九年级上册数学 新定义问题(含答案)

新定义问题

1．（大兴18期末28）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平

面直角坐标系xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点O 重合，则单

位圆与x 轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y 轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.

在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的顶点与坐标原点O 重合，

α的一边与x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P 11(,)x y ,

且点P 在第一象限.

（1）1x =_ __ (用含α的式子表示)；1y =____ _ (用含α的式子表示)； （2）将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转90︒后与单位圆交于点22(,)Q x y .

①判断1y 2与的数量关系,并证明；x

②12y y +的取值范围是：_ ___.

28.（1）cos α；……………………………….……………………….1分

sin α;……………………..……………………………………2分

（2）①

12y x 与的数量关系是：1y 2

=-x ；

……………….…3分

证明：过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，过点Q 作QE ⊥x 轴于点E .

90PFO QEO ∴∠=∠=︒

90POF OPF ∴∠+∠=︒ PO OQ ⊥

90POF QOE ∴∠+∠=︒ QOE OPF ∴∠=∠ PO OQ ==1

∴△QOE ≌△OPF …………………………………………5分 .PF OE ∴=

11(,)P x y , Q 22(,)x y

12∴=y x

∵Q 在第二象限，P 在第一象限 ∴1y >0, 2x <0

∴1y =2-x …………………………………………………6分

②121+y y <≤分

2．（东城18期末28）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．

（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1,0），P2），P3（7

2

,0），P4（5,0）中，⊙O

的和睦点是________；

（2）若点P（4,3）为⊙O的和睦点，求⊙O 的半径r的取值范围；

（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E22，若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标

A

x的取值范围．

3．（昌平18期末28）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的

距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称为点P 的最大距离.

例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P 的最大距离为4.

（1）①点A （2，5-）的最大距离为 ；

②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为 ；

（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；

（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.

28．解：（1）①5……………………… 1分

②5±……………………… 3分 （2）∵点C 的最大距离为5，

∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±. ………………4分

2

d

分别把5x =±，5y =±代入得： 当5x =时，7y =-，

当5x =-时，3y =，

当5y =时，7x =-，

当5y =-时，3x =，

∴点C （5-，3）或（3，5-）.……………………… 5分 （3）552r ≤≤…………………………………7分

4．（朝阳18期末28）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x 轴的正半轴上. 若

点P ,Q 在线段AB 上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”. 下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图. （1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为 . （2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，

①当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N 的反比例函数的表达式；

②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r 的⊙O 与它没有交点，直接写出r 的取值范围 .

备用图

5．（海淀18期末27）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交

于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA

QA

≤

≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．

（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P

的坐标________； （2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2

BAO ∠=

，求点B 的纵坐标t 的取

值范围；

（3）直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O

的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．