB 由正方体性质知，B 1D 1∥BD ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点∴EF21B 1D 1 ∴EF 21BD∴E 、F 、B 、D 共面(2)连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、QO .∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点 ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFDB ∴MN ∥面EFDB ∵PQAO∴四边形PAOQ 为平行四边形， ∴PA ∥QO而QO ⊂平面EFBD ∴PA ∥平面EFBD且PA ∩MN ＝P ，PA 、MN 面AMN ∴平面AMN ∥平面EFB D.19. 解析：(1)过点B 1作直线l ∥A 1C 1，由正方体的性质知，AC ∥A 1C 1，∴AC ∥l , ∴l 为平面ACB 1和下底面A 1B 1C 1D 1的交线.(2)取AC 的中点O ，由AB 1＝CB 1， ∴B 1O ⊥AC ，∴B 1O 为AC 与l 间的距离，B 1O ＝23AB 1＝23·2a ＝26a . 20. 证明：∵AC ∩AD ＝A∴AC 和AD 可确定一个平面，则面ACD ∩α＝EF ∵CD ∥α∴CD ∥EF ，同理CD ∥HG ∴EF ∥HG ，同理EH ∥FG∴四边形EFGH 为平行四边形 ∴EG 与FH 互相平分.21. 解析：如图，分别连结AC 、CE . ∵BM =22a =21BD ∴M 为正方形ABCD 的中心.即AC ∩BD =M ，且AM =22a =21AC 又AN =22a =21AE ∴MN21CE ∴MN ∥平面CDE ，且MN =22a . 22.解析: (1)证明：∵CD ∥面EFGH 而面EFGH ∩面BCD ＝EF ∴CD ∥EF 同理HG ∥CD ∴EF ∥HG同理HE ∥GF∴四边形EFGH 为平行四边形由CD ∥EF ，HE ∥AB∴∠HEF 为CD 和AB 所成的角又∵CD ⊥AB ∴HE ⊥EF∴四边形EFGH 为矩形.(2)解：由(1)可知在△BCD 中EF ∥CD ，其中DE ＝m ，EB ＝n ∴a n m nEF DB BE CD EF +=∴=, 由HE ∥AB ∴b nm mHE DB DE AB HE +==, 又∵四边形EFGH 为矩形 ∴S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝n m m +·b ·n m n +a ＝2)(n m m n+ab ∵m ＋n ≥2mn ，∴（m ＋n ）2≥４mn ∴2)(n m m n+≤41，当且仅当m ＝n 时取等号，即E 为BD 的中点时,S 矩形EFGH =2)(n m m n+ab ≤41ab ，矩形EFGH 的面积最大为41ab . 备用题答案:1. 证明:连结AP .∵α∥β，平面ACP ∩平面α=AP ，平面ACP ∩平面β=BM ，∴BM ∥AP .同理QN ∥AP ，∴BM ∥QN .同理可证BN ∥MQ . ∴MBNQ 为平行四边形. 2.解析：（1）如图（1），∵BC ∥α，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩α=EF ，∴BC ∥EF .∴DF AD =CG AC ，AG AC =EG BC. ∴CG AC =c b ，CG AC AC +=c b b +，即AG AC =cb b+.又∵EG BC =AG AC ，∴EG =ba (b +c ).(2)如图（2），同理EF ∥BC ，∴BC EG =AB AE =AD AF. ∵AF =DF －DA =c －b ，∴EG =ADBC AF ⋅=b b c a )(-.（3）如图（3），同理BC ∥EF ，∴BC EG =AB AE =ADAF. ∵AF =AD －DF =b －c ，∴EG =ADBC AF ⋅=b c b a )(-.(1)(2)(3)。

直线、平面平行的判定及性质第一课时练习与答案-数学必修2第二章点、直线、平面的位置关系2.2人教A版

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及性质第一课时 2.2.1 直线与平面平行的判定测试题一、选择题1．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是A．0 B．1 C．2 D．32．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定3．下列命题中，假命题的个数是（）①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；A．4 B．3 C．2 D．14.下列结论正确的是（）.A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l与平面α不相交，则l∥平面αC.A、B是平面α外两点，C、D是平面α内两点，若AC∥BD，则AB∥平面α .D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个5.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（）.A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交二、填空1.一条直线和一个平面平行，过这条直线和这平面平行的平面有________个2.已知平面α、β和直线a 、b 、c ，且a ∥b ∥c ，a ⊂α，b 、c ⊂β，则α与β的关系是____________________3.已知直线a 、 b 和平面，下列说法中正确的有________________________ ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α； ③若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；④若直线a ∥b,直线b ⊂α，则a ∥α；⑤若直线a 在平面α外，则a ∥α⑥直线a 平行于平面α的无数条直线，则a ∥α； ⑦若直线a ∥b,b ⊂α,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线 4.平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则直线a ，b 的位置关系是______________ 5.若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则__________ ①α内的所有直线a 与异面②α内不存在与a 平行的直线 ③α内存在唯一的直线与a 平行④α内的直线与a 都相交三、证明1.如图，两个完全相等的正方形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，点M 、N 分别在它们的对角线AC 、BF 上，且CM=BN,求证：MN ∥平面BCEDE2.在正三棱柱111A B C ABC 中，点D 是BC 的中点，求证1AC ∥平面1AB D【参考答案】一、选择1.D2.C3.D4.D5.D 二、填空1.一2.平行或相交3.④⑥⑦ 4平行会或异面 5.② 三、证明1.证明：连接AE 交BF 与点O 在AE 上取一点P 使AP=AM=FN 连接PN 因为AP=AM正方形ABCD 和ABEF 全等 AC=AE 所以AM APAC AE= MP ∥CE因为AP=FN AO=FO 所以OP=ONOP ONOA OF= PN ∥AF ∥BE则平面MNP ∥平面CBE MN 在平面MNP 上则MN ∥平面CBE 2.如图.连接1A B设1A B 与1AB 交于E 连接D∵点D 是BC 的中点点E 是1A B 的中点 ∴DE ∥1AC ∵1AC ⊄平面1AB D ∵DE ⊂平面1AB D1AC ∥平面1AB D .。

