八年级数学暑假专题四边形综合提高上科版

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八年级四边形经典提高题(106题)

1 / 34八年级几何综合题（一）（2008学年静安区八下末）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC ，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（二）（2008学年静安区八下末）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF ∥AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，∠EPF=90°，PE=PF ，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE=x ，MN=y ．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 部时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．（三）（2008学年徐汇区八下末）如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE =CG ，AH =CF ．求证：四边形EFGH 是平行四边形；（四）（2008学年徐汇区八下末）如图，在△ABC 中，AB =BC ，BD 是中线，过点D 作DE ∥BC ，过点A 作AE ∥BD ，AE 与DE 交于点E ．求证：四边形ADBE 是矩形．F H D AEADBC2 / 34（五）（2008学年徐汇区八下末）如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC =5．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F ．在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的最小度数．（六）（2008学年徐汇区八下末）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC 的面积；（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式；（3）当∆OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）（七）（2008学年金山区八下末）如图，四边形A BC D ，AB∥DC，55B ∠=°，185∠=°， 240∠=° （1）求∠D 的度数；OF ED CBAOABCPxy3 / 34（2）求证：四边形A BC D 是平行四边形．（八）（2008学年金山区八下末）如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB=DC ，AD∥BC，AD=2，点P 为梯形部一点，若PB=PC ，且PA⊥PD．（1）求证：PA=PD ；（2）求PA 的长.（九）（2008学年金山区八下末）如图，已知在矩形ABCD 中，AB=3，点E 在BC 上且∠BAE =30°，延长BC 到点F 使CF ＝BE ，连结DF ．（1）判断四边形AEFD 的形状，并说明理由；（2）求DF 的长度；（3）若四边形AEFD 是菱形，求菱形AEFD 的面积．（十）（2008学年奉贤区八下末）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ．求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（4分）（2）AC = 2DG ．（4分）A CBFDE G4 / 34（十一）（2008学年奉贤区八下末）边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式与自变量x 的取值围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。

快乐假期八年级数学暑假培优提高作业及答案

【快乐假期】2011年八年级数学暑假培优提高作业及答案【快乐假期】2011年八年级数学暑假培优提高作业3 直线型几何综合题学生姓名家长签字一、学习指引 1.知识要点：三角形及四边形的基本性质，特殊三角形、特殊四边形、全等三角形的判定和性质，轴对称、平移、旋转、相似等变换的性质，一次函数图象和性质。

2.方法指导：（1）解决动态几何型问题的策略：化“动”为“静”――利用运动中特殊点的位置将图形分类；“静”中求“动”――针对各类图形，分别解决动态问题。

（2）解决图形分割问题的思维方式是：从具体问题出发→观察猜想→实验操作→形成方案→严密计算与论证；图形分割问题的解题策略：比较原图形与分割后图形在边、角、面积等方面的变化是解决图形分割问题的着手点；（3）新概念性几何题解题策略：正确理解问题中的“新概念”，然后抓住“新概念”的特征，结合相关的数学知识综合解决问题。

二、典型例题例1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（）例2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm( )，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD 或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．例3．三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求如下：（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．例4．如图，两个边长分别为4和3的正方形，请用线段将它们进行适当分割，剪拼成一个大正方形，请在下图中分别画出两种不同的拼法，并将剪拼前、后的相同区域用相同数字序号标出．例5．如图，在梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或CB上时的坐标(用含x的代数式表示，不要求写出x的取值范围)；（2）设从出发起运动了x秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半．①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如果有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标，如不可能，请说明理由．例6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。

初二数学四边形综合提高

二. 知识要点：
1. 主要概念
（1）平行四边形——有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．
（2）矩形——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
（3）菱形——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（4）正方形——有一个角是直角的菱形叫做正方形（有一组邻边相等的矩形叫做正方形）．
（5）梯形——只有一组对边平行的四边形叫做梯形．
（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题．
三. 重点难点：
本章重点是平行四边形的有关特征和识别，几种特殊平行四边形的特征以及它们之间的联系与区别，等腰梯形的特征；难点是几种特殊平行四边形的联系与区别，关键是理解并掌握平行四边形的有关知识．
四. 考点分析：
四边形的内容是平行线与三角形两部分知识的应用和深化．是中考考查的重点内容，所占分值较高．考查内容主要是与四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠、证明等问题，近年来又出现了许多与四边形有关的开放探索题、操作题，以及四边形与相似、函数知识结合的综合题．
**3. 如图所示，已知平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并说明理由（要求：推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
初二数学四边形综合提高
一. 教学内容：
1. 熟悉四边形的分类及各种四边形之间的联系．
2. 熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定，知道从边、角、对角线的角度来认识这些特殊四边形的性质和判定．
3. 学会将四边形问题转化为三角形问题来解决．
4. 关于中点的问题，要善于联想中位线、直角三角形斜边上的中线的性质．

2019-2020学年八年级数学暑期提高专题学案(7).doc

A B F C E D A B C D E F P 2019-2020学年八年级数学暑期提高专题学案（7）学生姓名家长签字【学习目标】1、掌握三角形、梯形的中位线的概念和性质，了解三角形、梯形和其他常见图形的联系；2、在解决问题的过程中，学会从复杂的图形中分解出基本图形的能力，体会转化的思想方法，发展综合与分析的思维能力。

