材料力学第3讲-绘制梁内力图的基本方法

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材料力学内力图绘制详细讲解

一、由外力直接绘制轴力图例 5.4 力图。

解根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。

从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。

在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N=500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N=920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N=640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力（b ）(a)突变为0。

例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。

图5.19解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。

根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下：在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.二、由外力直接绘制扭矩图外力扭矩图无外力不变集中力F P突变。

计算内力与画内力图的技巧

ＯＣＣＵＰＡＴＩＯＮ2012 0926交流E XPERIENCE计算内力与画内力图的技巧余瀚欣　夏志娟　韩美娥　余茂武在材料力学四种基本变形的学习中，计算内力与画内力图是各种基本变形强度与刚度计算的基础。

一般情况下构件不同截面上的内力是不同的，内力随横截面位置而变化。

由于在进行强度与刚度计算时，需要知道各横截面上内力的最大值以及所在截面位置即危险面，因此必须知道内力随截面变化的规律。

为了便于形象直观地看到内力的变化规律，通常是将内力沿构件轴线的变化用图形来表示，这种图形称为内力图。

计算内力画内力图，是每位学者都觉得很头疼的事，而职业院校的学生由于基础相对薄弱学起来就更难，因此对其技巧的探索与研究势在必行。

有不少从教者做了很大的努力，总结不少好的方法，但相比本文介绍的方法还是麻烦了点。

本文介绍的方法简便易行，学生易于接受，增强了学习的主动性和积极性。

下面以三种不同的方法计算扭转变形时的内力、画内力图为例，通过比较说明第三种方法的可行性、简便性与实用性。

例：一传动轴如图１所示。

已知其上作用有外力偶m １＝１００Ｎｍ，m ２＝５０Ｎｍ，m ３＝２０ＫＮｍ，m ４＝３０Ｎｍ，试求轴的扭矩，并画出扭矩图。

一、第一种方法：截面法1.计算轴各段扭矩（见图1）AB 段：Σm x =0，m 2+M n 1=0,M n 1=-m 2=-50Nm （取截面以左分析）BC 段：Σm x =0，m 2+m 3+M n 2=0,M n 2=-m 2-m 3=-70Nm （取截面以左分析）CD 段：Σm x =0，m 4-M n 3=0,M n 3=+m 4=-30Nm （取截面以右分析）1-1，2-2截面扭矩计算出现负值，说明图1中b ）、c )中的假设的扭矩转向与实际相反，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相反。

按扭矩正负符号规定，该扭矩为负。

3-3截面扭矩计算出现正值，说明图1d ）中的假设的扭矩转向与实际相同，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相同。

快速绘制梁的剪力图和弯矩图

简支梁受集中荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反力
2、分段建立方 A程C段：
CB段：Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示Ｆ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。下端受拉为正弯矩
A
C
D
B
FA
a
c
l
FA
b
FB
FB
FAa
FBb
a
F
F
Fa
a
5
kN
4
Fa kNm
2kN m
4m 3kN
kN
3
2.25
kNm
4kN m
6kN
4.5
1m
1m
4.5
1.5
4
8.5
7
2kN m
2m
5.5
kN
5.5 kNm
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段，分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs

RA

qx

1 2

材料力学内力图绘制详解

一、由外力直接绘制轴力图例 5.4 如图 5.18(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。

解根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。

从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。

在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N =500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N =920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N =640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲（b ）(a)线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。

例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。

图5.19解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。

(参考资料)材料力学中内力图的直接画法

材料力学中内力图的直接画法摘要:介绍一种关于材料力学中轴力、扭矩、剪力和弯矩等内力图的直接画法，建立内力的增减与外力方向之间的关系。

关键词:内力图；直接画法；内力；外力。

画内力图是材料力学学习过程中的一个重点，而不少学生在学习这部分内容时感到不好理解，总是不清楚题目要求的截面上的内力应该怎么求。

尤其是弯曲内力中的剪力与弯矩。

为了使同学更好地理解构件的内力、画好内力图,经过摸索与思考，我总结出了关于内力图的一种简单的画法。

本文中约定在各内力图中向上的方向为正向，画图时从左向右画。

希望老师和同学予以指正。

1.轴力、扭矩图轴力图完全可直接根据外力的大小与方向直接画出来。

以水平杆为例，如杆左端有约束，首先求出约束力(外力)，向左的外力会引起轴力增加，而向右的外力会引起轴力减小。

例如:图1中所示的杆的A、B、C、D点分别作用有大小为5P、8P、4P、P的力，方向如图1，试画出杆的轴力图。

解：用截面法求OA段内力N1设置截面如图1.X=OV1-P A+P B-P C-P D=0N1-5P+8P-4P-P=0N1=2P同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N2=-3P,N3=5P,N4=P。