人教A版必修二高中数学第二章 2.2.1-2.2.2同步课堂导学案【含详细解析】

2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定2．2.2平面与平面平行的判定[学习目标]1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．[知识链接]1．直线与平面的位置关系有平行、相交、直线在平面内．2．直线a 与平面α平行的定义：直线与平面无公共点．[预习导引]a ∥β，b ∥β要点一线面平行判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)EH ∥平面BCD ；(2)BD ∥平面EFGH .证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.规律方法 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．跟踪演练1如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.证明连接AC交BD于点O，连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA.∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，∴SA∥平面MDB.要点二面面平行判定定理的应用例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.规律方法 1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．跟踪演练2如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明平面GFE∥平面PCB.证明因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.要点三线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC 上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．解如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G 作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC，∴平面BGF与平面AEC无公共点，∴BF与平面AEC无公共点．∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．而GF∥CE，∴F 为PC 的中点．因此，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .规律方法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→面面平行的判定面面平行跟踪演练3如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB .求证：MN ∥平面SBC .解连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP ，因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP .又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .1．过直线l 外两点，作与l 平行的平面，则这样的平面()A ．不可能作出B ．只能作出一个C ．能作出无数个D ．上述三种情况都存在答案D解析设直线外两点为A 、B ，若直线AB ∥l ，则过A 、B 可作无数个平面与l 平行；若直线AB 与l 异面，则只能作一个平面与l 平行；若直线AB 与l 相交，则过A 、B 没有平面与l 平行．2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案D解析A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确．3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交，故选B.4．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H 1E ∥平面E 1FG 1，又H 1E ∩EG ＝E ，∴平面E 1FG 1∥平面EGH 1.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的位置关系是________．答案CD ∥α解析因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD ∥α.1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．一、基础达标1．已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α∥β，必须满足下列条件中的()A ．l ∥α，l ∥β，且l ∥γB ．l ⊂γ，且l ∥α，l ∥βC ．α∥γ，且β∥γD ．l 与α，β所成的角相等答案C解析α∥γ⇒α与γβ∥γ⇒β与γα与β无公共点⇒α∥β.2．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β”的是()答案D解析A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案B解析如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．5．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．答案平行或相交解析三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．7．如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点，求证：DF ∥平面ABC .证明如图所示，取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别是BE ，AB 的中点，∴FG ∥AE ，FG ＝12AE .又∵AE ＝2a ，CD ＝a ，∴CD ＝12AE .又AE ∥CD ，∴CD ∥FG ，CD ＝FG ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴DF ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .二、能力提升8．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是()A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β答案D解析如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B 错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．9．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．答案平行解析如图，延长AG交BC于F，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.10．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．11．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.证明连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O 是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.三、探究与创新12.如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点．求证：平面CEM∥平面BFN.证明因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.同理，ME∥A1B.易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.连接MD1，同理可得MD1∥BF.又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM∥平面BFN.13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.证明因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，所以△ABC ∽△EFG ，∠EGF ＝90°，由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .。

人教A版高中数学必修二 2.2直线、平面平行的判定及其性质(习题课)课件(22张ppt)

五.课堂小结、巩固提升
方 1.平行问题的转化关系法
与
技
巧
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低
失维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面误平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，与其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题防目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
方法三如图，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PM∥BE，交 AB 于点 M，连接 QM.
∵PM⊄平面 BCE，BE⊂平面 BCE
∴PM∥平面 BCE， ∵PM∥BE，∴APEP＝AMMB，又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ， ∴APEP＝DBQQ，∴AMMB＝DQQB， ∴MQ∥AD，又 AD∥BC，∴MQ∥BC，
(5)若 //,m,n,则 m//n; 错误
(6)若 //,l,则 l//;
正确
要点梳理：6.面面平行的性质定理
图形性质
条件
α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b
结论
a∥b
空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
判定定理性质
二.基础自测、巩固知识
1.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m、n，则m、n的位置关系是( )
《 2.2 直线、平面平行的判定及其性质》
一.小题前锋，知识再现
已知 l、 m 是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：（1）若 l ，则 l / / ; (2)若 l / /， l / /m ,则 m / / ; （3）若 l / / ， m , 则 l / / m ; (4)若 m ， n , m / /n,则 / / ; (5)若 / / , m , n ,则 m / /n; (6)若 / / ,l ,则 l / / . 其中真命题有

教师版必修2第二章22直线、平面平行的判定及性质练习.doc

B. 0个或1个第二章点、直线、平面的位置关系2.2直线、平面平行的判定及性质一、直线，平面平行的判定 (A) 1.给出下列结论：(1) 平行于同一条直线的两条直线平行；(2) 平行于同一条直线的两个平面平行；(3) 平行于同一平面的两条直线平行；(4) 平行于同一个平面的两个平面平行.其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个［答案］B2. 如图，在正方体ABCDFBiCi 。

】中，E 、尸分别是棱况、的中点，则窗与平面 BBQiD 的位置关系是()A. 段〃平面BBiDQB. 与平面BBiDQ 相交C. EF 平面 BBiDQD. EF 与平面的位置关系无法判断［答案］A3. 经过平而Q 外两点，作与a 平行的平面，则这样的平面可以作()A. 1个或2个C. 1个D. 0个［答案］B4. 如下图(1),已知正方形ABCD, E, F 分别是您，CD 的中点，将回沿。