【基础探究】1、已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm ，则原三角形的周长为 cm ．2、如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝3.6，AD ⊥BC 于点D ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则EF ＝，DE ＝，DF ＝．3、⑴已知梯形中位线长是5cm ，高是4cm ，则梯形的面积是 .⑵等腰梯形的腰长是6cm ，中位线是5cm ，则梯形的周长是 .⑶梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位线之比是 . (4)若一个等腰梯形的周长是80cm ，高是12cm ，并且腰长与中位线相等，则这个梯形的面积为．4、已知直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则此梯形的中位线长为 cm .5、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，判断AD+BC 与AB+CD 的大小关系： .第5题图第6题图第7题图第8题图6、如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（）A ．9B ．10.5C ．12D ．157、在直角梯形A B C D 中，A D B C ∥，90ABC AB BC E ∠==°，，为AB 边上一点，15BCE ∠=°，且AE AD=．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论：①ACD ACE △≌△； ②CDE △为等边三角形； ③2EH BE =； ④EDC EHC S AH S CH =△△．其中结论正确的是（）A ．只有①②B ．只有①②④C ．只有③④D ．①②③④ 8、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC =4AD =B ∠=45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若ABE △为等腰三角形，则CF 的长等于．9、已知点E 、F 在△ABC 的边AB 所在的直线上，且AE ＝BF ，FH ∥EG ∥AC ，FH 、EG 分别交BC 所在的直线于点H 、G ，(1)如图1，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG ＋FH ＝AC ；(2)如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是；(3)如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在AB 延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是；对(1)(2)(3)三种情况的结论，请任选一个给予证明．A C G E F HB 图1 AC E G B H F 图2 E G A C B H F图3D C BE A H10、已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）．（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．11、操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形.根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE ＝∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F .试探究线段AB 与AF 、CF 之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE 、BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE ：EC ＝1：2，∠BAE ＝∠EDF ， CF ∥AB .若AB ＝5，CF ＝1，求DF 的长度.【综合探究】12、已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点（与点A 、B 不重合）（1）如图①，现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ；再在AD 上取一点F ，将△PAF 沿PF 翻折得到△PGF ，并使得射线PE 、PG 重合，试问FG 与CE 的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接FC ，取FC 的中点H ，连接GH 、EH ，请你探索线段GH 和线段EH 的大小关系，并说明你的理由；（3）如图③，分别在AD 、BC 上取点F 、C ’，使得∠APF=∠BPC ’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF 沿PF 翻折得到△PFG ，并将△PBC ’沿PC ’翻折得到△PEC ’，连接FC ’，取FC ’的中点H ，连接GH 、EH ，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．G B C E D F A P H 图② A B D P C C ’ FE G H 图③图① 图2 图3 图1A D PNMQO 图①13、在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．(1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋33PQ ；（2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长。

2019-2020学年八年级数学暑期提高专题学案(6)

2019-2020学年八年级数学暑期提高专题学案（6）学生姓名家长签字【学习目标】 1、掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，能够应用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题； 2、在解题的过程中，培养分析和综合的思考方法，灵活运用图形变换和对称思想解决问题，发展有条理的思考与表达能力。

【基础探究】1、如图1，把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）A ．2m n - B ．m n - C ．2m D ．2n第1题图第2题图第3题图2、如图，菱形ABCD 中∠A =110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°3、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（）A ．3B ．2C ．3D ．32第4题图第5题图第6题图4、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是。

5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为。

6、如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在______点。

7、如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ⊥AG 于F .(1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．A D E PBC m nn n （2）（1） A D E P C B F80cm ①70cm ②8、在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.9、如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A→B→C→D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在(1)中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．【综合探究】10、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．（1）如图1，当点M 在AB 边上时，连接BN ．①求证：ABN ADN △≌△；②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M 到AD 的距离及tan α的值；（2）如图2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．11、如图①，已知两个菱形ABCD 和EFGH 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形（菱形ABCD 与菱形EFGH 的位似比为2︰1），∠BAD ＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线213y x =经过AD 的中点M ． ⑴填空：Ａ点坐标为，D 点坐标为； ⑵操作：如图②，固定菱形ABCD ，将菱形EFGH 绕O 点顺时针方向旋转α度角(090)α<<，O A B C M N y x = x y C B M A N D （图1） C M B N A D （图2）并延长OE 交AD 于P ，延长OH 交CD 于Q ．探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP 是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；探究2：设AP ＝x ，四边形OPDQ 的面积为s ，求s 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围．12、如图1，正方形ABCD 和正方形QMNP ，∠QMN =∠ABC ，M 是正方形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ．（1）线段ME 与线段 MF 的大小关系是：ME ______MF （填“＜”、“=”、“＞”）（不必说明理由）．（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的大小关系，并加以证明．（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且BC = 2AB ，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的大小关系，并说明理由．（4）根据前面的探索和图4，若将原题中的“正方形”改为“平行四边形”，且BC = kAB （k 是常数，且k ＞1），其他条件不变，则ME 与MF 的大小关系又如何呢？请写出结论并加以说明．y O ＭＨＧＦＥＤＣＢ A 图① ＨＧＦＥＤＣＢ A 图② y O ＱＰ B C A D E M Q F N 图4 F A B C D M N P QE 图3 M A B C D EF N P Q 图1 A E D C B M N QP F 图2。

八年级数学(冀教版)暑假作业之五《四边形》

还成立吗．如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
八年级数学（冀教版）暑假作业之五《四边形》
八年级数学（冀教版）暑假作业之五《四边形》参考答案
一、1. C 2. D 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8. B 9.C 10.A 11.B 12.D 13.C 14.C 15. C 16.D
A. 正方形
B. 矩形
C. 菱形
D. 平行四边形
八年级数学（冀教版）暑假作业之五《四边形》
12.如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判
定门框是否合格的是（）
A. AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B. AC＝BD，∠B＝∠C＝90°
C. AB＝CD，∠B＝∠C＝90°
AC 于 E、F 两点，下列说法正确的是（）
A.若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF 是菱形
B. 若 BD＝CD，则四边形 AEDF 是菱形
C. 若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形 D. 若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是矩形
11.如图，已知点 E、F、G．H 分别是菱形 ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是（）
D. 以上说法都不对
4.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）
A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等
D. 对边相等
5.如图，在▱ ABCD 中，连接 AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则 BC 的长是( )
A. 2
B. 2
C. 2 2
D. 4
1
6.如图，把一张长方形的纸片沿着 EF 折叠，点 C、D 分别落在 M、N 的位置，且∠MFB= ∠MFE，则∠MFB=（）A. 20来自B. 10C. 5

2021-2022学年基础强化沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形综合测试试题(含解析)

