七桥问题Seven Bridges Problem
解决七桥问题的原理
解决七桥问题的原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊那个挺有意思的七桥问题。
你们想想啊，有那么几座桥，分布在一块儿，就好像是摆在我们面前的一道有趣的谜题。
那这到底是咋回事呢？其实啊，七桥问题说的就是在一个特定的地方，有七座桥相连。
然后呢，我们要去琢磨，能不能一次性不重复地走过所有这些桥。
这就像是我们小时候玩的走迷宫游戏，只不过这次是在桥上玩啦！咱可以把这些桥和连接的地方想象成一个大大的蜘蛛网。
你要是从一个点出发，沿着丝线往前走，还不能走回头路，那能不能把整个蜘蛛网都走个遍呢？这可不容易嘞！这就好比你去一个陌生的城市，有好多条路可以走，你得找到最合适的那条，才能把所有地方都逛到，还不浪费时间。
那怎么来解决这个问题呢？这可就有讲究啦！咱得仔细研究研究这些桥和它们之间的连接。
你看啊，如果一个地方连接的桥是奇数座，那就有点麻烦咯。
就好像你只有一只鞋子，怎么能好好走路呢？但要是偶数座桥，那就感觉顺溜多啦。
这就好像你有两只脚，走路就稳当啦。
要是一个地方全是偶数座桥，那说不定就能找到一条路，顺顺利利地把所有桥都走一遍。
哎呀，你说这是不是很神奇？咱再换个说法，这七桥问题就像是一道数学题，得好好动动脑子才能解开。
你得仔细分析每个点和每条线，看看怎么才能走得通。
就好像你解一道很难的应用题，得一步一步来，不能着急。
而且啊，这个问题可不只是好玩，它还能让我们学会怎么去思考问题，怎么去找到解决问题的办法。
这就跟我们生活中遇到的好多事情一样。
有时候我们会碰到一些看起来很难的事情，就像那些桥一样，摆在我们面前，让我们不知道该怎么办。
但只要我们静下心来，好好去分析，去想办法，说不定就能找到出路。
所以啊，别小看这七桥问题，它里面可藏着大学问呢！它能让我们变得更聪明，更会解决问题。
总之，七桥问题虽然看似简单，实则蕴含着深刻的道理。
我们可以从中学到很多关于思考和解决问题的方法，这对我们的生活和学习都有着重要的意义。
不是吗？。
几何趣题-郑波
几何趣题一．七桥问题Seven Bridges Problem18沿着俄国和波兰的边界，有一条长长的布格河。
这条河流经俄国的古城康尼斯堡——它就是今天俄罗斯西北边界城市加里宁格勒。
布格河横贯康尼斯堡城区，它有两条支流，一条称新河，另一条叫旧河，两河在城中心会合后，成为一条主流，叫做大河。
在新旧两河与大河之间，夹着一块岛形地带，这里是城市的繁华地区。
全城分为北、东、南、岛四个区，各区之间共有七座桥梁联系着。
人们长期生活在河畔、岛上，来往于七桥之间。
有人提出这样一个问题：能不能一次走遍所有的七座桥，而每座桥只准经过一次？问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。
最后，人们只好把这个问题向俄国科学院院士欧拉提出，请他帮助解决。
数学七桥问题解答如下解释一：城中的居民经常沿河过桥散步。
城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是举世闻名的七桥问题，当时的人们始终没有能找到答案。
大数学家欧拉从朋友那里听到这个问题，很快便证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，思考过程如下图：伟大的数学家欧拉，睿智地把这样一个实际问题抽象成了一个由点线组成的简单的几何图形，把要解决的问题转化成图（二）的一笔画问题了。
这样一个抽象化的过程是欧拉解决这个问题时最精彩的思考，也是最值得我们学习的地方。
因为图（二）不能一笔画成，所以人们不能一次走遍7座桥。
1736年，欧拉把这题的结果发表在圣彼得堡科学院学报上，欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，可以说，正是这个问题的研究使其成为“图论”的鼻祖。
那么欧拉是如何判断图（二）不可以一笔画成呢？为了便于大家看懂，结合这个例子，我用自己的语言来说明一下一笔画问题的解题思路：这个图形中共有4个点7条线，每个点都是若干条路线的公共端点。
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
七桥问题
結論
• 一个图形要能一笔画完， 必须符合以下两 个条
• 件： •为0 或2；
• 如果一个图形能一笔画成，那么除去起点 和终点外，其他的点都是经过点。
• 而经过点是有进有出的点，即有一条线进 这个点，就一定有一条线出这个点。
• 因此，在经过点进出的线总数应该是偶数。
• 如果有进无出，它就是终点； • 如果有出无进，它就是起点。
• 如果起点和终点是同一个点，那 么它也属于有进有出的点，即偶 点，这样图上的点全是偶点。如 果起点和终点不是同一个点，那 么它们必定是奇点。
七橋問題
在哥尼斯堡的一个公园 里，有七座桥将普雷格 尔河中两个岛及岛与河 岸连接起来。
問題:是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰 好通过每座桥一次，再回到起点?