回折起, 如图(2)所示，则8尸与平面4DE 的位省关系是［答案］平行5.如图，巳知P是平行四边形ABCD所在平而外一点，M、N分别是AB、PC的中点(1)求证：MV〃平面0D；⑵若MN=BC=4, R4=4吏,求异面直线0 与初V所成的角的大小.［解析］(1)取PQ的中点连接力7, NH, •:N是PC 的中点，:.NH^DC.由〃是刀B的中点，且DC//AB,・.・NH〃AM, NH=AM即四边形AMNH为平行四边形. ・.・ MN〃AH.由必M平面PAD, AHU平面PAD, LMN 〃平面 W).⑵连接AC并取其中点0,连接OM、ON, ：.OM〃*BC, ON〃*PA., OM=^BC,ON^PA. :.ZONM就是异面直线PA与枷所成的角，由MN=BC=4, R4=4*,得OM=2, ON=2$. :.MO2+ON2=MN2f；・ZONM=30。

,即异Ifli直线PA与"成30。

的角.6.如下图，F, H分别是正方体4BCD—4iB】CiDi的棱CG，如］的中点, 求证：平而8。

高中数学(人教版必修2)直线、平面平行的判定及其性质配套练习(有答案)

§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1 6．17．证明如图，连接BD交AC于F，连接EF.因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.8．证明连接OF，∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，又AF＝FE，∴AB∥OF，⎭⎬⎫AB⊄平面DCFOF⊂平面DCFAB∥OF⇒AB∥平面DCF.9．A10．D11．1212．证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG＝12CD，BE∥CD，BE＝12CD，所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，所以BF∥平面A′DE.13．证明如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK.∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立．上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)．又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A 1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面P AC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．＝3，则∠PBA＝60°.在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .8. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC . 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③12．(1)证明在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.13．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO 是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()。

【优质文档】2.2直线、平面平行的判定及其性质第3课时课堂练习及答案.

§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.3直线与平面平行的性质一、基础过关1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面() A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个2. 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.7. ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.8. 如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.参考答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②?③(或①③?②) 6.223a7．证明如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH.∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP ∥GH.8．证明∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥GH.又GH?平面BCD ，EF ?平面BCD.∴EF ∥平面BCD.而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ?平面ACD ，∴EF ∥CD.而EF?平面EFGH ，CD ?平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .9．A 10.平行四边形11．m ∶n12．(1)证明因为BC ∥AD ，AD?平面PAD ，BC ?平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC?平面PBC ，所以BC ∥l.(2)解MN ∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD 中点E.连接EN 、AE.又∵N为PC中点，∴EN綊12 AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE?平面P AD，MN?平面P AD，∴MN∥平面PAD.13．证明连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D?平面AC1D，BD1?平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.。

人教版必修2《直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质》知识点练习答案

直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质一、知识点：1、直线与平面的位置关系有且只有三种：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧；：；：；：没有公共点直线与平面平行有且只有一个公共点直线与平面相交直线在平面外有无数个公共点直线在平面内 2、平面与平面的位置关系有两种： ⎩⎨⎧；：；：有且只有一条公共直线两个平面相交没有公共点两个平面平行3、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补；4、①直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；简称“线线平行⇒线面平行”；用数学符号表示为：，，b a αα⊂⊄ a ∥b （3个条件，缺一不可）⇒a ∥α；②直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；简称“线面平行⇒线线平行”；用数学符号表示为：a ∥α，b ，a =⊂βαβ （3个条件，缺一不可）⇒a ∥b ；5、①平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；简称“线面平行⇒面面平行”；用数学符号表示为：P ，b ，a ，b a =⊂⊂ ββa ∥α，b ∥α5个条件，缺一不可）⇒β∥α；②平面与平面平行的判定定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行；简称“面面平行⇒线线平行”；用数学符号表示为：α∥β，b a ，==γβγα （3个条件，缺一不可）⇒a ∥b ；6、证明直线与平面平行的另一种方法：先证明这条直线所在的平面与另一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行。

二、范例精讲例1 已知a ，b ，c 是三条不重合的直线，，αβ，γ是三个不重合的平面， ①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ； ②a ∥γ，b ∥⇒γa ∥b ； ③a ∥c ，c ∥a ⇒α∥α； ④a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α； ⑤，a α⊄，b α⊂a ∥b ⇒a ∥α。

其中正确的命题个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 例2 下列说法正确的是（）A.直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；B.若a 直线在平面α外，a ∥α；C.若直线，b a φ= 直线α⊂b ，则a ∥α；D.若直线a ∥b ，，b α⊂则a ∥α或α⊂a 。

直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析

2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a?αa ∩α=Aa||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。

（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////ab a b a 、.2.2.2平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝?，则a ∥β2、判定定理：判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

2.2.3 直线与平面平行的性质1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.简记为：线面平行，则线线平行.符号表示：若//,,,//a a b a b 则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形那么这两个平面平行．图形条件=α,b ?β，α∩b ＝Pα∥α，b ∥α?β∥αl ⊥αl ⊥β?β∥α结论//////条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝aα∥βl⊥αα∥βa?β结论a∥b l⊥βa∥α1.解题方法（1）证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。

一般结合反证法来证明；3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件；4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行；2、证明平面与平面平行的常用方法：（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用两个平面垂直于同一直线；（4）证明两个平面同时平行于第三个平面；基础习题1.设l是直线，，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若l∥,l∥β，则∥βB.若l∥，l⊥β，则⊥βC.若⊥β,l⊥, 则l⊥βD.若⊥β, l⊥, 则l⊥β1.【解析】 B2.下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.【解析】 C【例3】（2011江西）已知1，2，3是三个相互平行的平面．平面1，2之间的距离为1d ，平面2，3之间的距离为2d ．直线l 与1，2，3分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“12PP =23P P ”是“12d d ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】C【例4】（2011辽宁）如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【解析】D【例5】（2012全国）设平面与平面相交于直线m ，直线a 在平面内，直线b 在平面内，且b m则“”是“ab ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【解析】A【例6】（2012河南）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．12l l ，23l l 13//l l B ．12l l ，23//l l 13l l C ．233////l l l 1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点1l ，2l ，3l 共面【解析】B【例7】（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1111AB AC ，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点 D 不同于点C ），且ADDE F ，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE 平面11BCC B ；1A 1C （2）直线1//A F 平面ADE ．1B 【解析】（1）∵三棱柱ABC ﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC ，∵AD ?平面ABC ，∴AD ⊥CC1又∵AD ⊥DE ，DE 、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD ⊥平面BCC1B1，∵AD ?平面ADE∴平面ADE ⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F 为B1C1的中点∴A1F ⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F ?平面A1B1C1，∴A1F ⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F ⊥平面BCC1B1又∵AD ⊥平面BCC1B1，∴A1F ∥AD∵A1F ?平面ADE ，AD ?平面ADE ，∴直线A1F ∥平面ADE ．【例8】（2012浙江）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面FDCABEABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）如图连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 105．【例9】（2012北京）如图1，在Rt ABC中，90C，,D E分别为,AC AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1A DE的位置，使1A F CD，如图2。

