2020考研数学三综合测试卷及解答

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2020考研数学(三)真题(含解析)

，
而 cos f '(x) cos f '(x) ，故 cos f '(x) 也为偶函数，故 cos f '(x) f (x) 为非奇非偶函数。

(4) 已知幂级数 nan (x 2)n 的收敛区间为(−2,6) ，则 an (x 1)2n 的收敛区间为
n1
n1
(A).(-2,6) (B).(-3,1) (C).(-5,3) (D).(-17,15)
（C） x k11 k23 k34
【答案】 C
（D） x k12 k23 k34
4
(5)设 4 阶矩阵 A (aij ) 不可逆， a12 的代数余子式 A12 0 ，1,2,3,4 是矩阵 A 的列向量组， A*为
A 的伴随矩阵，则 A* x 0 的通解为（
）
（A） x k11 k22 k33
（B） x k11 k22 k34
f ( x)a f ( x) a
ua u a
【解析二】由拉格朗日中值公式得 sin f (x) sin a ( f (x) a)cos ，其中介于 a 与 f (x) 之间，
由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，故 lim a ，
）
xa x a
xa
xa
（A） bsin a （B） bcos a （A） bsin f (a) （A） bcos f (a)
【答案】B
【解析一】由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，
xa x a

2020数学三真题答案

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．(1)设()limx af x a b x a →-=- ，则sin ()sin lim ()x a f x ax a→-= -(A).sin b a (B).cos b a (C).sin ()b f a (D).cos ()b f a 【答案】B 【解析】x x sin ()sin sin ()sin ()limlim cos ()cos ()()x a a a f x a f x a f x af x b b f a x a f x a x a=→→---=⋅=⋅=--- 设()f x u =，则()()sin ()sin sin sin lim =lim cos cos ()()u f a x a u f a f x a u au f a f x a u a=→→--==--则x sin ()sin sin ()sin ()sin ()sin ()limlim lim lim()()=cos x a a x a x a f x a f x a f x a f x a f x a x a f x a x a f x a x a b a→→→→-----=⋅=⋅-----(2)函数11ln 1()(1)(2)x xe xf x e x -+=--，则第二类间断点个数为（） (A).1 (B).2 (C).3 (D).4【答案】C 【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：1.找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判定。

第二类间断点的定义为00(),()f x f x -+至少有一个不存在，很显然()f x 不存在的点为1,0,1,2x x x x =-===。

2020年考研数学三真题及答案解析

设 k1(α1 α2 ) k2α2 0 ，即 k1α1 (k1 k2 )α2 0 ，
由于 α1, α2 线性无关，故 k1 k2 0 可知 α1 α2 , α2 线性无关.
α3 是 A 属于特征值 1的特征向量，即 Aα3 α3 ，因此 A(α3) (α3 ) ，即 α3 也是 A 属于特征值 1的特征向量
1 0 0
属于特征值
1的特征向量，则满足
P 1 AP
=
0
1
0
的可逆矩阵
P
为
（
）
0 0 1
（A） α1 α3, α2 , α3 .
（B） α1 α2 , α2, α3 .
（C） α1 α3, α3, α2 .
（D） α1 α2 , α3, α2 .
（6）【答案】（D）.
【解析】α1, α2 是 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量，即 Aα1 α1, Aα2 α2 ，故 A(α1 α2 ) α1 α2 ，即 α α2 也是 A 属于特征值 1 的特征向量.
（D） x k1α2 k2α3 k3α4 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数.
（5）【答案】（C）.
【解析】由 A 不可逆知， r A 4 ，又元素 a12 对应的代数余子式 A12 0 ，故 r A 3 ，从而 r A 3 .
n, r A n,
由 r A* 1, r A n 1, 可知 r A* 1.
xa
xa
xa
xa
xa
b lim cos b cos a. a
故应选（B）.
1
（2）若 f x e x1 ln 1 x , 则 f x 第二类间断点的个数为
ex 1 x 2

2020年数学(三)试题及答案解析

.
11. Q 表示产量，成本函数 CQ 100 13Q, ，单价为
p ，需求量 q p
800 2. 则工 p3
厂取得利润最大时的产量为
.
12.设平面区域
D

x, y

x 2

y

1 1 x2
,0
x
1,
则
D
绕
y
轴旋转所成旋转体体积
为
.
a 0 1 1
B. 5 X Y
5
C. 3 X Y
3
D. 3 X Y
3
二、填空题（9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位
置上）
9.设 Z arctan xy sin x y , 则dz 0,
.
10.曲线 x y e2xy 0 在点 (0，-1) 处的切线方程为
第二类间断点个数（
ex 1 x 2
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

4.幂级数 nan x 2n 的收敛区间为（-2,6），则 an x 1 2n 的收敛区间为（）
n1
n1
2
A. - 2,6
B. - 3,1
C. - 5,3
D. -17,15
当需求量与产量相同时最大
Q 800 2 p3
11
解得
p

794 Q
3Q 2
,
所以
L(Q)

Q
794 Q

3Q 2
100
13Q
则
L(Q)

(794

2020考研数学三真题及答案解析

dx
(11)设产量为 Q ，单价为 P ,厂商成本函数为 C(Q=) 100 +13Q ，需求函数为 Q= (P) 800 − 2 ，
P+3
求厂商取得最大利润时的产量
【答案】 Q = 8
【解析】由 Q= (P) 800 − 2 可知=P 800 − 3 ，则利润函数为
P+3
Q+2
L(Q)=
800 Q+2
在 x = 2 处， lim f (x) = −∞ ， lim f (x)= +∞ ；
x→2−
x→2+
所以，第二类间断点为 3 个。
(3) 对奇函数 f (x) 在 (−∞, + ∞) 上有连续导数，则( )
(A).
x
∫0
[cos
f
(t) +
f
′(t )] dt
是奇函数
(B).
x
∫0
[cos
f
(t) +
(6)设 A 为 3 阶矩阵，α1,α2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，α3 为 A 的特
1 0 0
征值 −1的特征向量。若存在可逆矩阵 P ，使得 P−1= AP
0
−1
0
，则
P
可为（
）
0 0 1
（A） (α1 + α3, α2 , −α3)
（B） (α1 + α2 , α2 , −α3 )
4
则 lim an+1 (x + 1)2n = 1 (x + 1)2 < 1 ，即 −3 < x < 1
a n→∞ n
4
所以本题选 B 。

