静力学中的动态平衡问题

静力学中的动态平衡问题静力学中的动态平衡问题是学生学习中的难点，也是高考的重点，本文利用基本的平行四边形定则，归纳出了四种典型题型的快速解决方法，以期对学生的学习有所帮助。

常见的有四种题型：1.受三个力的作用而平衡，除重力外，还有一个力的方向不变．2.三角形相似．3.绳、滑轮组合体．4.两个力保持夹角不变，同时转过相同的角度．一．除重力外，有一个力的方向不变1.题型特点：①受三个力作用．②一个力的大小方向都不变（F1），一个力的方向不变（F2），一个力的大小和方向都变化（F3）．2．规律：①设F2与F3之间的夹角为θ，F2与θ正相关．②当θ=90°时，F3最小，θ趋向于90°时，F3减小，θ远离90°时，F3增大．当θ在锐角与钝角之间变化时，F3先减小后增大．3．判断步骤：①受力分析，模型辨识②θ变化范围及变化趋势．③根据规律得出结论．4．规律研究：我们先来研究以下的两个例子例题1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中() A．F逐渐变大，T逐渐变大B．F逐渐变大，T逐渐变小C．F逐渐变小，T逐渐变大D．F逐渐变小，T逐渐变小解析：以O点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，则绳OA与竖直方向的夹角变大，我们作几个平行四边形，根据代表力的线段长度变化可知F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确．第二问：如果本题中保持O点在图示的位置不动，而使F顺时针转过90°，问：F、T又是如何变化的？我们可以通过作平行四边形（甲）或力的三角形（乙），从表示力的线段长度的变化来判断力的大小变化．F 先减小后增大，T 一直减小． 我们可以研究一下这两个例子，只要是力的平衡问题，我们用平行四边形法则或三角形法则通过作图就可以得到结论，这两个例子的结论不尽相同，它们有没有共同的规律呢？当我们把眼光聚焦到两个变力之间的夹角上时，我们就会有惊喜的发现．设夹角为θ，我们会发现方向不变的那个力F 与角θ是正相关的，第一问θ角是增大的，F 也逐渐变大，第二问θ角是减小的，F 也逐渐减小的,这其实是由力的合成的性质决定的；对于大小和方向都变化的那个力T ，当θ=90°时，T 值最小，所以当θ越接近90°，T 值越小，反之越大，这样，我们可以从角θ的变化直接看到结果．这其实是对平行四边形法则的升华．具体判断方法参考前面总结的判断步骤，要说明的是平行四边形法则（或三角形法则）是基础，要掌握住这种快捷的判断方法，更要掌握住基础方法，下面以一个例子来说明如何使用这种判断方法．例题2：如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A 和小球B 上，圆环A 套在粗糙的水平直杆MN 上．现用水平力F 拉着绳子上的一点O ，使小球B 从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A 始终保持在原位置不动．在这一过程中，环对杆的摩擦力F f 和环对杆的压力F N 的变化情况是( )A ．F f 不变B ．F f 增大C ．F N 减小D ．F N 不变解析：① 受力分析，模型辨识选O 点为研究对象，受力分析可知，受三个力，且有一个力（F ）方向不变，属于题型1的动态平衡．②θ变化范围及变化趋势．接下来我们看F 与绳上的拉力T 之间夹角，初始值大于90°，以后变得更大了， ③根据规律得出结论．F 为方向不变的力，大小与夹角正相关，故是增大的；T 为大小和方向都变化的力，夹角的值远离90°，故T 也是增大的．（大家可以根据平行四边形定则来验证这一结论）要想判断F f 、F N 的变化，我们只需要把环与球整体作为研究对象，受力分析如图，可知F f 与F 等大反向，F N 与二者总重力mg 等大反向．根据上面的判断知F 变大，则F f 变大，mg 不变，则F N 不变．选BD.A甲 GTF乙练习1：如图所示，两块相互垂直的光滑挡板OP 、OQ ，OP 竖直放置，小球a 、b 固定在轻弹簧的两端．水平力F 作用于b 时，a 、b 紧靠挡板处于静止状态．现保证b 球不动，使挡板OP 向右缓慢平移一小段距离，则( )A ．弹簧变长B ．弹簧变短C ．力F 变大D ．b 对地面的压力变大二．三角形相似1.题型特点：①受三个力作用．②另两个力大小和方向都变化，但其作用线都通过各自的固定点．2．规律：力的三角形与几何三角形相似．即通过合成力得到的力的三角形与两个固定点及物体构成的几何三角形相似．对应边成比例，得出结论．3．判断步骤： ①受力分析，模型辨识②根据三角形相似列等式，得出结论．例题3：把一光滑圆环固定在竖直平面内，在光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，如图所示．质量为m 的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢下移，在小球移动过程中手对细线的拉力F 和圆环对小球的弹力F N 的大小变化情况是( )A ．