第三章电阻电路的一般分析方法
电路原理与电机控制第3章电路的一般分析方法
1
2 - 22V+ 3
3Ω
I
8A 1Ω 1Ω
25A
4
U1 = –9.43V U4 = 2.5V
U3 = 22V
I = –2.36 A
17
• 例2. 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。
• 解： (1) 先把受控源当作独立
源列方程；
IS1
1 R2
+ UR2 _
1
R1
1 R2
1 R1
25
I
4
U3–U2 = 22
解得
U1 = –11.93V U2 = –2.5V
U3 = 19.5V I = –2.36 A
16
• 解二：以节点②为参考节点，即U2=0
节点电压方程如下
(1 3
1 4
)U1
1 4
U3
11
4Ω 3A
U3 (1 1)U4 17
U3 = 22
解得：
1
I1 2A
2 1
I2 +U –
2
+
2
3
I
3
用节点电压表示受控源的控制量为：
2I2 –
U U1 U2 1 U1 U2
3
3
I2
U1 2
3
3 24
1
5
U1 U 2
2 0
解之：
U1
20 7
V,
U2
16 7
V
3 3
所求电流为：I
15
• 例1. 电路如图所示，求节点电压U1、U2、U3。
第三章 电阻电路的一般分析
第三章电阻电路的一般分析电路的一般分析是指方程分析法，它是以电路元件的约束特性(VCR)和电路的拓扑约束特性(KCL,KVL)为依据，建立以支路电流或回路电流，或结点电压为变量的回路方程组，从中解出所要求的电流、电压、功率等。
方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL,元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。
本章的重点是会用观察电路的方法，熟练运用支路法、回路法和结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程、回路方程和结点电压方程，并加以求解。
3-1 在一下两种情况下，画出图示电路的图，并说明其节点数和支路数(1)每个元件作为一条支路处理；(2)电压源(独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。
解:(1)每个元件作为一条支路处理时，图(a)和(b)所示电路的图分别为题解3-1图(a1)和(b1)。
图(a1)中节点数6b==n，支路数11图(b1)中节点数7=bn，支路数12=(2)电压源和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理时，图(a)和图(b)所示电路的图分别为题解图(a2)和(b2)。
图(a2)中节点数4b=n，支路数8=图(b2)中节点数15b=n，支路数9=3-2指出题3-1中两种情况下，KCL,KVL独立方程数各为多少？解：题3－1中的图(a)电路，在两种情况下，独立的KCL方程数分别为(1)51==4n1--1=6-1-=n (2)3独立的KVL方程数分别为(1)61=84+--n+=1b1=111b (2)5+6+--n=图(b)电路在两种情况下，独立的KCL方程数为(1)61=5-=1n-7n (2)41=1-=-独立的KVL方程数分别为(1)6+1=95b1-n+=-=1271b (2)51=-n++-3-3对题图(a)和(b)所示G，各画出4个不同的树，树支数各为多少？解：一个连通图G 的树T 是这样定义的：(1) T 包含G 的全部结点和部分支路；(2) T 本身是连通的且又不包含回路。
第03章电阻电路的一般分析
例3 列支路电流法方程。
a
解：
I1 7
+ 70V
–
I2
1+
5U
_
7 I3 11 +
U 2-
节点a: –I1–I2+I3=0 回路1: 7I1–11I2 - 70 +5U =0 回路2: 11I2+7I3 - 5U =0 增补方程：
b
U=7I3
（1-18）
§3.4 网孔电流法
网孔电流——假想每个网孔中有一个网孔电流。方向可 任意假设。
（1-22）
理想电流源(恒流源)支路的处理
①若恒流源支路仅有一个网孔电流穿过，则该网孔电 流= ± 该恒流源电流(同方向取+，否则取-)。 ②非上述情况时:设恒流源两端电压，当作恒压源列方 程。然后增补恒流源电流与网孔电流的关系方程。
例2 列网孔电流方程。
R1
R2 im2 I3s
+ im1 I5s
第三章
电阻电路的一般分析
重点: 1.支路电流法; 2. 网孔电流法; 3.回路电流法; 4.节点电压法。
对于简单电路，通过电阻串、并联关系或 Y—△等效变换关系即可求解。如：
i总 R
R
R i=?