2020考研数学(三)答案解析

2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题与参考答案一、选择题（1）设limf (x) ab ，则lim sin f ( x ) sin a（）x a x ax ax a （A ）b sin a . （B ）b cos a .（C ）b sin f a .（D ）b cos f a .（1）【答案】（B ）.【解析】由拉格朗日中值定理知，存在介于a 与 f (x) 之间，使得sin f ( x ) sin a cosf ( x ) a .由lim f (x) a b ，则有lim f (x) a . x a x a x a从而有lim sin f ( x ) sin a x ax alim cos f ( x ) a bax a xb lim cos b cos a.alim cosxa故应选（B ）.e ln 1 x （2）若f x x 1 , 则 f x 第二类间断点的个数为（）e x 1 x 2 （A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.1（2）【答案】（C ）.【解析】由 f x 表达式知，间断点有 x 0, 1, 2.11 x1xe x 1 ln e e 1，故 x 0 为可去间断点；因lim f xlimlimx 11 ex 0x 0 xx 0x x 221 1 x因 lim f x lim e x 1 ln ，故 x 1 为第二类间断点；e x 1 x 2 x 1x 11 1 x因 lim f x lim e x 1 ln ，故 x 1 为第二类间断点；e x 1 x 2 x 1x 11 1 x因lim f x lim e x 1 ln ，故 x 2 为第二类间断点；e x 1 x 2x 2x 2综上，共有 3 个第二类间断点. 故应选（C ）.（3）设奇函数 f x 在,上具有连续导数，则（）（A ） x cos f t ft dt 是奇函数.（B ） xcos f t ft dt 是偶函数.（C ） xcos f t f t dt 是奇函数.（D ） x cos f t f t dt 是偶函数.（3）【答案】（A ）.【解析】因为 f x 在 , 上具有连续导数，且为奇函数，故 f x 为偶函数，又cosf x 也为偶函数，从而cos f t f t 为偶函数，进而xcos f t f t dt 是奇函数.故应选（A ）.2x 2 n（4）设幂级数na n的收敛区间为2, 6 ，则a n x12n的收敛区间为（）n 1n 12, 65, 317,15（A）.（B）3,1 .（C）.（D）.（4）【答案】（B）.【解析】由幂级数性质知，幂级数 na n x n与 a n x n有相同的收敛半径.n 1n 1n的收敛区间为 2, 6因 na n x 2，故有 na n x n的收敛半径R 4 ，从而n 1n 1a n x n的收敛半径R 4 ，故当x124时，级数 a n x 1 2n收敛，所以其收敛n 1n 1区间为3,1.故应选（B）.（5）设 4 阶矩阵A a ij不可逆，元素a12对应的代数余子式A120 ，α1, α 2, α3, α4为矩阵 A 的列向量组， A*为 A 的伴随矩阵，则 A* x 0 的通解为（）（A）x k1α1k 2α2k3α3，其中k1 , k 2 , k3为任意常数.（B）x k1α1k 2α2k3α4，其中k1 , k 2 , k3为任意常数.（C）x k1α1k 2α3k3α4，其中k1 , k 2 , k3为任意常数.（D）x k1α 2 k 2α3k3α4，其中k1 , k 2 , k3为任意常数.（5）【答案】（C）.【解析】由 A 不可逆知，r A 4 ，又元素a12对应的代数余子式 A120 ，故r A 3 ，从而r A 3 .n,r A n,*r A n 1,*1 .由r A1,可知r A0,r A n 1,故A* x 0 的基础解系含有3个解向量.因α1, α 2, α3, α4为矩阵 A 的列向量组，则α1, α3, α4可看作 A12对应矩阵列向量组的延长组，故α1, α3, α4线性无关.3又A* A = A*α1, α2 , α3, α4 A E 0, 故α1, α3, α4均为 A* x 0 的解.综上，α1, α3, α4为 A* x 0 的一个基础解系，故 A* x 0 的通解为 x k1α1 k 2α3 k3α4，其中k1 , k 2 , k3为任意常数.故应选（C）.（6）设A为 3 阶矩阵，α1,α2为A的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，α3为A的100属于特征值 1的特征向量，则满足P1010的可逆矩阵 P 为（）AP =001（A）α1α3,α2,α3 .（B）α1α2,α2,α3 .（C）α1α3,α3,α2 .（D）α1α2,α3,α2 .（6）【答案】（D）.【解析】α1, α2是 A 属于特征值1的线性无关的特征向量，即Aα1α1 , Aα2α2，故A(α1α 2) α1α2，即α1α2也是 A 属于特征值1的特征向量.设k1(α1α 2 ) k2α2 0 ，即k1α1 ( k1 k2)α2 0 ，由于α1, α2线性无关，故k1k20 可知α1α2, α2线性无关.α3是 A 属于特征值 1的特征向量，即Aα3α3，因此A( α3 )( α3 ) ，即α3也是 A 属于特征值 1的特征向量100可取P ( α α, α , α) ，则 P 是可逆矩阵，且满足P1AP010.1232001故应选（D）.（7）设A,B,C为三个随机事件，且P A P B P C 14,P AB0, P AC P BC121,则 A, B , C 恰有一个事件发生的概率为（）（A）3.（B）2.（C）1.（D）5. 432124（7）【答案】（D ）.【解析】事件 A, B , C 中仅有一个发生的概率可用至少一个发生的概率减去至少发生两个的概率表示，即P ( ABC A BC ABC ) P ( A B C ) P ( AB AC BC),而 P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC) ，因 P ( AB) 0 ，故P ( ABC) 0 ，从而P ( A B C)34 0 121121 0 127 ,P ( AB AC BC ) P ( AB ) P ( AC )P ( BC )P ( ABC )P ( ABC )P ( ABC ) P ( ABC)0 121 12116 ,故 P ( ABC ABC ABC) 127 16 125. 故应选（D ）.1（8）设随机变量 X , Y 服从二维正态分布 N 0, 0;1, 4;，下列随机变量中服从标准2正态分布且与 X 独立的是（）（A ） 5X Y . （B ） 5X Y . 5 5（C ） 3X Y .（D ） 3X Y .3 3（8）【答案】（C ）.【解析】由二维正态的性质知 X Y ~ N ( ,2 ) ，因E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 0,2D ( X Y ) D ( X ) D (Y ) 2 cov( X , Y ) 1 4 2 XY D ( X ) D (Y )1 42 (12) 1 2 3,X Y 0 3 ( X Y ) ~ N (0,1) .353( X Y )又, X服从二维正态分布，而33( X Y )3cov( X , X ) cov( X , Y ) cov, X333 D ( X ) D ( X ) D (Y )3XY311 () 1 2320,故3( X Y )与 X 不相关，由二维正态的性质知，3( X Y )与 X 独立.33故应选（C）.二、填空题（9）设z arctan xy sin x y ，则dz．0,π（9）【答案】π 1 dx dy .【解析】因为z xy cos x y, 1 xy sin x y 2z yx cos x y, 1 xy sin x y 2从而zπ cos ππ 1,0,πsin πx12z0 cos π1,sin π2y0,π1故dz0,ππ 1 d x d y .（10）曲线x y e2xy0在点0,1处的切线方程为．（10）【答案】y x 1.6【解析】方程 x y e 2xy0 两边对x求导，得1y e 2xy 2 y 2 xy0 ，代入 y(0) 1 ，得1y 0 2 00 ，解得 y 0 1 .从而切线方程为 y 1 1x0 , 即y x 1.（11）Q表示产量，成本C Q100 13Q ，单价为 p ，需求量Q p p80032.则工厂取得利润最大值时的产量．（11）【答案】Q8.【解析】设收益函数为R ，则R pQ ，又p8003，故R800Q3Q. Q 2Q 2要使得利润最大，则有MR MC ，即1600 3 13，解得Q 8. Q 2 2x12（12）设平面区域Dx , y y, 0 x1,则D 绕 y 轴旋转所成旋转体体1 x2积为．（12）【答案】π ln 2π3.【解析】1 2πx1x1x 31πVy0 d x 02π x dx π ln(1x2 )ππ ln 2.1 x22033 a01113. 行列式0a11．11a0110a（13）【答案】a2a24 .【解析】7a 0 1 1 a a 0 0 a 00 00 a 110 a 1 10 a 1 11 1 a 0 1 1 a 0 1 2a 0 11 0 a0 0 a a0 0 a aa a11a a 3 4a a 2 a2 4 .2 a 00 a a（14）设随机变量X的概率分布为P X k 1( k 1, 2, ) ，Y表示X除以3的余k2数，则EY．（14）【答案】8 . 7【解析】Y 的全部可能取值为0,1, 2.当X 3k 2( k 1, 2, ) 时，Y1；当 X 3k 1( k 1, 2, ) 时，Y2；当X 3k ( k 1, 2, ) 时，Y 0 .故P Y 114，P Y 212，P Y 011，3 k 2 3 k 1 3 k272727 k 1k 1k 1从而EY 8. 7三、解答题（15）（本题满分 10 分）已知(11) n e 与b为n时的等价无穷小，求a,b.n n a（15）【解析】由题意有11(1) n e e nln(1)en1 lim n limb bn nn a n a1n ln(11)1e(e n ln(1) 11)lim e lim n, n nn a n a8令1n t ，则1从而a 1 2,2e b1ln(1 t ) 1e lim t e limt 0b t a t 0a1,1 ，解之得b2e.ln(1 t ) t1t2e lim2,b t a1 b t a1t 0（16）（本题满分 10 分）求f ( x , y ) x 3 8 y 3 xy 的极值.（16）【解析】因为 f 3 x 2y , f 24 y 2 x,x y2y 0,11f x 3 x联立方程组f24 y2x0,解得驻点为 0, 0 ,,.612y在点 0, 0 处：A f xx0, 0 0,B f xy0, 01,C f yy0, 0 0, AC B2 1 0 ，故0, 0不是极值点.1 ,1在点处：612A f1,1 1 0,B f1,11,C f1,14,xx xy yy6 12 6 12 6 12211AC B 4 1 0 ，故,是极小值点，极小值为61211 1 3 1 3111f,.126122166612（17）（本题满分 10 分）已知 y f x 满足 y 2 y 5 f ( x) 0, 且有 f (0) 1, f (0) 1.