• 由於岛的形状、大小、以及桥的长短、宽窄并不 影响结果，所以不妨把图中被河隔开的4块陆地看 成4个点，7座桥看成7条连接这4个点的线。
• 奇數點：一个点是奇数条线的公共端点 偶數点：一个点是偶数条线的公共端点
七桥问题
桥 abcd efg
结论
⒈凡是由偶点组成的连通图,一定可以一 笔画成.画时可以把任一偶点为起点,最 后一定能以这个点为终点画完此图 ⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为 偶点),一定可以一笔画成.画时必须把 一个奇点为起点,另一个奇点终点 ⒊其他情况的图都不能一笔画出.(奇点 数除以二 便可算此图需几笔画成.)
意 义
1提供了抽象问题,建立数学模型 的方法 2为后来的数学新分支——拓扑学 的建立奠定了基础
生活中无处不存在数学之 美,让我们培养一双发现 美的眼睛,洞察生活中的 趣味数学
谢谢大家
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七桥问题
Seven Bridges Problem
七桥的故事
18世纪,东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市 ,普莱格尔河横贯城区,使这 座城市锦上添花,显得更 加风光旖旋.两条 支流,在城中这条 河有心汇成大河, 在河的 中央有一 座美丽的小岛.河 上有七座各具特色 的桥把岛和河岸连 接起来…
欧拉于1736年研究并解决了此问题, 他把问题归结为如下右图的"一笔画 "问题,证明上述走法是不可能的… 怎样散步才 Euler 说过这不 能不重复的 可能!!的问题
欧拉的论点是这样的,除 点 岛A和D 抽 AD 了起点以外,每一次当一 河岸B和C 象 C B 个人由一座桥进入一块陆 AB 地(或点)时,他同时也 AC 由另一座桥离开此点.所 以每行经一点时,计算两 AD 座桥(或线),从起点离 AC 开的线与最后回到始点的 抽 AB 线亦计算两座桥,因此每 象 CD 一个陆地与其他陆地连接 的桥数必为偶数 BD
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哥尼斯堡七桥问题
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
组合数学-七桥
组合数学
葛勇
哥尼斯堡七桥问题
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个 岛及岛与河起点。
哥尼斯堡七桥问题
• 欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的 方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一 座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到 一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题 成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。 欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔 画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点 都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥 问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底 解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
中国邮递员问题
管梅谷
管梅谷教授。 上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
求解。
推广的中国邮递员问题： 混合图的中国邮递员问题，有各种限制 的中国邮递员问题，动态网络的中国邮 递员问题。 其他相关问题-旅行售货员（TSP）问题， 灾清巡视路线。
谢谢!
v1 2 5 v2 5 9 v3 v4 图2 3 v8
4
3
v7
6
v9 4 4 4
v6
4
v5
这样就得到初始方案.在这个图中，没有奇点， 故称它为欧拉图。对应于这个可行方案，重复 边总权为51。
思考
这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是 否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
欧拉图及求欧拉回路的算法
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图
设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(Fleury算法，1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”. 即若已选定迹 Wi v0e1v1e2 eivi , 从 G Wi 中选 取下一条边 ei 1 使得ei 1 与 vi 相关联, 且ei 1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.