+
-u
2R
2R
2R 2R
i总
i总
u 2R
+
- u 2R
111 u i i总 2 2 2 16R
例4 列网孔电流方程。
解:网孔电流方向如图所示。 (R1 + R3)i1-R3i3=-U2
+
U1 _
R1
iS
R3 i1
+
电路分析基础第3章
R11im1+ R12 im2 = us11
R21im1 + R22im2 = uS22
R11=R1+R2 R22=R2+R3 R12=R21=R2 自阻
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY 自阻总是正
R1 i1
a
R3
网孔1所有电阻之和
网孔2所有电阻之和
互阻 网孔1、2的公共电阻
i2 R2 + im1 + uS 1 uS2 – – b
us + 2
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
R1
L1
L2
R2
us -
+
L
1
i2
4 3
i4
R2
5
2
i5
C
1 3
4
5
R1
i2 i4 i5
有向图
返回
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§3-2 KCL和KVL的独立方程数
1、KCL的独立方程数
2
1 1 4 3 5 2 3
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电路分析基础
1
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
第三章 电阻电路的一般分析
重点：
支路电流法
网孔电流法 回路电流法 节点电压法
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目的：找出求解线性电路的一般分析方法 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。 (可推广应用于其他类型电路的稳态分析中） 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 基础： 电路的连接关系—KCL，KVL定律 元件特性(约束)(对电阻电路，即欧姆定律) 相互独 立
电路原理第三章 电阻电路的一般分析
例3.
I1 7 + 70V –
求支路电流(电路中含有受控源）
a I2 1 I3
解 11 + U _ 2
节点a：–I1–I2+I3=0
7I1–11I2=70-2U 11I2+7I3= 2U
7
+
2U
_ b
增补方程：U=7I3
利用支路电流与受控 电源控制量的关系
得 I1=8/3A； I2＝14/3A； I3＝22/3A；
6 4
＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
上述四个方程并不相互独立，可由任意三个推 出另一个，即只有三个是相互独立的。
结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
独立方程对应的节点称为独立节点。
2.KVL的独立方程数 KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
结 论
n个结点、b条支路的电路, 独立的 KCL和KVL方程数为：
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 1
4
8 3
5
6 7 2
5 8 6 7
4 8 3 6
4 8 2 3
3.2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
2 1 1 4 3 5 2 3 2 3 4 1 1
i1 i4 i6 0 i1 i2 i3 0 i 2 i5 i 6 0 i3 i4 i5 0
整理得:
(R1+R2) im1 – R2 im2 = us1- uS2 -R2im1 + (R2+R3) im2 = uS2-us3 R11=R1+R2 R22=R2+R3 R11im1+ R12 im2 = us11 R21im1 + R22im2 = uS22
第3章 电阻电路的一般分析总结
第三章电阻电路的一般分析◆重点：1、支路法2、节点法3、网孔法和回路法◆难点：1、熟练掌握支路法、网孔法和割集分析法的计算思路，会用这几种方法列写电路方程。
2、熟练地运用节点法和回路法分析计算电路。
3-1 电网络中的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。
其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。
1．支路——Branch流过同一个电流的电路部分为一条支路。
2．节点——node三条或者三条以上支路的汇集称为节点。
4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。
6．回路——loop电路中的任意闭合路径，称为回路。
8．网孔——mesh一般是指内网孔。
平面图中自然的“孔”，它所限定的区域不再有支路。
例如：在下图中，支路数6，节点数4，网孔数3，回路数79．树一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。
树中的支路称为“树支”——tree branch，图G中不属于T 的其他支路称为“连支”——link，其集合称为“树余”。
一个连通图的树可能存在多种选择方法。
10．基本回路只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。
树一经选定，基本回路唯一地确定下来。
对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。
3-2 2B 法与1B 法3.2.1 支路法（2B 法）介绍1．方法概述以支路电压和支路电流作为变量，对节点列写电流（KCL ）方程，对回路列写电压（KVL ）方程，再对各个支路写出其电压电流关系方程，简称支路方程。
从而得到含2b 个变量的2b 个独立方程。
又称为“2b 法”。
2．思路由上述方法可见，“2b 法”实际上清晰地体现了求解电路的两个不可或缺的方面，即电路的解一是要满足网络的拓扑约束，二是要满足电路中各个元件的伏安关系约束。
3．方程结构b 个支路方程，)1(-n 个电流（KCL ）方程，))1((--n b 个电压（KVL ）方程。
第3章 电阻电路的一般分析
解2. I1 7 + 70V –
a
增补方程：I2=6A 11 由于I2已知，故只列写两个方程。 a：–I1+I3=6 7
I2
1 6A b
I3
避开电流源支路取回路： 1: 7I1＋7I3=70
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例6.