（Ⅰ）求 f ( x) ；（Ⅱ）a n nπf ( x )dx ，求a n.n 19（17）【解析】（Ⅰ）由 y 2 y 5 f ( x) 0 ，得其特征方程为 2 25 0 ，解得2 16 i 1 2i.1,22故方程通解为 f ( x ) e x (C cos 2 x C sin 2 x).1 2因 f (0) 1, f (0) 1 C 1,C 1,，则有1 解得 12C 2 C 11, C 2 0,从而有 f ( x ) e x cos 2 x.（Ⅱ）因e x cos 2 xdx cos 2 xde xe x cos 2 x 2 e x sin 2 xdx e x cos 2 x 2 sin 2 xde xe x cos 2 x 2e x sin 2 x 4 e x cos 2 x d x ,故 5 e x cos 2 xdx e x cos 2 x 2e x sin 2x C 1 ，从而有e x cos 2 xd x15 e x (2 sin 2 x cos 2 x ) C ，故a n nπ e x cos 2 xd x1ex(2 sin 2 x cos 2 x)|nπ .5因 lim e x (2 sin 2 x cos 2 x) 0 ，故a1 e n π (cos2 nπ 0) 1 e nπ . nx5 511e π1进而有 a ne nπ.51 eπ 5(e π1)n 15 n 1（18）（本题满分 10 分）已知 f ( x , y )y 1 x 2 xf ( x , y )d xdy ，其中D x ,y x 2x 2 1, y 0 .D求 xf ( x , y )dx dy .D10（18）【解析】记 f ( x , y )dxdy A ，则f(x,y)y1x 2Ax ，故DA f ( x , y )dx dy( y1x 2Ax )d xd yD Dy 1 x 2 d xdy A xd xd y ,D D因积分区域D 关于 y 轴对称，故xd xd y0.D又Ay dx dy 11 d x 01x21 x 2y 1 x2 dyD1 13令x sin tπ1242212(1 x)dxπ2cos td tπ 3 1 π 3π02cos4tdt4 2 2 16.3πx 因此xf(x,y)d( xy3πx2 )d .可知 f ( x , y ) y 1 x 2 1 x 21616D D因积分区域D 关于 y 轴对称，xy1x2是x的奇函数，故xy 1x2 d0.D故xf ( x , y )d 3πx 2 d11dx0 1 x23πx 2 dy 16D D1613ππ3π2222116x 1 x d xπ16sin t cos t cos tdt23ππ2 sin 2 t(1 sin 2 t)dt3π (1π3 1π)3π2.8 08 2 2 4 2 2 128（19）（本题满分 10 分）设 f x 在区间 0, 2 上具有一阶连续导数，且 f 0 f 20, M max x0,2 f x.11（Ⅱ）若对任意 x0, 2 ，f x M ，则M0 .（19）【证明】（Ⅰ）因f x在0, 2上连续，故存在最大值M max x0,2 f x.若M 0，则对0,2 ，都有f0 ，命题成立.若M 0，因 f 0 f 2 0, 故存在 x0 0, 2 ，使得f x0M.当x0 0,1 ，由拉格朗日中值定理知，存在1 0, x00,1 ，使得f x0 f 0 f 1 x0 ,则有f 1f x0MM . x0x0当x0 1, 2 ，由拉格朗日中值定理知，存在2 x0 , 2 1, 2 ，使得f 2 f x0 f 2 2 x0 ,则有f 2f x0MM . 2x02x0当 x01，由拉格朗日中值定理知，存在30,1 ，使得f3 f 1 f 0 f 1M .综上，存在0, 2 ，使得f M .（Ⅱ）假设M0 ，因对任意 x0, 2 ，有f x M ，由（Ⅰ）知，当x0 0,1 或 x0 1, 2 时，存在0, 2 ，使得f M ，矛盾，从而有M 0.当x0 1时，有f1M，则 f 1M ，不妨设 f 1 M .构造函数 g x f x Mx, x0,1 .因为 g x f x M 0, 故 g x 单调不增.又 g 0 0, g 1 0 ，从而 g x 0, x 0,1 ，即 f x Mx , x 0,1 .构造函数h x f x Mx 2 M , x1, 2 .因为h x f x M0 ，故h x 单调不减.又h 1 M M2 M 0, h 2 0 ，从而h x 0, x 1, 2 ，即 fx Mx 2M .综上，当 x 0 1时， f x Mx, 0 x 1,2 M , 1 x 2.Mx因为f 1 limf x f 1 limMx MM 0,x 1x 1 x 1 x 1f 1 limf x f 1lim Mx 2M M M 0,x 1x 1x 1x 1故与 f x 在 x 1 处可导矛盾，从而当 x 0 1时，有M 0 .若 f 1 M ，则可构造 g x f x Mx, h x f x Mx 2 M , 同理可证.综上，若对任意 x 0, 2 ，f xM ，则M 0 .（20）（本题满分 11 分）设二次型 f x 1 , x 2 x 124 x 1 x 2 4x 22xy经正交变换 1Q 1化为二次型x 2y 2g y 1 , y 2 ay 124 y 1 y 2by 22, 其中ab .（Ⅰ）求a , b 的值；（Ⅱ）求正交矩阵Q .1 2 （20）【解析】（Ⅰ）设二次型 f 的矩阵为 A ，则 A24.又 f 经正交变换 X QY 化成 g y 1 , y 2 ay 12 4 y 1 y 2 by 22 , 即X QYa 2f X TAX = Y T Q T AQY Y T2 b Y .a 2 a 因此Q T AQ =2 b. 记B =22，由于Q 为正交矩阵，故 A 与B 相似且合同，btr A 故 A B又a b ，故tr B , 1 4 a b, 解得a 4, b 1或a 1, b4. 即, ab 4 0,a 4,b 1.42，且 A 与B 相似.又（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B =21A E122 5 ,24可知， A 与B 特征值均为1 0, 25.对于1 0 ，解A0E x0，得 A 的属于特征值0的特征向量α12，1对于2 5 ，解A5E x0，得 A 的属于特征值5的特征向量α212，α12α211α1, α2已经正交化，故直接单位化，得β11β2.α12故可取 P1β1,β2，则 P1为正交矩阵，且有 P11 AP10.5对于1 0 ，解B0E x0，得B 的属于特征值0的特征向量α212，对于2 5 ，解B5E x0，得B 的属于特征值5的特征向量α12，1故可取 P2β2,β1，则 P2为正交矩阵，且有 P21BP2.5则有 P 1 AP P 1BP，因此 P P 1 AP P 1 B .1122211214 3取Q = P P15555 5 5P P T, 则1212 3 45555 5 5Q T = P1 P2T T P2 P1T ,Q 1 = P1 P2T 1P2T 1 P11P2 P1T .综上，有Q 为正交矩阵，且满足Q T AQ B .14（21）（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P = α , Aα ，其中α 是非零向量，且不是 A 的特征向量. （Ⅰ）证明 P 为可逆矩阵；（Ⅱ）若 A 2 α + Aα 6α 0 ，求 P 1 AP 并判断 A 是否相似于对角阵. （21）【解析】（Ⅰ）若α 与 Aα 线性相关，则α 与 Aα 成比例，又α 是非零向量，故有 Aαkα .由特征值、特征向量的定义知，α 是 A 的属于特征值k 的特征向量，与已知矛盾，故α 与 Aα 无关，从而 P 可逆.（Ⅱ）由 A 2 α + Aα 6α 0 知， A 2 α =Aα6α, 则AP = A α , Aα Aα , A 2 α Aα , Aα 6α0 6 0 6α , Aα P ,11116记B，则有 AP = PB, 得 P 1 AP B ，故 A 与B 相似.11因为 B E6 2632 ,11可知，B 的特征值为 1 3, 2 2. 故 A 的特征值也为 1 3, 2 2.因此 A 可相似对角化.（22）（本题满分 11 分）已知因（X , Y ）服从区域D : 0y 1x 2 上的均匀分布，且1, X Y 0, UX Y 0,0,1, X Y 0, VX Y 0.0,求：（Ⅰ）(U , V ) 的联合分布；（Ⅱ）UV .（22）【解析】（Ⅰ）因（X,Y）服从区域D: 0y 1x2上的均匀分布，故P{U0, V 0}P{ X Y0, X Y0}14,P{U0, V 1}P{ X Y0, X Y0}0,P{U1, V 0}P{ X Y0, X Y0}12,P{U1, V 1}P{ X Y0, X Y0}14.从而(U , V ) 的概率分布为V01U01/4011/41/2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，01P3/41/401P1/43/401P3/41/4故E (UV ) 14 , E (U )34 , E (V )14 , D (U ) 163, D (V ) 163.131cov(U , V ) E (UV ) E (U ) E (V )1.从而444 UV3334423. （本题满分 11 分）t me,t 0,1设某种元件的使用寿命T 的分布函数为：F ( t )0, 其他.其中 , m 为参数且大于零.（Ⅰ）求概率P{T t}与P{T s t | T s}，其中s 0, t 0 ；（Ⅱ）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t 1, t 2 ,t n ，若m 已知，求的最大似然估计值 .（23）【解析】（Ⅰ）1 e ( t m e ( t mP{T t } 1 P{T t } 1 F (t ) 1 )).P{T s t | T s}P{T s t , T s} P{T s t } 1 F (t s) 1 F ( s )P{T s} P{T s}( t s ) m( t s )mm( t s)m1 [1 e]ese m .s s1 [1 e ( ) m( )m]et m 1 ( t )mt 0,me,m（Ⅱ）由题意得，T 的概率密度为 f (t ) F (t )其他.0,nm 1nt it i ( )mm n i 1 e i 1 , t 0,nmni似然函数L ( )f (t i ; )i 1其他.0,nm 1nti( t i)m当t 0 时，L ( ) m ni 1ei 1，nnt iln L ( ) n ln m ln t i m 1mn ln( )m，i 1 i 1 nd ln L ( )mn n t t mnt i mii 1令m () m 1im 0 ，解之得的最大似然估 d2 m 1i 11 n计值为mn i 1 t i m .。

