第15讲—用枚举法解应用题
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题(含答案)
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案）知识要点我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。
我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
解题指导11.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。
第一类：百位上为1的有：123 132第二类：百位上为2的有：213 231第三类：百位上为3的有：312 321答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。
【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？解题指导22.骰子中的点数掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。
一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。
在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。
【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题(含答案)
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案）知识要点我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。
我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
解题指导11.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。
第一类：百位上为1的有：123 132第二类：百位上为2的有：213 231第三类：百位上为3的有：312 321答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。
【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？解题指导22.骰子中的点数掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。
一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。
在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。
【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
六年级奥数专题：枚举法
六年级奥数专题：枚举法 我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。
但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。
所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。
例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是： 1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是： 2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
例2 数一数，右图中有多少个三角形。
分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。
为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。
单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有4个： （1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有2个： （1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有1个： （1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。
三年级数学 简单枚举
第十九周简单枚举专题简析：枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。
一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。
运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
例题1 从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。
从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？文峰公园小华家为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。
练习一1，从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。
从甲地到丙地有多少种不同走法？2，新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。
小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？3，明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。
最多可搭配成多少种不同的装束？例题2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？思路导航：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举：红绿黄红绿黄红绿黄红绿黄红绿黄黄绿红从上面可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。
练 习 二1，用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○2，用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？3，用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？例题3 一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？思路导航：由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。
枚举问题
