常见辅助线作法
中考数学常见辅助线的作法
中考数学常见辅助线的作法中考几何常见辅助线介绍一、角平分线上的垂线在角平分线上任取一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可以解决一些几何问题。
1.如图，在四边形ABCD中，已知BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，证明：∠A+∠C=180°。
2.如图，在直角三角形ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，证明：BC=AB+AD。
3.如图，在四边形ABCD中，已知AE=CF，AE交CF于点O，证明：OB平分∠AOC。
二、垂直于角平分线的线段如果有一条线段垂直于角平分线，将其延长可以得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系。
4.如图，在三角形ABC中，已知∠1=∠2，AB>AC，CD⊥AD于D，H是BC的中点，证明：DH=(AB-AC)/2.5.如图，在直角三角形ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE，证明：BD=2CE。
三、角平分线与平行线当有角平分线时，可以作平行线，构造等腰三角形。
6.如图，在三角形ABC中，已知DE=EC，过D作DF∥AB，交AE于点F，DF=AC，证明：AE平分∠BAC。
四、中线当有中线时，可以延长中线，构造全等三角形或平行四边形。
7.如图，在三角形ABC中，AD为中线，证明：AB+AC>2AD。
9.如图，在四边形ABCD中，N为BC的中点，过A的任一直线AD⊥BD于D，CE⊥AD于E，证明：NE=ND。
五、斜边中线作斜边中线，利用斜边中线性质可以解题。
10.如图，在直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，证明：AO=BO=CO。
六、中位线有中点时，可以构造中位线。
11.如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠C=∠B/2，E为BC的中点，证明：AB=2DE。
12.如图，E、F分别为四边形ABCD的对角线中点，AB>CD，证明：EF=(AB-CD)/2.13.已知矩形ABCD，E为CB延长线上一点，且AC=CE，F为AE的中点。
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形:1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3.平行于两条斜边4.作两条垂直于下底的垂线5.延长两条斜边做成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3.做高——形内形外都要注意矩形1.对角线2.作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。
在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。
以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。
1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。
2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。
3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。
4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。
6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。
7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。
这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。
通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。
请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。
双曲线中常见辅助线的作法
在双曲线中，常见的辅助线作法包括以下几种：焦点弦长公式法：过焦点的直线与双曲线交于两点，由焦半径公式可分别得到两条焦半径的长，进而求得焦点弦长。
平行线法：平行于双曲线渐近线的直线与双曲线交于两点，这两点间的线段中点坐标满足中点公式，且该线段所在直线的斜率为定值。
共轭双曲线法：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，它们的四个焦点共圆，半径为虚轴长的一半。
双曲线的切线法：以焦点在横轴上的双曲线为例，在横轴上任意取一点P，过P做横轴的垂线与双曲线交于两点A、B，连接AP、BP，过A、B分别做切线交于点C，则AC⊥BC。
三角形面积公式法：以双曲线的一个焦点为一个三角形的顶点，另外两个顶点在双曲线上，则这个三角形的面积可以由底和高求得，其中底就是双曲线的焦距，高就是其中一个顶点到对应焦点的距离。
利用已知条件和对称性找中点：若知道一条焦半径的长度和中点坐标，则可以利用中点公式和对称性找到另一条焦半径的中点坐标。
利用焦点的定义求轨迹方程：以焦点在横轴上的双曲线为例，若知道一条过焦点的直线与双曲线交于两点，且这两点到另一焦点的距离和为定值，则可以利用焦点的定义和距离公式求出这两点的轨迹方程。
利用对称性和距离公式求距离差：若知道两条过焦点的直线分别与双曲线交于两点，且这两点到两焦点的距离差相等，则可以利用对称性和距离公式求出这两点间的距离差。
利用定义和余弦定理求角度：若知道两条过焦点的直线分别与双曲线交于两点，且这两点间的线段与两焦点的连线所成的角为锐角或直角，则可以利用定义和余弦定理求出这个角的大小。
利用向量数量积求夹角：若知道两条过焦点的直线分别与双曲线交于两点，则可以求出这两点间的向量的数量积为零，进而求出这两点间的夹角为直角。
以上是常见的几种辅助线作法，可以根据具体的题目条件选择合适的方法来解题。
五种辅助线的作法
五种辅助线的作法一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）．分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．延长AD至E，使DE = AD=x．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB∴BE=AC=5∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE即7-5＜2x＜7+5 ∴1＜x＜6三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．例3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．分析：要证DF=EF，必须借助三角形全等．而现有图形中没有全等三角形．由等腰三角形条件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．则△DBH为等腰三角形．证明：作DH∥AE交BC于H．∴∠DHB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∴∠DHB=∠B，DH=BD∵CE=BD ∴DH= CE又DH∥AE，∠HDF=∠E∠DFH=∠EFC（对顶角）∴△DFH≌△EFC（AAS）∴DF=EF四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．例4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边，而要求的BE为斜边．要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形．证明：延长AD、BC相交于F．由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF．易证△ADB≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°∴∠ABD=∠FAC∵BD为∠ABC的平分线∴∠ABD=∠CBE∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC∴△ACF≌△BCE（ASA）∴BE=AF=2a五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．例5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．分析：由角的平分线条件，在BC上截取BE=BA，可构造△ABD≌△EBD，从而AD=DE．则只要证明DE=CD．证明：在BC上截取BE=BA，连接DE．由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD∴AD=DE ∠A=∠BED又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°∴∠DEC=∠C，∴DE=CD∴AD=CD。