2020年考研数学(三)真题(后附解析答案)

2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)设1口心—°= b,则lim sinfQ)—sina=().x-^a x——a x-*a3C——a(A)6sin a(B)6cos a(C)6sin/(a)iIn I14-rr I(2)函数心)=二的第二类间断点的个数为((e—1)(j?—2)(A)l(B)2(03(3)设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则().(A)f[cos/"(/)+/^(Olldr是奇函数J0(E)「[cos/(i)+/(O]d^是偶函数J0(C)[[cos/"'(/)+y(t)]d/是奇函数J0(D)「[cos是偶函数J0(D)bcos/(a) ).(D)4(4)设幕级数—2)"的收敛区间为(一2,6),则工a”Q+l)2n的收敛区间为().n=\n=1(A)(-2,6)(B)(-3,l)(0(-5,3)(D)(-17,15)(5)设4阶矩阵A=(a“)不可逆,a*的代数余子式A12丰O,aj,a2,a3,a,为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A*X=0的通解为().(A)X=^1a1+^2a2+^3a3,其中k x,k2,k.为任意常数(B)X=^1a1+k2a2+k3a4,其中k,,k2,k3为任意常数(C)X=bS+展as+匕。

4,其中紅,k2,k3为任意常数(D)X=k i a2k2a3+怂。

4,其中ki,k2^k3为任意常数(6)设A为3阶矩阵,a】，a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as为A的属于特征I1°°\值一1的特征向量，则满足P_1AP=0-10的可逆矩阵卩为().'o01'(A)(a j a3,a2,—a3)(B)(a〕+ct2，a2，—a3)(C)(a1+a3,—a3,a2)(D)(a T+a2»—a3,a2)(7)设A,B,C为三个随机事件，且PC A)=P(£)=P(C)=±,P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=2，412则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为().3215(A)Z(B)T(C)7(D)12(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4；-，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X相互独立的是().(A)啤(X+Y)(B)尝(X—丫)55(C)y(X+Y)(D)y(X-Y)二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)(9)设z=arctanRy+sin(z+了)],贝0dz|(0,…)=______.(10)曲线jc y+e2iy=0在点(0,—1)处的切线方程为________.(H)设某厂家生产某产品的产量为<2,成本C(Q)=100+13Q,该产品的单价为/,需求量—2,则该厂家获得最大利润时的产量为(12)设平面区域。

2020考研数学(三)答案解析

P(A B C) 3 0 1 1 0 7 , 4 12 12 12
P(AB AC BC) P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC) P( ABC) P( ABC) P( ABC)
0 1 1 0 1, 12 12 6
故 P( ABC ABC ABC) 7 1 5 . 故应选（D）. 12 6 12
是奇函数.
x
（B） 0 cos
f
t
f
t dt
是偶函数.
x
（C） 0 cos
f
t
f
t dt
是奇函数.
（D）
x
0
cos
f
t
f
t dt
是偶函数.
（3）【答案】（A）.
【解析】因为 f x 在 , 上具有连续导数，且为奇函数，故 f x 为偶函
数，又 cos f x 也为偶函数，从而 cos f t f t 为偶函数，进而
（D） x k1α2 k2α3 k3α4 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数.
（5）【答案】（C）.
【解析】由 A 不可逆知， r A 4 ，又元素 a12 对应的代数余子式 A12 0 ，故 r A 3 ，从而 r A 3 .
n, r A n,
由 r A* 1, r A n 1, 可知 r A* 1.
e
lim
n ln(1 1 )
en
e
n
b
n
b
na
na
lim
n ln(1 1 )1
e(e n
1)
e
lim
n ln(1
1) n
1 ,
n
b
n
b
na

