2019-2020年高考数学大一轮复习 2.7函数的图象学案 理 苏教版
2019-2020年高考数学 函数题 专题复习教案 苏教版
2019-2020年高考数学 函数题 专题复习教案 苏教版一：考点分析：函数是高中数学的基础知识，也是每年高考必考的重点内容，而且在每年的高考试卷上所占的比重比较大，从题型上来看，围绕函数的考查既有填空题，又有解答题。
函数部分复习的重点应分两个方面：一是函数“内部”的复习：即对函数的基本概念（定义域、值域、函数关系）、函数的性质（函数的单调性、奇偶性、周期性）及应用、基本函数的图象与性质的掌握与应用等方面的复习；另一方面是从函数的“外延”方面去复习，即重视函数与其他知识点的交叉、综合方面的复习。
函数复习除了知识方面的复习要全面到位以外，还要重视思想方法的渗透，尤其是要重视分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的渗透。
二、典例解析：【例1】函数1()1f x n x =的定义域为________________ 分析：不能只想到22320,340,0.x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩0>。
解：22320,340,0.x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩0，解得且。
答案：【例2】若函数在（0，1）内恰有一个零点，则a 的取值范围是 .解法一：（数形结合、分类讨论）（ⅰ）时，不合题意；（ⅱ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，此时函数在（0，1）内没有零点（ⅲ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，要使函数在（0，1）内恰有一个零点，只须，即。
解法二：时，，令则，于是有，作函数的图象知，当时，直线与函数的图象有唯一交点，故a 的取值范围是。
答案：。
【例3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是_______________解：令，则0)21()21(21)21(21)21(21=⇒=-=-f f f f ；令，则，由得，所以0)0())25((0)21(212335)23(35)23(2325)25(==⇒=⋅===f f f f f f f答案：0。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节函数的图象及其应用实用课
(3)对称变换： y＝f(x)关――于―x轴―对―→称y＝ －f(x) ； y＝f(x)关――于―y轴―对―→称y＝ f(－x) ； y＝f(x)―关―于―原―点―对―称→y＝－f(－x) ． (4)翻折变换： y＝f(x)―去将―掉y―轴y轴―右―左边―边的―图图―，象―保翻―留―折y―到轴―左右―边边―去图→y＝ f(|x|) ； y＝f(x)―将―x―轴―下―方保―的留―图x―轴象―上翻―方―折图―到―上―方―去→y＝ |f(x)| .
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点二](2018·扬州模拟)函数 y＝sinx x，x∈(－π，0)∪(0，π) 的图象大致是________．(填序号)
解析：函数 y＝sinx x，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象 关于 y 轴对称，排除②③，又当 x→π 时，y＝sinx x→0.故①正确． 答案：①
(2)如图，矩形 ABCD 的周长为 8，设 AB＝ x(1≤x≤3)，线段 MN 的两端点在矩形的边上滑 动，且 MN＝1，当 N 沿 A→D→C→B→A 在矩形的边上滑动一 周时，线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G，记 G 围成的区域 的面积为 y，则函数 y＝f(x)的图象大致为________．(填序号)
解析：当 l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快， 过了 D 点后面积保持匀速增加，过了 C 点后面积的增加速度 又逐渐减慢．故③正确． 答案：③
5.[考点一]作下列函数的图象： (1)y＝x－1 1＋1； (2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]； (3)y＝|x－1|，x∈R. 解：(1)可先作出函数 y＝1x的图象， 然后将 y＝1x的图象向右平移一个单位，再 向上平移一个单位，得到函数 y＝x－1 1＋1 的图象，如图(1)所示．
2019-2020年高考数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值学案 理 苏教版
2019-2020年高考数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值学案 理苏教版导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间I 上是单调________________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是单调增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为__________．(4)函数y ＝x ＋a x(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上单调________；在(－a ，0)，(0，a )上单调________；函数y ＝x ＋a x(a <0)在____________上单调递增．2．最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)(或≥f (x 0))，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最____(或最____)值．自我检测1．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)2．(xx·连云港模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有f (a 2＋1)________f (a )．(填“>”、“<”或“＝”)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是________(填序号)．①y ＝1－2x ；②y ＝x －1；③y ＝－x 2＋2x ；④y ＝5.4．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a 的取值范围是________．5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为______________________．探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f x，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二 函数的单调性与最值例2 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三 抽象函数的单调性 例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (14分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .[2分](1)当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[5分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[8分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[11分](4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. 综上，(1)当a <0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；(2)当0≤a <1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；(3)当1<a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； (4)当a >2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1.[14分] 【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x ＝a ，而a 的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a <0,0≤a ≤2，a >2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f (0)，也有可能是f (2)．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．总结如下：若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )＋C 具有相同的单调性．(2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <0时，具有相反的单调性．(3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与1f x具有相反的单调性．(4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(xx·泰州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的____________条件．2．(xx·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围为________．3．(xx·宁夏，海南改编)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围为________．5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的符号为________(填“正”、“负”、“不确定”)．6．(xx·淮安调研)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．(xx·苏州质检)设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(14分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.大 小自我检测1．单调减函数 2．> 3．③4．a ≤－35．