八年级数学第二学期第二十二章四边形综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．C D∠+∠+∠+∠=（）2、如图，在六边形ABCDEF中，若1290∠+∠=︒，则3456A．180°B．240°C．270°D．360°3、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D'，若B AD∠''＝10°，则∠EAF的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°4、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2 B．4 C．4或65D．2或1255、欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（）A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF6、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（）A．7 B．6 C．4 D．87、多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．9条B．8条C．7条D．6条∠+∠的度数是（）8、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中αβA．180°B．220°C．240°D．260°9、如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（）A．10 B．25 C．50 D．7510、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（）A．125B．245C．6 D．485第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一个长方形的周长是22cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以成为一个正方形，则长方形的长是______cm．2、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长为___．3、如图，已知在矩形ABCD中，4AB=，8AD=，将ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，连接DE，则DE的长为_________．4、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC=__．5、若一个n边形的每个内角都等于135°，则该n边形的边数是____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（点P、点G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，①求证：DF＝PG；②请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，四边形PEFD的形状是否发生了变化？请写出你的结论．2、如图，在正方形ABCD中，P是直线CD上的一点，连接BP，过点D作DE BP⊥，交直线BP于点E，连接CE．（1）当点P在线段CD上时，如图①，求证：BE DE-；（2）当点P在直线CD上移动时，位置如图②、图③所示，线段BE，DE与CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．3、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．4、（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E12∠A；（拓展应用）（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E 恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．-参考答案-一、单选题1、D【分析】利用矩形的性质，求证明90OAB ∠=︒，进而在Rt AOB ∆中利用勾股定理求出OB 的长度，弧长就是OB 的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．【详解】解：四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可知：222OB OA AB =+，OB ∴==∴故选：D ．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．2、C【分析】根据多边形外角和360︒求解即可．【详解】解：123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ，1290∠+∠=︒()∴∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒，345636012270故选：C【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和360︒是解题的关键．3、A【分析】可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．【详解】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠性质可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝10°，∴∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB＝90°，∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，∴α+β＝30°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′，＝10°+α+β，＝10°+30°，＝40°．则∠EAF的度数为40°．故选：A．【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．4、D【分析】根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP 时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP =BP 时，△AEP ≌△BQP （SAS ），∵AB =10cm ，AE =6cm ，∴AP =BP =5cm ，BQ =AE =6cm ，∵5÷2=2.5s ，∴2.5v =6，∴v =125．故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5、B【分析】首先根据方程x 2+x -1=0，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF =0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG =m ，则GC =1-m ，从而可以用m 表示等式．【详解】解：设DG =m ，则GC =1-m ．由题意可知：△ADG ≌△AHG ，F 是BC 的中点，∴DG =GH =m ，FC =0.5．∵S 正方形=S △ABF +S △ADG +S △CGF +S AGF ，∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×（1-m ）+12×m ，∴m ．∵x 2+x -1=0的解为：x∴取正值为x ． ∴这条线段是线段DG ．故选：B ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．6、A【分析】如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，∴点C 的坐标为（0，2），∵OA =4，∴A 点坐标为（4，0），∵四边形OABC 是矩形，∴D 是AC 的中点，∴D 点坐标为（2，1），当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，∴3221⨯+-=，mm=，∴7故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．7、A【分析】多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条．故选A ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．8、C【分析】根据四边形内角和为360°及等边三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：由题意得：等边三角形的三个内角都为60°，四边形内角和为360°，∴3606060240αβ∠+∠=︒-︒-︒=︒；故选C ．【点睛】本题主要考查多边形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和及等边三角形的性质是解题的关键．9、B【分析】根据题意知点F 是Rt△BDE 的斜边上的中点，因此可知DF =BF =EF =5，根据矩形的性质可知AB =DC =x ，BC =AD =y ，因此在Rt△CDF 中，CD 2+CF 2=DF 2，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =x ，AD =y ，∴CD =AB =x ，BC =AD =y ，∠BCD =90°，又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF =5，∴BF =DF =EF =5，∴CF =5-BC =5-y ，∴在Rt△DCF 中，DC 2+CF 2=DF 2，即x 2+（5-y ）2=52=25，∴x 2+（y -5）2=x 2+（5-y ）2=25，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF 的长度．10、B【分析】根据菱形的性质求得BD 的长，进而根据菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅，即可求得BE 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是菱形AC BD ∴⊥，142AO CO AC ===，DO BO =，5CD AB == 在Rt AOB 中，5AB =，4AO =3BO ∴26BD BO ∴==菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅1168242255AC BD BE CD ⋅⨯∴==⨯= 故选B【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得BD 的长是解题的关键．二、填空题1、8【分析】设这个长方形的长为xcm ，则长方形的宽为()11x -cm ，由题意得长2-=宽+3．进而得到方程2113x x -=-+，解方程即可得到答案．【详解】解：设这个长方形的长为x cm ，由题意得：2113x x -=-+，216,x ∴=解得：8,x =答：这个长方形的长为8.cm故答案为：8【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而利用正方形边长相等得到方程．2、3.6【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE5==，∴BH＝3412 55⨯=，则BF＝245，∵点E为BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE翻折至△AFE，∴FE＝BE，∴FE＝BE= EC，∴∠CBF=∠EFB，∠BCF=∠EFC，∴2∠EFB+2∠EFC=180°，∴∠EFB+∠EFC=90°∴∠BFC＝90°，∴CF 3.6==．