2020考研数学三真题及解析

2020考研数学三真题及解析一、选择题：1~8 小题，第小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设()sin ()sin lim,limx x f x a f x ab x a x a→∞→∞--=--则A.sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D.cos ()b f a 答案：B解析：sin ()sin [()]limlim cos cos .x a x a f x a f x a b a x a x aξ→→--==--（其中ξ介于()f x 与a 之间）∴选B2.()()11ln |1|()12x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点111110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222x x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1122ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim 0(1)(2)x x x x e x f x e x ---→→+==--1111ln |1|lim ()lim (1)(2)x x x x e x f x e x ++-→→+==∞--1x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→-→-+==∞--1x =-为第二类间断点3.设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，则A.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是奇函数B.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是偶函数C.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是奇函数D.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是偶函数答案：A 解析：()[cos ()()]d xF x f t f t t'=+⎰()cos ()()F x f x f x ''=+由()f x 为奇函数知，()f x '为偶函数.cos ()f x 为偶函数.故()F x '为偶函数.()F x 为奇数∴选A4.设幂级数1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为（-2，6），则21(1)nnn a x ∞=+∑的收敛区间为A.（-2，6）B.（-3，1）C.（-5，3）D.（-17，15）答案：B 解析：由于1111(1)11limlim 4n n n n n nn a a na a R ρ++→∞→∞+====12121lim4.4n n na R a ρρ+→∞===∴= 22R '∴==，故所求收敛域为（-3，1），∴选B.5.设4阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则*0A x =的通解为A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++答案：C 解析：∵A 不可逆∴|A |=0∵120A ≠∴()3r A =∴*()1r A =∴*0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0A A A E ==∴A 的每一列都是*0A x =的解又∵120A ≠∴134,,ααα线性无关∴*0A x =的通解为112334x k k k ααα=++，故选C.6.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，则1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的可逆矩阵P 为A.1323(,,)αααα+-B.1223(,,)αααα+-C.1332(,,)αααα+-D.1232(,,)αααα+-答案：D解析：1122,A A αααα==33A αα=-1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭P ∴的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.α-1232(,,)P αααα∴=+-∴选D7.设,,A B C 为三个随机事件,且1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,()P AC =1()12P BC =,则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为A.34 B.23C.12D.512答案：D 解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ==-()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=--+=()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=--+=()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=--+=()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是 A.5()5X Y + B.5()5X Y -C.()3X Y +D.()3X Y -答案：C解析：[]12()cov(,)333D X Y DX DY X Y ⎤+=++⎥⎣⎦[]123352133()03()~(0,1).3DX DY E X Y X Y N =++=-=⎤+=⎥⎣⎦+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定的位置上9.设arctan[sin()],z xy x y =++则(0,)d |z π=________.解析：d d d z z z x y x x∂∂=+∂∂2(0,π)1[cos()],π11[sin()]z z y x y x xy x y x ∂∂=++=-∂+++∂2(0,π)1[cos()],11[sin()]z z x x y y xy x y y∂∂=++=-∂+++∂∴(0,π)(π1)d d zx y x ∂=--∂10.曲线2e 0xyx y ++=在点（0，-1）处的切线方程为________.解析：21(22)0xy y e y xy ''+++=①将0,1x y ==-代入①得1.y k '==11(0)1.y x y x ∴+=-=-即11.Q 表示产量，成本()10013C Q Q =+，单价p ，需求量800() 2.3Q P P =-+则工厂取得利润最大时的产量为______.解析：()L QP C Q =-8003100132800161002Q QQ Q Q Q ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭=--+22160016(2)()0(2)8Q L Q Q Q -+'==+∴=12.设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，则D 绕y 轴旋转所成旋转体体积为______.解析：11222102x dy x dyππ+⎰⎰1122102121312014141ln 32411ln 23821ln 23y dy dyy y y πππππππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰13.行列式01101111011a a a a --=--________.解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.0a a a a a a a aaa a a a a aa aaaa a a aa a a----=----+-+-==----=--=-14.随机变量X 的概率分布1{},1,2,32kP X k k Y ===…，表示X 被3除的余数，则()E Y =______.解析：{0}{3,1,2.}P Y P X k k ====L 3101{1}{31,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 321{2}{32,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 313211()1222k k k k E Y ∞∞++===⋅+⋅∑∑111111221188=+--87=三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b 为常数，11e nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭与a b n ，当n →∞时为等价无穷小，求,a b .15.【解】1ln 11ln 112111e 11lim lim [e e]1lim e[e 1]11lim e ln 11111lim e 1211lim e 2nn a n n n an an n a n a n a n n n b b n n b n n b n n n b n n n b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞→∞→∞-→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-=⋅⋅-⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭10a ∴-=1e 112a b ⎛⎫∴=⋅-= ⎪⎝⎭e 2b =-16.求二元函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值解析：.求一阶导可得22324fx y x fy x y∂=-∂∂=-∂令100601012f x x x f y y y∂⎧⎧==⎪⎪=⎧∂⎪⎪⎨⎨⎨∂=⎩⎪⎪==⎪∂⎪⎩⎩可得求二阶导可得2222226148f f fx y x x y y ∂∂∂==-=∂∂∂当0,00. 1.0x y A B C -====-=时.20AC B -<故不是极值.当11612x y ==时1. 1. 4.A B C ==-=2110.10,612AC B A ⎛⎫->=> ⎪⎝⎭故且极小值极小值33111111,8661261212216f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.若250,(0)1,(0)1y y y f f ''''++===-，则（1）求()f x （2）()d n n a f x x π+∞=⎰,求1nni a =∑解析：（1）250y y y '''++=的特征方程为2250r r ++=∴1212r i⋅=-±∴12()e (cos 2sin 2)xy x c x c x -=+1212()e (cos 2sin 2)e (2sin 22cos 2)x x y x c x c x c x c x --'=-++-+∵(0)1,(0)1y y '==-∴121,0c c ==∴()ecos 2xy x x-=（2）()d e cos 2d x n n n a f x x x xππ+∞+∞-==⎰⎰cos 2d e cos 2e e d cos 2e 2e sin 2d e 2sin 2d e e 2sin 2e 2e cos 2d 5e 1e 5x x x n n n n x n n x n n x x n n n nn n x x x x x x x x x a a ππππππππππππ+∞+∞+∞---+∞--+∞--+∞+∞-----=-=-⋅+=--=-+=-+-+∴=-∴=-⎰⎰⎰⎰⎰211[e e e ]51e [1e ]51e 11e 5e 1n n i i n n aππππππππ---=----=-+++-=-⋅--=-⋅-∑…18.21(,)(,)d d x Df x y y x f x y x y -=+⎰⎰其中221(,)0x y D x y y ⎧⎫+≤⎪⎪=⎨⎬≥⎪⎪⎩⎭求(,)d Dxf x y σ⎰⎰解析：积分区域D 如图：2(,)1(,)d d Df x y y x x f x y x y =-+⎰⎰两边积分得2(,)d d 1d d (,)d d d d D DD D f x y x y y x x y f x y x y x x y =-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21122001d d 2d 1d x D y x x y x y x y--=-⎰⎰⎰⎰1220121(1)d 2x x x =-⋅-⎰31220(1)d x x =-⎰42031πsin cos d 422x t t t π==⋅⋅⎰3π16=d d 0Dx x y =⎰⎰所以3π(,)d d 16D f x y x y =⎰⎰3π(,)16f x y x =+从而23π(,)d d d d d 16D D Dxf x y x y x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23πd d 16Dx x y =⎰⎰12003πd d 16x y =⎰13π16x x =⎰22203πsin sin cos d 16x t t t t π=⎰22203πsin (1sin )d 16t t t π=-⎰3π1π31π1622422⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭3π256=19.()f x 在[0,2]上具有连续导数，max{|()|},[0,2]M f x x =∈（1）证[0,2]|()|M f ξξ'∃∈≤（2）若[0,2]|()|0x f x M M '∀∈≤=则解析：证明：（1）由max{|()|}[0,2]M f x x =∈，知存在[0,2]c ∈，使|()|f c M =，若[0,1]c ∈由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c ξ∈，使()(0)()()f c f f c f c c ξ-'==从而|()||()|f c M f M c cξ'==≥若(1,2]c ∈，同理存在(,2)c ξ∈使(2)()()()22f f c f c f c c ξ--'==--从而|()||()|22f c M f M c c ξ'==≥--综上，存在(0,2)ξ∈，使|()|f M ξ'≥.（2）若0M >，则0,2.c ≠由(0)(2)0f f ==及罗尔定理知，存在(0,2)η∈，使()0,f η'=当(0,]c η∈时，00()(0)()d |()||()(0)||()|d ,cc f c f f x x M f c f c f f x x Mc '-='==-≤<⎰⎰又2(2)()()d c f f c f x x'-=⎰2|()||(2)()||()|(2)c M f c f f c f x dx M c '==-≤≤-⎰于是2(2)2M Mc M c M <+-=矛盾.故0.M =20.设二次型22121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++，其中a b ≥.（1）求,a b 的值.（2）求正交矩阵Q .解析：（1）设1-22==-242a A B b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由题意可知T 1.Q AQ Q AQ B -==∴A 合同相似于B∴144a ba b ab +=+⎧≥⎨=⎩∴ 4.1a b ==（2）212||524E A λλλλλ--==--∴A 的特征值为0，5当0λ=时，解(0)0E A x -=.得基础解为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当5λ=时，解(5)0E A x -=得基础解为212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦又B 的特征值也为0，5当0λ=时，解(0)0E B x -=得1212βα⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，解(5)0E B x -=得2121βα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦对12,αα单位化111222||||αγααγα====令112221[,],[,]Q Q γγγγ==则T T 11220005Q AQ Q BQ ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦故T T2112Q Q AQ Q B=可令T 1243553455Q Q Q =⎤⎥⎥=⎥⎥⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦21.设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.（1）证明P 为可逆矩阵（2）若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.解析：(1)0.A ααλα≠≠且故.A αα与线性无关则(,)2r A αα=则P 可逆.21(,)(,)06()1106.11AP A A A A x A P AP ααααα-==⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭故(2)由260A A ααα+-=设2(6)0(3)(2)0A A E A E A E αα+-=+-=由20(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0A E A E +=-=或若|(3)|0(2)02A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾|3|0|2|0A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为123 2.λλ=-=A 有2个不同特征值故A α相似对角化22.二维随机变量(,)X Y在{(,)0D x y y =<<上服从均匀分布11000X Y Z X Y ->⎧=⎨-≤⎩ ，21000X Y Z X Y +>⎧=⎨+≤⎩ （1）求12(,)Z Z 联合分布（2）12Z Z ρ解析：（1）(,)x y服从均匀分布则2,0(,)0,y f x y π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他则121{0,0}{,}4P Z Z P X Y X Y ===≤≤-=121{0,1}{,}2P Z Z P X Y Y X ===≤>-=12{1,0}{,}0P Z Z P X Y X Y ===>≤-=121{1,1}{;}4P Z Z P X Y X Y ===>>-=（2）12,Z Z的相关系数ρ=1113116444.3316=-⋅==23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为1e,0,()0,.mt t F t θ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其他其中m θ,为参数且大于零.（1）求概率{}P T t >与{|}P T S t T S >+>，其中0,0S t >>.（2）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,n t t t …，若m 已知，求θ的最大似然估计值ˆθ.解析：（1）{}1()m t P T t F t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=-={}{}mt P T s t T s P T t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+>=>=(2)1.,0()()0t m m m m t e t f t F t else θθ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⎧⎪≥'==⎨⎪⎩ 似然函数()1()n i i L f t θθ==∏，()11100n m m i i t m n mn n i m t t e t else θθ-=---⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩ 当120,0,,0n t t t ≥≥≥ 时()111()nm mi i t m n mn n L m t t e θθθ-=---∑= 取对数11ln ()ln ln (1)ln n nm mi i i i L n m mn m t t θθθ-===-++-∑∑求导数(1)1ln ()n m m i i d L mn m t d θθθθ-+==-+∑令ln ()0d L d θθ=解得θ=所以θ的最大似然估计值θ。