相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“ A ”“ X ”型变式：如图，D 是△ABC 的 BC 边上的点，BD ：DC=2 ：1，E 是AD 的中点,例1：如图，D 是△ ABC 的 BC 边上的点， BD ： 的中点， 求：BE ：EF 的值 . 解法一： 过点 D 作CA 的平行线交 BF 于点 P ，PEFEDE 1， BP AE PFBDD B C D2 ,∴ PE=EF BP=2PF=4EF 所以 BE=5EF ∴BE ： EF=5： 1. 解法二：过点 D 作BF 的平行线交 AC 于点 Q ，则 DEF Q BF BC BE BF EF3,DQ DC 3DQ EF 6EF EF 5EF ，∴BE ：EF=5：1.解法三：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S ，解法四：过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点BE BT；EF TC ；∵ BD=2DC ∴BT52DC ，DC=2： 1， 2DA EA∴BE ：T ，则DTT ，连结BE 并延长交 AC 于F,例 2：如图，在△ ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E ， ＝AE ，BF BDDE 延长线与 BC 延长线相交于 F ，求证：CF CE证明：过点 C 作 CG//FD 交 AB 于 G )例3：如图，△ ABC 中， AB<AC ，在 AB 、AC 上分别截取 交于点 F ，证明： AB ·DF=AC · EF.分析： 证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添AF ：CF 的值.解法一：过点 D 作CA 的平行线交 BF 于点 P ， 解法二：过点 D 作BF 的平行线交 AC 于点 Q ， 解法三：过点 E 作BC 的平行线交 AC 于点 S ， 解法四：过点 E 作AC 的平行线交 BC 于点 T ，行线方法一：过 E 作EM//AB ，交BC 于点M，则△ EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）方法二：过 D 作DN//ECBC于N.例4：在△ ABC中，D 为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD ，DE 交AB 于F。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常有的协助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，结构二个角之间的相等【三角形协助线做法】图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试一试看。
线段垂直均分线，常向两头把线连。
要证线段倍与半，延伸缩短可试验。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，延伸中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形3.角均分线在三种添协助线4.垂直均分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法” ：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成30-60-90 的特别直角三角形，而后计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：碰到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特别直角三角形，或40-60-80 的特别直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。
常有协助线的作法有以下几种：最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”法结构全等三角形．3)碰到角均分线在三种添协助线的方法，（1）能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理．（ 2）能够在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形。
(完整版)圆中常见辅助线作法分类大全
1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或许连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用： 1 、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙ O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 订交于点 M ，求证：PM ?PN=2PO 2.剖析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC =PO 2，过 O 点作 OC⊥PN 于 C，依据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2只需证明 Rt△ POC∽Rt △ PMO.1证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=PN2∵PO⊥ AB, OC ⊥PN ，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° .又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.∴ PO PC即∴ PO2 = PM?PC.∴ PO2= PM ?1PN，∴ PM ?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如图，已知△ ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。
AOB C【例 2】如图，⊙ O的直径为10，弦 AB＝8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________ ．【例 3】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C 在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.2． 碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。
例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1） 求证： BA · BM=BC · BN ；（ 2） 假如 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．剖析：要证 BA · BM=BC · BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，因此需要△ NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，因此连结 MN 可得∠ BMN=90 °。
中考数学-全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
常见辅助线的作法有以下几种
（IＩ）如图２,点M、N边AB、AＣ上，且当DMDN时，猜想（Ｉ)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;（IＩI）如图３,当M、N分别在边AＢ、ＣＡ的延长线上时,若AN=x,则Q=(用x、L表示）.