故答案为：3.6．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．3【分析】过点E作EF⊥AD于点F，先证明CG=AG，再利用勾股定理列方程，求出AG的值，结合三角形的面积法和勾股定理，即可求解．【详解】解：如图所示：过点E作EF⊥AD于点F，有折叠的性质可知：∠ACB=∠ACE，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠CAD=∠ACE，∴CG =AG ，设CG =x ，则DG =8-x ，∵在Rt CDG 中，()22284x x -+=，∴x =5，∴AG =5，在Rt AEG 中，3==，EF ⊥AD ，∠AEG =90°， ∴125AE EG EF AG ⨯==， ∵在Rt AEF 中，22165AFAE EF ，、 ∴DF =8-165=245， ∴在Rt DEF △中，221255DEEF DF ，【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．4、【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA ＝OD ，然后判断出△AOD 是等边三角形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA＝OD＝12AC＝12×12＝6，∠ADC=90°，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝6，∴DC=故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形．5、8【分析】根据题意求得多边形的外角，根据360度除以多边形的外角即可求得n边形的边数【详解】解：∵一个n边形的每个内角都等于135°，∴则这个n边形的每个外角等于18013545︒-︒=︒360458÷=∴该n边形的边数是8故答案为：8【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求得多边形的外角是解题的关键．三、解答题1、（1）①见解析；②四边形PEFD是菱形，理由见解析；（2）四边形PEFD的形状没有发生变化，仍然是菱形，理由见解析【分析】（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG；②由四边形PMDC是矩形得CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出PG＝PF，进而可得DP＝PF，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，再结合PD＝PE即可证明四边形PEFD是菱形；（2）如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出DP＝PG＝PE＝PF，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，由PD＝PE，即可证明四边形PEFD是菱形．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A= ∠C=∠ADC=90°，∵DF⊥PG，∴∠DHG=90°，∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，∵ PD=PG，∴∠PGD=∠PDG，∴∠ADF=∠CDP，∴△ADF≌△CDP（ASA），∴DF=DP，∵ PD=PG，∴DF=PG；②如图所示，作PM⊥AD于M，由旋转的性质得PE=PG，∠EPG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C ＝∠CDM ＝∠DMP ＝90°，AD ＝CD ，∴四边形DCPM 是矩形，∴CD ＝PM ，∵AD ＝CD ，∴AD ＝PM ，∵DF ⊥PG ，∴∠DAF ＝∠PMG ＝∠GHD ＝90°，∴∠ADF +∠AFD ＝90°，∠ADF +∠PGM ＝90°，∴∠AFD ＝∠PGM ，在△ADF 和△MPG 中，AFD PGM FAD PMG AD PM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△GMP （AAS ），∴DF ＝PG ，∵PG ＝PE ＝PD ，∵∠FHG ＝∠EPG ＝90°，∴DF∥PE ，∴四边形PEFD 是平行四边形，∵PD ＝PE ，∴四边形PEFD 是菱形．（2）四边形PEFD 的形状没有发生变化，仍然是菱形，理由：如图2中，作PM ⊥AD 于M ．则四边形CDMP 是矩形，CD ＝PM ，∵∠DAF ＝∠PMG ＝∠DHG ＝90°，∴∠ADF +∠AFD ＝90°，∠G +∠GDH ＝90°，∵∠ADF ＝∠GDH ，∴∠AFD ＝∠G ，∵AD ＝CD ，CD ＝PM ，∴AD ＝PM ，在△ADF 和△MPG 中，AFD G FAD PMG AD PM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△MPG （AAS ），∴DP ＝PG ＝PE ＝PD ，∵∠FHG ＝∠EPG ＝90°，∴DF∥PE ，∴四边形PEFD 是平行四边形，∵PD ＝PE ，∴四边形PEFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2、（1）见解析；（2）图②中BE DE +=，图③中DE BE -=【分析】（1）在BE 上截取BF DE =，连接CF ，可先证得BCF DCE ∆∆≌，则CF CE =，BCF DCE ∠=∠，进而可证得△AED 为等腰直角三角形，即可得证；（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的BE ，DE 与CE 之间的数量关系．【详解】解：（1）证明：如图，在BE 上截取BF DE =，连接CF ．∵四边形ABCD 是正方形，BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，PBC PDE ∴∠=∠，BF DE =，BC DC =，(SAS)BCF DCE ∴∆∆≌，CF CE ∴=，BCF DCE ∠=∠，90FCE FCD DCE FCD BCF BCD ︒∴∠=∠+∠=+==∠∠∠，∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，BE DE BE BF EF ∴-=-==；（2）图②：BE DE +=，理由如下：如下图，在EB 延长线上截取BF DE =，连接CF ．BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，FBC EDC ∴∠=∠BF DE =，BC DC =，(SAS)BCF DCE ∴∆∆≌，CF CE ∴=，BCF DCE ∠=∠，90FCE FCD DCE FCD BCF BCD ︒∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=，∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，BE DE BE BF EF ∴+=+==；图③：DE BE -=如图，在DE 上截取DF =BE ，连接CF ．BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，EBC FDC ∴∠=∠BE DF =，BC DC =，(SAS)BCE DCF ∴∆∆≌，CE CF ∴=，BCE DCF ∠=∠，90FCE FCB BCE FCB DCF BCD ︒∴∠=∠+∠=+==∠∠∠，∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，DE BE DE DF EF ∴-=-==．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．3、（1）EF =DF +BE ；（2）EF =DF -BE ；（3）线段EF 的长为103或203．【分析】（1）延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，先证△ABE ≌△ADG ，再证△GAF ≌△EAF 即可；（2）在DC 上截取DH =BE ，连接AH ，先证△ADH ≌△ABE ，再证△HAF ≌EAF 即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．解：（1）结论：EF=BE+DF．理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K 为BC 边的中点，∴CK =12BC =2，同理可证△ABK ≌FCK （SAS ），∴CF =AB =4，EF =FH=CF+CD-DH =8-x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得到：（4+x ）2+42=（8-x ）2，∴x =43， ∴EF =8-43=203．综上，线段EF 的长为103或203．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4、（1）见解析；（2）①∠CDA ＝20°；②∠CAD +41°＝∠CBD ．【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠ECD ＝∠E +∠EBC ；由角平分线的性质可得1()2ECD A ABC =∠+∠∠，12EBC ABC ∠=∠，利用等量代换，即可求得∠A 与∠E 的关系；（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD =a ，根据已知条件得到∠ABC =180°-2a ，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．【详解】（1）证明：∵∠ACD 是△ABC 的外角∴∠ACD ＝∠A +∠ABC∵CE 平分∠ACD∴1()2∠=∠+∠ECD A ABC又∵∠ECD＝∠E+∠EBC∴1()2ECD EBC A ABC ∠+∠=∠+∠∵BE平分∠ABC∴12EBC ABC ∠=∠∴11() 22∠+∠=∠+∠ABC E A ABC∴12∠=∠E A；（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°∵∠CBA＝40°∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°∵AD平分∠BAC∴1302CAD CAB︒∠=∠=∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD设∠CBD＝α∵∠ABD+∠CBD＝180°∴∠ABC＝180°﹣2α∵∠ACB＝82°∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°∵AD 平分∠BAC∴∠CAD ＝12∠CAB ＝α﹣41°∴∠CAD +41°＝∠CBD ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．5、（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，得出∠D ＝∠ECF ，则可证明△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）由平行四边形的性质证出AB ＝BF ，由全等三角形的性质得出AE ＝FE ，由等腰三角形的性质可得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠ECF ，∵E 为CD 的中点，∴ED ＝EC ，在△ADE 和△FCE 中，D ECF ED ECAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∴BE⊥AF．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．。