I1 7
+ 70V –
列写支路电流方程（电路中含有受控源）。 a
I2 1 + 5U _ b 11 2 I3 + 7 U _ 解
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支路、结点、路径、回路和网孔的概念。 (1)连通图 图G的任意两结点间至少有一条路径 时，称图G为连通图。非连通图至少 存在两个分离部分。
(2) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
返 回
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(3)树 (Tree)
T是连通图G的一个子图, 并满足条件：
依据:
KCL、KVL以及元件的VCR。
方法: 根据列方程时所选变量不同，可分为支路电流法、
网孔电流法、回路电流法和结点电压法。
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对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。
例1
3
I1 R1 uS1 + –
a I2 I3
R2 + – b 2 独立？ R3 求I1、I2和I3?
1 uS2
独立回路＝2，选为网孔。
+ –
R3
i1 il 1 i3 il 2 i2 il 2 il 1
uS2
b
回路1：R1 il1-R2(il2- il1) +uS2-uS1=0 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 自电阻 (R1+ R2) il1 -R2 il2 = uS1-uS2
邱关源《电路》第五版第3章电阻电路的一般分析
第 1 步 选定各支路电流参考方向，如图 3-1 所示。 第 2 步 对（n－1）个独立节点列 KCL 方程 如果选图 3-1 所示电路中的节点 4 为参考节点，则节点 1、2、3 为独 立节点，其对应的 KCL 方程必将独立，即： 1 I1 I3 I4 0 2 I1 I 2 I5 0 3 I 2 I3 I6 0 第 3 步．对 b (n 1) 个独立回路列关于支路电流的 KVL 方程 Ⅰ： R1 I 1 R5 I 5 U s 4 R4 I 4 U s1 0 Ⅱ： R2 I 2 U s 2 R6 I 6 R5 I 5 0 Ⅲ： R4 I 4 U s 4 R6 I 6 U s3 R3 I 3 0 第 4 步．求解
第三步，网孔电流方程的一般形式
R11im1 R12im 2 R13im3 us11 R21im1 R22im 2 R23im3 us 22 R31im1 R32im 2 R33im3 us 33
式中，Rij（i=j）称为自电阻，为第 i 个网孔中各支路的电阻之和，值恒为 正。Rij（i≠j）称为互电阻，为第 i 个与第 j 个网孔之间公共支路的电阻之 和，值可正可负；当相邻网孔电流在公共支路上流向一致时为正，不一 致时为负。 usii 为第 i 个网孔中的等效电压源。其值为该网孔中各支路电
G5 1 + US
—
2 G1 G3 G2 G4
3
4
图 3-8
ｂ.对不含有电压源支路的节点利用直接观察法列方程： G1U n1 (G1 G2 G3 )U n 2 G3U n3 0
G5U n1 G3U n (G3 G4 G5 )U n3 0
ｃ.求解 ② 含多条不具有公共端点的理想电压源支路，如图 3-9。 ａ.适当选取参考点：令 U n4 0 ，则 U n1 U s 。 ｂ. 虚设电压源电流为 I，利用直接观察法形成方程
第3章 电阻电路的一般分析方法
(2) 列KCL方程： iR出= iS入
结点 1 i1+i6=iS3 代入支路特性（用结点电压表示）：
结点 2
un 2 un 2 un3 un 2 un3 un1 un 2 is 2 (2) R2 R3 R4 R6
i2 + i3 + i4 – i6= -iS2
电路物理量的关系 （电流、电压）
本课程主要研究电路分析，其基本方法： 确定变量 根据约束关系列方程 求解
特点：不改变电路结构，由根据约束关系建立方程求解。
回路电流法（网孔法）和结点电压法。
根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、