常见辅助线的作法有以下几种
————————————————————————————————作者：
————————————————————————————————日期：
常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
五、旋转
例1正方形AＢCＤ中，E为BC上的一点，F为ＣＤ上的一点,BE+DF＝EF，求∠EAF的度数.
例２ Ｄ为等腰Rt△ＡＢＣ斜边AＢ的中点，DM⊥ＤN,DM,ＤN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDN绕点D转动时,求证ＤE＝ＤF。（２)若AＢ=2，求四边形DEＣF的面积。
例３如图，△ABＣ是边长为3的等边三角形，∠ＢDC是等腰三角形,且∠BDC＝１20，以D为顶点做一个６0度角，使其两边分别交AB于点M,交AＣ于点Ｎ,连接MＮ,则ＡMＮ的周长为；
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABＣ中，∠B=60°,△ABC的角平分线ＡD,CＥ相交于点O，求证：OE=OＤ
2、如图，△ABC中，AD平分∠BＡC，ＤG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.（1）说明BE＝CＦ的理由;(2)如果AＢ=a，ＡC=b，求AE、ＢE的长．
相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A”“X”型例1：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点，求：BE：EF的值.解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，则∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE：EF=5：1.解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，∴BE：EF=5：1.解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，∵BD=2DC ∴∴BE：EF=5：1.变式：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,求AF：CF的值.解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，，1==AEDEFEPE,2==DCBDPFBP，则2==EADAEFDQ,3==DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563=-=-=-=，则DCCTDT21==；TCBTEFBE=，DCBT25=例2：如图，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：（证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）例3：如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
(基础版)相似矩形中常用的辅助线作法(有辅助线)
(基础版)相似矩形中常用的辅助线作法(有
辅助线)
相似矩形是在形状和比例上与另一个矩形相似的矩形。
通过使用辅助线，我们可以更加方便地绘制和分析相似矩形。
下面是一些在相似矩形中常用的辅助线作法。
1. 中心连线法
中心连线法是一种有效的辅助线作法，通过连接相似矩形的中心点，可以得到一条中心连线。
这条中心连线将相似矩形分成两个相等的部分，并且与矩形的对角线垂直。
2. 对角线法
对角线法是利用相似矩形的对角线来确定其它辅助线的位置。
相似矩形的对角线相互垂直且相等，通过连接对角线的中点可以得到一条中位线。
这条中位线将相似矩形分成两个相等的部分，并且与矩形的边平行。
3. 等分法
等分法是一种简单而常用的辅助线作法，通过等分相似矩形的
一条边，可以确定其它辅助线的位置。
将相似矩形的一条边等分成
相等的部分，然后通过连接等分点可以得到多条平行线，这些平行
线可以帮助我们更好地分析相似矩形的形状和比例关系。
4. 垂直平分线法
垂直平分线法是一种通过垂直平分相似矩形的边来确定其它辅
助线位置的方法。
通过连接相似矩形的一条边的中点和另一条边的
中点，可以得到一条垂直平分线。
这条垂直平分线将相似矩形分成
两个相等的部分，并且与矩形的边垂直。
以上是在相似矩形中常用的一些辅助线作法，通过使用这些辅
助线，我们可以更加方便地绘制和分析相似矩形的形状和比例关系。
几何证明之常见辅助线做法--
几何证明常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等．1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3、遇到角平分线在三种添辅助线的方法．（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形．（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形．4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．例题精讲第一部分：常见构造全等三角形方法例1、已知：如图，在四边形ABCD中，BC AB>，AD CD=，BD平分ABC∠．求证：180A C∠+∠=︒．例2、已知：如图所示，△ABC中，90C∠=︒，AC BC=，AD DB=，AE CF=．求证：DE DF=．相关练习：D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM、DN分别交BC、CA于点E、F．（1）当MDN∠绕点D转动时，求证：DE DF=；（2）若2AC=，求四边形DECF的面积．FEC AMD第二部分：倍长中线作法 【夯实基础】例：△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD CD =．求证：AB AC =．【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD【经典例题】例1、△ABC 中，5AB =，3AC =，求中线AD 的取值范围．例2、已知在△ABC 中，AB AC =，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF EF =．