苏科版八年级数学上暑期强化提优专题1

八上第一章单元检测简介：本资料精选了有代表性的相关试题，难度适中，对于这一章知识的掌握是一个较好的回顾和检测。

一、选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（）A ．含30°角的直角三角形；B ．顶角是30的等腰三角形；C ．等边三角形D ．等腰直角三角形. 4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则这个梯形较小的底角是（）A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则（）A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，则（） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称D ．以上都不对8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （）A ．4B ．3C ．2D ．1 9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离为5，Q 是OB 上任一点，则（） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5 C ．PQ ＜5 D ．PQ≤5 10．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为（）A ．3cm 或5cmB ．3cm 或7cmC ．3cmD ．5cm二．填空题11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D到AB 的距离是__________． 14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且AB ∥DE ，则△DEC 的周长是____________．16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．AOP AEC B D17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ，则∠BAC=____________．18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．三．解答题19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形说明：CD=AB+BD ．21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF 的长．22．如图：△ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ，① 若△BCD 的周长为8，求BC 的长； ② 若BC=4，求△BCD 的周长．A C ··DOBACDBBCDEA23．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．24. 如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图．．．,并写出它们的周长.参考答案1．A 2．B 3．C 4．C5．A6．D7．C8．C9．B10．C11．212．30°、75°、120°13．414．515．1516．4、617．72°18．50°19．提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；20．提示：在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；21．EF＝20㎝；22．①BC＝3，②9；23．提示：△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°即可.24.。

2019-2020学年八年级数学暑期提高专题学案(1)

2019-2020学年八年级数学暑期提高专题学案（1）学生姓名家长签字【学习目标】1、掌握全等三角形的概念、条件和性质；2、利用全等三角形的概念、条件和性质解决问题，培养图形变换的观点和能力．【基础探究】1、如图1，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ； ③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN ，其中正确的结论是．2、如图2，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的．若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为．3、如图3，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件中(1)AB ＝DE ；(2)BC ＝EF ；(3)AC ＝DF(4)∠A ＝∠D ；(5)∠B ＝∠E ；(6)∠C ＝∠F ，以其中三个作为已知条件，不能．．判断△ABC 与△DEF 全等的是( ) A 、(1)(5)(2) B 、(1)(2)(3) C 、(4)(6)(1) D 、(2)(3)(4)4、如图4，正方形的网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝度.5、如图5，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD •交于点O ，且AO •平分∠BAC ，那么图中全等三角形共有________对．6、已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DB ，连结AE 、CD ．(1)试说明：△AGE ≌△DAC ；(2)过点E 作EF ∥DC ，交BC 于点F ，请你连结AF ，并判断△AEF 是怎样的三角形，试证明你的结论．7、如图，直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，90BCD ∠=°，且2tan 2CD ADABC =∠=，，过点D 作AB DE ∥，交BCD ∠的平分线于点E ，连接BE ．（1）求证：BC CD =；（2）将BCE △绕点C ，顺时针旋转90°得到DCG △，连接EG.．求证：CD 垂直平分EG . （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．8、将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______；(2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______；(3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．图1 图2 12345图4 图5 图3 A B C D E F A D G E C B (2)A CE D ’ E ’ A C B E D l (3) l D ’F ’ A C B E D (4) A C B E D l E ’ C ’ (1)9、如图(1)，一等腰直角三角尺GE F 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．(1)如图(2)，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；(2)若三角尺GEF 旋转到如图(3)所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，(1)问中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【综合探究】10、在等腰梯形ABCD 中,AB∥DC,∠A=45°,AB=10 cm,CD=4 cm .等腰直角三角形PMN 的斜边MN=10 cm,A 点与N 点重合,MN 和AB 在一条直线上,设等腰梯形ABCD 不动,等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1 cm/s 的速度向右移动,直到点N 与点B 重合为止.(1)等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由_____________变化为__________;(2)设当等腰直角三角形PMN 移动x(s)时,等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y(cm 2),求y 与x 之间的函数表达式;(3)当x=4(s),求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积.11、如图1，在66 的方格纸中，给出如下三种变换：P 变换，Q 变换，R 变换．将图形F 沿x 轴向右平移1格得图形1F ，称为作1次P 变换；将图形F 沿y 轴翻折得图形2F ，称为作1次Q 变换；将图形F 绕坐标原点顺时针旋转90得图形3F ，称为作1次R 变换．规定：PQ 变换表示先作1次Q 变换，再作1次P 变换；QP 变换表示先作1次P 变换，再依1次Q 变换；nR 变换表示作n 次R 变换．解答下列问题： A ( G ) B ( E ) O D ( F ) (1) F E A B D O M N (2) A B D G E F O M C (3) (2) (3)（1）作4R 变换相当于至少作次Q 变换；（2）请在图2中画出图形F 作2007R 变换后得到的图形4F ；（3）PQ 变换与QP 变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ 变换后得到的图形5F ，在图4中画出QP 变换后得到的图形6F ．12、如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a=3，b=2，k=12，求22DG BE +的值．y xR 变换 P 变换 Q 变换图1 y x 图2 O y x 图3 O y x 图4 O 图1 图2 图3图4 图5 图6。

八年级数学四边形复习上海科技版知识精讲

初二数学四边形复习某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：四边形复习四边形整章知识回顾二. 教学重点、难点重点：特殊四边形的性质、判定及应用难点：特殊四边形的性质、判定的综合应用三. 具体教学内容：1、本章知识结构2、多边形的内角和、外角和n边形的内角和等于（n－2）180°，外角和等于360°。

其中n为不小于3的整数。

3、平行四边形及特殊平行四边形的性质，判定见附表。

4、几个重要的推论及定理。

（1）夹在两条平行线间的平行线段相等（2）平行线间的距离处处相等（3）三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5、等腰梯形的性质及判定。

性质：（1）等腰梯形同一底上的两个角相等（2）等腰梯形两条对角线相等。

（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过上底和下底中点的直线判定：（1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形（2）对角线相等的梯形是等腰梯形总结名称定义性质判定面积四. 复习策略：与多边形的角度、边数、对角线有关的问题通常运用公式列方程来解；分清各种四边形的区别与联系，准确的理解和掌握它们的定义、性质和判定；对角线是把四边形转化为三角形的桥梁和纽带，是研究四边形的常用的辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征；在解有关梯形的问题时，通常添加辅助线，将其转化为平行四边形或三角形来解；遇到有关中点的问题，一般考虑构造三角形或者使用“延长中线法”；求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规X图形，转化的方法主要有“割”或“补”。