2020年考研数学三真题与及解析

2020年考研数学三真题与及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y xzx x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4．若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆（B ）T E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似（B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似（D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B与C 相互独立的充分必要条件是（）（A ）,A B 相互独立（B ）,A B 互不相容（C ）,AB C 相互独立（D ）,AB C 互不相容【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+- ()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11nii X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布（B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()ni i X X =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)ni i n S X X n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122t t t y y +-=的通解为．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2x y C =；设122t t t y y +-=的特解为2t t y at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2t t y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)Q Q e -+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++=12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x udt du =-=-，0t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33txuu x x x x x dt edu du ++++---→→→→==== 16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域．【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分）求21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分）已知方程11ln(1)kx x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则 22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数（1）证明0n n n a x ∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n nn n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ 1lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数0nn n a x ∞=∑，由和函数的性质，可得11()n n n S x na x ∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数． 21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，所以()123,,0Q ξξξ⎛ ==⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭；.word 范文所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11ni i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z σπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。

2020年考研数学三解析

2020 数学（三）真题第 5 页共 13 页
（12）设平面区域
D
=
(x ，y)
x 2
y
1
1 +x
2
，0
x 1 ，则 D 绕
y
轴旋转所成的
旋转体的体积为____.
【答案】 π ln 2 − π . 3
a 0 −1 1
0 a 1 −1
（13）行列式
= ____.
−1 1 a 0
1 −1 0 a
【解析】lim sin f (x) − sin a 中值定理 lim cosξ [ f (x) − a] = b lim cosξ ，ξ 介
x→a
x−a
x→a
x−a
x→a
于 a 与 f (x) 之间， lim cosξ = cos a .且 f (a) = a .故 lim sin f (x) − sin a = b cos a .
P= ( AC) P= (BC) 1 ，则 A，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 12
(A) 3 4
(B) 2 3
(C) 1 2
(D) 5 12
【答案】D.
（8）设随机变量
(
X
，Y
)
服从二维正态分布
N
0
，0
；1，4
；−
1 2
，则下列随机变量
中服从标准正态分布且与 X 独立的是
(A) 5 ( X + Y ) 5
又因 f (0) = 1，f ′(0) = −1，所以= C1 1= ，C2 0 ，因此 f (x) = e−x cos 2x .
（II）设
∫ = an
= +∞ e−x cos 2xdx

2020数三真题与解析

2020年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知极限limx→a f(x)−ax−a=b ，则limx→asin f(x)−sin ax−a=（）（A ） b sin a （B ）b cos a （C ）b sin f(a) （D ）b cos f(a) 【答案】（B ）【解析】limx→asin f(x)−sin ax−a=limx→asin f(x)−sin a f(x)−af(x)−a x−a=b cos a2.奇函数f(x)具有连续导数，下列正确的是（）（A ）∫[cos f(t)+f ′(t)]x0dt 为奇函数（B ）∫[cos f(t)+f ′(t)]x 0dt 为偶函数（C ）∫[cos f ′(t)+f(t)]x0dt 为奇函数（D ）∫[cos f ′(t)+f(t)]x0dt 为偶函数【答案】（A ）【解析】f(x) 为奇函数，f ′(x )为偶函数，cos f(x) 为偶函数，则cos f(x)+f ′(x)为偶函数，故∫[cos f ′(t)+f(t)]x0dt 为奇函数. 3.函数f(x)=e 1x−1ln |1+x|(e x −1)(x−2)的第二类间断点个数为（）（A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】（C ）【解析】间断点为x =−1,0,1,2为无穷间断点lim x→−1f(x)=∞为无穷间断点，lim x→0f(x)=−12e 为可去间断点，lim x→1f(x)=∞为无穷间断点， lim x→2f(x)=∞为无穷间断点。

4.幂级数()12∞=-∑nn n na x 的收敛区间为 (−2,6)，求()211∞=+∑nn n a x 的收敛区间为（）（A ）(−5,−3) （B ）(−3,1) （C ）(−5,3) （D ）(−5,2) 【答案】（B ）【解析】()12∞=-∑nn n na x 的收敛区间为(−2,6)，则1∞=∑n n n a x 的收敛半径为R =4，则21∞=∑nn n a x 的收敛半径为R =2，则()211∞=+∑nn n a x 的收敛区间为(−3,1)5.已知四阶矩阵A =a ij 不可逆，a 12的代数余子式A 12≠0，α1,α2,α3,α4为矩阵A 的列向量组，A ∗为A ，则方程组A ∗x =0的通解为（）（A ）x =k 1α1+k 2α2+k 3α3，其中k 1,k 2,k 3为任意常数（B ）x =k 1α1+k 2α2+k 3α4，其中k 1,k 2,k 3为任意常数（C ）x =k 1α1+k 2α3+k 3α4，其中k 1,k 2,k 3为任意常数（D ）x =k 1α2+k 2α3+k 3α4，其中k 1,k 2,k 3为任意常数【答案】（B ）【解析】因为A =a ij 不可逆，所以r(A)<4，又因为A 12≠0，所以r(A)≥3，所以r(A)=3,r (A ∗)=1，因为A 12≠0，所以α1,α3,α4线性无关，又因为AA ∗=o ，所以A ∗x =0的通解x =k 1α1+k 2α2+k 3α4，其中k 1,k 2,k 3为任意常数。

2020考研数学三真题及解析

2020全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()limx af x f a b x a →-=-，则sin ()sin lim x a f x ax a→-=- （）（A ）sin b a （B ）cos b a （C ）sin ()b f a （D ）cos ()b f a 【答案】（B ）【解析】由()lim,x a f x ab x a →-=-得(),()f a a f a b '==，则（2）函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此11121111ln 1lim ()limlim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---； 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---； 1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x e x f x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---；112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞---- 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。

