材料力学第3讲-绘制梁内力图的基本方法

Fy 0 F SE FRB F 1 F 2 0
M E 0 FRB (l c) F 1(a c) F 2(b c) M E 0
解得
FSE FRA +
M E FRA c +
FRA
a
F1
F2
FRB
A
C
D
B
E
F
c
d
b l
计算F点横截面处的剪力FSF 和弯矩MF .
Fy 0, FSF FRB 0
x l, M 0
A
B
x
FRA
l
FRB
令 dM (x) ql qx 0
dx 2
+
ql 2
得驻点x l
8
2
弯矩的极值
M max
M xl 2
ql2 8
l/2
绘出弯矩图
注意土木行业中，M图中的M应向下为正
q
A
FRA
注意土木行业中，M图中的M应向下为正
【例题2-3-7】图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.
试作此梁的剪力图和弯矩图.
解：
q
（1） 求支反力
A
B
FRA
FRB
ql 2
x
FRA
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
FS (
x)
FRA
qx
ql 2
qx
M
(x)
FRA
x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
①弯曲变形(Deflection) 受力特征：外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线【引起弯 曲变形的外力偶的作用面与杆轴线共面】。 变形特征：变形前为直线的轴线，变形后成为曲线（挠曲线）； 梁轴线上的点有挠度；梁的横截面有转角。
②梁 (Beam)：以弯曲变形为主的杆件
③平面弯曲(Plane bending)；【对称弯曲与非对称弯曲 】 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴
（1）弯曲变形的概念与实例 （2）梁横截面上的内力分量 （3）求解梁的内力时力学模型的建立 （4）梁的剪力方程和弯矩方程的列写 （5）绘制梁的剪力图与弯矩图的基本方法 2.4 利用微分关系绘制梁的内力图（待学习） 2.5 应用叠加原理绘制梁的内力图（待学习） 2.6 刚架和组合变形杆件的内力分析（待学习）
M D FRA (c a ) F 1 c Fa 13.8kN m
F1=F
FRA
FRB F2=F
C
A
D
B
b
a c
【例题2-3-5】 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.
解: （1）求支座反力
FRA=4kN FRB=-4kN
FRA
10kN· m2
A
1C
FRB B
（2）求1-1截面的内力
FS 1 FSC左 FRA 4kN M 1 M C左 FRA 1 4kN m
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截
面的内力偶矩.
FRAy
m
m
FS M
C
②剪力(Shear force) FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面 的内力.
M C
FS
F B
FRB
F FRB
2）梁的内力的正负号规定 (Sign convention for internal force)
m FS
①剪力的正负号规定
M F 0, M F FRBd 0
FSF
FRB
MF B
F
d
解得：
FSF FRB M F FRBd +
3）梁的内力计算的简化 (Simple method for calculating shear-force and bending-moment)
①剪力 (Shear force)
m dx
②弯矩的正负号规定
(Sign convention for bending moment)
Mm
M
+
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半
部受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
-
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
m
m （受压）
【例题2-3-3】图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c 和 l 亦均为已知.试求梁在E、F 点处横截面处的剪力和弯矩.
+
(Sign convention for shear force)
FS
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段
有顺时针转动趋势的剪力为正.
使dx微段有左端向下而右端向上的相对
m dx
-m
FS
错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段
有逆时针转动趋势的剪力为负.
F =100kN q =38.105kN/m
此图没有标出必要的尺寸
2.3（2）（3）梁的剪力和弯矩
(Shear- force and bending- moment in beams)
梁的内力计算的简单实例
【例题2-3-2】 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力.
a
F
解: 求支座反力
A
左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
【例题2-3-4】轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN， a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
解：（1）求梁的支反力 FRA 和 FRB
MA0
FRA
FRB l F1a F2b 0
A
MB 0
FRAl F1(l a ) F2 (l b) 0
FRA
F1 ( l
a)
l
F2 (l
b)
F1
F2
FRB
E a c
b
C
D
B
F
d
l
FRB
F1a
l
F2b
记 E 截面处的剪力为FSE 和弯矩 ME ，且假设FSE 和弯矩ME
简支梁 (simply supported beam)
外伸梁 (overhanging beam)
悬臂梁 (cantilever beam)
【例题2-3-1】绘制梁计算简图问题的实例：起重机大梁为No.25a
工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38.105kN/m,起吊重
物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.
1m 2.5m M
（3）求2-2截面的内力
FS2 FSC右 FRB (4) 4kN
1
2
C
M 2 M C右 FRB (2.5 1) (4) 1.5 6kN m
2.3（4）（5）梁的内力方程与内力图
(Shear- force & bending-moment equations; shear-force&bending-moment diagrams)
1）剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bending-moment equations)
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律， 分别称作剪力方程和弯矩方程.