高中数学人教版必修二(浙江专版)学案直线平面平行的判定及其性质含答案

面内找
[活学活用] 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内，P，Q 分别是对角
线 AE，BD 上的点，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 CBE. 证明：如图，作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作 QN∥AB 交 BC 于点 N，连接 MN，则 PM∥QN，PAMB＝
关系是( )
A．一定平行
B．一定相交
C．平行或相交
D．以上判断都不对
解析：选 C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．
直线与平面平行的判定
[典例]
平面 AD G.
1
[证明]
如图，在正方体 ABCDA B1 C1 D1 中 1 ，E，F，G 分别是 BC，CC ，1 BB 的中点，求证：EF∥ 1
D．不能确定
解析：选 A ∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又 EF⊂平面 DEF，AC⊄平面 DEF，∴AC∥
平面 DEF. 4．已知 a，b，c，d 是四条直线，α，β 是两个不重合的平面，若 a∥b∥c∥d，a⊂α，b
⊂α，c⊂β，d⊂β，则 α 与 β 的位置关系是( )
A．平行
2．已知 α，β 是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面 α 与平面 β 平行
的是( ) A．平面 α 内有一条直线与平面 β 平行
B．平面 α 内有两条直线与平面 β 平行
C．平面 α 内有一条直线与平面 β 内的一条直线平行
D．平面 α 与平面 β 不相交解析：选 D 选项 A、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项 B 不正确，因为平面 α 内
∴平面 A′B′C′∥平面 ABC.
A′B′ PA′ 2 (2)由(1)知 A′B′∥MN，且 MN ＝ PM ＝3，

【优质文档】2.2直线、平面平行的判定及其性质第4课时课堂练习及答案.

()
A ． α∩ β＝ a， b? α? a∥ b
B ． α∩ β＝a， a∥ b? b∥ α且 b∥β
C． a∥β， b∥ β，a? α， b? α? α∥ β
D ． α∥ β， α∩ γ＝a， β∩ γ＝b? a∥ b
3. 如图所示， P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 α∥平面 ABC，α分别交线段 PA 、 PB 、 PC 于 A′ 、 B′ 、 C′ ，若 PA′∶ AA′ ＝ 2∶ 3 ，则
BC ∥B′ C′ .同理易证 AC∥ A′ C′ .
∴∠ BAC 与∠ B′ A′ C′的两边对应平行且方向相反．
∴∠ BAC＝∠ B′ A′ C′.
同理 ∠ ABC＝ ∠ A′B′ C′ ， ∠ BCA＝ ∠ B′ C′A′ .
∴△ ABC 与△ A′ B′ C′的三内角分别相等，
∴△ ABC∽△ A′ B′ C′， ∵ AB∥ A′ B′ ，AA ′∩ BB′ ＝ O，
? α∥ β；
β∥ c
β∥ γ
α∥ c
α∥ γ
⑤
? α∥a; ⑥
? a∥ α.
a∥ c
a∥ γ
A ．④⑥
B ．②③⑥
C．②③⑤⑥
D ．②③
5．分别在两个平行平面的两个三角形． (填“相似”“全等” )
(1) 若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有
______关系；
(2) 若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有
8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥 P－ ABCD 中，点 E 在 PD 上，且 PE∶ ED ＝ 2∶ 1，在棱 PC 上是否存在一点 F ，使 BF ∥平面 AEC？并证明你的结论．

(完整版)直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ 。

①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。

2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）。

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若m ⊥α，m ⊥n,则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ，b,平面α,则以下三个命题： ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α，b ∥α,则a ∥b 。

其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ，直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的条件。