轴力图如图1所示。

如果用直接法，只需要求出O截面的约束力R。

由平衡方程R=2P，方向向左，故O截面的轴力从0增加到2P。

OA段无外力，轴力均为2P。

A截面作用有外力PA=5P，方向向右，轴力在该截面将减小5P，即从2P降为-3P。

AB段无外力，轴力均为-3P。

B截面作用有外力8P，方向向左，该截面轴力将增加8P，即从-3P升到5P。

ＢＣ段轴力为５Ｐ，Ｃ截面有外力４Ｐ，方向向右，轴力在该截面下降４Ｐ。

ＣＤ段轴力为Ｐ，Ｄ截面有外力Ｐ，方向向右，该截面轴力下降Ｐ，最终为Ｏ轴力图终点与ｘ轴重合。

关于扭矩图中扭矩正负的规定，用直接法，将外力偶用右手螺旋法则进行矢量化，矢量沿轴线方向，一水平轴为例，向左的外力偶矩将引起扭矩的增加，向右的外力偶矩将引起扭矩下降，因此在直接法中，扭矩图的画法与轴力图的画法完全一样。

材料力学专题一梁的内力和内力图

专题一梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。

解：1）求反力kN 5=A F ，kN 4=B F2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。

0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。

0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。

0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。

0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。

一般取外力比较简单的一段进行分析。

②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。

③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。

图1(a)(b)(c)(d) (e)例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。

解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++==取C 截面左段研究，, 2SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB BF F M Fl ==(b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /==取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l++=-=-=取C 截面左段研究，, 22e e SC A A e A M Ml F F M M F l +=-=-=-⨯=取B 截面右段研究，, 0e SB B B MF F M l=-=-=(c) 求A 、B 处约束反力取A +截面右段研究，233, 22248SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取C -截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q --=⨯==-⨯⨯=-取C +截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==图2 (b) (a) qB (c) B图(d)例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。

材料力学内力图绘制详解

一、由外力直接绘制轴力图例如图(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。

解根据外力直接绘制轴力图（见图(b)），绘图分析过程及步骤如下。

从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。

在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N=500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）（b ）(a)N=920 N；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F3大小，此时F N=(920-280)N=640 N；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力F4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F4大小，此时F N=(640-800)N=-160 N；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。

例有一根阶梯轴受力如图(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。

图解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。

根据外力直接绘制轴力图（见图(b)），绘图分析过程及步骤如下：在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.二、由外力直接绘制扭矩图例如图（a）所示圆轴，左端固定、右端自由，受到三个集中力偶作用，试绘制其内力图。

材料力学内力图绘制详解

与q一致，大小为ql
按面积计算M值变化大小
例5.10如图5.28(a)所示，简支梁AB，在C点承受集中载荷F=6 kN作用,跨度l=3 m， a 2 m ，试绘制梁的内力图。
.
. word.zl-
. -
解（1）求支座反力。取整段梁为研究对象，受力分析如图5.28(b)，由平衡条件得
M A (F ) 0 FB l F a 0
在分布力的起始和终止截面，轴力没有突变。以斜直线渐变。方向：拉正压负；大小：qL.
例 5.4 如图 5.18(a) 所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。
(a)
F1=500N F2=420N
A
B
F3=280N C
F4=800N DE
M图
FQ=0，M不变；FQ≠0，M 以斜直线变化，从起始点到终点，大
不变
小为FQ与x轴围成的面积，变化方向FQ为正，向正向渐变，否则向
负向渐变
突变，方向与FP相同, 大小为FP
无变化
集中力偶M
均布载荷 q
突变，突变大小为M，突变方向
不变
力偶
(顺时针方向时)为正
向；力偶
（逆时针方向时）为负向
以斜直线渐变，方向以抛物线渐变，FQ=0处，为极值，
解得
FB 4 kN
Fy 0 FA FB F 0
解得
FA 2 kN
（2）由外力直接绘制内力图。从A截面开始，有一向上的集中力FA，故在此截面剪力向上突变，突变大小等于FA,弯矩没有变化；AC段没有外力，故剪力在该段没有变化，由于剪力大于零，故在该段弯矩以斜直线规律向正向变化，从截面 A 到截面 C 弯矩变化大小为 AC 段剪力与 x 轴围成的面积即