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3.1 支路电流法
一、支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路， 方程分析电路的方法，称为支路电流法。 步骤：
方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属 于一个回路, 该回路电流即IS 。
R3 _ Ui + US1_ R1 I1=IS -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
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+
I3
R4 I2 R5
IS R2 I1 _ US2 +
u2＝R2（iL1－iL2）
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回路电流法的一般步骤： (1) 选定独立回路，并在图中标出。 (2) 对独立回路，以回路电流为未知量，列写其 KVL方程。
注意自电阻总是正，互电阻可正可负； 沿着回路绕行方向，电源压升为正，压降 为负； (3)当电路中有受控源或无伴电流源时需另行处理； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)；
第三章--电阻电路的一般分析
i1 R1 ① R3 i3
i2
us+1
-
imu1sR2+2
im2
+ us3
-
-
(1)标出网孔电流的参考方向；
②
(2)以各自的网孔电流方向为绕行方向，
列KVL方程； 注意：im1和im2都流过R2！
孔1： R1 im1+R2 im1-R2im2 = us1 -us2 孔2：-R2 im1+R2 im2 +R3 im2 = us2-us3
3
③
4
5
④6
4个方程相加结果为0，不是相互独立的。
把任意3个方程相加起来，必得另一个方程。
相差一个符号，原因是各电流在结点① ② ③若
是流入(出)，则在结点④就是流出(入) 。
2019年9月13日星期
9
五
上述4个方程中，任意3个是独立的。
对具有n个结点的电路，独立的KCL方程为任意 的(n-1)个 。 与独立方程对应的结点叫做独立结点。
现在介绍有关 “图论”的初步知识， 目的是研究电路的连 接性质，并讨论电路 方程的独立性问题。
因为KCL和KVL与元件的性质无关， 所以讨论电路方程的独立性问题时，可以用一
个简单的线段来表示电路元件。
2019年9月13日星期
3
五
用线段代替元件，称支路。 线段的端点称结点 。
这样得到的几何结构图称为 图形，或“图(Graph)”。
二、 KVL的独立方程数 与KVL的独立方程对应的回路称独立回路。
因此，要列出KVL的独立方程组，首先要找出与之 对应的独立回路组。
有时，寻找独立回路组不是一件容易的事。利用 “树”的概念会有助于寻找一个图的独立回路组。
第三章电阻电路的一般分析
第三章电阻电路的一般分析本章内容：1．电路的图及KCL和KVL独立方程数 2．支路分析法3．网孔分析法4．回路电流法5．结点分析法本章重点：主要学习电阻电路的方程建立及一般分析方法（支路分析法、网孔分析法、节点分析法、回路分析法。
其中，支路分析法是最基本的方法）。
本章难点：独立回路数的确定, 回路分析法及节点分析法.§3-1 电路的图本节介绍有关图论的初步知识，学习应用图的方法选择电路方程的独立变量一、电路的图（G）数学上的图：是边（支路）和顶点（结点）的集合，每一条边都连到相应的顶点上，边是抽象的线段，当移去边时，顶点保留，当移去顶点时，应将顶点所连的支路移走。
1．电路的图（连通图G）：是将支路画成的抽象线段形成的节点和支路的集合，结点相对于数学图的顶点，支路相当于数学图中的边。
支路是实体。
KVL和KCL 与元件的性质无关，故可用图讨论其方程。
2．无向图：画出的没有方向的图为无向图3．有向图：画出的有方向的图为有向图4．连通图：任意两个结点之间至少有一条支路或路径时的图为连通图。
二、电路的图的画法（有几种，其中简便的画法）1．一般将电阻和电压源串联的组合，电阻和电流源并联的组合看成一条支路, 将流过同一个电流的每一个分支看成一条支路。
如（b）2．指定电流和电压的参考方向，一般选关联参考方向。