求证：BD CE =．例3、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ．求证：AF EF =．例4、已知：如图，在△ABC 中，AB AC ≠，D 、E 在BC 上，且DE EC =，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF AC =． 求证：AE 平分BAC ∠．例5、已知CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是△ABD 的中线．求证：C BAE ∠=∠．第 1 题图ABFDECEDCBA【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．2、如图，AD 为△ABC 的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．3、已知：如图，△ABC 中，90C ∠=︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分BAC ∠交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ．求证：CT BE =．备选例题例1、如图，AD ∥BC ，EA 、EB 分别平分DAB ∠、CBA ∠，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．FEABCDDABCMTE例2、以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 、Rt △ACE ，90BAD CAE ∠=∠=︒，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒（090θ<<）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．自我测试1、在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH AC =，则ABC ∠= ．2、如图，已知AE 平分BAC ∠，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，36BAE ∠=︒，那么BED ∠= ．第2题 第3题3、如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，给出三个论断：①DE EF =；②AE CE =；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是 ．4、如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若5AB =，3AC =，则AD 的取值范围是 ．第4题 第5题 第6题5、如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒．AD 平分BAC ∠，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足．则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4．6、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AB AD >，下列结论中正确的是（ ）A ．AB AD CB CD ->-； B ．AB AD CB CD -=-；C ．AB AD CB CD -<-； D ．AB AD -与CB CD -的大小关系不确定． 7、考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（ ）． A ．4个； B ．3个； C ．2个； D ．1个．8、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+,求ABC ADC ∠+∠的度数．9、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE CF +与EF 的大小关系，并证明你的结论．10、如图，已知2AB CD AE BC DE ===+=，90ABC AED ∠=∠=︒，求五边形ABCDE 的面积．11、如图，在△ABC 中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠． 求证：AC AE CD =+．12、如图，已知90ABC DBE ∠=∠=︒，DB BE =，AB BC =． （1）求证：AD CE =，AD ⊥CE ；（2）若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则（1）中结论是否仍成立?请证明．。
圆中常用的作辅助线的八种方法
解：CD与⊙O相切，理由如下： 如图，作直径CE，连接AE. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. ∴∠E＋∠ACE＝90°. ∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB. ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB. ∴∠B＝∠ACD. 又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E. ∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC. 又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切
证明：如图，连接AD，BD. ︵
∵∠DAC、∠DBC是DC所对的圆周角．
∴∠DAC＝∠DBC.
∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，
∴DP＝DH.
在△ADP和△BDH中，ìïïïïíïïïïî
行DAP＝ 行DPA＝ DP＝DH
DBH， DHB＝90?， .
∴△ADP≌△BDH. ∴AP＝BH.
∴R＝
26 .
2
∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，
∴OF∥EA.
又∵O为中点，
∴OF＝ 1 AE＝ 1 BC＝ 1 .