材料力学第3讲-绘制梁内力图的基本方法

m dx
②弯矩的正负号规定
(Sign convention for bending moment)
Mm
M
+
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半
部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
-
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
m
m （受压）
【例题2-3-3】图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c 和 l 亦均为已知.试求梁在E、F 点处横截面处的剪力和弯矩.
B
l
Fx 0 , FRAx 0
MA 0 ,
FRB
Fa l
FRAxA
F B
Fy 0 ,
FRAy
F (l l
a)
FRAy
FRB
求内力——截面法
Fy 0 , MC 0 ,
FS
FRAy
F
(l l
a)
M FRAy x
FRAx A FRAy
剪力
x
1）受弯构件的内力
弯矩
①弯矩(Bending moment)) M
《材料力学》第3讲绘制梁内力图的基本方法
土木工程学院马守才 2020年3月
授课提纲
复习与提问：上一次课中我们学习了哪些这门课程的哪
些内容？其中比较重要的内容是什么？新课导入：如何对梁进行内力分析？
讲授新课
2. 杆件的内力分析（本单元共有6节，分5次学习） 2.1 轴力方程与轴力图（已学习） 2.2 扭矩方程与扭矩图（已学习） 2.3 绘制梁内力图的基本方法？√
n
FS
Fi
i 1左（右）

材料力学课程中计算内力规则和画内力图的技巧

的右段杆受力图列平衡方程
解得
ＦＮ＇－２Ｆ－Ｆ＝０
ＦＮ＇＝ＦＮ＝２Ｆ＋Ｆ＝３Ｆ（３）
２４
可见，轴力ＦＮ也等于右段杆上各轴向外力Ｆｉ的代数和。外力２Ｆ和Ｆ对ｍ截面是拉力，取“＋”号。式（３）同样可表示为
ＦＮ＝ΣＦｉ右
（４）
无论取左段还是取右段来计算，均可得
出相同的计算结果。因此，在计算内力时，掌
材料力学主要是研究处于平衡状态的杆件的内力、变形和失效规律，提出保证杆件具有足够的强度、刚度和稳定性的设计方法和设计准则。而杆件内力计算和内力图是计算强度、刚度的基础。对于受力杆件，首先计算在外力作用下产生的内力，绘制内力图，再根据内力图判断危险截面，从而进行强度和刚度的计算。
材料力学中内力计算主要是计算杆件的轴力、扭矩、剪力和弯矩。内力计算的基本方法是截面法。截面法的步骤一般分４步：（１）截开；（２）保留；（３）代替；（４）平衡。按照截面法步骤，首先在需计算内力的截面处用假想的截面将杆件截成２段，留下其中受力比较简单的一段作为研究对象。另一段对留下的这段的作用力用内力表示，然后画出受力图，根据受力图列平衡方程，解出该截面
握计算技巧，取受力较简单的一段来计算
即可。
式（２）和式（４）表明：任意截面上的轴力
ＦＮ等于该截面一侧（左侧或右侧）杆件上轴向外力Ｆｉ的代数和。这便是根据平衡方程总结出来的求轴力的规则。按照这个规则可
以不用画受力图，不用列平衡方程，只需根据
杆件上的外力就可以直接计算出任一截面上
一、根据截面法总结出内力计算的规则
在教学过程中，首先要求学生必须理解内力的含义，掌握内力计算的基本方法即截