中国邮递员问题
昆明理工大学 信息工程与自动化学院
七桥问题 Seven Bridges Problem（引点）
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯 堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛以及岛与河岸连接起来。问是否 可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通 过每座桥一次，再回到起点？ (图见P251页，图10-1)
这个问题就是一笔画问题。
定理：连通多重图G有欧拉圈，当且仅当 G中无基点。
推论：连通多重图G有欧拉链，当且仅当 G恰有两个基点。
如图P277 图10-30 所示 ，现在的问题是：
如果我们已经知道图G是可以一笔画的，
首先引入割边概念，设e是连通图G的一个 边，如果从G中丢去e，图就不连通了， 则称e是图G的割边。
第二步：调整可行方案
在书P280图10-34中， 圈（v2,v3,v4,v9,v2）的总长度为24，但圈 上重复边总权为14，大于该圈总长度的 一半，因此可以做一次调整，以[v2,v9]， [v9,v4]上的重复边代[v2,v3]，[v3,v4]上的 重复边，使重复边总长度下降为17。见 图4
6
v9
4
v6
5
4
4
v3
9
v4
4
v5
图5
检查图5，均满足条件（1）和（2），于 是得到最优方案。图5中的任一欧拉圈都 是汽车的最优配送路线。
如：v1-v2-v9-v8-v1-v8-v7-v6-v5-v4-v9v6-v9-v4-v3-v2-v1是汽车的一条最优配送 路线。
注意：
奇偶点图上作业方法的主要困难在于检 查条件（2）（即在最优方案中，图中每 个圈上重复的重复边的总权不大于该圈 总权的一半），它要求检查每一个圈。 当图中点、边数较多时，圈的个数将会 很多。
七桥问题
七桥问题目录七桥问题故事背景推断方法最终成果展开编辑本段七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。
也由此展开了数学史上的新进程。
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。
七桥问题和欧拉定理。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。
编辑本段故事背景七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题(如左图下)——一笔画问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.编辑本段推断方法当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
七桥问题
七桥问题18世纪，东欧的哥尼斯保堡城(现俄罗斯的加里宁格勒)，普雷格尔河静静地流入市区，把奈发夫岛分成两个小岛，形成一个“8”字(如图2－26)．后来，在河两岸及河中两个岛上建立了一座风景优美的公园，并用七座桥把两岸和两个小岛连接起来．当时，市民们都喜欢到这个美丽的公园中游玩，还热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎样才能够一次走遍这七座桥，每座桥只走过一次，最后又回到出发点．这就是历史上有名的“七桥问题”．七桥问题看似简单，但多少个春秋过去了，成千上万的人试过了，都没有找到答案．这个问题也很快传遍欧洲，成为全欧洲闻名的难题．因工作过度劳累而右眼失明的著名数学家欧拉当时正在彼得堡工作，他也对七桥问题发生了兴趣．许多人的失败引起他的深思，也许并不存在这种走法．但是，猜测不能代替严密的数学证明．欧拉为了证明自己的猜想，首先考虑“穷举法”．他仔细地把所有可能的走法列成表格，逐一检查，实在是太困难了．他又想到，如果在同样的问题中，桥更多时，那这种“穷举法”就毫无实用价值了，因此，他放弃了穷举法．欧拉改变了他考虑问题的方法．从七桥问题仅仅涉及物体的位置关系，而与路程无关这一特点出发，联想到莱布尼茨最先提出的“位置几何学”．这种几何学只讨论与位置有关的关系，研究位置的性质，不考虑长短、大小也不涉及量的计算．欧拉用A、D表示两个小岛，点B、C表示河的两岸，再用连接两点的线表示桥(如图2－27)，由此得到一个由4个点和7条线组成的图形．在这里岛的大小和桥的长短是无关紧要的．这样，七桥问题就转化为该图形能否用一笔画出，并且最后回到起点的“一笔画”问题．1736年，欧拉在彼得堡科学院作了一次精彩的科学报告，用上述方法证明了自己的猜想，从而彻底解决了七桥问题．“七桥问题”或“一笔画问题”显然是一道几何问题，而这种几何问题是我们没有研究过的，它与点的位置无关，与线段长短也无关，与线段长短也无关，只与点线间的相互位置有关．这类问题是属于一种新的数学学科—拓扑学．。
哥尼斯堡七桥难题
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题………… 这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
作为一个数学家，欧拉首先是这样思考的：既然问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作是4个点，把7座桥画成7条线。
七桥问题就简化为能否一笔画出这7条线段和4个交点组成的几何图形的问题了。
欧拉的这个考虑非常重要，非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——首先把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
七桥问题Seven Bridges Problem