[－43＋c,55＋c ]课堂活动区例 1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解 在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝x 2＋a x 1＋b －x 2＋b x 1＋a x 1＋b x 2＋b＝b －a x 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0， 又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即Δy <0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1 解 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)>f (x 1)，F (x 2)－F (x 1)＝[f (x 2)＋1f x 2]－[f (x 1)＋1f x 1]＝[f (x 2)－f (x 1)][1－1f x 1f x 2]，∵f (x )是R 上的增函数，且f (5)＝1，∴当x <5时，0<f (x )<1，而当x >5时f (x )>1； ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1，∴0<f (x 1)f (x 2)<1，∴1－1f x 1f x 2<0，∴F (x 2)<F (x 1)；②若x 2>x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1，∴f (x 1)·f (x 2)>1，∴1－1f x 1f x 2>0，∴F (x 2)>F (x 1)．综上，F (x )在(－∞，5)上为减函数，在(5，＋∞)上为增函数．例2 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，设x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵1<x 1<x 2，∴1－12x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)方法一 在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)， y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增，∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立， 故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)， 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.方法三 在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值．∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解 设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例 3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．解 (1)方法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．方法二 设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9； 当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}． 课后练习区 1．充分不必要解析 f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．(－2,1)解析 由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．6解析 由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．(0,1]解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．正解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －x xx －x x.画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析 举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确． 8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x －x ，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．…………………………………………(6分)(2)解 由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x2，x ∈(1，＋∞)∵2－1x2>0，x ∈(1，＋∞)， ∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．………………………………………………………(12分)故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(14分)10．解 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．…………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分)(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.………………………………………………………………(13分)综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(14分)11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1<1.………………………………………分∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立． ②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2.………………………………………………………(14分)。
数学一轮复习第二章函数2.7函数的图像学案理
2.7函数的图像必备知识预案自诊知识梳理1.利用描点法作函数图像的流程2。
函数图像间的变换(1）平移变换对于平移，往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减。
(2）对称变换（3)伸缩变换y=f(x）y=f(ax），y=f(x)y=Af(x)。
1.函数图像自身的轴对称(1）f(—x)=f(x)⇔函数y=f(x）的图像关于y轴对称;（2)函数y=f（x）的图像关于x=a对称⇔f(a+x)=f（a—x）⇔f（x)=f（2a—x）⇔f（—x)=f(2a+x)；(3)若函数y=f(x）的定义域为R，且有f（a+x)=f（b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+a2对称.2.函数图像自身的中心对称（1)f（—x）=—f（x）⇔函数y=f（x）的图像关于原点对称;（2)函数y=f（x)的图像关于(a,0)对称⇔f（a+x）=—f(a-x)⇔f(x)=-f（2a—x）⇔f（-x）=-f(2a+x）;(3)函数y=f(x)的图像关于点（a,b）成中心对称⇔f(a+x）=2b—f（a-x)⇔f(x）=2b-f(2a—x);（4）若函数y=f（x）的定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b—x)=c(a，b，c为常数)，则函数y=f(x）的图像关于点(a+a2,a2)对称。
3。
两个函数图像之间的对称关系(1)函数y=f(a+x）与y=f（b-x)的图像关于直线x=a-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);（2)函数y=f（x)与y=f(2a—x）的图像关于直线x=a对称；(3)函数y=f(x）与y=2b—f（-x）的图像关于点（0，b）对称;（4）函数y=f（x)与y=2b-f（2a-x)的图像关于点(a，b)对称。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√"，错误的画“×”.（1)将函数y=f（x）的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f（x+1)+1的图像.(）（2)当x∈(0,+∞）时,函数y=｜f（x)｜与y=f(｜x|）的图像相同.（）（3)函数y=f（x）与y=-f(—x)的图像关于原点对称。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示教案文解析版
１．函数的概念（１）定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f（x），x∈A.（２）函数的定义域、值域：在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．（３）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（４）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（５）函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．２．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]１．（２0１9·无锡一中期中测试）函数f（x）＝ln（x２—x）的定义域为________．解析：由题意知，x２—x＞0，即x＜0或x＞１．则函数的定义域为（—∞，0）∪（１，＋∞）．答案：（—∞，0）∪（１，＋∞）２．已知f（错误!）＝x—１，则f（２）＝________.解析：令错误!＝２，则x＝４，所以f（２）＝３．答案：３３．（２0１9·海头高级中学高三期中）若函数f（x）＝错误!则f（错误!）＋f（—错误!）＝________.答案：５４．已知函数f（x）＝错误!若f（x）＝２，则x＝________.解析：依题意得当x≤１时，３x＝２，所以x＝log３２；当x＞１时，—x＝２，x＝—２（舍去）．故x＝log３２．答案：log３２１．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．２．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]１．（２0１9·常州一中检测）若函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为错误!＞１，所以f错误!＝log２错误!，又因为log２错误!＜１，所以f错误!＝２23log2—２＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·苏州中学测试）已知f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１，则函数f（x）的解析式为________．