专题：二次函数中的动点问题2(平行四边形存在性问题)

y

x O

二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题

一、技巧提炼

1、二次函数y=ax 2

+bx+c 的图像和性质

a ＞0

a ＜0

图 象

开 口 对 称 轴 顶点坐标

最 值

当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减

性

在对称轴左侧

y 随x 的增大而

y 随x 的增大而

在对称轴右侧

y 随x 的增大而 y 随x 的增大而

2、平行四边形模型探究

如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。

A

B

C x

y

图1 图2

如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。

由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

3、平面直角坐标系中直线和直线l2:

当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1

4、二次函数中平行四边形的存在性问题：

解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算

二、精讲精练

1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

2、（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。

【变式练习】

（2007•河南）如图，对称轴为直线x=2

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的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？

②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

四、方法规律

1、平行四边形模型探究

如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。

A

B

C x

y

图1 图2

以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 2、平面直角坐标系中直线和直线l 2:

当l 1 ∥l 2时k 1= k 2; 当l 1 ⊥l 2时k 1·k 2= -1

五、实战训练

1、抛物线y ＝－(x ＋2)2

－3的顶点坐标是（）

(A ) （2，－3）； (B ) （－2，3）； (C ) （2，3）； (D ) （－2，－3）

2、已知抛物线()20y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A 、a ＞0

B 、b ＜0

C 、c ＜0

D 、a +b +c ＞0

3、函数()20y ax a =-≠与()20y ax a =≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

4、如图，一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数)0(2

2≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、

B (9，2)两点，则关于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2

的解集为（ ）

A 、91≤≤-x

B 、91<≤-x

C 、91≤<-x

D 、1-≤x 或9≥x

5、出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8)x -个，则当x 为多少元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大。

6、（2012•宜宾）如图，抛物线y=x 2

﹣2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x ﹣5上。

（1）求抛物线顶点A 的坐标；

（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ．D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状； （3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求点P 的

坐标；若不存在，请说明理由。

7、已知，如图A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，点E为x轴上一个动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为D，交y轴于N点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设点E（t，0），△BEN的面积为S，请求出S与t的函数关系式；

（3）已知点F是抛物线y=ax2+bx+c上的一动点，点G是坐标平面上的一动点，在点E的移动过程中，是否存在以点B、E、F、G四点为顶点的四边形是正方形，若存在，请求出E点的坐标，若不存在，请说明理由．