高一年级上册数学期末试题
2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（ ） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<， 所以{}02A x x =<<， 因为A B ⊆，所以2a ≥， 故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（ ） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数， 所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立， 可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（ ）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-， ，故π2π,Z k k αβ=++∈， 此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ， 若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ， 此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =， 则A 正确，B,C,D 错误， 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（ ） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数； 对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数； 对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数； 故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（ ） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确； 对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确； 对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误； 对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-， 即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称， 由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β， 可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标， 如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=， 故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确； 由题意可知1,10αα>∴-> ， 所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--， 由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误； 因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-， 且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数， 故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点 ，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--， 设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数， 故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<， 故C 错误，D 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----， 由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________． 【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-， 则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2， 故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知， 当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-， 所以500.9t P P =， 当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==， 即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数， 由12t =时满载可知55042200Y =⨯=， 即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =， 当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++， 当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >， 所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减， 所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭； 当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。
2022-2023学年天津市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1D ．{}13x x -<<【答案】B【分析】分别解指数不等式与绝对值不等式，列举法写出集合B ，再求交集可得结果. 【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B.2．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为（ ） A ．x ∃∈R ，210x x ++≥ B ．x R ∃∉，210x x ++≥ C ．x ∀∈R ，210x x ++≥ D ．x R ∀∉，210x x ++≥【答案】C【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”， 故选：C.3．已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】C【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项. 【详解】因为23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题4．已知在三角形ABC 中，1sin 3A =，则()cosBC +的值等于（ ）A B ．C ．D ．89【答案】C【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为在三角形ABC 中，πA B C ++=，则πC B A +=-， 所以()cos =cos(π)cos B C A A +-=-，又1sin 3A =，所以cos A ==所以()cos =B C +± 故选：C .5．若0.62a =，πlog 3b =，22πlog sin 3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：0.60221a =>=， πππ0log 1log 3log π1=<<=，01b <<，2222log sin πlog log 103c ==<=，∴a b c >>， 故选：A.6．要得到函数()sin(2)4f x x π=+的图象，可将函数()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位D ．向右平移8π个单位【答案】D【分析】先将cos2x 转化为sin[2()]4x π+，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.【详解】()cos2sin(2)sin[2()]24g x x x x ππ==+=+，()sin[2()]8f x x π=+，因为()()848x x πππ+=+-，所以需要将()g x 的图象向右平移8π个单位. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，0πϕ≤<2，若对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ=（ ）A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6【答案】D【分析】根据题意可知，函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，所以2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，根据0πϕ≤<2即可求得ϕ的值.【详解】由函数()()sin 2f x x ϕ=+对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，即ππsin 2133f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，即π2ππ2π2π,Z 236k k k ϕ=-+=-+∈ 又因为0πϕ≤<2， 所以1k =时，π611ϕ= 故选：D 8．函数()sin 2cos x xf x x=-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin sin 2cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，则函数()f x 为偶函数，排除BC 选项，当02x π<<时，sin 0x >，则()sin 02cos x xf x x=>-，排除D 选项.故选：A.9．已知函数()()πsin 2cos 206f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411,36⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．513,36⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先化简函数式，然后根据x 的范围求出π23x ω+的范围，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，再利用正弦函数相关知识求ω的范围．【详解】πππ3π()sin(2)cos2sin 2cos cos2sin cos 2cos2)66623f x x x x x x x x ωωωωωωωω=++=++++，因为当[]0,πx ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，所以π3π2π4π3ω+<，综上：43611ω<， 故选：A10．已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】将问题转化为y m =与|()|f x 图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.【详解】由题设，将问题转化为y m =与|()|f x 的图象有四个交点，1,221,20|()|2lg ,01lg ,1xx xx f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤=⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(,2]-∞-上递减且值域为[0,)+∞；在(2,0]-上递增且值域为(0,1]；在(0,1]上递减且值域为[0,)+∞，在(1,)+∞上递增且值域为(0,)+∞；|()|f x 的图象如下：所以01m <≤时，y m =与|()|f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d <<<， 由图及函数性质知：142011010a b c d -≤<-<≤<≤<<≤，易知：4a b +=-，101(2,]10c d +∈， 所以61(2,]10a b c d +++∈-. 故选：C二、填空题11．120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭___________.【答案】4【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可【详解】120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++ ⎪⎝⎭()()()21313212lg 25--=+-+⨯4121=+-+ 4=故答案为：4.12．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm ，内弧线的长为20cm ，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm ，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】209【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得9cm OC =，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】解：如图，依题意可得弧AB 的长为60cm ，弧CD 的长为20cm ，设扇形的中心角的弧度数为α 则,AB OA CD OC αα=⋅=⋅，则60320OA OC ==，即3OA OC =． 因为18cm AC =，所以9cm OC =，所以该扇形的中心角的弧度数209CD OC α==． 故答案为：209. 13．已知tan 2θ=，则2sin cos sin sin θθθθ++的值为______.【答案】2310【分析】进行切弦互化即可求值【详解】22222sin sin tan 4cos 1sin θθθθθ===-，∴24sin 5θ=，∴22sin cos 11423sin 1sin 1sin tan 2510θθθθθθ++=++=++=.故答案为：231014．函数()2sin cos f x x x =+在区间2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是______.【答案】14##0.25【分析】由题得()2cos cos 1f x x x =-++，转化为求函数()21g t t t =-++，12[]2t ∈-的最小值得解.【详解】解：()221cos cos cos cos 1f x x x x x =-+=-++，设π212cos ,[,π],[432t x x t =∈∴∈-，所以()21g t t t =-++，12[2t ∈-.二次函数抛物线的对称轴为112(1)2t =-=⨯-, 由于111112424g ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭，212211124g +=-=>⎝⎭.所以函数的最小值是14.故答案为：1415．已知函数()()21ln 11f x x x=+-+，若实数a 满足()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是______． 【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为定义在R 上的偶函数，从而将所求不等式化为()()32log 21f a f ≤；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定()f x 在[)0,∞+上单调递增，由偶函数性质可知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可得3log 1a ≤，解不等式即可求得结果. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()()21ln 11f x x f x x-=+-=+， f x 为定义在R 上的偶函数，()()()()313333log log log log 2log f a f a f a f a f a ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭；当0x ≥时，21y x =+单调递增，()2ln 1y x ∴=+在[)0,∞+上单调递增；又11y x=+在[)0,∞+上单调递减，f x 在[)0,∞+上单调递增，()f x 图象关于y 轴对称，f x 在(],0-∞上单调递减；则由()()32log 21f a f ≤得：3log 1a ≤，即31log 1a -≤≤，解得：133a ≤≤，即实数a 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．已知关于x 函数()322253sin x tx x x tf x x t++++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值N ，且2022+=M N ，则实数t 的值是______.【答案】1011【分析】先利用常数分离法化得函数3253sin ()x x x f x t x t ++=++，再构造函数()3253sin x x xg x x t++=+，判断得()g x 为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为()()233222253sin 53sin t x t x x x x tx x x t f x x t x t++++++++==++3253sin x x x t x t ++=++，[]2022,2022x -∈，令()3253sin x x xg x x t++=+，[]2022,2022x -∈，则()()f x g x t =+，因为()g x 定义域关于原点对称，()33225()3()sin()53sin ()()x x x x x xg x g x x t x t-+-+-----===--++， 所以()g x 是在[]2022,2022-上的奇函数， 故由奇函数的性质得()()max min 0g x g x +=，所以()()max min max min ()()2022M N f x f x g x t g x t +=+=+++=， 所以22022t =，则1011t =. 故答案为：1011.【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.三、解答题17．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()510ααβ=+=. (1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.【答案】 (2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小. 【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α， 所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭（2）由题设0αβ<+<π，而cos()αβ+=sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又02βπ<<，则4πβ=.18．已知函数ππ())cos()sin(2π)(0)44f x x x x ωωωω=+⋅+-+>，且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值，并指出此时x 的值．【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)0x =时，最小值为 512x π=时，最大值为 2．【分析】（1）利用三角恒等变换可得π()2sin(2)3f x x ω=+，再由最小正周期可得解；（2）利用三角函数的图象变换可得π()2sin(2)3g x x =-，再利用整体法可得解.【详解】（1）∵函数ππ())cos()sin(2π)44f x x x x ωωω=+⋅+-+ππ)sin 22sin 22sin(2)23x x x x x ωωωωω=++=+=+的最小正周期为π，∴2ππ2ω=，解得1ω=，π()2sin(2)3f x x ∴=+. （2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度， 得到函数πππ()2sin 2()2sin(2)333g x x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图象，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当233x ππ-=-，即当0x =时，函数()g x 取得最小值为当ππ232x -=，即当5π12x =时，函数()g x 取得最大值为 2．19．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+. (1)求函数()f x 的周期和单调递减区间；(2)将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()g x 的图象，已知()02313g x =，0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 值.【答案】(1)π，()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的平移变换规则求出()g x 的解析式，根据()02313g x =，得到05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出0cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据两角和的余弦公式计算可得；【详解】（1）解：∵()2cos 2cos f x x x x =+2cos 21x x =++122cos 212x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==， 令()3222262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得()263k x k k ππππ+≤≤+∈Z . 故函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）解：由题意可得()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵()002sin 2163231g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以052266x πππ≤-≤，则012cos 2613x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，因此0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=-⨯=. 20．已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1x f x x =+；（Ⅱ）(2⎤⎦． 【解析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式； （2）因为128a b +=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥， 则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx n f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mx f x x =+， 又由()11f =得，则12m =，可得2m =， 则22()1x f x x =+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t <[]1,1t ∈-，所以实数t 的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =；（2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2b a +的最小值．。
2022-2023学年湖北省襄阳市襄州第一高一年级上册学期期末考试数学试卷【含答案】
襄州第一高级中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学解析版一，单选题1.如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为则4:30()0ααπ<≤( )α=A.B. C. D. 2π4π8π16π答案B 解：由图可知，. 故选B ．1284παπ=⨯=2.已知，若，则的化简结果是( )()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin sin f f x α--A. B. C. D.2tan α-2tan α2cos α-2cos α答案A .解：，若，()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则.()()cos cos sin sin 2tan 1sin 1sin f f x αααααα---==+=--+3.已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0π-则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 1710,63⎛⎤ ⎥⎝⎦1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎛⎤ ⎥⎝⎦答案A 解：函数，当时,所以()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0x π∈- ，因为在上恰有3条对称轴，3个对称中心，333x πππωπω-+<+<()f x (),0π-所以. 故选A.5171033263πππωπω-≤-+<-⇒<≤4.若函数的定义域为（ ）()f x =+()21f x -A.B. C. D. ()0,2[)(]2,00,2-⋃[]2,2-[]0,2答案C 解：由,解得，则()f x =+3010x x -≥⎧⎨+≥⎩13x -≤≤中，令 , 解得 , 则函数的定义域为()21f x -2113x -≤-≤22x -≤≤()21f x -,故选C.[]2,2-5.若函数在上有最小值（为常数）()(32log 1f x ax b x =++(),0-∞5-,a b 则函数在上（ ）()f x ()0,+∞A.有最大值4 B.有最大值7 C.有最大值5 D.有最小值5答案B 解：考虑函数,定义域为R,()(32log gx ax b x =++()(32log g x ax bx -=-+-，(()3322log log ax b ax b x g x =-+=--+=-所以是奇函数，()(32log g x ax b x=++函数在上有最小值-5，()(32log 1f x ax b x =+++(),0-∞则在上有最小值，()(32log g x ax b x =++(),0-∞根据奇函数的性质得：在上有最大值6，()(32log g x ax b x =++()0,+∞所以在上有最大值7.故选：B.()(32log 1f x ax b x =+++()0,+∞6.定义:正割，余割.已知为正实数，且1sec cos αα=1csc sin αα=m 对任意的实数均成立，则的最小值为22csc tan 15m x x ⋅+≥,2x x k k Z ππ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭m A.1 B.4C.8D.9答案D 解：由已知得，即．因为222sin 15sin cos m x x x +≥422sin 15sin cos x m x x ≥-，所以，则,2x k k Zππ≠+∈(]2cos 0,1x ∈()()224242222221cos sin 12cos cos 15sin 151cos 1515cos cos cos cos x x x x x x x x x x--+-=--=--422221cos 11515cos 21716cos 179cos cos x x x x x +⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当时等号成立，故m≥9．故选：D ．21cos 4x =7.1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，sin tan sec 英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，cos cot csc 经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若1sec cos αα=1csc sin αα=，且，则( )()0,απ∈111sec csc 5αα+=tan α=A.B.A.B. C.或 D.不存在34-43-34-43-答案B 解：由，得，又,111sec csc 5αα+=1sin cos 5αα+=22sin cos 1αα+=，()0,απ∈联立解得（舍）或，∴．故选B ．3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin 4tan cos 3ααα==-8.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是x 20x x m ++=()1,2m A.B. C. D. []6,2--()6,2--(][),62,-∞-⋃-+∞()(),62,-∞-⋃-+∞答案B 解：因为在上单调递增，且的图象是连续不断的， 要使关于()f x ()1,2()f x 的方程在区间内有实根必有f （1）=1+1+m ＜0且f （2）x 20x x m ++=()1,2=4+2+m ＞0，解得-6＜m ＜-2．故选：B ．9.已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设()f x R ()1f x -()1f x -，则（）()21f -=()2f =A.-D.-B.1C.2D.-2答案A 解:因为为奇函数,所以=,所以的图象关于点(1,0)对()1f x -()1f x -()1f x --()f x 称. 因为为偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),即f(-1-x)=f(-1+x), 所以f(x)的图象()1f x -关于直线x=-1对称. 则有f(-2)=f(0)=-f(2)=1,即f(2)=-1. 故选A. 10.定义在上的函数满足，，且当R ()f x ()()4f x f x =-()()0f x f x +-=时，，则方程所有的根之和为（ ）[]0,2x ∈()3538f x x x =+()240f x x -+=A.44 B.40C.36D.32 答案A 解：因为，①所以的对称轴为x=2，因为()()4f x f x =-()f x ，②所以为奇函数，由②可得f （x ）=-f （-x ），由①可得-f （-()()0f x f x +-=()f x x ）=f （4-x ），令t=-x, 所以-f （t ）=f （4+t ），所以f （8+t ）=-f （4+t ）=-[-f （t ）]=f （t ），所以函数的周期为T=8，又当x∈[0，2]时,，作出()f x ()3538f x x x =+的函数图象如下：()f x方程所有的根为方的根，函数与函数()240f x x -+=()()142f x x =-()f x 都过点（4，0），且关于（4，0）对称，所以方程所有的()122y x =-()240f x x -+=根的和为5×8+4=44，故选：A ．根据题意可得f （x ）的对称轴为x=2，为奇函数，()f x 进而可得的周期，作出函数的图像，方程所有的根为方程()f x ()f x ()240f x x -+=的根，函数与函数都过点（4，0），且关于（4，0）()()142f x x =-()f x ()122y x =-对称，由对称性，即可得出答案．11.已知函数，则实数根的个数为( )ln ,0()1,0xx x f x e x -⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()()22f x f x += A. B. C. D.答案A 解：作出f(x)的图象：若，则f(x)=-2或f(x)=1，由图象可知y=f(x)与y=-2没有交点，()()22f x f x +=y=f(x)与y=1有2个交点，故实数根的个数为2，故选A.()()22f x f x +=二，多选题12（多选）.已知正实数，满足，则（ ）,x y 450x y xy ++-=A. 的最大值为1 B. 的最小值为4xy 4x y +C. 的最小值为1 D.的最x y +()()2241x y +++小值为18答案AB 解：因为，，可得450x y xy ++-=4x y xy xy ++≥+，所以，解得，当且仅当250+-≤)510+≤01xy <≤时取等号，即的最大值为1，故A 正确；4x y =xy 因为，所以()211445444442x y x y xy x y x y x y +⎛⎫++==++⋅≤++ ⎪⎝⎭,解得, 当且仅当x=4y 时，取等号，即x+4y()()24164800x y x y +++-≥44x y +≥的最小值为4，故B 正确；由可解得，所以450x y xy ++-=941x y =-+，当且仅当取等号，即915511x y y y +=++-≥-=+911y y =++,故C 错误；,2,1y x ==-()()()()222299411211811x y y y y y ⎛⎫+++=++≥⋅+= ⎪++⎝⎭当且仅当，取等号，即故D 错误；故选：AB ．911y y =++2,1y x ==-13（多选）.下列命题正确的是( )A.第一象限的角都是锐角B.小于的角是锐角2πC. 是第三象限的角D.钝角是第二象限角2019o答案CD 解：A ．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A 错误，B ．，但不是锐角，故B 错误， C.2019°=5×360°+219°，∵219°是第62ππα=-<α三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C 正确， D ．因为钝角大于90°小于180°，即钝角是第二象限角，故D 正确.14（多选）.以下式子符号为正号的有（）A.B.()tan 485sin 447oo-5411sincos tan 456πππC.D.()tan188cos 55oo -2913costan 662sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭答案ACD 解：A.因为是第二象限角，故tan485°<0，485360125o o o=+A,因为是第四象限角，故sin （－447°） <0，所以tan485°447720273o-=-+ sin （－447°）>0，故A 正确；B,因为是第三象限角，所以,因为是第二象限角，所以；因54π5sin 04π<45π4cos 05π<为是第四象限角所以，所以,故B 错误；116π11tan 06π<5sin 4π4cos 5π11tan 06π<C.因为是第三象限角，故，因为是第四象限角，故，188otan1880o>55o-()cos 550o ->故，故C 正确； D.因为是第二象限角，所以()tan1880cos 55oo>-295466πππ=+，因为是第四象限角，所以，因为是第29cos 06π<13266πππ-=--13tan 06π-<23π二象限角，所以，所以，故正确. 故选ACD.2sin03π>2913costan 6602sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭>15.（多选）已知，，则（ ）()0,θπ∈1sin cos 5θθ+=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=答案：ABD解：∵,∴两边平方得：,，1sin cos 5θθ+=112sin cos 25θθ+⋅=12sin cos 25θθ∴=-与异号,又∵,∴θ∈，∴，∴sin θ∴cos θ()0,θπ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭sin cos θθ>,∴，又∵，∴()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=7sin cos 5θθ-=1sin cos 5θθ+=,，故选ABD.4sin 5θ=3cos 5θ=-4tan 3θ=-16.在平面直角坐标系中，点，，xoy ()1cos ,sin P αα2cos ,sin 33P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）3cos ,sin 66P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A.线段与的长均为1 B.线段的长为11OP 3OP 23P PC.当时，点关于轴对称 D.当时，点关于轴对称3πα=12,PP y 1312πα=13,PP x 答案ACD解：由题意可得，同理可得，21OP ==31OP =故A 正确；由题意得，由勾股定理得，故B 错误；当23362P OP πππ∠=+=23P P =时，即，即，点3πα=1cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛ ⎝222cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛- ⎝关于轴对称，故C 正确；当时，，12,P P y 1312πα=31313cos ,sin 126126P ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，即3cos ,sin 1212P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭11313cos ,sin 1212P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos ,sin 1212P ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故点关于轴对称，故D 正确. 故选:ACD.13,P P x 17.函数的图象可能是（ ）()()af x x a R x =-∈A. B. C. D.答案ACD 解：①当a=0时,,选项A 符合；()f x x=当时0a ≠(),0,0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩②当a>0时，当x>0时，为对勾函数的一部分,()af x x x =+当x<0时,单调递减,选项B 不符合，选项D 符合，故D 有可能；()af x x x =-+③当a<0时,当x>0时单调递增, 当x<0时,()a f x x x =+()a a f x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭其中（x ＜0）为对勾函数第三象限的一部分，()af x x x -=+则x ＜0时的图象位于第二象限, 选项C 符合；可知选项B 中图象不是()a f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭函数f(x)的图象.18（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数的图象关于点对称tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.函数是最小正周期为的周期函数sin y x=πC. 为第二象限的角，且，则.θcos tan θθ>sin cos θθ>D.函数的最小值为2cos sin y x x =+1-答案AD 解：对于A ：函数的图象关于点对称，故A 正确；tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对于B ：函数=，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；sin y x =sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩对于C ：由为第二象限的角,得,由,得,故tan sin θθ>cos tan θθ>sin cos θθ<C 错误;对于D ：函数当时，22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭sin 1x =-函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD ．19（多选）.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍()f x [],a b [],ka kb k 跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”[],a b [],a b [],a b ()f x 下列结论正确的是( )A.若为的“跟随区间”，则[]1,b ()222f x x x =-+2b =B.函数存在“跟随区间”()11f x x =+C.若函数“跟随区间”，则()f x m =1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.二次函数存在“3倍跟随区间”()212f x x x=-+答案AD 解：对于A ，若为的跟随区间，[]1,b ()222f x x x =-+因为在区间上单调递增, 故函数在区间的值域为()222f x x x =-+[]1,b ()f x []1,b .根据题意有，解得，因为，故21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦222b b b -+=12b b ==或12b b >=或A 正确；对于B ，由题意，因为函数在区间上均单调递减，()11f x x =+()(),0,0,-∞+∞故若存在跟随区间，则或，()11f x x =+[],a b 0a b <<0a b <<则有，即，得，与或矛盾，1111a b b a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩11ab b ab a =+⎧⎨=+⎩a b =0a b <<0a b <<故函数不存在跟随区间，B 不正确；()11f x x =+对于C ，若函数存在跟随区间，因为为减函数，()f x m =-[],a b()f x m =故由跟随区间的定义可知 ,，b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩a b <即，()()()11a b a b a b-=+-+=-因为，易得，ab <1=01≤<≤所以，(1a m m =-=-即，同理可得，10am +-=10b m +-=转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，20t t m --=[]0,1故，解得，故C 不正确；1400m m +>⎧⎨-≥⎩1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦对于D ，若存在“3倍跟随区间”, 则可设定义域为,值域为()212f x x x =-+[],a b, 当时,易得在区间上单调递增，[]3,3a b 1a b <≤()212f x x x =-+[],a b 此时易得a,b 为方程的两根，解得x=0或x=-4，2132x x x-+=故存在定义域[-4，0]，使得的值域为[-12,0]，故D 正确. 故选AD.()212f x x x=-+三，填空题20.已知，且，则____.答案：()1sin 533o α-=27090o o α-<<-()sin 37oα+=解：，又，所以()()()sin 37sin 9053cos 53o oo ααα⎡⎤+=--=-⎣⎦27090α-<<-,又，所以，所以14353323o α<-< ()1sin 5303o α-=>14353180o α<-< 为负值，所以。
2022-2023学年广东省深圳市(集团)高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省深圳市（集团）高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．命题：“，”的否定是（ ）0x ∀>2ln 20xx +>A ．，B ．，0x ∀>2ln 20xx +<0x ∀>2ln 20xx +≤C ．，D ．，0x ∃>2ln 20xx +≤0x ∃>2ln 20xx +<【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.【详解】命题：“，”是全称命题，0x ∀>2ln 20xx +>它的否定是特称命题：，，0x ∃>2ln 20xx +≤故选：C2．已知集合，则（ ）{}121log ,,2,02x A y y x x B y y x ⎧⎫==>==<⎨⎬⎩⎭∣∣A B = A ．B ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣{01}<<∣yy C ．D ．112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣∅【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和值域求解.【详解】因为，所以，所以，12x >11221log log 12y x =<={}1A y y =<∣因为所以，且，0x <0221x y =<=20x>所以，{}1B y y =<<∣0所以.A B = {01}<<∣yy 故选:B.3．函数的图象大致是（ ）()()233ln x x f x x -=+A．B ．C．D．【答案】C【分析】由题可得函数为偶函数，再利用，即得.102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】∵，定义域为，()()233ln x x f x x -=+()(),00,∞-+∞ 又，()()()()()2233ln 33ln x x x x f x x x f x ---=+-==+∴函数为偶函数，故AD 错误；()()233ln x x f x x -=+又，故B 错误.211221133ln 220f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭<⎝故选：C.4．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大760mmHg 气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，P mmHg h m 760ehkP -=e 是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，k 500m 700mmHg 1000m 歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的16D 1500m （ ）倍.A ．B ．C ．D ．0.670.921.091.5【答案】C【分析】根据题意分别列出指数等式即可求解.【详解】由题可知，，，10001760e k P -=15002760e kP -=则有，50012e kP P =又因为，所以，500700760e k-=500760e 1.09700k =≈故选:C.5．享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，[]y x =其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数[]R,x x ∈x ][][2.12,33, 1.52⎡⎤==-=-⎣⎦0x 的零点，则（ ）()lg 5f x x x =+-[]0x =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】先根据零点存在定理确定出零点的位置，进而根据高斯函数的定义求得答案.【详解】因为函数在上单调递增，且，，()lg 5f x x x =+-()0,∞+()4lg 410f =-<()5lg 50f =>则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，.()04,5x ∈()00f x =[]04x =故选：B.6．已知，则（ ）1sin 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．2325-2325725-725【答案】B【分析】利用换元法可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可.sin 2sin 262t ππα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】令，故，，6t πα=-1sin 5t =6tπα=-故.223sin 2sin 2cos 212sin 6225t t t ππα⎛⎫⎛⎫+=-==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B7．函数的部分图象如图所示.若，且()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()12,0,2πx x ∈，则的值为（ ）()()12(0)f x f x a a ==<12x x +A ．B ．C ．D ．π32π34π38π3【答案】D【分析】根据函数的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点、()y f x =11ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线对称，进而得出.22ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π2x =12x x +【详解】由图象可知， ，即，则，311ππ3π4632T =-=2πT =2π1T ω==此时，，()()2sin f x x ϕ=+由于，，，ππ2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||2ϕπ<ππ32ϕ+=所以，即.π6ϕ=()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且，12,(0,2π)x x ∈()()12(0)f x f x a a ==<由图像可知，，12323662x x +++=⨯=ππππ则.128π3x x +=故选：D.8．已知定义在上的偶函数满足，当时，单调递增，则R ()f x ()()2f x f x -=-+20x -≤≤()f x （ ）A ．()37π1tan 2023log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()37π1tan log 2023242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()317πlog 2023tan 224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()317πlog tan 2023224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在[0,2]上的单调性，进而将自变量的取值转化到区间[0,2]上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案.【详解】因为为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=又，所以，()(2)f x f x -=-+()(2)f x f x =-+所以，即是周期为4的函数，()()4f x f x =+()f x 则.(2023)(50641)(1)(1)f f f f =⨯-=-=因为，π7ππ4243<<所以，.7π1tan24<<()()3331log log 2log 22f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭30log 21<<因为为偶函数，且当时，单调递增，()f x 20x -≤≤()f x 所以当时，单调递减，故.02x ≤≤()f x 37π1tan (2023)log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（ ）()0,∞+A ．B ．C ．D ．cos y x =3y x=24y x =+2log y x=【答案】CD【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【详解】解：对于A ，函数为偶函数，在上不单调，故A 错误；cos y x =()0,∞+对于B ，函数为奇函数，不正确；3y x =对于C ，是偶函数，且在上为增函数，正确；24y x =+()0,∞+对于D ，函数的定义域为，，函数为偶函数，当时，{|0}x x ≠()()22log log f x x x f x -=-==0x >为增函数，满足条件，2log y x=故选：CD ．10．(多选)要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）sin(23y x π=+sin y x =A ．每一点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度23πB ．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度126πC ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)3π12D ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)6π12【答案】BC【分析】分别分析先伸缩后平移和先平移后伸缩两种情况下图像的变换.【详解】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左12平移个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．6π（2）先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵3π12坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误．故选：BC.11．已知为锐角，角的终边上有一点，x 轴的正半轴和以坐标原点O 为圆心的θα()sin ,cos M θθ-单位圆的交点为N ，则（ ）A ．若，则()0,2a π∈2παθ=+B ．劣弧的长度为MN 2πθ+C ．劣弧所对的扇形的面积为是MN OMN 2αD ．sin sin 1αθ+>【答案】ABD【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A 的正误；根据弧长公式，可判断B 的正误；根据扇形面积公式，可判断C 的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】A ：()sin ,cos cos ,sin cos ,sin 2222ππππθθθθπθπθ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，故，故A 正确；cos ,sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2παθ=+B ：劣弧的长度为，故B 正确；MN 1=22ππθθ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭C ：只有当时，扇形的面积为，故C 不正确；02απ<<OMN 1122S αα=⨯⨯=D ：，sin sin sin sin sin cos 2παθθθθθ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭∵为锐角，故．故D 正确.