2
2
2
即点O到AD的距离为 1 . 2
本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周 角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带 来了方便．
方法 4 证切线时辅助线作法的应用
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且 与OA的延长线交于点D. 判断CD与⊙O的位置关 系，并说明理由．
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9．【中考·自贡】如图所示，点B，C，D都在⊙O上， 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD， 且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6 3 cm.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：(1)如图，连接CO，交DB于点E， ∴∠O＝2∠CDB＝60°. 又∵∠OBE＝30°， ∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°. ∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°. 即OC⊥AC. 又∵点C在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线．
常见辅助线的作法有以下几种：
D C BAED F CB A常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（一）、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是____ _____.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.AED CB延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．由已知条件不难算出：∠1=∠2=30°，∠3=∠4=40°=∠C．于是QB=QC．又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，故∠D=40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，等量代换即可得证．解答：证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C．∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，AP=AP，∠1=∠2，∠D=∠C=40°∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．即AB+BD=AQ+QC ， ∴AB+BP=BQ+AQ ．点评：本题实际是以角平分线AP 为对称轴将△APC 翻折成△APD ．利用对称变换解题常常选择角平分线，某一线段的垂直平分线作为对称轴．作辅助线构造全等三角形是关键．中考应用（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC_ C_ D_ B_ A2：如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD三梯形的辅助线口诀：作法 图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线：例1．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，求证：AF=FC 21分析：题设中含有D 是BC 中点，E 是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D 点作DN ∥CA ，交BF 于N ，可得N 为BF 中点，由中位线定理得DN=FC 21，再证△AEF ≌△DEN ，则有AF=DN ，进而有AF=FC 21（2）过D 点作DM ∥BF ，交AC 于M ，可得FM=CM ，FM=AF ，则有AF=FC 21方法二：分析结论，作出辅助线例2：如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径， 求证：AB ·AC=AE ·AD分析：要证AB ·AC=AE ·AD ，需证ACAEAD AB = （或ACADAE AB =），需证△ABE ∽△ADC （或△ABD ∽△AEC ）， 这就需要连结BE （或CE ），形成所需要的三角形，同时得∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C （或∠B=∠E 因而得证。
方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线例3：过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ； 求证：AE ∶ED=2AF ∶FB分析：已知D 是BC 中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AE ∶ED ，则应有一条与EF D 点作DM ∥EF 交AB 于M ，可得FMAFFM AF ED AE 22==证BF=2FM即可。
方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。
例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线： （1）有弦，作“垂直于弦的直径”例4：已知，如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC=BD分析：过O 点作OE ⊥AB 于E ，则 AE=BE ，CE=DE ，即可证得AC=BD（2例5：已知：如图，以△ABC 的AC 作⊙O 交BC 、BA 于D 、E 两点，且⋂⋂=DE CD ， 求证：∠B=∠C分析：连结AD ，由于AC 为直径，则有AD ⊥BC ，又⋂⋂=DE CD ，有∠1=∠2，由内角和定理得∠B=∠C （3）见切线，连半径，证垂直例6：如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB 分析：连结OC ，由于CD 为切线，可知 OC ⊥CD ，易证：∠1=∠2，又因为∠2=∠3， 所以∠1=∠3，则可得AC 平分∠DAB（4）证切线时，例7：已知，直线AB 经过⊙O 上的一点，并且OA=OB ，求证：直线AB 是⊙O 的切线分析：连结OC ，要证AB 是⊙O 的切线， 需证OC ⊥AB ，由已知可证△OAC ≌△OBC ， 可得∠OCA=∠OCB=900，结论得证。
例8：已知，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，BC 是⊙O 的直径，BC=CD+AB ，求证：AD 是⊙O 的切线分析：过O 点作OE ⊥AD ，垂足为E ，要证AD 是⊙O 的切线，只要证OE 是⊙O 的半径即可，也就是说需要证OE=BC 21，由于∠A=900，AB ∥CD ，可得AB∥CD ∥OE ，再由平行线等分线段定理得DE=EA ，进而由梯形中位线定理得OE=BC CD AB 21)(21=+，所以E 点在⊙O 上，AD 是⊙O的切线。