枚举问题在生活、生产和科学研究中，常常需要计算“完成一件事情，共有多少种不同的方法”的问题，这就要求我们根据题目的要求，把问题的答案一一列举出来，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复的有限种情况，一一列举各种情况加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析、解决问题的方法叫做枚举法。
枚举问题是分类计数进行解答的问题，利用枚举法解题的关键是合理分类。
正确分类可以促进问题的解决，利用正确分类把难点分散达到解决问题的目的。
在日常生活和生产实际中，我们还经常遇到这样一些问题：小红有白、黄两种衬衫，花、黑两种裙子，问小红有几种不同的打扮方法？3个人开会，每人都要和他人握手，共要握几次？解答这类问题，我们可以运用列举的方法，并从中找出一些解题的规律。
例题解析1、李娜、王蕾和吕丹并排在一起照相，共有几种不同的站法？2、用2、5、8三个数字，可以组成几个不同的三位数，其中最大的三位数是多少？最小的三位数是哪一个数？3、五个同学参加学校乒乓球决赛，每两人要赛一场，一共要赛多少场？4、王小明要从家到学校，共有几种不同的走法？（只准向上向右走，不准向下向左行）学校小明家5、从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地经过乙地到丙地共有多少条不同的路可走呢？6、从1~~9这9个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？7、从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车；从乙地到丙地可以坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经过乙地到丙地共有几种走法？8、兰兰向妈妈要6分钱买一块橡皮。
妈妈叫兰兰从袋子里取硬币。
袋子里有1分、2分、5分硬币各6枚。
兰兰要拿6分钱，可以有几种拿法，用算式表示出来。
9、有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？10、三个圆A、B、C在同一条线上。
如图所示。
一只青蛙在这三个圆之间跳来跳去，它从A开始，跳了4次之后又回到A。
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》教案
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》教案小学数学《常规应用题的解法——枚举法》教案教学内容：教学目标：1.能利用枚举法解决生活中的问题。
教学重点：准确抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
教学难点:准确抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
教学过程:一．探索新知（一）教学例11.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。
第一类：百位上为1的有：123 132第二类：百位上为2的有：213 231第三类：百位上为3的有：312 321答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。
【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？（二）教学例2.2.骰子中的点数掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。
一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。
在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。
【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
2019年六年级奥数专题：枚举法
2019年六年级奥数专题：枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。
但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。
所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。
例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
例2 数一数，右图中有多少个三角形。
分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。
为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。
单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有4个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有2个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有1个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。
对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。
简单的枚举法例题及解法
简单的枚举法例题及解法在我们的学习旅程中，枚举法就像一位默默无闻的英雄，常常被忽视，但它的威力可不容小觑。
想象一下，你在一场盛大的聚会上，满屋子都是美味的食物。
哎呀，这个、那个、还有那个，究竟该选哪个？这时候，枚举法就像是一个老朋友，告诉你一个个地试试，直到找到你心仪的那一款。
简单、直接，就是这么有意思。
今天咱们就来聊聊这个枚举法，它的运用和解法，就像一场轻松的游戏，让我们一起来“寻宝”吧！先说说什么是枚举法吧。
就是把所有可能的情况都列出来，然后一个一个地分析。
就像你在逛街，看到好多漂亮的衣服，你得试试才能知道哪件最适合你。
想象一下，假设你要参加一个舞会，衣服、鞋子、配饰全得搭配好。
你可以先列出所有的选择，慢慢试，最后找到最合适的那套。
听起来是不是很简单？是啊，关键在于你得耐心点儿，把每一个选择都好好“捋一捋”。
这招儿在数学题里也一样管用。
比如说，有一堆数字，你得找出和为某个特定数值的组合。
哎，别着急，咱们可以逐个枚举这些组合，看看哪几个数字凑在一起就能成就那个“梦想中的数”。
就像搭积木一样，慢慢来，不着急，最后总会拼出一个满意的形状来。
朋友们，这可是一种锻炼思维的好方法哦，既能训练逻辑，又能提升耐心，真是一举两得呢。
再举个例子，想象一下，咱们要去旅游，目标是找到一个最划算的行程。
你可能会想，“那得列出所有的景点、交通、食宿，细细比较。
”这就是枚举法的典型应用了。
慢慢比对价格，看看哪个套餐最合算。
也许你会发现，某个看似平常的选择，实际上能给你带来意想不到的惊喜。
就像生活，有时候不经意间的小决定，能给你带来大大的不同。
枚举法也有点缺点，特别是在选择多的时候，容易让人感到头晕眼花。
不过，没关系，记得放松心情。
就像吃自助餐，有时候光看菜单就觉得眼花缭乱，但只要你慢慢走过去，试一试，发现美味总是会来的。
找到合适的方法去整理这些选择，比如分类、分组，慢慢来，总会理出个头绪。
大家也许会问，枚举法能解决所有问题吗？当然不是，生活中的很多问题都是复杂多变的。
小学数学知识点之枚举法解析
小学数学知识点之枚举法解析小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。