五. 考点分析：四边形的知识是中考的重要内容，几乎覆盖了全国各地的每一份中考试卷，试题的形式涉及填空题、选择题、解答题等多种形式，试题的内容大多数都聚集在平行四边形、矩形和梯形，伴有菱形、正方形、多边形和中心对称问题。

这部分内容大多以考查基础知识为主，在中考试卷中，很多试题都是由教材中的例题或练习题改造加工变形而来，由于这部分试题源于课本，所以难度不大。

八年级数学-四边形经典练习提高题含答案

梯形菱形正方形综合练习(含答案)1、如图，在矩形ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是AD 上不与A 、D 重合的一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，E 、F 为垂足，则PE + PF 的值为（）A 、2B 、2.4C 、2.5D 、2.62、下列命题正确的是（）A 、两邻边相等的四边形是菱形B 、一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C 、对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D 、对角线垂直的四边形是菱形3、已知菱形的周长是高的8倍，则菱形较大的一个角是（）A 、100°B 、120°C 、135°D 、150°4.如图梯形ABCD 的两底长为AD =6，BC =10，中线为EF ，且∠B =90︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则△EFP 与梯形ABCD 的面积比为何？(A) 1：6 (B) 1：10 (C) 1：12 (D) 1：16 。

5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于（）A ．9B ．10C ．11D ．126.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥BC ，∠B ＝60º，BC ＝2cm ，则梯形ABCD的面积为（）D C B AEF P ACB D (第3题图)60°30°D C B AA ．33cm 2B ．6 cm 2 C．36cm 2D ．12 cm 2 7．(1)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC 的长是( )A ．3B ．4C ． 2D ．5(2)已知等腰梯形的底角为45o ，高为2，上底为2，则其面积为（A ）2 （B ）6 （C ）8 （D ）128．如图，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2.9，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AD AB ==，若︒=∠60ABC ，12=BC ，则梯形ABCD 的周长为____________。

八年级四边形综合拔高训练能力提升(含完整答案与解析)

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在DC的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2，求GF的长．2．在四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，连接DE、BF，DE∥BF，DE＝BF，AF ＝CE．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，∠ABC＝90°，DE⊥AC，连接BE、DF，请直接写出所有的全等的直角三角形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O是AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论．4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，H分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．（1）求证：四边形GHCD为平行四边形．（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ECF互余的角．5．如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的长．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，AG平分△ABC的外角∠BAF，BE ⊥AG，垂足为E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连结DE，交AB于点O，若BC＝8，AO＝，则△ABC的面积是：．9．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．（1）如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＝45°，求证：AF+FO＝EG．10．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．答案与解析1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在DC的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2，求GF的长．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，BC＝EC，∴∠ABF＝∠CBE，∠CBE＝∠E，∴∠ABF＝∠E，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝2，∵F为AD中点，∴AF＝DF＝，在△ABF和△DEF中，，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴BF＝EF＝6，AB＝DE，∵AB＝CD，∴AB＝CD＝DE＝CE＝BC＝，∵FG⊥AB，∴∠G＝90°，∴GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，即（）2﹣AG2＝62﹣（+AG）2，解得：AG＝，∴GF＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．2．在四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，连接DE、BF，DE∥BF，DE＝BF，AF ＝CE．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，∠ABC＝90°，DE⊥AC，连接BE、DF，请直接写出所有的全等的直角三角形．【解答】（1）证明：∵DE∥BF，∴∠AFB＝∠CED，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中所有的全等的直角三角形为△ABC≌△CDA，△ABF≌△CDE，△BEF≌△DFE，△BCF≌△DAE，理由如下：∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，由（1）得：△ABF≌△CDE，AB＝CD，四边形ABCD是平行四边形，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∴∠BFC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠CDA＝90°，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS）；同理：△ABF≌△CDE（SAS），△BEF≌△DFE（SAS），△BCF≌△DAE（SAS）．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O是AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，H分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．（1）求证：四边形GHCD为平行四边形．（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ECF互余的角．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠GAD＝∠DCE＝90°，在△GAD和△ECD中，，∴△GAD≌△ECD（SAS），∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC，∴∠GDA+∠ADF＝∠EDC+∠ADF，即∠GDF＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CH，∴∠DFH＝∠CDF＝90°，∴DG∥CH，∵∠HCB+∠HCD＝∠EDC+∠DCF＝90°，∴∠HCB＝∠EDC，在△HBC和△ECD中，，∴△HBC和△ECD（ASA）∴CH＝DE，∴DG＝CH，∵DG∥CH，∴四边形GHCD为平行四边形；（2）∵△HBC≌△ECD，∴∠BHC＝∠CED，∵∠ECF+∠FEC＝90°，∴∠FEC，∠BHC与∠ECF互余；∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠ADE与∠ECF互余；∵∠DGA＝∠CHB，∴∠DGA与∠ECF互余；∵∠DCF+∠ECF＝90°，∴∠DCF与∠ECF互余；∴与∠ECF互余的角有：∠FEC、∠DCF、∠BHC、∠DGA、∠ADE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．5．如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB．∵OE＝CD，∴OE＝AB．∴平行四边形AEBO是矩形，∴∠BOA＝90°．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形，∴OA＝BE＝2，AC⊥BD，BO＝DO，∠ADO＝30°，∴OD＝OA＝2，∴BD＝2OD＝4．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，AD＝CD，∵DE∥AC且DE＝AC，∴DE＝OA＝OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形；（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝3．∴在Rt△ACE中，AE＝＝3．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OCED是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝CD，且AB＝BC，∴CD＝AB，且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO，∵CE⊥AB，∴AC＝2OE＝4，∴OA＝2，∴OB＝＝＝1，∴BD＝2OB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×2＝4．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质等知识；证明四边形ABCD为菱形是解本题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，AG平分△ABC的外角∠BAF，BE ⊥AG，垂足为E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连结DE，交AB于点O，若BC＝8，AO＝，则△ABC的面积是：12．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝90°，∵AG为△ABC的外角∠BAF的平分线，∴∠BAE＝∠F AE，∴∠DAE＝90°，∵BE⊥AG，∴∠AEB＝90°，∴四边形ADBE为矩形；（2）解：∵AD是BC边的中线，BC＝8，∴BD＝CD＝4，由（1）得：四边形ADBE是矩形，∴AB＝DE＝2AO＝5，在Rt△ABD中，AD＝＝＝3，∴△ABC的面积＝BC×AD＝×8×3＝12；故答案为：12．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．（1）如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＝45°，求证：AF+FO＝EG．【解答】解：（1）连接BD，∵平行四边形ABCD，∴BD过点O，∴S△OBC＝BC•OE＝×5×3＝∴平行四边形ABCD的面积＝4S△OBC＝30；（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，∵OE⊥BC，∴∠OEG+∠OEC＝∠GEC+∠CEH＝90°，∴∠OEG＝∠CEH，∵∠ACB＝45°，∴∠COE＝45°，∴OE＝CE，∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，又FG⊥AB，∴FG⊥CD，∴∠EOG+∠ECG＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠ECH+∠ECG＝180°，∴∠EOG＝∠ECH，∴△OEG≌△CEH（ASA），∴OG＝CH，EG＝EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAF＝∠OCG，∵∠AOF＝∠COG，∴△OAF≌△OCG（ASA），∴AF＝CG，OF＝OG，∵CG+CH＝GH，∴AF+OF＝GH，∵∠GEH＝90°，EG＝EH，∴GH＝，∴AF+OF＝EG．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积公式，关键是证明全等三角形．10．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，∵AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）证明：连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．。

