2016微波网络_孙胜_第五章

则整个电路的ABCD矩阵为： 利用方程 可得到功率传输方程为：
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第五章微波滤波器的实现与综合
在LAr = 0.5dB, n = 3 时，通过切比雪夫的LAr公式可得到 其中ε2=100.05-1。 通过将上面两个方程等价，可以得到：
解方程可得到
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第五章微波滤波器的实现与综合
最大平坦度低通原型 下图给出了以串联元件开始的两个元件的低通滤波器原型。我们 假设源和负载都为1，截止频率为ωc=1。
假设这个两端口网络源和负载都是匹配的，则反射系数和传输系 数可以由ABCD矩阵得到：
假设是无耗网络，则满足：
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David M. Pozar, Microwave Engineering, 3rd edition, John Wiley & Sons, Inc, 2005. Sheng Sun
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第五章微波滤波器的实现与综合
四个常用的科洛达恒等关系（n2 = 1 + Z2/Z1）
图中的盒子代 表具有指定特 征阻抗和长度 （λ/8 在ωc时） 的单位元件或 者传输线。
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第五章微波滤波器的实现与综合
集总元件梯形网络 下图给出了集总元件低通滤波器原型和其对偶网络，其元件值都 是归一化的。
(a)
(b)
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第五章微波滤波器的实现与综合
上图网络中各元件值的定义由以下给出： (a) (b)
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第五章微波滤波器的实现与综合
更高阶的多项式可以根据以下公式由两个较低阶的多项式递推得到：
第一类切比雪夫多项式也存在以下的三角函数恒等式：
因此，其插入损耗可以表示为：
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第五章微波滤波器的实现与综合
切比雪夫低通滤波器的频率响应（n = 3,6）
则可确定两个未知系数为：
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第五章微波滤波器的实现与综合
当网络是对称时（A=D）,功率传输函数可以化简为：
当LAr = 3dB, ωc=1时，可以得到下面一系列的公式
最大平坦度低通滤波器原型的元件值
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第五章微波滤波器的实现与综合
切比雪夫等波纹低通滤波器原型 下图为3阶低通原型。源和负载阻抗均为归一化等于1。
第五章微波滤波器的实现与综合
然后将上式带入方程: 可以得到功率传输方程：
而整个电路的ABCD矩阵是：
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第五章微波滤波器的实现与综合
所以可以上面的功率传输方程变为：
利用前面最大平坦度的插入损耗，并在 n = 2和 ωc = 1 时，传输功 率方程可化简为： 为了使上面两个功率传输方程等价，则在不同阶的ω的系数应该相 等。所以可得到:
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第五章微波滤波器的实现与综合
串联短截线用微带形式难以实现，因此可以用科洛达恒等关系将其 变成并联短截线。首先在滤波每端添加单位元件如下图所示，这些 冗余元件与源和负载匹配不会影响滤波器性能。
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第五章微波滤波器的实现与综合
利用恒 等变换
第五章微波滤波器的实现与综合
从而可以知道在上面所讨论的梯形网络中，对于正奇数n来说，网 络是绝对对称的，而对于正偶数n，网络是不对称的并且在中间是 刚好相反的。这时网络中的一半是另一半相对于一正实常数的Rh的 倒数： 其中，R0 和 Rn+1是源和负载的阻抗； 所以，对于n为偶数的切比雪夫低通原型滤波器，可以用前面一半 的元件值得到后一半的元件值:
当n特别大时，计算是很繁琐的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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第五章微波滤波器的实现与综合
切比雪夫低通滤波器原型元件值的计算公式
其中：
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第五章微波滤波器的实现与综合
切比雪夫低通滤波器原型的元件值
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第五章微波滤波器的实现与综合
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第五章微波滤波器的实现与综合
阻抗与导纳倒相器 导抗倒相器分为阻抗倒相器和导纳倒相器。下图表示了一个两端 口的阻抗倒相器，其中一个端口接阻抗为Zb的负载。从另一个端 口看进去的阻抗为：
K2 Za = Zb
导纳倒相器的操作方法类似，如下图所示:从另一个端口看进去的 导纳:
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第五章微波滤波器的实现与综合
去归一化：50欧姆乘以归一化阻抗，并在4GHz选择短截线长度为λ/8
微带线形式的低通滤波器
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第五章微波滤波器的实现与综合
由振幅响应图可以看出在频率低于4GHz时，通带集总元件电路响 应与微带线构成的分布参数电路响应很类似，但分布元件滤波器 有一个较陡的截止特性。并且每 16GHz 响应重复一次，这就是分 布式电路周期性的结果。
可以证明，并联电路接近谐振时的阻抗为 其中 所以，得出等效电感和电容值为
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第五章微波滤波器的实现与综合
并联阻抗 Z12 看起来像是θ ~ π/2的并联谐振电路的阻抗： 若令 ω = ω0 + ∆ω,其中在中心频率 ω0 处 θ = π/2，则有 所以对于小的∆ω， Z12 可表示为
对于一个并联谐振器，其导纳为B(ω)其导纳斜率参数定义为:
在谐振情况下，导抗倒相器之间在ω0处必须有零阻抗和零导纳：
此时，其阻抗和导纳斜率为：
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第五章微波滤波器的实现与综合
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第五章微波滤波器的实现与综合
平行耦合线带通滤波器
平行耦合线部分可以等效为一个J 型倒相器和两部分传输线
低通 高通 带通 带阻
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第五章微波滤波器的实现与综合
