大学物理 刚体的定义及其计算~1
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Fin , f in与ri 平行不产生力矩
2
aiτ = ri β
合外力矩
Fiτ + f iτ = Δmi riβ
Fiτ ri + f iτ ri = Δmi r i β
合内力矩
10
F r +∑f r = ∑ Δm r β = Jβ ∑ J =∑ Δm r 刚体转动惯量（对于该轴）
2 iτ i iτ i
圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
3
刚体的一般运动
质心的平动
+
绕质心的转动
4
5.1 刚体转动的描述
一 刚体定轴转动的描述
1. 刚体的定义
在外力作用下,大小和形状始终保持不变的物体 2. 刚体的特点 刚体可以看成是由许多质点组成
刚体内质点间的相对位置保持不变
从质点及质点组的运动规律出发来讨论刚体的运动
（3）合力对转轴的力矩
M = M 1 + M 2 ++ M n
9
i个质元 mi 2转动定律： 任取第 Fi , f i 分别为其所受合外力， 合内力 z Fi + f i = Δmi ai 由牛顿第二定律： ai为其作圆周运动加速度 f i Fi 取自然坐标： Fiτ + f iτ =Δmi aiτ mi n ri Fin + f in = Δmi ain
d d 2 2 dt dt
加速转动 减速转动
与同向 与反向
① 已知θ=θ(t)，利用求导法求ω=？β=?
a t r 2 a n r
8
r
② 已知β及初始条件，用积分法求ω=?θ=?
5.2
转动定律
Moz = r ×F
初始条件
t 0 0 0 0 0
求： 任意时
? ?
解：方法①：根据转动定律
l 3 g M mg cos J cos 2 2l d d d d d d d dt d dt 3g 3g sin d cos d 0 0 l 2l
dm = λdx
λ:质量线密度
2
2
求：杆的转动惯量？ λ = m L
x x x
m
(2) (3)
J L 2x 2 dx
2
L
1 = mL2 12
J ∫ L
-(
( L h) 2 2 -h)
o x dx 任意轴
h
λx dx
平 行 轴 定 理 刚体对任意轴的转动惯 量等于刚体对通过质心 轴的转动惯量加上刚体 的质量与两平行轴之间 距离平方的乘积 14
0 2( 0 )
（2）角速度矢量
（3）角加速度矢量
方向： 沿转轴，其指向与刚体转 动方向成右手螺旋关系 大小： 单位时间转过的角度
O
v r
r （4）线量与角量的关系 a r （5）定轴转动的两类问题 a n
M oz Fr sin
z
M F平行
1 力矩
（1）定义
o
大小：
d
r
p
F垂直
F F
方向： 沿轴线 其指向与 r× F方向一致
（2）关于力对转轴的力矩写法 按标量处理 M = r ×F
M oz = r ×F垂直
规定轴正方向
取“+” M Fr sin 当力矩的方向与规定的转轴正向相同时， 当力矩的方向与规定的转轴正向相反时，取“-” M Fr sin
r2
（ 3） M 指外力矩矢量和，并非合力的力矩 11 （4）注意 M , 方向性
（1）力矩的瞬时效应 （ 2） M , J , 均对同一转轴
说明
5.3 转动惯量(J)的计算
（1）定义式 质点：
J =∑ ( Δm i ri2 )
i =1 n
J = mr 2
dm = λdx
（1）J与物体的总质量有关 （2）与物体的质量分布有关
（3）与转轴的位置、方向有关
（4）与是否转动、是否受力和力矩无关
13百度文库
例1：一匀质杆， 已知：m 解： (1)
L
dx o x 2 = x λdx dJ = x dm dx L 1 2 J dJ λ x dx mL 质心轴 o x ∫ 0 3
17
1 2 J ml 3
mg
方法②：根据机械能守恒定律
（细棒、地球为系统）
Ep 0
取水平位置的重力势能为零点
1 2 0 J mghC 2 1 2 J ml 3 1 hC l sin 2
mg
3g sin l
18
1 RT J MR2 1 2 RT MRa 2mg 2 M a 2m M mg – T = ma
2ah
2 2 0
0 0
T1=T2=T
h
4 mgh 2ah R 2m M
16
例2:
均匀细棒长 l ，质量m ，可绕一端在竖直平面转动
5
3. 刚体运动的基本形式 （1）平动 刚体在运动中，刚体内任意两点
的连线在空间的指向总保持平行
刚体内各质点的运动轨迹都一样 在同一时刻各质点的速度和加速度都相等。 作平动的刚体可按质点来处理。 （2）转动 （定轴转动） ①各质点都绕转轴作圆周运动 ② 运动的角量（，，）都一样
6
O
定 轴
刚体 （1）刚体定轴转动的描述； （2）转动定律，转动惯量； （3）力矩的功，刚体的动能和动能定理； （4）刚体角动量定理和角动量守恒定律；
1
平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全
相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们 的初始位置间的连线 .