（二）练习1、已知： 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ． 求证： DE ∥BC ，DE ＝21BC ．2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ． 求证： EF ∥BC ，EF ＝21（AD ＋BC ）． 3、已知：如图27.3.13所示,在△ABC 中.AD=DB,BE=EC,AF=FC. 求证：AE 、DF 互相平分。
4、如图：已知：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，M 为⋂AC 上一点，AM 的延长线交DC 的延长线于F ， 求证：∠AMD=∠FMC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。
为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。
为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考——一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例1.如图，以Rt △ABC 的直角顶点A 为圆心，直角边AB 为半径的⊙A 分别交BC 、AC 于点D 、E, 若BD=10cm ，DC=6cm ，求⊙A 的半径。
解：过A 作AH ⊥BD 于H ，则1BH BD 5cm ==。
∵BA ⊥AC ，∴∠CAB=∠AHB=90°。
又∵∠ABH=∠CBA ，∴△ABH ∽△CBA ，∴A B C BB H A B=，∴2AB BC B H (BD D C )B H 16580c m =⋅=+⋅=⨯=，∴r AB =。
例2.如图，AB 是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于点P ，弦PN 与AB 相交于点M ，求证：2PM PN 2PO ⋅=。
证明：过O 作OC ⊥NP 于点C ，则1PC PN 2=。
∵OC ⊥NP ，PO ⊥AB ，∴∠POM=∠PCO=90°。
又∵∠OPM=∠CPO ，∴△OPM ∽△CPO ，∴P O P MP C P O=，∴21P O P M P C P M (P N )2=⋅=⋅，即2P M P N 2P O ⋅=。
评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。
二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角） 例3.如图，AB 为半圆的直径，OH ⊥AC 于H ，BH 与OC 交于E ，若BH=12，求BE 的长。
解：连结BC 。
∵ AB 为直径，∴ AC ⊥BC 。
又∵OH ⊥AC ，AO=BO ，∴ OH 12BC ，∴ ∠OHE=∠CBE ，∠HOE=∠BCE ，∴△OHE ∽△CBE ，∴HE OH 1BE BC 2==，∴22BE BH 12833==⨯=。
例4.如图,AB 是半圆的直径, C 为圆上的一点, CD ⊥AB 于D, 求证:2CD AD BD =⋅。
证明：连结AC 、BC 。
∵ AB 为直径，∴ ∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°。
又∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠CDB=90°，∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，∴△BCD ∽△CAD ，∴AD CDCD BD=，即2CD AD BD =⋅。
评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。
三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例5.如图，已知MN 为⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，P 为切点，点A 在MN 的延长线上，若 PA=PM ，求∠A 的度数。
解：连结OP ，设∠A 的度数为x 。
∵PA=PM ，∴∠M=∠A ，同理可得∠OPM=∠M ，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x 。
又∵AP 切⊙O 于点P ，∴AP ⊥OP ，∴∠A+∠POA=90°，即x +2x =90°，解之得x =30°，∴∠A=30°。
例6.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD 和过C 点的切线垂直,垂足为D ，求证∠1=∠2。
证明：连结OC 。
∵DC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥DC 。
又∵AD ⊥DC ，∴OC ∥AD ，∴∠1=∠3。
∵OA=OC,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2。
评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。
四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点A 、B 、C 在⊙O 上（AC 不过O 点），若∠ACB=60°,AB=6，求⊙O 半径的长。
解：作直径AD ，连结BD 。
∵∠ACB 与∠D 都是 AB所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°。
又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴AB 6AD sin D sin 60︒===，∴1r AD 2== 例8.如图，在锐角△ABC 中，若BC=a ，CA=b ，AB=c ，△ABC 的外接圆半径为R ，求证：a b c2R sin A sin B sin C===。
证明：作直径CD ，连结BD 。
∵CD 为直径，∴∠CBD=90°，∴BC asin D DC 2R==。
又∵∠A=∠D ，∴a sin A sin D 2R ==，即a 2R sin A =，同理可得b 2R sin B =，c 2R sin C=，∴a b c2R sin A sin B sin C===。
评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。
五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例9.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，BC 是⊙O 1和⊙O 2外公切线，B 、C 为切点，求证：AB ⊥AC 。
证明：过点A 作⊙O 1与⊙O 2的公切线AM 交BC 于点M 。
∵MA 和MB 分别切⊙O 1于点A 、B ，∴MA=MB ，同理可得MA=MC ，∴MA=MB=MC ，即点A 、B 、C 同在以M 为圆心，BC 为直径的圆周上，∴AB ⊥AC 。
例10.如图，⊙A 和⊙B 外切于点P ，CD 为⊙A 、⊙B 的外公切线，C 、D 为切点，若⊙A 与⊙B 的半径分别为r 和3r,求：⑴CD 的长；⑵∠B 的度数。
解：连结AB ，连结AC 、BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E 。