七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
中国邮递员问题
12
管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
? 定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
? 推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
8
欧拉图及求欧拉回路的算法
? 欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 ? 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 ? 欧拉图—存在欧拉回路的图
? 设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
? 一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
? 图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
? 试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
6
一笔画问题
? 凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
13
中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
14
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问题中的图是 欧拉图，那么欧拉回路就是最优回路。
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
从七桥问题到欧拉定理
Part
2
一笔画问题
一笔画问题的充要条件
“一笔画”的充要条件是：图形是 联通的，并且奇顶点个数为0或2。
例如这个图，是由偶顶点构成的连 通图，能一笔画出，且可以从任何一点 出发并最终回到出发点。其中一种线路 是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦ →①
1 只有两个奇顶点6其余各画点时
7
2
5 偶顶点
8
3
4
——欧拉一笔画定理
Part
2
一笔画问题
一笔画问题的充要条件
再看这个联通图：1、4是奇定点， 其余为偶定点，可以一笔画出，画时必 以1、4中的一个为起始点，另一个为终 点。例如路线为：①→②→③→①→④
1
只有两个奇顶点其余各点画时
1 4 奇顶点
2
—4—欧拉一笔画3 定理
Part
如果以某点为端点的线段有奇数条， 就称此点为奇顶点。
只有两个奇顶点其余画各时点
——欧拉一笔画定理
Part 2
欧拉对七桥问题的抽象
一笔画问题
一个图形要想一笔画出，首先它必 须是连通图，即图中任意两点间都有路 径相连。
只有两个奇顶点其余画各时点
非连通图
连通图
——欧拉一笔画定理
Part 2
一笔画问题
由偶顶点组成的连通图，一定可以一笔画出。 画时可以把任一偶顶点为起点，最后一定能以这 个点为终点完成此图。 只有两个奇顶点其余各点 都为偶顶点的连通图，一定可以一笔画出。画时 必须以一个奇顶点为起点，另一个奇顶点为终点。 其他情况的图都不能一笔画出。
那么如何设计投递路线使得所走路 程最短呢？
案例 探究
一笔画应用之：中国邮递员问题
A
七桥问题及其证明
七桥问题及其证明七桥问题对很多人来说并不是陌生的名词，尤其当它已经被写进了小学数学课本……不过，此处还是再来啰嗦地介绍一下七桥问题到底是怎样的一个命题。
传说在18世纪普鲁士的哥尼斯堡城，有一条叫做普雷格尔的河，河中间有两个岛，有七座桥把这两个岛与河岸相连，就像下面这个示意图里左图给出的一样。
市民们饭后茶余就在讨论，能不能不重复的经过每一座桥而回到出发点呢。
这个问题也可以被简化成右图是否能够被一笔画的问题。
大数学家欧拉思考过后认为，市民们一直在找寻的那条路径是不存在的，把每座桥看成图的一个边（右图），想要不重复的经过每一条边而回到原点，则每个顶点必须有偶数条边与之相连，才能满足从一条边来从另一条边出。
用图论的语言来说，一个非空连通图是Euler 图当且仅当它没有奇度顶点。
这里Euler图指的是有Euler闭迹的图，而Euler闭迹是，经过图G的每条边恰好一次的闭迹。
有了这样的定义，上面的“七桥问题一笔画是不可能的”论证过程可以这样表述：设图G是Euler图，C是G中一个Euler闭迹。
对G中任一个顶点v，v必在C上出现。
因C每经过v一次，就有两条与V关联的边被使用。
设C经过v共k次，则C经过了2k条与v关联的边，故v的度为2k（节点v的度指图G 中与v相连的边的数量）细心而学究的人会发现，上面仅仅是对命题的必要性证明，那么，充分性的证明呢？当一个非空连通图G的每个顶点都是偶度顶点，那图G就有Euler闭迹吗？直接证明这个比较困难，可以用反证法来证明：无妨设图Ｇ的顶点个数n >1。
因G连通，故至少有一条边。
假设图G无奇度顶点，但它不是Euler图。
令S = {G | G是至少有一条边的n阶连通图，无奇度顶点，且不是Euler图}，则S非空。
取S中边数最少的一个，记为G0。
因G0无奇度顶点，故G0中顶点的度至少为2，因此G0含有圈，从而含有闭迹。
设C是中一条最长的闭迹。
由假设，C不是G0的Euler闭迹。
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七桥问题Seven Bridges Problem
著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.
欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
这种研究方法就是“数学模型方法”。
这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。
接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。
也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。
一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。
他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
七桥问题和欧拉定理。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。
对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。
人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。
具有欧拉回路的图叫做欧拉图。
此题被人教版小学数学第十二册书收录.在95页。
著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷
于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.
欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
这种研究方法就是“数学模型方法”。
这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。
接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。
也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。
一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。
他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
七桥问题和欧拉定理。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。
对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。
人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。
具有欧拉回路的图叫做欧拉图。
七桥问题
沿着俄国和波兰的边界,有一条长长的布格河.这条河流经俄国的古城康尼斯堡——它就是今天俄罗斯西北边界城市加里宁格勒.
布格河横贯康尼斯堡城区,它有两条支流,一条称新河,另一条叫旧河,两河在城中心会合后,成为一条主流,叫做大河.在新旧两河与大河之间,夹着一块岛形地带,这里是城市的繁华地区.全城分为北,东,南,岛四个区,各区之间共有七座桥梁联系着.
人们长期生活在河畔,岛上,来往于七桥之间.有人提出这样一个问题:能不能一次走遍所有的七座桥,而每座桥只准经过一次问题提出后,很多人对此很感兴趣,纷纷进行试验,但在相当长的时间里,始终未能解决.最后,人们只好把这个问题向俄国科学院院士欧拉提出,请他帮助解决.
公元1737年,欧拉接到了"七桥问题",当时他三十岁.他心里想:先试试看吧.他从中间的岛区出发,经过一号桥到达北区,又从二号桥回到岛区,过四号桥进入东区,再经五号桥到达南区,然后
过六号桥回到岛区.现在,只剩下三号和七号两座桥没有通过了.显然,从岛区要过三号桥,只有先过一号,二号或四号桥,但这三座桥都走过了.这种走法宣告失败.欧拉又换了一种走法:
岛东北岛南岛北
这种走法还是不行,因为五号桥还没有走过.
欧拉连试了好几种走法都不行,这问题可真不简单!他算了一下,走法很多,共有
7×6×5×4×3×2×1=5040(种).
好家伙,这样一种方法,一种方法试下去,要试到哪一天,才能得出答案呢他想:不能这样呆笨地试下去,得想别的方法.
聪明的欧拉终于想出一个巧妙的办法.他用A代表岛区,B,C,D分别代表北,东,西三区,并用曲线弧或直线段表示七座桥,这样一来,七座桥的问题,就转变为数学分支"图论"中的一个一笔画问题,即能不能一笔头不重复地画出上面的这个图形.
欧拉集中精力研究了这个图形,发现中间每经过一点,总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线.这就是说,除起点和终点以外,经过中间各点的线必然是偶数.像上面这个图,因为是一个封闭的曲线,因此,经过所有点的线都必须是偶数才行.而这个图中,经过A点的线有五条,经过B,C,D三点的线都是三条,没有一个是偶数,从而说明,无论从那一点出发,最后总有一条线没有画到,也就是有一座桥没有走到.欧拉终于证明了,要想一次不重复地走完七座桥,那是不可能的.
天才的欧拉只用了一步证明,就概括了5040种不同的走法,从这里我们可以看到,数学的威力多么大呀!
在一座桥上的中间位置,有一位站岗的士兵,他每隔5分钟出来探查一次(这座桥不需任何人通过)且人从桥头走到桥中央要5分钟,那么有一个人想通过这座桥有什么办法?
先走一半,转身慢走.这是身后的士兵会说:同事,这桥不让过.你请回去.
很轻松就过来了。