F 不变，F N 增大B ．F 不变，F N 减小C ．F 减小，F N 不变D ．F 增大，F N 不变解析：①受力分析，模型辨识对小球受力分析如图甲所示：受三个力，F N 作用线始终经过O 点，F 作用线始终经过B 点，属于题型2的动态平衡问题．② 根据三角形相似列等式，得出结论．如图乙所示，合成力，得到力的三角形与几何三角形，阴影所示，对应边成比例，G R ＝F AB ＝F NR ，小球沿圆环缓慢下移时，圆环半径不变，AB 长度增大，故F 增大，F N 不变，故D 正确．答案：DBNBF N练习2：如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( )．(A)N 变大，T 变小， (B)N 变小，T 变大 (C)N 变小，T 先变小后变大 (D)N 不变，T 变小三．绳、滑轮组合体1.题型特点：物体通过滑轮悬挂在一根绳子上．2．规律：绳子两端之间的水平距离不变时，绳上的张力不变，距离变大，张力变大，反之变小．3.判断步骤：①模型辨识：模型特点是一根绳子通过光滑滑轮悬挂一个物体．（活结）②根据绳子两端点之间的水平距离判断绳子上的张力的变化．4．规律研究：以下面这个题目为例，研究其规律．例题4：如图所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳两端分别系于A 、B 两点，一物体用动滑轮悬挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子间夹角为θ1，绳子张力为F 1；将绳子B 端移至C 点，等整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ2，绳子张力为F 2；将绳子B 端移至D 点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ3，绳子张力为F 3，不计摩擦，则（ BD ）A ．θ1=θ2=θ3B ．θ1=θ2<θ3C ．F 1>F 2>F 3D ．F 1=F 2<F 3分析：过A 点作右侧墙壁的垂线，垂足为M,延长AO 与BC 的延长线交于E 点，以滑轮为研究对象，由于是一根绳子，故T 1=T 2,把T 1、T 2合成，得到平行四边形为菱形，∠AON=∠BON ，又∠AON=∠AEB ，∠BON=∠OBE ， 故∠AEB=∠OBE ，△OBE 为等腰三角形， 所以OB=OE ，所以AE 等于绳长L, 设AM=d, ∠BEA=α=12 θ，sin α=d L，当B 点沿竖直方向移动时，d 不变，L 不变，所以α角不变，θ角不变，如图乙所示，当从C点移向D点时，d值变大，L不变，所以α角变大，θ角变大（如图丙），根据力的合成的性质，合力不变，两分力夹角增大时，分力增大，反之，夹角减小，分力减小．练习3：如图所示，小方块代表一些相同质量的钩码，图甲中O为轻绳之间连接的结点，图乙中光滑的轻质小滑轮跨在轻绳上悬挂钩码，两装置处于静止状态．现将图甲中B滑轮的端点B稍稍右移一些，图乙中的端点B沿杆稍稍向上移动一些(图乙中的绳长不变)，则关于θ角和OB绳的张力F的变化，下列说法正确的是()A．图甲、乙中的θ角均增大，F均不变B．图甲、乙中的θ角均不变，F均不变C．图甲中θ角增大、图乙中θ角不变，张力F均不变D．图甲中θ角减小、F不变，图乙中θ角增大、F减小四．两个力保持夹角不变，同时转过相同的角度．1.题型特点：①受三个力作用．②两个力的大小方向都变化但之间的夹角不变．③两个力同时转过相同的角度．2．规律：设两个力F1、F2与竖直向上的方向之间的夹角为α、β如图所示，F1 sinβ=F2sinα=Gsin(α+β)左边的力与右边的夹角正弦成正比，右边的力与左边的夹角正弦成正比．3．判断步骤：①模型辨识：受三个力作用，除重力之外，另两个力的大小方向都变化，但夹角始终不变．②观察α、β的变化范围及变化趋势，如果α在小于90°范围内变化，则F2与α是正相关的，如果β在钝角与锐角之间变化，由于90°的正弦值最大，故F1先增大后减小．4．规律研究：以下面这个题目为例，研究其规律．例题5：如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>π2）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水αβF2 F1G平的过程中A ．MN 上的张力逐渐增大B ．MN 上的张力先增大后减小C ．OM 上的张力逐渐增大D ．OM 上的张力先增大后减小解析：为了便于比较，我们把它等效成M 点不动，而OM 、MN 绕其转动如图甲．为了使问题具有普遍性，我们取转过任意角的位置（不到最终位置）进行分析，如图乙所示．设三角形的三个角分别为∠1、∠2、∠3， 根据正弦定理有G sin ∠1 =F OM sin ∠2 =F MNsin ∠3,由于OM 与MN 夹角为α始终不变，故∠2+∠3=α不变， 而∠1=180°－α，sin ∠1=sin(180°－α)=sin α,G sin ∠1 =F OM sin ∠2 =F MN sin ∠3变为G sin α =F OM sin ∠2 =F MNsin ∠3 =常数，F OM ∝sin ∠2,F MN ∝sin ∠3，在本题中∠3是从0°增加到90°，其正弦值是增大的，故F MN 是增大的；∠2是从钝角（α>π2）变为锐角，故F O M 是先增大后减小的．