解析：用错误!代替３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１中的x，得３f错误!＋５f（x）＝３x＋１，所以错误!２×５—１×３得f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）．答案：f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）错误!错误![题组练透]１．（２0１8·常州期末）函数y＝错误!＋lg（x＋２）的定义域为________．解析：由题意可得错误!解得—２＜x≤１，故所求函数的定义域为（—２,１]．答案：（—２,１]２．（２0１8·南通中学高三测试）函数y＝错误!的定义域为________________．解析：由函数y＝错误!得错误!解得错误!即—１≤x≤１且x≠—错误!，所以所求函数的定义域为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若函数y＝f（x）的定义域是[１,２0１9]，则函数g（x）＝错误!的定义域是________．解析：令t＝x＋１，由已知函数的定义域为[１,２0１9]，可知１≤t≤２0１9．要使函数f（x＋１）有意义，则有１≤x＋１≤２0１9，解得0≤x≤２0１8，故函数f（x＋１）的定义域为[0，２0１8]．所以使函数g（x）有意义的条件是错误!解得0≤x＜１或１＜x≤２0１8．故函数g（x）的定义域为[0,１）∪（１，２0１8]．答案：[0,１）∪（１,２0１8]４．（２0１8·南京师范大学附中模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由题意得log（２x—３）≥0⇒0＜２x—３≤１⇒错误!＜x≤２，即函数f（x）的定义域是错误!.12答案：错误![谨记通法]函数定义域的求解策略（１）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解．（２）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解．（３）抽象函数：１若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；２若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域．错误!错误![典例引领]（１）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，求f（x）；（２）已知f错误!＝x２＋错误!，求f（x）的解析式；（３）已知f错误!＝lg x，求f（x）的解析式；（４）已知函数f（x）满足f（—x）＋２f（x）＝２x，求f（x）的解析式；（５）已知f（0）＝１，对任意的实数x，y都有f（x—y）＝f（x）—y（２x—y＋１），求f（x）的解析式．解：（１）（待定系数法）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax２＋bx，又由f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，得a（x＋１）２＋b（x＋１）＝ax２＋bx＋x＋１，即ax２＋（２a＋b）x＋a＋b＝ax２＋（b＋１）x＋１，所以错误!解得a＝b＝错误!.所以f（x）＝错误!x２＋错误!x，x∈R.（２）（配凑法）由于f错误!＝x２＋错误!＝错误!２—２，所以f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２，故f（x）的解析式是f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２．（３）（换元法）令错误!＋１＝t得x＝错误!，代入得f（t）＝lg错误!，又x＞0，所以t＞１，故f（x）的解析式是f（x）＝lg错误!，x＞１．（４）（解方程组法）由f（—x）＋２f（x）＝２x，１得f（x）＋２f（—x）＝２—x，２１×２—２，得，３f（x）＝２x＋１—２—x.即f（x）＝错误!.所以f（x）的解析式是f（x）＝错误!.（５）（赋值法）令x＝0，得f（—y）＝f（0）—y（—y＋１）＝１＋y２—y，所以f（y）＝y２＋y＋１，即f（x）＝x２＋x＋１．[由题悟法]求函数解析式的５种方法１．（２0１9·如皋测试）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝x＋２，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝kx＋b，由f（f（x））＝x＋２，可得k（kx＋b）＋b＝x＋２，即k２x＋kb＋b＝x＋２，所以k２＝１，kb＋b＝２，解得k＝１，b＝１，即f（x）＝x＋１．答案：x＋１２．已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，求f（x）的解析式．解：法一：（换元法）设t＝错误!＋１，则x＝（t—１）２，t≥１，代入原式有f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—２t＋１＋２t—２＝t２—１．故f（x）＝x２—１，x≥１．法二：（配凑法）因为x＋２错误!＝（错误!）２＋２错误!＋１—１＝（错误!＋１）２—１，所以f（错误!＋１）＝（错误!＋１）２—１，错误!＋１≥１，即f（x）＝x２—１，x≥１．错误!错误![锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：（１）分段函数的求值问题；（２）求参数或自变量的值与范围；（３）分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题１．设函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为—１＜错误!—１≤0，所以f错误!＝错误!＝错误!，则f错误!＝f错误!＝tan 错误!＝１．答案：１角度二：求参数或自变量的值与范围２．已知f（x）＝错误!若f（a）＝错误!，则a＝________.解析：若a≥0，由f（a）＝错误!得，a 12＝错误!，解得a＝错误!；若a＜0，则|sin a|＝错误!，a∈错误!，解得a＝—错误!.综上可知，a＝错误!或—错误!.答案：错误!或—错误!角度三：分段函数与不等式问题３．（２0１8·如东期末）设函数f（x）＝错误!则使得f（２x＋１）＞f（x—１）成立的x的取值范围是________．解析：当x＞0时，f（—x）＝x２e x＝f（x），且为增函数，同理当x＜0时，f（—x）＝错误!＝f（x），且为减函数，所以f（x）关于y轴对称，且左减右增．要使f（２x＋１）＞f（x—１），则需|２x＋１|＞|x—１|，两边平方化简得x２＋２x＞0，解得x＜—２或x＞0，故所求x的取值范围是（—∞，—２）∪（0，＋∞）．答案：（—∞，—２）∪（0，＋∞）[通法在握]１．分段函数的求值问题的解题思路（１）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．（２）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．２．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]１．（２0１9·姜堰中学测试）已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x—90）＝错误!则f （１0）—f（—１00）的值为________．解析：因为f（１0）＝f（１00—90）＝lg １00＝２，f（—１00）＝f（—１0—90）＝—（—１0）＝１0，所以f（１0）—f（—１00）＝２—１0＝—8．答案：—8２．（２0１8·无锡高三第一学期期末）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝—x２—２x—２．若存在a ∈R，使得f（a）＋g（b）＝0，则实数b的取值范围是________．解析：当x≤—错误!时，f（x）＝１＋错误!＜１，此时f（x）＝１＋错误!＝１＋错误!—错误!在错误!上单调递减，易求得f（x）∈[—7,１）；当x＞—错误!时，f（x）＝log错误!，12此时f（x）在错误!上单调递减，易求得f（x）∈（—∞，２），∴f（x）的值域为（—∞，２）．故存在a∈R，使得f（a）＋g（b）＝0⇒—g（b）＝f（a）∈（—∞，２）⇒b２＋２b＋２＜２⇒b ∈（—２,0）．答案：（—２,0）３．（２0１8·南通期末）已知函数f（x）＝错误!则不等式f（x２—２）＋f（x）＜0的解集为__________．解析：函数f（x）＝错误!的图象如图所示，所以f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，所以不等式f（x２—２）＋f（x）＜0⇔f（x２—２）＜f（—x）⇔x２—２＜—x，解得—２＜x＜１，所以原不等式的解集为（—２,１）．答案：（—２,１）一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·淮安调研）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由lg（５—x２）≥0，得５—x２≥１，即x２≤４，解得—２≤x≤２．∴函数f（x）＝错误!的定义域是[—２,２]．答案：[—２,２]２．（２0１8·苏州高三期中调研）函数y＝错误!的定义域为________．解析：由错误!解得x＞１，且x≠２，所以函数的定义域为（１,２）∪（２，＋∞）．答案：（１,２）∪（２，＋∞）３．已知f错误!＝２x—５，且f（a）＝6，则a＝________.解析：令t＝错误!x—１，则x＝２t＋２，f（t）＝２（２t＋２）—５＝４t—１，则４a—１＝6，解得a＝错误!.答案：错误!４．已知f（x）是一次函数，满足３f（x＋１）＝6x＋４，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（x＋１）＝a（x＋１）＋b＝ax＋a＋b，依题设，３ax＋３a＋３b＝6x＋４，∴错误!∴错误!则f（x）＝２x—错误!.答案：２x—错误!５．（２0１9·盐城模考）已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝３，则f（a）＝________.解析：因为f（0）＝３，所以a—２＝３，即a＝５，所以f（a）＝f（５）＝9．答案：96．设函数f（x）＝错误!则f（f（２））＝________，函数f（x）的值域是________．解析：因为f（２）＝错误!，所以f（f（２））＝f错误!＝—错误!.当x＞１时，f（x）∈（0,１），当x≤１时，f（x）∈[—３，＋∞），所以f（x）∈[—３，＋∞）．答案：—错误![—３，＋∞）二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·如东高级中学高三学情调研）设函数f（x）＝错误!则f（—２）＋f（log２１２）＝________.解析：因为f（—２）＝１＋log２４＝３，f（log２１２）＝２log２１２—１＝6，所以f（—２）＋f（log２１２）＝9．答案：9２．（２0１8·苏州期末）函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：画出f（x）的图象如图所示，可看出函数的值域为（—∞，１]．