基本变形构件内力图简易画法

基本变形构件内力图简易画法四种内力的计算是用同一种方法，任一指定截面的内力等于该所在截面以左或以右所有外力的代数和，其正负号由外力的正负号确定。

（1）轴向拉伸和压缩外力符号的规定：在拉伸压缩变形中, 规定力的矢量背离所计算截面为正；力的矢量指向所计算截面为负。

（2）扭转外力符号的规定：用右手螺旋法则将外力偶矩表示为一矢量, 在扭转变形中，规定力偶矩矢的矢量背离所计算截面为正；力偶矩矢的矢量指向所计算截面为负。

梁发生横力弯曲时,横截面上有两种内力:剪力和弯矩。

剪力是与横截面相切的内力,弯矩是作用在横截面上的外力偶矩。

（3）切力外力符号的规定：切力的正负,由外力使脱离体旋转方向判定,若外力对所求截面产生顺时针旋转趋势时,取正号,反之取负号。

（4）弯矩外力符号的规定：弯矩的正负则由梁的变形确定,若外力使梁发生上凸变形,取正,反之取负。

内力图绘制基本方法在画内力图时, 其基本方法为: 内力从零开始(因无限接近左端截面上的内力为零) , 在集中力或集中力偶所在的截面处内力图开始突变, 突变值为该集中力或集中力偶的大小, 突变方向由外力决定, 正的外力(包括力偶矩) 向上突变, 负的外力, 向下突变, 内力图在最后一个集中力或集中力偶突变后, 其终点落在x 轴上。

即内力由零开始, 到零结束。

以上作法仅适用于从左端开始向右端绘制内力图。

由于从左端开始向右端绘制内力图，故外力的符号可以简化为：（1）在拉伸压缩变形中, 规定向左的外力为正, 向右的外力为负, 即“左正右负”。

（2）在扭转变形中, 外力偶矩矢矢量方向向左为正, 反之为负, 即“左正右负”。

（3）梁发生横力弯曲时，切力规定截取左端研究时，向上的外力为正, 向下的外力为负。

（3）梁发生横力弯曲时，弯矩规定截取左端研究时，向上的外力为正, 向下的外力为负。

顺时针的外力偶为正, 逆时针的外力偶为负。

从上面的分析可以发现，四种内力图绘制是用同一种方法，学生容易掌握，容易记忆，在近几年的高职教学实践中,取得了很好的教学效果。

材料力学教材--内力与内力图

F1 1 kN F2 3 kN
例最大剪力。
L 10 m d 1 m
求图示结构中梁的最大弯矩和
梁中弯矩图呈如图形状，故弯
RA RB
矩极大值出现在 C 截面或 D 截面。
设 C 截面到 A 端距离为，可得 A 端支反力
L L d 1 RA F1 F2 37 4 L L 10 1 M C RA 37 4 2 故有 C 截面弯矩 10
C
YB 14 kN
m
F
0
X C 5 kN
X 0
X B 11 kN
例
画出结构的剪力和弯矩图。
F=5 2 kN/m XXF F
画剪力图
4m 4m
2 kN/m
E XE=8 YF=10 YF Y X XA =11 YEE=4CC=5 C XB B=11 B X =5
YA=4
4m 4m助学习资料
重点与难点
◆ 应透彻理解内力符号规定与外力的区别，尤其应熟练掌握轴力和
弯矩的正负规定。 ◆ 截面法是建立内力方程的最基本的方法，应熟练掌握。注意先将未知内力设正，建立方程时，内力和外力在一起按理论力学的规则进入方程。因此建立内力方程过程中事实上用了两套符号规定。 ◆ 但是在求某个指定截面的内力时，尽量用更简便的方法，不必通过建立内力方程求解。 ◆ 计算梁横截面的内力时，应特别注意外力的方向与其引起的内力符号的关系，以保证内力的正负号正确。 ◆ 正确地计算支座反力是绘制内力图的关键，应确保无误。利用平衡方程求出支反力后，应进行校核。
例
画出结构的内力图。
A
P1 在 BC 段引起剪力和弯矩。
z
L

杆件内力及内力图的绘制(梁的内力)

【解】(1) 求支座反力
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB 段。取梁左端A
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
图7
二、梁的内力-剪力和弯矩
1. 剪力和弯矩
图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m－m上的内力。
梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个
（1）剪力Q 相切于横截面的内力。剪力的
（2）弯矩M 矩。
作用面与横截面垂直的内力偶
图5
图6
3. 梁的类型
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为单跨静定梁和多跨静定梁
单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型：（1）简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为活动铰支座(图7(a)) （2）外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外(图7(b)) （3）悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图 7(c))
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
得 Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0 得 M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m
=44kN·m 可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得截面I-I
【例 2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1 是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的