θ()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos 1θθθθθθθθ+=++>⇒+>故选：ABD12．已知，则下列不等关系一定正确的是（ ）10a b >>>A ．B ．()log 2b ab <111a a +>+C ．D ．11a b b a->-3ln28b a ab>-【答案】ABD【分析】对，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行判断；A 对，根据基本不等式即可判断；B 对，取，代入计算即可判断.C 11,42b a ==对，原不等式等价于，进而构造函数，然后根据函数的单调性得D 32ln 32ln a ba b +>+2ln x y x =+到答案.【详解】对，因为，且，则，所以A log ()log log log 1b b b b ab a b a =+=+10a b >>>log log 1b b a b <=，故选项正确；log ()log 12b b ab a =+<A对，由题意，（此处等号不能成立），故选项正B 11111111a a a a +=++->-=++B 确；对，取，则，故选项错误；C 11,42b a ==1171174,22244a b b a -=-=--=-=-C 对，问题等价于，易知函数在上是D 33ln 3ln 222ln 32ln b a a b a b a b ->-⇔+>+2ln x y x =+()0,∞+增函数，而，则成立，故选项正确.30a b >>32ln 32ln a ba b +>+D 故选：.ABD 三、填空题13．__________.ln 224216log log e 39-+=【答案】1【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.【详解】.ln 224222221624231log log e log log 2log 2log 21213933342⎛⎫⎪-+=-+=⨯+=+=-+⎝=⎭故答案为：1.14．函数的图象恒过定点P ，P 在幂函数的图象上，则___________.()log 238a y x =-+()f x ()4f =【答案】64【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.()2,8P ()f x ()4f 【详解】令，则，故点；2x =8y =()2,8P 设幂函数，()bf x x =则，28b=则；3b =故；()464f =故答案为：64.15__________.1cos80-=【答案】4-【分析】先用诱导公式转化，再对已知分式进行通分，分子化成一个三角函数，再cos8010sin =使用二倍角公式即可得到结果.【详解】.()sin sin sin 210301122041cos801010cos1sin s 22in 00--====-=故答案为：.4-四、双空题16．已知函数，则的最小正周期为__________，不等式的()()1cos cos 2f x x x =+()f x ()()12f f x >解集为__________.【答案】 2πR【分析】根据题意作出函数图象，根据函数图象即可求解.【详解】由题意可知：当时，函数；cos 0x ≥()cos f x x =当时，函数，作出函数图象，如图所示：cos 0x <()0f x=结合图形可知：函数的最小正周期为；()f x 2π令，所以，(),[0,1]f x t t =∈()()[]1cos cos cos cos1,12f t t t t =+=∈因为函数在上单调递减，所以，()f t π[0,3π1()cos1cos 32f t ≥>=则不等式的解集为，()()12f f x >R 故答案为：；.2πR 五、解答题17．已知．()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+(1)化简,并求的值;()f θπ3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)若,且,求的值．()0,πθ∈()1225f θ=-cos sin θθ-【答案】(1)()sin cos f θθθ=(2)75-【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可;()f θπ3(2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断θsin cos θθsin cos θθ()0,πθ∈sin ,cos θθ正负,对平方再开方,代入即可得所求.cos sin θθ-cos sin θθ-sin cos θθ【详解】（1）解:由题知()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+()sin sin tan θθθ-⋅-=,sin cos θθ=;πππsin cos 333f ⎛⎫∴=⋅=⎪⎝⎭（2）,,()1225f θ=-()0,πθ∈,且,12sin cos 25θθ∴=-sin 0,cos 0θθ><cos sin 0θθ∴-<cos sin θθ∴-===,75=-故.7cos sin 5θθ-=-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，()A B A=R A B ⋂=∅A B A = 并求解下列问题：已知集合，若__________，求实数的取值范围.{}11123,14A x a x a B x x ⎧⎫=-≤≤+=<-⎨⎬-⎩⎭∣∣a 【答案】答案见解析【分析】根据所选的条件，①可以推出是的子集；②，两个集合没有()A B A=R A B R A B ⋂=∅公共元素；③可以推出.利用集合的交集、补集、并集的定义，对a 进行分类讨论，A B A = A B ⊆分别求解即可．【详解】解：由解得，所以，.1114x <--74x -<<()7,4B =-若选择①：，则是的子集，,()A B A=R A B R {}123A x a x a =-≤≤+∣，][(),74,B =-∞-⋃+∞R 当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，或,解得，4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可得，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择②：，A B ⋂=∅当时，即，即时，满足题意；A =∅123a a ->+4a <-当时，或，解得.4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可知，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择③：，则，A B A = A B ⊆当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，，解得；4a ≥-17234a a ->-⎧⎨+<⎩142a -≤<综上可知，实数的取值范围是.a 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．已知函数（且）.()()()log log a a f x x a a x =++-0a >1a ≠(1)判断函的奇偶性，并说明理由；()f x (2)若，且，求的取值范围.3a =()()1f x f x >-x 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断；（2）先判断出函数在上的单调性，利用单调性解不等式即可.()f x [)0,3【详解】（1）函数的定义域为.()()()log log a a f x x a a x =++-(),a a -因为，所以，()()()log log a a f x x a a x -=-+++()()f x f x -=所以函数为偶函数.()f x （2）当时，定义域为，所以有：.①.3a =()()()log 3log 3a a f x x x =++-()3,3-33x -<<⋯⋯②.313x -<-<⋯⋯由①知函数为偶函数，所以可化为：.()f x ()()1f x f x >-()()1f x f x >-()()()()2333log 3log 3log 9f x x x x =++-=-因为为增函数，在上递减，3log y t =29t x =-[)0,3所以函数在上递减，所以.③.()f x [)0,31x x <-⋯由①②③解得：的取值范围为.x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭20．设函数（ω＞0），且图象的一个对称中心到最近2()sin cos f x x x x ωωω-()y f x =的对称轴的距离为．4π(1)求在上的单调区间；()f x [,0]2π-(2)若，且，求sin2x 0的值．03()5f x =0[0,]3x π∈【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；[,212ππ--[,0]12π-.【分析】（1）化简得到，结合条件求出，再利用余弦函数的性质即得；()f x ()πcos 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω（2）由题可得，，再利用差角公式即求.0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】（1）∵()2sin cos f x x x x ωωω=-1cos 21sin 222x x ωω-=-，1π2sin 2cos 226x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，π4又，所以，因此，0ω>2ππ424ω=⨯1ω=∴，()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，[,0]2x π∈-π5π2[,]666x π+∈-∴由，得，函数单调递增，52[,0]66x ππ+∈-[,]212x ππ∈--由，得，函数单调递减，2[0,]66x ππ+∈[,0]12x π∈-所以函数单调增区间为，单调减区间为.()f x [,]212ππ--[,0]12π-（2）∵，且， 03()5f x =0[0,]3x π∈∴，0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，0ππ5π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴，0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴00001sin 2sin 22cos 266626x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.413525=-⨯=21．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.22．已知函数，，与互为反函数．()2x f x =()245h x x x m =-+()x ϕ()f x (1)求的解析式；()x ϕ(2)若函数在区间内有最小值，求实数m 的取值范围；()()y h x ϕ=()32,2m m -+(3)若函数，关于方程有三个不同的实数解，求实()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦数a 的取值范围．【答案】(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于的不等m 式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到的图象，将方程有三个不同的实数解，()y g x =()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦转化为则有两个根，且一个在上，一个根为0；或有两个根，230t at a +++=()0,2230t at a +++=且一个在上，一个在上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范()0,2[)2,+∞围．【详解】（1）指数函数的反函数为同底数的对数函数，∴.()2x f x =()()2log 0x x x ϕ=>（2）函数在区间内有最小值，()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+()32,2m m -+∴在内先减后增，且，()245h x x x m =-+()32,2m m -+()min 0h x >∴，∴．4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）∵，∴，∴，0x >()4440,411x x x =-∈++()2g x <∵g (x )在时单调递增，且g =0,2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭0x >13⎛⎫ ⎪⎝⎭∴的图象如下：()y g x =因为有三个不同的实数解，()()230g x a g x a +++=设，由的图象可得当或时对于一个确定的的值，对应一个的值，对()g x t =()y g x =0t =2t ≥t x 于的每一个确定的的值，对应两个不同的实数根.02t <<t x 则有两个根，且一个在上，一个根为0；230t at a +++=()0,2或有两个根，且一个在上，一个在上.230t at a +++=()0,2[)2,+∞①有两个根，且一个在上，一个根为0，230t at a +++=()0,2∴一个根为0，解得，此时，3a =-22330t at a t t +++=-=另一根，舍去；()30,2t =∉②有两个根，且一个在上，一个在上，230t at a +++=()0,2[)2,+∞令，()23k t t at a =+++（ⅰ）当一个根在上，一个在上，()0,2()2,+∞则∴∴.()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩733a -<<-（ⅱ）当一个根在上，一个根为2，则，解得．()0,2()20k =73a =-此时的两根为，，满足题意．272033t t -+=()110,23t =∈22t =综上，a 的取值范围为．73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化()y g x =为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是有两个根，且一230t at a +++=个在上，一个在上的情况，要注意分两种情况讨论.()0,2[)2,+∞。
2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{1,0,1,2}A =-{|lg(1)}B x y x ==+A B = A ．B ．C ．D ．{1,0,1,2}-{0,1,2}{1,2}{2}【答案】B【解析】求出函数的定义域确定集合，然后由交集定义计算．B 【详解】，∴.{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=>-{0,1,2}A B ⋂=故选：B ．2．命题“，”的否定是 [)x 0,∞∀∈+22x x 0-≥()A ．，B ．，[)x 0,∞∀∉+22x x 0-<[)x 0,∞∀∉+22x x 0-≥C ．，D ．，[)x 0,∞∃∈+22x x 0-<[)x 0,∞∃∈+22x x 0-≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，据此可得命题“，”的否定是，，[)0,x ∞∀∈+220x x -≥[)0,x ∃∈+∞220x x -<故选C ．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.3．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）．A ．B ．C ．D ．tan y x =3xy =y =3y x=【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对A: 它是奇函数，它在区间上递增，但在定义域上不是tan y x =(,)()22k k k Z ππππ-+∈单调函数;对B: 是非奇非偶函数；3xy =对C: y =对D:是奇函数，在定义域内是增函数．3y x =4． 设则“且”是“”的,,x y R ∈2x ≥2y ≥224x y +≥A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：若x≥2且y≥2，则x 2≥4，y 2≥4，所以x 2+y 2≥8，即x 2+y 2≥4；若x 2+y 2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分而不必要条件．故选A ．【解析】本题考查充分、必要、冲要条件．点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，224x y +≥包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，2x ≥2y ≥所以选A ．这种做法比分析中的做法更形象、更直观．5．若，，，则（ ）202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭120202021b =20201log 2021c =A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>b a c>>【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由函数，，的单调性可知，12020x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2021xy =2020log y x =20211012020a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，，故.1202020211b =>20201log 02021c =<b a c >>故选：D6．函数在区间的图象大致是（）sin cos xxy x+=[]2,2ππ-A ．B ．C ．D ．【解析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A 、B ，在计算时的函数值可排除选项D ，进而x π=-可得正确选项.【详解】因为，且，()sin cos x xf x x-+-=()()f x f x -≠-()()f x f x -≠所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A 、B ，sin cos x xy x+=因为，排除选项D ，()()()sin cos 10f πππππ-+---==<-故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ､直角边AB ､AC ，已知以直角边AC ､AB 为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（ ）14ABC θ∠=sin 2cos cos sin θθθθ-+A ．-1B ．-2C ．0D ．1【答案】A【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可.12AC AB =1tan 2θ=【详解】以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：，()221228AC AC ππ⋅⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，()221228AB AB ππ⋅⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭由面积之比为，得：，即，14()()2214AC AB =12AC AB =在中，，则，Rt ABC 1tan tan 2AC ABC AB θ=∠==12sin 2cos tan 2211cos sin 1tan 12θθθθθθ---===-+++故选：A.8．已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程解的个数为（ ）()1f x =A ．B ．C ．D ．46810【答案】D【分析】当时，作出函数的图象，把方程解的个数，转化为函数与0x >()f x ()1f x =()y f x =的图象交点的个数，结合图象和函数的奇偶性，得到图象交点的个数，即可求解.1y =【详解】由题意，函数当时，，0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩作出函数的图象，如图所示，()f x 又由方程解的个数，即为函数与的图象交点的个数，()1f x =()y f x =1y =当时，结合图象，两函数与的图象有5个交点，0x >()y f x =1y =又由函数为偶函数，图象关于轴对称，()y f x =y 所以当时，结合图象，两函数与的图象也有5个交点，0x <()y f x =1y =综上可得，函数与的图象有10个交点，()y f x =1y =即方程解的个数为10.()1f x =故选：D.二、多选题9．设、、为实数且，则下列不等式一定成立的是（ ）a b c a b >A ．B ．11a b >ln ln a b>C ．D ．()20221a b ->()()2211a c b c +>+【答案】CD【分析】取，可判断A 选项；利用对数函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数0a b >>的单调性可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A ，若，则，所以A 错误；0a b >>11a b <对于B ，函数的定义域为，而、不一定是正数，所以B 错误；ln y x =()0,∞+a b 对于C ，因为，所以，所以C 正确；0a b ->()20221a b ->对于D ，因为，所以，所以D 正确.210c +>()()2211a c b c +>+故选：CD10．设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是（ ）π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E A ．是曲线的一个对称中心π(,0)12-E B ．若，且，则的最小值为12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -2πC ．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合sin 2y x =π3E D ．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12E 【答案】BD【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.sin()y A x ωϕ=+【详解】函数的图象为曲线，π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E 令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故A 错误；12x π=-()1f x =-()f x 12x π=-若，且，则的最小值为，故B 正确；12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -122222T ππ=⨯=将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故C 错误；sin 2y x =π32sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与曲线E 重合，故D 正确，故选：BD.11．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x A ．B ．的值域为()13f =()f x (),4-∞C ．的解集为D ．若，则()1f x <()1,1-()3f x =x 【答案】BD【分析】将代入可知A 错误；分别在和的情况下，结合一次函数和1x =()2f x x =1x ≤-12x -<<二次函数的值域求法可知B 正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和1x ≤-12x -<<方程求得CD 正误.【详解】对于A ，，A 错误；()2111f ==对于B ，当时，；当时，；1x ≤-()2121f x x =+≤-+=12x -<<()[)20,4f x x =∈的值域为，B 正确；()f x \(),4-∞对于C ，当时，，解得：；1x ≤-()21f x x =+<-3x <-当时，，解得：；12x -<<()21f x x =<11x -<<的解集为，C 错误；()1f x ∴<()(),31,1-∞-- 对于D ，当时，，解得：（舍）；1x ≤-()23f x x =+=1x =当时，，解得：12x -<<()23f x x ==x =x =的解为D 正确.()3f x ∴=x =故选：BD.12．已知函数，且，则（ ）()221xf x a =-+()113f =A ．1a =B ．为非奇非偶函数()f x C ．函数的值域为()f x ()1,1-D ．不等式的解集为()()23130f x f x -+-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】由求得可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；由的范围可得的范围，()113f =a x 2121-++x可判断C ；利用的单调性可判断D.()f x 【详解】，求得，A 正确；()211213f a =-=+1a =时，，1a =()22112121x x x f x -=-=++∵，∴为奇函数，B 不正确；()()21122112x x x x f x f x -----===-++x R ∈()f x ∵，∴，∴，，20x >211x+>10121x <<+22021x --<<+∴，C 正确；211121x --<+<+，因为是上单调递增函数，是上单调递减函数，()2121x f x =-+21xy =+R 221x y =+R 所以是上单调递增函数，()2121xf x =-+R ∴，()()()()()2231303133f x f x f x f x f x -+-<⇒-<--=-∴，∴，∴解集为，D 正确.2313x x -<-2340x x +-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ACD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.π24π3【答案】π6【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.【详解】设扇形的半径为r ，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为2π1π3224r =⨯4r =.ππ4246⨯=故答案为：.π614．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么＝________.12x -【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x 的值【详解】∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴()113222x --==＝【点睛】利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数，属于基础题．15．已知（，为常实数），若，则())2021log sin 8f x a x b x =--a a ()54f -=___________.()5f =【答案】20-【分析】由得出，进而得出.()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-()5f【详解】，()()2021log sin 8f x a x b x ⎫-=----⎪⎭，())2021log sin 8f x a x b x -=-++-∴，∴，()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-∵，∴.()54f -=()520f =-故答案为：20-四、双空题16．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是,x y 22412x y xy +=+x =121x y xy ++__________．【答案】 612【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式12xy ≤122y x ==121x y xy ++后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.122y x ==【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”224124x y xy xy+=+≥=12xy ≤122y x ==时取等号，，当且仅2121112x yxy xy xy++≥=+=-∴226≥-=当“”时取等号.122y x ==故答案为：，6.12【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.五、解答题17．已知集合，，，全集{A x y =={}260B x x x =--<{}C x x a =<U =R(1)求，；A B ⋃()U A B⋂ (2)若，求实数的取值范围．A C ⋂≠∅a 【答案】(1)；(]2,8A B =- ()()2,2U A B =- (2)()2,+∞【分析】（1）根据偶次根式被开方数大于等于零，进而解一元二次不等式分别求得集合，由并,A B 集、补集和交集的定义可得结果；（2）由可得的范围，取补集即可得到时的范围.A C ⋂=∅a A C ⋂≠∅a 【详解】（1）由得：，即；210160x x -+-≥28x ≤≤[]2,8A =由得：，即，；260x x --<23x -<<()2,3B =-(]2,8A B ∴=- ，.()(),28,U A =-∞+∞ ()()2,2U A B ∴=-（2）由题意知：；(),C a =-∞若，则，时，的取值范围为.A C ⋂=∅2a ≤A C ∴≠∅ a ()2,+∞18．已知函数（且）.()()()log 2log 2a a x x f x =+--0a >1a ≠(1)判断的奇偶性并予以证明；()f x (2)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集.20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x c >【答案】(1)奇函数，证明见解析(2){}20x x -<<【分析】（1）先求定义域，再由奇偶性定义证明即可；（2）根据解集得出，，再利用对数函数的单调性解不等式即可.12a =0c =【详解】（1）要使有意义，必须且，()f x 20x +>20x ->解得，所以的定义域为.22x -<<()f x ()2,2-是奇函数.()f x 证明如下：的定义域为，关于原点对称，()f x ()2,2-∵，()()()()()()log 2log 2log 2log 2a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-⎡⎤⎣⎦∴为奇函数.()f x （2）由不等式的解集为，20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴得，，10,210,2c a ⎧⨯=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12a =0c =∴，得，()()()1122log 2log 20f x x x =+-->()()1122log 2log 2x x +>-∵为减函数，12log y x =∴20,20,22,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩解得：，所以解集为.20x -<<{}20x x -<<19．已知.3sin cos αα=(1)若为锐角，求的值；αcos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值.tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(2)7【分析】（1）由已知结合同角三角函数的平方关系可解得，然后由余弦的两角和可得；sin ,cos αα（2）由已知可得，由二倍角公式可得，最后由正切的两角和可得.tan αtan 2α【详解】（1）由，为锐角223sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩α解得sin αcos α=∴cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33ππαα=-12==（2）由3sin cos αα=得1tan 3α=则22122tan α33tan2α1tan α4113⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭31πtan2α14tan 2α7341tan2α14++⎛⎫∴+=== ⎪-⎝⎭-20．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.21．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， ()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭6π()g x 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.()g x ()f x 2π（1）求在上的增区间;()f x []0,π（2）若在上有两解，求实数的取值范围.()230f x m -=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m【答案】（1）；（2）.70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12⎛ ⎝【解析】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，可得函数的周期，从而得出的值，由平移()f x 2πω得出的解析式，根据图像关于原点对称，可求出的值，从而可求单调增区间,得出()g x ()g x ϕ()f x 答案.（2）令 则，则，根据有两解，即23t x π=+4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈()230f x m -=+有两解，从而可得答案.2sin 32t m =-【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，()f x 2π22T ππω==1,ω∴=()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数的图像关于原点对称，， ()g x 3k πϕπ-+= ,2πϕ< 所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（1）由， 222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈得，51212k x k ππππ-≤≤+Z k ∈令得0k =51212x ππ-≤≤得1k =7131212x ππ≤≤在增区间是()f x \[]0,π70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令，则()223t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n 2]i t ∈若有两解，即在上有两解，()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，即2sin y t =322m ≤-<123m <≤12m ∴<≤的取值范围是m ∴12⎛ ⎝【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设，由则所以若23t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈有两解，即在上有两解，然后数形结合求解，属于中档()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦题.22．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．()f x ()f x ()f x （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；()|cos |f x x =（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围；2()log (sin )1f x x m =++[,]33ππ-m （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．22()4243x x f x m m +=-+- R【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（2；（3）答案见解析.1m <≤【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解，结合三角函数的性质即可求解；221sin 4m x -=[,]33ππ-（3）由题意可知，在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，从而在有解，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-224880t mt m -+-=[2,)+∞再分类讨论即可得出结果【详解】（1） ，()0()22f f ππ-==．((022f f ππ∴-+=是“伪奇函数”．()|cos |f x x ∴=（2）为“伪奇函数”，()f x ，()()0f x f x ∴+-=即，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解．221sin 4m x -=[,]33ππ-，sin [x ∈ ．2211sin [,1]44m x ∴=+∈又在恒成立，sin 0m x +> [,33ππ-max (sin )m x ∴>-=．1m <≤（3）当为定义域上的“伪奇函数”时，22()4243x x f x m m +=-+- R 则在上有解，()()f x f x -=-R 可化为在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-从而在有解，224880t mt m -+-=[2,)+∞即可保证为“伪奇函数”，()f x 令，22()488F t t mt m =-+-则当时，在有解，①(2)0F ≤224880t mt m -+-=[2,)+∞即，22210m m --≤m ≤≤当时，在有解等价于②(2)0F >224880t mt m -+-=[2,)+∞22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩m <时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是．m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+- R。
2022-2023学年山东省青岛市青岛高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省青岛市青岛高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列能正确表示集合和关系的是（ ）{}1,0,1M =-{}220N x x x =+=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出集合N ，再求出即可得答案.M N ⋂【详解】解：，{}{}2202,0N x x x =+==-故，{}0M N = 故选：A 2．若，是第二象限的角，则的值等于（ ）4sin 5α=αtan αA ．B ．C ．D ．433443-34-【答案】C【分析】先求得，然后求得.cos αtan α【详解】由于，是第二象限的角，4sin 5α=α所以，3cos 5α==-所以.sin tan s 43co ααα==-故选：C3．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果【详解】半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（其中为扇形所22111121222S lr r α===⨯⨯=l 对应的弧长，为半径，为扇形所对应的圆心角）.r α故选：A.4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）21log 2a =212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭122c =a b c A ．B ．b c a <<<<b a c C ．D ． a c b << a b c<<【答案】C【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.a b c 【详解】因为，，，221log log 102a=<=221242b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭12124c <==<所以. a c b <<故选：C.5．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-的取值范围为（ ）a A ．B ．C ．D ．(),2∞-13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],2∞-13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.R 【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，()f x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-所以函数是定义在上的减函数，()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩R所以，解得，所以220112(2)2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩2138a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩13,8a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∈故选：B【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊0.23(53)()=1e t I Kt --+病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）*t *t A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.t t *=()()0.23531t K I t e--=+()0.95I t K*=t *【详解】，所以，则，()()0.23531t KI t e --=+ ()()0.23530.951t K I t Ke**--==+()0.235319t e*-=所以，，解得.()0.2353ln193t *-=≈353660.23t *≈+≈故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）2y ax bx =+(0)bay x x =>A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >bx 02a =->0b a <幂函数为减函数，符合题意；(0)b ay x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0bx 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b ay x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a =-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)bay x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)bay x x =>故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.8．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的2y x bx c =-++20x bx c m -++->()00,2x x +m 值为（ ）A ．B ．C ．D ．14-2-1-【答案】C【分析】根据函数只有一个零点可得，又不等式的2y x bx c =-++240b c ∆=+=20x bx c m -++->解集为，转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系最终()00,2x x +可得，联合即可得的值.2444b c m +-=m 【详解】解：函数只有一个零点，则，2y x bx c =-++240b c ∆=+=不等式的解集为，即的解集为.20x bx c m -++->()00,2x x +20x bx c m --+<()00,2x x +设方程的两根为，则，且，20x bx c m --+=12,x x 1212,x x b x x c m +=⋅=-+212x x -=∴，则，整理得，.22212112()()44x x x x x x -=+-=24()4b c m --+=2444b c m +-=1m ∴=-故选：C.二、多选题9．已知幂函数的图象过点，则（ ）()2()22mf x m m x =--1(2,2A ．()3f x x =B ．()1f x x -=C ．函数在上为减函数()f x (,0)-∞D ．函数在上为增函数()f x (0,)+∞【答案】BC【分析】根据幂函数的定义以及图象过点可得，故选项A 错误、故选项B 正确.根1(2,2()1f x x -=据幂函数的单调性可判断C 正确、D 错误.()1f x x -=【详解】∵为幂函数，∴，即，()2()22mf x m m x =--2221m m --=2230m m --=∴或，3m =1m =-当时，，此时，函数图象不过点，故，故选项A 错误：3m =()3f x x =(2)8f =1(2,2()3f x x ≠当时，，此时，函数图象过点，故，故选项B 正确；1m =-()1f x x -=1(2)2f =1(2,2()1f x x -=因为幂函数在上为减函数，故选项C 正确；()1f x x -=(,0)-∞因为幂函数在上为减函数，故选项D 错误.()1f x x -=(0,)+∞故选：BC10．下列各式的值等于1的有（ ）A ．B ．()22sin cos x x-+5πsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()cos 5π-()πcos 2sin 3παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+【答案】AD【分析】根据同角平方关系可判断A ，根据诱导公式可判断BCD.【详解】，选项A 正确；()2222sin cos sin cos 1x x x x -+=+=，选项B 错误；5π3π3πsin sin 4π+sin 1222⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 错误：()()cos 5πcos 6π+πcos π1-=-==-，选项D 正确，()πcos sin 21sin 3πsin αααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-+-故选:AD11．定义在R 上的函数满足：对任意的，有，集合A()f x 12x x ≠()()()1212012f x f x f x x -<=-，}，若“”是“”的充分不必要条件，则集合B 可以是（ ）(){20x x f x =-x A ∈x B ∈A ．B ．{}|0x x <{}|1x x <C ．D ．{}|2x x <{}|3x x <【答案】CD【分析】可先判断出函数在R 上单调递减，结合图象即可得，再由“”是()f x {}|1A x x =<x A ∈“x ∈B ”的充分不必要条件，对应集合是集合的真子集即可求解.A B 【详解】依题意得，函数在R 上单调递减，且图象过点()f x ()1,2()()202x xf x f x ->⇔>在同一坐标系下画出函数与的图象，()y f x =2xy =由图易知不等式的解集为，即，()20x f x ->{}|1x x <{}|1A x x =<因为“”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集．x A ∈A B 可以取满足集合是集合的真子集．{}{}|2,|3B x x B x x =<=<A B 故选：CD.12．若函数对，，不等式成立，则称在()f x ()12,1,x x ∀∈+∞()12x x ≠()()1222121f x f x x x -<-()f x 上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（ ）()1,+∞A ．B ．()21f x x =-+()221f x x x =++C ．D ．()22log f x x x =-()22f x x x x=-+【答案】ACD【解析】令，题中条件转化为判断在上是减函数，再逐项构造函数，进2()()g x f x x =-()g x (1,)+∞行判断即可．【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，()f x 1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠122212()()1f x f x x x -<-则，2211221222121212()()()()10()()f x x f x x f x f x x x x x x x ⎡⎤⎣⎡⎤----⎣⎦⎦-=<--+令，因为，则，，且恒成立，2()()g x f x x =-122x x +>1212()()0g x g x x x -<-1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠在上是减函数，2()()g x f x x ∴=-(1,)+∞对于A 选项，，则，对称轴是，开口向下，所以()21f x x =-+22()()12g x f x x x x =--=-+=1x -在递减，故A 正确；()g x (1,)+∞对于B 选项，，则在上单调递增，故B 错；()221f x x x =++2()()21g x f x x x =-=+(1,)+∞对于C 选项，，则在上显然单调递减，故C 正确；()22log f x x x=-22()()log g x f x x x =--=(1,)+∞对于D 选项，，则，因为与在都是减函()22f x x x x =-+22()()g x f x x x x =-=-+y x =-2y x =(1,)+∞数，所以在递减，故D 正确；()g x (1,)+∞故选：ACD【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满足122212()()1f x f x x x -<-2()()g x f x x =-上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.()()1212g x g x x x -<-三、填空题13．若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角．【答案】第三象限角【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，则α是第三象限角．【解析】三角函数值的象限符号.14．已知幂函数的图象经过点，则___________．()y f x =(2,4)(2)f -=【答案】4【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．【详解】设，则，，即，()af x x =24a=2a =2()f x x =所以．(2)4f -=故答案为：415．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则log ba a Nb N =⇔=3log 6a =236b =______________.123ab a b ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由题，分别化简的值代入即可.22log 362log 6b ==12,3ab a b +【详解】因为，所以，236b=22log 362log 6b ==所以，66321212log 3log 21log 62log 6a b +=+=+=3332ln 6ln3log 6ln 22ln 611log 2log 22log 62ln3ln 22233333332a b=====⨯==所以.1231aba b ⎛⎫+⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.16．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则()y f x =[]1,1-()f x []0,1(1)()f a f a -<实数的取值范围是_______．a 【答案】1[0,)2【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若()y f x =[]1,1-()f x []0,1，()()1f a f a -<∴，解得：，111111a a a a ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩021112a a a ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩10a 2≤<故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6(2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg 5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg 5lg 2)=-+71=-；6=（2）25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsin cos tan634=+-11122=+-．0=18．已知全集，集合，集合.U =R {}2120A x x x =--≤{}11B x m x m =-≤≤+(1)当时，求；4m =()U A B ⋃ (2)若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 【答案】(1)或；{4x x ≤5}x >(2)或.4m <-5m >【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A 的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.()U B A ⊆ 【详解】（1）集合，{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤当时，，则或，4m ={}35B x x =≤≤{3U B x x =< 5}x >故或；()U A B = {4x x ≤5}x >（2）由题意可知或 ，,{3U A x x =<- 4}x >{}11B x m x m =-≤≤+≠∅由，则或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或.4m <-5m >19．已知函数，()2f x x x =-（1）判断的奇偶性；()f x （2）用定义证明在上为减函数.()f x ()0,∞+【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析.【详解】试题分析：(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇()()f x f x -=-()f x函数.(2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论12,x x ()0,+∞12x x <的符号即可证明函数在上为减函数.