2020考研数学三综合测试卷及解答

）
x2 g(x), x ≤ 0
（A）极限不存在
（C）连续，但不可导
（4）设 f (x) 连续，且 lim f (x) −1 = −2 ，则（
x x→0
2
（B）极限存在，但不连续 （D）可导
）
（A） f (x) 在 x = 0 处不可导
（B） f (x) 在 x = 0 处可导且 f ′(0) ≠ 0
x x→0
2
由极限的保号性，存在δ＞0 ，当 0＜＜x
δ
时，
f (x) −1 x2 ＜0 ，即
f
(x)＜1 =
f (0) ，
故 x = 0 为 f (x) 的极大点，应选（D）。
（5）设 f (x) ，g(x)(a＜x＜ b) 为大于零的可导函数，且 f ′(x)g(x) − f (x)g′(x)＜0 ，则当 a＜x＜ b
（4）设
f (x) 连续，且 lim x→0
f
(
x) x2
−
1
=
−2 ，则（）
（A） f (x) 在 x = 0 处不可导
（B） f (x) 在 x = 0 处可导且 f ′(0) ≠ 0
（C） f (x) 在 x = 0 处取极小值
（D） f (x) 在 x = 0 处取极大值
【解】由 lim f (x) −1 = −2 得 f (0) = 1，
（12）微分方程 y ''− 4 y = e2x + x 的特解形式为 _______________ .
（13）设 f (x, y, z) = ez yz2 ，其中 z = z(x, y) 是由 x + y + z + xyz =0 确定的隐函数，则
fz′(0,1, −1) =
.
∫ ∫ 1
（14）积分 dx
2
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
∫∫ （16）（本题满分 9 分= ）求 I
cos(x + y)dxdy ，其= 中 D
D
( x,
y)
0
≤
x
≤
π 2
,0
≤
y
≤
π 2

.
（17）（本题满分 8 分）设 C1, C2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1, C2 之间，如果过 C 上任意
3!
6
∫ ( ) ∫ ( ) 1
为 lim x x→0
x 1− cos2 t dt
0
x2
= lim x→0
x 1− cos2 t
0
x3
dt
=
lxi= →m0 1−3cxo2s2 x
(1+ cos x)(1− cos x)
lim
x→0
= 3x2
1
，
3
∫ ( ) 1
所以
x 1− cos2 t dt ~ x2 ，于是 n = 3 ，选（C）。
一点 P 引平行 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A, B 有相等的面积，设 C 的方程是 y = x2 ，C1
的方程是
y
=
1 2
x2
，求曲线
C1
的方程.
3
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
（18）（本题满分 9 分）设银行存款的年利率为 r = 0.05 ，并依年复利计算，某某基金希望通过存 款 A 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第 n 年提取 (10 + 9n) 万元，并能按此规 律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？
（D） lim x → x0
f (x0 , y0 ) 存在
【解】多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，（A）不对；
函数
f
(x, y)
=
xy

x2
+
y2
, (x, y)
≠
(0, 0 ) 在 (0, 0)
处可偏导，但 lim
f
(x, y)
不 存 在 ，（ B ） 不 对 ；
0, (x, y) = (0, 0)
lim = f (x) − f (0)
x→0+
x
l= im 1− cos x x→0+ x x
0 ，则 f+′(0) = 0 ，
lim f (x= ) − f (0)
x→0−
x
l= im xg(x)
x→0+
0 ，则 f−′(0) = 0 ，
因为 f= +′(0) f= −′(0) 0 ，所以 f (x) 在 x = 0 处可导，应选（D）。
（A）1
（B）2
（C）3
（2）设
f
(x)
=
1+ x
lim
x→∞
1
+
x2n
，则
f
( x) （
（A）无间断点
（C）有间断点 x = −1
（D）4 ）
（B）有间断点 x = 1 （D）有间断点 x = 0
（3）设
f
(x)
=
1 −
cos x
x
,
x＞0
，其中
g(x)
为有界函数，则
f
(x)
在
x
=
0
处（
（C） f (x)g(x)＞f (b)g(b)
（D） f (x)g(x)＞f (a)g(a)
∫ ∫ ∫ （6）设 M =
π
2 −π
2
sin x 1+ x2
cos4= xdx ，N
π
2 −π
(sin3
x
+
co= s 4 x)dx ，P
2
π
2 −π
(x2
sin3
x
−
cos 4
x)dx
，则有（
2
）
（A） N＜P＜ M （C） N < M < P
x0
3
（2）设
f
(x)
=
1+ x lim x→∞ 1 + x2n
，则
f
( x) （
（A）无间断点
（C）有间断点 x = −1
）。
（B）有间断点 x = 1 （D）有间断点 x = 0
【解】当 x ＜1时， f ( x)= 1+ x ；当 x ＞1时， f ( x) = 0 ；当 x = −1时， f ( x) = 0 ；
x→0 y→0
f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处 可 偏 导 是 可 微 的 必 要 而 非 充 分 条 件 ，（ C ） 不 对 ， 应 选 （ D ）， 事 实 上 由
fx′(x0 , y=0 )
l= im
x → x0
f
(x, y0 ) − f (x0 , y0 ) x − x0
存在得 lim x → x0
f (x, y0 ) =
f (x0 , y0 ) 。
7
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
二、填空题:9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中的横线上．
(−1)n n2
| an +α
|
（
）.
（A）发散
（B）条件收敛 （C）绝对收敛
【解】 应选（C）.
（D）敛散性与α 有关
= (−1)n | an | n2 + α
∑ ∑ ∑ | an |
n2 + α
≤1 2
(an2
+
n2
1 +α
)
∞
，
n =1
an2
收敛，且
∞ n =1
n2
1 +α
收敛，故
∞ n =1
π
π
∫ ∫ N =
2 −π
(sin3
x
+
cos4
x)dx
=
2 −π
cos4
xdx＞0
，
2
2
π
π
∫ ∫ P = −2π (x2 sin3 x − cos4 x)dx = − −2π cos4 xdx＜0 ，
2
2
P＜M＜ N ，选 D。
∑ ∑ （7）设常数α＞0
，若
∞ n =1
an2
收敛，则
∞ n =1
| an | 收敛， n2 + α
原级数绝对收敛，选择（C）.
（8）设 fx′(x0 , y0 ) ， f y′(x0 , y0 ) 都存在，则（）。
（A） f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续
（B） lim f (x, y) 存在 x → x0 y→ y0
（C） f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可为微
cos4
= xdx ， N
π
2 −π
(sin3
x
+
cos
4
x)dx
，
2
6
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
π
∫ =P
2 −π
(x2
sin3
x
−
cos
4
x)dx
，则有（）。
2
A N＜P＜ M CN＜M＜ P
∫ = 【解】 M = −π2π2 1s+inxx2 cos4 xdx 0 ，
B M＜＜P M D P＜M＜ N