材料力学构件内力分析

图2-1a中所示以截面形心为简化中心的主矢和主矩。

图2-1a分布内力向截面形心简化的主矢与主矩与几种基本变形对应的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量。

图2-1b中所示的和分别为主矢和主矩在x、y、z轴三个方向上的分量。

其中：或称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。

、称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。

称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。

、称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应。

图2-1b 内力与内力分量3. 内力分量的正负好规定为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。

于是，上述内力分量的正负号规则约定如下：轴力或————无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。

剪力或————使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。

弯矩或————作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。

扭矩————扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。

图2-2为轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。

图2-2轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定§2-2外力与内力之间的相依关系1. 弹性体的平衡原理弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。

前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。

这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件而且适用于所有的弹性体，因而称为弹性体平衡原理。

2. 截面法确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。

图2-3（a）所示为任意受平衡力系作用的构件.为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分.将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示,此即该截面上的内力。

根据变形固体均匀、连续的基本假设，截面上的内力是连续分布的。

梁的内力图绘制-内力方程法

左上为正右下为正
M1 FA 1 M 2 FA 4 F1 2 M3 FB 1
M M(x)
弯矩方程
M M 左左顺为正
M M 右右逆为正
剪力方程
Fs F左左上为正
Fs F右右下为正
20kN
20kN
20kN
20kN
Fs1 20
Fs2 20 20 0
Fs3 20
左顺右逆
M ( x)
FAx q
x2 2
ql 2
x
q 2
பைடு நூலகம்
x2
(0≤x ≤l)
【例 1】
ql Fs (x) 2 qx
＋ A
M (x) ql x q x2
A
22
B －
B
【例 2】 Fs(x) qx (0≤x l)
M (x) 1 qx2 (0 ≤ x l) 2
【例 3】
【例 4】
习题1：
（1）求约束反力
FA
FB
Fy 0 FA 8 FB 0
FA 3kN
M A 0 4 83 FB 4 0 FB 5kN
习题1
3kN
左上、右下为正
5kN
Fs1 5 Fs2 8 5 3
Fs3 3 Fs4 3
弯矩方程
M M 左左顺为正
M M 右右逆为正
梁的内力图的绘制内力方程法
梁的内力图 (剪力Fs图、弯矩M图)
（1）内力方程法：确定各截面的剪力、弯矩值（2）微分关系法：确定内力图的形状（3）区段叠加法：有q作用梁段的弯矩图
F1
F2
Fs1 FA Fs2 FA F1 Fs3 FB
Fs Fs (x)
剪力方程

口诀法快速绘制梁的内力图

口诀法快速绘制梁的内力图游普元【摘要】绘制梁的内力图是正确设计和校核梁的关键步骤,其绘制方法虽有多种,但如何快速和准确的绘制,尚有待进一步探索,本文用实例阐述了用口诀法快速绘制梁内力图的步骤.%To draw the internal force of the beam is a key step on the correct design and verification plan, although many of its drawing method, but how fast and accurate rendering needs further exploration. This paper describes the step according formulas drawn rapidly the internal force of beam with examples.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2011(030)004【总页数】2页(P74-75)【关键词】口诀法;绘制;剪力图;弯矩图【作者】游普元【作者单位】重庆工程职业技术学院,重庆,400055【正文语种】中文【中图分类】TU191 快速绘制梁内力图的方法众所周知，正确绘制梁的内力图，是正确计算截面应力、变形和对梁进行正确配置钢筋的前提。

而绘制梁的内力图一般有三种方法，一是快捷法，二是叠加法，三是静力法；但是不管用哪一种方法，都不能非常快速和准确的绘制出梁的内力图，笔者根据多年从事力学与结构课程的教学经验总结出下述方法能较快速和准确的绘制梁的内力图。

1.1 “荷载水平线，剪力斜直线，弯矩抛物线”简述为：“q 平、Q斜、M 抛”。

即有均布荷载作用的梁段｛q（x）=常数｝，剪力图为倾斜的直线，弯矩图为二次抛物线，弯矩图的凸向与q（x）的方向一致。

1.2 “荷载为零线，剪力水平线，弯矩斜直线”简述为“q 零、Q平、M 斜”。