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 。

充要 D 。

不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A 。

b a b a //，，αα⊂⊄ B 。

b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D 。

b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α，则b 与α的位置关系A 。

高中数学必修二直线与平面平行判定与性质

2.2 《直线、平面平行的判断及其性质》测试第 1 题 . 已知I a ，I m ，I b ，且m//，求证：a// b．答案：证明：b mI m am//m// a a// b ．I a同理m// b第 2题. 已知：，，，则a 与的地点关系是（）I b a//a//bＡ． a// bＢ． a bＣ． a ，b订交但不垂直Ｄ． a ，b异面答案：Ａ．第 4 题 . 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，E1F1是平面A1C1上的线段，求证： E1 F1// 平面AC．答案：证明：如图，分别在AB 和 CD 上截取AE A1E1， DF D1F1，连结 EE1， FF1，EF．D1F1C1∵长方体 AC1的各个面为矩形，A1E1B1∴ A1E1平行且等于AE， D1 F1平行且等于DF，D C 故四边形 AEE1 A1， DFF1 D1为平行四边形．A B∴ EE1平行且等于 AA1， FF1平行且等于 DD1．∵ AA1平行且等于 DD 1，∴ EE1平行且等于 FF1，D1F1C1四边形 EFF1 E1为平行四边形， E1 F1// EF ．A1B1E1∵ EF 平面 ABCD ，E1F1平面 ABCD ，D FCABE∴E1F1// 平面ABCD．第 5 题 . 如图，在正方形ABCD 中，?的圆心是A，半径为AB，BDBD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为．AD答案：111Ⅰ∶ ∶ⅡⅢB C第 6 题 . 如图，正方形ABCD的边长为13，平面ABCD外一点P到正方形各极点的距离都是13， M ， N 分别是 PA， DB上的点，且 PM ∶MA BN∶ND 5∶8 ．（１）求证：直线MN // 平面 PBC ；（２）求线段 MN 的长．PMDCE NAB（１）答案：证明：连结AN 并延伸交 BC 于 E ，连结 PE ，则由 AD// BC ，得BNNE ．ND AN∵ BN PM ，∴ NE PM ．ND MA AN MA∴ MN// PE ，又PE平面 PBC ， MN平面 PBC ，∴ MN // 平面 PBC ．（２）解：由 PB BC PC13，得 PBC60t ；由 BEBN5，知 BE 5 13 65 ，ADND888由余弦定理可得 PE91， ∴MN8PE 7．813第 7 题 . 如图，已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点， MP为 PB 的中点，求证： PD// 平面 MAC ．答案：证明：连结AC 、 BD 交点为 O ，连结 MO ，MP则 MO 为 △BDP 的中位线， ∴ PD// MO ．B∵ PD平面 MAC ， MO 平面 MAC ，∴ PD// 平面 MAC ．AMCDBACOD第 8 题 . 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别是棱 BC ，D 1 FC 1D 1 的中点，求证： EF// 平面 BB 1 D 1D ．C 1答案：证明：如图，取A 1B 1D 1B 1 的中点 O ，连结 OF ， OB ，∵ OF 平行且等于 1 B 1C 1 ， BE 平行且等于 1 B 1C 1 ，22∴ OF平行且等于 BE ，则 OFEB 为平行四边形，DC∴ EF// BO ．D 1AEFB平面，平面11，1C 1∵ EF1 1BOBBDDBBDDAB 1∴ EF// 平面 BB 1D 1D ．O第 9 题 . 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 中，CDABE试作出过 AC 且与直线 D 1 B 平行的截面，并说明原因．答案：解：如图，连结 DB 交 AC 于点 O ， D 1C 1 取 1D D 的中点 M ，连结 MA ， MC ，则截面 MAC即为所求作的截面．A 1B 1∵MO 为 △ D 1 DB 的中位线， ∴ D 1B// MO ．DC∵ D 1B 平面 MAC ， MO平面 MAC ，AB∴ D 1B// 平面 MAC ，则截面 MAC 为过 AC 且与直线 D 1 B 平行的截面．第 10 题 . 设 a ， b 是异面直线， a 平面，则D 1C1过 b 与平行的平面（）A 1B 1MＡ．不存在Ｂ．有 1个Ｃ．可能不存在也可能有1 个Ｄ．有 2 个以上DCO 答案：Ｃ．AB第 11 题 . 如图，在正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，求证：平面 A 1BD // 平面 CD 1B 1 ．D 1C 1B B ∥ A AA 1B 1答案：证明：11B 1B∥D 1DA 1 A∥D 1D四边形 BB 1D 1D 是平行四边形CD 1 B 1// DBADDB平面 A 1BDBD 1 B 1 平面 A 1 BD D 1B 1// 平面 A 1BD同理 B 1C// 平面 A 1BDD 1B 1 I B 1C B 1平面 B 1CD 1// 平面 A 1BD ．第 12 题 . 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边 AB ，BC ，CD 上的点，且 AM ∶MB CN ∶ NB CP ∶PD ．求证：（１） AC// 平面 MNP ， BD// 平面 MNP ；（２）平面 MNP 与平面 ACD 的交线 // AC ．答案：证明：（１）AAM CNMB MN // ACMENBAC 平面 MNP AC// 平面 MNP ．MN平面 MNP BDCNCPNPCNB PN // BDPDBD// 平面 MNP ．BD 平面 MNPPN 平面 MNP设平面MNP I平面ACDPE（２）AC平面 ACDPE // AC ，AC // 平面 MNP即平面 MNP 与平面 ACD 的交线 // AC ．第 13 题. 如图，线段 AB ， CD 所在 A直线是异面直线， E ，F ，G ，H 分E H别是线段，，，的中点．MPAC CBBDDACD（１）求证： EFGH 共面且 AB ∥QN面 EFGH ，CD ∥面 EFGH ；FGB（２）设，分别是AB 和CD 上P Q随意一点，求证：PQ 被平面 EFGH 均分．答案：证明：（１） ∵ E ， F ，G ， H 分别是 AC ，CB ， BD ， DA的中点．，∴EH// CD， FG// CD ，∴EH// FG ．所以， E， F ， G ， H 共面．∵ CD// EH ， CD平面EFGH，EH平面EFGH，∴CD// 平面 EFGH ．同理 AB// 平面 EFGH ．（２）设PQI 平面EFGH＝N，连结PC，设PCI EF M ．△PCQ 所在平面I平面EFGH＝MN，∵CQ// 平面EFGH， CQ 平面 PCQ ，∴ CQ// MN ．∵EF 是△ ABC 是的中位线，∴M 是 PC 的中点，则 N 是PQ的中点，即PQ被平面 EFGH 均分．第 14 题 . 过平面外的直线l，作一组平面与订交，假如所得的交线为 a ，b， c ，⋯，则这些交线的地点关系为（）Ａ．都平行Ｂ．都订交且必定交于同一点Ｃ．都订交但不必定交于同一点Ｄ．都平行或都交于同一点答案：Ｄ．第 15 题 . a，b是两条异面直线， A 是不在a， b 上的点，则下列结论建立的是（）Ａ．过 A 且平行于 a 和b的平面可能不存在Ｂ．过 A 有且只有一个平面平行于 a 和bＣ．过 A 起码有一个平面平行于 a 和bＤ．过 A 有无数个平面平行于 a 和b答案：Ａ．第 16 题 . 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为．答案： 20．第 17 题 . 在空间四边形ABCD 中， E ，F ，G ，H 分别为 AB ，BC ，CD ，DA 上的一点，且 EFGH 为菱形，若 AC// 平面 EFGH ，BD// 平面 EFGH ， AC m ， BD n ，则 AE： BE．答案： m∶n ．第 18 题 . 如图，空间四边形ABCD 的对棱 AD 、 BC 成 60t 的角，且 AD BC a ，平行于 AD 与 BC 的截面分别交 AB 、 AC 、CD 、 BD于E、F、G、H．（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２） E 在 AB 的哪处时截面 EGFH 的面积最大最大面积是多少答案：（１）证明：∵ BC//平面 EFGH ， BC平面 ABC ，A平面 ABC I 平面 EFGH EF ，E∴ BC// EF ．同理 BC// GH ，F∴ EF// GH ，同理 EH // FG ，B H D ∴四边形 EGFH 为平行四边形．