如图（c）(a) (b) (c)§3-2 KCL和KVL的独立方程数一、KCL的独立方程数（n个结点电路，KCL的独立方程是n-1个）将电路的有向图，结点和支路加以编号，如下图，对结点①②③④列写KCL 方程有由于每条支路与两个结点相联，其电流从一个节点流出，从另一个结点流入，一正，一负（从表达式可见），将上面4个方程相加，等式两边为0，说明4个方程不是独立的；将上面3个方程相加，等式两边不为0，说明3个方程是独立的。
可见，n个结点电路，n-1个结点的KCL方程是独立的一、KVL的独立方程数（b条支路，n个结点，KVL为b-(n-1)个）KVL的独立方程数等于独立回路数独立回路数等于基本回路数，回路与支路的方向无关，以无向图讨论。
电路原理 第三章
第三章电阻电路的一般分析一、教学基本要求电路的一般分析是指方程分析法，是以电路元件的约束特性（VCR）和电路的拓补约束特性（KCL、KVL）为依据，建立以支路电流或回路电流或结点电压为变量的电路方程组，解出所求的电压、电流和功率。
方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL，元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。
本章学习的内容有：电路的图，KCL和KVL的独立方程数，支路电流法，网孔电流法，回路电流法，结点电压法。
本章内容以基尔霍夫定律为基础。
介绍的支路电流法、回路电流法和节点电压法适用于所有线性电路问题的分析，在后面章节中都要用到。
内容重点：会用观察电路的方法，熟练应用支路电流法，回路电流法，结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程，回路电流方程，结点电压方程，并求解。
预习知识：线性代数方程的求解难点：1. 独立回路的确定2. 正确理解每一种方法的依据3. 含独立电流源和受控电流源的电路的回路电流方程的列写4. 含独立电压源和受控电压源的电路的结点电压方程的列写二、学时安排总学时：6三、教学内容§3－1 电路的图1. 网络图论图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在1736年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图3.1a和b所示。
图3.1 a 哥尼斯堡七桥 b 对应的图19～20世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。
1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译技术等等。
2. 电路的图电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应，如图3.2所示，所以电路的图是点线的集合。
第三章 电阻电路的一般分析
例
I1
＋ US1
①
＋
－
(
U S1 U S 2 1 1 1 U n1 IS3 R1 R2 R3 R1 R2 U S1 U S 2 IS3 R1 R2 U n1 1 1 1 R1 R2 R3
)
－
R1
R2
R3
IS3
对n=2的电路有
U n1
GU I G
I1 I l 1 I 2 I l1 I l 2 I3 Il2
据KVL得
R1 I1 R2 I 2 U S1 U S 2 R I R I U 3 3 S2 2 2
(不可解)
回路电流法比支路电流法求解的方程数少（n1）即只有(b-n+1)个。
由于有受控源，100=R12 ≠R21 = –1350 ！
例2．求uA 、iB
a iB 4Ω
6A
b + 20V
-
6Ω
iC
+ u A-
c
3Ω
2 uA
d
－ 2Ω 6iB ＋
a
b
c
o
解：回路取lbodb(2uA) 、 labdoa(iB) 、 lbcdb (iC)， lacdoa(6A) labdoa 7iB +3×6＝6iB -20 lbcdb 8iC+2×6 = 20
其系数规律为：
R11 ─自电阻,回路l1的所有电阻之和(恒正)(R22…Rmm 同)；
R12 、R21 ─互电阻,回路1、2的公有电阻“代数和”，Il1 、 Il2在互电阻上同方向时取正；反之取负。无受控源时相 等.