刚体平动
质点运动
2
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做
2
1 = mL2 +mh 2 12
= J C +mh
2
例2： 求质量为m，半径为R的细圆环和薄圆盘对通过中心 并与圆面垂直的转轴的转动惯量 解：（1）
dJ = R dm
J R dm ∫
m 2
2
m
dm
dr
= mR
2
o
R
（ 2）
ds = 2 πrdr
dm = σds
σ =m
2
= σ • 2 πrdr
4 刚体定轴转动的角量描述 （1）角量 ① 角位置： θ θ (t ) 转动平面
O
d θ ② 角速度：ω dt dω d 2θ ③ 角加速度： β 2 dt dt
④ 刚体匀变速转动运动学公式 :
θ A
O
。
x
A
定轴
7
ω ω0 t
2 2
。
1 2 0 0 t t 2
质量面密度
o
r
R
πR 2
R
dJ = r dm
J
m
= σ • 2 πr dr
3
3
d J = σ 2 πr dr ∫ ∫ 0
1 2 = mR 2
15
5.4
转动定律的应用
已知：M、R、m，绳质量不计，求：物 例题1 体由静止开始下落h 高度时的速度和滑 轮的角速度。 解：
a R
R T1 T2 m mg m
质量连续分布的刚体
a: 任取质量元dm b: 质量元转动惯量 c: 积分代替求和
dm = σds
dm = ρdV
dJ = r dm
2
J
m
r dm
12
2
刚体组成的系统：J = J 1 +J 2 ++J n
转动惯性量度与m相对应
（2）物理意义 描述转动物体转动惯性的大小
（3）决定转动惯量J 的因素
2
i i
i i
∑
d
（力臂相同d） f iτ ri f = f ′ M1 = M 2 r1 × f与r2 × f ′ 反向 M 1 - M 2 z
r1
f
Fiτ ri JβM 外 = Jβ f ∑
i iτ i
M 内 =0 ∑
f ∑
r =0
2
aiτ = ri β
合外力矩
Fiτ + f iτ = Δmi riβ
Fiτ ri + f iτ ri = Δmi r i β
合内力矩
10
F r +∑f r = ∑ Δm r β = Jβ ∑ J =∑ Δm r 刚体转动惯量（对于该轴）
2 iτ i iτ i
圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
3
刚体的一般运动
质心的平动
+
绕质心的转动
4
5.1 刚体转动的描述
一 刚体定轴转动的描述
1. 刚体的定义
在外力作用下,大小和形状始终保持不变的物体 2. 刚体的特点 刚体可以看成是由许多质点组成
刚体内质点间的相对位置保持不变
从质点及质点组的运动规律出发来讨论刚体的运动
（3）合力对转轴的力矩
M = M 1 + M 2 ++ M n
9
i个质元 mi 2转动定律： 任取第 Fi , f i 分别为其所受合外力， 合内力 z Fi + f i = Δmi ai 由牛顿第二定律： ai为其作圆周运动加速度 f i Fi 取自然坐标： Fiτ + f iτ =Δmi aiτ mi n ri Fin + f in = Δmi ain
d d 2 2 dt dt
加速转动 减速转动
与同向 与反向
① 已知θ=θ(t)，利用求导法求ω=？β=?
a t r 2 a n r
8
r
② 已知β及初始条件，用积分法求ω=?θ=?
5.2
转动定律
Moz = r ×F
初始条件
t 0 0 0 0 0
求： 任意时
? ?
