(完整版)计数原理_2012~2018高考真题

所以①和②的情况一样多 .③和④的情况随机，③和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球
数没有任何影响， ①和②出现的次数是一样的， 的影响次数一样 .综上选 B.]
所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数
-4-
5.(2015 四·川， 6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( )
)
1
A.
12
1
B.
14
1
C.
15
1
D.
18
[ 答案与解析 ]. 符合题意的素数有
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 共 10 个 , 故不同的取法有
2
C 10
=45
种
31
其中和为 30 的组合有 : {7, 23}, {11, 19}, {13, 17} 三种 , 故 P= = , 选 C.
2.(2015 新·课标全国Ⅰ， 10)(x2＋ x＋ y)5 的展开式中， x5y2的系数为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.60 [ 答案与解析 ].C [Tk＋1＝ Ck5 (x2＋ x)5－ kyk，∴ k＝ 2.∴ C25( x2＋ x)3y2 的第 r＋1 项为 C25Cr3x2(3－r) xry2， ∴2(3－ r )＋ r ＝ 5，解得 r＝ 1，∴ x5y2 的系数为 C25C13＝ 30.]
C13
·A
4 4
＝72.选 D.]
4.(2016 北·京， 8) 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半
.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋
中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就
放入丙盒 .重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
()
A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
二 . 二项式定理
5
1. (2018 全·国 3·理 ) x2 2 的展开式中 x4 的系数为 (
)
x
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
[ 答案与解析
].T
r+1 =
C
r 5
x
2(
5
r) r
2
x
r,
由 10–2r –r=4,
解得
r=2,
于是所求系数为
2
C5
2 2 =40, 故选 C.
2. (2018·天津·理 10)在 x
A.﹣ 80 B.﹣40
C.40 D.80
Байду номын сангаас
-2-
[ 答案与解析 ] .C （1+ ）（ 1+x） 6 展开式中：若（ 1+ ） =（1+x﹣2）提供常数项 1，则（ 1+x） 6
提供含有 x2 的项，可得展开式中 x2 的系数：若（ 1+ ）提供 x﹣2 项，则（ 1+x）6 提供含有 x4 的项，
即
C
2 5
C
2 4
A
4 4
C
2 5
C
1 3
A
3 3
=1260
个
4. (2018 新·课标 1·理 ) 从 2 位女生 , 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 , 且至少有 1 位女生入选 , 则不同 的选法共有 ______ 种. (用数字填写答案 ) [ 答案与解析 ] .方法一 : 先从两女生中选出 1 人 , 余下 2 个名额在 4 男 1 女中任意选取 .
A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个
[ 答案与解析 ].B
[由题意 ,首位数字只能是
4,5,若万位是
5,则有 3×A 34＝ 72 个；若万位是
4，则有
2
×A
3 4
个＝ 48 个，故 40 000 大的偶数共有 72＋ 48＝ 120 个 .选 B.]
6.(2015 广·东， 12)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言， 写了 ________条毕业留言 (用数字作答 ).
则有 40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；
则至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1080 个；故答案为： 1080．
7.（2017?浙江 ,16） 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人 服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 ____种不同的选法． （用数字作答 )
每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得： 6× =36 种．故选 D． 6.（2017 ·天津 ,14）用数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是 偶数的四位数，这样的四位数一共有 ________个．（用数字作答） [ 答案与解析 ] .1 080 根据题意，分 2 种情况讨论：
+
C
2 2
C
1 4
=16
5.（2017?新课标Ⅱ ,6 ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成
则不同的安排方式共有（
）
A.12 种
B.18 种
C.24 种
D.36 种
1 项，每项工作由 1 人完成，
[ 答案与解析 ] .D 4 项工作分成 3 组，可得：
=6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，
a5=________． [ 答案与解析 ] .16 ；4
多项式（ x+1） 3（ x+2） 2=x5+a1x4+a2x 3+a3x 2+a4x+a5 ， （ x+1） 3 中， x 的
系数是： 3，常数是 1；（ x+2） 2 中 x 的系数是 4，常数是 4，a4=3×4+1×4=16； a5=1×4=4．
2.(2016 全·国Ⅲ， 12)定义 “规范 01 数列 ”｛an} 如下： { an} 共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对 任意 k≤２m，a1，a2，… ，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m＝ 4，则不同的 “规范 01 数列 ”共有 ( ) A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 [ 答案与解析 ].C [第一位为 0，最后一位为 1，中间 3 个 0，3 个 1，三个 1 在一起时为 000111，001110； 只有 2 个 1 相邻时，共 A 24种，其中 110100；110010； 110001， 101100 不符合题意，三个 1 都不在 一起时有 C34种，共 2＋ 8＋ 4＝14.]
-1-
①、四位数中没有一个偶数数字，即在
1、 3、 5、 7、 9 种任选 4 个，组成一共四位数即可，有
A54=120 种情况，即有 120 个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字，
在 1、 3、5、 7、 9 种选出 3 个，在 2、 4、 6、 8 中选出 1 个，有 C53?C41=40 种取法， 将取出的 4 个数字全排列，有 A44=24 种顺序，
（ 2x） 5﹣r（﹣ y ）r=25﹣r （﹣ 1） r
x5﹣ ryr ．
令 5﹣ r=2， r=3，解得 r=3．令 5﹣ r=3， r=2，解得 r=2 ．
∴（ x+y）（2x﹣ y） 5 的展开式中的 x3y3 系数 =
+23×
=40．故选 C．
6.（2017?新课标Ⅲ ,4 ）（x+y）（ 2x﹣y） 5 的展开式中的 x3y3 系数为 （ ）
故
C
1 2
C
2 5
=20,
但这里包括了
2 名女生入选的情况
, 若 2 名女生入选再乘
C
1 2
就重复了
,
所以 , 即不同的选法共有
20–
C
2 2
C
1 4
=16.
方法二 : 在六人中任取三人 , 减去作是男生的情况
3
C6
3
C4
=16
方法三 : 分女生有 1 人 , 2 人入选两种情况讨论
C
1 2
C
2 4
5
1
的展开式中 x2 的系数为 _______
2x
r
[ 答案与解析
].
Tr+1 =
C
r 5
x5
r2
rx
2 ,由 5
r
r =2, 解得 r=2, 于是所求系数为
C
2 5
2
2 2=5 2
3 (2018·上海 3)在(1+x)7 的二项展开式中 , x2 项的系数为 ________ (结果用数值表示 ) [ 答案与解析 ] .
[ 答案与解析 ] . 660 第一类，先选 1 女 3 男，有 C63C21=40 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种， 故有 40×12=480种， 第二类，先选 2 女 2 男，有 C62C22=15 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种， 故有 15×12=180种，根据分类计数原理共有 480+180=660 种，故答案为： 660
B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
[ 答案与解析 ].B [取两个球往盒子中放有 4 种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加 1 个； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加 1 个；③红＋黑 (红球放入甲盒中 )，则乙盒中黑球数加 1 个； ④黑＋红 (黑球放入甲盒中 )，则丙盒中红球数加 1 个；因为红球和黑球个数一样，
故答案为： 16； 4．