二次函数的三种表达形式
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二次函数地三种表达形式:①一般式:
(≠、、为常数),顶点坐标为[,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出、、地值.
②顶点式:
()(≠、、为常数),顶点坐标为对称轴为直线,顶点地位置特征和图像地开口方向与函数地图像相同,当时,最值.
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式.
例:已知二次函数地顶点()和另一任意点(),求地解析式.
解:设(),把()代入上式,解得().
注意:与点在平面直角坐标系中地平移不同,二次函数平移后地顶点式中,>时,越大,图像地对称轴离轴越远,且在轴正方向上,不能因前是负号就简单地认为是向左平移.
具体可分为下面几种情况:
当>时,()地图象可由抛物线向右平行移动个单位得到;
当<时,()地图象可由抛物线向左平行移动个单位得到;
当>>时,将抛物线向右平行移动个单位,再向上移动个单位,就可以得到()地图象;
当><时,将抛物线向右平行移动个单位,再向下移动个单位可得到()地图象;
当<>时,将抛物线向左平行移动个单位,再向上移动个单位可得到()地图象;
当<<时,将抛物线向左平行移动个单位,再向下移动个单位可得到()地图象.
③交点式:
()() (≠) [仅限于与轴即有交点时地抛物线,即≥] .
已知抛物线与轴即有交点(,)和(,),我们可设()(),然后把第三点代入、中便可求出.
由一般式变为交点式地步骤:
二次函数
∵,(由韦达定理得),
∴
()
[()]
()().
重要概念:
,,为常数,≠,且决定函数地开口方向.>时,开口方向向上;
<时,开口方向向下.地绝对值可以决定开口大小.
地绝对值越大开口就越小,地绝对值越小开口就越大.
能灵活运用这三种方式求二次函数地解析式;
能熟练地运用二次函数在几何领域中地应用;
能熟练地运用二次函数解决实际问题.b5E2R。
二次函数解释式地求法:
就一般式++(其中,,为常数,且≠)而言,其中含有三个待定地系数,,.求二次函数地一般式时,必须要有三个独立地定量条件,来建立关于,,地方
程,联立求解,再把求出地,,地值反代回原函数解析式,即可得到所求地二次函数解析式.p1Ean。
.巧取交点式法:
知识归纳:二次函数交点式:=(-)(-) (≠),分别是抛物线与轴两个交点地横坐标.
已知抛物线与轴两个交点地横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便.
①典型例题一:告诉抛物线与轴地两个交点地横坐标,和第三个点,可求出函数地交点式.
例:已知抛物线与轴交点地横坐标为和,且通过点(,),求二次函数地解析式.
点拨:
解设函数地解析式为=()(),
∵过点(,),
∴=()().
解得,
∴抛物线地解析式为:
=()(),
即=.
②典型例题二:告诉抛物线与轴地两个交点之间地距离和对称轴,可利用抛物线地对称性求解.
例:已知二次函数地顶点坐标为(,),并且图象与轴两交点间地距离为,求二
次函数地解析式.
点拨:
在已知抛物线与轴两交点地距离和顶点坐标地情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(,)地条件,易知其对称轴为=,再利用抛物线地对称性,可知图象与轴两交点地坐标分别为(,)和(,).此时,可使用二次函数地交点式,得出函数解析式.DXDiT。
.巧用顶点式:
顶点式(-)(≠),其中(,)是抛物线地顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数.在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题.在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
①典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点地坐标,直接可以解出函数顶点式. 例:已知抛物线地顶点坐标为(,),且通过点(,),求此二次函数地解析式. 点拨:
解∵顶点坐标为(,),
故设二次函数解析式为() (≠).
把点(,)代入上式,得·().
∴.
∴二次函数地解析式为(),即.
②典型例题二:
如果>,那么当时,有最小值且最小;
如果<,那么,当时,有最大值,且最大.
告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式. 例:已知二次函数当=时有最小值-,且它地图象与轴两交点间地距离为,求这个二次函数地解析式.
点拨:
析解∵二次函数当=时有最小值-,∴顶点坐标为(,),对称轴为直线=,抛物线开口向上.
由于图象与轴两交点间地距离为,根据图象地对称性就可以得到图象与轴两交点地坐标是(,)和(,).
∴抛物线地顶点为(,)且过点(,).
故可设函数解析式为=(-)-.
将(,)代入得=(-)-, 解得=.
∴=(-),即=-+.
③典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点地横坐标,综合其他条件,也可解出.
例如:
()已知二次函数地图象经过点(,)和(,),且对称轴是直线=.求这个二次函数地解析式.
()已知关于地二次函数图象地对称轴是直线,图象交轴于点(,),且过点(,),求这个二次函数地解析式.
()已知抛物线地对称轴为直线,且通过点(,)和点(,),求此抛物线地解析式.
()二次函数地图象地对称轴,且过原点,它地顶点到轴地距离为,求此函数地解析式.
④典型例题四:利用函数地顶点式,解图像地平移等问题非常方便.
例:把抛物线地图像向右平移个单位, 再向下平移个单位, 所得图像地解析式是, 则函数地解析式为.
点拨:
解先将化为(), 即().
∵它是由抛物线地图像向右平移个单位, 再向下平移个单位得到地,
∴原抛物线地解析式是()().RTCrp。