八年级初二数学提高题专题复习平行四边形练习题及解析

八年级初二数学提高题专题复习平行四边形练习题及解析一、解答题1．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+2．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图23．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．4．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．5．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？6．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．7．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.8．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．9．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．10．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG ＝517，请直接写出此时DE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）证明见解析；（2）BE =3）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等；（2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12AEDG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，∵//EH AC ，AB//CD ，∴四边形ACGE 是平行四边形，∴AE=CG ，∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH,∴12AE DG CG CD ,∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴2422AB CD AD ,∴AE =∴BE AB BE =+=（3）如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==，且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=,∴22222()AC BD AB BC +=+【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键．2．（1）见解析（2）见解析（3）15【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠QBA ＝∠QBC在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）∴∠QAB ＝∠QCB又∵CQ ＝MQ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．3．（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF；（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠AOF＝90°，∴∠BAC＝∠AOF，∴AB∥EF，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形；（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC5∴AC22BC AB＝2，∴OA＝1＝AB，∴△ABO 是等腰直角三角形，∴∠AOB ＝45°，∵BF ＝DF ，∴△BFD 是等腰三角形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∴OF ⊥BD （等腰三角形底边上的中线是底边上的高），∴∠BOF ＝90°，∴∠α＝∠AOF ＝∠BOF ﹣∠AOB ＝45°．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO 是等腰直角三角形是解本题的关键．4．（1）214t ；（2）t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，t = 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的2AH =建立等式求解即可得；（3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==，四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线，1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形，22AH HQ AQ t ∴===，则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=；（2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形， //HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线，122AH BH AB ∴===，由（1）知，22AH t =，则22t =，解得22t =；（3）由题意，有以下三种情况： ①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AH HB =，四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，HAQ BHM ∴∠=∠，在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA ∴≅，由（2）可知，此时22t=；②如图3，当点Q 与点E 重合时，在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS ∴≅，3AD AH ∴==，则232t =，解得32t =；③如图4，当EG HB =时，四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，//,//CD AB HM PQ ∴，,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,4AH t AB ==，242HB AB AH t ∴=-=-，在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE AD ==，32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==，则由EG HB =得：2624t t -=-，解得722t =；综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722t =【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．5．（1）12；（2）证明见详解；（3）125t s=或t=4s．【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-AD=4t-12，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴2222201612AD AB BD=-=-=（cm），（2）如图所示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，∵PQ∥AC，∴∠PQB=∠C，∴∠PBQ=∠PQB，∴PB=PQ；（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，如图2所示：根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，∴MD=AD-AM=12-4t，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，即：当t=12-4t，时，四边形PQDM是平行四边形，解得：125t=（s）；②当点M在点D的下方时，如图3所示：根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，∴MD=AM-AD=4t-12，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，即：当t=4t-12时，四边形PQDM是平行四边形，解得：t=4（s）；综上所述，当125t s=或t=4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定方法，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．6．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC ≌△FNE （AAS ）即可解决问题；（2）过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ．首先证明四边形ABGF 为平行四边形，再证明△FGM ≌△DMC （AAS ）即可解决问题；【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90B N CEF ∠=∠=∠=︒，∴90NEF CEB ∠+∠=，90CEB BCE ∠+∠=，∴NEF ECB ∠=∠，∵EC EF =，∴EBC ∆≌FNE ∆∴FN BE =，EN BC =，∵BC AB =∴EN AB =∴EN AE AB AE -=-∴AN BE =，∴FN AN =，∵FN AB ⊥，∴45NAF ∠=，∴135EAF =∠（2）证明：过点F 作//FG AB 交BD 于点G .由（1）可知135EAF =∠，∵45ABD ∠=︒∴135180EAF ABD ∠=︒+∠=︒，∴//AF BG ，∵//FG AB ，∴四边形ABGF 为平行四边形，∴AF BG =，FG AB =，∵AB CD =，∴FG CD =，∵//AB CD ，∴//FG CD ，∴FGM CDM ∠=∠，∵FMG CMD ∠=∠∴FGM ∆≌CDM ∆∴GM DM =，∴2DG DM =，∴2BD BG DG AF DM =+=+.