()()12f x f x -()f x()0,+∞试题解析：（1）函数的定义域为，()2f x x x =-{|0}x x ≠又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭∴是奇函数.()f x （2）证明：设是上的任意两数，且，12,x x ()0,+∞12x x <则 ()()12f x f x -=121222x x x x --+()()2121122x x x x x x -=+-()211221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵且，120,0x x >>12x x <∴()2112210x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭即.()()12f x f x >∴在上为减函数.()f x ()0,+∞点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位xOy Ox αβ圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为，.3545（1）求的值；sin α（2）求.αβ+【答案】（1）；（2）.352π【解析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出、、的值，再计算的值即可出cos αsin βcos β()cos αβ+的值.αβ+【详解】（1）因为点的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为，P α35将代入，因为是锐角， ，所以， 35y =221x y +=α0x >45x =43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：，3sin 5α=（2）由，是锐角，可得，3sin 5α=α4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为，β45将代入，因为是锐角， ，可得， 45y =221x y +=β0x >35x =34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，4sin 5β=3cos 5β=所以，()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=因为，，所以，02πα<<02βπ<<0αβ<+<π所以.2παβ+=21．设函数，若实数使得对任意恒成立，求()sin 1f x x x =+,,a b c ()()1af x bf x c +-=x ∈R 的值.cos b ca 【答案】1-【分析】整理得，，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可整理得，()()1af x bf x c +-=，据此，列出方程组，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解方程组，可得答案.22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪=⎨⎪--=⎩【详解】解：，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()2sin 12sin 1133af x bf x c a x b x c ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦即，2sin 2sin 133a x b x c a bππ⎛⎫⎛⎫+++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，2sin 2sin cos 2cos sin 1333a x b x c b x c a bπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为：，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭依题意，对任意恒成立，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪∴=⎨⎪--=⎩由得：，22cos 0a b c +=cos 1b ca =-故答案为：1-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使()y f x =1x 2x成立，则称该函数为“依赖函数”.()()121f x f x =（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；()sin g x x=（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；()12x f x -=[](),0m n m >mn （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.t R ∈()()24h x t s t x ≥-+-+s 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.()0,14112【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范()()1f m f n =2m n +=0n m >>01m <<m 围即可求出的取值范围；mn （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求443a ≤≤4a >()f x 4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到a 2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭0∆≤，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭53239y x x =+4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦s 最大值.【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，()sin g x x=R 16x π=()22g x =故不是“依赖函数”.()sin g x x=（2）因为在上递增，故，即，，()12x f x -=[],m n ()() 1f m f n =11221m n --=2m n +=由，故，得，0n m >>20n m m =->>01m <<从而在上单调递增，故.()2mn m m =-()0,1m ∈()0,1mn ∈（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；443a ≤≤()()2h x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x ②若，故在上单调递减，4a >()()2h x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦从而，解得(舍)或，()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭1a =133a =从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t R ∈()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭即恒成立，2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭由，得.22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭由，可得，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭又在单调递减，故当时，，53239y x x =+4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦43x =max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭从而，解得，26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭4112s ≤综上，故实数的最大值为.s 4112【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；()a f x ≥()maxa f x ≥()a f x ≤()mina f x ≤② 数形结合( 图象在 上方即可)；()y f x =()y g x =③ 讨论最值或恒成立.()min 0f x ≥()max 0f x ≤。
2022-2023学年广东省汕尾市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省汕尾市高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ）2,10x R x x ∀∈-+>A ．B ．2,10x R x x ∃∈-+<2,10x R x x ∃∈-+≤C ．D ．2,10x R x x ∀∈-+<2,10x R x x ∀∈-+≤【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题【详解】命题“”的否定是“”.2,10x R x x ∀∈-+>2,10x R x x ∃∈-+≤故选：B 2．集合，集合，则（ ）{}3,2,1,0,1,2A =---{22}B xx =-<<∣A B = A ．B ．C ．D ．{}1,0,1-{}0,1,2{}0,1∅【答案】A【分析】根据交集运算法则即可得出结果.【详解】由题意可知，中的元素需满足且，A B ⋂x A ∈x B ∈所以.A B = {}1,0,1-故选：A 3．函数的零点所在区间（ ）()34x f x =-A ．B ．C ．D ．()1,0-()1,2()2,3()0,1【答案】B【分析】利用零点存在性定理进行判断．【详解】因为，且是增函数，()34xf x =-所以（1），（2），f 3410=-=-<f 23450=-=>，()()120f f <所以根据零点存在性定理可知，函数的零点在区间内，()34xf x =-(1,2)故选：B ．4．已知角的终边经过点，且，则α(,6)P m -4cos 5α=-m =A ．8B ．C ．4D ．8-4-【答案】B，即可求解，得到答案.45=-【详解】由题意，可得||r OP ===根据三角函数的定义，可得且，解得.4cos 5α==-0m <8m =-故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合到集合的函数的是（ ）{}1,2,4M =-{}1,2,4,16N =A ．B ．C ．D ．2x x →2x x →+2x x→2xx →【答案】C【分析】根据各选项中的函数，求出对应的函数的值域，结合可得出合适的选项.E E N ⊆【详解】对于A 选项，按照对应的，函数的值域为，A 选项错误；2x x →{}2,4,8E N=-⊄对于B 选项，按照对应的，函数的值域为，B 选项错误；2x x →+{}1,4,6E N=⊄对于C 选项，按照对应的，函数的值域为，C 选项正确；2x x →{}1,4,16E N=⊆对于D 选项，按照对应的，函数的值域为，D 选项错误.2xx →1,4,162E N ⎧⎫=⊄⎨⎬⎩⎭故选：C.6．已知，则函数的图像必定不经过（ ）01,1a b <<<-xy a b =+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，01a <<xy a =且当越来越大时，图象与轴无限接近.x x 因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.1b <-x y a =xy a b =+故选：A ．7．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若，则的值约为（ ）25,lg20.3010x =≈x A ．B ．C ．D ．0.4310.430 2.323 2.322【答案】D【分析】利用指数与对数的互化，结合对数换底公式化简求值即可．【详解】，25,lg20.3010x=≈ 2lg 51lg 210.3010log 5 2.322lg 2lg 20.3010x --∴===≈≈故选：D8．若存在正实数，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为,x y 141x y +=234y x m m+<-m （ ）A ．B ．C ．D ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先根据基本不等式求得，再由存在性问题可得，运算求解即可.44y x +≥234m m ->【详解】∵为正实数，则，,xy 441442244y x x y x y y y x x ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，44y xxy =48y x ==若存在正实数，使得不等式成立，则，解得或，,x y 234y x m m +<-234m m ->43m >1m <-故实数的取值范围为.m ()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭故选：B.【点睛】结论点睛：，使得，等价于；x M ∃∈()f x a ≥()max f x a ⎡⎤≥⎣⎦，使得，等价于.x M ∃∈()f x a ≤()min f x a ⎡⎤≤⎣⎦二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）()0,∞+A ．B ．12y x =2y x=C ．D ．lg y x=cos y x=【答案】BC【分析】A 选项，由定义域不关于原点对称，得到A 错误；D 选项，可举出单调递减区间，()0,πD 错误；BC 选项，根据函数奇偶性定义判断出为偶函数，且直接由解析式判断出在上的单()0,∞+调性.【详解】的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，A 错误；12y x =[)0,∞+12y x =定义域为R ，且，故为偶函数，()2f x x =()()()22f x x x f x -=-==()2f x x =且开口向上，对称轴为轴，在上单调递增，B 正确；()2f x x =y ()0,∞+定义域为，且，故为偶函数，()lg g x x=()(),00,∞-+∞ ()()lg lg g x x x g x -=-==()lg g x x =又当时，单调递增，C 正确；0x >()lg g x x=在上单调递减，不满足在区间上单调递增，D 错误.cos y x =()0,π()0,∞+故选：BC10．已知函数，下列选项中正确的是（ ）()π2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为B ．的最大值为2()f x π()f x C ．为奇函数D ．在上单调递减()f x ()f x 3π7π,88⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】利用正弦函数周期公式和三角函数值域可判断AB ；根据函数奇偶性定义可判断不是()f x 奇函数，可得C 错误；利用整体代换和正弦型三角函数单调性可得D 正确.【详解】根据周期公式可得的最小正周期为，所以A 正确；()f x 2ππ2T ==易知当时，有最大值为3，故B 错误；πsin 214x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 根据函数解析式可得，所以不是奇函数，()ππ2sin 212sin 21()44f x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=--+=-++≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 即C 错误；当时，，根据正弦函数单调性可知在上单调递减，所3π7π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭322πππ,42x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()f x 3π7π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭以D 正确.故选：AD11．下列各式比较大小，正确的是（ ）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34>【答案】BC【分析】A 、B 选项利用指数函数的单调性进行比较；C 选项利用中间值1比大小；D 选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．【详解】解：对于选项A ：∵函数y ＝1.7x 在R 上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故选项A 错误，对于选项B ：＝，231()2232-∵函数y ＝2x 在R 上单调递增，且，2433->-∴＝，故选项B 正确，231()2243322-->对于选项C ：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故选项C 正确，对于选项D ：∵函数y ＝在R 上单调递减，且，2()3x 3243>∴，233422()()33<又∵函数y ＝在（0，+∞）上单调递增，且，23x 2334<∴，223323()()34<∴＜，故选项D 错误，233422()()33<233()4故选：BC ．12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，R ()f x x ∀∈R ；②，当时，；③.则下列选项成()()f x f x -=()12,0,x x ∀∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()10f -=立的是（ ）A ．()()34f f >B ．若，则或()()12f m f -<1m <-3m >C ．若，则()0xf x >()1,1x ∈-D ．，使得R m ∃∈()f x m≤【答案】ABD【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数在上单调递减，在上单调递()f x (0,)+∞(,0)-∞()f x 增，且，进而逐项分析各项的正误．()(1)10f f -==【详解】由①，，得为偶函数，R x ∀∈()()f x f x -=()f x ②，，当时，都有，所以在上单调递减，1x ∀2(0,)x ∈+∞12x x ≠1212()()f x f x x x -<-()f x (0,)+∞故,故A 正确；()()34f f >对于B ，由,可得或，解得或，故B 正确；()(1)2f m f -<12m ->12m -<-3m >1m <-对于C ，由，得，(1)0f -=()1=0f 若，则或，解得，故C 错误；()0xf x >()00f x x >⎧⎨>⎩()00f x x <⎧⎨<⎩()()011x ，，∈⋃-∞-对于D ，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增，()f x R (0,)+∞(,0)-∞又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，()f x (0)f ()f x ()()0f x f ≤所以，，使得，故D 正确．R x ∀∈R M ∃∈()f x M ≤故选：ABD三、填空题13．计算：__________.224log 6log 3+=【答案】3【分析】利用对数的性质计算即可．【详解】2222344log 6log log 6lo 38g 3⎛⎫== ⎪⎝⎭+=⨯故答案为：314．已知一扇形的弧长为，半径，则弧所对的圆心角为__________.2π32r =【答案】π3【分析】利用扇形的弧长公式计算即可．【详解】设弧所对的圆心角为，则，解得α2π23α=π3α=故答案为：π315．已知函数，则的单调递增区间为__________.()221,021,0x x f x x x x -+<⎧=⎨-++≥⎩()f x 【答案】()0,1【分析】利用分段函数的单调性求解即可．【详解】当时，单调递减；0x <()21f x x =-+当时，，在上单调递增，在单调递减；0x ≥()()222112f x x x x =-++=--+()0,1()1,+∞故答案为：()0,116．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式()32f x x bx x=++[]21,3a a --的解集为__________.()()210f x f x b ++->【答案】1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性2a =-0b =即可求出不等式的解集.【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；2130a a -+-=2a =-[]5,5-又，可得，所以；()32()f x x bx x f x -=-+-=-0b =()3f x x x =+易知函数在上单调递增，()f x []5,5-所以不等式即为，()()210f x f x b ++->()()()21f x f x f x +>-=-根据函数单调性和奇偶性可得，解得.52155521x x x x -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩123x -<≤故答案为：1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦四、解答题17．已知，且为第三象限角.3sin 5α=-α(1)求和的值；cos αtan α(2)已知，求的值.()()()2sin πcos 2πππcos sin 22f ααααα+++=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f α【答案】(1)，；4cos 5=-α3tan 4α=(2).()27f α=-【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可22sin cos 1αα+=4cos 5=-α得；3tan 4α=（2）利用诱导公式将化简代入（1）中的值即可求得结果.()f α【详解】（1）由可得，，所以22sin cos 1αα+=22316cos 1525α⎛⎫=--= ⎪⎝⎭4cos 5α=±又为第三象限角，所以；α4cos 5=-α;sin 3tan cos 4ααα==所以，；4cos 5=-α3tan 4α=（2）利用诱导公式可得，()2sin cos 2tan 1sin cos tan 1f ααααααα-+-+==++将代入可得，3tan 4α=()3212tan 1243tan 1714f ααα-⨯+-+===-++即.()27f α=-18．已知集合，或.{}13A x x =-<<{1B x x m =<-}1x m ≥+(1)当时，求；0m =A B ⋂(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.x A ∈x B ∈m 【答案】(1){}13x x ≤<(2)[)(]4,2+∞-∞- 【分析】（1）求出或，从而求出交集；{1B x x =<-}1x ≥（2）根据题意得到是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围.A B m 【详解】（1）时，或，0m ={1B x x =<-}1x ≥故或={}{131A B x x x x ⋂=-<<⋂<-}1x ≥{}13x x ≤<（2）是的充分不必要条件，x A ∈x B ∈故是的真子集，A B 因为，故要满足是的真子集，11m m -<+A B 则或，13m -≥11m +≤-解得：或4m ≥2m ≤-故实数的取值范围是.m [)(]4,2+∞-∞- 19．已知函数，关于的不等式的解集为.()2f x x bx c =-++x ()0f x >{|12}x x <<(1)求不等式的解集；2210cx bx ++>(2)当在上单调时，求的取值范围.()()g x f x mx=+[]1,3x ∈m 【答案】(1)1(,1)4-(2)(,1][3,)-∞-+∞ 【分析】(1)根据二次不等式的解集可得出，的值，代入不等式即可得出结果.b c (2)根据二次函数图像性质，结合对称轴得出关于的不等式，解出即可.m 【详解】（1）的解集为，则1和2是的两个根，()20f x x bx c =-++>{|12}x x <<20x bx c -++=所以代入，解得，由，则，10420b c b c -++=⎧⎨-++=⎩32b c =⎧⎨=-⎩2210cx bx ++>24310x x -++>，即的解集为∴114x -<<2210cx bx ++>1(,1)4-（2）由，对称轴，()2232(3)2g x x x mx x m x =-+-+=-++-32m x +=因为在上单调，可得或，解出或，()g x []1,3x ∈312m +≤332m +≥1m ≤-3m ≥即的取值范围为m (,1][3,)-∞-+∞ 20．已知函数.()()()()()()()lg 1,lg 1,f x x g x x h x f x g x =+=-=+(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；()h x (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.()lgky f x x =-()()1,00,-⋃+∞k 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）首先判断函数定义域，再利用对数运算法则得出即可判断其为偶函数；()()2lg 1h x x =-（2）将函数在区间上有两个零点转化成函数图象有两个交点的问题，()lgky f x x =-()()1,00,-⋃+∞画出函数图象利用数形结合即可求得实数的取值范围.k 【详解】（1）函数为偶函数,理由如下：()h x 由题意可得函数的定义域为，函数的定义域为，()()lg 1f x x =+()1,-+∞()()lg 1g x x =-(),1-∞所以的定义域为，关于原点对称；()()()h x f x g x =+()1,1-易知，，所以函数()()()()2lg 1lg 1lg 1h x x x x =++-=-()()()()()22lg 1lg 1h x x x h x -=--=-=为偶函数.()h x （2）若函数在区间上有两个零点，()lgky f x x =-()()1,00,-⋃+∞等价于，即，()lg 1lgkx x +=()21k x x x x =+=+令，所以函数与有两个交点，()()21,00,,()F x x x x -∈⋃=++∞()F x y k =画出函数的图象如下：()()21,00,,()F x x x x -∈⋃=++∞由图可知，当夹在和之间时，函数与有两个交点，y k =14y =-0y =()F x y k =所以，104-<<k 即实数的取值范围为.k 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭21．2022年12月，某市突发病毒感染疫情，第1天､第2天､第3天感染该病毒的人数分别为.为了预测接下来感染该病毒的人数，根据前三天的数据，甲选择了模型52,54,58，乙选择了模型，其中和分别表示两个模型预测第()2f x ax bx c =++()x g x p q r =⋅+()f x ()g x 天感染该病毒的人数，都为常数.x ,,,,,a b c p q r (1)如果第4天､第5天､第6天感染该病毒的人数分别为，你认为选择哪个模型比较好？66,82,115请说明理由；(2)不考虑其他因素，推测从第几天开始，感染该病毒的人数将会超过2000.试用你认为比较好的模型解决上述问题.（参考数据：）10288.28=≈【答案】(1)乙选择的模型比较好，详见解析；()250x g x =+(2)第11天.【分析】(1)根据前三天的数据求出两个函数模型的解析式，再计算第4天､第5天､第6天的数据，与真实值比较得出结论；(2)由第一问结论列出不等式求解即可.【详解】（1）由题意把，，代入得：1x =23()2f x ax bx c =++，解得，，，则，所以5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1a =1b =-52c =()252f x x x =-+，，，()24445264f =-+=()25555272f =-+=()26665282f =-+=则，，，()4662f -=()58210f -=()611533f -=把，，代入得：1x =23()x g x p q r =⋅+，解得，，，则，所以23525458pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩1p =2q =50c =()250x g x =+，，，()4425066g =+=()5525082g =+=()66250114g =+=则，，，因为，，更接近真实值，()4660g -=()5820g -=()61151g -=()4g ()5g ()6g 所以模型比较好；()250x g x =+（2）令，解得，由于()2502000x g x =+>2log 1950x >，所以，101121024195020482=<<=101122210log 2log 1950log 211=<<=所以从第11天开始，感染该病毒的人数将会超过2000.22．已知函数.()f x x =(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；()f x R λ(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.()ln 0f x ≤2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦λ【答案】(1)；04λ≤≤(2).0λ≤【分析】（1）根据定义域，将问题转化为对任意的,恒成立，分类讨论结合利x ∈R 210x x λλ++≥用二次函数的性质即可求解，（2）由换元法将问题转化成对任意的恒成立，利用一元二次不等式的()()λ1110t t éù-++£ëû[]1,2t ∈解即可分类讨论求解.【详解】（1）的定义域为，则对任意的,恒成立，()f x R x ∈R 210x x λλ++≥当时，显然成立，故符合，=0λ10≥=0λ当时，即，20Δ40λλλ>⎧⎨=-≤⎩04λ<≤综上：；04λ≤≤（2）令，由于，则，则问题转化成：，ln t x =2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦[]1,2t ∈()0f t ≤t ≤两边平方整理得，进一步得，()2110t t λλ-++≤()()λ1110t t éù-++£ëû当时，即，此时的解为，此时，10λ->1λ>()()λ1110t t éù-++=ëû121100λ1t ,t =-<=-<-[]1,2t ∈不等式，故不符合，()()λ1110t t éù-++>ëû1λ>当时，即，此时不等式为，当，不等式不成立，故不符合，λ1=0-=1λ10t +≤[]1,2t ∈=1λ当时，即,此时的解为，10λ-<1λ<()()λ1110t t éù-++=ëû121100λ1t ,t =-<=->-故的解为或，故要对，恒成立，则满足()()λ1110t t éù-++£ëû{1x x <-11x λ⎫>-⎬-⎭[]1,2t ∈()0f t ≤，解得，11λ1-£-0λ≤综上，.0λ≤。
2022-2023学年四川省南充市西华师范大学附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省南充市西华师范大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}3,5B =()U A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2,4,5{}1,3,5{}2,4{}1,5【答案】C【解析】先根据并集的运算，求得，再结合补集的运算，即可求解.A B ⋃【详解】由题意，全集，，，{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}3,5B =可得，所以.{1,3,5}A B = (){}2,4U C A B ⋃=故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．B ．，()f x =()2g x =()1f x =()0g x x =C ．，D ．，(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩()g t t =()1f x x =+()211x g x x -=-【答案】C【分析】根据函数定义域与函数解析式是否相同，可得答案.【详解】对于A ，由函数，且函数的定义域为，()f x (),-∞+∞()2g x =[)0,∞+则不是同一函数，故A 错误；对于B ，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一()1f x =(),-∞+∞()0g x x ={}0x x ≠函数，故B 错误；对于C ，由函数的定义域为，且的定义域为，则是(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩(),-∞+∞()g t t =(),-∞+∞同一函数，故C 正确；对于D ，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不()1f x x =+(),-∞+∞()211x g x x -=-{}1x x ≠是同一函数，故D 错误.故选：C.3．若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）22103x x -+<x a >a A ．B ．C ．D ．1a ≥12a ≥12a ≤1a ≤【答案】C【分析】解不等式得，进而根据题意得集合是集合的真子集，22103x x -+<112x <<1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(),+∞a 再根据集合关系求解即可.【详解】解：解不等式得，22103x x -+<112x <<因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，22103x x -+<x a >所以集合是集合的真子集，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(),+∞a 所以12a ≤故选：C4．已知，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）1.42.25log 0.6,3,0.9a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<c<a<b b<c<a【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，即，，即，，即55log 0.6log 10<=a<0 1.41333>=3b >202.100.90.9<<=，所以01c <<b c a>>故选：B 5．函数的零点所在区间是（ ）3ln y x x =-A ．B ．C ．D ．()3,4()2,3()1,2()0,1【答案】B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由在上递减，3,ln y y xx ==-(0,)+∞所以在上递减，3ln y x x =-(0,)+∞又，，3(2)ln 202f =-=>e (3)1ln 3ln 03f =-=<所以零点所在区间为.()2,3故选：B6．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足，当时，，则()()3f x f x +=-(]0,1x ∈()2ln x f x x=+（ ）()2023f =A ．2B ．C ．－2D ．－1212【答案】A【分析】由题意可得函数的周期，从而得到，由解析式可得答案.(2023)(1)f f =【详解】解：依题意，，，()()3f x f x +=-()()()63f x f x f x +=-+=函数的周期为6，()f x 故，()(2023)(33761)1f f f =⨯+=又，则．()12ln12f =+=(2023)2f =故选：A ．7．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足R ()f x [0,)+∞()30f =的的取值范围为（ ）()2(9)20x f x --≤x A ．B ．[3,1][3,5]-- (],1[3,5]-∞- C ．D ．[][-10]3,5 ，[13]--5]，（，∞ 【答案】A【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】解：偶函数在上是增函数，()f x (0,)+∞函数在上为减函数，则，∴()f x (,0)-∞()()330f f -==则不等式等价为时，，此时，解得，()2(9)20x f x --≤290x ->(2)0f x - 33323x x x ⎧-⎨--⎩或 35x < 当时，，此时，解得，290x -<(2)0f x - 332323x x x -<<⎧⎨---⎩或 31x -<- 当时，显然满足题意，3x =±综上不等式的解为或，即的取值范围为.{|31x x -- 35}x x [3,1][3,5]--故选：A ．8．设正实数分别满足，则的大小关系为（ ）,,a b c 322log log 1a a b b c c ⋅=⋅=⋅=,,a b c A ．B ．a b c >>b c a >>C ．D ．c b a >>a c b>>【答案】B 【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可.232,log ,log xy y x y x ===1y x =【详解】由已知可得，，，12aa =31logb b =21logc c =作出的图像如图所示：232,log ,log xy y x y x ===它们与交点的横坐标分别为，1y x =,,a b c 由图像可得，b c a >>故选：B二、多选题9．对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是（ ）A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d C ．若a >b ，c >d ，则ac >bd D ．若a >b ，则11a b >【答案】AB【分析】可由性质定理判断A 、B 对，可代入特例判断选项C 、D 错.【详解】解：若ac 2>bc 2，两边同乘以则a >b ，A 对，21c 由不等式同向可加性，若a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，B 对，当令a =2，b =1，c =﹣1，d =﹣2，则ac =bd ，C 错，令a =﹣1，b =﹣2，则，D 错.11a b <故选：AB.10．若，且，则（ ）0,0a b >>1a b +=A ．B 2212a b +≥12≥C ．D ．14ab ≥114a b +≥【答案】ACD【分析】根据基本不等式逐一分析ABC ，即可判断ABC ，结合基本不等式即()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可判断D.【详解】解：因为，且，0,0a b >>1a b +=所以，所以，()()22222221a bab ab a b +≥++=+=2212a b +≥当且仅当时，取等号，故A 正确；12a b ==，当且仅当时，取等号，故B 错误；a b +≥1212a b ==，所以，当且仅当时，取等号，故C 正确；()21144ab a b ≤+=14ab ≥12a b ==，所以，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭114a b +≥当且仅当，即时，取等号，故D 正确.b aa b =12a b ==故选：ACD.11．下列说法中正确的是（ ）A ．命题“，”的否定是“，”R x ∃∈220x x -<R x ∀∈220xx -≥B ．函数且的图象经过定点()3x f x a x -=+(0a >)1a ≠()3,4A C ．幂函数在上单调递增，则m 的值为4()()223169mm f x m m x -+=-+()0,∞+D ．函数的单调递增区间是()()25log 23f x x x =--[)1,+∞【答案】ABC【分析】根据存在量词命题的否定的概念以及函数的性质即可求解.【详解】对于A ，根据存在量词命题的否定的概念，易知，A 正确；对于B ，由于指数函数必经过点，所以函数的图象必过点，故B 正x y a =()0,1()3x f x a x -=+()3,4确；对于C ，幂函数中，，解得或，()2231()69mm f x m m x -+=-+2691m m -+=2m =4m =当时，，在上是单调减函数，不满足题意，2m =2()f x x -=(0,)+∞当时,，在上是单调增函数，满足题意，4m =4()f x x =(0,)+∞所以的值是4.故C 正确；m 对于D ，函数的定义域为，又二次函数在()()25log 23f x x x =--()(),13,-∞-⋃+∞2=23y x x --上单调递增，根据复合函数单调性的判定方法，故函数在上[)1,+∞()()25log 23f x x x =--()3,+∞单调递增，故D 错误.故选：ABC12．设函数，若函数有四个零点分别为且()2ln ,04,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩()()g x f x m =-1234,,,x x x x ，则下列结论正确的是（ ）1234x x x x <<<A ．B ．C ．D ．04m ≤<124x x +=-341x x ⋅=434412,e e x x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】画出函数图象，数形结合进行求解.【详解】画出函数的图象，如图所示：()f x要想函数有四个零点，则，A 错误；()()g x f x m=-04m <<由于当时，对称轴为，所以，B 正确；0x ≤()24f x x x =--2x =-124x x +=-当时，，所以，所以，C 正确；0x >()ln f x x=34ln ln x x -=341x x ⋅=因为，所以，故，由于，所以，由对勾函数04m <<40ln 4x <<441e x <<341x x ⋅=34441x x x x +=+知：在上单调递增，故，D 正确.441y x x =+()41,e 434444112,e e x x x x ⎛⎫+=+∈+ ⎪⎝⎭故选：BCD三、填空题13．若幂函数的图像经过点，则__________．()y f x =49,316⎛⎫⎪⎝⎭()2f -=【答案】14【分析】设出幂函数，代入点计算函数表达式，将代入得到答案.2-【详解】设：，图像经过点，即()af x x =49,316⎛⎫ ⎪⎝⎭94()2163aa =⇒=-()21(2)4f x x f -=⇒-=故答案为14【点睛】本题考查了幂函数的计算，属于简单题.14．关于不等式对于任意恒成立，则的取值范围是__________．x 240kx kx -+≥R x ∈k 【答案】[]0,16【分析】首先根据和两种情况进行分类讨论，根据题目条件利用判别式即可求解参数的=0k 0k ≠k 取值范围.【详解】当时，得恒成立，故满足题意；=0k 40≥当时，若要满足对于任意恒成立，0k ≠240kx kx -+≥R x ∈只需满足，解得：.()2>0Δ=4×4×0k k k --≤⎧⎪⎨⎪⎩016k <≤综上所述得.[]0,16k ∈故答案为：[]0,1615．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，）lg20.3010≈lg30.4771≈【答案】2027【分析】年后产生的垃圾为，得到不等式，解得答案.n ()3000150%n⨯+()3000150%30000n⨯+>【详解】年后产生的垃圾为，故，n ()3000150%n⨯+()3000150%30000n⨯+>即，即，即，故，3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭()lg 3lg 21n ->1 5.68lg 3lg 2n >≈-6n ≥故年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.2027故答案为：202716．已知函数，，若存在，任意，使得()29x f x x +=()2log g x x a =+[]13,4x ∈[]24,8x ∈，则实数的取值范围是___________.()()12f x g x ≥a 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】将问题转化为在对应区间上，结合对勾函数、对数函数的性质求、max max ()()f x g x ≥()f x 的区间最值，即可求的范围.()g x a 【详解】若在上的最大值，在上的最大值，()f x [3,4]max ()f x ()g x [4,8]max ()g x 由题设，只需即可.max max ()()f x g x ≥在上，当且仅当时等号成立，[3,4]9()6f x x x =+≥=3x =由对勾函数的性质：在上递增，故.()f x [3,4]max 25()4f x =在上，单调递增，则，[4,8]()g x max ()3g x a =+所以，可得.2534a ≥+134a ≤故答案为：.13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦四、解答题17．计算下列各式的值：(1)；22300.7523(131638-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2).1lg163lg5lg5+-【答案】(1)7-(2)4【分析】(1)利用指数幂的运算性质即可求解；(2)利用对数的运算性质即可求解.【详解】（1）22300.7523(131638-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3991244=+--7=-（2）1lg163lg5lg5+-4lg 24lg 5=+4=18．（1）设全集，集合，，求U R ={}4A x x =≥{}15B x x =<<()U A B（2）若求函数的最小值.0,x >()()12x x y x++=【答案】（1）；（2）.{}5x x <min3y=【分析】（1）根据补集和并集的运算法则，即可求解.（2）根据基本不等式的定义，即可求解.【详解】解：（1）根据题意得，，={}U 4A x x =< ()U A B {}5x x <（2），则0x >232x x y x ++=23x x=++3≥3=（当且仅当即，故2x x=x =min 3y =+19．若函数满足()f x ()2121f x x x +=++(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数，试判断的奇偶性，并证明.()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 【答案】(1)()2f x x =(2)偶函数，证明见解析【分析】（1）利用凑配法求得.()f x （2）根据函数奇偶性的定义证得的奇偶性.()g x 【详解】（1）由于，()()221211f x x x x +=++=+所以.()2f x x =（2），()()()22110g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：()g x 的定义域为，()g x {}|0x x ≠且，()()()()222211g x x x g x x x -=--=-=-所以是偶函数.()g x 20．设函数 ()()()23,R f x ax a x b a b =-++∈(1)若不等式的解集为，求的值；()0f x <()1,3,a b (2)若，时，求不等式的解集．=3b 0a >()0f x >【答案】(1)1,=3a b =(2)答案见解析【分析】（1）不等式解集区间的端点是方程的解，运用韦达定理可得；（2）含参的一元二次不等式需要分情况进行解决.【详解】（1）函数 ，()()()23,R f x ax a x b a b =-++∈由不等式的解集为，得，()0f x <()1,30a >且1和3是方程的两根；则，()230ax a x b -++=3133=a a b a +⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得1,=3a b =（2）时，不等式为，=3b ()2330ax a x -++>可化为，()()130x ax -->因为，所以不等式化为，0a >()31(0x x a -->当时，，解不等式得或；0<3a <31a >1x <3x a >当时，不等式为，解得；=3a ()210x ->1x ≠当时，，解不等式得或；>3a 31a <3x a <1x >综上：时，不等式的解集为；0<3a <()3,1,a -∞+∞ （）当时，不等式的解集为；=3a {}|1x x ≠当时，不等式的解集为．>3a ()3,1,a -∞+∞ （）21．已知是定义在上的奇函数，当时，．()f x R 0x ≥()21xf x =-（1）求；(3)(1)f f +-（2）求的解析式；()f x （3）若，，求区间.x A ∈()[7,3]f x ∈-A 【答案】（1）6；（2）；（3）.()()()210210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩[]3,2-【解析】（1）利用函数的奇偶性将化为，再代入解析式可解得结果；(1)f -(1)f -（2）利用函数的奇偶性可求得结果；（3）分类讨论的范围代入解析式可解得结果.x 【详解】（1）∵是奇函数()f x ∴。
2022-2023学年甘肃省天水市秦安县高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
秦安县2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题（每题5分，共60分）1．已知集合M ＝{x|﹣2＜x ＜5}，N ＝{x|﹣3≤x ≤3}，则M ∪N ＝（ ）A ．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4} B ．{﹣1，0，1，2，3} C ．[﹣3，5） D ．（﹣2，3]2已知集合A= {2,3,5,7} ,B={1,3,5,7,9}，则A ∩B= ( )A.{1,2} B.{3,5,7} C.{1,3,5,7,9} D.{1,2,3,5,7,9 }3．若实数a ，b 满足a+b=1，则ab 的最大值为（ ）A.2B.1C.D.12144,已知a=b=，c=则的大小关系是（ ）ln 0.3，3.031⎪⎭⎫ ⎝⎛(12)0.3A. a<c<bB. b<a<cC. a<b<cD. b<c<a5,函数y=定义域为（ ）log 0.5xA.,B.C. D.[21)∞+]∞+ ⎝⎛，21[)∞+，1](10，6.若α是第二象限角，则180°+α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7,下列角中，与角终边相同的角是（）3πA. B. C.D.65-π35-π34π32π8.已知函数(x)=，则()=（ ）f x 3f a1A.0B.C.aB. C.a C.a D.3aa19设a ，b 是非零实数，若a ＜b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．＜B ．＜C ．＜ D ．＜2a 2b 2ab b a 221ab ba 21ab ba 10.下列函数是偶函数的是（ ）A.B. C. D.x y =33x y =xy 1=xy =11.不等式的解集是（）82>x A. B. C. D.()2222-，)(()∞+⋃∞，，2222--()24,24-)(()∞+∞，，2424-- 12.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55），[5，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的人数有（ ）A. 45B. 46C. 48D. 50二、填空题（本题共4道小题,共20分）13．若。
