二次函数的三种表达形式

二次函数地三种表达形式：①一般式：

(≠、、为常数)，顶点坐标为[,]

把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出、、地值.

②顶点式：

()(≠、、为常数),顶点坐标为对称轴为直线，顶点地位置特征和图像地开口方向与函数地图像相同，当时，最值.

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式.

例：已知二次函数地顶点()和另一任意点()，求地解析式.

解：设()，把()代入上式，解得().

注意：与点在平面直角坐标系中地平移不同，二次函数平移后地顶点式中，>时，越大，图像地对称轴离轴越远，且在轴正方向上，不能因前是负号就简单地认为是向左平移.

具体可分为下面几种情况：

当>时，()地图象可由抛物线向右平行移动个单位得到；

当<时，()地图象可由抛物线向左平行移动个单位得到；

当>>时，将抛物线向右平行移动个单位，再向上移动个单位，就可以得到()地图象；

当><时，将抛物线向右平行移动个单位，再向下移动个单位可得到()地图象；

当<>时，将抛物线向左平行移动个单位，再向上移动个单位可得到()地图象；

当<<时，将抛物线向左平行移动个单位，再向下移动个单位可得到()地图象.

③交点式：

()() (≠) [仅限于与轴即有交点时地抛物线，即≥] .

已知抛物线与轴即有交点（，）和（，）,我们可设()(),然后把第三点代入、中便可求出.

由一般式变为交点式地步骤：

二次函数

∵，(由韦达定理得),

∴

()

[()]

()().

重要概念：

，，为常数，≠，且决定函数地开口方向.>时，开口方向向上；

<时，开口方向向下.地绝对值可以决定开口大小.

地绝对值越大开口就越小，地绝对值越小开口就越大.

能灵活运用这三种方式求二次函数地解析式；

能熟练地运用二次函数在几何领域中地应用；

能熟练地运用二次函数解决实际问题.b5E2R。

二次函数解释式地求法：

就一般式＋＋（其中，，为常数，且≠）而言，其中含有三个待定地系数，，．求二次函数地一般式时，必须要有三个独立地定量条件，来建立关于，，地方

程，联立求解，再把求出地，，地值反代回原函数解析式，即可得到所求地二次函数解析式.p1Ean。

.巧取交点式法：

知识归纳：二次函数交点式：＝(－)(－) （≠），分别是抛物线与轴两个交点地横坐标.

已知抛物线与轴两个交点地横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

①典型例题一：告诉抛物线与轴地两个交点地横坐标，和第三个点，可求出函数地交点式.

例：已知抛物线与轴交点地横坐标为和，且通过点（，），求二次函数地解析式.

点拨：

解设函数地解析式为＝()()，

∵过点（，），

∴＝()().

解得，

∴抛物线地解析式为：

＝()()，

即＝.

②典型例题二：告诉抛物线与轴地两个交点之间地距离和对称轴，可利用抛物线地对称性求解.

例：已知二次函数地顶点坐标为（，），并且图象与轴两交点间地距离为，求二

次函数地解析式.

点拨：

在已知抛物线与轴两交点地距离和顶点坐标地情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（，）地条件，易知其对称轴为＝，再利用抛物线地对称性，可知图象与轴两交点地坐标分别为（，）和（，）.此时，可使用二次函数地交点式，得出函数解析式.DXDiT。

.巧用顶点式：

顶点式(－)（≠），其中（，）是抛物线地顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点地坐标，直接可以解出函数顶点式. 例：已知抛物线地顶点坐标为（，），且通过点（，），求此二次函数地解析式. 点拨：

解∵顶点坐标为（，），

故设二次函数解析式为() （≠）.

把点（，）代入上式，得·().

∴.

∴二次函数地解析式为()，即.

②典型例题二：

如果>，那么当时，有最小值且最小；

如果<，那么，当时，有最大值，且最大.

告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式. 例：已知二次函数当＝时有最小值－，且它地图象与轴两交点间地距离为，求这个二次函数地解析式.

点拨：

析解∵二次函数当＝时有最小值－，∴顶点坐标为（，），对称轴为直线＝，抛物线开口向上.

由于图象与轴两交点间地距离为，根据图象地对称性就可以得到图象与轴两交点地坐标是（，）和（，）.

∴抛物线地顶点为（，）且过点（，）.

故可设函数解析式为＝(－)－.

将（，）代入得＝(－)－, 解得＝．

∴＝(－)，即＝－＋.

③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点地横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如：

（）已知二次函数地图象经过点（，）和（，），且对称轴是直线＝．求这个二次函数地解析式.

（）已知关于地二次函数图象地对称轴是直线，图象交轴于点（，），且过点（，），求这个二次函数地解析式.

（）已知抛物线地对称轴为直线，且通过点（，）和点（，），求此抛物线地解析式.

（）二次函数地图象地对称轴，且过原点，它地顶点到轴地距离为，求此函数地解析式．

④典型例题四：利用函数地顶点式，解图像地平移等问题非常方便.

例：把抛物线地图像向右平移个单位, 再向下平移个单位, 所得图像地解析式是, 则函数地解析式为.

点拨：

解先将化为(), 即().

∵它是由抛物线地图像向右平移个单位, 再向下平移个单位得到地，

∴原抛物线地解析式是()().RTCrp。