抛物线的简单几何性质(2)
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2.4.2 抛物线的
简单几何性质（2）
一.直线与抛物线位置关系
类型一：直线与对称轴不行平.
y x
O
1、相离(无交点) 2、相切(一个交点) 3、相交(两个交点)
类型二：直线与对称轴行平.
1、必相交(一个交点)
x
O
例题1 已知抛物线的方程y2=4x,直线l过
定点P(-2,1),且斜率为k.
(1)当k∈
设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB 1 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=
( y1 y1 )2 4 y1 y2 = 2 8b ，
,由 ABCD 为正方形有 2 8b =
4b 2
4b 2
,
解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .
综上, 我们可得 1 当k 1, 或 k , 或 k 0 时 , 直线 l 与抛物线只有 2 一个公共点 ; 1 当 1 k , 且k 0时 , 直线 l 与抛物线有两个公 2 共点; 1 当k 1 , 或k , 时 , 直线 l 与抛物线没有公共点 . 2
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 直线的方程是__________________________.
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
AD AF , BC BF
AF BF 2( 1 y) 4
ABF中, AF BF AB 2
2( y 1 3 ) 2, 即y 4 4
例5.已知抛物线y=x2,动弦ABΒιβλιοθήκη Baidu长为2，求AB中 点纵坐标的最小值。
y
M A D F
解： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y )
B
2 MN AD BC , MN
x
p 1 y y, 2 4
AD BC 2(
o
N C
1 y) 4
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
课外思考: 1.求抛物线 y 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 （即在抛物线的内部） 的轨迹方程. x 2 （ y≥ 2 2 ） 2.若抛物线 y 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 线 y x m 对称,且 x1 x2 ,则 m _____ . 2 2
几何画板演示
解 由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2.
由方程组
2
y 1 k x 2 , y 4x ,
2
①
可得 ky 4 y 4 2k 1 0
1 当k 0时,由方程① 得 y 1,
1 把 y 1代入 y 4 x, 得 x . 4
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.
课堂练习: 2.已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上,顶 B 点 A 、 在抛物线 y 2 x 上,求正方形的边长.
解：设 AB 的方程为 y=x+b, y xb 由 2 消去 x 得 y2-y+b=0， y x
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结 合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。
学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.
(2)当k∈
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
简单几何性质（2）
一.直线与抛物线位置关系
类型一：直线与对称轴不行平.
y x
O
1、相离(无交点) 2、相切(一个交点) 3、相交(两个交点)
类型二：直线与对称轴行平.
1、必相交(一个交点)
x
O
例题1 已知抛物线的方程y2=4x,直线l过
定点P(-2,1),且斜率为k.
(1)当k∈
设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB 1 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=
( y1 y1 )2 4 y1 y2 = 2 8b ，
,由 ABCD 为正方形有 2 8b =
4b 2
4b 2
,
解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .
综上, 我们可得 1 当k 1, 或 k , 或 k 0 时 , 直线 l 与抛物线只有 2 一个公共点 ; 1 当 1 k , 且k 0时 , 直线 l 与抛物线有两个公 2 共点; 1 当k 1 , 或k , 时 , 直线 l 与抛物线没有公共点 . 2
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 直线的方程是__________________________.
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
AD AF , BC BF
AF BF 2( 1 y) 4
ABF中, AF BF AB 2
2( y 1 3 ) 2, 即y 4 4
例5.已知抛物线y=x2,动弦ABΒιβλιοθήκη Baidu长为2，求AB中 点纵坐标的最小值。
y
M A D F
解： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y )
B
2 MN AD BC , MN
x
p 1 y y, 2 4
AD BC 2(
o
N C
1 y) 4
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
课外思考: 1.求抛物线 y 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 （即在抛物线的内部） 的轨迹方程. x 2 （ y≥ 2 2 ） 2.若抛物线 y 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 线 y x m 对称,且 x1 x2 ,则 m _____ . 2 2
几何画板演示
解 由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2.
由方程组
2
y 1 k x 2 , y 4x ,
2
①
可得 ky 4 y 4 2k 1 0
1 当k 0时,由方程① 得 y 1,
1 把 y 1代入 y 4 x, 得 x . 4
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.
课堂练习: 2.已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上,顶 B 点 A 、 在抛物线 y 2 x 上,求正方形的边长.
解：设 AB 的方程为 y=x+b, y xb 由 2 消去 x 得 y2-y+b=0， y x
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结 合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。
学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.
(2)当k∈
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?