有理数及其运算知识点汇总

有理数及其运算知识点汇总一、有理数：整数和分数统称为有理数。

正整数 （非负整数） 正整数 整数 0 正有理数 负整数 （非正整数） 正分数 有理数 正分数 有理数 0 负整数 分数 负有理数负分数 负分数 注意：正负数表示具有相反意义的量（具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，负号“-”本身就表示意义相反的意思）。

0既不是正数也不是负数。

1、 正数前面可以加“+”号，也可以不加“+”号。

2、 判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“—”号，而不是看它是不是带有“—”号。

注意“—a ”不一定是负数。

3、 相反意义的量是成对出现的。

4、 0是有理数，也是整数，也是最小的自然数。

5、 奇数、偶数也可以扩充到负数，如—1，—21，—53…等都是奇数；—2，—22，—26^等都是偶数。

6、 整数也可以看作分母为1的分数。

7、 a 的相反数是a -，但—a 不一定是负数。

8、 求一个式子的相反数，一定要将整个式子加上括号，再在括号前面加上“—”号，例如y x -的相反数是—(y x -)，即x y -。

9、 多重符号的化简 化简的结果取决与正数前面负号“—”的个数，“奇负偶正”。

10、当0≥a 时，a a =，即绝对值等于它本身的是非负数；当0≤a 时，a a -=，即绝对值等于它的相反数的是非正数。

11、无论a 为正数、负数或0，0≥a ，称为绝对值的非负性。

12、几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.即0=++++m c b a ，0=====m c b a 则。

二、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。

1、两方向无限延伸；三要素缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况需要规定的。

2、画法：一条直线——取一点为原点——正方向，用箭头表示（一般规定向右）3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不是都表示有理数数。

4、数轴上的点，右边的数 > 左边的数。

正数 > 0 > 负数3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。

（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

（0的相反数是0）5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。

正数在原点的右边，负数在原点的左边。

三、绝对值1、相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数。

0的相反数是0. 表示方法：a 的相反数可表示为-a 。

（根据相反数的意义，只改变原来的符号即可得到原来的相反数，在一个数前面加负号，即求它的相反数。

）-(-2)=2,-(+2)=-2 2、绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作∣a ∣。

a (a>0) 正数的绝对值是它本身∣a ∣= 0 (a=0) 0的绝对值是0-a (a<0) 负数的绝对值是的相反数 （注意：∣a ∣≥ 0）3、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作|a|。

7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥09、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小的步骤如下：①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

10、绝对值的性质：①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|11、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。

灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分母相同的数，可以先相加；④几个数相加能得到整数，可以先相加。

四、有理数的加法同号相加，取相同符号，∣∣+∣∣。

a+0=a.绝对值不等——取∣∣大的加数的符号，∣大∣-∣小∣异号相加 绝对值相等——互为相反数的两个数相加得0 4、加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 5、简便原则：①互为相反数的两数先相加 ②同号数先相加③能凑成整数(整十、整百)的数先相加 ④同分母的分数线相加13、有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号； ②改变减数的性质符号（变为相反数） 有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。

14、有理数的加减法混合运算的步骤：①写成省略加号的代数和。

在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。

（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。

） 五、有理数的减法（注意符号的改变）减法是加法的逆运算。

(加数=和-另一加数)减去一个数等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b) 减法运算时，先把减号变加号，把减数变加数 六、有理数的加减混合运算0 -1 -2 -3 1 2 3越来越大1、运用减法法则将有理数混合运算中的减法变加法。

2、运用加法法则，加法交换律、结合律简化运算。

（分清运算(加/减)——统一加法运算——简便方法）15、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘，积仍为0。

如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。

（如：-2与21 、 3553与…等） 16、乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。

乘积为1的两个有理数互为倒数。

注意： ①零没有倒数②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。

一个带分数要先化成假分数。

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

七、有理数的乘除（先确定符号）两数相乘，同号得正，异号得负∣∣×∣∣ 乘法法则 任何数×0=0.多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定 偶数个得正，奇数个为负2、倒数：乘积是1的两数互为倒数。

（该数不为0）3、 乘法的交换ab=ba乘法的律结合律(ab)c= (a)bc 乘法的分配律a(b+c)=ab+ac17、有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

②0除以任何非0的数都得0。

0不可作为除数，否则无意义。

18、有理数的乘方注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

19、乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

20、有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。

②如果有括号,先算括号里面的。

八、有理数的乘方（先确定符号）1、求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方a ×a ×a ×a ···=a n 其结果叫做幂，a —底数，n —指数，a n 读作a 的n 次方2、 正数的任何次幂都为正数 乘方的符号法则 负数的偶数次幂是正数 负数的奇数次幂是负数 0n =0（n 为正整数）先转化为乘法再计算，即多个数连乘的形式九、科学记数法 1、形式：a ×10n ，（1≤a<10，n 为正整数）n 的取值：n=原数的整数位数-1或n=小数点移动的位数 2、化为原数：a 的基础上向右移动n 位 十、有理数的混合运算先算乘方——再乘除——最后加减 混合运算 同级运算，从左往右有括号，先算括号里（先小括号—中括号—大括号） 简便运算 分配率交换律、结合律 十一、近似数准确数：是精确的，能够记数=⨯⨯⨯⨯an a a a a 个n a指数 底数近似数：与实际数很接近，但不完全准确，通过统计测量等方法得到 精确度：四舍五入到哪一位，其近似数精确到哪一位。

近似时，应对精确度的后一位进行四舍五入，其后面的数字不考虑如果近似数的最后一位是0，则不能去掉，因为它决定了精确度 较大数后面的单位“万”“亿”，表示该数字个位上的数字代表的即是“万”“亿”。

有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的负号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值想减。

有理数乘法法则：先看有没有0因数，只要有一个因数是0，积就为0。

在没有0因数的情况下，先定积得符号，再把绝对值之积作为积的绝对值。

（“奇负偶正”，不要忘记写符号“—”）。

不是任何数都有倒数，0是没有倒数的。

倒数是它本身的有1±。

分数的化简： 不要忽略分数本身的符号，分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数值不变。

（1）在有理数的加减混合计算过程中，先把减法转化成加法。

（2）在有理数的乘除混合计算中，先把带分数化成假分数，在把除法变成乘法。

有乘方的一定要先算乘方。

一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1：计算：3＋50÷22×(51-)－1②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.例2：计算：()[]232315.011--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行；例3：计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛--388712787431二、应用四个原则：1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。