G （２）解：∵ AD 与 BC 成 60t 角，C∴ HGF 60t 或 120t ，设 AE : AB x ，∵EFAE x ，BC a ，∴ EF ax ，由EHBEBC AB1 x ，AD AB得 EH a(1x) ．∴ S四边形EFGH EF EH sin 60tax a(1 x)3 23 a2( x2x) 3 a2( x 1) 2 1 ．2224当 x 1时，S最大值3a2，28即当 E 为 AB 的中点时，截面的面积最大，最大面积为3a2．8第 19题 . P为△ABC所在平面外一点，平面// 平面 ABC，交线段PA，PB， PC于 ABC'''，PA'∶ AA'2∶3，则S△AB'' C'∶S△ABC．答案：4∶25第 20 题 . 如图，在四棱锥P ABCD 中， ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是 AB ， PC 的中点．求证： MN // 平面 PAD ．答案：证明：如图，取CD 的中点 E ，连结 NE ， MEP∵M ， N 分别是 AB， PC的中点，∴ NE// PD ， ME// AD ，N可证明 NE// 平面 PAD ， ME// 平面 PAD ．DC 又 NEI ME E，∴平面 MNE// 平面 PAD ，ABM又 MN 平面 MNE ，∴MN// 平面 PAD．PNDC第 21 题. 已知平面 // 平面， AB ， CD 是夹在两平行平面间的两条线段， A ， C 在内， B ， C 在内，点E ，F 分别在 AB ， CD 上，且 AE ∶EB CF ∶FD m ∶n ．求证： EF// 平面．答案：证明：分AB ， CD 是异面、共面两种状况议论．（１）当 AB ， CD 共面时，如图（ a ）∵ //，∴AC// BD ，连结 E ， F ．∵ AE ∶EB CF ∶FD ，∴ EF // AC// BD 且 EF，AC，∴EF// 平面．ACAC（２）当 AB ， CD 异面时，如图（ b ），过点 A 作 AH // CDEFGFE交于点 H ．DHDB在图（ b ）H 上取点G ，使AG ∶GH 图（ a ，连结 B ，由（１）证明可得m ∶n ） EFGF // HD ，又 AG GH AE EB 得 EG// BH ． ∴ 平面 EFG// 平面 //平∶∶面．又 EF 面 EFG ，∴ EF// 平面．第 22题. 已知 Ia ， Im ， Ib ，且 m//，求证： a// b ．答案：证明：I mbmm//m// a m// b a// b ．aIa同理第 23 题 . 三棱锥 A BCD 中， AB CD a ，截面 MNPQ 与 AB 、CD 都平行，则截面 MNPQ 的周长是（）．Ａ．Ｃ．4aＢ． 2a3aＤ．周长与截面的地点相关2答案：Ｂ．第24 题. 已知：I b ，a//， a//，则 a 与b的地点关系是（）．P Ａ． a// bＢ． a b EＣ． a 、b订交但不垂直Ｄ． a 、b异面DC答案：Ａ．FAB 第 25 题 . 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点， E 、 F 分别是 PA 、 BD 上的点且 PE : EA BF : FD ，求证： EF//平面 PBC ．答案：证明：连结AF 并延伸交 BC于 M ．连结 PM，∵ AD// BC ，∴BFMF ，FD FA又由已知PEBF ，∴ PE MF ．D1F1EA FD EA FA C1由平面几何知识可得 EF// PM ，A1又EF PBC， PM平面 PBC ，E1B1DC∴ EF// 平面 PBC ．AB 第 26 题 . 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，E1F1是平面A1C1上的线段，求证： E1 F1// 平面ABCD．答案：证明：如图，分别在AB 和 CD 上截得AE A1 E1， DF D1F1，连结 EE1， FF1，EF．∵长方体AC1的各个面为矩形，∴EE1平行且等于 AA1， FF1平行且等于 DD1．∵AA1平行且等于 DD 1，∴ EE1平行且等于 FF1，四边形 EFF1 E1为平行四边形，D1F1C1E1F1// EF ．A1E1B1∵ EF 平面 ABCD ，E1F1平面 ABCD ，D F CAE B∴ E1F1// 平面ABCD．第 27 题 . 已知正方体ABCD A1B1C1D1，D1C1求证：平面 AB1 D1//平面 C1BD ．A1B1答案：证明：由于ABCD A1 B1C1D1为正方体，所以 D1C1// A1B1， D1C1 A1B1．D C 又 AB// A1 B1， AB A1B1，A B所以 D1C1// AB ， D1C1AB ，所以 D1C1 BA 为平行四边形．所以 D1 A// C1B ．由直线与平面平行的判断定理得abD1 A// 平面 C1BD ．同理 D1 B1// 平面 C1BD ，又 D1A I D1 B1 D1，c所以，平面 AB1 D1//平面 C1BD ．第 28 题 . 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．如图，已知直线 a ，b平面，且a// b，a//，a，b都在外．求证： b//．答案：证明：过 a 作平面，使它与平面订交，交线为 c ．由于 a//， a， I c ，所以 a// c ．由于 a// b ，所以 b// c ．又由于c，b，所以 b//．第 29 题 . 如图，直线AA'，BB'，订交于O，AO AO'，BO B'O，CC'CO C'O ．C'求证： ABC// 平面 ABC' '' ．B'A'答案：提示：简单证明AB// AB' ' ， AC// AC' '．O从而可证平面 ABC// 平面ABC' '' ．A B 第 30 题 . 直线a与平面平行的充要条件是（）CＡ．直线 a 与平面内的一条直线平行Ｂ．直线 a 与平面内两条直线不订交Ｃ．直线 a 与平面内的任一条直线都不订交Ｄ．直线 a 与平面内的无数条直线平行答案：Ｃ．一、选择题1、若l //，A，则以下说法正确的选项是（）A 、过A在平面内可作无数条直线与l 平行B、过A在平面内仅可作一条直线与l 平行C、过A在平面内可作两条直线与l 平行D、与 A 的地点相关2、 a// b ， a P ，则 b 与的关系为（）A 、必订交B 、必平行C 、必在内D 、以上均有可能3、 A，过 A 作与平行的直线可作（）A 、不存在B 、一条C 、四条D 、无数条4、 a // ， b 、 c ， a // b ， b c ，则有（）A 、 a // cB 、 a cC 、 a 、 c 共面D 、 a 、 c异面，所成角不确立5、以下四个命题（ 1） a // b ， b// ca // c （ 2）ab ， bc a // c（ 3） a // ， b a // b （ 4） a // b ， b //a //正确有（）个A 、 1B 、 2C 、 3D 、 46、若直线 a ∥ 直线 b ，且 a ∥ 平面，则 b 与 a 的地点关系是（）A 、必定平行B 、不平行C 、平行或订交D 、平行或在平面内7、直线 a ∥平面 ,平面内有 n 条直线交于一点，那么这 n条直线中与直线 a 平行的（）A 、起码有一条B 、至多有一条C 、有且只有一条D 、不行能有8、若aa b b a ABCD ABEF AB M N AC FB AMFN MN // BCE PPE CF Ib， a// ， a//ABCD E PA F AC EBFA EF // PCD 已知：，则 a与 b 的地点关系是（）Ａ． a// bＢ．abＣ． a， b 订交但不垂直Ｄ． a ， b异面2. 已知： Ib ，a//，a//，则 a与 b的地点关系是（）．Ａ． a// bＢ． abＣ． a 、 b 订交但不垂直Ｄ． a、 b 异面3. 直线 a与平面平行的充要条件是（）Ａ．直线 a与平面内的一条直线平行Ｂ．直线 a与平面内两条直线不订交Ｃ．直线 a与平面内的任一条直线都不订交Ｄ．直线 a与平面内的无数条直线平行4. 如图，已知 P 为平行四边形 ABCD所在平面外一点， M 为 PB 的中点，P求证：PD//平面MAC ．MBACD5.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D1 中， E ， F 分别是棱 BC ，C 1D1 的中点，求证： EF// 平面BB 1D 1D．D 1FC 1A 1B 1DCAEB6. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D1中，试作出过 AC 且与直线D 1B平行的截面，并说明原因．D 1C 1A1B 1DCAB7.如图， M 、 N 、 P 分别为空间四边形ABCD 的边 AB ， BC ， CD 上的点，且AM ∶MB CN∶NB CP∶PD ．求证：（１） AC// 平面 MNP ， BD// 平面 MNP ；（２）平面MNP与平面ACD的交线// AC．BAM EDN PC8.如图，空间四边形ABCD的对棱 AD、BC成60t的角，且AD BC a，平行于 AD 与BC的截面分别交AB、 AC 、CD、BD于E、F、G、H．A求证：四边形EGFH为平行四边形；EF9.如图，在四棱锥P ABCD中，别是 AB ， PC 的中点．求证： MN // 平面 PAD ．ABDHGC ABCD 是平行四边形，M ， N 分PNDCM B。