答案为AD从以上分析可知，如果角α初始值小于等于90°，则∠2的正弦值是一直减小的，则F O M 也是一直减小的．如果两个力一起旋转的角度不是90°，观察∠2、∠3的正弦值是如何变化的，就可以知道F O M 、F MN 的变化情况．练习4：如图所示，在一只木箱内，用两根细绳拉住一个小球，开始时AC 水平，现保持两细线间的夹角不变，而将木箱顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，AC 绳的拉力F T1和BC 绳的拉力F T2大小变化情况是 （ ） A ．F T2先变大后变小，F T1一直变小 B ．F T1先变大后变小，F T2一直变小 C ．F T1先变小后变大，F T2一直变小N乙N' ACBαD ．F T2先变小后变大，F T1一直变大达标练习1．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( )A ．F N 先减小，后增大B .F N 始终不变C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变2．如图所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N ，绳长L =2.5m ，OA =1.5m ，求绳中张力的大小，并讨论：（1）当B 点位置固定，A 端缓慢左移时，绳中张力如何变化？ （2）当A 点位置固定，B 端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？3．如图所示，质量分别为3m 和m 的两个可视为质点的小球a 、b ，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a 与天花板上的O 点相连，为使小球a 和小球b 均处于静止状态，且细线Oa 向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b 朝某一方向施加一拉力F .若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g ，则当F 的大小达到最小时，细线Oa 对小球a 的拉力大小为( )A ．4mgB ．3.2mgC ．2.4mgD ．3mg4．(多选)如图所示，一个固定的14圆弧阻挡墙PQ ，其半径OP 水平，OQ 竖直．在PQ和一个斜面体A 之间卡着一个表面光滑的重球B .斜面体A 放在光滑的地面上并用一水平向左的力F 推着，整个装置处于静止状态．现改变推力F 的大小，推动斜面体A沿着水平地面向左缓慢运动，使球B沿斜面上升一很小高度，则在球B缓慢上升过程中，下列说法中正确的是( )A ．斜面体A 与球B 之间的弹力逐渐减小 B ．阻挡墙PQ 与球B 之间的弹力逐渐减小C ．水平推力F 逐渐增大D ．水平地面对斜面体A 的弹力逐渐减小A5．如图所示，两个小球a 、b 质量均为m ，用细线相连并悬挂于O 点，现用一轻质弹簧给小球a 施加一个拉力F ，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°.已知弹簧的劲度系数为k ，则弹簧形变量不可能是( )A.2mgkB ．2mg2kC.42mg 3kD ．2mg k6．将三个质量均为m 的小球a 、b 、c 用细线相连后(b 、c 间无细线相连)，再用细线悬挂于O 点，如图所示．用力F 拉小球c ，使三个小球都处于静止状态，且细线Oa 与竖直方向的夹角保持为θ＝30°，则F 的最小值为( )A ．mgB ．2mg C.32mg D ．32mg 7.（多选）如图所示，质量均为m 的小球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细绳悬于O 点，A 球固定在O 点正下方L 处，当小球B 平衡时，绳子所受的拉力为F T1，弹簧的弹力为F 1；现把A 、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k 2(k 2＞k 1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F T2，弹簧的弹力为F 2.下列关于F T1与F T2、F 1与F 2大小之间的关系，正确的是( )A ．F T1＞F T2B ．F T1＝F T2C ．F 1＜F 2D ．F 1＝F 28．（多选）如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A 、B 两点，衣服处于静止状态．如果保持绳子A 端位置不变，将B 端分别移动到不同的位置，则下列说法正确的是( )A ．B 端移到B 1位置时，绳子张力变大 B ．B 端移到B 2位置时，绳子张力不变C ．