她想数数有多少钱。
小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2 分、5分、1角、2角、5角、1 元等分类去数。
所以很快就数好了。
小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。
这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。
下面就让我们一起来看看它的本领吧！经典试题例[1] 下列图中有多少个三角形？分析我们可以根据图形特征将它分成 3 类：第一类：有 6 个；第2 类：有 6 个；第3 类：有 3 个；解6+6+3=15〔个〕图中有15 个三角形。
例[2] 下列图中有多少个正方形？分析根据正方形边长的大小，我们将它们分成 4 类第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个；第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；第3类：由9个小正方形组成的正方形有 4 个；第4类：由 16个小正方形组成的正方形有 1个。
解 24+13+4+1=42。
图中有 42 个正方形。
例[3] 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？分析 根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成 3 类：第1 类：两粒珠子都在上档，可以组成 505，550；第2 类：两粒珠子都在下档，可以组成 101，110，200；第3 类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成 510，501，150，105，600。
解 可以表示 101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共 10个三位数。
例[4] 用数字 7，8，9 可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？解 可以组成 789，798，879，897，978，987共 6个三位数。
例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。
问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？分析 我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类〔注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪〕：在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成 4 类。
枚举法(学生版)
1. 把10分成两个自然数的和有多少种方法？（自然数包括0，不考虑两数的顺序）2. 在三位数里，各位数字和是2的数有多少个？3. 在领奖台上，4个获奖选手相互握手，每两个人都要握到，一共要握多少次手？在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。
对此，我们可以先初步估计其数目的大小。
若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
课前练习知识框架枚举法（1） 做到不重补漏，把复杂的问题简单化。
（2） 按照一定的规律，特点去枚举。
（3） 从思想上认识到枚举的重要性。
【例1】 用数字1、2、3、4可以组成多少个各位数字互不相同的两位数？将它们从小到大排列，第7个是多少？【例2】 甲、乙、丙练习传球，刚开始球在甲手中，传了3次之后，球到了乙手中，有几种可能的传球方法?【练一练】A 、B 、C 、D 四个小朋友互相传球，从A 开始作第1次传球，经过了3次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？重难点例题精讲【例3】1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于27的数共有多少个?【例4】从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【例5】米迦勒从家出发去海边见海狮们，那从他家到海边基地最多有多少种最近的走法？海边基地米迦勒家【练一练】海员来海边，海狮当然也要去海员家里做客，现在从海边基地到海员家的地图如下，那么海狮从基地到海员家最多有多少种最近的走法？海员家海边基地同走法？课后练习1．从1、3、4、6中选出两个不同的数字可以组成多少个不同的奇数？2．从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？3．海边乒乓球擂台赛在胡老师和曾老师之间展开，双方规定谁谁先赢两局算谁赢，那么比赛有多少种不同结果？5．在四位数中，各位数字之和等于3的数共有多少个？6．云峰老师从自己家（A点）到酱油店（B点）要走最短路线，不然酱油会坏掉，那么一共有多少种走法呢？。
枚举求解教案
枚举求解教案教案标题：枚举求解教案教案目标：1. 了解枚举求解方法的基本概念和原理。
2. 学习如何运用枚举求解方法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教案步骤：1. 引入（5分钟）- 通过提问或展示一个实际问题引起学生的兴趣，例如：有一批数字，如何找出其中的最大值？- 引导学生思考解决问题的方法，如何逐个比较数字大小。
2. 理论讲解（10分钟）- 介绍枚举求解方法的基本概念：逐个尝试所有可能的解决方案，找出符合条件的最优解。
- 解释枚举求解方法的原理和应用范围。
- 举例说明如何使用枚举求解方法解决实际问题，如找出一组数字中的最大值、最小值等。
3. 实例演示（15分钟）- 给出一个具体的问题，并引导学生一步步使用枚举求解方法解决。
- 讲解解题思路和方法，帮助学生理解如何运用枚举求解方法解决问题。
- 强调问题求解的过程，包括问题分析、解题思路的确定、代码实现等。
4. 练习与巩固（15分钟）- 提供一些练习题，让学生独立运用枚举求解方法解决问题。
- 鼓励学生思考不同解法的优劣，并比较它们的效率和准确性。
- 分享学生的解题思路和答案，进行讨论和总结。
5. 拓展应用（10分钟）- 展示一些其他领域中应用枚举求解方法的案例，如排列组合问题、密码破解等。
- 引导学生思考如何将枚举求解方法应用到其他实际问题中。
- 鼓励学生自主探索和思考，提高问题解决能力和创新思维。
6. 总结与评价（5分钟）- 回顾本节课的学习内容和目标，检查学生是否达到预期的学习效果。
- 对学生的表现进行评价和鼓励，指出存在的问题和改进的方向。
- 鼓励学生继续深入学习和应用枚举求解方法，拓宽解决问题的思路。
教学资源：- PowerPoint或白板- 实例问题和练习题- 学生练习纸和笔教学评估：- 学生在课堂上的参与度和表现。
- 学生的练习题答案和解题思路。
- 学生对枚举求解方法的理解和应用能力。
奥数题枚举法解题方法
奥数题枚举法解题方法
奥数题枚举法解题方法
数学是一门基础学科,被誉为科学的皇后。
对于我们的广大小学生来说,数学水平的高低,直接影响到以后的学习，小学频道特地为大家整理了三年级奥数题枚举法解题，希望对大家有用！
现在1元、2元和5元的`硬币各4枚，用其中的一些硬币支付23元钱，一共有多少种不同的支付方法?