答案：（—∞，１]３．（２0１8·南京名校联考）f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为f错误!＝log３错误!＝—２，所以f错误!＝f（—２）＝错误!—２＝9．答案：9４．（２0１9·南通调研）函数f（x）＝错误!＋lg（x＋１）的定义域是________．解析：由题意得错误!⇒x＞—１且x≠１，所以函数f（x）的定义域是（—１,１）∪（１，＋∞）．答案：（—１,１）∪（１，＋∞）５．（２0１8·启东中学检测）已知函数y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，则函数y＝f（x）的定义域为________．解析：因为y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，所以x∈[—错误!，错误!]，x２—１∈[—１,２]，所以y＝f（x）的定义域为[—１，２]．答案：[—１,２]6．已知具有性质：f错误!＝—f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：１y＝x—错误!；２y＝x＋错误!；３y＝错误!其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于１，f（x）＝x—错误!，f错误!＝错误!—x＝—f（x），满足；对于２，f错误!＝错误!＋x ＝f（x），不满足；对于３，f错误!＝错误!即f错误!＝错误!故f错误!＝—f（x），满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是１３.答案：１３7．（２0１9·扬州一模）若函数f（x）＝错误!为奇函数，则f（g（２））＝________.解析：因为函数f（x）＝错误!为奇函数，所以当x＞0时，—x＜0，则f（—x）＝２x—２＝—f（x），所以f（x）＝—２x＋２，即g（x）＝—２x＋２．所以g（２）＝—２２＋２＝—２，f（g（２））＝f（—２）＝２２—２＝２．答案：２8．已知函数f（x）＝错误!若f（１）＝错误!，则f（３）＝________.解析：由f（１）＝错误!，可得a＝错误!，所以f（３）＝错误!２＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·泰州一调）设函数f（x）＝错误!若f（x）＞２，则x的取值范围是________．解析：不等式f（x）＞２可化为错误!或错误!解得x＞错误!或x＜—１．答案：（—∞，—１）∪错误!１0．（２0１9·无锡一中月考）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log错误!f（x）的定义域是________．解析：要使函数g（x）有意义，需f（x）＞0，由f（x）的图象可知，当x∈（２,8]时，f（x）＞0．答案：（２,8]１１．（２0１9·南京金陵中学月考）二次函数f（x）满足f（x＋１）—f（x）＝２x，且f（0）＝１．（１）求f（x）的解析式；（２）若在区间[—１,１]上，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝２x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．解：（１）由f（0）＝１，可设f（x）＝ax２＋bx＋１（a≠0），故f（x＋１）—f（x）＝a（x＋１）２＋b（x＋１）＋１—（ax２＋bx＋１）＝２ax＋a＋b，由题意得错误!解得错误!故f（x）＝x２—x＋１．（２）由题意，得x２—x＋１＞２x＋m，即x２—３x＋１＞m，对x∈[—１,１]恒成立．令g（x）＝x２—３x＋１，则问题可转化为g（x）min＞m，又因为g（x）在[—１,１]上递减，所以g（x）min＝g （１）＝—１，故m＜—１，即实数m的取值范围为（—∞，—１）．１２．（２0１8·南京期末）已知二次函数f（x）满足f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点．（１）求二次函数f（x）的解析式；（２）已知集合U＝[１,４]，B＝错误!，求∁U B.解：（１）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），因为f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点，所以错误!解得a＝３，b＝—２，所以f（x）＝３x２—２x.（２）y＝错误!＝３—错误!，当x∈[１,４]时，函数y＝３—错误!是增函数，当x＝１时，y取得最小值１；当x＝４时，y取得最大值错误!，所以B＝错误!，又集合U＝[１,４]，故∁U B＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知实数a≠0，函数f（x）＝错误!若f（１—a）＝f（１＋a），则a＝________.解析：当a＞0时，１—a＜１,１＋a＞１．由f（１—a）＝f（１＋a）得２—２a＋a＝—１—a—２a，解得a＝—错误!，不合题意；当a＜0时，１—a＞１,１＋a＜１，由f（１—a）＝f（１＋a）得—１＋a—２a＝２＋２a＋a，解得a＝—错误!，所以a的值为—错误!.答案：—错误!２．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋２）＝２f（x），若当0≤x≤２时，f（x）＝x（２—x），则当—４≤x≤—２时，f（x）＝________.解析：由题意知f（x＋４）＝２f（x＋２）＝４f（x），当—４≤x≤—２时，0≤x＋４≤２，所以f（x）＝错误!f（x＋４）＝错误!（x＋４）[２—（x＋４）]＝—错误!（x＋４）（x＋２），所以当—４≤x≤—２时，f（x）＝—错误!（x＋４）（x＋２）．答案：—错误!（x＋４）（x＋２）３．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：y＝错误!＋mx＋n（m，n是常数）．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图．（１）求出y关于x的函数表达式；（２）如果要求刹车距离不超过２５．２米，求行驶的最大速度．解：（１）由题意及函数图象，得错误!解得m＝错误!，n＝0，所以y＝错误!＋错误!（x≥0）．（２）令错误!＋错误!≤２５．２，得—7２≤x≤70．因为x≥0，所以0≤x≤70．故行驶的最大速度是70千米/时．。
2020版高考数学江苏专版(文科)一轮复习学案第二章第四节函数的图象含解析
第四节函数的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线． 2．图象变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． (2)对称变换①y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象―――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象．(4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． [小题体验]1．f (x )的图象如图所示，则f (x )＝________.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈(0，2]2．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝________.解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的解析式为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，所以f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.答案：e－x －13．(2018·扬州期末)若函数y ＝f (x )的图象经过点(1,2)，则函数y ＝f (－x )＋1的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y ＝f (－x )＋1的图象．把函数y ＝f (x )的图象上的点(1,2)关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得点(－1,3)， 故函数y ＝f (－x )＋1的图象必定经过的点的坐标是(－1,3)． 答案：(－1,3)1．函数图象的每次变换都针对自变量“x ”而言，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x 变成x －12.2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y ＝f (|x |)的图象属于自身对称，而y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称是两个函数．[小题纠偏]1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于________对称．答案：原点2．把函数y ＝f (2x )的图象向右平移________个单位得到函数y ＝f (2x －3)的图象． 答案：32考点一 作函数的图象 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.图象如图1.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.图象如图3.[谨记通法]作函数图象的3种常用方法考点二 识图与辨图 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝________.解析：由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x ＜－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：－12．(2019·启东检测)若函数f (x )＝|a x ＋b |(a ＞0，a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f (x )的零点为12，即a ＋b ＝0.由图可得，当x ＞12时，函数f (x )为增函数，故a ＞1，所以a ＋b ＝a －a ＝⎝⎛⎭⎫a －122－14∈(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)[由题悟法]识图3种常用的方法[即时应用]1．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________． 解析：由图象易知f (x )的值域为(－∞，－1]∪(1,3)． 答案：(－∞，－1]∪(1,3)2．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝________.