2022-2023学年山东省济南市历城高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省济南市历城高一上学期期末数学试题一、单选题1．方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为A ．B ．C ．D ．()0,1(){}0,1{}0,1{}2xx =【答案】C【分析】解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，由此能求出方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合【详解】解：解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为．{}0,1故选：C ．【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.2．设命题，则命题的否定是（ ）2:{|1},21p n n n n n ∃∈>>-p A ．B ．2{|1},21n n n n n ∀∈>≤-2{|1},21n n n n n ∀∈≤≤-C ．D ．2{|1},21n n n n n ∃∈>≤-2{|1},21n n n n n ∃∈≤≤-【答案】A【分析】由特称命题的否定即可得解.【详解】因为命题为特称命题，2:{|1},21p n n n n n ∃∈>>-所以该命题的否定为“”.2{|1},21n n n n n ∀∈>≤-故选：A.【点睛】本题考查了特称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题.3．“”是“对任意的正数，”的（ ）18a =x 21a x x +≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】分析：当对任意的正数恒成立时，可得，21ax x +≥x ()2max 2a x x ≥-+由，所以当时，，此时.22112248y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭14x =max 18y =18a ≥所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件.18a =x 21a x x +≥故选A4．函数的图象的大致形状是（ ）()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭A．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由得()0,0x f x →>到答案．【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故则是偶函数，排除C 、D ，又当()()f x f x -=()f x ()0,0x f x →>故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．5．已知函数的定义域为（ ）()f x =()11f x x -+A ．B ．(),1∞-(),1-∞-C ．D ．()(),11,0-∞-- ()(),11,1-∞--【答案】D【分析】先求得函数的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.()f x 【详解】因为解得，所以函数的定义域为，()f x =24>0x x -0x <()f x ()0-∞，所以函数需满足且，解得且，()11f x x -+10x -<+10x ≠1x <1x ≠-故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题.6．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：,A C B）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===0.866≈中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．B ．C ．D ．3π4π2π23π【答案】A【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结6AB BC ==2ABC θ∠= 5.196sin 0.8667θ==θ论．【详解】解：依题意，设．6AB BC ==2ABC θ∠=则5.196sin 0.8666θ==≈，．3πθ∴=223πθ=设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．α则，2αθπ+=．3πα∴=故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知的三个内角分别为、、，若满足，ABC A B C 1sin 3A =tan C =（ ）()tan 22A C +=A ．B ．C ．D -【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正切公式和二倍角公式即tan A可求解.【详解】因为，所以在中，角为锐角，tan 0C =<ABC A 由可得：1sin 3A =cosA ==sin tan cos A AA ===所以，tan tan tan()1tan tan A C A C A C ++==-⋅则，22tan()tan(22)1tan ()A C A C A C ++==--+故选：.C 8．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心()12212.5lg lg m m E E -=-k m (1,2)k E k =宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，）||x 2101 2.3 2.7x x x ≈++A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算．12E E 【详解】由题意，,211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-12lg 0.1E E =∴．0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．二、多选题9．下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．0.30.31.2 1.3<0.30.20.20.2>C ．D ．0.30.3log 1.2log 1.3> 1.20.2log 0.3log 0.3>【答案】AC【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断【详解】对于A ，因为在上递增，且，所以，所以A 正确，0.3y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.31.2 1.3<对于B ，因为在上递减，且，所以，所以B 错误，0.2xy =R 0.30.2>0.30.20.20.2<对于C ，因为在上递减，且，所以，所以C 正确，0.3log y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.3log 1.2log 1.3>对于D ，因为，，所以，所以D 错误，1.2 1.2log 0.3log 10<=0.20.2log 0.3log 10>= 1.20.2log 0.3log 0.3<故选：AC10．已知，，，则( )0a >0b >1a b +=A ．B ()4baC ．的最小值为0D ．()222log a b +2212a ab +1【答案】ABD【分析】选项A ：利用基本不等式和的单调性即可求解；选项B ：利用基本不等式的变形即4xy =可求解；选项C ：利用基本不等式的变形和的单调性即可求解；选项D ：首先对2log y x =变形，然后利用基本不等式即可求解.2212a ab +【详解】对于选项A ：因为，，，0a >0b >1a b +=，即，当且仅当时，有最大值，122a b +=14ab ≤12a b ==ab 14又因为是单调递增函数，所以A 正确；4xy =()14444abba =≤=对于选项B ，≤≤当且仅当，故B 正确；12a b ==对于选项C ，即，122a b +≥=2212a b +≥当且仅当时，取得最小值，12a b ==22a b +12因为在上单调递增，所以，2log y x =(0,)+∞()22221log log 12a b +≥=-从而的最小值为，故C 错误；()222log a b +1-对于选项D ：因为，，，0a >0b >1a b +=所以，22212113122222222a a a b a a a b a b a bab ab b b a b b a b a +++++==++=++=++故，2213111222a a b ab b a +=++≥=当且仅当，即，，故D 正确.322a b b a =a =b =2212a ab +1故选：ABD.11．已知函数下列说法正确的是（ ）()|cos |cos |2|f x x x =+A ．若，则有2个零点B ．的最小值为[,]x ππ∈-()f x ()f x C ．在区间上单调递减D ．是的一个周期()f x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭π()f x 【答案】CD【分析】利用余弦的二倍角公式展开，并利用换元法令，，|cos |t x =2()21(21)(1)f t t t t t =+-=-+根据一元二次函数的性质求得原函数的性质，并对选项一一分析.【详解】2()|cos |cos |2||cos |cos 22|cos ||cos |1f x x x x x x x =+=+=+-令，，则，|cos |t x =[0,1]t ∈2()21(21)(1)f t t t t t =+-=-+若，是函数的零点，即，共4个零点，故A 错误；[,]x ππ∈-1|cos |2t x ==()f x 22,,,3333x ππππ=--，函数单增，则当时，取最小值为-1，故B 错误；[0,1]t ∈0=t ()f x时，，，函数单增，单减，由复0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2()2cos cos 1f x x x =+-t ∈221y t t =+-cos t x =合函数单调性知，在区间上单调递减，故C 正确；()f x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭，()|cos()|cos |2()||cos |cos |2|()f x x x x x f x πππ+=+++=+=则是的一个周期，故D 正确；π()f x 故选：CD12．（多选）定义：表示的解集中整数的个数.若，{()()}N f x g x ⊗()()f x g x <2()|log |f x x =，则下列说法正确的是（ ）2()(1)2g x a x =-+A ．当时，=00a >{()()}N f x g x ⊗B ．当时，不等式的解集是0a =()()f x g x <1(,4)4C ．当时，=30a ={()()}N f x g x ⊗D ．当时，若，则实数的取值范围是a<0{()()}1N f x g x ⊗=a (,1]-∞-【答案】BCD【解析】根据定义可得，可转化为满足的整数的个数．分类讨论，{()()}N f x g x ⊗22|log |(1)2x a x <-+x 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，结合图象一一判断各选项即2()|log |f x x =2()(1)2g x a x =-+可得出答案．【详解】解：根据题意，可转化为满足的整数的个数．{()()}N f x g x ⊗22|log |(1)2x a x <-+x 当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A 错误；0a >()()f x g x <当时，，数形结合（如图），由解得，0a =()2g x =()2f x <144x <<所以在内有3个整数解，为1，2，3，故B 和C 都正确；1(,4)4当时，作出函数和的图象，如图所示，a<02()|log |f x x =2()(1)2g x a x =-+若，即的整数解只有一个，{()()}1N f x g x ⊗=22|log |(1)2x a x <-+只需满足，即，解得，(2)(2)(1)(1)f g f g ≥⎧⎨<⎩2log 2202a ≥+⎧⎨<⎩1a ≤-所以时，实数的取值范围是，故D 正确；{()()}1N f x g x ⊗=a (,1]-∞-故选：BCD ．【点睛】本题主要考查新定义问题，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于中档题．三、填空题13．计算：___________.2031lg16(1)27lg504π-+++=【答案】10【分析】利用指数的运算性质和对数的运算性质求解【详解】231lg16(1)27lg 504π-+++()24331lg 213lg 504=-++2lg 213lg 50=-++，lg1001910=-+=故答案为：1014．已知函数的图象恒过点P ，若点P 在角的终边上，则()log (2)1(0,1)a f x x a a =-+>≠α_________．sin 2α=【答案】35【分析】由对数函数的性质可得点的坐标，由三角函数的定义求得与的值，再由()3,1P sin αcos α正弦的二倍角公式即可求解.【详解】易知恒过点，即，()()log 21a f x x =-+()3,1()3,1P 因为点在角()3,1Pα=所以sin α=cos α所以，3sin 22sin cos 25ααα==⨯=故答案为：.3515．已知，若方程有四个不同的解，则21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =1234x x x x <<<的取值范围是___________．123411x x x x +++【答案】1(0,]2【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到122x x +=-2324log log x x -=，然后，利用函数的单调性进而求解.123434112x x x x x x +++=-++2324log ,log x a x a =-=【详解】作出函数的图象，如下图所示：21,0()log,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩方程有四个不同的解，()f x a=1234x x x x <<<则，，所以，122x x +=-2324log log x x -=341x x =则，34123434341122x x x x x x x x x x ++++=-+=-++设，所以，2324log ,log x a x a =-=3422a ax x -+=+因为，所以，则，01a <≤52222a a -<+≤341022x x <-++≤则的取值范围为，123411x x x x +++1(0,]2故答案为：.1(0,216．定义在上函数满足，且当时，．若当R ()f x ()()112f x f x +=[)0,1x ∈()121f x x =--时，，则的最小值等于________．[),x m ∈+∞()116f x ≤m 【答案】154【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，[)(),1n n n Z +∈()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦数形结合即可得解．【详解】当时，故，[)1,2x ∈()()()11112322f x f x x =-=--当时，故…，[)2,3x ∈()()()11112524f x f x x =-=--可得在区间上，，[)(),1n n n Z +∈()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦所以当时，，作函数的图象，如图所示，4n ≥()116f x ≤()y f x =当时，由得，7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()11127816f x x =--=154x =由图象可知当时，，所以的最小值为．154x ≥()116f x ≤m 154故答案为：．154四、解答题17．已知集合，集合，其中实数．{}|1215A x x =≤-≤()(){}|1210B x x a x a =-++-≥1a >(1)当时，求；3a =()R A B ⋃ (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．x A ∈x B ∈a【答案】(1)；()(]5,3R A B ⋃=- (2).(]1,2【分析】（1）解一元一次、一元二次不等式求集合A 、B ，再应用集合的并补运算求.()R A B ⋃ （2）由题设可得是的真子集，结合已知条件列不等式求参数范围.A B 【详解】（1）由条件知：，，[]1,3A =(][),52,B ∞∞=--⋃+∴，故．()5,2R B =- ()(]5,3R A B ⋃=- （2）由题意知，集合是集合的真子集． A B 当时，，于是，而且，1a >()121320a a a ---+=->121a a ->-+211a -+<-∴，(][),211,B a a ∞∞=--+⋃-+又，则只需，又，解得[]1,3A =11a -≤1a >12a <≤∴实数的取值范围为．a (]1,218．（1）已知方程，的值．sin(3)2cos(4)απαπ-=-sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求1tan ,tan ααx 2230x kx k -+-=732παπ<<的值．cos sin αα+【答案】（1）；（2）34-【解析】（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简tan α为含有的形式，代入即可；sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭tan α（2）由根与系数的关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求k αtan αα的值．cos sin αα+【详解】解：（1）由得：，sin(3)2cos(4)απαπ-=-sin 2cos αα-=即，tan 2α=-，cos 0α∴≠sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭sin 5cos 2cos sin αααα+=-+sin 5cos cos cos 2cos sin cos cos αααααααα+=-+ tan 52tan αα+=-+ 2522-+=--；34=-（2），是关于的方程的两个实根，tan α 1tan αx 2230x kx k -+-= ，21tan tan 1tan 3tan k k αααα⎧+=⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩解得：， 2k =±又，732παπ<< ，tan 0α∴>，2k ∴=即，1tan 2tan αα+=解得：，tan 1α=，134πα∴=1313cos sin cossin 44ππαα+=+==【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.19．已知函数.()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期以及对称轴方程；()f x (2)设函数，求在上的值域.5()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)最小正同期为，对称轴方程为π()212k x k ππ=+∈Z (2)32⎡-⎢⎣【分析】（1）利用三角函数的恒等变换公式将化为只含有一个三()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭角函数形式，即可求得结果；（2）将展开化简，然后采用整体处理的方法，求得答案.5()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1cos 22sin 22x x x ⎫=-⎪⎪⎭12sin 22x x =+，sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以的最小正同期为.()f x 22ππ=令，得对称轴方程为.2()32x k k πππ+=+∈Z ()212k x k ππ=+∈Z（2）由题意可知，3()sin 2cos22cos22623g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故，所以sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭3()2g x -≤≤故在上的值域为.()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32⎡-⎢⎣20．已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.a R 3()13x x af x a =++(1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；a ()f x ()0,∞+(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.t ∈R ()()212f t f t m -≥-m 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析；1a =()f x ()0,∞+(2).14m =【分析】（1）利用偶函数的性质求，利用单调性的定义证明函数的单调性即可；a ()f x（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】（1）因为为偶函数，且，所以()313x x a f x a =++()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，解得，又，所以,；()()=f x f x -1a =±0a >1a =()1313xx f x =++设，则，因为，120x x >>()()()121212121211131313313333x x x x x x x xf x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭120x x >>所以，，所以12330x x ->1212121133101103333x x x x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以在上单调递增.()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>()f x ()0,∞+（2）因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以()f x R ()0,∞+()()212f t f t m -≥-，平方得，又因为对任意不等式恒成立，所以212t t m-≥-()22344140t m t m +-+-≥R t ∈，解得.()()224443140m m∆=--⨯⨯-≤14m =21．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖y x 金总数不超过投资收益的20%．（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，．试分析这()0.038f x x =+()0.8200x f x =+()20100log 50f x x =+[]3000,9000x ∈三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到万元8000【解析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证()f x ()100f x ≥()5xf x ≤所给的函数模型即可；（2）由，解不等式即可.2010050350log x +≥【详解】（1）由题意符合公司要求的函数在为增函数，()f x []3000,9000在且对，恒有且．[]3000,9000x ∀∈()100f x ≥()5xf x ≤①对于函数，当时，，不符合要求；()0.038f x x =+3000x =()300098100f =<②对于函数为减函数，不符合要求；()0.8200x f x =+③对于函数在，()2010050f x log x =+[]3000,10000显然为增函数，且当时，；()f x 3000x =()2030001002050100f log >+≥又因为；()()2020900010090005010016000050450f x f log log ≤=+<+=而，所以当时，．300060055x ≥=[]3000,9000x ∈()5max min x f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭所以恒成立；()5xf x ≥因此，为满足条件的函数模型．()2010050f x log x =+（2）由得：，所以，2010050350log x +≥203log x ≥8000x ≥所以公司的投资收益至少要达到万元．8000【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力.22．已知奇函数和偶函数满足．()f x ()g x ()()3sin e e x xg x x f x -+=++(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)存在，，使得成立，求实数a 的取值范围．1x [)20,x ∈+∞()()()2211e x f x a x g --=-【答案】(1)，()3sin f x x=()e e x xg x -=+(2)9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问()f x ()g x 题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出[]22e e 3,3x x a -+∈-[)20,x ∈+∞的最值，进而求出实数a 的取值范围.()e e x xh x a -=+【详解】（1）因为奇函数和偶函数满足①，所以()f x ()g x ()()3sin e e x xg x x f x -+=++②；联立①②得：()()()()3sin e e x xf g x f x g x x x -+-=-+=-++-，；()3sin f x x=()e e x xg x -=+（2）变形为，因为，所以，()()()2211e x f x a x g --=-221e e 3sin x x a x -+=[)10,x ∈+∞[]13sin 3,3x ∈-所以，[]22e e 3,3x x a -+∈-当时，在上有解，符合要求；0a =[]2e 3,3x ∈-[)20,x ∈+∞令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在()e e xxh x a -=+1a >()e e xxh x a -=+ln 0,2a x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，，要想上有解，只需ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()min ln 2a h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()[]e e 3,3x x h x a -=+∈-，解得：，所以；()min 3h x =≤94a ≤91,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦若且，在上单调递增，要想上有解，只1a ≤0a ≠()ee xxh x a -=+[)0,x ∈+∞()[]e e 3,3x x h x a -=+∈-需，解得：，所以；综上：实数a 的取值范围为()()min 013h x h a ==+≤2a ≤()(],00,1a ∈-∞ .9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦。
2022-2023学年四川省成都市新都区新都香城中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市新都区新都香城中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）2{|340}A x x x =--≤{}|0B x x =>A B = A ．B ．[1,0)(0,)-+∞ [1,0)(0,4]- C ．D ．(,1](0,)-∞-⋃+∞(](],10,4-∞- 【答案】B【分析】先将集合分别求解，再计算.,A B A B ⋂【详解】，2{|340}{|14}A x x x x x =--≤=-≤≤ {}{}|0|0B x x x x =>=≠，[1,0)(0,4]A B ∴=- 故选：B.2．下列选项中，表示的不是同一个函数的是（ ）A ．与y =y =B ．与e ,R x y x =∈e ,Rts t =∈C ．与{}2,0,1y x x =∈{},0,1y x x =∈D ．与1y =0y x =【答案】D【分析】分别判断函数的定义域和对应关系，判断两个函数是否是同一函数.【详解】对于A 选项，的定义域是，解得：，y =3030x x +≥⎧⎨->⎩33x -≤<所以，y =[)3,3-的定义域是，解得：，y =33x x +≥-33x -≤<所以，y =[)3,3-=对于B 选项，，，两个函数的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以是同一函e x y =e ty =R 数；对于C 选项，两个函数的定义域相同，当与时，，故两个函数对应法则也相同，0x =1x =2x x =所以是同一函数；对于D 选项，的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是1y =R 0y x ={}0x x ≠同一函数.故选：D 3．点在平面直角坐标系中位于（ ）()cos2023,tan8A ︒A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据终边相同的角确定角度与弧度所在的象限，从而得，，2023︒8cos20230︒<tan80<即可知点在平面直角坐标系中的象限位置.A 【详解】解：因为，，故2023°为第三象限角，故20233605223=⨯+︒︒︒180223270︒<︒<︒，cos20230︒<因为8与终边相同，又，故8是第二象限角，故，则点在第三象82 1.72π-≈π1.72π2<<tan80<A 限.故选：C.4．“”是“关于的不等式恒成立”的（ ）10k -<<x 22(2)0kx kx k +-+<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由恒成立求出的取值范围，然后根据充分条件和必要条件的定义22(2)0kx kx k +-+<k 分析判断即可.【详解】当时，恒成立，0k =20-<当时，由恒成立，得0k ≠22(2)0kx kx k +-+<，解得，20Δ44(2)0k k k k <⎧⎨=++<⎩10k -<<所以当时，关于的不等式恒成立，10k -≤<x 22(2)0kx kx k +-+<所以当时，不等式恒成立，10k -<<22(2)0kx kx k +-+<而当不等式恒成立时，有可能，22(2)0kx kx k +-+<0k =所以“”是“关于的不等式恒成立”的充分不必条件，10k -<<x 22(2)0kx kx k +-+<故选：A.5．著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数的图像大致是（ ）()ln e e x x x xf x -=-A ．B．C ．D ．【答案】D【分析】求出函数定义域,排除两个选项，再由函数值的正负排除一个，从而得正确选项．【详解】由得，即函数定义域是，排除AB ，e e 0x xx -⎧>⎨-≠⎩0x ≠{|0}x x ≠时，，，，时，，，，因此排1x >ln 0x >e e 0x x -->()0f x >01x <<ln 0x <e e 0x x -->()0f x <除C ，故选：D ．6．已知，则cos()=（ ）cos(6πα-6παπ∈（,）+3παA ．B ．C ．13-13D 【答案】A【分析】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.【详解】，，cos()6πα-= 6παπ∈（,），π5π066α∴<-<π1sin()63α∴-==πππ1cos(+cos[()sin(36263πααα∴=-+=--=-故选：A7．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是,x y 40x y xy +-=26xy m m ≥-m （ ）A ．B ．C ．D ．[]2,8-(]2,8-[]2,6-()2,6-【答案】A【分析】不等式恒成立，即为不等式恒成立，根据基本不等式求出26xy m m ≥-()2min 6xy m m ≥-的最小值，从而可得出答案.xy【详解】因为，所以时等号成立.,0x y >4x y +≥4x y =又，所以（舍去），40x y xy +-=0xy ≤4≥0≤所以，当且仅当时，取等号，16xy ≥48x y ==所以的最小值为，xy 16则不等式恒成立，即为，26xy m m ≥-2616m m -≤解得，28-≤≤m 所以实数m 的取值范围是.[2,8]-故选：A.8．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，R ()f x (1)(1)f x f x -=+[1,)+∞232a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则（ ）()3log 2b f =21log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．c a b >>c b a>>C ．D ．a b c >>b a c>>【答案】A【分析】函数满足，则有，()f x (1)(1)f x f x -=+()339log 2log 2b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再利用函数在上单调递增比较大小.()221log log 123c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭[1,)+∞【详解】函数满足，所以有：()f x (1)(1)f x f x -=+，()3333339log 21log 1log log 222b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()22221log 1log 61log 6log 123c f f f f ⎛⎫==-=+= ⎪⎝⎭函数满足在上单调递增，由，()f x [1,)+∞233291log 22log 122<<<<<所以，即，()23329log 2log 122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a c <<故选：A二、多选题9．下列命题中正确的有（ ）A ．，π02ααα⎧⎫∀∈<<⎨⎬⎩⎭sin 0α>B ．，π02ααα⎧⎫∃∈<<⎨⎬⎩⎭cos20α>C ．若，则3sin 5α=4cos 5α=D ．圆心角为，弧长为的扇形面积为π32π32π3【答案】ABD【分析】利用三角函数的值符号与角的范围之间的关系可判断A 选项；取可判断B 选项；π04α<<利用同角三角函数的平方关系可判断C 选项；利用扇形的面积公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，，A 对；π02ααα⎧⎫∀∈<<⎨⎬⎩⎭sin 0α>对于B 选项，当时，，则，B 对；π04α<<π022α<<cos 20α>对于C 选项，若，则，C 错；3sin 5α=4cos 5α==±对于D 选项，设扇形的半径为，则，因此该扇形的面积为，D 对.r 2π32π3r ==12π2π2233S =⨯⨯=故选：ABD.10．设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的()237x f x x =+-()0f x =0.1对应值表如下：x01 1.25 1.3751.4375 1.52()f x 6-2-0.87-0.28-0.020.333若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）A ．1.31B ．1.38C ．1.43D ．1.44【答案】BC【分析】f (x )在R 上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间﹒【详解】与都是上的单调递增函数，2xy = 37y x =-R 是上的单调递增函数，()237x f x x ∴=+-R 在上至多有一个零点，()f x ∴R 由表格中的数据可知：，()()1.3750.280 1.43750.020f f =-=，在上有唯一零点，零点所在的区间为，()f x ∴R ()1.3751.4375，即方程有且仅有一个解，且在区间内，()0f x =()1.3751.4375，，1.4375 1.3750.06250.1-=< 内的任意一个数都可以作为方程的近似解，()1.375.1.4375∴，()()()()1.31 1.3751.4375 1.38 1.3751.4375 1.43 1.3751.4375 1.44 1.3751.4375∉∈∈∉ ，，，，，，，符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒∴ 1.38故选：BC﹒11．已知一元二次方程有两个实数根，且，则的()()21102x m x m Z +++=∈12,x x 12013x x <<<<m 值为（ ）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】BC【解析】设，利用已知条件得到，求解即可得出结果.()()2112f x x m x =+++()()()001030f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩【详解】设，()()2112f x x m x =+++由，12013x x <<<<可得，()()()()10200110110230193102f f m f m ⎧>⎪⎧>⎪⎪⎪<⇒+++<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪+++>⎪⎩解得：，25562m -<<-又因为，m Z ∈得或，3m =-4m =-故选：BC.12．已知函数，且，则下列结论正确的是（ ）()()e 2,ln 2x f x x g x x x =+-=+-()()0f ag b ==A ．B ．C ．D ．1a b <<2a b +=()()0g a f b <<110f g b a ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC【分析】利用函数单调性和零点存在性定理分别求出,,的范围,即可判断A,C,利用数形a b (),()g a f b 结合判断B ，然后对的范围进一步缩小，则得到的范围，即可判断的正负，则可判断Db 1b 1f b ⎛⎫ ⎪⎝⎭选项.【详解】由题意,易知函数都是其定义域上的增函数,e ,ln ,2xy y x y x ===-所以函数,都是其定义域上的增函数，()e 2xf x x =+-()ln 2g x x x =+-又因为,0(0)e 0210f =+-=-<,且在其定义域上连续,1(1)e 12e 10f =+-=->()f x 所以在上存在唯一零点,即,()f x (0,1)(0,1)a ∈又,(1)ln11210g =+-=-<,且在其定义域上连续,(2)ln 222ln 20g =+-=>()g x 所以在区间内存在唯一零点,即，()g x (1,2)(1,2)b ∈所以,故A 正确;01a b <<<由,则,a b <()()0,0()()g a g b f a f b <==<所以,故C 正确;()0()g a f b <<令，,()e 20xf x x =+-=()ln 20=+-=g x x x 即,e 2,ln 2x x x x =-+=-+则和与都相交,e xy =ln y x =2y x =-+且和图象关于对称,e xy =ln y x =y x =由,得,2y xy x =⎧⎨=-+⎩11x y =⎧⎨=⎩即和与的交点关于对称,e xy =ln y x =2y x =-+(1,1)则,即,故B 正确.12a b+=2a b +=，所以，，，1213e 022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2a b += 3,22b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故，故，故，故D 错误.112,23b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1ab >()10f f a b ⎛⎫>= ⎪⎝⎭故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题的关键是灵活运用零点存在定理结合函数的单调性确实的范围，然后,a b就是利用指数函数与对数函数的关系得到的和为定值，最后再次使用零点存在定理进一步缩小,a b 的范围，从而判断出的正负.,a b 1f b ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、填空题13．若角的终边过点，且__________.α(,1)P m -cos α=m =【答案】2-【分析】根据已知条件及三角函数的定义即可求解.【详解】因为角的终边过点，α(,1)P m -所以，cos α=又，所以，cos 0α=<0m <，即，解得或，=24m =2m =2m =-又，所以.0m <2m =-故答案为：.2-14．已知，则______．)1fx =()f x =【答案】，()21x+1x ≥-【分析】用换元法求解函数解析式．【详解】令，其中，则，即1t =[)1,t ∈+∞()21x t =+()()21f t t =+故答案为：，．()21x+1x ≥-15．设若，则________．1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩()(1)f a f a =+()f a =【答案】12【分析】分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可01a <<1a ≥()y f x =()()1f a f a =+求得实数的值，进而求得结果.a 【详解】若，则，由，即，01a <<112a <+<()()1f a f a =+()211a =+-24a a =解得：（舍去）或；0a =14a =若，由，得，该方程无解.1a ≥()()1f a f a =+()()21211a a -=+-综上可知，，14a =11()42f a f ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭故答案为：.12【点睛】方法点睛：本题考查分段函数方程的求解，注意分类讨论a 的取值范围，根据分段函数的解析式代入解方程即可，考查计算能力，属于基础题.16．定义在上函数满足且当时，，则使得R ()f x 1(2)()2f x f x +=[0,2)x ∈()21f x x =--在上恒成立的m 的最小值是________．1()8f x ≤[),+∞m 【答案】8【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最()f x [0,2),[2,4),[4,6),,[2,22),N n n n +∈ 小值，再借助函数图象求解作答.【详解】定义在上函数满足，当时，，R ()f x 1(2)()2f x f x +=[0,2)x ∈()21f x x =--，max min ()2,()1f x f x ==当时，，，，[2,4)x ∈2[0,2)x -∈11()(2)1322f x f x x =-=--max min 1()1,()2f x f x ==当时，，，，[4,6)x ∈4[0,2)x -∈2111()(4)5224f x f x x =-=--max min 11(),()24f x f x ==当时，，，[2,22),N x n n n ∈+∈2[0,2)x n -∈1111()(2)(21)222n n n f x f x n x n -=-=--+，max min 111(),()22n n f x f x -==由得，，因此当时，恒成立，11128n -≤4n ≥8x ≥1()8f x ≤观察图象知，，则有，所以m 的最小值是8.[),[8,)m +∞⊆+∞8m ≥故答案为：8【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.四、解答题17．化简求值：(1)；()1424π249-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭(2).()2235lg 5lg 2lg 5lg 20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯【答案】(1)12(2)10【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式.22312181712=⨯+-=+-=（2）解：原式()ln 25ln 4ln 9lg 5lg 5lg 2lg 20ln 2ln 3ln 5=⨯+++⨯⨯2ln 52ln 22ln 3lg 5lg 20ln 2ln 3ln 5=++⨯⨯.()lg 52082810=⨯+=+=18．（1）已知，化简并求值.3sin cos 4αα=()()()()23πsin πcos tan π2πcos tan 2π2f αααααα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）已知关于的方程的两根为和，. 求实数以及x 21204x bx -+=sin θcos θππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭b 的值.sin cos θθ-【答案】（1）；（2），()()29sin ,25f f ααα=-=-b =sin cos θθ-=【分析】（1）由诱导公式和弦切转化化简即可求值；（2）由根与系数的关系及同角三角函数关系即可求值.【详解】（1）根据诱导公式可化简()()()()()2223πsin πcos tan πsin sin tan 2sin πsin tan cos tan 2π2f αααααααααααα⎛⎫---- ⎪⋅⋅-⎝⎭===-⋅⎛⎫-+ ⎪⎝⎭而，所以，3sin cos 4αα=3tan 4α=故； ()222222sin tan 9sin sin cos tan 125f ααααααα=-=-=-=-++（2）因为关于的方程的两根为和，x 21204x bx -+=sin θcos θ所以，，cos 2sin bθθ+=1sin cos 8θθ=所以，所以()224s 5cos 12cos in sin 4b θθθθ=⋅=+=+b =因为，所以，且，所以ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0θ>cos 0θ>sin cos θθ>b =.sin cos θθ-====19．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）.其0lnMv v m =中（单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：v kg ）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s.Mm 参考数据：.0.5ln 230 5.4,1.648e1.649≈<<(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？13【答案】(1)10800m/s (2)45【分析】（1）根据最大速度公式求得正确答案.（2）根据火箭最大速度的要求列不等式，由此求得正确答案.【详解】（1）当总质比为230时，，2000ln 2302000 5.410800v =≈⨯=即型火箭的最大速度为.A 10800m/s （2）型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以型火箭的喷流相对速度为A A，总质比为，2000 1.53000m/s ⨯=3Mm 由题意得：3000ln 2000ln 5003M M m m -≥0.50.5ln 0.5e 27e 2727M M M m m m ⇒≥⇒≥⇒≥因为，所以，0.51.648e1.649<<0.544.49627e 44.523<<所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值为45.20．定义在区间上的函数,对都有,且当时,{}0D x x =≠()f x ,a b D ∀∈()()()f ab f a f b =+1x >.()0f x >(1)判断的奇偶性,并证明;()f x (2)判断在上的单调性,并证明;()f x ()0,∞+(3)若,求满足不等式的实数的取值范围.()23f =()()32130f m f m ++--<m 【答案】(1)偶函数,证明见解析(2)单调递增, 证明见解析(3)22141,,0,11,3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【分析】(1)根据赋值,先求出,再求出,再令代入可得,即可得奇偶()1f ()1f -1,a b x =-=()(),f x f x -性;(2)先判断出单调性,再根据单调性的定义进行证明即可;()f x (3)先根据的定义将合并,再根据及单调性列出不等式,并注意定义()f x ()()321f m f m ++-()23f =域解出即可.【详解】（1）由题知,为偶函数,证明如下:()f x 不妨令代入可得,1a b ==()()()f ab f a f b =+()()()111f f f =+,()10f ∴=令代入可得,1a b ==-()()()111f f f =-+-,()10f ∴-=令代入可得,1,a b x =-=()()()()1f x f f x f x -=-+=,为偶函数;{}0D x x =≠ ()f x \（2）在单调递增,证明如下:()f x ()0,∞+,()112122,0,,,1x x x x x x ∀∈+∞>∴>,()()()112222x f x f x f x f x x ⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭()()1222x f x f f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,121x x >120x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭,()()120f x f x ∴->在单调递增;()f x \()0,∞+（3）由题,()()32130f m f m ++--<,()()()()32123fm m f ∴+-<=由(2)知在单调递增,()f x ()0,∞+所以即,()()321232010m m m m ⎧+-<⎪⎪+≠⎨⎪-≠⎪⎩()()2321232010m m m m ⎧-<+-<⎪+≠⎨⎪-≠⎩解得,22141,,0,11,3333m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21．已知函数．()()3312log ,log x xf xg x =-=(1)求函数的零点；()()263y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦(2)讨论函数在上的零点个数．()()()2h x g x f x k⎡⎤=---⎣⎦[]1,27【答案】(1)9(2)答案见解析．【分析】（1）由题知，进而解方程即可得答案；()2332log 5log 20x x -+=（2）根据题意，将问题转化为函数在上的图像与直线的交点个数，进()2 21F t t t =-+-[]0,3y k =而数形结合求解即可.【详解】（1）解：由 ， 得 ，()()2630f x g x ⎡⎤-+=⎣⎦()233 12log 6log 30x x --+=化简为， 解得或，()2332log 5log 20x x -+=3 log 2x =31log 2x =所以，或9x =x =所以，的零点为．()()263y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦9（2）解：由题意得，()()233 log 2log 1h x x x k=-+--令，得，()0h x =()233 log 2log 1x x k-+-=令， ，则 ，3log t x =[]1,27x ∈[]2 0,3,21t t t k ∈-+-=所以在上的零点个数等于函数在上的图像与直线的交点个()h x []1,27()2 21F t t t =-+-[]0,3y k =数．在上的图像如图所示．()2 21F t t t =-+-[]0,3所以，当或时，在上的图像与直线无交点， 0k >4k <-()F t []0,3y k =所以，在上的零点个数为；()h x []1,270当或时在上的图像与直线有个交点，0k =41k -≤<-()F t []0,3y k =1所以，在上的零点个数为；()h x []1,271当时，在上的图像与直线有个交点，10k -≤<()F t []0,3y k =2所以，在上的零点个数为．()h x []1,272综上，当或时，在上的零点个数为；0k >4k <-()h x []1,270当或时，在上的零点个数为；0k =41k -≤<-()h x []1,271当时，在上的零点个数为．10k -≤<()h x []1,27222．已知函数．()()()2111f x m x m x m =+--+-(1)若不等式的解集为R ，求m 的取值范围；()1f x <(2)解关于x 的不等式；()()1f x m x≥+(3)若不等式对一切恒成立，求m 的取值范围．()0f x ≥11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)m <(2)答案见解析；(3).1m ≥【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；1m +（2），对，与分类讨论，可()()()211210f x m x m x mx m ≥+⇔+-+-≥10m +=10m +>10+<m 分别求得其解集；（3），通()()()()222222211111011111x x x m x m x m m x x x x m x x x x ---++--+-≥⇔-+≥--+⇔≥=-+-+-+过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m 的取值范围．【详解】（1）根据题意，当，即时，，不合题意；①10m +=1m =-()22f x x =-当，即时，②10m +≠1m ≠-的解集为R ，即的解集为R ，()1f x <()()21120m x m x m +--+-< ()()()21014120m m m m +<⎧⎪∴⎨∆=--+-<⎪⎩，即，故时，213290m m m <-⎧⎨-->⎩1m <-m <m >故．m <（2），即，()()1f x m x≥+()21210m x mx m +-+-≥即，()()()1110m x m x ⎡⎤+---≥⎣⎦当，即时，解集为；①10m +=1m =-{|1}x x ≥当，即时，，②10m +>1m >-()1101m x x m -⎛⎫--≥ ⎪+⎝⎭，121111m m m -=-<++ 解集为或；∴1{|1m x x m -≤+1}x ≥当，即时，，③10+<m 1m <-()1101m x x m -⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭，121111m m m -=->++ 解集为．∴1{|1}1m x x m -≤≤+综上所述：当时，解集为；1m <-1{|1}1m x x m -≤≤+当时，解集为；当时，解集为或.1m =-{|1}x x ≥1m >-1{|1m x x m -≤+1}x ≥（3），即，()()21110m x m x m +--+-≥()2211m x x x x -+≥--+恒成立，210x x -+> ，()222211111x x x m x x x x ---+∴≥=-+-+-+设则，1x t -=，1322t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1x t =-，，()()222111111111x t t x x t t t t t t -∴===-+-+---++-，当且仅当时取等号，12t t +≥ 1t =，当且仅当时取等号，2111xx x -∴≤-+0x =当时，，∴0x =22max 111x x x x ⎛⎫--+= ⎪-+⎝⎭．1m ∴≥【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.。