高中数学 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.2 平面与平面平行的判定课时作业新人教A版必修2

第二章 2.2 2.2.2 直线与平面平行的性质A级基础巩固一、选择题1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是 ( D )A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′[解析] 长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，故选D．2．下列命题正确的是 ( D )①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④[解析] 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．所以只有③④正确，选择D．3．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面 ( B )A．平行B．相交C．平行或相交D．平行或在平面内[解析] 如图所示．4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 ( B )A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个[解析] 若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在．5．如右图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是 ( A )A．平行B．相交C．异面D．不确定[解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1，又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1，又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.6．已知直线l、m，平面α、β，下列命题正确的是 ( D )A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β[解析] 如右图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．二、填空题7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为__平行或相交__.[解析] 三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是__平行__(填“平行”或“相交”).[解析] 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.三、解答题9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.[解析] 因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.10．(2016·南平高二检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C 的中点．求证：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.[证明] (1)连接AC，CD1.因为ABCD为正方形，N为BD中点，所以N为AC中点．又因为M为AD1中点，所以MN∥CD1.因为MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)连接BC1，C1D，因为B1BCC1为正方形，P为BC1的中点，所以P为BC1中点，又因为N为BD中点，所以PN∥C1D.因为PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，所以PN∥平面CC1D1D，由(1)知，MN∥平面CC1D1D且MN∩PN＝N，所以平面MNP∥平面CC1D1D.B级素养提升一、选择题1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题.①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③α∥c，β∥c⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤α∥c，a∥c⇒α∥a；⑥a∥γ，α∥γ⇒α∥a.其中正确的命题是( C )A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④[解析] ①平行公理．②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面．③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行．④面面平行传递性．⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内．⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内．故①④正确．2．下列结论中：(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．正确的序号为( C )A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4)3．若a、b、c、d是直线，α、β是平面，且a、b⊂α，c、d⊂β，且a∥c，b∥d，则平面α与平面β ( D )A．平行B．相交C．异面D．不能确定4．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中( A )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线[解析] 当直线a⊂β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A．二、填空题5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有__①②③__.(填序号)[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.同理平面PAD∥BC.6．如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD 的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__点M在FH上__时，有MN∥平面B1BDD1.[解析] ∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1，又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴当M∈FH时，MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.C级能力拔高1．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.[解析] 解法一：连接CG交DE于点H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG ∥平面DEF .解法二：∵EF 为△SBC 的中位线， ∴EF ∥SB .∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ， ∴EF ∥平面SAB .同理：DF ∥平面SAB ，EF ∩DF ＝F ， ∴平面SAB ∥平面DEF ，又∵SG ⊂平面SAB ，∴SG ∥平面DEF .2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.[思路分析] 由正方体的特征及N 为BB 1的中点，可知平面A 1FC 与直线DD 1相交，且交点为DD 1的中点G .若过M ，E 的平面α与平面A 1FCG 平行，注意到EM ∥B 1D 1∥FG ，则平面α必与CC 1相交于点N ，结合M ，E 为棱C 1D 1，B 1C 1的中点，易知C 1N ∶C 1C ＝14.于是平面EMN 满足要求．[解析] 如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝14C 1C 时，平面EMN 过点E ，M 且与平面A 1FC 平行．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H . ∵C 1N ＝14C 1C ，∴C 1N ＝12C 1H .又E 为B 1C 1的中点， ∴EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H ， ∴EN ∥CF .又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC，∴EN∥平面A1FC.同理MN∥D1H，D1H∥A1F，∴MN∥A1F.又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC，∴MN∥平面A1FC.又EN∩MN＝N，∴平面EMN∥平面A1FC.。