答案：
23=5×4+2×1+1×1，23=5×4+1×3，23=5×3+2×4，23=5×3+2×3+1×2，23=5×3+2×2+1×4。
所以共有5不同的取法。
对于简单的计数问题，可以用枚举法，列出满足条件的所有情况。
但是对于种数比较多的计数问题常用到排列组合来解决，排列组合的知识我们将在四年级学习。
用枚举法解决问题
用枚举法解决问题
枚举法是一种解决问题的基本方法，其基本思想是列举出所有可能的情况，再根据问题要求进行筛选和判断。
以下是使用枚举法解决问题的一般步骤：
1. 确定待解决问题的范围和限制条件，明确问题的具体要求。
2. 对问题进行抽象和分析，找出问题的关键参数和变量。
3. 列举所有可能的取值范围和组合，并使用嵌套循环进行遍历。
4. 对每一组可能的取值进行判断和筛选，根据问题要求进行条件判断。
5. 根据问题的要求，输出所满足条件的解答或者统计满足条件的数量。
需要注意的是，枚举法一般适用于问题规模较小的情况，因为列举所有可能的情况会带来指数级的时间复杂度。
如果问题规模较大，枚举法可能不太适用，需要考虑其他更高效的解决方法。
奥数解题方法：关于枚举法
奥数解题方法：关于枚举法在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法．1. 在研究问题时，把所有可能发生的情况一一列举加以研究的方法叫做枚举法(也叫穷举法)。
2. 用枚举法解题时，常常需要把讨论的对象进行恰当的分类，否那么就无法枚举，或解答过程变得冗长、繁琐、当讨论的对象很多，甚至是无穷多个时，更是必须如此。
3. 枚举时不能有遗漏。
当然分类也就不能有遗漏，也就是说，要使研究的每一个对象都在某一类中。
分类时，一般最好不重复，但有时重复没有引起错误，没有使解法变复杂，就不必苛求。
4. 缩小枚举范围的方法叫做筛选法，筛选法遵循的原那么是：确定范围，逐个试验，淘汰非解，寻求解答。
例题：甲、乙、丙三个数的乘积是10，试问甲、乙、丙三数分别可能是几？分析：在寻找问题的答案时，应该严格遵循不重不漏的枚举原那么，由于10的因子有1、2、5、10，因此甲、乙、丙仅可取这四个自然数，先令甲数=1、2、5、10，做到不重不漏，再考虑乙、丙的取法。
解：因为10的因子有：1、2、5、10，故甲、乙、丙三数的取法可列下表：甲=1 乙=1 丙=10乙=2 丙=5乙=5 丙=2乙=10 丙=1甲=2 乙=1 丙=5乙=5 丙=2甲=5 乙=1 丙=2乙=2 丙=1甲=10 乙=1 丙=1总共得到问题的九组解答。
甲=1 、1、1、1 、2、2、5、5、10乙=1 、2、5、10、1、5、1、2、1丙=10、5、2、1 、5、1、2、1、1说明如果没有枚举的思想，只是盲目地猜试，既费时间，又有可能重复或漏掉解答。
第15讲 用枚举法解应用题
第15讲用枚举法解应用题养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿，边拿边数，筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了，这种计数的方法就是枚举法。
一般地，根据问题要求，一一例举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。
这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。
运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏。
为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。
例1：用数字1，2, 3可以组成多少个不痛的三位数？分别是哪几个数？例2：小明有面值为5角、8角的邮政各两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮政（寄信时，所需要邮票的钱数）？随堂练习1：（1）用3 、 4 、7 三张数字卡片，可以排成几个不同的三位数？其中最小的三位数是多少？最大的三位数是多少？（2）用3张10元和2张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）？例3：用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘时，可称出不同的重量有多少种？例4：课外小组组织30人做游戏，按1~30号排队报数，第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一人开始站出来，隔一人站出来一人。
到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来得人应是第几号？随堂练习2（1）把7支相同的铅笔分成3份，那么有多少种不同的方法？（2）有甲、乙、丙、丁、卯五个足球代表队进行比赛，每个队都要和其他队赛一场，总共要赛多少场？例5：A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球，球恰好又回到A的手中，那么不同的传球方式共有种。
例6：用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？随堂练习3：（1）从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；从B城到C城可乘火车、汽车、轮船、飞机。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(十五)枚举法
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（十五）枚举法------枚举法基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。
1、能用枚举法熟练解决一般的计数问题。
2、掌握枚举法的几种解题方法。