2022-2023学年湖南省株洲市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖南省株洲市第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则的子集的个数是（ ）51,N M x x x +⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭M A ．15B ．8C ．7D ．16【答案】D【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可.【详解】因为，所以由，N x +∈{}51551,2,3,4x x M x >⇒>⇒<⇒=所以的子集的个数是，M 4216=故选：D2．已知，，则“”是“”的（ ）a b ∈R 1>a b a b >A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当时，若，则，故充分性不成立.1>a b 0b <a b <当时，若，则 ，故必要性不成立，a b >0b <1a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件.1>a b a b >故选：D3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将以坐标原点O 为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（ ）A ．B ．22y x x =-cos y x=C ．D ．sin y x =1y x x=-【答案】C【分析】根据题意可知优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项即可得出正确选项.【详解】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于A ，不是奇函数，A 选项错误；22y x x =-对于B ，不是奇函数，B 选项错误；cos y x =对于C ，的定义域为，且是奇函数，C 项正确；sin y x =R 对于D ，的定义域为，所以图像不经过坐标原点，D 选项错误；1y x x =-{}0x x ≠故选：C ．4．已知函数的定义域为（ ）()f x =()()2f x f x -+A ．B ．C ．D ．[)0,∞+[]4,0-[]0,2[]0,4【答案】C【分析】根据二次根式的性质，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.【详解】由，()24022f x x x =⇒-≥⇒-≤≤于是有，2202222x x x -≤≤⎧⇒≤≤⎨-≤-≤⎩故选：C5．下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（ ）ππ0,2⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．sin 2y x =cos y x=tan y x=cos2x y =【答案】B【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，对于函数，由得，sin 2y x =π02x <<02πx <<所以不满足“区间上单调递减”，A 选项错误.sin 2y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B 选项，对于函数，根据函数的图象可知，函数的最小正周期为，cos y x=cos y x=π且函数在区间上单调递减，符合题意，B 选项正确.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C 选项，对于函数，其在区间上单调递增，不符合题意，C 选项错误.tan y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D 选项，对于函数，最小正周期，不符合题意，D 选项错误.cos2xy =2π4π12T ==故选：B6．函数的部分图象大致为（ ）2sin ()||2xfx x =+A．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为，定义域为R2sin ()2x f x x =+所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以为奇函数，且，排除CD ()f x (0)0f =当时，，即，排除A()0,x π∈sin 0x >()0f x >故选：B.7．若，，，则、、的大小关系为（ ）0.7e a =πlog 3b =22πlog sin3c =a b c A ．B ．C ．D ．b c a >>b a c >>c a b>>a b c>>【答案】D【分析】借助中间量比较大小即可.0,1【详解】解：由题知，，0.70e e 1a =>=ππ0log 3log π1b b <=<==，2222πlog sinlog log 103c c ===<=所以，即.01c b a <<<<a b c >>故选：D8．函数 ，若互不相等，且，则的取值2sin π(01)()lg (1)x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩a b c 、、()()()f a f b f c ==a b c ++范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()1,100()1,11()2,101[]2,11【答案】C【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数的图像，再利用图像数形结合即()f x 可发现、、间的关系和范围，最后求得所求范围.a b c 【详解】函数的图像如图所示：()fx 设，由函数图像数形结合可知：，a b c <<1212a b +=⨯=，0lg 2c <<1100c ∴<<．2101a b c ∴<++<故选：C ．二、多选题9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）33log log a b >A ．B ．110b a<<()3log 0a b ->C ．D ．31a b->1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【分析】先求得的关系式，然后对选项逐一分析，从而确定正确答案.,a b 【详解】由于，所以，33log log a b >0a b >>A 选项，由于，所以，所以A 选项错误.0a b >>110a b <<B 选项，当时，，所以B 选项错误.2,1a b ==()33log log 10a b -==C 选项，由于，所以，所以C 选项正确.,0a b a b >->0331a b->=D 选项，在上递减，，所以，所以D 选项正确.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 0a b >>1132ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：CD10）A ．B ．7πtan3πππ3π2sin cos cos sin 124124⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．1tan151tan15+︒-︒cos15︒︒【答案】ABC【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式、正切公式逐一判断即可.【详解】对于A ，A 正确；7πππtantan 2πtan 333⎛⎫=+== ⎪⎝⎭对于B ，，故B正确：πππ3ππππππ2sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2sin 1241241241243⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，，故C 正确；()1tan15tan45tan15tan 4515tan601tan151tan45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒对于D，1cos152cos152⎛⎫︒︒=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误；()()2sin30cos15cos30sin152sin 30152sin15=︒︒-︒︒=︒-︒=︒≠故选：ABC 11．设函数（））()()2sin 2x x f ϕ=+π2ϕ≤()0f =A ．的最小正周期为B ．的图象关于直线对称()f x π()f x 5π12x =C ．在上的最小值为D ．的图象关于点对称()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-()f x 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据正弦型函数的周期公式、对称性、最值逐一判断即可.【详解】∵∴，又，∴，∴；()02sin f ϕ==sin ϕ=π2ϕ≤π3ϕ=-()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，的最小正周期，A 正确；()f x 2ππ2T ==对于B ，因为，所以的图象关于直线对称，B 正确；5π5ππ2sin 2212123f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 5π12x =对于C ，当时，，则当，即时，，C 错π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π5π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π3π232x -=11π12x =()min 2f x =-误；对于D ，当时，，此时，∴的图象关于点对称，D 正确.2π3x =π2π3x -=()0f x =()f x 2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：ABD12．已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，()f x x ∀∈R ()()2f x f x +=-()1y f x =-()1,0当时，，则下列结论正确的是（ ）(]0,1x ∈()21x f x =-A ．B ．在区间上单调递减()20220f =()f x ()7,9C ．是上的奇函数D ．函数有6个零点()f x R ()log y f x x=-【答案】ACD【分析】先分析清楚函数的单调性，对称性和周期性，再逐项分析.()f x 【详解】对都有，则，x ∀∈R ()()2f x f x +=-()()()42f x f x f x +=-+=即函数是周期函数，周期为4；()f x 令，依题意有，即，()()1g x f x =-()()2g x g x -=-()()()2111f x f x f x --=-=--令 ，则有 ，所以是奇函数，，C 正确；1t x =-()()f t f t =--()f x ()00f =又，令 ，则有，()()()2f x f x f x +=-=-t x =-()()2f t f t -=关于直线 对称；()f x 1x =当时，，当时，，(]0,1x ∈()21x f x =-[)1,0x ∈-()()2112x xf x --=--=-对于A ，，A 正确；()()()()202250542200f f f f =⨯+==-=对于B ，因函数在上递增，函数的周期为4，则在上递增，B 错误；()f x []1,1-()f x ()f x ()7,9对于D ，函数的零点，即函数与图像交点的横坐标，()lg y f x x =-()y f x =lg y x=在同一坐标系内作出函数与的部分图像，如图，()y f x =lg y x=因函数的最大值为1，而当时，，因此函数与图像的交点在()y f x =10x >lg 1x >()y f x =lg y x=内，()0,10观察图像知，函数与图像在内只有6个交点，所以函数有6()y f x =lg y x=()0,10()lg y f x x =-个零点，D 正确；故选：ACD.三、填空题13．函数的图象恒过定点P ，P 在幂函数的图象上，则___________.()log 238a y x =-+()f x ()4f =【答案】64【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.()2,8P ()f x ()4f 【详解】令，则，故点；2x =8y =()2,8P 设幂函数，()bf x x =则，28b=则；3b =故；()464f =故答案为：64.14．若正实数、，满足，则的最小值为______.a b lg lg 1a b +=52a b +【答案】2【分析】求得的关系式，然后结合基本不等式求得正确答案.,a b 【详解】正数满足，,a b lg lg lg 1,10a b ab ab +===所以，当且仅当时等号成立.522a b +≥=52,,5,2a b a b ===故答案为：215．已知______.πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2πsin c 63πos αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】0【分析】根据诱导公式进行求解即可.【详解】2πππππsin cos sin cos πcos cos 0,63233π3π3αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++-+=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：0四、双空题16．已知函数（，）在区间上单调，且满足()()sin f x x ωϕ=+0ω>Rϕ∈75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若，则函数的最小正周期为______.()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x （2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______.()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ω【答案】 π833ω<≤【分析】（1）由题可得对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断的大概取值范围，再()f x ω结合条件可得函数的对称轴即可得到的值从而得出最小正周期；ω（2）根据函数的对称中心及的大概取值范围，结合三角函数的图象可得ω，从而解出.2π13π2π523632T T +<≤+【详解】因为函数在区间上单调，且满足，()()sin f x x ωϕ=+75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴对称中心为，()f x 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入可得，，①12ππ3k ωϕ+=1k Z ∈∵在区间上单调，且对称中心为，()f x 75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵，，5π2ππ636-=2πππ7π36212-=<∴在区间上单调，()f x π5π,26⎛⎫⎪⎝⎭∴， ，即，5πππ2623T ≥-=23T π≥2π2π3ω≥∴.03ω<≤（1）∵，()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴关于对称，代入可得，，②()f x 5π12x =2π5ππ122k ωϕ+=+2k Z∈①－②可得，，即，，又，πππ42k ω=-+Z k ∈24k ω=-+Z k ∈03ω<≤∴，；2ω=2ππT ω==（2）∵对称中心为，∴，()f x 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵在区间上恰有5个零点，()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∵相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，()f x 2T2T 52T ∴只需即可，2π13π2π523632T T +<≤+所以，又∵，81033ω<≤03ω<≤∴.833ω<≤故答案为：；.π833ω<≤五、解答题17．计算：(1)；2323272e log 3log 88⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭(2)()()sin 120cos210cos 300sin150-︒⋅+-︒⋅︒︒【答案】(1)；54(2)1.【分析】（1）根据指数幂的运算性质，结合对数换底公式进行求解即可；（2）根据诱导公式，结合两角和正弦公式进行求解即可.【详解】（1）；2323279lg3lg8952e log 3log 822384lg2lg344⎛⎫+-⨯=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭（2）.()()()()sin 120cos210cos 300sin150sin60cos30cos60sin30sin 6030sin901-︒⋅︒+-︒⋅︒=-︒⋅-︒+︒⋅︒=︒+︒=︒=18．已知全集，集合，.U =R 11282x A x +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭{}3221B x a x a =-<<+(1)当时，求；1a =()U A B ⋃ (2)若，求的取值范围.A B B = a 【答案】(1)或{2x x <}3x ≥(2)[)10,3,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先求出集合、，进而求出，再根据集合间的并集运算即可；A B U B （2）由可得，分和两种情况讨论即可求解.A B B = B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由，所以，即，113222x -+<<113x -<+<22x -<<所以，{}22A x x =-<<当时，，全集，1a ={}13B x x =<<U =R 所以或，{1U B x x =≤ }3x ≥所以或.(){2U A B x x ⋃=< }3x ≥（2）因为，所以，A B B = B A ⊆当时，满足，所以，解得；B =∅B A ⊆3221a a -≥+3a ≥当时，则，解得.B ≠∅3221322212a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩102a ≤≤综上所述，的取值范围是.a [)10,3,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦19．已知，.()()ππ6cos sin 2282cos π3sin παααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---+π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求的值；tan α(2)若，且的值.π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭αβ+【答案】(1)1tan 2α=(2)π4αβ+=【分析】（1）根据诱导公式化简整理，上下同除，计算即可得答案.cos α（2）根据题意及的范围，可求得的值，根据两角差的余弦公式，βsin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得的值，进而可得的值，根据两角和的正切公式，可得的值，即可得答案.cos βtan βtan()αβ+【详解】（1）∵，()()ππ6cos sin 2282cos π3sin παααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---+∴，解得.6sin cos 6tan 182cos 3sin 23tan αααααα++==--+-+1tan 2α=（2）∵，∴，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π444β<+<πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴，πsin 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ππcos cos 44ββ⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴，sin β=1tan 3β=∴，()11tan tan 23tan 1111tan tan 123αβαβαβ+++===--⨯又∵，∴.3π0,4αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π4αβ+=20．已知函数.()πcos2cos 213f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭(1)求函数的最小正周期、单调增区间及对称中心；()f x (2)求函数在上的值域.()f x π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】(1)；，；，ππππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ππ,1212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈(2)1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）先化简函数，可得，再结合正弦函数的性质求解即可；()f x ()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）根据正弦函数的性质求解即可.【详解】（1），()πππ1cos2cos 2cos2cos2cos sin2sin cos 213332f x x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭即.()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期.()f x 2ππ2T ==令，，即，πππ2π22π262k x k -≤+≤+Z k ∈ππππ36k x k -≤≤+Zk ∈所以的单调递增区间，.()f x πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈令，，解得，π2π6x k +=Z k ∈ππ212k x =-所以对称中心为，.ππ,1212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈（2）由（1）知：，()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当，，即，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162x ⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以在上的值域为.()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦21．已知函数为奇函数，.()221x f x a =++R a ∈(1)求的值；a (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；()f x (3)若存在，不等式有解，求实数的取值范围.[]2,1x ∈--()()210f x f x t -++<t 【答案】(1)；1a =-(2)在上单调递减，证明见解析；()f x R (3).()1,-+∞【分析】（1）根据奇函数的性质，求出参数的值，再代入检验即可；()00f =a （2）根据指数函数的单调性结合条件可得函数的单调性，再利用定义法证明即得；（3）根据函数的奇偶性与单调性得到在有解，然后根据二次函数的性质即21t x x >--+[]2,1x ∈--得.【详解】（1）因为的定义域为R ，又为奇函数，()221x f x a =++()f x 所以，即，解得，()00f =02021a +=+1a =-所以，()21212121xx x f x -=-+=++则，()()12212121x x x x f x f x -----===-++所以为奇函数，()2121x f x =-++故；1a =-（2）在R 上单调递减，()f x 证明：设任意的，且，1x 2R x ∈12x x <所以，()()()()()2112212112222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---=-= ⎪++++++⎝⎭又因为，在上单调递增，12x x <2x y =R 所以，即，且，1222x x <21220x x ->()()1221210x x ++>所以，即，()()120f x f x ->()()12f x f x >所以在上单调递减；()f x R （3）因为是定义在上的奇函数，()f x R 所以，()()()()22101f x f x t f x t f x -++<⇒+<-因为函数在上单调递减，()f x R 所以，21x t x +>-因为存在，不等式有解，[]2,1x ∈--()()210f x f x t -++<即在有解，21t x x >--+[]2,1x ∈--因为，[]221511,124x x x ⎛⎫--+=-++∈- ⎪⎝⎭所以，1t >-即实数的取值范围为.t ()1,-+∞22．函数，，记，且为偶函数.()()4log 41x f x =+()()1g x k x =-()()()F x f x g x =-()F x (1)求常数的值；k (2)若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；a ∈R ()12F a m >-m (3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值()44log 23x M x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()F x ()M x a 范围.【答案】(1)32k =(2)1m >-(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出常数的值；k （2）将不等式恒成立，转化为恒成立，利用换元法和基本不等式求()12F a m >-()424log 41a a m >+出的最大值，即可得实数的取值范围；()424log 41a a +m （3）将函数与的图象有且只有一个公共点，转化为()F x ()M x 仅有一解，设，依题意只有()444log 41log 223x x x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭20x t =>()()241103h t a t at =---=一个正实根，分类讨论a 的不同情况，即可求出实数的取值范围.m 【详解】（1）由题意可知，，，()()()4log 411x F x k x =+--x ∈R 为偶函数，，()F x ()()F x F x ∴-=即，()()()()44log 411log 411x x k x k x -++-=+--，()()()()44log 411log 411x x x k x k x +-+-=+--，，()230k x ∴-=x ∈R .32k ∴=（2）由（1）得，()()4log 412x x F x =+-条件，即：，()12F a m >-()41log 4122a a m +->-，()()24424log 41log 41a a a m a >-+=+设，()4a t a =∈R 0t ∴>令，444211log log log 112142t U t t t t ==≤=-++++当且仅当，即时等式成立，1t t =1t =，max 1U ∴=-即；1m >-（3）依题意：，即仅有一解，()()M x F x =()444log 41log 223x x x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭则44414log log 223x x x a a +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭即，故4142234203x x x x a a a a ⎧+=⋅-⎪⎪⎨⎪⋅->⎪⎩()()24122103x x a a --⋅-=设，依题意只有一个正实根.20x t =>()()241103h t a t at =---=当时，，1 1a =()4103h t t =--=（舍）34t ∴=-当时，方程有一正根，一负根，2 1a >()()241103h t a t at =---=由，得.10(0)10a h ->⎧⎨=-<⎩1a >当时，方程有两个相等的正根.3 1a <()()241103h t a t at =---=由，得，21016Δ4(1)09a a a -<⎧⎪⎨=+-=⎪⎩214990a a a <⎧⎨+-=⎩即，()()4330a a -+=其中，当时，符合题意；当时，不符合题意.3a =-12t =34a =2t =-综上所述，实数的取值范围是a {}()31,-⋃+∞【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.。
2021-2022学年山东省蓬莱高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=（ ）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x【答案】D【解析】根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.【详解】因为{}{242B x x x x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以R A B ⋃={|2}x x . 故选：D【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.2．函数()lg(2)f x x =-的定义域为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)2,∞+【答案】C【分析】解不等式组310,20x x -≥⎧⎨->⎩即得解. 【详解】解：由题得3101,2203x x x -≥⎧∴≤<⎨->⎩. 所以函数的定义域为1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C3．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】依据三角函数值的符号判断角α的终边所在象限即可解决. 【详解】由点(sin ,tan )P αα在第四象限，可知sin 0,tan 0αα><，则角α的终边在第二象限. 故选：B4．已知命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)-+∞ B ．()21,+∞ C ．(),21-∞ D ．()3,-+∞【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可. 【详解】因为命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，所以240x x a -++>在[3,3]x ∈-上有解，所以2max (4)0x x a -++>，而一元二次函数24x x a -++在422(1)x =-=⨯-时取最大值，即22420a -+⨯+>解得4a >-， 故选：A5．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f π，可排除B ，即可得到答案.【详解】因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ，故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．若α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则（ ） A ．sin sin 0αβ+= B ．cos cos 0αβ+= C ．22sin sin 1αβ+= D ．tan tan 0αβ-=【答案】A【分析】因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则2k αβπ+=，Z k ∈，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】解：因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称， 则2k αβπ+=，Z k ∈，选项A ：sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβαπααα+=+-=-=，故A 正确， 选项B ：cos cos cos cos(2)2cos 0k αβαπαα+=+-=≠，故B 错误， 选项C ：22222sin sin sin sin (2)2sin 0k αβαπαα+=+-=≠，故C 错误， 选项D ：tan tan tan tan(2)tan tan 2tan 0k αβαπαααα-=--=+=≠，故D 错误， 故选：A ．7．若31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记cos sin cos log ,log cos ,1log tan x y z αααααα===+，则,,x y z 的大小关系正确的是（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．x z y <<D ．y x z <<【答案】C【分析】由题意可得0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>，然后利用对数函数的单调性比较大小 【详解】因为31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>， 所以cos cos log log 10x ααα=<=， sin sin log cos log sin 1y αααα=>=，cos cos cos 1log tan log (cos tan )log sin z ααααααα=+==，因为0cos sin 1αα<<<，所以cos cos cos log cos log sin log 1ααααα>>， 所以cos 1log sin 0αα>>，即01z <<， 综上，x z y <<， 故选：C8．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f -=-，当,1,1a b且0a b +≠时()()0f a f b a b+>+.已知,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由奇偶性分析条件可得()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()max 1f x =，进而得2143sin 2cos θθ<+-，结合角的范围解不等式即可得解. 【详解】因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以当,1,1a b且0a b +≠时()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，根据,a b 的任意性，即,a b -的任意性可判断()f x 在[]1,1-上单调递增， 所以()max (1)(1)1f x f f ==--=，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则2143sin 2cos θθ<+-，整理得(sin 1)(2sin 1)0θθ++>，所以1sin 2θ>-，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,62ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二、多选题9．已知全集U =R ，集合M ，N 的关系如图所示，则（ ）A ．NM M =B ．()U M N ⋂=∅C ．()()U U M N ⊇D ．()()U U UM N N ⋂=【答案】AB【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.【详解】由图可知()()()()(),,,U U U U UUN M M M N M N M N M ==∅⊆=.故选：AB10．幂函数21*()(22),N m f x m m x m --=+-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．1m = B ．函数()f x 是偶函数 C ．(2)(3)f f -< D ．函数()f x 的值域为(0,)+∞【答案】ABD【分析】根据幂函数定义可知2221m m +-=，即可解得m 的值，结合m 是正整数即可对选项做出判断.【详解】由幂函数定义可知，系数2221m m +-=，解得1m =或32m =-，又因为*N m ∈，所以1m =；故A 正确； 1m =时，221()f x xx -==，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足2()()1f f x x x ==-，所以函数()f x 是偶函数，即B 正确； 由21()f x x=可知，函数()f x 在(0,)+∞为单调递减，所以(2)(2)(3)f f f -=>，所以C 错误； 函数21()f x x=的值域为(0,)+∞，即D 正确； 故选：ABD.11．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A ．函数解析式()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度可得函数()f x 的图象C ．直线1112x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 D ．函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2【答案】ABC【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可. 【详解】由题图知：函数()f x 的最小正周期453612T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22πωπ==，2A =，所以函数()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式中可得22sin 6πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，得()23k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，因此()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度可得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，故B正确.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1112x π=-时，()2f x =，故C 正确.当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，23x π+∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x ⎡∈-⎣故D 错误． 故选：ABC ．12．已知正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．236x y z >> D ．24xy z ≥【答案】ACD【分析】令236x y z t ===则1t >，可得：2log x t =，6log z t =，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.；【详解】解：令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =， 3log y t =，6log z t =， 对于选项A ：因为()231111lg 2lg 31lg 61lg 2lg 3log 6log log lg lg lg lg t x y t t t t t t z+=+=+=+===， 所以111x y z+=，故选项A 正确；对于选项B ，因为1t >，故lg 0t >，所以232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >； ()3663lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 9363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 选项错误. 对于选项C ：log lg lg a t t a a a =，因为02lg 23lg36lg 6<<<，所以1112lg 23lg 36lg 6>>， 因为lg 0t >，所以lg lg lg 2lg 23lg 36lg 6t t t >>，即362log log log 236t t t >>，即236x y z>>，故选项C 正确；对于选项D ：()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t txy t t =+=⋅=⨯， ()()()222262lg 444log 4lg lg 6lg 6t z t t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⨯<=⎪⎝⎭，因为lg 2lg3≠所以等号不成立， 所以()214lg 2lg3lg 6>⨯，即()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⨯， 所以24xy z >，根据“或”命题的性质可知选项D 正确. 故选：ACD三、填空题13．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是__________.【答案】{}90180120180,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈， 终边落在图中直线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒Z k ∈； 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈，即终边在直线上的角为120180k ︒+⋅︒，Z k ∈，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈， 故答案为：{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈14．已知正数x ，y 满足21x y +=，则12xx y +的最小值为__________.【答案】5【分析】根据基本不等式即可求解最值.【详解】()212121124y x x y x y x y-+=+=+-， 由于0,0x y >>，21x y +=,所以()12122222241125x y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y == 时，取等号，故12x x y +最小值为5，故答案为：515．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是________．【答案】2π23-232π-【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得2π3AB BC AC ===， 则AB =BC =AC =2，故扇形的面积为2π3， 由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍， ∴所求面积为22π33222π233⨯-=- 故答案为：2π23-32π-．四、双空题16．已知定义在R 上的奇函数12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩，则(1)f -=________；不等式(())7≤f f x 的解集为________.【答案】 1 (,2]-∞【解析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得(1)f -；不等式(())7≤f f x 的解集等价于()3f x ≥-的解集，即可求得答案.【详解】解：∵12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()()()1221x xg x f x f x --==--=-=--，12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-<⎩，∴(1)211f -=-=；又12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在()0,∞+和()0-∞，上都单调递减，而且函数又是连续性函数，图像没有断开，所以函数12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在R 上单调递减，∵不等式(())7,(3)7f f x f ≤-=，()3f x ∴≥-，123xx ≥⎧∴⎨-≥-⎩或0213x x -<⎧⎨-≥-⎩， 解得：2x ≤，即不等式(())7≤f f x 的解集为(,2]-∞. 故答案为：1；(,2]-∞.【点睛】本题考查奇函数的性质以及求解方法，考查复合不等式的求解，属于中档题.五、解答题 17．（1）计算20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）计算31log 242766194log 3log 8log 82log 3--⋅+-【答案】（1）0；（2）3【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解； （2）利用对数性质及运算法则求解.【详解】（1）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12223816442216273-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22933220444⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）31log 242766194log 3log 8log 82log 33--⋅+-3212log 2323662134log 3log 2log 22log 33=-⨯++3log 42366134log 3log 2log 2log 32=-⨯⨯++()642log 23213=-+⨯=+=.18．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值；（2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值． 【答案】（1）1825（2）725【分析】(1)由三角函数的定义首先求得sin ,cos αα的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；(2)由题意首先求得,αβ的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】（1）由三角函数定义得3cos 5α=-，4sin 5α， ∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++⎛⎫====⨯-=⎪+⎝⎭+． （2）∵cos cos sin sin cos()0αβαβαβ+=-=，且0βαπ<<<， ∴2παβ-=，2πβα=-，∴3sin sin cos 25πβαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．∴44337sin()sin cos cos sin 555525αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程; (2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.(2)证明函数()y f x =是R 上的减函数； (3)若2(2)()0f x f x -+<，求x 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3){1x x >或}2x <-【分析】（1）利用特殊值求出(0)0f =，从而证明()()f x f x -=-即可；（2）证明出[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-12()f x x =-，再利用当0x >时，()0f x <恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解. 【详解】（1）证明：由()()()f a b f a f b +=+， 令0a b 可得(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，令,==-a x b x 可得()()()f x x f x f x -=+-， 即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，而函数()y f x =的定义域为R ，故函数()y f x =是奇函数．（2）证明：设12x x >，且1R x ∈，2x R ∈，则120x x ->， 而()()()f a b f a f b +=+[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-1222()()()f x x f x f x =-+- 12()f x x =-，又当0x >时，()0f x <恒成立，即12()0f x x -<，12()()f x f x ∴<， ∴函数()y f x =是R 上的减函数；（3）(方法一）由2(2)()0f x f x -+<， 得2(2)()f x f x -<-， 又()y f x =是奇函数， 即2(2)()f x f x -<-，22x x ∴->-解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是{1x x >或}2x <-. (方法二)由2(2)()0f x f x -+<且(0)0f =，得2(2)(0)f x x f -+<， 又()y f x =在R 上是减函数， 220x x ∴-+>，解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是 {1x x >或}2x <-.21．已知函数()2f x x bx c =++，满足()()1f x f x =-，其一个零点为1-．(1)当0m ≥时，解关于x 的不等式()()21mf x x m ≥--； (2)设()()313f x x h x +-=，若对于任意的实数1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤，求M 的最小值．【答案】(1)答案见解析 (2)242【分析】（1）根据条件求出,b c ，再分类讨论解不等式即可； （2）将问题转化为()()max min M h x h x ≥-，再通过换无求最值即可. 【详解】（1）因为()()1f x f x =-，则()()2211x bx c x b x c ++=-+-+，得1b又其一个零点为1-，则()1110f c -=++=，得2c =-，则函数的解析式为()22f x x x =--则()()2221m x x x m --≥--，即()()()222210mx m x mx x -++=--≥当0m =时，解得：1x ≤当0m >时，①2m =时，解集为R ②02m <<时，解得：1x ≤或2x m≥， ③m>2时，解得：2x m≤或1x ≥， 综上，当0m =时，不等式的解集为}{1x x ≤；当2m =时，解集为R ；当02m <<时，不等式的解集为{1x x ≤或2x m ⎫≥⎬⎭； 当m>2时，不等式的解集为2x x m ⎧≤⎨⎩或}1x ≥.（2）对于任意的1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤， 即()()max min M h x h x ≥-令()222314t x x x =+-=+-，则()3th t =因为[]2,2x ∈-，则min 0t =，max 5t =可得()5max 3h t =，()0min 31h t ==则()()max min 2431242h x h x -=-=， 即242M ≥，即M 的最小值为242．22．某同学用“五点法”画函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请根据上表数据，求函数()f x 的解析式；(2)关于x 的方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求t 的取值范围；(3)求满足不等式()()52043f x f f x f ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数解． 【答案】(1)()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)2⎡⎤⎣⎦； (3)2.【分析】（1）由表格中的数据可得出A 的值，根据表格中的数据可得出关于ω、ϕ的方程组，解出这两个量的值，可得出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，即可得出实数t 的取值范围；（3）分析可得()0f x <或()1f x >，分别解这两个不等式，得解集，令0k =，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.【详解】（1）解：由表格数据知，2A =，由325362πωπϕπωπϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）解：当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 262x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦， 因为方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以t的取值范围为2⎡⎤⎣⎦. （3）解：因为552cos 2sin 14266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2432cos 2cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以不等式即：()()10f x f x ⎡⎤-⋅>⎣⎦，解得()0f x <或()1f x >，由()0f x <得cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()3222Z 262k x k k πππππ+<-<+∈， 所以5,36x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈； 由()1f x >得1cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()222Z 363k x k k πππππ-+<-<+∈，所以,124x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈.令0k =可得不等式解集的一部分为5,,12436ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，解集中最小的正整数为2．。