解：方法①：根据转动定律
l 3 g M mg cos J cos 2 2l d d d d d d d dt d dt 3g 3g sin d cos d 0 0 l 2l
dm = λdx
λ:质量线密度
2
2
求：杆的转动惯量？ λ = m L
x x x
m
(2) (3)
J L 2x 2 dx
2
L
1 = mL2 12
J ∫ L
-(
( L h) 2 2 -h)
o x dx 任意轴
h
λx dx
平 行 轴 定 理 刚体对任意轴的转动惯 量等于刚体对通过质心 轴的转动惯量加上刚体 的质量与两平行轴之间 距离平方的乘积 14
0 2( 0 )
（2）角速度矢量
（3）角加速度矢量
方向： 沿转轴，其指向与刚体转 动方向成右手螺旋关系 大小： 单位时间转过的角度
O
v r
r （4）线量与角量的关系 a r （5）定轴转动的两类问题 a n
M oz Fr sin
z
M F平行
1 力矩
（1）定义
o
大小：
d
r
p
F垂直
F F
方向： 沿轴线 其指向与 r× F方向一致
（2）关于力对转轴的力矩写法 按标量处理 M = r ×F
M oz = r ×F垂直
规定轴正方向
取“+” M Fr sin 当力矩的方向与规定的转轴正向相同时， 当力矩的方向与规定的转轴正向相反时，取“-” M Fr sin
r2
（ 3） M 指外力矩矢量和，并非合力的力矩 11 （4）注意 M , 方向性
（1）力矩的瞬时效应 （ 2） M , J , 均对同一转轴
说明
5.3 转动惯量(J)的计算
（1）定义式 质点：
J =∑ ( Δm i ri2 )
i =1 n
J = mr 2
dm = λdx
（1）J与物体的总质量有关 （2）与物体的质量分布有关
（3）与转轴的位置、方向有关
（4）与是否转动、是否受力和力矩无关
13百度文库
例1：一匀质杆， 已知：m 解： (1)
L
dx o x 2 = x λdx dJ = x dm dx L 1 2 J dJ λ x dx mL 质心轴 o x ∫ 0 3
17
1 2 J ml 3
mg
方法②：根据机械能守恒定律
（细棒、地球为系统）
Ep 0
取水平位置的重力势能为零点
1 2 0 J mghC 2 1 2 J ml 3 1 hC l sin 2
mg
3g sin l
18
1 RT J MR2 1 2 RT MRa 2mg 2 M a 2m M mg – T = ma
2ah
2 2 0
0 0
T1=T2=T
h
4 mgh 2ah R 2m M
16
例2:
均匀细棒长 l ，质量m ，可绕一端在竖直平面转动
5
3. 刚体运动的基本形式 （1）平动 刚体在运动中，刚体内任意两点
的连线在空间的指向总保持平行
刚体内各质点的运动轨迹都一样 在同一时刻各质点的速度和加速度都相等。 作平动的刚体可按质点来处理。 （2）转动 （定轴转动） ①各质点都绕转轴作圆周运动 ② 运动的角量（，，）都一样
6
O
定 轴
刚体 （1）刚体定轴转动的描述； （2）转动定律，转动惯量； （3）力矩的功，刚体的动能和动能定理； （4）刚体角动量定理和角动量守恒定律；
1
平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全
相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们 的初始位置间的连线 .
刚体平动
质点运动
2
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做
2
1 = mL2 +mh 2 12
= J C +mh
2
例2： 求质量为m，半径为R的细圆环和薄圆盘对通过中心 并与圆面垂直的转轴的转动惯量 解：（1）
dJ = R dm
J R dm ∫
m 2
2
m
dm
dr
= mR
2
o
R
（ 2）
ds = 2 πrdr
dm = σds
σ =m
2
= σ • 2 πrdr
4 刚体定轴转动的角量描述 （1）角量 ① 角位置： θ θ (t ) 转动平面
O
d θ ② 角速度：ω dt dω d 2θ ③ 角加速度： β 2 dt dt
④ 刚体匀变速转动运动学公式 :
θ A
O
。
x
A
定轴
7
ω ω0 t
2 2
。
1 2 0 0 t t 2
质量面密度
o
r
R
πR 2
R
dJ = r dm
J
m
= σ • 2 πr dr
3
3
d J = σ 2 πr dr ∫ ∫ 0
1 2 = mR 2
15
5.4
转动定律的应用
已知：M、R、m，绳质量不计，求：物 例题1 体由静止开始下落h 高度时的速度和滑 轮的角速度。 解：
a R
R T1 T2 m mg m
质量连续分布的刚体
a: 任取质量元dm b: 质量元转动惯量 c: 积分代替求和
dm = σds
dm = ρdV
dJ = r dm
2
J
m
r dm
12
2
刚体组成的系统：J = J 1 +J 2 ++J n
转动惯性量度与m相对应
（2）物理意义 描述转动物体转动惯性的大小
（3）决定转动惯量J 的因素
2
i i
i i
∑
d
（力臂相同d） f iτ ri f = f ′ M1 = M 2 r1 × f与r2 × f ′ 反向 M 1 - M 2 z
r1
f
Fiτ ri JβM 外 = Jβ f ∑
i iτ i
M 内 =0 ∑
f ∑
r =0