解析：由图象知f (3)＝1，所以1f (3)＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：2考点三 函数图象的应用 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有： (1)研究函数的性质； (2)求参数的值或范围； (3)研究不等式；(4)确定方程根(零点)的个数．(详见本章第八节考点二)[题点全练]角度一：研究函数的性质 1．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1，x ∈(1，3).作出函数f (x )的图象如图所示．(1)由图知函数f (x )的单调递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]和[2,3]． (2)由图象可知，若y ＝f (x )与y ＝m 图象有四个不同的交点，则0＜m ＜1， 所以集合M ＝{m |0＜m ＜1}． 角度二：求参数的值或范围2．(2019·苏州实验中学测试)定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：设g (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把g (x )的图象向上平移4个单位长度，可得f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，可得m 的取值范围为(4,5)．答案：(4,5)角度三：研究不等式3．(2018·启东中学测试)如图所示，函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，则不等式f (x )＞f (－x )－2x 的解集是________．解析：由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )＞－x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．答案：(－1,0)∪(1，2]4．若不等式(x －1)2＜log a x (a ＞0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立；当a ＞1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1＜a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．答案：(1,2][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (3－a 2)＜f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，因为f (3－a 2)＜f (2a )，所以3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.答案：(－3,1)2．(2019·扬州中学高三调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＜0，log a x (a ＞0，a ≠1)，x ＞0的图象上关于y 轴对称的点恰有9对，则实数a 的取值范围是________．解析：若x ＞0，则－x ＜0， ∵x ＜0时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，∴f (－x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2x －1＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1， 则若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＜0关于y 轴对称， 则f (－x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1＝f (x )， 设g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＞0，作出函数g (x )的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＞0与f (x )＝log a x ，x ＞0的图象恰有9个交点，则0＜a ＜1，且满足f (17)＞g (17)＝－2，f (21)＜g (21)＝－2， 即－2＜log a 17，log a 21＜－2， 解得2121＜a ＜1717. 答案：⎝⎛⎭⎫2121，1717一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数f (x )＝x 2＋1，若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为________． 解析：作出函数图象(图略)，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)＜f (x 2)． 答案：f (x 2)＞f (x 1)2．(2018·常州一中期末)将函数y ＝e x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y ＝e x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y ＝e 2x ，再向右平移2个单位，可得y ＝e 2(x －2)＝e 2x －4.答案：y ＝e 2x －43．(2018·前黄中学月考)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．解析：y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎨⎧ x ＞1，f (x )≤0或⎩⎨⎧x ＜1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2]．答案：(－∞，0]∪(1,2]4．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．答案：(－1,0)5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a ＞0. 答案：(0，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的图象如图所示，令t ＝f (a )，则f (t )≤2，由图象知t ≥－2，所以f (a )≥－2，当a ＜0时，由a 2＋a ≥－2，即a 2＋a ＋2≥0恒成立，当a ≥0时，由－a 2≥－2，得0≤a ≤2，故a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图象上．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132－x ＝3x －2，即g (x )＝3x －2. 答案：g (x )＝3x －22．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ＞0)， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14，∴当x ＞0时，f (x )＝14(x －2)2－1＝14x 2－x .故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x ＞0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x ＞03．(2019·江阴中学检测)方程x 2－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y ＝x 2－|x |的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，作出两函数的图象如图，易知－14＜1－a ＜0，所以1＜a ＜54.答案：⎝⎛⎭⎫1，544．(2019·启东中学期中)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )x －1≤0的解集为________．解析：不等式f (x )x －1≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，x －1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，x －1＞0.由图象可知：当1＜x ≤5时，由f (x )≤0，解得2≤x ≤5. 当0≤x ＜1时，由f (x )≥0，解得0≤x ＜1，因为f (x )为奇函数，当－2＜x ＜0时，由f (x )≥0，此时无解， 当－5≤x ≤－2时，由f (x )≥0，解得－5≤x ≤－2， 故不等式的解集为[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]． 答案：[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________．解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1， 0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1. 故x ＞0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点， 故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1)6．(2019·镇江中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，0＜x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，则b ＋c ＝2×12＝24，a ∈(1,10)，则a ＋b ＋c ＝24＋a ∈(25,34)． 答案：(25,34)7．(2019·徐州调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，若直线y ＝kx ＋k (k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，∴作出函数f (x )的图象如图所示．∵y ＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，故该直线的图象一定过点(－1,0)，若y ＝kx ＋k 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根， ∵k ＞0，∴当y ＝kx ＋k 过点(2,1)时，k ＝13，当y ＝kx ＋k 过点(3,1)时，k ＝14，要使f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根，则实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，13. 答案：⎣⎡⎭⎫14，138．(2019·金陵中学月考)已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是________．解析：f (x )·g (x )＜0⇒f (x )与g (x )在同一区间内符号相反，由图可知，当x ∈[0，π]时，两者异号的区间为⎝⎛⎭⎫π3，π. 