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}24A x x =<<，{}260B x x x =--≤，则()U A B ∩等于（ ）A ．(]2,3B ．()3,4C ．[)2,4-D ．()(),23,4-∞-【答案】B【解析】化简集合B ，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.【详解】{}260B x x x =--≤{|23}x x =-≤≤，{|2UB x x =<-或3}x >，所以()U A B ∩{|34}x x =<<. 故选：B2．命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A ．0x ∀≥，sin x x > B ．00x ∃<，00sin x x > C ．00x ∃≥，00sin x x > D ．00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C【解析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是 00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 【详解】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角，故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．4．已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2A ，1sin ,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()sin1,C n ，则m 与n 的大小关系为（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．不等确定【答案】B【分析】根据给定条件求出幂函数的解析式，再借助()f x 的单调性即可判断作答.【详解】依题意，设()f x x α=，由()42f =得：42α=，解得12α=，则有()f x x =，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，又sin y x =在(0,)2π上单调递增，即10sin sin12<<，因此有1sin sin12<，则m n <，B 正确.故选：B 5．函数lg 1()x x f x x-=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求函数定义域得()()(),00,11,x ∈-∞+∞，再根据定义域分0x <，01x <<，1x >三种情况分别讨论即可得答案.【详解】解：函数的定义域为：()()(),00,11,-∞+∞， 当0x <时，11x -+>函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===--+<-，故排除CD 选项； 当01x <<时，011x <-+<，故函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===-+<，故排除B 选项； 当1x >时，函数()()lg 1lg 1()lg 1x x x x f x x x x--===-，该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到. 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．在ABC 中，3cos 5A =且5cos 13B =，则cos C 等于（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365-D ．6365【答案】B【分析】在ABC 中， ()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.【详解】解：∵在ABC 中，A B C π++=， ∴()C A B π=-+，又3cos 5A =，5cos 13B =，∴4sin 5A =，12sin 13B =， ∴()()cos cos cosC A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B =-+ 354123351351365⎛⎫=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭. 故选：B .【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【解析】令[]sin 21,3t x =+∈，可得出()44f x t t =+-，令()44g t t t =+-，证明出函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，由此可求得函数()g t 在区间[]1,3上的最大值，即为所求.【详解】令[]sin 21,3t x =+∈，则sin 2x t =-，则()()222sin 44sin 2t x f x t x t t-===+-+，令()44g t t t =+-，下面证明函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，任取1t 、[)21,2t ∈且12t t <，则()()()()()21121212121212124444444t t g t g t t t t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212124t t t t t t --=，1212t t ≤<<，则120t t -<，1214t t <<，()()120g t g t ∴->，()()12g t g t ∴>，所以，函数()44g t t t =+-在区间[)1,2上为减函数，同理可证函数()44g t t t =+-在区间(]2,3上为增函数，()11g =，()133g =，()max 1g t ∴=.因此，函数()f x 的最大值为1. 故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下： （1）判断或证明函数在区间上的单调性； （2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.8．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,]5∪(5，＋∞)B ． 1(0,)5∪[5,)+∞C ． 11(,)75∪(5，7)D ． 11(,)75∪[5，7)【答案】A【详解】由f(x ＋1)＝－f(x)得f(x ＋1)＝－f(x ＋2)，因此f(x)＝f(x ＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点可转化成y ＝f(x)与h(x)＝log a |x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a ＞1，则h(5)＝log a 5＜1，即a ＞5.若0＜a ＜1，则h(－5)＝log a 5≥－1，即0＜a ≤15.所以a 的取值范围是10,5⎛⎤⎥⎝⎦∪(5，＋∞)．故选A .点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、多选题9．以下四个选项表述正确的有（ ） A ．0∈∅ B ．{}0∅⊆ C ．{}{},,a b b a ⊆ D ．{}0∅∈【答案】BC【解析】利用元素集合的关系判断得,A D 错误，,B C 正确. 【详解】,A 0∉∅，所以该选项错误； ,B 空集是任何集合的子集，所以该选项正确；,C 由子集的定义得{}{},,a b b a ⊆，所以该选项正确；,D ∅是一个集合，它和{0}之间不能用∈连接，所以该选项错误.故选：BC10．下列不等式中正确的是（ ） A ．已知a b <，则有2a ba b +<< B ．已知0a b <<，0c d >>，0m >，则m ma cb d<-- C ．已知0a b >>，则22ac bc > D ．已知0a >，0b >，则2aba b≤+【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式即可较易得出判断. 【详解】因为a b <，所以有：2a a b <+，所以：2a ba +<，又：2a b b +<，所以：2a b b +<，所以：2a ba b +<<，所以A 正确； 因为0c d >>，所以有：0c d -<-<，所以：0a c b d -<-<，所以：110a c b d>>--，又0m >，所以：m ma cb d>--，所以B 错误； 因为2c ≥0，0a b >>，当20c >时，22ac bc >成立，当2c =0时，220ac bc ==，所以C 错误； 因为0a >，0b >，所以有：0a b +≥，10a b>+，所以()11a b a b a b +≥⋅++即：01<≤2ab a b ≤+D 正确. 故选：AD.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A ．()1f x x =+B ．()1f x x x=-，0x > C ．()23f x x x =-+D ．()12log f x x =【答案】BD【解析】对于ABC ：通过解方程()00f x x =可得答案；对于D ，通过作出两个函数的图象可得答案. 【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的， 对于A ：当001x x +=时，该方程无解，故A 不满足； 对于B ：当0001x x x -=，00x >时，解得02x =B 满足；对于C ：当20003x x x -+=，即()20120x -+=时，无实数根，故C 不满足；对于D ；画出()12log f x x =与y x =的图象显然有交点，即存在一个点0x ，使得()00f x x =，故D 满足；综上，BD 均满足. 故选：BD【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.12．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =，记()()sin cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为3个D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ⋅⋅⋅，则1273x x π<+< 【答案】ABD【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A ；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B ；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C ；由0x >时，lg y x =-和tan y x =的图象，结合正切函数的性质，可判断D.【详解】因为()()()()()()sin cos sin cos g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-， 所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；假设cos 0x =，即2x k π=+π，Z k ∈时， ()sin cos sin cos 02x f x x k k πππ⎛⎫+⋅=+=≠ ⎪⎝⎭，所以当2x k π=+π，Z k ∈时，()0g x ≠， 当2x k ππ≠+，Z k ∈时，()()sin cos 0tan x f x x x f x +⋅=⇔=-，当00x <，00x ->，则()()()000lg f x f x x =--=--，由于()g x 的一个零点为0x ，则()()()00000tan lg lg tan 0x f x x x x =-=-⇒--=，故B 正确；如图：当0x >时，令1tan y x =，2lg y x =-，则()g x 大于0的零点为1tan y x =，2lg y x =-，的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且()()0sin00cos00g f =+⋅=，所以函数在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C错误；由图可知，()g x 大于1的零点，134x ππ<<，2322x ππ<<，所以12934x x ππ<+<， 而974π>，故推出1273x x π<+<，故D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．若tan 2α=，则2cos 2sin 22αα+-=______．【答案】15-【分析】由于22222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2222sin cos tan 1ααααααααα+++-=-=-++，然后代值计算即可 【详解】因为tan 2α=，所以22222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2222sin cos tan 1ααααααααα+++-=-=-++ 214212215+⨯=-=-+，故答案为：15-14．已知,x y ∈R +,且24,x y +=则(1)(21)x y ++的最大值为_______. 【答案】9【解析】将(1)(21)x y ++展开化为221x y x y ⋅+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】24,x y +=且,x y ∈R +,∴ 22(1)(21)2212192x y x y x y x y x y +⎛⎫++=⋅+++≤+++= ⎪⎝⎭， 当且仅当2,1x y ==时取等号，故(1)(21)x y ++的最大值为9. 故答案为：9【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.15．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.【答案】12【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α，直角三角形POB 中， tan PB r α=， POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12. 点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论.四、双空题16．已知函数22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，则f (6)=________；若方程()f x x a =+在区间[4,8]-有三个不等实根，实数a 的取值范围为________.【答案】 8 {2}(4,0)⋃-【解析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解．（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a 的取值范围．【详解】解：因为22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩()()()()62222242228f f f ∴==⨯-=--+=作出函数()f x 在区间[4,8]-上的图象如图：设直线y x a =+，要使()f x x a =+在区间[4,8]-上有3个不等实根， 即函数y x a =+与()y f x =在区间[4,8]-上有3个交点， 由图象可知40a 或2a = 所以实数a 的取值范围是(){}4,02- 故答案为：8；(){}4,02-．【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题．五、解答题 17．求值： (1)1030.256341782(23)86；(2)2552lg4lg log 5log 48++⋅.【答案】(1)112 (2)3【分析】（1）依据幂的运算性质即可解决； （2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决. 【详解】（1）1030.256341782(23)861113110.25336233424432122(23)2223112（2）22555lg5lg 42lg 4lglog 5log 4lg 4lg 88lg 2lg525lg 42lg 2lg 4lg101238lg 2lg 218．已知函数()224x a f x x a =-+-的定义域是[]2,3-.（1）当2a =时，求函数()f x 的值域；（2）设:p a M ∈，[]:2,2q x ∀∈-，都有()0f x ≤，若p 是q 的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M 并说明理由.【答案】（1）[]1,8-；（2）[)4,+∞(答案不唯一)，理由见解析. 【解析】（1）利用二次函数的知识求出答案即可；（2）求出[]:2,2q x ∀∈-，都有()0f x ≤的充要条件，然后可得答案. 【详解】当2a =时，()()211f x x =--， 所以()()min 11f x f ==-，()()max 28f x f =-= 所以值域是[]1,8-.（2）据题意使“[]2,2x ∀∈-，都有()0f x ≤”为真命题的充要条件是()max 0f x ≤，即有()()2222802280f a a f a a ⎧-=-++≤⎪⎨=--+≤⎪⎩，其解集是(][),44,-∞-⋃+∞， 故使p 是q 的充分不必要条件的集合M 可以是[)4,+∞. 19．已知函数2()21xf x a =-+为奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性；(3)若22(4)()0f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)()f x 在R 上是增函数 (3)2k >【分析】（1）根据奇函数性质可得，()()0f x f x -+=，代入即可得到a 的值； （2）利用单调性的定义证明，任取12,R x x ∈，设12x x <，然后()()12f x f x -()()()12122222121x x x x -=+⋅+，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在R 上恒成立的问题，求解即可. 【详解】（1）函数定义域为R .因为函数2()21x f x a =-+为奇函数， 所以有()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 又222()2121xx x f x a a -⋅-=-=-++， 则()()2222121x xx f x f x a a ⋅-+=-+-++222222021x x a a ⋅+=-=-=+， 所以，1a =.（2）由（1）知，2()121xf x =-+. 任取12,R x x ∈，不妨设12x x < ，()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()12122222121x x x x -=+⋅+， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<.又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. （3）因为，函数2()121x f x =-+为奇函数， 所以22(4)()0f x x f x k -++--<等价于()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，∵()f x 是R 上的单调增函数，∴224x x x k -+<+，即2240x x k -+>恒成立， ∴()()2442820k k ∆=--⨯=--<， 解得2k >.20．已知函数()()πsin 03f x x m ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知． 条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()f x 的最大值与最小值之和为0； 条件③：()02f =． (1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若函数()f x 在区间[]0,a 上是增函数，求实数a 的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)5π12【分析】（1）先由三个条件得出结果，再选择条件即可求出； （2）根据正弦函数的单调性即可列出式子求解. 【详解】（1）若选择条件①，则2ππω=，故可得2ω=；若选择条件②，则110m m ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，故可得m =若选择条件③，则πsin 23m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故可得2m =； 根据题意，只能选择①②或①③作为已知条件． 若选择①②，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时ππ1sin 462f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；若选择①③，则()πsin 223x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）根据（1）中所求，不论选择①②还是①③，()πsin 23f x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 又其单调性与()πsin 23h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭相同，故函数()f x 在区间[]0,a 上是增函数，可转化为()h x 在[]0,a 上是增函数． 又当[]0,x a ∈，πππ2,2333x a ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要满足题意，只需ππ232a -≤，故可得50π12a <≤，即实数a 的最大值为5π12．21．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得6k =，然后由()(1640)W xR x x =-+，将()R x 代入即可.（2）当040x <时利用二次函数的性质求解；当40x >时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以4002440216704k ⨯---⨯=，解得6k =，当040x <时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-， 当40x >时， 40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+. 所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩（2）①当040x <时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==； ②当40x >时， 40000167360x W x --=+，由于40000400001621600x x x+=， 当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元. 【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 22．已知函数()2lgxf x ax b =+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围；（3）若方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2()lg1xf x x =+，()(),10,-∞-+∞；（2）()()0,22,+∞；（3）018m ≤<．【分析】（1）由已知中函数()2lgxf x ax b=+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，我们可以构造一个关于,a b 方程组，解方程组求出,a b 的值，进而得到()f x 的表达式； （2）转化为21x t x =+，解得2tx t =-，可求出满足条件的实数t 的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于x 的分式方程组，进而根据方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当0x >时，()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．22lglg lg xxx a ax b b x -=++，即22lglg lg x x ax b a bx-=++， 即2lg lg 2x a bx x ax b+⎛⎫⋅= ⎪+⎝⎭，22x a bx x ax b +⋅=+． 整理得()()20a b x a b x ---=恒成立，∴a b =，又()10f =，即2a b +=，从而1a b ==． ∴2()lg 1xf x x =+， ∵201xx >+，∴1x <-，或0x >， ∴()f x 的定义域为()(),10,-∞-+∞．（2）方程()lg f x t =有解，即2lg lg 1xt x =+， ∴21x t x =+，∴()2x t t -=，∴2tx t =-，∴12t t<--，或02tt >-，解得2t >或02t <<， ∴实数t 的取值范围()()0,22,+∞．（3）方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅， ∴()2lglg 81x x m x =++，∴281xx m x =++， ∴()2860x m x m +++=，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程()2860x m x m +++=无解，即∆<0，得218m <<，②方程()2860x m x m +++=有解，两根均在[]1,0-内，()()286g x x m x m =+++，则()()010*******g g m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪≥⎨⎪--⎪-≤≤⎪⎩解得02m ≤≤．综合①②得实数m 的取值范围是018m ≤<．【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.。
2022-2023学年上海市崇明区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年高一上期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 函数__________．()f x =【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，.1210,2x x -≥≥2. 直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________．【答案】(){},0,0,Rx y x y y ∈【解析】【分析】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答.【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是.(){},0,0,Rx y x y y ∈故答案为：(){},0,0,Rx y x y y ∈3. 集合，，若，则_____________．{}2,3xA ={},B x y ={}3A B ⋂=A B ⋃=【答案】{}1,2,3【解析】【分析】根据交集运算得出，再由并集运算求解.,x y 【详解】若，则，，所以，所以．{}3A B ⋂=33x=3y =1x ={}1,2,3A B = 故答案为：{}1,2,34. 已知幂函数的图像经过点，则_____________．()y f x =()4,2()3f =【解析】【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答.()f x 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即，()f x x α=R α∈(4)42f α==12α=12()f x x =所以.(3)f =5. 已知方程的两个根为，则_____________．220x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理计算作答.【详解】显然方程有两个实根，它们为，则，220x x +-=12,x x 12121,2x x x x +=-=-所以．()()2212211212212x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：26. 用反证法证明命题：“设x ，．若，则或”吋，假设的内容应该是R y ∈2x y +>1x >1y >_____________．【答案】且1x ≤1y ≤【解析】【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若，则或”的结论是“或”，其否定为“且”，2x y +>1x >1y >1x >1y >1x ≤1y ≤所以假设的内容应该是：且.1x ≤1y ≤故答案为：且1x ≤1y ≤7. 已知函数在区间上是严格减函数，则实数a 的取值范围是_____________．()224f x x ax =-+[]1,2【答案】[)2,+∞【解析】【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性求解作答.【详解】函数在上是严格减函数，依题意，，()224f x x ax =-+(,]a -∞2a ≥所以实数a 的取值范围是.[)2,+∞故答案为：[)2,+∞8. 若关于x 的不等式的解集是R ，则实数k 的取值范围是______．()2140x k x +-+>【答案】(3,5)-【解析】【分析】根据不等式的解集是R ，可得，解不等式可得答案.()2140x k x +-+>2(1)440k ∆=--⨯<【详解】关于x 的不等式的解集是R ，()2140x k x +-+>则方程的判别式,解得，()2140x k x +-+=2(1)440k ∆=--⨯<35k -<<即实数k 的取值范围是，(3,5)-故答案为：(3,5)-9. 已知偶函数，，且当时，，则_____________．()y f x =x ∈R 0x ≥()3221x f x x =+-()2f -=【答案】19【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义直接计算作答.【详解】R 上的偶函数，当时，，()y f x =0x ≥()3221x f x x =+-所以.()()3222222119f f -==⨯+-=故答案为：1910. 若则的最小值为_________.log 41,a b =-a b +【答案】1【解析】【详解】试题分析：由得，log 41,a b =-104a b =>所以（当且仅当即时，等号成立）114a b b b +=+≥=14b b =12b =所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.11. 甲、乙两人解关于x 的不等式，甲写错了常数b ，得到的解集为，乙写错了常20x bx c ++<()3,2-数c ，得到的解集为．那么原不等式的解集为_____________．()3,4-【答案】()2,3-【解析】【分析】根据给定条件，求出常数，再解一元二次不等式作答.,b c 【详解】依题意，，，即，326c =-⨯=-341b -=-+=1b =-因此不等式为：，解得，20x bx c ++<260x x --<23x -<<所以原不等式的解集为．()2,3-故答案为：()2,3-12. 已知函数的定义域为D ，对于D 中任意给定的实数x ，都有，，且()y f x =()0f x >x D -∈．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．()f x -⋅()1f x =①若，则；0D ∈()01f =②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值；3x =()f x 3x =-()f x 15③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．()f x ()0,∞+()f x (),0∞-【答案】①②【解析】【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.【详解】对于①，，有，则，又，所以，①0D ∈0D -∈2[(0)](0)(0)1f f f =-⋅=(0)0f >()01f =正确；对于②，依题意，，，x D ∀∈0()(3)5f x f <≤=则，，即当时，取得最小值，②正确；x D -∈11(3)(3)()(3)()5(3)f f f x f f x f -⋅-=≥==-3x =-()f x 15对于③，，有，则，依题意，在上是严格减函数，(,0)x ∈-∞(0,)x -∈+∞1()()f x f x =-()f x -(,0)-∞因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误，1()f x -(,0)-∞()f x (,0)-∞所以3个命题中是真命题的有①②.故答案为：①②二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. a 2<－abB. |a |<|b |C. D. 11a b>1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D ，由指数函数的单调性可知选项C 正确.【详解】法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a|＝|b|，，所以1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a<0，ab <0，所以，所以一定成立，110b a a b ab --=>11a b >故选C.法二：因为a >0>b ，所以，所以一定成立，110ab >>11a b >故选：C.【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．14. 函数的零点所在的区间可以是（ ）()357f x x x =+-A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B 【解析】【分析】利用零点存在性定理，可得答案.【详解】，，，()070f =-<()115710f =+-=-<()28107110f =+-=>，，()327157350f =+-=>()464207770f =+-=>由，则函数的零点存在的区间可以是，()()120f f <()f x ()1,2故选：B.15. “”是“关于的不等式的解集为”的（）0a =x 21ax b ->∅A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系.x 21ax b ->∅a 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合x 21ax b ->∅0a =21b ->∅题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为0a >21ax b >+21b x a +>a<0，则，不符合题意；综上，21ax b >+21b x a +<a =所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.0a =x 21ax b ->∅故选：C .16. 设集合，，，{}21|10P x x ax =++>{}22|20P x x ax =++>{}21|0Q x x x b =++>其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命{}22|20Q x x x b =++>,a b ∈R 1q a 1P 2P 题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（ ）2q b 1Q 2Q A. 命题是真命题，命题是假命题1q 2q B. 命题是假命题，命题是真命题1q 2q C. 命题、都是真命题1q 2q D. 命题、都是假命题1q 2q 【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.1q 1Q 2Q 2q 【详解】由于，即时，一定成立，故是22211x ax x ax ++=+++210x ax ++>220x ax ++>1P 的子集，因此命题是真命题.2P 1q 令，；20x x b ++=114104b b ∆=-⨯⨯<⇒>令，.从而可知，当时，，此时，是的220x x b ++=44101b b ∆=-⨯⨯<⇒>1b >12Q Q R ==1Q 2Q 子集，故命题是假命题.2q 故选：A三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17. 解下列不等式：（1）；212302x x -+-≤（2）.5331x x +-≤【答案】（1）；（2）.⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ [3,1)-【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可；（2）根据分式不等式的解法，等价于，再求解即可.5331x x +-≤(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩【详解】（1）由可得： ，212302x x -+-≤20461x x ≤-+解得：，x≤x≥故解集为：⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）由化简为：，5331x x +-≤531x x +--3≤0即，等价于，261x x +-≤0(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩解得，故解集为.31x -≤<[3,1)-18. 已知全集，集合，．U =R []2,10A =-{}2B x x m =-≤（1）若，求；10m =A B （2）若，求实数m 的取值范围；A B ⋂=∅（3）若“”是“”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．x A ∈x B ∈【答案】（1）；()()212,-∞-+∞ （2）；()()212,-∞-+∞ （3）.[]0,8【解析】【分析】（1）把代入，求出集合B ，再利用并集、补集的定义求解作答.10m =（2）化简集合B ，利用交集的结果列出不等式，求解作答.（3）利用必要不充分条件的意义，结合集合的包含关系求解作答.【小问1详解】当时，，则，10m ={}[]28,12B x x m =-≤=[]2,12A B =- 所以.()()212,A B =-∞-+∞ 【小问2详解】，{}[]22,2B x x m m m =-≤=-+因为，则或，解得或，A B ⋂=∅210m ->22m +<-12m >4m <-所以m 的取值范围为．()()212,-∞-+∞ 【小问3详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则有，x A ∈x B ∈B A ⊂由（2）知，或，解得或，因此，21022m m +≤⎧⎨-+>-⎩21022m m +<⎧⎨-+≥-⎩08m <≤08m ≤<08m ≤≤所以实数m 的取值范围是.[]0,819. 设常数，函数．0a ≥()22x xaf x a +=-（1）若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；2a =()y f x =[)2,+∞（2）根据a 的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．()y f x =【答案】（1）函数在区间上是严格减函数，理由见解析()y f x =[)2,+∞（2）具体见解析【解析】【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性；()y f x =（2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可.a 【小问1详解】当，，2a =()241222x x x a f x a +==+--任取，有，所以122x x ≤<1202222x x <-<-12442222x x >--所以，()()12f x f x >所以函数在区间上是严格减函数()y f x =[)2,+∞【小问2详解】①当时，，定义域为，故函数是偶函数；0a =()()1R f x x =∈x ∈R ()y f x =②当时，，定义域为，1a =()2121x xf x +=-()(),00,∞-+∞ ，故函数为奇函数；()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---()y f x =③当且时，定义域为关于原点不对称，0a >1a ≠()()22,log log ,a a -∞+∞ 故函数既不是奇函数，也不是偶函数，()y f x =所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，0a =()y f x =1a =()y f x =0a >1a ≠函数是非奇非偶函数.()y f x =20. 某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的20%．（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案()y f x =要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条()5xf x ≤奖励方案；（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；()3030xf x =+（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研()45g x =-课题组最多可以获取多少奖金？【答案】（1）答案见解析； （2）不符合； （3）195万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答.（2）根据给定函数，逐一判断方案中的3个要求是否都满足作答.（3）根据给定的函数模型，求出a 的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答.【小问1详解】“奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，[100,1600]x ∈是的增函数；()y f x =x “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值.[10,200]y ∈【小问2详解】函数在上是增函数，，()3030x f x =+[100,1600]x ∈100250(100),(1600)33f f ==函数的值域，()f x 100250[,][10,200]33⊆由得：，解得，因此对，不成立，()5x f x ≤30305x x+≤180x ≥[100,180)x ∈()5x f x ≤即对，不等式不恒成立，[100,1600]x ∀∈()5xf x ≤所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求.()3030xf x =+【小问3详解】因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，()45g x =-()g x [100,1600]x ∈有，0a >，，解得，min ()(100)104510g x g a ==-≥max ()(1600)4045200g x g a==-≤114928a ≤≤由，不等式恒成立，得，[100,1600]x ∀∈()5x g x≤4555xa ≤⇔≤，，当且仅当，即时取等号，[10,40]30≥==225x =于是，解得，从而，530a≤6a≤1162a ≤≤因此当，时，，当且仅当且1162a ≤≤[100,1600]x ∈()4545195g x ≤-≤-=6a =时取等号，且，1600x =195200<所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金.。
2021-2022学年山东省临沂市临沂高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省临沂市临沂第四中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题“，”的否定是（ ）x ∃∈Z ()210x +≤A ．，B ．，x ∀∉Z 2(1)0x +≥x ∀∉Z 2(1)0x +<C ．，D ．，x ∀∈Z 2(1)0x +≥x ∀∈Z 2(1)0x +>【答案】D【分析】该题考查了特称命题及否定形式知识，量词要改变，结论要否定．【详解】根据特称命题的否定形式得，“，”的否定是：，，故A ，B ，C 错误.x ∃∈Z 2(1)0x +≤x ∀∈Z 2(1)0x +>故选：D ．2．已知集合，，若，则实数的值为（ ）{}2,,0A a a ={1,2}B ={}1A B ⋂=a A ．B ．01-C ．1D ．1±【答案】A 【分析】根据，得到，再由集合元素的互异性求解.{}1A B ⋂=1A ∈【详解】因为，所以，{}1A B ⋂=1A ∈又，所以且，2a a ≠0a ≠1a ≠所以，所以或（舍去），21a =1a =-1a =此时满足.{}1A B ⋂=故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念，集合中元素的互异性，属于基础题.3．“是钝角”是“是第二象限角”的（ ）ααA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，α90180α︒︒<<α当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，α451︒90180α︒︒<<所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，αα故选：A4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．B ．与y =2y x =-ln y x =22e log y x =C ．与D ．与2562x x y x ++=+3y x =+2y x =3log 9xy =【答案】D【分析】对于A ，根据两个函数的对应关系不同可知不表示同一个函数；对于B ，利用对数的性质化简函数解析式，再根据两个函数的对应关系不同可知不表示同一个函数；对于C ，根据两个函数的定义域不同可知不表示同一个函数；对于D ，利用对数的性质化简函数解析式，再根据两个函数的对应关系和定义域都相同可知表示同一个函数；【详解】对于A ，函数与函数的对应关系不同，不表示同一个函数，y 2||x =-2y x =-故A 不正确；对于B ，函数与的对应关系不同，不表示同一个函数，故B 不正确；ln y x =22e log y x =ln ||x =对于C ，函数与的定义域不同，不表示同一个函数，故C 不正确；2563(2)2x x y x x x ++==+≠-+3y x =+对于D ，函数与的定义域和对应关系都相同，表示同一函数，故D2y x =3log 9xy =23log 32x x ==正确.故选：D 5．函数的零点所在的区间为（ ）()121log f x x x=+-A ．B ．C ．D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1143⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用函数的零点存在定理判断.【详解】因为，1211131log 04444f ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭，1433112222211141161log log log 2log 3log 03333327f ⎛⎫⎛⎫=+-=-=-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1211111log 02222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭所以函数的零点所在的区间为，()121log f x x x=+-11,32⎛⎫⎪⎝⎭故选：C6．设，，则（ ）ln 2x =lg 2y =A ．B ．tan()x y xy x y ->>+tan()x y x y xy ->+>C ．D ．tan()x y xy x y +>>-tan()x y x y xy+>->【答案】D【分析】先判断的范围，利用和判断出，，再结合正切函数判,x y 11x y +11y x -x y xy +>x y xy ->断出，即可求解.()tan x y x y+>+【详解】由，可得，故0ln 2ln e 1x <=<=10lg 22y <=<=2211log e,log 10x y ==，即，，即()22211log e log 10log 10e 1x y +=+=>x y xy +>2221110log 10log e log 1e y x ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，又时，，，故，综上x y xy ->(0,)2x π∈tan x x >3022x y π<+<<()tan x y x y +>+.()tan x y x y x y xy +>+>->故选：D.7．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()y f x =3π数的图象，若，则的最小值为（ ）()y g x =()()g x g x -=ωA ．2B ．C ．3D ．5272【答案】B【分析】利用图象的变换可得，进而可得，即求.()sin 33g x x ππωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,Z 332k k πππωπ-+=+∈【详解】由题可得，又，()sin sin 3333y g x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()g x g x -=∴函数为偶函数，()y g x =∴，即，,,Z 332k k πππωπ-+=+∈13,Z2k k ω=--∈0ω>∴时，有最小值为.1k =-ω52故选：B8．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢/mol L []H +氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义/mol L []OH -1410-pH 为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为lg[]pH H +=-pH [][]OH H -+（参考数据：，）lg 20.301≈lg 30.477≈A ．5B ．7C ．9D ．10【答案】B【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与相关[]H +的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果.【详解】由题意可知，，且，lg[](7.35,7.45)pH H +=-∈14[][]10H OH +--⋅=所以，1410[][]lg lg 142lg[][][]OH H H H H --++++==--因为，所以，7.35lg[]7.45H +<-<[]lg (0.7,0.9)[]OH H -+∈，lg 6lg 2lg 30.778,lg 92lg 30.954,lg83lg 20.903=+=====分析比较可知，所以可以为7，lg 7(0.7,0.9)∈[][]OH H -+故选B.【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的的求值问题，该题属于现学现用型，在解题OH H -+⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目.二、多选题9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法{1,1,2,4},{1,2,4,16}M N =-=则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2||y x =2y x =+||2x y =2y x =【答案】CD【解析】对A,B 利用特殊值即可判断；对C ，D 利用函数的定义逐一验证即可.【详解】解：对A ，当时，，故A 错误；4x =248y N=⨯=∉对B ，当时，，故B 错误；1x =123y N =+=∉在C 中，当时，，=1x -122y N -==∈当时，，1x =122y N ==∈当时，，2x =224y N ==∈当时，，4x =4216y N ==∈即任取，总有，故C 正确；x M ∈2xy N =∈在D 中，当时，，=1x -()211y N=-=∈当时，，1x =211y N ==∈当时，，2x =224y N ==∈当时，，4x =2416y N ==∈即任取，总有，故D 正确．x M ∈2y x N =∈故选：CD ．10．已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（ ）a b 32a b=A ．B ．C ．D ．0a b <<0b a <<0a b <<0b a <<【答案】AD【分析】作出函数与函数的图像，分，两种情况求解.2xy =3xy =321a b =>321a b=<【详解】作出函数与函数的图像，如图，2xy =3xy =当时，根据图像得，故A 选项正确；321a b=>0a b <<当时，根据图像得，故D 选项正确；321a b=<0b a <<故选：AD.11．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为，圆心角为，天坛中剩余部分扇形的面积为，圆心角为，1S 1α2S 2α当与时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（ ）()12αα<1S 2S 0.618≈A．B ．1137.5α︒≈1127.5α︒≈C ．D．21)απ=-12αα=【答案】ACD【分析】理解题意，根据扇形的面积公式化简，对选项依次判断【详解】设天坛的圆形的半径为，由，故D 正确；R 211122221212R S S R αααα===由，解得，故C 正确；122ααπ+=222απ+=21)απ=，所以，0.618≈1 1.236≈21) 1.236180222.5απ︒︒=-≈⨯≈所以，故A 正确，B 错误．1360222.5137.5α︒︒︒≈-=故选：ACD 12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()1ln1xf x x -=+A ．是奇函数()f x B ．函数与坐标轴有且仅有两个交点()()cos g x f x x=-C ．函数的零点大于()()ln g x f x =25-D ．函数有且仅有4个零点()()cos h x f x =【答案】AB【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，再结合函数的性质一一分析分析即可；【详解】解：因为，所以，即，解得，即函数的定()1ln1xf x x -=+101x x ->+()()110x x +-<11x -<<义域为，且，故为奇函数，故A 正确，()1,1-()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭()f x 又在上单调递减，在定义域上单调递增，所以()12121111x x y x x x -++-===-+++()1,1-ln y x =在定义域上单调递减，则与只有一个交点，即()1ln1xf x x -=+()1,1-()y f x =cos y x =与轴有一个交点，又，所以与坐标()()cos g x f x x=-x ()()00cos 01g f =-=-()()cos g x f x x=-轴有两个交点，故B 正确；令，则，因为，所以，()()ln 0g x f x ==()1f x =()1ln 1x f x x -=+21275ln ln ln e 125315f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-==<= ⎪⎝⎭-所以函数的零点小于，故C 错误；()()ln g x f x =25-因为在定义域上单调递减，且，则令，即，解得()f x ()1,1-()00f =()()cos 0h x f x ==cos 0x =，，即函数有无数个零点，故D 错误；2x k π=+πZ k ∈()()cos h x f x =故选：AB三、填空题13．已知幂函数的图像过点，则____________．()y f x =(16)f =【答案】14【详解】试题分析：设幂函数，代入点，得，所以，所()ay f x x ==12a =-121(16)164f -==以答案应填：．14【解析】幂函数．14．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，()f x R ()()10f x f x ++=102x <<()2f x x =则__________.12343333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】19【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数()f x (0)(1)f f 、的周期性，奇偶性进行计算即可.()f x 【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，()()10f x f x ++=()(2)f x f x =+()f x 又函数是定义在上的奇函数，则；()f x R ()00f =则，，4422((2)()()3333f f f f =-=-=-()()31003f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当时，，则，102x <<()2f x x =2111()()339f ==则.1234133339f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：.1915．2020年12月4日，我国科学家宣布构建了76个光子（量子比特）的量子计算原型机“九章”．“九章”得名于我国古代的数学名著《九章算术》，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水10CD =岸齐接（如图所示）.设，则的值为__________．BAC θ=∠tan2θ【答案】23【分析】根据题意，将长度设为尺，则长度为尺，利用勾股定理求出得各边长，BC x AC 1x +ABC 得到的值，再利用二倍角公式即可求解.tan θ【详解】根据题意得，在中，，，ABC 90ABC ∠=152AB CD ==设长度为尺，则长度为尺，BC x AC ()1x +所以，即，解得，即，222AB BC AC +=()22251x x +=+12x =12BC =所以，又因为，12tan 5BC AB θ==22tan122tan 51tan 2θθθ==-所以或，2tan23θ=3tan 22θ=-因为，所以，所以.090θ<<0452θ<<2tan23θ=故答案为：.23四、双空题16．已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.【答案】 8 (4,2)-【解析】x +2y =xy 等价于1，根据基本不等式得出xy ≥8，再次利用基本不等式求出x +2y 的21x y +=最小值，进而得出m 的范围.【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ，∴1，21x y +=∴121x y =+≥∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号，∴x +2y =8(当x =2y 时，等号成立)，xy ≥∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2.故答案为：8；(﹣4，2)【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.五、解答题17．化简求值：（1）；20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）．3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1);(2)012-【分析】（1）根据指数幂的运算,化简即可.（2）由对数的运算化简即可得解.【详解】（1）根据指数幂的运算,化简20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20.52323442214339⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯÷ ⎪ ⎡⎤⎢⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎝⎢⎣⎭⎥⎦29392214416⎛⎫=-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭99922041616=-⨯-⨯=（2）由对数的运算,化简3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭()3log 2231g51g232log 3log 2-=++-⨯11g51g222=++-111222=+-=-【点睛】本题考查了分数指数幂的运算与化简,对数的运算性质的应用,属于基础题.18．