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s
i r
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1
直线与平面平行的判定●
知识梳理
1简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β => a ∥α
a ∥b
●
知能训练
一．选择题
1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β
D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（）
A ．α内存在直线与l 异面
B ．α内存在与l 平行的直线
C ．α内存在唯一的直线与
l 平行
D ．α内的直线与l 都相交
3．如图，M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列命题
①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直；
③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行．其中真命题是（）
g
o
d
f
o r
s A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③
4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．P 在对角线BD 1上，且BP ＝BD 1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面APC ；（2）C 1Q ∥面APC ；（3）A ，P ，M 三点共线；
（4）面MNQ ∥面APC ．正确的序号为（）
A ．（1）（2）
B ．（1）（4）
C ．（2）（3）
D ．（3）（4）
5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）
A ．12条
B ．18条
C ．21条
D ．24条
6．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．有无数条，不一定在平面
α内
C ．只有一条，且在平面α内
D ．有无数条，一定在平面α内
7．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的（）
A ．一条直线不相交
B ．两条直线不相交
C ．无数条直线不相交
D ．任意一条直线不相交
8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）
A ．DD 1
B ．A 1D 1
C ．C 1
D 1
D ．A 1D
9．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，
若BC 1∥平面AB 1D 1，则等于（）
A ．1/2
B ．1
C ．2
D ．3
r
e o o
d f
o r
s
10．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E ，F ，EF=，则下列结论中错误的是（）
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
的中点，AA =AB=2．
a
n d
2.2.2 平面与平面平行的判定
●知识梳理
1符号表示：
β
a β
b ∩ = β∥a b p α∥a α
∥b α
2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；
（3●
知能训练
一．选择题
1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：
①α内不共线的三点到β的距离相等；
②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；
③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是（）
A．①B．②C．①③D．③
2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）
A．α、β都垂直于平面r
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（）
A．平行B．相交C．异面D．以上都不对
h i n
（1）求证：平面PCD ∥平面MBE ；（2）求四棱锥M-BCDE 的体积．
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
知识梳理
1简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：
a ∥αa
β
a ∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2符号表示：
∥αβ
∩γ= ∥
αa a b
∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
【参考答案】2.2.1
1.D
2.A
3.C
4.C
5.D
6.C
7.D
8.D
9.B 10.A 11.D 12. 点N 在EG 上；点N 在EH 上 13.
14. 解：（1）证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于O ，连接OD ，∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，
∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥B 1A ．OD ⊂平BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ．
（2）∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∴侧棱CC 1∥AA 1，又∵AA 1底面ABC ，∴侧棱CC 1⊥面ABC ，故CC 1为三棱锥C 1-BCD 的高，A 1A=CC 1=2，∴S △BCD ＝S △ABC ＝ (BC •AB )＝．
∴V D −BCC 1＝V C 1−BCD ＝CC 1•S △BCD ＝•2•＝1．2.2.2
1.D
2.D
3.A
4.1
5.②③
6. （1）证明：在四棱柱中，∵BC ∥A ′D ′，且BC=A ′D ′，∴A ′BCD ′是平行四边形，∴A ′B ∥CD ′，
又∵A ′B ⊄平面B ′CD ′，CD ′⊂B ′CD ′，
∴A ′B ∥面B ′CD ′，
又A ′B ⊂面A ′BD ，A ′D ⊂面A ′BD ，且A ′B ∩A ′D=A ′，∴平面A ′BD ∥平面B ′CD ′．
（2）解：∵A ′O=1，AB=AA ′=A ′D=．∴A ′O 2+OA 2=AA '2，A ′O 2+OB 2=A ′B 2，
∴A′O⊥OA，A′O⊥OB，
∴A′O⊥平面ABCD，
∴V C-A D D′=V D′-A C D=V A′-A C D=S△A C D•A′O=．
7. 解：（1）证明：连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点
∵M是PA的中点，∴MG∥PD
∵PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE
∴PD∥平面MBE
∵DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE
∴DC∥平面MBE
∵PD∩DC=D
∴平面PCD∥平面MBE；
（2）因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面
ABC，AB=2，PA=2，M是PA的中点，所以所求棱锥的高为，底面面积为
3××22=3．
所以所求棱锥的体积为：×3×=．
2.2.3
1. 2. 3.9 4.2 5.4:25
6.
i
s
g
n
i
h
t
l
l
A
d
n
a
e
7.证明：连接AF，交β于G，连BG，EG，（3分）
则由β∥γ得AB:BC=AG:GF.．（7分）
由α∥β得AG:GF=DE:EF，（10分）
所以AB:BC=DE:EF．（12分）。

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