1、掌握枚举法的概念。
2、学会分类枚举。
例题1：用数字1，2，3可以组成多少个不同的数？分别是哪几个数？例题2：用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个(不再用其他物体当砝码)，当砝码只能放在一个盘内时，可称出多少种不同的重量？例题3：将三个相同的小球放入A、B、C三个盒子中，一共有多少种放法？例题4：商店出售苹果5千克重的有5筐，6千克重的有4筐，9千克重的有3筐，王阿姨要买20千克重的苹果有多少种买法？（筐不能被打开）即是该课程的课后测试练习1：小帅有面值为5角，8角的邮票各两枚。
他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）？练习2：用长56厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形的面积是多少平方厘米？练习3：如图，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。
从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。
问有多少种不同的取法？练习4：课外小组组织30人做游戏，按1—30号排队报数。
第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一个人。
到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应该是第几号？练习5：商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的。
一位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。
营业员有多少种发货的方法？练习1：解析：一枚：5角，8角二枚：两个5角=1元，两个8角=1元6角，一个5角和一个8角=1元3角三枚：两个5角和一个8角=1元8角，两个8角和一个5角=2元1角四枚：两个5角和两个8角=2元6角答：有8种不同的邮资。
练习2：解析：比如有一下几种情况作为例子：10+18=28（厘米） S=10 18=180（平方厘米）11+17=28（厘米） S=11⨯17=187（平方厘米）12+16=28（厘米） S=12⨯16=192（平方厘米）…13+15=28（厘米） S=13⨯15=195（平方厘米）14+14=28（厘米） S=14⨯14=196（平方厘米）但是长和宽不相等，且有长和宽都是整数所以S=13⨯15 =195（平方厘米）答：围成的最大一个长方形的面积是195平方厘米。
六年级下册奥数讲义-枚举法
小学奥数知识点趣味学习——枚举法例题1：电工买回一批日光灯,在灯座上逐一试一遍,结果全部日光灯都是好的。
像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。
问题：小明有1个5分币,4个2分币,8个1分币,要拿出8分钱,你能找出几种拿法？【分析】为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法,“找”就要按照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法,有两种：①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；②2＋2＋2＋2＝8（分）。
再找拿两种不同硬币的拿法,有四种：①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；④1＋1＋1＋5＝8（分）。
最后找拿三种不同硬币的拿法,只有一种：①1＋2＋5＝8（分）。
由此可见,共有7种不同的拿法。
在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中,我们对全部拿法作了适当分类。
合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。
例2：是否存在自然数n,使得n2＋n＋2能被3整除？分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举,但是本题讨论的对象是所有自然数,自然数有无限多个,那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以3的余数分类,有整除、余1和余2三类,这样只要按类一一枚举就可以了。
当n能被3整除时,因为n2,n都能被3整除,所以（n2＋n＋2）÷3余2；当n除以3余1时,因为n2,n除以3都余1,所以（n2＋n＋2）÷3余1；当n除以3余2时,因为n2÷3余1,n÷3余2,所以（n2＋n＋2）÷3余2。
因为所有的自然数都在这三类之中,所以对所有的自然数n,（n2＋n＋2）都不能被3整除。
练习1.将6拆成两个或两个以上的自然数之和,共有多少种不同拆法？2.小明有10块糖,如果每天至少吃3块,吃完为止,那么共有多少种不同的吃法？3.用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形,共有多少种不同盖法？4.15个球分成数量不同的四堆,数量最多的一堆至少有多少个球？5.数数右图中共有多少个三角形？6.甲、乙比赛乒乓球,五局三胜。
【学生】三年级奥数数综合枚举法学生版
【关键字】学生枚举法（一）胖子的枚举法几个人又坐回到自己的座位上，都是唉声叹气，我让他人省点力气，其实这样盲目的试验，反而会导致思维的中断。
接着事情又回到我睡觉前，我们又开始毫无意义的讨论起来。
讨论中总是有人睡过去，但是好在一个人睡觉，其他几个人都能继续思考。
就这样，我们东一个想法，西一个想法，提出来，然后否决掉，一开始说法还很多，后来几个人话就越来越少，时间不知不觉就过去了六七个小时，我们的肚子又开始叫起来。