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点.xOy θOx ()1,2--(1)求的值；tan 2θ(2)求的值.cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)；43-【分析】（1）利用三角函数的定义先求，再利用二倍角公式求解即可；tan θtan 2θ（2）利用三角函数的定义先求，再利用余弦两角和公式求解即可sin ,cos θθcos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：角以为始边，终边经过点θOx ()1,2--所以2tan 21θ-==-所以.222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---（2）解：角以为始边，终边经过点θOx ()1,2--所以sin θθ===所以cos cos cos sin sin (444πππθθθ⎛⎫+=⋅-⋅== ⎪⎝⎭19．已知函数是上的偶函数．2()(0)2x x a f x a a =+>R （1）解不等式；17()4f x <（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．x ()21x mf x m -≤+-(0,)+∞m 【答案】（1）；（2）.(2,2)-13m ≤-【解析】(1）先利用偶函数的定义求出，设，则不等式即为，1a =2x t =217110444t t t -+<⇒<<再解关于x 的不等式即可;(2）问题转化为在恒成立，设，(t <0) ，则在212221xx x m -≤-+(0,)+∞12x t -=111m t t ≤+-时恒成立，即可求出的取值范围.(,0)t ∈-∞m 【详解】（1）为偶函数()f x 恒成立，()()f x f x ∴-=恒成立，2222x x x x a a a a --∴+=+即恒成立，()1220x x a a -⎛⎫--= ⎪⎝⎭，，101a a a ⇒-=⇒=±0a >，1a ∴=，()21717()22221044x x x x f x -=+<⇒-⋅+<设，则不等式即为，2x t =217110444t t t -+<⇒<<，124224x x ∴<<⇒-<<所以原不等式解集为．(2,2)-（2）在上恒成立，()2221x x x m m --+≤+-(0,)+∞即：在上恒成立，22112221221x xx x x x m ----≤=+--+(0,)+∞令，则，12x t -=2221211221(1)11x x x t t m t t t t t t -≤===-+-+-++-在时恒成立，所以，(,0)t ∈-∞min 111m t t ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭又，当且仅当时等号成立，12t t +≤-1t =-则．min 11131t t ⎛⎫ ⎪≥- ⎪ ⎪+-⎝⎭所以．13m ≤-20．研究发现，在分钟的一节课中，注力指标与学生听课时间（单位：分钟）之间的函数关40p t系为.()231646,014483log 5,1440t t t p t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩(1)在上课期间的前分钟内（包括第分钟），求注意力指标的最大值；1414(2)根据专家研究，当注意力指标大于时，学生的学习效果最佳，现有一节分钟课，其核心内8040容为连续的分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间25内，学习效果均在最佳状态？【答案】(1)；(2)不能.82【解析】（1），，配方求出函数的对称轴，结合函数图像，即可求解；014t <≤216464p t t =-++（2）求出时，不等式解的区间，求出区间长度与25对比，即可得出结论.80p >【详解】（1），，014t <≤2211646(12)8244p t t t =-++=--+当时，取最大值为，12t =p 82在上课期间的前分钟内（包括第分钟），注意力指标的最大值为82；1414（2）由得，或80p >()201411282804t t <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩()3144083log 580t t <≤⎧⎨-->⎩整理得或，()2014128t t <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩()31440log 53t t <≤⎧⎨-<⎩解得或，1214t -<≤1432t <<的解为，80p>1232t -<<而，32(122025--=+<所以教师无法在学生学习效果均在最佳状态时，讲完核心内容.【点睛】本题考查函数应用问题，考查函数的最值，以及解不等式，属于中档题.21．已知函数，直线是函数f (x )的图象的一条对称2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<3x π=轴.（1）求函数f (x )的单调递增区间;（2）已知函数y =g (x )的图象是由y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若求的值.23π6(2),(0,352g ππαα+=∈sin α【答案】（1）；（222,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）首先化简函数，再根据是函数的一条对称轴，代入求，()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3x π=ω再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到，并代入后，()12cos 2g x x =6(235g πα+=得，再利用角的变换求的值.3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin α【详解】（1），()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭当时，，得，3x π=2,362k k Z πππωπ⨯+=+∈13,22k k Z ω=+∈，，01ω<< 12ω∴=即，令，()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22262k x k πππππ-+≤+≤+解得：，，22233k x k ππππ-+≤≤+Z k ∈函数的单调递增区间是；22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2），()1212sin 2cos 2362g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得，622cos 365g ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，，，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭4sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭ sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-⨯=【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，()sin y A ωx φ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，()sin y A x ϕ=+1ω()sin y A ωx φ=+若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或sin y A x ω=ϕ0ϕ>()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦.()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦22．已知函数．2()21f x ax x =-+（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；34a =()f x [1,2]（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a ，使方程在区间内有且只有一个根？12a ≤2()log 04x f x -=[1,2]若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102a <≤【解析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；34a =（Ⅱ）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和2()log 4x y f x =-[]1,22()log h x x =的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性2()23g x ax x =-+[]1,2()g x a 质，即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，34a =23()214f x x x =-+对称轴为：，43x =所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；()f x 41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦则，()()()min max 41,2033f x f f x f ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭所以在区间上的值域为；()f x [1,2]1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由，222()log 23log 4x y f x ax x x =-=-+-令，可得，0y =2223log 0ax x x -+-=即，2223log ax x x -+=令，，，2()23g x ax x =-+2()log h x x =[]1,2x ∈函数在区间内有且只有一个零点，2()log 4x y f x =-[]1,2等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；()g x ()h x []1,2①当时，在上递减，0a =()23g x x =-+[]1,2在上递增，2()log h x x =[]1,2而，()()()()1101,2112g h g h =>==-<=所以函数与的图象在内有唯一交点.()g x ()h x []1,2②当时，图象开口向下，a<0()g x 对称轴为，10x a =<在上递减，()g x []1,2在上递增，2()log h x x =[]1,2与的图象在内有唯一交点，()g x ()h x []1,2当且仅当，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩即，10411a a +≥⎧⎨-≤⎩解得，112a -≤≤所以.10a -≤<③当时，图象开口向上，102a <≤()g x 对称轴为，12x a =≥在上递减，()g x []1,2在上递增，2()log h x x =[]1,2与的图象在内有唯一交点，()g x ()h x []1,2，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩即，10411a a +≥⎧⎨-≤⎩解得，112a -≤≤所以.102a <≤综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2()log 4x y f x =-[]1,2【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.。
2022-2023学年云南省保山市文山州高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省保山市文山州高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}ln 1A x x =<{}1,0,1,2,3,4B =-A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2{}0,1,2{}1,2,3{}1,2,3,4【答案】A【分析】解对数不等式化简集合，再由交集运算即可求解.A 【详解】由得，所以，所以，ln 1x <0e x <<{}0e A x x =<<{}1,2A B = 故选：A.2．命题“，”的否定是（ ）0x ∃>sin 1x x =A ．，B ．，0x ∃>sin 1x x ≠0x ∀>sin 1x x =C ．，D ．，0x ∀>sin 1x x ≠0x ∀≤sin 1x x ≠【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，根据命题“，”的否定是“，”解决x M ∃∈()p x x M ∀∈()p x ⌝即可.【详解】由题知，命题“，”是特称命题，0x ∃>sin 1x x =于是其否定是“，”，0x ∀>sin 1x x ≠故选：C3．若，则“”是“”的（ ）0,0a b >>4a b +=4ab ≤A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的概念验证题中的命题即可得出答案.【详解】，，根据基本不等式可得，0,0a b >>4a b +=，当且仅当 时取等号242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭2a b ==“”是“”充分条件；∴4a b +=4ab ≤时，显然不一定成立，4ab ≤4a b +=“”不是“”的必要条件.∴4a b +=4ab ≤“”是“”的充分不必要条件，选项A 正确.∴4a b +=4ab ≤故选：A.4．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）()0,∞+A ．B ．C ．D ．cos y x =2y x=-1y x=y x=【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A ：为偶函数，但是在上不具有单调性，故A 错误；cos y x =()0,∞+对于B ：为偶函数，但是在上单调递减，故B 错误；2y x =-()0,∞+对于C ：为奇函数，故C 错误；1y x =对于D ：，则，所以为偶函数，()y f x x==()()f x x f x -=-=y x=且当时，则函数在上单调递增，故D 正确；0x >y x =()0,∞+故选：D5．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）()()()1,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩()1,+∞a A ．B ．C ．D ．21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,2⎛⎫⎪⎝⎭20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】根据分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，即可求得实数的取值范围.a 【详解】由题意解得，10,01,log 122,a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≥-+⎩203a <≤所以实数的取值范围是，a 20,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：C.6．已知，，，则x ，y ，z 的大小关系是（ ）lg 9x =0.13y =1ln3z =A ．B ．y x z <<z x y <<C ．D ．y z x<<x y z<<【分析】由对数、指数得运算性质，分别将与比较大小，即可得到结果.,,x y z 0,1【详解】，即；0lg1lg 9lg101x =<=<=01x <<，即；00.1133y =<=1y >，即.1ln ln103z =<=0z <故.y x z >>故选：B.7．在中,若且则（ ）ABC tan tan tan B C B C ++=sin 2B =C =A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°【答案】C【分析】根据利用两角和的正切公式可得,即可得tan tan tan B C B C +60B C +=,根据的范围可得,进而可求得.120A = sin 2B =B 30B = 30C =【详解】解:因为tan tan tan B C B C ++=所以,)tan tan 1tan tan B C B C +=-即()tan tan tan 1tan tan B CB C B C ++==-因为B ,C 为的内角,所以,即,ABC 60B C += 120A =所以,,因为所以,060B <<02120B <<sin 2B =260B = 即,所以.30B = 30C =故选:C8．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为，通13()0k k >过x 块这样的普通玻璃后紫外线为y ，则，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃()*0.9x y k x N =⋅∈同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（ ）（参考数据：）lg 30.477≈A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，利用30.9(0)x k k k ⋅<>10.93x <110.913x g g<对数的运算性质可得选项.【详解】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，因为30.9(0)x k k k ⋅<>10.93x <110.913x g g<，所以，则至少通过11块玻璃.lg 0.90<11130.477310.37lg 0.92lg 310.046gg x -->=≈≈--故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若，则,a b ∈R 2ab ba+≥B ．若，，则0a b >>0m n >>b b ma a n +<+C ．若，则a b>22a b>D ．若，，则a b >c d >22a c b d ->-【答案】BC【分析】当，异号时即可判断A ；利用作差法得，再根据题意判断a b ()b m b ma nba n a a n a+--=++的符号即可判断B ；根据，两边平方后不等式也成立即可判断C ；利用特殊值法ma nb -0a b >≥即可判断D ．【详解】对于A ，，异号时，不等式不成立，故A 错误；a b 对于B ，由，()()()()b m a b a n b m b ma nba n a a n a a n a+-++--==+++又，，所以，即，故B 正确；0a b >>0m n >>0ma nb ->b b ma a n +<+对于C ，由，所以，故C 正确；a b >≥22a b >对于D ，，，，，则，，不满足，故D 错2a =1b =1c =0d =20a c -=21b d -=22a c b d ->-误．故选：BC ．10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．，，2A =2ω=π3ϕ=B ．函数的图象关于坐标原点对称π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数的图象关于直线对称()f x 17π12x =-D ．函数在上的值域为()f x ππ,124⎛⎤- ⎥⎝⎦(]1,2【答案】ABC【分析】最值求，周期求，特殊点求，观察图像找出特征值即可求出函数，后根据A ωϕ()f x 的性质可作出判断.()f x 【详解】A 选项：由图象知；2A =设的最小正周期为T ，，所以得，()f x 7ππ3π3T 12644⎛⎫--== ⎪⎝⎭2πT πω==2ω=当时，函数取得最小值，则，7π12x =()f x ()7ππ22π122k k ϕ⨯+=-∈Z 即，又，()52ππ3k k ϕ=-∈Z π2ϕ<则当时，符合题意．所以，，，所以A 正确．1k =π3ϕ=2A =2ω=π3ϕ=B 选项：为奇函数，所以B 正确．πππ2sin 22sin 2663f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C 选项：令，解得，()ππ2π32x k k Z +=+∈()ππ212k x k Z =+∈所以函数图象的对称轴方程为，当时，，所以C 正确．()f x ()ππZ 212k x k =+∈3k =-17π12x =-D 选项：因为，，，ππ,124x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦ππ2,62x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦ππ5π2,366x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦所以，所以，所以D 不正确．π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]1,2f x ∈故选：ABC11．已知函数，下列说法正确的是（ ）2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩A ．((0))3f f =B ．函数的值域为()y f x =[2,)+∞C ．函数的单调递增区间为()y f x =[0,)+∞D ．设，若关于x 的不等式在R 上恒成立，则a 的取值范围是a R ∈()2xf x a ≥+[2,2]-【答案】ABD【解析】作出函数的图象，先计算，然后计算，判断A ，根据图象判断BC ，而()f x (0)f ((0))f f利用参变分离可判断D ．【详解】画出函数图象.如图，()f xA 项，，，(0)2f =((0))(2)3f f f ==B 项，由图象易知，值域为[2,)+∞C 项，有图象易知，区间内函数不单调[0,)+∞D 项，当时，恒成立，1x ≥22xx a x +≥+所以即在上恒成立，222x x a x x x --≤+≤+32222x x a x x --≤≤+[)1,+∞由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，222x x +≥2x =，当且仅当时等号成立，322x x +≥x =所以.2a -≤≤当时，恒成立，所以在上恒成立，1x <22x x a +≥+222x x a x --≤+≤+(),1∞-即在上恒成立2222x xx a x ---≤≤+-(),1∞-令，()32,02222,012x x x g x x xx ⎧-+≤⎪⎪=+-=⎨⎪+<<⎪⎩当时，，当时，，故；0x ≤()2g x ≥01x <<()322g x <<()min 2g x =令，()12,022322,012x x x h x x xx ⎧-≤⎪⎪=---=⎨⎪--<<⎪⎩当时，，当时，，故；0x ≤()2h x ≤-01x <<()722h x -<<-()max 2h x =-所以.22a -≤≤故在R 上恒成立时，有.()2x f x a ≥+22a -≤≤故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．12．设，用表示不超过的最大整数（例如：，，已知函数x ∈R []x x []2.83-=-[]2.52=，，下列结论中正确的是（ ）()sin sin f x x x =+()()x f x ϕ⎡⎤=⎣⎦A ．函数是周期函数()x ϕB ．函数的图象关于直线对称()x ϕπ2x =C ．函数的值域是()x ϕ{}0,1,2D ．函数只有一个零点()()π2g x x xϕ=-【答案】CD【分析】首先判断函数的性质，奇偶性和周期性，对的取值范围讨论，进而得出函数()f x x的解析式并且画出的图象，由的图象分别对选项ABC 进行判断，对于D()()x f x ϕ⎡⎤=⎣⎦()x ϕ()x ϕ选项，函数的零点个数可由与函数交点个数确定.()()π2g x x x ϕ=-2πy x=()y x ϕ=【详解】∵，，()sin sin f x x x=+x ∈R ∴，()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=∴函数为偶函数，()sin sin f x x x =+不是周期函数，是周期函数.sin y x =sin y x=对于，当，时，.0x ≥2π2ππk x k ≤≤+k ∈Z ()2sin f x x =当，时，，2ππ2π2πk x k +<<+k ∈Z ()0f x =∴当时，0x ≥()()π2,2π,Z 2π5π0,2π2π,2π2π2π,Z,66π5ππ1,2π2π,2π,Z 662x k k x f x k x k k x k k k x k x k k ϕ⎧=+∈⎪⎪⎪⎡⎤==≤<++<<+∈⎨⎣⎦⎪⎪+≤≤+≠+∈⎪⎩由函数为偶函数，可得的图象如图所示，()sin sin f x x x=+()x ϕ由图易知函数不是周期函数，所以A 错误；()x ϕ∵，，ππ222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π02ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭∴函数的图象不关于直线对称，故B 错误；()x ϕπ2x =由上述可知函数的值域是，故C 正确；()x ϕ{}0,1,2由可得，()()π02g x x x ϕ=-=()2πx x ϕ=当时，，；20πx =0x =()00ϕ=当时，，；21πx =π2x =π22ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，，，22πx =πx =()π0ϕ=故直线与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，故D 正确.2πy x =()y x ϕ=()()π2g x x x ϕ=-故选：CD.三、填空题13．已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边过点，则α()43P ,-______.sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225【分析】根据角终边过点，可求出角三角函数值，再利用正弦和余弦的和差角公式，α()43P ,-α以及同角三角函数的平方关系，即可求出结果.【详解】∵的终边过点，α()43P ,-∴，（三角函数的概念），3sin 5α=4cos 5=-α∴11sin cos cos sin 6622ππαααααα⎫⎛⎫⎛⎫+-=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，)2212sin cos sin cos 25αααα=++=-.122514．已知，则___________.tan 3α=sin cos 2sin cos αααα=-【答案】65-【分析】首先利用二倍角公式化简，再变形为的齐次分式形式，用表示，代入即可sin ,cos ααtan α求解.【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin sin cos sin cos αααααααααααα-==-+--.()222222sin cos sin tan tan 336sin cos tan 1315αααααααα+++=-=-=-=-+++故答案为：65-15．已知，，则______.lg5a =104b =22a ab b ++=【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化及对数运算法则计算作答.【详解】因，则，又，104b=lg42lg2b ==lg5a =所以.22(2)lg5(2lg52lg2)2lg22(lg5lg2)lg52lg2a ab b a a b b ++=++=⋅++=+⋅+2lg52lg22=+=故答案为：2四、双空题16．已知函数满足，则_________；若函数()f x ()()226412f x f x x x +-=-+()f x =，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是_________.()2816g x x x m=+-[]3,3x ∈-()()f xg x ≥m 【答案】 2244x x ++[)86,+∞【分析】将原式中的代换成，再消去即可得到的解析式；若对任意，x x -()f x -()f x []3,3x ∈-恒成立，利用参变分离，得到，转化为，即可求()()f xg x ≥26124m x x ≥+-()2max 6124m x x ≥+-得实数的取值范围.m 【详解】由知，()()226412f x f x x x +-=-+将原式中的代换成得x x -()()226412f x f x x x -+=++，消去得；()()()()222641226412f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩()f x -()2244f x x x =++由，得，()()f xg x ≥22244816x x x x m ++≥+-即对任意，恒成立，26124m x x ≥+-[]3,3x ∈-∴，()2max6124m x x ≥+-当时，取得最大值86.3x =26124x x +-∴实数的取值范围为.m [)86,+∞故答案为：；2244x x ++[)86,+∞五、解答题17．已知集合，.()(){}110A x x a x a =-+--<{}1139x B x -=≤≤(1)若，求；1a =A B ⋃(2)若是的必要不充分条件，求实数的值.x B ∈x A ∈a 【答案】(1){}03A B x x ⋃=<≤(2)2【分析】（1）将代入集合，解不等式求出集合与集合，再求并集即可；1a =A A B （2）由是的必要不充分条件确定集合是集合的真子集，由此求实数的值即可.x B ∈x A ∈A B a 【详解】（1）∵不等式等价于，且函数在上单调递增，1139x -≤≤012333x -≤≤3xy =R ∴，即，∴，012x ≤-≤13x ≤≤{}{}113913x B x x x -=≤≤=≤≤若，则，1a =(){}{}2002A x x x x x =-<=<<∴.{}03A B x x ⋃=<≤（2）不等式即，()()110x a x a -+--<()()110x a x a ---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵，∴解得，11a a -<+11a x a -<<+∴，()(){}{}11011A x x a x a x a x a =-+--<=-<<+由（1）知，{}13B x x =≤≤若是的必要不充分条件，即，，x B ∈x A ∈x B ∈ x A ∈x A ∈⇒x B ∈∴集合是集合的真子集，A B ∴，即，1311a a +≤⎧⎨-≥⎩22a a ≤⎧⎨≥⎩∴.2a =18．已知函数.()222sin sin 63f x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求的单调递增区间；()f x(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程()f x 3π()y g x =x在上有四个根，从小到大依次为，求的()g x 7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1234x x x x <<<123422x x x x +++值.【答案】(1)()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (2).92π【分析】（1）根据三角函数的诱导公、二倍角公式以及差角公式，整理函数，利用辅助角公式，化简为单角三角函数，结合整体思想，建立不等式，可得答案；（2）根据函数变换，写出新函数解析式，利用其对称性，可得答案.【详解】（1）()222sin cos 623f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦))2sin cos cos 21sin 2cos 21663x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭令，解得，()222232k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z 51212k x k ππππ-+≤≤+所以的单调递增区间为.()f x ()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）由题意知：∴，()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()23y g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为和是在上的对称轴，512x π=1112π=x sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由对称性可知：，，1256x x π+=34116x x π+=所以.12349222x x x x π+++=19．已知函数（）.()21log 3f x ax a x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭0a ≥(1)当时，解关于的不等式：；0a =x ()2f x >(2)若在时都有意义，求实数的取值范围.()f x 0x >a【答案】(1)107x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2).{}1a a >【分析】（1）由时得到，再根据结合对数函数的单调性得到0a =()21log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2f x >，即可求解.130134x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（2）根据对数函数的定义域，得到在时都有意义，转化为在时()f x 0x >()2310ax a x +-+>0x >恒成立，分离参数得到在时恒成立，构造函数令（），22313111x x x a x x x -->=++0x >()23111x x g x x -=+0x >则只需即可，利用换元法令，得到，结合基本()maxa g x >10t x =>()()2341511t t h t t t t -==-+-+++不等式即可求解.【详解】（1）当时，，0a =()21log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为在上单调递增，且，2log y x =()0,∞+2log 42=由得，解得：，()2f x >130134x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩107x <<即不等式解集为.107x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）在时都有意义，即在上恒成立，()f x 0x >130ax a x ++->0x >即在时恒成立，()2310ax a x +-+>0x >即在时恒成立，22313111x x x a x x x -->=++0x >令，，则只需即可，()23111x x g x x -=+0x >()max a g x >令，，10t x =>()()2341511t t h t t t t -==-+-+++∵，，0t >()4141t t ++≥=+当且仅当，，且，即时等号成立，411t t +=+0t >1t =∴，()()44151545111h t t t t t ⎛⎫=-+-+=-+++≤-+= ⎪++⎝⎭∴，即最大值为1，()1g x ≤()g x ∴，1a >∴的取值范围为.a {}1a a >20．已知函数，.()124212x x x a a f x +-⋅++=a ∈R (1)判断是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；()f x (2)若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围.()f x []1,3x ∈a 【答案】(1)没有，理由见解析(2)a ≤≤【分析】（1）将问题转化为是否有解，设，判断在124210x x a a +-⋅++=2xt =22210t at a -++=时是否有解即可；0t >（2）设，利用在上为单调递增函数得恒成立，常数分离后1213x x ≤<≤()f x []1,3x ∈12211022x x a +->得的取值范围.a 【详解】（1）设有零点，则方程有解，即有解，()f x ()0f x =124210x x a a +-⋅++=设，，得（*），2xt =0t >22210t at a -++=，（*）方程无正解，()224410a a ∆=-+<所以没有零点.()f x （2），()12242112222x x xx x a a a f x a+-⋅+++==++设，恒成立，1213x x ≤<≤()()210f x f x ->，()()()2121211222221111222212222x x x x x x x x a a a f x f x ⎛⎫+++-=+--=-- ⎪⎝⎭因为，所以恒成立，21220x x ->12211022x x a +->所以恒成立，112221222x x x x a +=+<又，12121326x x x x ≤<≤⇒<+<所以，214+≤a 所以的取值范围为.a a ≤≤21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >()ln f x x x=+(1)求的解析式；()f x (2)若正数m ，n 满足，求的最大值.22ln ln m m n n +=+n m -【答案】(1)()()ln ,0,0,0,ln ,0.x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩(2).14【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求出函数解析式；（2）根据题意，由（1）得，利用函数的单调性得，则()()2f m f n =20m n =>，结合二次函数的性质即可求解.21124n m n ⎛⎫-=--+⎪⎝⎭【详解】（1）当时，则，，0x <0x ->()()ln f x x x -=-+-函数是定义在上的奇函数，，()f x R ()()f x f x =--所以，当时，当时，0x <()()ln f x x x =--0x =()0f x =.()ln ,00,0ln(),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩（2）因为，22ln ln m m n n +=+由都为正数，得，,m n ()()2f m f n =设，则，120x x <<1111212122()()ln ln ()lnx f x f x x x x x x x x -=-+-=-+因为，所以，11220,lnln10x x x x -<<=11()()0f x f x -<故为单调递增的函数，()ln f x x x=+所以，，20m n =>221124n m n n n ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭当且仅当时，求得最大值.12n =n m -1422．已知定义在上的函数,满足,且当时,.()0,∞+()f x ()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1x >()0f x >(1)讨论函数的单调性,并说明理由;()f x (2)若,解不等式.()21f =()()333f x f x +->【答案】(1)在上单调递增,理由见解析()f x ()0,∞+(2)30,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)取,利用单调性的定义,进行取值,作差,变形,定号,结论即可得出结果;21,m x n x ==(2)先根据,求得,再利用抽象函数的式子化为,根据(1)中的单调性结()21f =()83f =()383x f f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭论,列出不等式,解出即可.【详解】（1）解:在上单调递增,理由如下:()f x ()0,∞+因为定义域为,()f x ()0,∞+不妨取任意,且,则,()12,0,x x ∈+∞12x x <211x x >由题意,即,()()22110x f f x f x x⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()21f x f x >所以在上单调递增.()f x ()0,∞+（2）因为,令,由可得:,0m n ≠mnm n =()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()()mn f m f f mn f n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭即,()()()f mn f m f n =+由,可得,()21f =()()()4222f f f =+=令,,4m =2n =则,()()()8423f f f =+=所以不等式,()()333f x f x +->即,即,()()()338f x f x f +->()383x f f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭由(1)可知在定义域内单调递增,()f x 所以只需,解得,3030383x x x x ⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪>⎩0323x <<所以不等式的解集为.()()333f x f x +->30,23⎛⎫⎪⎝⎭。
2022-2023学年安徽省阜阳市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省阜阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则1}{0|A x x -≥={0,1,2}B =A B = A ．B ．C ．D ．{0}{1}{1,2}{0,1,2}【答案】C【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．【详解】解：由集合A 得,x 1≥所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．2．已知存在量词命题，，则命题的否定是（ ）:p x ∃∈R 210x +≤p A ．，B ．，x ∃∈R 210x +>x ∀∈R 210x +>C ．，D ．，x ∃∈R 210x +≤x ∀∈R 210x +≥【答案】B【分析】根据特称命题的否定形式书写即可.【详解】因为命题，，:p x ∃∈R 210x +≤则命题的否定为：，p R,210x x ∀∈+>故选：.B 3．下列函数中，周期为的是（ ）2πA ．y ＝sinB ．y ＝sin2x 2xC ．y ＝cosD ．y ＝cos(－4x )4x【答案】D【解析】根据周期公式求解即可.【详解】根据公式2T ωπ=的周期为，故A 错误；sin2xy =4T π=的周期为，故B 错误；sin 2y x =T π=的周期为，故C 错误；cos4xy =8T π=的周期为，故D 正确；cos(4)y x =-2T π=故选：D【点睛】本题主要考查了求正弦型函数和余弦型函数的周期，属于基础题.4．已知，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）1.42.25log 0.6,3,0.9a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<c<a<b b<c<a【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，即，，即，，即55log 0.6log 10<=a<0 1.41333>=3b >202.100.90.9<<=，所以01c <<b c a>>故选：B 5．函数的零点所在的一个区间是（ ）()()3log 21+f x x x =+-A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】A【解析】将选项中区间的端点代入运算，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】解：因为函数，所以，()()3log 21f x x =+-3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)+111>0f =+-=所以，(0)(1)0f f <根据零点存在性定理，函数的零点所在的一个区间是，3()log (2)1f x x x =++-(0,1)故选：A.6．函数的部分图像大致为（ ）()2sin 1xf x x =+A ．B ．C．D ．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性和特殊区间的函数值确定正确选项.【详解】的定义域为，，所以为奇函数，排除AB 选项.()f x R ()()2sin 1xf x f x x --==-+()f x 当时，，，由此排除C 选项.()0,x π∈sin 0x >()0f x >故选：D7．医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x (单位：)与给药时间t (单位：)近似满足函数关系式mg h ，其中，k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当()01kt k x e k -=-0k mg /h 时，，则该药物的消除速率k 的值约为()（ ）23t =02k x k =ln 20.69≈A ．B ．C ．D ．31003101031003【答案】A【解析】将，代入，得到，再解方程即可.23t =02k x k =()01kt kx e k -=-2312ke -=【详解】由题知：将，代入，23t =02k x k =()01kt k x e k -=-得：，化简得.()230012k k k e k k -=-2312ke -=即，解得.1ln232k=-ln 20.6932323100k =≈=故选：A8．已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ）0a >1a ≠3,2()log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩a A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭()1,+∞()1,2(]1,2【答案】D【分析】首先求出当时，的取值范围，再根据对数函数的单调性求出的值域，结合2x ≤()f x 2x >分段函数的值域即可求解.【详解】由函数，3,2()log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩当时，，2x ≤()3321f x x =-≥-=当时，，若时，2x >()log a f x x=01a <<函数单调递减，所以，()log log 20a a f x x =<<若时，函数单调递增，所以，1a >()log log 2a a f x x =>又因为分段函数的值域为[1，+∞），所以，，1a >log 21log a a a ≥=所以.12a <≤所以的取值范围是.a (]1,2故选：D二、多选题9．下列关系式正确的是（ ）A ．B ．{0}∅∈{2}{1,2}⊆CD ．⊆Q 0∈Z【答案】BD【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断可得答案.【详解】对于A 选项，由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，∈∅{0}∅⊆A 错误；对于B 选项，根据子集的定义可知，B 正确；{2}{1,2}⊆对于C 选项，由于符号用于集合与集合间，C 错误； ⊆对于D 选项，是整数集，所以正确.Z 0∈Z 故选：BD.10．已知，则下列不等式成立的是（ ）01a b <<<A ．B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ln a b>C ．D ．11a b >11ln ln a b>【答案】ACD【解析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解：因为，为减函数，01a b <<<1()2xy =所以，1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，为增函数，01a b <<<ln y x =所以，ln ln 0a b <<又因为在区间上为减函数，在区间上也为减函数，1y x =(),0∞-()0,∞+所以，同理可得，，11ln ln a b >11a b >故选：ACD【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.11．已知，且，则下列结果正确的是（ ）1sin cos 8αα=ππ42α<<A ．B ．sin cos αα+=cos sin αα-=C ．D ．cos sin αα-=tan 4α=【答案】ACD【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】因为，()2225sin cos sin cos 2sin cos 4αααααα+=++=且，所以所以ππ42α<<sin cos 0,αα+>sin cos αα+=故A 正确；，()2223cos sin cos sin 2sin cos 4αααααα-=+-=且，所以所以，ππ42α<<sin cos αα>cos sin αα-=B 错误，C 正确；联立sin cos cos sin αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D正确；sin tan 4cos ααα==+故选:ACD.12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．23πϕ=-B ．函数图象的对称轴为直线()f x ()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象()fx 3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()f x 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C 选项的正误；()2232x k k πππ-=+∈Z 由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D 选项的正误.2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦223x π-a 【详解】对于A 选项，由图可知，2A =设函数的最小正周期为，则，，，则()f x T 73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭T π∴=22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ=+由得，解得，772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()7262k k ππϕπ+=+∈Z ()223k k πϕπ=-+∈Z 又，，，A 正确；ϕπ<23πϕ∴=-()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于B 选项，由，得，B 正确；()2232x k k πππ-=+∈Z ()7212k x k ππ=+∈Z 对于C 选项，将函数的图象向左平移个单位长度，()f x 3π得的图象，C 错误；()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D 选项，由得，2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，2sin y t =()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣则，解得，D 正确.3272233a πππ≤-≤133122a ππ≤≤故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：()()sin f x A x bωϕ=++（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ三、填空题13．已知一个扇形的面积为，圆心角为，则其半径为___________.π3π6【答案】2【分析】利用扇形面积公式即可求得该扇形的半径【详解】扇形的面积为，圆心角，设其半径为r,π3S =π6α=则由，可得21122S lr r α==2r ====故答案为：214．已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．:1p x >3x <-:q x a >qp a 【答案】[)1,+∞【分析】依题意可得推得出，推不出，即可求出参数的取值范围；qp p q【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，qp qp p q又或，，:1p x >3x <-:q x a >所以，即；1a ≥[)1,a ∈+∞故答案为：[)1,+∞15．已知函数（且）恒过定点，且满足，其中()log 11a y x =-+0a >1a ≠()00,A x y 001mx ny +=m ，n 是正实数，则的最小值__________．21m n +【答案】9【分析】根据对数函数的性质确定定点坐标，结合基本不等式“1”的妙用求最值即可.【详解】解：函数，当时，，所以函数恒过定点，()log 11a y x =-+2x =1y =()2,1A 所以，其中m ，n 是正实数，21m n +=所以，当且仅当时，即()21212224159n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭22n m m n =时等号成立，13m n ==则的最小值为.21m n +9故答案为：.916．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是3(2)1()21(2)x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩()()=-g x f x k k _______【答案】()0,1【分析】画出函数图象，将问题转化为函数与有个交点，数形结合即可得解.()y f x =y k =3【详解】解：由函数，可得函数图象如下所示：3(2)1()21(2)x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩令，则，即与有个交点，()()0g x f x k =-=()f x k =()y f x =y k =3由图可知，实数的取值范围是．k ()0,1故答案为：()0,1四、解答题17．（1）计算；25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭（2）求值：．()23227lg4lg250.528-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）．052-【分析】（1）根据诱导公式及特殊角的三角函数值即得；（2）根据对数及指数的运算法则运算即得.【详解】（1）原式；π4π3π1π11sincos tan cos 106342322=-+=+-=-=（2）原式.()()2332395lg 4252222242⎡⎤⎛⎫=⨯--⨯=-⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．已知角满足αsin cos αα-=(1)若角是第一象限角，求的值；αtan α(2)若角是第三象限角，，求的值.α()()()()()sin πtan 5πcos π3πtan 2πcos 2f αααααα-++=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f α【答案】(1)12(2)()f α=【分析】（1）利用同角三角函数基本关系先求得的值，进而求得的值；cos ,sin ααtan α（2）先利用三角函数诱导公式化简，进而求得的值.()f α()f α【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，22sin cos sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩消去得，sinα25cos 20αα-=解得cos α=cosα=又角是第一象限角，则．