又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴当x ∈[－π，0)时，两者异号的区间为⎝⎛⎭⎫－π3，0， ∴f (x )·g (x )＜0的解集是⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π. 答案：⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π 9．(2018·盐城一中测试)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)因为f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x ＜4.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－4，x ≥4，－(x －2)2＋4，x ＜4，所以函数f (x )的图象如图所示． 由图象知函数f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜4或x ＞4}． (5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0＜m ＜4， 所以集合M ＝{m |0＜m ＜4}． 10．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确命题的个数为________．解析：因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数；由y ＝lg x ――――――――――→图象向左平移1个单位长度y ＝lg(x ＋1)――――――――――――――――――――――――――→去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象y ＝lg(|x |＋1)――――――――――→图象向右平移2个单位长度y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．答案：22．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ， g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0,2]上为减函数， 所以1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， 所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．命题点一 函数的概念及其表示1．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}2．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．解析：要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．答案：[－3,1]3．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2， x ∈R ，则实数a ＝____，b ＝________.解析：因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1，所以f (a )＝a 3＋3a 2＋1， 所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2 ＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3， ①a 2＋2ab ＝0， ②a 3＋3a 2＝a 2b . ③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案：－2 14．(2018·全国卷Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是________．解析：法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x ， 即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为1＜2－2x ，解得x ＜0. 因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，2x ＜0，2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x ＜0，∴x ＜0.答案：(－∞，0)1.(2016·江苏高考[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得 f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35. 所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－252．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0； 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.由f (x )＞x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＞x ，x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ＞x ，x ＜0，解得x ＞5或－5＜x ＜0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.解析：法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案：24．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________．解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是 (－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：由已知得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12， 又函数f (x )是奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝12. 答案：126．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈ [－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (x )的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f (919)＝f (1)． 又f (x )为偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：6命题点三 函数的图象1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m .答案：m2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________. 解析：因为f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，所以4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.答案：－2。
2019-2020年高考数学复习 函数问题的题型与方法教案 苏教版
2019-2020年高考数学复习函数问题的题型与方法教案苏教版一．复习目标：1．了解映射的概念，理解函数的概念。
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
二．考试要求：1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。
2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题和解决问题的能力。
三．教学过程：（Ⅰ）函数的概念型问题函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．㈠深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．解：(1)由0＜x＜2，得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．2．求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．3．求函数解析式举例例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？所以因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．（Ⅱ）函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
2019高考数学(理)一轮复习全套学案
2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12， ﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节 函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。
2019高考数学大一轮复习 2.7函数的图象课件 理 苏教版 共103页
跟踪训练2 函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是下列图象 中的___①_____.
解析 容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除④.
当0<x<
π 2
时，y＝xsin
x>0，当x＝π时，y＝0，可排除②③，
所以符合条件的应为①.
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示， 则y＝－f(2－x)的图象为________.
题号
1 2
3
4
答案
② f(x)＝e－x－1 x＋1，x∈[－1，0] f(x)＝14x－22－1，x∈0，＋∞
[－1,2)
解析
当x∈[－1,0]时，设y＝kx＋b，
－k＋b＝0，
k＝1，
由图象得k×0＋b＝1， 解得b＝1， ∴y＝x＋1.
当x>0时，设y＝a(x－2)2－1， 由图象得 0＝a(4－2)2－1，解得 a＝14， ∴y＝14(x－2)2－1.
思维点拨
解析
思维升华
(1)利用函数的图象可解决
方程和不等式的求解问题，
如判断方程是否有解，有
多少个解．数形结合是常
用的思想方法．
(2)利用图象，可观察函数
的对称性、单调性、定义
域、值域、最值等性质．
思维点拨
解析
思维升华
例3 (2)求集合M＝{m|使方程
f(x)＝m有四个不相等的实根}.
例3 (2)求集合M＝{m|使方程 f(x)＝m有四个不相等的实根}.