2020年数学三真题答案解析

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．(1)设()limx af x a b x a →-=- ，则sin ()sin lim ()x a f x ax a→-= -(A).sin b a (B).cos b a (C).sin ()b f a (D).cos ()b f a 【答案】B 【解析】x x sin ()sin sin ()sin ()limlim cos ()cos ()()x a a a f x a f x a f x af x b b f a x a f x a x a=→→---=⋅=⋅=--- 设()f x u =，则()()sin ()sin sin sin lim =lim cos cos ()()u f a x a u f a f x a u au f a f x a u a=→→--==--则x sin ()sin sin ()sin ()sin ()sin ()limlim lim lim()()=cos x a a x a x a f x a f x a f x a f x a f x a x a f x a x a f x a x a b a→→→→-----=⋅=⋅-----(2)函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--，则第二类间断点个数为（）(A).1 (B).2(C).3 (D).4 【答案】C【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：1.找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判定。

第二类间断点的定义为00(),()f x f x -+至少有一个不存在，很显然()f x 不存在的点为1,0,1,2x x x x =-===。

在1x =-处，11lim (),lim ()x x f x f x -+→-→-=-∞=-∞；在0x =处，+1lim ()lim ()=2x x f x f x e-→→=-；在1x =处，111lim 0x x e --→=，111lim x x e +-→=+∞，1lim ()0x f x -→=，+1lim ()x f x →=-∞；在2x =处，2lim ()x f x -→=-∞，+2lim ()+x f x →=∞；所以，第二类间断点为3个。

2020考研数学三真题及答案解析

的收敛区间，只需要求出
lim
n→∞
an+1 an
的值即可，
∞
而条件告诉我们幂级数 ∑ nan (x − 2)n 的收敛区间为 (−2, 6) ，即收敛半径为 4 n=1
lim (n = + 1)an+1 lim n += 1 an+1 li= m an+1 1
n→∞ nan
n→∞ n an
a n→∞ n
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积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选 A ;对于 C和D 选项， f ′(x) 为偶
函数，则 cos= f ′(x) cos f ′(−x) 为偶函数， f (x) 为奇函数，则 cos f ′(x) + f (x) 既非奇函数又
非偶函数。
∞
∞
(4).已知幂级数 ∑ nan (x − 2)n 的收敛区间为 (−2, 6) ，则 ∑ an (x + 1)2n 的收敛区间为
2020 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)试题及解析
一、选择题：1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分．下列每题给出的四个选项中,只有一个
选项是符合题目要求的．
(1)设 lim f (x) − a = b ，则 lim sin f (x) − sin=a ( )
x→a x − a
x→a
x−a
（A） x =k1α1 + k2α2 + k3α3 （C） x = k1α1 + k2α3 + k3α4
（B） x =k1α1 + k2α2 + k3α4 （D） x = k1α2 + k2α3 + k3α4

2020年全国硕士研究生入学考试数学三试题完整版附答案解析

为 X 独立的是（）.
A. 5 ( X + Y ) B. 5 ( X −Y ) C. 3 ( X + Y ) D. 3 ( X −Y )
5
5
3
3
答案： B
解析：
E
5 5
(X
− Y )
=
5 E(X −Y) = 5
5 (0 − 0) = 0 5
D
5 (X 5
−
Y
)
=
1 5
D(
X
−
Y
)
=
1 5
6.设 A 为 3 阶矩阵 a1, a2 为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， a3 为 A 的属于特征
1 0 0
值-1
的特征向量，则满足
P
−1
AP
=
0
−1
0
的可逆矩阵为
0 0 1
A.(a1 + a3, a2 ,-a3) B.(a1 + a2, a2 ,-a3) C.(a1 + a3, −a3 ,a2 ) D.(a1 + a2, −a2 ,a2 )
2020 年全国硕士研究生入学考试数学三试题
完整版附答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上．
f (x)−a
sin f ( x) − sin a
1.设 lim
= b, 则 lim
=
x→a x − a
x→a
x−a
A. b sin a
B. b cos a
C. b sin f (a)