α1cos tan 2ααα==（2）因为角是第三象限角，所以αcos α=，()()()()()sin πtan 5πcos π3πtan 2πcos 2f αααααα-++=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin tan cos cos tan sin αααααα--==--所以()f α=19．若定义在上的函数为奇函数.[]1,1-()141x f x a =++（1）求的值；a （2）判断的单调性（无需证明），并求的解集.()f x ()()1f m f m -<【答案】（1）；（2）12a =-10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用奇函数的性质，求后，再验证；()00f =a （2）利用函数的定义域和单调性，解抽象不等式.【详解】（1）因为函数是定义在的奇函数，所以，[]1,1-()1002f a =+=得，12a =-此时，，()11241xf x =-++()1114241214x x x f x --=-+=-+++，满足函数是奇函数，所以成立；()()0f x f x -+=12a =-（2）是减函数，()11241xf x =-++所以，解得：，111111m m m m -≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩102m ≤<所以不等式的解集是()()1f m f m -<10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．已知函数的最小正周期为.()π2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭π(1)求的值；π6f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)求函数的单调递减区间：()f x (3)若，求的最值.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π16f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)最大值为3，最小值为1+【分析】（1）由最小正周期，求得，得到，再求；ω()f x 6f π⎛⎫⎪⎝⎭（2）整体代入法求函数的单调递减区间；（3）由的取值范围，得到的取值范围，可确定最值点，算出最值.x π23x +【详解】（1）由最小正周期公式得：，故，2ππω=2ω=所以，所以.()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πππ2sin 211663f ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）令，解得，ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈故函数的单调递减区间是.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）因为，所以，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当，即时，的最大值为3，ππ232x +=π12x =()f x 当，即时，的最小值为.π4π233x+=π2x =()f x 121．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本为万元，且.()P x 322128,1100100()()175,100300x x x x P x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=∈⎨⎪++>⎪⎩N (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台机器人?(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落n 袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量为（单位：()8(50),12551000,25n n n q n n ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1000件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少?【答案】(1)使每台机器人的平均成本最低，问应买150台机器人(2)引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少155人【分析】（1）由题意，整理每台机器人的平均成本的函数解析式，利用二次函数的性质以及基本不等式，比较大小，可得答案；（2）根据每台机器人的日平均分拣量的函数，根据二次函数的性质，求得最值，进而求得引进机器人直线，所需人数，可得答案.【详解】（1）由题意，每台机器人的平均成本，()()2128,1100100,N 1751,100300x x x P x y x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪==∈⎨⎪++>⎪⎩当时，，易知该开口向上的二次函数的对称轴为直线，则此时，1100≤≤x 2128100y x x =-+50x =当时，；50x =2min 15050283100y =⨯-+=当时，，当且仅当，即时，等号成立；100x >175112300y x x =++≥+=175300x x =150x =由，则使每台机器人的平均成本最低，问应买150台机器人.32>（2）当时，，；令 易知该开口向下的二次125n ≤≤()()288508055q n n n n n =-=-+28805y x x=-+函数的对称轴为直线，则此时，当时，8025825x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭25n =，()()max 825502512005q n =⨯⨯-=由，则在上的最大值为，此时，即引进机器人后，日平均分拣12001000>()q n *N n ∈120025n =量的最大值为（件）.1501200180000⨯=（人），（人）.1800001000180÷=18025155-=故引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少155人.22．已知函数．()2442f x x mx m =-++(1)若的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标分别为，，求的取值范围；()f x 1x 2x 2212x x +(2)若在上是减函数，且对任意的，，总有()2442f x x mx m =-++(],1-∞1x []22,1x m ∈-+成立，求实数m 的取值范围．()()1264f x f x -≤【答案】(1)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)‒12≤m ≤4【分析】（1）求得的范围，利用韦达定理代入，然后配方求得答0∆>m ()2221212122x x x x x x +=+-案；（2）在上是减函数求得的范围，转化为，求出、()f x (],1-∞m ()()max min 64f x f x -≤()max f x ，然后解不等式可得答案．()minf x 【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，，24420x mx m -++=1x 2x 由韦达定理得，，12x x m +=1224m x x +=所以，解得或，()()244420m m ∆=--⨯+>m>21m <-，()22222121212211722416m x x x x x x m m +⎛⎫+=+-=-=--⎪⎝⎭令，()2117416m g m ⎛⎫--⎪⎝⎭=则当时，，当时，，m>2()211722416g m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭>1m <-()2117114162g m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭>所以，所以，即的取值范围为．()12g m >221212x x +>2212x x +1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）函数图象的对称轴为直线，在上是减函数，()2442f x x mx m =-++2mx =()f x (],1-∞所以有，即，12m ≥2m ≥又因为对任意的，，总有，1x []22,1x m ∈-+()()()()12max min f x f x f x f x -≤-要使成立，则必有，()()1264f x f x -≤()()max min 64f x f x -≤在区间上，在上单调递减，在上单调递增，[]2,1m -+()f x 2,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,12m m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦又，所以，，()1222m m m +-<--()()max 2918f x f m =-=+()2min 22m f x f m m ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭所以有，即，解得，()2918264m m m +--++≤28480m m +-≤124m -≤≤综上，实数m 的取值范围是．‒12≤m ≤4。
2021-2022学年宁夏石嘴山市高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年宁夏石嘴山市第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．若cos 0α>，sin 0α<，则角α的终边在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【详解】本题考查三角函数的性质．由cos 0α>知角α可能在第一、四象限；由sin 0α<知角α可能在第三、四象限； 综上得角α的终边在箱四象限 故正确答案为D 2．已知73cos()6π-=（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】D【分析】利用诱导公式对式子进行化简，转化为特殊角的三角函数，即可得到答案；【详解】7373cos cos cos 12cos 6666πππππ⎛⎫⎛⎫-==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D3．等边三角形ABC 的边长为1，,,AB a BC b ==则a b ⋅=（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【分析】直接利用向量的数量积定义进行运算，即可得到答案； 【详解】2111cos32a b π⋅=⋅⋅=-， 故选：A4．已知向量()1,2a =-，(),4b m =，且//a b ，那么m =（ ） A ．2 B ．-2C ．6D ．-6【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m 的方程，解得答案. 【详解】由向量()1,2a =-，(),4b m =，且//a b ，5．集合{α|k ·180°＋45°≤α≤k ·180°＋90°,k ∈Z }中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用赋值法来求得正确答案.【详解】当k ＝2n ，n ∈Z 时,n ⋅360°＋45°≤α≤n ⋅360°＋90°，n ∈Z ； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ⋅360°＋225°≤α≤n ⋅360°＋270°，n ∈Z . 故选：C6．已知()()122,1,0,5P P -且点P 在12PP 的延长线上，122PPPP =，则P 的坐标为（ ） A ．(2,7)- B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,11)-【答案】D【分析】设出P 点的坐标，根据122PP P P =列式，根据向量的坐标运算，求得P 点的坐标.【详解】设(),P x y ，依题意得122PP P P =，即()()()2,12,52,210x y x y x y -+=-=-，故221210x xy y -=⎧⎨+=-⎩，解得2,11x y =-=，所以()2,11P -.故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7．已知tan 2α=，求cos sin cos sin αααα-+的值（ ）A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系，即可得到答案； 【详解】cos sin 1tan 1cos sin 1tan 3αααααα--==-++，故选：A8．将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为【分析】把原函数解析式中的x 换成6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到的图象，再把x 的系数变成原来的12倍，即得所求函数的解析式. 【详解】将函数的图象先向左平移6π，得到的图象，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.故选：C9．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则PQ 的最大值是 ( ) A 2B ．2 C ．4 D 2【答案】B【详解】()cos cos ,sin sin PQ βαβα=--,则PQ ()()()22cos cos sin sin 22cos βαβααβ=-+---则PQ 的最大值是2,故选B.10．y ＝sin(2x-3π)－sin2x 的一个单调递增区间是 A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．513,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【详解】1313sin(2)sin 2sin 22sin 2sin 22322y x x x x x x xπ=--=-=-sin(2)3x π=-+，由3222232k x k πππππ+≤+≤+，得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，0k =时，为71212x ππ≤≤，故选B ． 11．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0>ω，2πϕ<，则（ ）A ．4A =B ．1ω=C ．6π=ϕ D ．4B【答案】C【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A 和B ，然后利用图象求得函数的周期，求得ω，最后根据6x π=时取最大值，求得ϕ．【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得40A B A B +=⎧⎨-=⎩求得2,2A B ==函数的周期为54126πππ⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，即2,2ππωω== 当6x π=时取最大值，即sin 21,22662k πππϕϕπ⎛⎫⨯+=⨯+=+ ⎪⎝⎭26ππϕϕ<∴=故选C ．【点睛】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12．已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，设2()4sin cos ()cos 242Bf B B B π=⋅-+，若()2f B m -<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．3m >-C ．3m <D ．1m【答案】D【详解】试题分析：先化简2()4sin cos ()cos 242Bf B B B π=⋅-+1cos 24sin cos 22B B B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅+ 12sin B =+，因为()2f B m -<恒成立，所以()2m f B >-恒成立，即2sin 1m B >-恒成立，所以1m ，故选D.【解析】三角函数二倍角公式、降次公式；13．已知1a =，2b =，向量a 与b 的夹角为3π，则⋅=a b ________． 【答案】1【详解】试题分析：由于cos ,12cos 13a b a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=.【解析】平面向量数量积；14．已知向量(1,2)OA =-，(3,)OB m =，OA AB ⊥，则m =_____. 【答案】4【分析】先根据向量的减法运算求得AB ,再根据向量垂直的坐标表示,可得关于m 的方程,解方程即可求得m 的值.【详解】因为向量(1,2)OA =-，(3,)OB m =， 所以()()()3,1,24,2AB OB OA m m =-=--=- OA AB ⊥则0OA AB ⋅=即()14220m -⨯+⨯-= 解得4m = 故答案为: 4【点睛】本题考查了向量垂直的坐标关系,属于基础题. 15．求值：1tan151tan15+︒=-︒__________．【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒-︒-︒⋅︒16．给出下列四个命题：①函数y ＝2sin(2x －3π)的一条对称轴是x ＝512π；②函数y ＝tan x 的图象关于点(2π，0)对称；③正弦函数在第一象限内为增函数； ④存在实数α，使sin α＋cos α＝32.以上四个命题中正确的有____(填写正确命题前面的序号).【详解】对于①,将x ＝512π代入得55sin 1,6312x πππ⎛⎫-=∴= ⎪⎝⎭是对称轴,命题正确;对于②,由正切函数的图象可知, 命题正确;对于③, 正弦函数在2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确；对于④, sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,最大值为2,不正确;故填①②. 三、解答题17．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，用向量的方法（用其他方法解答正确同等给分）证明：DE AF ⊥．【答案】证明见解析【分析】建立直角坐标系，先写出DE AF ，，再按照数量积的坐标运算证明即可.【详解】如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则(0,0),(1,0),(0,2),(2,1)A E D F ，()(1,2),(2,1),12210DE AF DE AF =-=⋅=⨯+-⨯=，故DE AF ⊥.18．已知函数()2cos 423f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的最大值. 【答案】(1)2π(2)4【分析】（1）根据余弦函数的周期公式，求得答案；【详解】(1)由题意可得：函数的最小正周期为：242T ππ== ； (2)因为1cos 413x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故02cos 4243x π⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即()2cos 423f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为4.19．已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，R x ∈.求：(1)求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间． (2)画出函数在[]0,π上的图象；【答案】(1)5[,]88ππ(2)图象见解析 【分析】（1）由3222242k x k πππππ+++，Z k ∈得x 的范围，即可得函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间．（2）根据用五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤和方法，作出函数()f x 在[0，]π上的图象．【详解】(1)因为()2)4f x x π=+，令3222242k x k πππππ+++，k Z ∈，解得588k x k ππππ++，Z k ∈，令0k =得：函数()f x 在区间[0，]π上的单调递减区间为：[8π，5]8π．(2)()224f x x π⎛⎫+ ⎪，列表如下：x8π38π 58π78ππ24x π+4π2ππ32π2π94π描点连线画出函数()f x 在一个周期上[0，]π的图象如图所示：20．如图，在OAB 中，P 为边AB 上的一点2BP PA =，6OA =，2OB =且OA 与OB 的夹角为60︒.（1）设OP xOA yOB =+，求x ，y 的值； （2）求OP AB ⋅的值. 【答案】（1）23x =，13y =；（2）623-.【分析】（1）由向量的加减运算，可得()2233=+=+=+-OP OB BP OB BA OB OA OB ，进而可得答案.（2）用OAOB ，表示OP AB ⋅，利用向量数量积公式，即可求得结果. 【详解】（1）因为2BP PA =，所以23BP BA =. ()22213333OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB =+=+=+-=+.又OP xOA xOB =-，又因为OA 、OB 不共线，所以，23x =，13y =（2）结合（1）可得：21OP AB OA OB OB OA ⎛⎫⋅=+⋅-.2222113333=⋅-+-⋅OA OB OA OB OA OB 22121333=⋅-+OA OB OA OB ， 因为6OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒. 所以22112162626232333OP AB ⋅=⨯⨯⨯-⨯+⨯=-.【点睛】本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.21．已知A ，B ，C 是三角形ABC ∆三内角，向量(1,3)m =-，(cos ,sin )n A A =，且1m n ⋅=．（1）求角A ； （2）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan C ．【答案】（1）60A =（2）tan C =【详解】试题分析：（1）用数量积的坐标运算表示出m n ⋅cos 1A A -=，再由两角差的正弦公式化为一个三角函数式，最终求得A ；（2）化简221sin 23cos sin BB B+=--，可直接去分母，注意求得结果后检验分母是否为0（本题解法），也可先化简已知式为2221sin 2(sin cos )cos sin (cos sin )(cos sin )B B B B B B B B B ++=--+ cos sin 3cos sin B BB B+==--，再变形得tan 2B =，由tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+可得结论．试题解析：（1）∵1m n ⋅=，∴((cos ,sin )1A A -⋅=cos 1A A -=，1cos )12A A -=，1sin()62A π-=，∵0x π<<，5666A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=．（2）由题知：2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=， ∴cos 0B ≠，∴2tan tan 20B B --=，∴tan 2B =或tan 1B =-， 而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去，∴tan 2B =，∴tan tan tan tan[()]tan()1tan tan A B C A B A B A B π+=-+=-+=-==-【解析】数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式．定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ．它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==，由向量数量积的坐标表示，有cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+．设,OA OB 的夹角为θ，则|cos cos OA OB OA OBθθ⋅=⋅=∣cos cos sin sin αβαβ=+，另一方面，由图（1）可知，2k απβθ=++；由图（2）可知2k απβθ=+-，于是2,k k αβπθ-=±∈Z ． 所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+； 所以，对于任意角,αβ有：()cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ--=+．此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C αβ-．有了公式C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了．阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（1）判断1||OC OM OM =是否正确？（不需要证明） （2）证明：sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=．【答案】（1）正确；（2）证明见解析．【分析】（1）根据单位向量的定义可得出结论；（2）根据向量相等及坐标运算，化简计算即可证明结论.【详解】（1）因为对于非零向量1,||n n n 是n 方向上的单位向量，又||1OC =且OM 与OC 共线， 所以1||OC OM OM =正确； （2）因为M 为AB 的中点，则OM AB ⊥，从而在OAM △中，||||coscos 22OM OA βαβα--=⋅=， 又1cos ,sin ,22OC OM OC OM αβαβ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 又M 是AB 的中点cos cos sin sin ,22OM αβαβ++⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，cos 2OM αβ-∴= 所以1sin sin sin 22cos 2αβαβαβ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭，化简得，sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=． 结论得证.。
2022-2023学年山东省济南市长清区长清高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省济南市长清区长清高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}1,3A =UA = A ．B ．C ．D ．∅{}1,3{}2,4,5{}1,2,3,4,5【答案】C【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}2,4,5U A = 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2．函数的定义域为ln(1)y x =-A ．B ．C ．D ．(,0)-∞(,1)-∞(0,)+∞(1,)+∞【答案】B【详解】由，得选B3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( )A ．B ．C ．-D ．-π3π6π3π6【答案】B【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．6π【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.π6故选B.【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．4．下列函数是在为减函数的是（ ）(0,1)A ．B ．C ．D ．lg y x =2xy =cos y x=121=-y x 【答案】C【分析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．【详解】对数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；0x >指数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；0x >余弦函数，从最高点往下走，即上为减函数；[0,]x π∈反比例型函数，在与上分别为减函数，不满足题意；1(,2-∞1(,)2+∞故选C.【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键．5．方程的解所在区间是（ ）．3log 280x x +-=A ．B ．C ．D ．(1,2)(2,3)(3,4)(5,6)【答案】C【分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.【详解】∵,3()log 82f x x x =-+∴,,，,3(1)log 18260f =-+=-<3(2)log 2840f =-+<3(3)log 38610f =-+=-<3(4)log 40f =>∴,33(5)log 520,(6)log 640f f =+>=+>(3)(4)0f f ⋅<∵函数的图象是连续的,3()log 82f x x x =-+∴函数的零点所在的区间是.()f x (3,4)故选C【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.6．若点在角的终边上，则（ ）2cos ,2sin 66P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭αsin α=A ．B ．CD ．1212-【答案】B【解析】根据任意角的三角函数的定义及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】解：2cos ,2sin 66P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭1212sin 22α-⨯∴====-故选：B【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.7．已知，则等于3sin()35x π-=7cos()6x π+A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】C【分析】由诱导公式化简后即可求值．【详解】＝-sin[]＝7πcos x 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭π cos x 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭26x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭π3sin x 35⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．8．四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺sin y x x =cos y x x =cos y x x=2xy x =⋅序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③②【答案】B【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；sin y x x =⋅y ②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，cos y x x =⋅0,2π⎛⎫⎪⎝⎭在上的值为负数，故第三个图象满足；,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；cos y x x=⋅0x >()0f x ≥④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，2xy x =⋅故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ）A ．若幂函数过点，则()af x x =1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭12α=-B ．，(0,1)x ∃∈121log 2xx⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．，(0,)x ∀∈+∞1123log log x x>D ．命题“，”的否定是“，”x ∃∈R sin cos 1x x +<x ∀∈R sin cos 1x x +≥【答案】BD【解析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.A BC D 【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；A ()af x x =1,42⎛⎫⎪⎝⎭142aæöç÷=ç÷èø2α=-A 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示B 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭12log y x=由图可知，，故正确；(0,1)x ∃∈121log 2xx⎛⎫> ⎪⎝⎭B 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示C 13log y x=12log y x =由图可知，当时，，当时，，当时，，(0,1)x ∈1123log log x x>1x =1123log log x x=(1,)x ∈+∞1123log log x x<故错误；C 对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，D x ∃∈R sin cos 1x x +<x ∀∈R ”，故正确；sin cos 1x x +≥D 故选：BD【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.10．已知，，则下列结论正确的是（ ）()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A ．B ．C ．D ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-θ得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答sin θcos θ案.【详解】因为，1sin cos 5θθ+=所以，则，()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-因为，所以，，()0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，故A 正确；π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=所以，故D 正确；7sin cos 5θθ-=联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-所以，故C 错误.sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD.11．若，则下列不等式成立的是（ ）0a b >>A ．B ．C ．D ．11a b <11b b a a +>+11a b b a+>+11a b a b+>+【答案】AC【分析】根据不等式的性质判断A ，C ；利用作差法比较大小判断B ，D.【详解】解：对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>11a b <对于B ，，由于，所以，()()()()111111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==+++0a b >>()0,10b a a a -+则，即，故B 错误；11b b a a +-<+11b b a a +<+对于C ，因为，所以，所以，故C 正确；0a b >>11b a >11a b b a +>+对于D ，，由于，则()()()11111b a ab a b a b a b a b a b a b ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0a b >>，但与的大小不确定，故D 错误.0,0a b ab ->>ab 1故选：AC.12．已知函数，下列四个结论确的是（ ）()sin cos22f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数是周期函数；()f x B ．函数的图象关于点成中心对称；()f x (,0)πC ．函数的图象关于直线成轴对称；()f x 2x π=-D ．函数在区间上单调递增．()f x 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】利用诱导公式化简函数，借助周期函数的定义判断A ；利用函数图象对称的意义判断()f x B 、C ；取特值判断D 作答.【详解】依题意，，因，是周()cos cos2f x x x =4(4)cos(4)cos cos cos ()22x xf x x x f x πππ++=+==()f x 期函数，是它的一个周期，A 正确；4π因，，()cos()coscos sin 22πx x f πx πx x +=+=+()cos()cos 2f πx πx πx =---cos sin 2xx =-即，因此的图象关于点成对称中心，B 正确；()()f x f x ππ+=--()f x (,0)π因，(2)cos(2)coscos cos 222πxf πx πx x x -+=-+=--+，(2)cos(2)coscos cos 222πx f πx πx x x --=--=---即，因此的图象关于直线成轴对称，C 正确；(2)(2)f πx f πx -+=--()f x 2x π=-因，，，()cos cos2f πππ==4421()cos cos 3334f πππ==333()cos cos 0224f πππ==显然有，而，因此函数在区间上不单调递增，D 不正4332πππ<<34()(()23f f f πππ=<()f x 3(,)2ππ确，所以，所有正确命题是ABC.故选：ABC.三、填空题13．已知幂函数过点，若，则________．()af x x =(28)，0()5f x =-0x =【答案】135-【分析】先由已知条件求出的值，再由可求出的值α0()5f x =-0x 【详解】因为幂函数过点，()af x x =(28)，所以，得，28α=3α=所以，3()f x x =因为，所以，得0()5f x =-305x =-0x =故答案为：14．已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.33π2【答案】π【分析】根据扇形面积公式可求得答案.【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.l 12S lr =3π1322l =⨯πl =故答案为.π【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.15．若两个正实数x ，y恒成立，则实数m的取值1=26m m >-范围是____________．【答案】28m -<<的最小值，进而求解即可.2616m m-<【详解】由于，所以,0,0x y >>88=+≥+取等号，故，解得，64,4x y ⇒==2616m m -<28m -<<故答案为：28m -<<16．已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范ln ,0()e 1,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩()()g x f x m =-m 围是___________.【答案】12m <≤【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点()y f x =()g x y m =()y f x =问题解决.【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，()0g x =()f x m =()g x y m =()y f x =当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函0x ≤()e 1xf x =+0x >()ln f x x =数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数的图象，如图，()y f x =观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，12m <≤y m =()y f x =()g x 所以实数的取值范围是：.m 12m <≤故答案为：12m <≤四、解答题17．计算：（1）；7log 23log lg 252lg 27+-（2）已知，求．()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭sin 4cos 5sin 2cos αααα-+【答案】（1）；（2）3216-【解析】（1）根据对数的运算法则和对数恒等式，即可求解；（2）根据诱导公式，由已知可得，代入所求式子，即可求解.sin 2cos αα=【详解】（1）原式；323log 32(lg 2l 332222g 5)2==++-=+-（2）∵，∴，()3sin 3sin 2sin 2cos 2ππαααα⎛⎫+=-=+=- ⎪⎝⎭sin 2cos αα=故．sin 4cos 2cos 4cos 15sin 2cos 10cos 2cos 6αααααααα--==-++【点睛】本题考查对数计算，考查诱导公式，以及三角求值，属于基础题.18．已知，二次函数的图象经过点，且的解集为.,,a b c ∈R 2()f x ax bx c =++(0,1)()0f x >11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求实数a ，b 的值；（2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.()7f x kx =+(0,2)【答案】（1），（2）6a =-1b =(14,11)--【解析】（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得.（2）由（1）知，得方程等价于方程，令2()61f x x x =-++()7f x kx =+26(1)60x k x +-+=，即的两个零点满足分析可得.2()6(1)6g x x k x =+-+()g x 12,(0,2)x x ∈【详解】解：（1）因为的图象经过点，所以，()f x (0,1)1c =所以，2()1f x ax bx =++的解集为，2()10f x ax bx =++>11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，且，11()032f x a x x ⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a<0且，得，1c =2()61f x x x =-++故，6a =-1b =（2）由，2()61f x x x =-++得方程等价于方程，()7f x kx =+26(1)60x k x +-+=令，即的两个零点满足，2()6(1)6g x x k x =+-+()g x 12,(0,2)x x ∈所以必有，(0)0(2)0102120g g k >⎧⎪>⎪⎪⎨-<<⎪⎪∆>⎪⎩即，解得，142311311k k k k >-⎧⎪-<<⎨⎪><-⎩或1411k -<<-所以实数k 的取值范围是(14,11)--【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题.19．已知，，，02πα<<2πβ-<<1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)求的值；cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值；sin β【答案】(2)13-【分析】（1）通过条件中的范围得出与的范围，即可根据条件得出与4πα+42βπ-sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再将利用三角恒等变换展开代入值求解即sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可；（2）令再根据三角恒等变换化简即可代入值即可求解.sin sin 2242ππββ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】（1），02πα<< ，3444πππα∴<+<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，02πβ-<< ，4422ππβπ∴<-<cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 42πβ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，cos cos sin sin 442442ββααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13==（2）21sin sin 2cos 22cos 124242423ππβπβπββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦20．已知函数()2sin cos x x x f x =（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，求函数的值域.36x ππ-≤≤()y f x =【答案】（1）；（2）T π=0,1⎡⎢⎣【解析】（1）利用二倍角的正弦公式可把化为的形式，由周期公式可求.()f x ()()sin f x A x =+ωϕ（2）由求出的取值范围，再利用三角函数的性质即可求解.36x ππ-≤≤x ωϕ+【详解】（1）())21sin cos sin 21cos 22x x x x x f x =-+=，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭函数的最小正周期为.∴()y f x =22T ππ==（2）由，则，36x ππ-≤≤22333x πππ-≤+≤所以，所以sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭()01f x ≤≤+所以函数的值域为.()y f x =0,1⎡⎢⎣【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、三角函数的周期以及三角函数的值域，属于基础题.21．为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列116x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 的之间的函数关系；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．【答案】(1)0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)0.6【分析】（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论；()0.1,1（2）利用指数函数的单调性解不等式．0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】（1）解：依题意，当时，可设，且，00.1x ≤≤y kx =10.1k =解得10k =又由，解得，0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭0.1a =所以；0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：令，即，0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭20.21144a -⎛⎫< ⎪⎝⎭得，解得，20.21a ->0.6x >即至少需要经过后，学生才能回到教室．0.6h 22．已知函数．()21log 1x f x x -=+(1)若，求a 的值；()1f a =(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；()f x (3)若对于恒成立，求实数m 的范围．()f x m ≥[)3,x ∈+∞【答案】(1)3-(2)奇函数，证明见解析(3)(],1-∞-【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；x a =21log 11a a -=+（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；()(),f x f x -（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦()f x [)3,+∞【详解】（1），，即，解得，()1f a = 21log 11a a -∴=+121a a -=+3a =-所以a 的值为3-（2）为奇函数，证明如下：()f x由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，10110x x x -⎧>⎪+⎨⎪+≠⎩1x >1x <-()(),11,-∞-⋃+∞又，()()122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭所以为奇函数；()f x （3）因为，()2221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，2log y u =211y x =-+[)3,+∞由复合函数的单调性知函数在上为增函数，()f x [)3,+∞所以，()()22min 3113log log 1312f x f -====-+又对于恒成立，所以，所以，()f x m ≥[)3,x ∈+∞()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦1m ≤-所以实数的范围是m (],1-∞-。
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一、选择题(每小题5分，共60分)
1.已知a=2，集合A={x|x≤2}，则下列表示正确的是().
A.a∈A
B.a/∈A
C.{a｝∈A
D.a⊆A
2.集合S={a，b｝，含有元素a的S的子集共有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.已知集合M={x|x<3｝，N={x|log2x>1｝，则M∩N=().
A. B.{x|0
4.函数y=4-x的定义域是().
A.[4，+∞)
B.(4，+∞)
C.-∞，4]
D.(-∞，4)
5.国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)0
邮资y(元)5.006.007.008.00…
如果某人在南京要快递800g的包裹到距南京1200km的某地，那么他应付的邮资是().
A.5.00元
B.6.00元
C.7.00元
D.8.00元
6.幂函数y=x(是常数)的图象().
A.一定经过点(0，0)
B.一定经过点(1，-1)
C.一定经过点(-1，
D.一定经过点(1，1)
7.0.44，1与40.4的大小关系是().
A.0.44<40.4<1
B.0.44<1<40.4
C.1<0.44<40.4
D.l<40.4<0.44
8.在同一坐标系中，函数y=2-x与y=log2x的图象是().
A.B.C.D.
9.方程x3=x+1的根所在的区间是().
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是().
A.y=-1x
B.y=x
C.y=x2
D.y=1-x
11.若函数f(x)=13-x-1+a是奇函数，则实数a的值为().
A.12
B.-12
C.2
D.-2
12.设集合A={0，1｝，B={2，3｝，定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为().
A.0B.6C.12D.18
二、填空题(每小题5分，共30分)
13.集合S={1，2，3｝，集合T={2，3，4，5｝，则S∩T=.
14.已知集合U={x|-3≤x≤3｝，M={x|-1
15.如果f(x)=x2+1(x≤0)，-2x(x>0)，那么f(f(1))=.
16.若函数f(x)=ax3+bx+7，且f(5)=3，则f(-5)=__________.
17.已知2x+2-x=5，则4x+4-x的值是.
18.在下列从A到B的对应：(1)A=R，B=R，对应法则f：x→y=x2;(2)A=R，B=R，对应法则f：x→y=1x-3;(3)A=(0，+∞)，B={y|y≠0}，对应法则f：x→y=±x;(4)A=N*，B={-1，1}，对应法则f：x→y=(-1)x 其中是函数的有.(只填写序号)
三、解答题(共70分)
19.(本题满分10分)计算：2log32-log3329+log38-.
20.(本题满分10分)已知U=R，A={x|-1≤x≤3｝，B={x|x-a>0｝.
(1)若A B，求实数a的取值范围;
(2)若A∩B≠，求实数a的取值范围.
21.(本题满分12分)已知二次函数的图象如图所示.
(1)写出该函数的零点;
(2)写出该函数的解析式.
22.(本题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x)，g(x)=lg(2-x)，设h(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由.
23.(本题满分12分)销售甲、乙两种商品所得利润分别是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金t(万元)的关系有经验公式P=35t，Q=15t.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x(万元).
求：(1)经营甲、乙两种商品的总利润y(万元)关于x的函数表达式;
(2)总利润y的值.
24.(本题满分14分)已知函数f(x)=1x2.
(1)判断f(x)在区间(0，+∞)的单调性，并用定义证明;
(2)写出函数f(x)=1x2的单调区间.
试卷答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.A
2.B
3.D
4.C
5.C
6.D
7.B
8.A
9.B10.D11.A12.D[
二、填空题(每小题5分，共30分)
13.{2，3｝14.[-3，-1]∪[1，3]15.516.1117.2318.(1)(4)
三、解答题(共70分)
19.解原式=log34-log3329+log38-3=log3(4×932×8)-3=log39-3=2-3=-1.
20.解(1)B={x|x-a>0｝={x|x>a｝.由A B，得a<-1，即a的取值范围是{a|a<-1｝;(2)由A∩B≠，则a<3，即a的取值范围是{a|a<3｝.
21.(1)函数的零点是-1，3;
(2)函数的解析式是y=x2-2x-3.
22.解(1)由2+x>0，2-x>0，得-2
(2)∵h(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=h(x)，∴h(x)是偶函数.
23.解(1)根据题意，得y=35x+15(3-x)，x∈[0，3].
(2)y=-15(x-32)2+2120.
∵32∈[0，3]，∴当x=32时，即x=94时，y值=2120.
答：总利润的值是2120万元.
24.解(1)f(x)在区间(0，+∞)为单调减函数.证明如下：
设0
因为00，x2-x1>0，x2+x1>0，即(x2-x1)(x2+x1)x12x22>0.
所以f(x1)-f(x2)>0，即所以f(x1)>f(x2)，f(x)在区间(0，+∞)为单调减函数.
(2)f(x)=1x2的单调减区间(0，+∞);f(x)=1x2的单调增区间(—∞，0).。