例2 (1)函数y＝ax2＋bx与y＝l o g | b | x (ab≠0，|a|≠|b|)在同一 a
直角坐标系中的图象可能是________.(填序号)
高考数学一轮总复习 2.7 函数的图象及其应用课件 理 苏教版
解析
对于①：f(x)值域值域也是[0，＋∞)． 对于②：f(x)的值域为(－1，＋∞)，经变换T后f(x)＝1－ 2x－1，值域为(－∞，1)． 1 对于③：f(x)＝1－ ，其图象关于点(－1,1)对称，因此经 x＋1 变换T后值域不变．
答案 ①③
(3)翻折变换 保留x轴上方图象 ①y＝f(x) ――――――――――→ y＝ |f(x)| 将x轴下方图象翻折上去 . ．
保留y轴右边图象，并作其 ②y＝f(x)―――――――――――――→y＝ f(|x|) 关于y轴对称的图象 (4)伸缩变换
纵坐标伸长a＞1或缩短0＜a＜1为原来 ①y＝f(x) ―――――――――――――――→ y＝af(x)(a＞0) 的a倍，横坐标不变 横坐标伸长0＜a＜1或缩短a＞1为原来 ②y＝f(x) ―――――――――――――――→ y＝f(ax)(a＞0) 1 的a倍，纵坐标不变
(√)
[感悟·提升]
三个防范 一是函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左
加右减”，但要注意加、减指的是自变量．如(5)；二是注意 含绝对值符号的函数的对称性，如 y ＝ f(|x|) 与 y ＝ |f(x)| 的图象 是不同的，如(3)；三是混淆条件“f(x＋1)＝f(x－1)”与“f(x ＋1)＝f(1－x)”的区别，前者告诉周期为2，后者告诉图象关 于直线x＝1对称，如(2).
考点一
作函数的图象
【例1】 分别画出下列函数的图象． 2x＋1 (1)y＝|x －4x＋3|；(2)y＝ ；(3)y＝10|lg x|. x＋1 解 (1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象
2
翻折到x轴上方，如图(1)．
2x＋1 2x＋1－1 1 (2)y＝ ＝ ＝2－ ， x＋1 x＋1 x＋1 1 可由函数y＝－ 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，如图(2)． x x，x≥1， (3)y＝10|lg x|＝1 如图(3)． ，0＜x＜1， x
高考数学一轮总复习 2.7 函数的图象及其应用课件 理 苏教版
考点一 作函数的图象 【例1】 分别画出下列函数的图象．
(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2xx＋＋11；(3)y＝10|lg x|.
• 解 (1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象(tú xiànɡ)，再将其x轴下方的图象(tú xiànɡ)翻折到 x轴上方，如图(1)．
第十页，共27页。
第三页，共27页。
(2)对称变换
①y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝ －f(x) ；
②y＝f(x)――关―于―y―轴―对―称―→y＝ f(－x)
；
③y＝f(x)――关―于―原――点―对―称―→y＝ －f(－x) ；
④y＝ax(a＞0且a≠1)关―于――y＝―x―对→称y＝ logax(a＞0且a≠1)
第二十页，共27页。
• 【训练3】 已知函数(hánshù)f(x)＝|x2－4x＋3|.
• (1)求函数(hánshù)f(x)的单调区间，并指出 其解增f减(x)＝性；－x－x2－22－21＋，1x，∈x∈－∞ 1，，31，]∪[3，＋∞，
• (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相
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审题路线 (1)画出x∈[－1,1]时，f(x)＝x2的图象⇒根据周期
• (2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点
为2画出x∈(1，＋∞)时的函数图象⇒画出函数y＝|lg x|的图
象注意――x＝―，1―0则时―的―a的→情形取观值察范图象围，是得_出__交_点__个_数_．．
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(hánshù)、对数函数(hánshù)、三角函数(hánshù)
等函数(hánshù)的图象，再掌握图象变换的规律
作图．
高一数学教案：苏教版高一数学函数的图象
第7课时函数的图象教学目标：使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图教学重点： 用平移变换和翻折变换作图.教学难点： 用平移变换和翻折变换作图.教学过程：(1) 作函数图象的一般步骤：① 确定函数的定义域(决定图象的左、右位置)和值域(决定图象的上、下位置).② 化简函数的表达式(如含绝对值的函数应化为分段函数 ).③ 讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性等图象特征及图象上特殊点的位置). ④ 利用基本函数图象作出所需函数的图象 .(2) 描绘函数图象的基本方法有① 描点法：通过列表、描点、连线三步，画出函数的图象② 图象变换法：一个函数图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象问题1 :平移变换都有哪些内容？【答】平移变换主要有① 水平平移y = f(x ± a)(a>0)的图象，可由 尸f(x)的图象向左或右平移a 个单位得到. ② 竖直平移y = f(x)± b(b>0)的图象，可由y = f(x)的图象向上或向下平移b 个单位而得到. 问题2 :翻折变换都有哪些内容？【答】翻折变换主要有① y = f(|x|)的图象在y 轴右侧(x>0)的部分与y = f(x)的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部 分关于y 轴对称.② y =f(x)|的图象在x 轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y = f(x)图象下方部分关于x 轴的对称图形.［例3］作函数y =| x 2— 2x | + 2的图象.x + 1 1［例1］作函数y = 2 （ 5-x ） 4 — x x < 11 v x < 3的图象.x > 3［例2］作函数y = x 2— 2 | x | —2的图象.［例4］如何由函数y= x2的图像变换得到函数y=( x—1) 2+ 2的图象?1［例5］作函数y= ----- —3的图象.x—1总结：图像平移1［例6］作函数y= x + -的图象.xb扩展：y= ax + - (a>0, b>0)的图像.—练习题：1•如图为函数f(x)的图象，那么f(x )是()A.f(x)= x2—2冈+ 1B.f(x) = x2—2x|+ 1C.f(x)=贰—1|D.f(x) = \/x2+ 2x+ 1【解析】■/ A:f(x)=||x|—1|;B:f(x)=(|x|— 1)2;D:f(x)=|x+ 1|•••可以看出B、C对应的图象应是曲线，不符合要求，而D在x=1时，不符合要求. 【答案】A2.若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1 , 0)变换成点的图象经此变换后所得图象的函数解析式为( )【答案】AA.y= f(x —1) —1 C.y = f( ——1) +1B.y= f(x+ 1) —1 D.y = f(x+ 1) + 1。
高三数学函数的图像苏教版知识精讲
高三数学函数的图像苏教版知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的图像二. 教学目的：1、掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法。
2、会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题。
3、用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题。
4、掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力。
三. 重点、难点：教学重点：会利用函数图象，研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题。
教学难点：逆向使用图象解决问题。
四、知识点归纳：1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
2、三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等方面。
4、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到。
①y=f （x ）h左移→y=f （x+h ）；② y=f （x ） h右移→y=f （x -h ）； ③y=f （x ） h上移→y=f （x ）+h ；④y=f （x ） h下移→y=f （x ）-h. 5、对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y fx -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到；（5）函数)x a 2(f y -=的图像可以将函数)x (f y =的图像关于直线x=a 对称得到。
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2019-2020年高考数学大一轮复习 2.7函数的图象学案 理 苏教版导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图：(1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(0<a <1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(______)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称； ③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称；⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点______对称；⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．自我检测1．(xx·北京改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向(填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向(填“上”或“下”)________平移________个单位长度．2．(xx·烟台一模)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于________对称．4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．5．(xx·淮安模拟)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________(填序号)．探究点一 作图例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象；(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；(3)作函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1的图象．