（19）（本题满分
10
分）讨论
f
(x,
y)
=

xy , (x, y) ≠ (0, 0 ),
x2 + y2
在点 (0, 0) 处的连续性、可偏导性及
0,
(x, y) = (0, 0)
可微性.
4
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
2020 考研数学三综合测试卷解答
班级：
学号：
姓名：
得分：
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把
所选项前的字母填在题后的括号里．
∫ ( ) （1）设当 x → 0 时，( x − sin x) ln (1+ x) 是比 exn −1 高阶的无穷小，而 exn −1 是比 1 x 1− cos2 t dt 高阶 x0 的无穷小，则 n 为（ ）。
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
( ) 【解】当 x → 0 时， exn −1 ~ xn ，因为 sin x =x − x3 + o x3 ，所以 ( x − sin x) ln (1+ x) ~ x4 ，又因
′(
x)
＜0
，即

f g
(x) (x)
′
＜0
，则
f (x) g(x)
单
调减少。
由 a＜x＜ b 得 f (a) ＜＜f (x) f (b) ，故 f (x)g(a)＞f (a)g(x) ，应选（B）。 g(a) g(x) g(b)
∫ ∫ （6）设 M =
π
2 −π
2
sin x 1+ x2
（A） f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续 （C） f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可为微
（B） lim f (x, y) 存在 x → x0 y→ y0
（D） lim x → x0
f (x0 , y0 ) 存在
二、填空题:9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中的横线上．
（B） M＜＜P M （D） P＜M＜ N
∑ ∑ （7）设常数α＞0
源自文库
，若
∞ n =1
an2
收敛，则
∞ n =1
(−1)n n2
| an +α
|
（
）.
1
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（A）发散
（B）条件收敛 （C）绝对收敛
（D）敛散性与α 有关
（8）设 fx′(x0 , y0 ) ， f y′(x0 , y0 ) 都存在，则（ ）
（A）极限不存在 （C）连续，但不可导
（B）极限存在，但不连续 （D）可导
5
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
【解】因为= f (0 + 0) lim = 1− cos x 0 ， f (0)= f (0 − 0)= lim x2g(x)= 0 ，所以
x→0+
x
x→0
f (x) 在 x = 0 连续；
1+ x,

当
x
= 1 时，
f
(x)
= 1，于是
f
(x)
=
0,
0,
1,
x ＜1
x ＞1, 显然 x = 1 为函数 f ( x) 的间断点，选（B）。
x = −1, x = −1,
（3）设
f
(x)
=
1 −
cos x
x
,
x＞0
，其中
g(x)
为有界函数，则
f
(x)
在
x
=
0
处（）
x2 g(x), x ≤ 0
时，有（）
（A） f (x)g(b)＞f (b)g(x)
（B） f (x)g(a)＞f (a)g(x)
（C） f (x)g(x)＞f (b)g(b)
（D） f (x)g(x)＞f (a)g(a)
【解】由
f ′(x)g(x) −
f (x)g′(x)＜0 得
f
′(
x)
g
(
x) − g2(
f( x)
x)
g
x sin ydy =
0xy
.
三、解答题:15～19 小题，共 44 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
∫ （15）（本题满分 8 分）设 f (x) 在区间[0,1] 上可导， f (1) = 2 2 x2 f (x)dx ，证明：存在 ξ ∈ (0,1) ，使 0
得 2 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 .
（9）设 a＞0 ，且 lim
x2
= 1，则 a =
，b =
.
x→0 (b − cos x) a + x2
( ) （10）若
f
(x)
=
arcsin ln
2x2 1+
+ eax2 2x2
−1,
x
≠
0
在
x
=
0
处连续，则 a
=
.
a,
x=0
（11）设 y = y(x) 由方程 ey + 6xy + x2 −1 =0 确定，则 y′′(0) = _______ .
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2020 考研数学三综合测试卷
班级：
学号：
姓名：
得分：
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把
所选项前的字母填在题后的括号里．
∫ ( ) （1）设当 x → 0 时，( x − sin x) ln (1+ x) 是比 exn −1 高阶的无穷小，而 exn −1 是比 1 x 1− cos2 t dt 高阶 x0 的无穷小，则 n 为（ ）
（C） f (x) 在 x = 0 处取极小值
（D） f (x) 在 x = 0 处取极大值
（5）设 f (x) ，g(x)(a＜x＜ b) 为大于零的可导函数，且 f ′(x)g(x) − f (x)g′(x)＜0 ，则当 a＜x＜ b 时，
有（ ）
（A） f (x)g(b)＞f (b)g(x)
（B） f (x)g(a)＞f (a)g(x)