最后胖子点起一只烟，想了想，对我们说：“不行，咱们这么零散的想办法是很浪费时间的，我们把所有的可能性全部都写出来，然后归纳成几条，之后直接把这条验证，不就行了。
”我点点头，其实说到最后很多的问题我们都在重复的讨论，几个人都进入到一种混乱状态了胖子在金器铺满的地面上整理出一块石头面，然后写下来几个数字：1、2、3、4，然后说：“我们想想我们现在有几种假设，你们都回忆一下，不要具体的，要大概的方向就行了。
”潘子就道：“最有可能就是有机关。
”胖子在1那个地方写了机关。
然后顺子就说道：“你的想法，可能有东西在影响我们的感觉，比如说心理暗示或者催眠，让我们自己不知不觉的走回来。
”胖子对他道：“不用说这么详细。
”按着在2的后面写了错觉，然后看向我。
我道：“要说理论上，也有可能是空间折叠。
”“你这个不可能，太玄乎了。
”潘子道。
胖子道：“不管，有万分之一地可能性，我们就承认，我们只是列一个备忘录而已。
”说着也写了上去，在3后面写了空间折叠。
然后自己说：“也可能是有鬼。
”说着写了个4，有鬼。
“你这样写出来有什么意义？”潘子不理解的问。
胖子道：“你们念的书多，不懂，我读书少，凡事都必须用笔写下来，但是这样有个好处，比如说有几件事情，你可以一起做，你事先一理就能知道，可以节省不少时间。
咱们不是只有两天了吗？还是得省点，对了，还有5吗？谁还有5？”我看了看这四点，这确实己经是包括量子力学到玄学到心理学到工程学四大学科都齐了，第五点一时半会儿还真想不出来。
二年级数学奥数讲座枚举法
二年级枚举法例1 如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米）。
解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米。
下面列举出符合这个条件的各种长方形。
（注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形）。
下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图（1）～（5）。
例2 如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米。
问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来。
解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图。
注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷。
图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H。
仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6。
例3 在10和31之间有多少个数是3的倍数？解：由尝试法可求出答案：3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=213×8=24 3×9=27 3×10=30可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个。
注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数。
由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围。
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B 列表分析法
注 1、分类要全，不可遗漏。分类后，把每一类中每一个
意
符合条件的对象列举出来
点 2、分类要清，避免重复
例1、用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ （每个数字只用一次）
【分析】三位数的最高位是百位，我们可以根据百位上数字的不同，进行分类排列： 百位上的数字是1，则有：123、132两种 百位上的数字是2，则有：213、231两种 百位上的数字是3，则有：312、321两种 所以，1、2、3这三个数字，可以组成123、132、213、231、312、321共6个数字。
枚举法解题的关键是准确分类
A 树形法
A
枚举法解题 方法
B
B 列表分析法
注 1、分类要全，不可遗漏。分类后，把每一类中每一个
意
符合条件的对象列举出来
点 2、分类要清，避免重复
注意：当用不同大小的数字组合成一个 固定的数值时，从大的数开始比小的数有利。
随堂练习 2
(1)把7支相同的铅笔分成3份，那么有多少种不同的分法?
（2）有甲、乙、丙、丁、戊五个足球代表队进行比 赛，每个队都要和其他队赛一场，总共要赛多少场?
例5 计划将甲、乙、丙三种不同的树苗种植在一条直路的同一侧，要求相邻的两棵
【分析】题目给定的限制条件为：合计花5元5角，买三种文具中的两种，数量不做限制。我们不遗漏 不重复，我们试试用表格的方法来枚举。
签字笔 1 1 2
圆珠笔 3
1 2 3 4 5
橡皮
5 1 9 7 5 3 1
我们从哪种文具着手分析呢？我是先从签字笔 开始选的。
大家可以试试从橡皮开始选择。比较下，先选 择哪一种更好。为什么呢？
例2、小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮பைடு நூலகம்能付多少种 不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）？
【分析】邮资由邮票的面值和使用的邮票张数决定，因此我们可以根据面值或张数来进行分类排序。
第1类：使用一张邮票，则有5角和8角2种； 第2类：使用二张邮票，则有1元、1元3角、1元6角3种； 第3类：使用三张邮票，则有1元8角、2元1角2种； 第4类：使用四张邮票，则有2元6角1种。
树苗不能相同，那么考虑前5棵，第1棵与第5棵同是甲种树苗的种法共有
种.