B 端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大D ．B 端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小9． (多选)如图所示，一辆小车静止在水平地面上，车内固定着一个倾角为60°的光滑斜面OA ，光滑挡板OB 可绕转轴O 在竖直平面内转动，现将一质量为m 的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水平面的夹角θ＝60°，下列说法正确的是( )A ．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，则球对斜面的压力逐渐增大B ．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，则球对挡板的压力逐渐减小C ．若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为mgD ．若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则球对挡板的压力可能为零 10．如图所示，三根长度均为L 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2L ，现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为( )A ．mgB ．33mg C.12mg D.14mg 11．半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN .在半圆柱体P 和MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q ，整个装置处于静止．如图所示是这个装置的纵截面图．若用外力先使MN 保持竖直，然后缓慢地水平向右移动，在Q 落到地面以前，发现P 始终保持静止．在此过程中，下列说法中正确的是( )A ．MN 对Q 的弹力逐渐增大B ．Q 所受的合力逐渐增大C ．P 、Q 间的弹力先减小后增大D ．地面对P 的摩擦力逐渐减小12：有一个直角支架AOB ，AO 是水平放置，表面粗糙．OB 竖直向下，表面光滑．OA 上套有小环P ，OB 套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可以忽略．不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO 杆对P 的支持力F N 和细绳上的拉力F 的变化情况是( ) A ．F N 不变，F 变大 B ．F N 不变，F 变小 C ．F N 变大，F 变大 D ．F N 变大，F 变小13.（多选）用一轻绳将小球P 系于光滑墙壁上的O 点，在墙壁和球P 之间夹有一矩形物块Q ，如图所示．P 、Q 均处于静止状态，则下列相关说法正确的是（ ）A ．Q 受到3个力B ．P 物体受4个力C．若绳子变短，Q 受到的静摩擦力将增大OQPD ．若绳子变长，绳子的拉力将变小14. （多选）如图所示，在斜面上放两个光滑球A 和B ，两球的质量均为m ，它们的半径分别是R 和r ，球A 左侧有一垂直于斜面的挡板P ，两球沿斜面排列并处于静止，以下说法中正确的是（ ）A ．斜面倾角θ一定，R ＞r 时，R 越大，r 越小，B 对斜面的压力越小 B ．斜面倾角θ一定，R =r 时，两球之间的弹力最小C ．斜面倾角θ一定时，无论半径如何，A 对挡板的压力一定D ．半径一定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A 受挡板的作用力先增大后减小15. 轻质弹簧A 的两端分别连在质量为m 1和m 2的小球上，两球均可视为质点．另有两根与A 完全相同的轻质弹簧B 、C 的一端分别与两个小球相连，B 的另一端固定在天花板上，C 的另一端用手牵住，如图所示．适当调节手的高度与用力的方向，保持B 弹簧轴线跟竖直方向夹角为37°不变，当弹簧C 的拉力最小时，B 、C 两弹簧的形变量之比为（已知sin 37=0.6，cos 37=0.8）( ) A ．1：1 B ．3：5 C ．4:3 D ．5：416. 轻绳一端系在质量为m 的物体A 上,另一端系在一个套在倾斜粗糙杆MN 的圆环上．现用平行于杆的力F 拉住绳子上一点O ,使物体A 从图中实线位置缓慢上升到虚线位置,并且圆环仍保持在原来位置不动．则在这一过程中．环对杆的摩擦力F f 和环对杆的压力F N 的变化情况是( ) A. F f 保持不变,F N 逐渐增大 B. F f 逐渐增大,F N 保持不变 C. F f 逐渐减小,F N 保持不变 D. F f 保持不变,F N 逐渐减小答案：练习：1.A 2.D 3.B 4.B 达标练习 1.B 2. 25N 、变大、不变 3.B 4.ABD 5.B 6.C 7.BC8.BD 9.CD 10.C 11.A 12. B 13.BD 14.BC 15.C 16.B。