US11 ─ 回 路 l1 沿 Il1 方 向 上 电 压 源 电 位 升 的 代 数 和 (US22…USmm 同)。
第3章 线性电阻电路的一般分析方法
设回路电流Ia、 Ib和 IC，参考方向如图所示。
（1) 将VCVS看作独立源建立方程；
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
①
-Ib+3Ic=3U2
（2) 找出控制量和回路电流关系。
U2=3(Ib-Ia)
②
将②代入①，得
4Ia -3Ib = 2 -12Ia+15Ib-Ic = 0 9Ia -10Ib+3Ic= 0
回路法的一般步骤：
(1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向； (2) 对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写
其KVL方程； (3) 求解上述方程，得到l个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)；
网孔电流法（mesh-current method） 对平面电路（planar circuit），若以网孔为独立回 路，
iS3
un1 1 i3
R3
un2 2
iS1
i1
i2
i5
R1 iS2
R2 i4 R4
R5
0 G11=G1+G2+G3+G4 —节点1的自电导，等于接在节点1上所
有支路的电导之和。
G22=G3+G4+G5 — 节点2的自电导，等于接在节点2上所有 支路的电导之和。
G12= G21 =-(G3+G4) — 节点1与节点2之间的互电导，等于 接在节点1与节点2之间的所有支路的 电导之和，并冠以负号。
整理得
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
（3）解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路 电压、电流。
3 第 三 章 电阻电路的一般分析
重点掌握
1. 图论有关概念、独立结点、独立回路。 图论有关概念、独立结点、独立回路。 2. 电路三大分析法： 电路三大分析法： 支路电流法 结点电压法 回路电流法（含网孔电流法） 回路电流法（含网孔电流法）
★§3.1 ★§
一、概念 i1 R1 R2 + uS – ② i2
支路与结点的移去： 支路与结点的移去：支路必须 终止在结点上， 终止在结点上，移去支路不意 味着移去结点，但移去结点必 味着移去结点， 须移去与之相连的所有支路， 须移去与之相连的所有支路， 因此可以存在孤立结点 孤立结点。 因此可以存在孤立结点。
6. 回路(loop)： 回路 ： 由支路所构成的一条闭合路径。 由支路所构成的一条闭合路径。 该闭合路径中与每个结点相关联 的支路数为2。 的支路数为 。 7. 网孔（mesh)：平面 网孔（ ： 图中的自然孔。 图中的自然孔。孔内区 域中不再含有任何支路 和结点。 和结点。 1 ②
i −i −i = 0
− i 2 + i 3 + i4 = 0 − i4 + i 5 − i 6 = 0 u1 + u2 + u3 = 0 − u3 + u4 + u5 = 0 − u2 − u4 + u6 = 0 u1 = R1 i1 − uS 1 u2 = R2 i2 u3 = R3 i3 u4 = R4 i4 u5 = R5 i5 + R5 i S 5 u6 = R6 i6
② ① ③
树支
④
连支
9.单连支回路（基本回路):只有一个连支 单连支回路（基本回路 只有一个连支 单连支回路 的回路。 个单连支回路. 的回路。有(b-n+1)个单连支回路 个单连支回路
第03章_电阻电路的一般分析
第三章 电阻电路的一般分析
例1：
KCL：
（1） i1i3i60 （2） i3i4i50 （3） i2i5i60
R6
i6
1 i3
R3
+
uS1
i1 II
-
I
2 i5 R5
R4 III i2 i4
3
+
uS2
-
KVL：
(5) u1 u3 u5 u5 0
(6) (7 )
u2 u1
u3 u2
u4 u6
0
u6
0
② 1
3
2③
4 ④
5 6
最大独立方程组由3 个方程组成，如方 程1、2、3和方程1、 4、7等。
第三章 电阻电路的一般分析
KVL的独立方程数
若电路有n个节点，b条支路，则有 L＝(b-n+1) 个 独立 KVL方程。与独立KVL方程对应的回路称为 独立回路。
u 1 u S 1 R 1i1
u 2 R 2i2
u 3 R 3i3 u 4 R 4i4
(4)