探究点二 识图例2 (1)函数|的图象大致是________(填入正确的序号)．(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________．①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos xx；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)．变式迁移2 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)．探究点三 图象的应用例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．变式迁移3 (xx·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．数形结合思想例 (5分)(xx·北京东城区一模)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，ts的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 因函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，所以y ＝f (x )是奇函数．又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，令y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，图象的对称轴为x ＝1，当1≤s ≤4时，要使s 2－2s ≥t 2－2t ，即s －1≥|t －1|，当t ≥1时，有s ≥t ≥1，所以14≤ts≤1；当t <1时，即s －1≥1－t ，即s ＋t ≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s ≤4，t <1，s ＋t ≥2组成的不等式组的可行域.t s为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤t s<1.【突破思维障碍】当s ，t 位于对称轴x ＝1的两边时，如何由s 2－2s ≥t 2－2t 判断s ，t 之间的关系式，这时s ，t 与对称轴x ＝1的距离的远近决定着不等式s 2－2s ≥t 2－2t 成立与否，通过数形结合判断出关系式s －1≥1－t ，从而得出s ＋t ≥2，此时有一个隐含条件为t <1，再结合1≤s ≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s ，t 所在区域时，要结合t s的几何意义为点(s ，t )和原点连线的斜率，确定s 为横轴，t 为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s 2－2s ≥t 2－2t 后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s ，t 都在二次函数y ＝x 2－2x 的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s ，t 在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s ，t 在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t <1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(xx·重庆改编)函数f (x )＝4x＋12x 的图象关于______对称．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围为__________________．3．(xx·北京海淀区一模)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是________(填序号)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0x 2－2x ＋1， x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________．6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．(xx·连云港模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有2个公共点，则a 的取值范围为________．8．如图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________． (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．二、解答题(共42分)9．(14分)(xx·无锡模拟)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．10．(14分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案 自主梳理 3．(1)左 右 |a | 上 下 |a | (2)a >1 a >1 0<a <1 a (3)①原点 y ②y ③x④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b ) ⑦上方 ⑧右方 自我检测1．左 3 下 1 2．③3．坐标原点解析 ∵f (－x )＝－1x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．4．(－1,0)解析 作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．5．②解析 由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0， ∴0<a <1. 课堂活动区例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14， x >1或x <0，其图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0的部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 解 定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．答案 (1)③ (2)③解析 (1)y ＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)x (x >1)，所以图象画法正确的应为③.(2)由图象知f (x )为奇函数，排除④；又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故应为③.变式迁移2 ①解析 因为f (1－x )＝f (－(x －1))，故y ＝f (1－x )的图象可以由y ＝f (x )的图象按照如下变换得到：先将y ＝f (x )的图象关于y 轴翻折，得y ＝f (－x )的图象，然后将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位，即得y ＝f (－x ＋1)的图象．故应为①.例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(a ＋3)＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0.当其图象如图所示时满足题意．由图知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －14<1，解得1<a <54.课后练习区 1．y 轴解析 f (x )＝2x ＋2－x，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称．2．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，可以画出函数f (x )在(0，＋∞)上的图象． 又f (x )为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，根据对称性，画出函数在(－∞，0)上的图象．如图．由图象可知，f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 3．④解析 ①、②、③中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾． 4．0<a <1解析 由f 2(x )－af (x )＝0可得f (x )＝0或f (x )＝a ，画出函数y ＝f (x )的图象如图所显然当f (x )＝0时，只有一个实数解，所以f (x )＝a 时应有三个实数解． 结合图象不难得到0<a <1. 5．－1解析 ∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y 轴右边，∴－b2a>0，∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1. 6．右 1解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.7．(0，12)解析 规范作图如下：由图知0<2a <1，所以a ∈(0，12)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(3分)(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4， x <4.………………………………………………(7分)f (x )的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(9分)(4)由图象可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(12(5)∵f (5)＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(14分)10．解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(5分)当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log 2a ≥1.………………………………………………………………(12分)∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分)因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分)方法二 作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分)可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分)方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0…………………………………………(4分)等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.…………………………………………………(6分)(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分)故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．………………………………………………(14分)。