分析:由于相邻两棵树不能相同，第5棵要为甲种树苗，因此第四棵树苗
不能为甲.枚举可得共有不同种法6种.
解:画树状图枚举如下：
因此，第1棵与第5棵同是甲种树苗的种法共有6种.
例6、用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长 和宽不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？
张计算它们的钱数，共有
种不同的钱数。
【分析】一共有5张，每次取出4张计算钱数，则每次会剩下1张。每次剩下的 那1张都不相同，共可得出5种不同的钱数。
解：（1）剩下1张1元，取出5+10+50+100=165（元）； （2）剩下1张5元，取出1+10+50+100=161（元）； （3）剩下1张10元，取出1+5+50+100=156（元)； （4）剩下1张50元，取出1+5+10+100=116（元)； （5）剩下1张100元，取出1+5+10+50=66（元). 综上，共可得出5种不同的钱数.
请根据上表，当周长一定时，使围成的图形面积最大
随堂练习 3
(1)从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；从B城到C城 可乘火车、汽车、轮船、飞机。某人从A城开始游览， 经B城到C城共有多少种走法?
（2）A、B、C三个自然数的乘积是6，求A、B、C 三个自然数分别可能是几? （A、B、C可以是不同的数，也可以是相同的数)
说明:此题也可以整体考虑.1+5+10+50+100=166（元).取出4张，会剩下1张 .因此，共有以下5种不同的钱数：166-1=165(元)；166一5=161（元)； 166-10=156（元)；166-50=116(元)；166-100=66(元).
例4、一个文具店中橡皮的售价为每块5角，圆珠笔的售价为每支1元， 签字笔的售价为每支2元5角。小明要在该店花5元5角购买其中的两种文 具，他有多少种不同的选择？
【分析】周长48厘米的长方形的长+宽=48÷2=24厘米，因为都是整数，所以可以列表如下
长
23
22
21
20
宽
1
2
3
4
面积 23
44
63
80
19
18
17
16
15
14
13
5
6
7
8
9
10 11
95 108 119 128 135 140 143
我们知道长方形的面积为：长×宽，所以相对应的面积如表所示。 由表格，我们可以知道，围成的最大一个长方形面积为143平方厘米。
用枚举法解应用题
教育目标
初步了解枚举法 学会用枚举法分析问题、解决问题 掌握运用枚举法的分类方法和分析方法
教育重点
学会用枚举法解决问题
教育难点
掌握分类的方法，并在用枚举法解决问题时，避免遗漏
枚举法
如上例，找出并计算符合条件的数的总数，它的数量关系比较隐蔽，我们只能一一 把符合条件的数列举出来。这样的计数方法称为枚举法。
存在的问题：无重复、无遗漏是枚举法的难点。 解决的办法：有次序、有规律的进行枚举。
数目小：按一定顺序一一列举可能的情况
通
初步
常
估计
做
数目
法
大小
数目大：抓住对象的特征，分类列举
枚举法使用于数目、种类不很繁杂的题，且分析时尽量做到分类全面， 不重复不遗漏。
枚举法解题的关键是准确分类
A 树形法
A
枚举法解题 方法
所以，总共能付2+3+2+1=8种邮资。
随堂练习 1
(1)用3、4、7三张数守卡片，可以排成几个不同的三位 数？其中最小的三位数是多少？最大的三位数是多少?
（2）用3张10元和2张50元一共可以组成多少种 币值（组成的钱数）?
例3 你的口袋里有1元、5元、10元、50元、100元的纸币各1张.如果每次取出4