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（1）123y x =-+；（2）t=23s 时，四边形ABMN 是平行四边形；（3）存在，点Q 坐标为：618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3, 1)-或( 3,1)-或155,88⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）如图1中，作BH ⊥x 轴于H ．证明△COA ≌△AHB （AAS ），可得BH=OA=1，AH=OC=2，求出点B 坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）利用平行四边形的性质求出点N 的坐标，再求出AN ，BM ，CM 即可解决问题．（3）如图3中，当OB 为菱形的边时，可得菱形OBQP ，菱形OBP 1Q 1．菱形OBP 3Q 3，当OB 为菱形的对角线时，可得菱形OP 2BQ 2，点Q 2在线段OB 的垂直平分线上，分别求解即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作BH ⊥x 轴于H ．∵A （1，0）、C （0，2），∴OA=1，OC=2，∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°，∴∠ACO+∠OAC=90°，∠CAO+∠BAH=90°，∴∠ACO=∠BAH ，∵AC=AB ，∴△COA ≌△AHB （AAS ），∴BH=OA=1，AH=OC=2，∴OH=3，∴B （3，1），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，则有231b k b =⎧⎨+=⎩，解得：132k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴123y x =-+；（2）如图2中，∵四边形ABMN 是平行四边形，∴AN ∥BM ，∴直线AN 的解析式为：1133y x =-+， ∴10,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴10BM AN ==， ∵B （3，1），C （0，2）， ∴10，∴210CM BC BM =-=∴1021033t ==， ∴t=23s 时，四边形ABMN 是平行四边形；（3）如图3中，如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，连接OQ交BC于E，∵OE⊥BC，∴直线OE的解析式为y=3x，由3123y xy x=⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：3595xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴E（35，95），∵OE=OQ，∴Q（65，185），∵OQ1∥BC，∴直线OQ1的解析式为y=-13 x，∵OQ110，设Q1（m，-1m3），∴m2+19m2=10，∴m=±3，可得Q1（3，-1），Q3（-3，1），当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，易知线段OB的垂直平分线的解析式为y=-3x+5，由3513y xy x=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：15858xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴Q2（158，58-）．综上所述，满足条件的点Q 坐标为：618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3, 1)-或( 3,1)-或155,88⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）平行四边形，理由见解析；（2）9；（3）可为菱形，BD=6或0【分析】（1）先证明()EAB DAC SAS ∆≅∆，得60ABE C ∠=∠=︒，可得//AC BE ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BCFE 是平行四边形；（2）如图2，证明90AEB =︒∠，根据直角三角形30度角所对的直角边为斜边的一半可得BE 的长，根据平行四边形的周长计算方法可得结论；（3）分两种情况：①当D 在边BC 的延长线上；②当D 在边BC 上时；分别画图可得BD 的长．【详解】解：（1）如图1，四边形BCFE 是平行四边形，理由是：ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，AB AC ∴=，AD AE =，60EAD BAC ∠=∠=︒，EAB DAC ∴∠=∠，()EAB DAC SAS ∴∆≅∆，60ABE C ∴∠=∠=︒，60BAC ∠=︒，BAC ABE ∴∠=∠，//AC BE ∴，//EF BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形；（2）如图2，ADE ∆是等边三角形，且DE AB ⊥，30EAB DAB ∴∠=∠=︒，由（1）知：60ABE ∠=︒，90AEB ∴∠=︒， 1322BE AB ∴==， ∴四边形BCFE 的周长32()2(3)92BE BC =+=⨯+=；（3）分2种情况：①如图3，当四边形BCFE 是菱形时，BE BC =，由（1）知：3BE CD ==，336BD ∴=+=；②如图4，当四边形BCFE 是菱形时，B 和D 重合，A 和F 重合，此时0BD =；综上，BD 的长为6或0．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，菱形的性质，平行四边形的判定，正确画图和分类讨论思想的运用是解本题的关键．9．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEFBDE ∠=∠，根据平行线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明；（2）根据三角形中位线定理得到12DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证明；（3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【详解】（1）证明：//DE AC ，BDE A ∴∠=∠，DEF A ∠=∠，DEF BDE ∴∠=∠，//AD EF ∴，又//DE AC ，∴四边形ADEF 为平行四边形；（2）解：ADEF 的形状为菱形，理由如下：点D 为AB 中点， 12AD AB ∴=， //DE AC ，点D 为AB 中点，12DE AC ∴=， AB AC =，AD DE ∴=，∴平行四边形ADEF 为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，//AF DE∴，AF DE=，EG DE，//AF DE∴，AF GE=，∴四边形AEGF是平行四边形，AD AG，EG DE=，AE EG∴⊥，∴四边形AEGF是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．10．（1）55；（2）109；（3）52或152．【分析】（1）如图1，连接CG，证明△CBD≌△CBG（SAS），可得G，C，D三点共线，利用勾股定理可得AG的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE≌△BKG，可得AK和KG的长，利用勾股定理计算AG的长；（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG （AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG22AD DG+22510+＝5故答案为：55；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝22103+＝109；（3）（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG517由勾股定理得：KG22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝CD=5，∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。

八年级数学暑假专题四边形同步练习上科版

八年级数学暑假专题四边形同步练习上科版（答题时间：30分钟）1、m 边形与n 边形内角和的差为720°，则m 与n 的差为（）A 、2B 、3C 、4D 、52、以不在同一条直线上的三点为平行四边形的三个顶点，则可以作出平行四边形的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、已知平行四边形ABCD 被对角线AC 分成两个周长为6cm 的三角形，如果平行四边形ABCD 的周长是7cm ，那么AC 的长等于（）A 、1cmB 、C 、D 、4、平行四边形ABCD 中，AB+BC=11cm ，∠B=30°，S 平行四边形ABCD =15cm 2，则AB 与BC 的值可能是（）A 、5cm 或6cmB 、4cm 或7cmC 、3cm 或8cmD 、2cm 或9cm5、如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 周长为12，则PD+PE+PF=。

6、如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加101，则这个多边形的边数是。

7、平行四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边的长度分别为cm )3x (-，cm )4x (+，5cm ，则它的周长为。

8、如图，已知：平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是直线AC 上的两点，并且AE=CF ，求证：四边形BFDE 是平行四边形。

9、某同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？10、平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，且点E 把AD 分为4cm 和5cm 两部分，求平行四边形ABCD 的周长。

11、如图，平行四边形ABCD 中，∠C=60°，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求（1）∠EDF 的度数（2）若AE=4，CF=7，求平行四边形ABCD 的周长12、如图，在平行四边形ABCD 中，AB //=CD ，M 、N 在直线AC 上，且MA=NC ，问BM 和DN 存在怎样的关系？说明理由。