①剪力方程(Shear- force equation)
FS= FS(x)
②弯矩方程(Bending-moment equation)
【包括分布力与分布力偶】
A
③支座的类型
A
可动铰支座
A
(roller support)
FRA
A
固定铰支座 (pin support) A
A A
FRAy FRAx A
固定端(clamped support or fixed end) FRy
FRx M
静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
区别。 （5） 简述杆件内力图应显示的几大要素。 （6） 简述轴力和扭矩的正负号规定。 （7） 简述列写轴力方程和绘制扭矩图的基本方法
和简便方法。
2. 杆件的内力分析（本单元共有6节，分5次学习）
2.1 轴力与轴力图（已学习） 2.2 扭矩与扭矩图（已学习） 2.3 绘制梁内力图的基本方法 ？√
（5）绘制梁的剪力图与弯矩图的基本方法
基本方法=列写内力方程然后将其图形化。
2.3（1）弯曲变形的基本概念及工程实例
(Basic concepts and example problems)
1）工程实例(Example problem)
2）弯曲变形的基本概念(Basic concepts)
FRA a
的指向和转向均为正值.
A
F1 C
E
F2
FRB
D
B
F
c
d
Fy 0 , FRA FS E 0
b l
M E 0, M E FRA c 0
解得 FSE FRA
FRA
FSE
ME
A
E
M E FRA c
c
FRA
FSE
ME
A
E
c
取右段为研究对象
F1
FSE
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
(0 x l) (0 x l)
FS
(
x
)
ql 2
qx
(0 x l)
A
q
剪力图为一倾斜直线
x
FRA
l
x
=
0
处
，FS
ql 2
x
=
l
处
, FS
ql 2
ql/2 +
绘出剪力图
B FRB
ql/2
M
(x)
FRA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
弯矩图为一条二次抛物线
(0 x l)
q
x 0， M 0
弯矩图为正值画在 x 轴下侧,负值画在x 轴上侧
【例题2-3-6】如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,
试作此梁的剪力图和弯矩图.
F
A
B
x
解: 列出梁的内力方程
l
FS ( x) F (0 x l ) FS
x
M (x) Fx (0 x l)
M
F
F SA左 0
F SA右 F
M= M(x)
2）剪力图和弯矩图(Shear-force & bending-moment diagrams)
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图 FS(x)
x O
O
x
FS 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
B
l
Fx 0 , FRAx 0
MA 0 ,
FRB
Fa l
FRAxA
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F B
Fy 0 ,
FRAy
F (l l
a)
FRAy
FRB
求内力——截面法
Fy 0 , MC 0 ,
FS
FRAy
F
(l l
a)
M FRAy x
FRAx A FRAy
剪力
x
1）受弯构件的内力
弯矩
①弯矩(Bending moment)) M
2.3 绘制梁内力图的基本方法
（1）弯曲变形的概念与实例
受力特点与变形特点；挠曲线；挠度与截面转角。
（2）梁横截面上的内力分量
剪力和弯矩的概念与正负号规定。
（3）求解梁的内力时力学模型的建立
用截面法求剪力和弯矩的关键；梁的计算简图的建立。
（4）梁的剪力方程和弯矩方程的列写
基本方法（截面法）与简便方法（直接列写法）。
n
FS
Fi
i 1左（右）
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力
右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力
②弯矩(Bending moment)
n
m
M
Fiai
Mk
i1左（右） k1左（右）
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外 力则引起负值的弯矩.
线是一条在该纵向对称面内的平面曲线。
纵向对称面
A
F1
F2
梁的轴线
B
FRB
梁变形后的轴线与 FRA
外力在同一平面内
2.3（3）梁的力学模型的简化(Representing a
real structure by an idealized model)
①梁的简化 ②荷载类型
通常取梁的轴线来代替梁。
集中力(concentrated force) 集中力偶(concentrated moment) 分布荷载(distributed load)
归纳小结：我们今天这堂课学习了什么内容？其中哪些是
相对重要的？
作业及思考题布置
复习与提问
请同学们踊跃回答下面的问题：
（1）求解杆件内力的截面法要点是什么？ （2）简述求解轴力和扭矩的简便方法。 （3）简述杆件的内力方程与轴力方程的内涵、联
系与区别。 （4）简述杆件的内力图、轴力图的内涵、联系与
上的剪力和弯矩.
F1=F
FRA
FRB F2=F
C
A
D
B
b
解：（1）求支座反力
a c
FRA FRB F 60kN
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC
看左侧
FSC F1 60kN
M C F 1 b 6 .0kN m
（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD
看左侧
FSD FRA F 1 60 60 0
《材料力学》第3讲 绘制梁内力图的基本方法
土木工程学院 马守才 2020年3月
授课提纲
复习与提问：上一次课中我们学习了哪些这门课程的哪
些内容？其中比较重要的内容是什么？ 新课导入：如何对梁进行内力分析？
讲授新课
2. 杆件的内力分析（本单元共有6节，分5次学习） 2.1 轴力方程与轴力图 （已学习） 2.2 扭矩方程与扭矩图 （已学习） 2.3 绘制梁内力图的基本方法 ？√