例5.2：带通滤波器设计 设计一个带有三个极点的切比雪夫带通滤波器，中心频率在2GHz， 相对带宽FBW10%，带内波纹幅度为0.1dB，端口输入输出阻抗为50 欧姆。 解：根据低通原型表 LAr = 0.1dB得到 由端口阻抗得到比例因子为 ，所以
阻抗和频率变换 可以将源的阻抗或导纳按照一定比例缩放从而满足既定的Z0和Y0 做到阻抗变换，其中，比例因子γ0定义为：
不失一般性，下面的缩放可以应用于其它电抗或电阻元件：
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第五章微波滤波器的实现与综合
低通到低通的转换 将一个截止频率为1的低通滤波器转换为截止频率为������������c 的低通滤 波器。利用以下转换过程： 则元件值变为： 低通到高通的转换 这个转换实际上就是将低通滤波器原型中的通带和阻带，变换到高 通滤波器的阻带和通带。即低通网络中的串联电感和并联电容，变 成高通网络中的串联电容和并联电感：
J2 Ya = Yb
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第五章微波滤波器的实现与综合
理想的导纳倒相器
理想的阻抗倒相器
以四分之一波长转换器实现的倒相器
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第五章微波滤波器的实现与综合
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第五章微波滤波器的实现与综合
导纳倒相器的低通原型滤波器 利用导抗倒相器的特性可以将低通原型转换成下图中的滤波器网 络。这种网络由串联的电感或电容通过导抗倒相器的连接组成。
类似的，并联谐振器的元件值：
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第五章微波滤波器的实现与综合
低通到带阻的转换 低通原型中的一个串联元件变成带阻中的并联谐振电路
并联元件变成了串联谐振元件
低通原型
带通
带阻
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第五章微波滤波器的实现与综合
低通到低通，高通，带通，带阻的转换 归一化低通原型
可以证明，并联电路接近谐振时的阻抗为 其中 所以，得出等效电感和电容值为
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第五章微波滤波器的实现与综合
最大平坦逼近 • 对于低通滤波器，其插入损耗或功率损耗比可由如下多项式给 出： 其中
最大平坦逼近
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第五章微波滤波器的实现与综合
切比雪夫逼近 对于一个n阶的切比雪夫或者等波纹响应低通滤波器，其插入损 耗的函数为： 其中 Tn(x) 是n阶第一类切比雪夫多项式。由下式给出：
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平行耦合线的ABCD矩阵可以用奇偶模特性阻抗得到：
传输线部分的ABCD矩阵
J型倒相器的ABCD矩阵
整个J型倒相器电 路的ABCD矩阵：
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第五章微波滤波器的实现与综合
通过将上面的两个整个电路的ABCD矩阵等价：
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第五章微波滤波器的实现与综合
等效电路说明
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第五章微波滤波器的实现与综合
其中
特征阻抗为Z1,长度为l的传输线的ABCD矩阵为
等效 n2 = 1 + Z2/Z1
n2 = 1 + Z2/Z1
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第五章微波滤波器的实现与综合
(b)
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第五章微波滤波器的实现与综合
带通滤波器 阻抗倒相器
(a) 带通滤波器 导纳倒相器
(b)
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第五章微波滤波器的实现与综合
对于一个串联谐振器，其感抗为X(ω)，其电抗斜率参数定义为：
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第五章微波滤波器的实现与综合
图a是低通原型滤波器的一部分； (a) 通过元件的一定比例的缩放得到图b； 进而引入阻抗倒相器得到图c，并满足 (b)
(c)
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第五章微波滤波器的实现与综合
通过使ω的系数相等： 另外存在关系： 下图显示了原低通原型中的第一个有源元件和归一化源阻抗。
例5.1：使用短截线的低通滤波器设计 设计一个用微带线制作的低通滤波器，截止频率4GHz,3阶，阻抗 50欧姆，3dB等纹波特性 g0= 1,ωc=1
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第五章微波滤波器的实现与综合
查上述表可知 因此可以得到集总元件电路如下图 串联电感 并联电容 理查德变换
串联短截线: 特征阻抗L 并联短截线: 特征阻抗1/C
通过解方程，可得到任意长度的奇模和偶模的阻抗：
在θ = π/2附近：
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第五章微波滤波器的实现与综合
当几部分平行耦合线级联起来，可以得到整个网络的等效电路：
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第五章微波滤波器的实现与综合
该等价关系可由T型电路和理想变压器的结果计算：
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第五章微波滤波器的实现与综合
科洛达恒等关系（Kuroda Identities、黑田变换、黑田等效性） 四个科洛达恒等关系可以使用冗余传输线段，得到在实际上更容 易实现的微波滤波器，可以通过如下操作中任何一个来完成： 使传输线短截线在物理上分隔开 串联短截线变换为并联短截线，反之亦然 把不实际的特征阻抗变换为较易实现的特征阻抗 此处附加传输线段称为单位元件u,e，它在ωc处长度为λ/8，所以单 位元件与用于实现原型设计的电感和电容的短截线对应。
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第五章微波滤波器的实现与综合
令该结果与长度为2θ、特征阻抗为Z0的传输线的ABCD矩阵相等， 得
所以，串联臂阻抗为
由于1:-1变压器提供180°相移，不影响振幅响应，综合时可忽略
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第五章微波滤波器的实现与综合
并联阻抗 Z12 看起来像是θ ~ π/2的并联谐振电路的阻抗： 若令 ω = ω0 + ∆ω,其中在中心频率 ω0 处 θ = π/2，则有 所以对于小的∆ω， Z12 可表示为
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第五章微波滤波器的实现与综合
低通到带通的转换 ω1和ω2来表示通带的上限和下限 ω0表示通带的中心频率： 在低通原型滤波器的一个串联元件被变换为串联谐振电路，而一个 并联元件被转换为并联谐振电路。这两种类型的串联和并联谐振电 路具有相同的谐振频率ω0。则串联谐振器的元件值为：