u5R 5i5 R Nhomakorabea5
i
S
5
u 6 R 6i6
第三章 电阻电路的一般分析
uS1R1i1R2i2 R3i3 0
R3i3 R4i4 R5i5 R5iS5 0
特别要强调一点的是 如果你不够熟练，到
支路的电源电压，
电源电压包括电
压源，也包括电
流源引起的电压。
第三章 电阻电路的一般分析
➢最后，将(2)式和(6)式联立求解：
i1 i2 i6 0
i2 i3 i4 0
i4
i5
i6
ch3s
u2= i2R2 u4= i4R4 u6= i6R6 b=6
3.KVL：(独立方程数 b-n+1=3) 选自然网孔 以(2,3,4)为树支
loop1:
loop 2: u1= i1R1- us1
u1 1 u - u =0 i1R+- u2s1+ i32R2 - i3R3 =0
一、图
Ch3s1-4
拓扑名词解释二
二、有向图： 标有支路电流参考方向的图。(电压一般取关联参考方向) 三、连通图： 图中任意两点间至少存在一条路径的图， 否则为非接通图 四、平面图： 能在平面上画出，而没有任何空间交叉 支路的图，否则为非平面图
Ch3s2-1
第二节 KCL和KVL的独立方程数
寻找KCL、KVL独立方程数目， 以及如何根据电路列出独立方程
Ch3s2-3
如何确定独立回路 图论知识 1.连通图： 树T 当图G的任意两个节点之间至少存在一条 路径时，G就称为连通图 1.G的连通子集 2.包含G的所有结点 2.树：(T) 一个连通图的树T包含G的全部结点和部分支路，3.不包含回路 而树T本身是连通的而且又不包含回路。
树支：树T的支路。 tree 连支：包含于G，但又不属于树T的支路。 link
1I1 0.5I 3 0.1I 2 1 网孔 1 0.5I 3 1I 5 2 网孔 2 04=3 1I U 网孔 3 I .1I 2 5 ad
ch3s3-7
I1
讨论
(a)对电流源，因其电流为 + 常数，与电压无关，在 U 列网孔3的KVL方程时， ad I4 电流源两端的电压未知。
8 U R1 R1 I 1 5 5.7(V ) 7 3 U R 2 R2 I 2 10 4.29(V ) 7 5 U R 3 R3 I 3 20 7 14.3(V )
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第三章电阻电路的一般分析
例 3-1 对如图所示的图，如果选1、2、4之路为树，则其基本回路组是什么？
解：基本回路组为{1，4，3}、{1，2，7}、{2，4，5}，｛2，4，6｝。
例3-2用网孔电流法求图所示电路中各电源提供的电功率。
i，2m i，3m i如图示。
列写如下网孔电流方程
解：设三个网孔电流1
m
例3-3如图(a)所示电路，试用回路电流法计算2Ω电阻电流a I及两个电源提供的电功率。
解：电路中含有一条有伴电流源支路，可以先将其等效变换为10V 电压源和1Ω电阻串联的有伴电压源，然后选三个独立回路电流1i 、2i 、3i ，如图 (b)所示。
利用KVL 列写三个回路电流方程为
整理
例3－4 电路如图(a)所示，已知V 121==s s U U ，A 1=s i ，Ω====143121R R R R ，用回路电流法求各支路的电流。
解一 电路中含有一个无伴电流源，先假设其两端的电压为1u 如图(a)所示。
选取三个网孔为回路，回路电流方程为：
这里有三个回路电流和一个电流源电压u 1，共四个变量，需增加一个无伴电流源与相关回路关
联的电流方程式
s l l i i i =-21
联立求解这四个方程，就可以解出三个回路电流和电流源两端的电压，将参数代入上述方程便得
另外，还有一种处理无伴电流源支路电路的方法，就是选取电流源支路为连支，该单连支所在的回路电流便为已知电流源的电流，这样，该回路的电流方程可以省略不列写。
以下采用这种方法重新求解例题3-4。
解二 如图(c)所示选取电流源支路6为连支（选取2、3、4为树）作为一个回路电流i l1，其它两个回路为i l2、i l3，则三个回路电流方程为
例3-5如图所示电路，求受控源输出的功率。
解：选两个网孔为独立回路，回路电流1l I和2l I如图所示。
由此回路列写回路电流方程为
例3-6电路如图所示，求8A电流源两端的电压U。
解：图中含有两个无伴电压源，选择两个电压源共同的节点0为参考节点，独立节点①、②、③节
点电压为U
N1、U
N2
和U
N3
，其中U
N1
、U
N2
均为已知。
列出节点电压方程
例3-7 如图所示电路，求受控电流源输出的功率。
解：选图中0为参考节点，节点电压为U n1，U n2和U n3。
列写节点电压方程。