2020考研数学三真题及答案解析【完整版】

2020考研数学三真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设lim(),limsin ()sin x x f x a f x ab x a x a→∞→∞--=--则A.sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D.cos ()b f a 答案：B解析：sin ()sin [()]limlimcos cos .x a x a f x af x a b a x a x aξ→→--==--（其中ξ介于()f x 与a 之间）∴选B2.()()11ln |1|()12x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点111110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim limlim (1)(2)222x x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1122ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim 0(1)(2)x x x x e x f x e x ---→→+==--1111ln |1|lim ()lim (1)(2)x xx x e x f x e x ++-→→+==∞--1x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→-→-+==∞--1x =-为第二类间断点3.设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，则A.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是奇函数B.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是偶函数C.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是奇函数D.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是偶函数答案：A 解析：()[cos ()()]d xF x f t f t t'=+⎰()cos ()()F x f x f x ''=+由()f x 为奇函数知，()f x '为偶函数.cos ()f x 为偶函数.故()F x '为偶函数.()F x 为奇数∴选A4.设幂级数1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为（-2，6），则21(1)nnn a x ∞=+∑的收敛区间为A.（-2，6）B.（-3，1）C.（-5，3）D.（-17，15）答案：B 解析：由于1111(1)11limlim 4n n n n n n n a a na a R ρ++→∞→∞+====12121lim4.4n n na R a ρρ+→∞===∴=22R '∴==，故所求收敛域为（-3，1），∴选B.5.设4阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则*0A x =的通解为A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++答案：C 解析：∵A 不可逆∴|A |=0∵120A ≠∴()3r A =∴*()1r A =∴*0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0A A A E ==∴A 的每一列都是*0A x =的解又∵120A ≠∴134,,ααα线性无关∴*0A x =的通解为112334x k k k ααα=++，故选C.6.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，则1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的可逆矩阵P 为A.1323(,,)αααα+-B.1223(,,)αααα+-C.1332(,,)αααα+-D.1232(,,)αααα+-答案：D解析：1122,A A αααα==33A αα=-1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭ P ∴的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.α-1232(,,)P αααα∴=+-∴选D7.设,,A B C 为三个随机事件,且1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,()P AC =1()12P BC =,则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为A.34 B.23C.12D.512答案：D 解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ==-()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=--+=()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=--+=()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=--+=()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是A.()5X Y +B.()5X Y -C.()3X Y +D.()3X Y -答案：C解析：[]12(),)333D X Y DX DY X Y ⎤+=++⎥⎣⎦[]123352133()03()~(0,1).3DX DY E X Y X Y N =++=-=⎤+=⎥⎣⎦+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定的位置上9.设arctan[sin()],z xy x y =++则(0,)d |z π=________.解析：d d d zz z x y x x∂∂=+∂∂2(0,π)1[cos()],π11[sin()]z z y x y x xy x y x ∂∂=++=-∂+++∂2(0,π)1[cos()],11[sin()]z zx x y y xy x y y ∂∂=++=-∂+++∂∴(0,π)(π1)d d zx y x ∂=--∂10.曲线2e 0xyx y ++=在点（0，-1）处的切线方程为________.解析：21(22)0xy y e y xy ''+++=①将0,1x y ==-代入①得1.y k '==11(0)1.y x y x ∴+=-=-即11.Q 表示产量，成本()10013C Q Q =+，单价p ，需求量800() 2.3Q P P =-+则工厂取得利润最大时的产量为______.解析：()L QP C Q =-8003100132800161002Q QQ QQ Q ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭=--+22160016(2)()0(2)8Q L Q Q Q -+'==+∴=12.设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，则D 绕y 轴旋转所成旋转体体积为______.解析：11222102x dy x dyππ+⎰⎰1122102121312014141ln 32411ln 23821ln 23y dy dyy y y πππππππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰13.行列式01101111011a a a a --=--________.解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.0a a a a a a a aaa a a a a aa aaaa a a aa a a----=----+-+-==----=--=-14.随机变量X 的概率分布1{},1,2,32kP X k k Y ===…，表示X 被3除的余数，则()E Y =______.解析：{0}{3,1,2.}P Y P X k k ====L 3101{1}{31,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 321{2}{32,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 313211()1222k k k k E Y ∞∞++===⋅+⋅∑∑111111221188=+--87=三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b 为常数，11e nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭与a b n ，当n →∞时为等价无穷小，求,a b .15.【解】1ln 11ln 112111e 11lim lim [e e]1lim e[e 1]11lim e ln 11111lim e 1211lim e 2nn an n n an a n n a n a n a n n n b b n n b n n b n n n b n n n b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞→∞→∞-→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-=⋅⋅-⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭10a ∴-=1e 112a b ⎛⎫∴=⋅-= ⎪⎝⎭e 2b =-16.求二元函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值解析：.求一阶导可得22324fx y x fy x y∂=-∂∂=-∂令100601012f x x x f y y y∂⎧⎧==⎪⎪=⎧∂⎪⎪⎨⎨⎨∂=⎩⎪⎪==⎪∂⎪⎩⎩可得求二阶导可得2222226148f f fx y x x y y∂∂∂==-=∂∂∂当0,00. 1.0x y A B C -====-=时.20AC B -<故不是极值.当11612x y ==时1. 1. 4.A B C ==-=2110.10,612AC B A ⎛⎫->=> ⎪⎝⎭故且极小值极小值33111111,8661261212216f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.若250,(0)1,(0)1y y y f f ''''++===-，则（1）求()f x （2）()d n n a f x x π+∞=⎰,求1nni a =∑解析：（1）250y y y '''++=的特征方程为2250r r ++=∴1212r i⋅=-±∴12()e (cos 2sin 2)xy x c x c x -=+1212()e (cos 2sin 2)e (2sin 22cos 2)x x y x c x c x c x c x --'=-++-+∵(0)1,(0)1y y '==-∴121,0c c ==∴()ecos 2xy x x-=（2）()d e cos 2d x n n n a f x x x xππ+∞+∞-==⎰⎰cos 2d e cos 2e e d cos 2e2e sin 2d e 2sin 2d e e 2sin 2e 2e cos 2d 5e 1e 5x x x n n n n x n n xn n xx n n n n n n x x x x x x x x x a a ππππππππππππ+∞+∞+∞---+∞--+∞--+∞+∞-----=-=-⋅+=--=-+=-+-+∴=-∴=-⎰⎰⎰⎰⎰211[e e e ]51e [1e ]51e 11e 5e 1nn i i n n a ππππππππ---=----=-+++-=-⋅--=-⋅-∑…18.(,)(,)d d Df x y x f x y x y =+⎰⎰其中221(,)0x y D x y y ⎧⎫+≤⎪⎪=⎨⎬≥⎪⎪⎩⎭求(,)d Dxf x y σ⎰⎰解析：积分区域D如图：(,)(,)d d Df x y x f x y x y =⎰⎰两边积分得(,)d d d (,)d d d d D DD D f x y x y x y f x y x y x x y =+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰100d 2d D x y x y=⎰⎰⎰2012(1)d 2x x =-⎰31220(1)d x x =-⎰42031πsin cos d 422x t t t π==⋅⋅⎰3π16=d d 0Dx x y =⎰⎰所以3π(,)d d 16D f x y x y =⎰⎰3π(,)16f x y x =从而23π(,)d d d d d 16D D Dxf x y x y x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23πd d 16Dx x y =⎰⎰12003πd d 16x y =⎰13π16x x =⎰22203πsin sin cos d 16x t t t t π=⎰22203πsin (1sin )d 16t t t π=-⎰3π1π31π1622422⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭3π256=19.()f x 在[0,2]上具有连续导数，max{|()|},[0,2]M f x x =∈（1）证[0,2]|()|M f ξξ'∃∈≤（2）若[0,2]|()|0x f x M M '∀∈≤=则解析：证明：（1）由max{|()|}[0,2]M f x x =∈，知存在[0,2]c ∈，使|()|f c M =，若[0,1]c ∈由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c ξ∈，使()(0)()()f c f f c f c c ξ-'==从而|()||()|f c M f M c cξ'==≥若(1,2]c ∈，同理存在(,2)c ξ∈使(2)()()()22f f c f c f c c ξ--'==--从而|()||()|22f c M f M c c ξ'==≥--综上，存在(0,2)ξ∈，使|()|f M ξ'≥.（2）若0M >，则0,2.c ≠由(0)(2)0f f ==及罗尔定理知，存在(0,2)η∈，使()0,f η'=当(0,]c η∈时，00()(0)()d |()||()(0)||()|d ,cc f c f f x x M f c f c f f x x Mc '-='==-≤<⎰⎰又2(2)()()d c f f c f x x'-=⎰2|()||(2)()||()|(2)c M f c f f c f x dx M c '==-≤≤-⎰于是2(2)2M Mc M c M <+-=矛盾.故0.M =20.设二次型22121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++，其中a b ≥.（1）求,a b 的值.（2）求正交矩阵Q .解析：（1）设1-22==-242a A B b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由题意可知T 1.Q AQ Q AQ B -==∴A 合同相似于B∴144a ba b ab +=+⎧≥⎨=⎩∴ 4.1a b ==（2）212||524E A λλλλλ--==--∴A 的特征值为0，5当0λ=时，解(0)0E A x -=.得基础解为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当5λ=时，解(5)0E A x -=得基础解为212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦又B 的特征值也为0，5当0λ=时，解(0)0E B x -=得1212βα⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，解(5)0E B x -=得2121βα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦对12,αα单位化111222||||αγααγα====令112221[,],[,]Q Q γγγγ==则T T 11220005Q AQ Q BQ ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦故T T 2112Q Q AQ Q B=可令T 1243553455Q Q Q =⎤⎥⎥=⎥⎥⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦21.设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.（1）证明P 为可逆矩阵（2）若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.解析：(1)0.A ααλα≠≠且故.A αα与线性无关则(,)2r A αα=则P 可逆.21(,)(,)06()1106.11AP A A A A x A P AP ααααα-==⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭故(2)由260A A ααα+-=设2(6)0(3)(2)0A A E A E A E αα+-=+-=由20(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0A E A E +=-=或若|(3)|0(2)02A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾|3|0|2|0A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为123 2.λλ=-=A 有2个不同特征值故A α相似对角化22.二维随机变量(,)X Y在{(,)0D x y y =<<上服从均匀分布11000X Y Z X Y ->⎧=⎨-≤⎩ ，21000X Y Z X Y +>⎧=⎨+≤⎩ （1）求12(,)Z Z 联合分布（2）12Z Z ρ解析：（1）(,)x y服从均匀分布则2,0(,)0,y f x y π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他则121{0,0}{,}4P Z Z P X Y X Y ===≤≤-=121{0,1}{,}2P Z Z P X Y Y X ===≤>-=12{1,0}{,}0P Z Z P X Y X Y ===>≤-=121{1,1}{;}4P Z Z P X Y X Y ===>>-=（2）12,Z Z的相关系数ρ=1113116444.3316=-⋅==23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为1e,0,()0,.mt t F t θ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其他其中m θ,为参数且大于零.（1）求概率{}P T t >与{|}P T S t T S >+>，其中0,0S t >>.（2）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,n t t t …，若m 已知，求θ的最大似然估计值ˆθ.解析：（1）{}1()m t P T t F t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=-={}{}mt P T s t T s P T t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+>=>=(2)1.,0()()0t m m m m t e t f t F t else θθ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⎧⎪≥'==⎨⎪⎩ 似然函数()1()n i i L f t θθ==∏，()11100n m m i i t m n mn n i m t t e t else θθ-=---⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩ 当120,0,,0n t t t ≥≥≥ 时()111()nm mi i t m n mn n L m t t e θθθ-=---∑= 取对数11ln ()ln ln (1)ln n nm mi i i i L n m mn m t t θθθ-===-++-∑∑求导数(1)1ln ()n m m i i d L mn m t d θθθθ-+==-+∑令ln ()0d L d θθ=解得θ所以θ的最大似然估计值θ。