二元关系-

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关系性质的证明方法
1. 自反 任取xA， 中间过程 <x,x>R。

2. 反自反
任取xA， 中间过程 <x,x>R。

3. 对称
任取x,yA， 假设<x,y>R，
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中间过程

<y,x>R。
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关系性质的证明方法(续)
4. 反对称 任取x,yA，假设 <x,y>R，<y,x>R， 或者
6.4 关系的性质------重点
本节涉及到的关系，如无特别声明，都是假定 其前域和后域相同。即都为定义在集合 A上的关系， 且 A 是非空集合。对于前后域不相同的关系，其性 质无法加以定义。

6.4.1 关系性质的定义
1.关系性质的定义
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定义6.4.1-3

设R是集合A上的关系，

1. 如果对任意x∈A，都有<x,x>∈R，那么称R在A上是自反 的，或称R具有自反性. 2.如果对任意x∈A，都有<x,x> 反的，或称R具有反自反性。 3.对任意x,y∈A，如果<x,y>∈R，那么<y,x> ∈R，则称关 系R是对称的，或称R具有对称性； 4. 对 任 意 x,y∈A ， 如 果 <x,y>∈R 且 <y,x>∈R ， 那 么 x ＝ y （或者 , 若x≠y,则 <x,y> 与 <y,x> 不全属于 R ），则称 关系R是反对称的，或称R具有反对称性。 5.对任意x,y,z∈A，如果<x,y>∈R且<y,z>∈R，那么 <x,z>∈R，则称关系R是传递的，或称R具有传递性。
(a) a b (e)
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(b) a c b (f) c b

(c) a c (g) b

(d) a c (h)
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注:
(1) 非空集合A上的关系,若有自反性,则一定没有反自
反性; 反知, 若有反自反性,则一定没有自反性; (2) 存在既不是对称也不是反对称的关系； (3) 存在既是对称也是反对称的关系； (4)非空集合A上的空关系具有反自反性、对称性、 反对称性和传递性； (5)空集上的空关系5个性质都具有.

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有:反自反性和反对称性

0 1 MS   0 0 1 0 
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0 1 0 

有:反自反性和反对称性

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例

设A＝{a,b,c},试判断如下图所示A上关系的性质：

图图 (a) 的关系是自反的、 图(b)的关系是具备反自 图(c)的关系是具备对称 (d) 的关系是不具备任 对称的、反对称的、传 反的、对称的、反对称 图 (e)的关系是具备自反 的、反对称的、传递的 何的性质关系 图(f)的关系是具备反自 图 (g) 的关系是具备反自 图 (h) 的关系是具备反自 递的关系 的、传递的关系 的、对称的、传递的关 关系 a 反的、反对称的、传递 a a a 反的、反对称的关系 反的、反对称的、传递的 系 的关系 b c b b b c c c 关系
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R，那么称R在A上是反自

例1：1.整数集I上的“等于”关系是自反的、反对称的、对 称的、传递的关系。

“小于等于”关系是自反的、反对称的、传递的关系；
“小于”关系是反自反的、反对称的、传递的关系。 2.幂集上的“包含”关系关系是自反的、反对称的、传递 的关系。 3.命题公式集合上的蕴涵关系“”具有自反性、反对称 性和传递性。

4.三角形的相似关系具有自反性、对称பைடு நூலகம்和传递性。
5.人的集合上的朋友关系具有自反性和对称性; 父子关系具有反自反性和反对称性.

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例2：设A是任意的非空集合，则 A上的全关系A×A是 自反的、对称的、传递的关系； A上的空关系Φ是 反自反的、反对称的、对称的、传 递的关系； A上的恒等关系IA是 自反的、对称的、反对称的、传 递的关系。 例3：设A={1,2,3}，A上的关系： （1）R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>}, 则 R是自反的,反对称的,传递的.
中间过程

x ＝ y。

任取x,yA，x≠y， 假设<x,y>R，

(5) 关系R是传递的  图中,任何三个节点x,y,z(可 以相同)之间，若从x到y有一条边存在 ,从y到z有 一条边存在,则从x到z一定有一条边存在.
 关系矩阵中,如果rij＝1且rjk＝1,则rik＝1
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例 A={1,2,3}上关系: 1 3 2 1 有:自反性,反对 称性和传递性

（2）S={<1,2>,<2,1>},
则 S是反自反的,对称的.
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（3）U ={<2,2>,<3,3>},

则 U 是对称的,反对称的,传递的.
（4）V ={<1,2>}, 则 V 是反对称的,传递的. （5）T={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,2>}, 则 T 5个性质都没有.
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总结
自反 反自反 对称 反对称 传递 定 <x,x> <x,x> <x,y>∈R <x,y>∈R∧<y, <x,y>∈R∧<y,z> 义 ∈R R <y,x>∈R x>∈Rx=y ∈R<x,z>∈R

每 个 每对结点间 任 三 个 结 点 x,y,z ， 关 每个结 每对结点间至 结 点 或有方向相 若从 x 到 y 有边，从 系 点都无 多有一条边存 都 有 反的两条边， y到z有边，则从x 图 环 在 环 或无任何边 到z一定有边 对 角 对角线 rij• rji=0, 关系 如 rij ＝ 1 且 rjk ＝ 1 线 上 上全为 对称矩阵 i,j=1,2,…,n, 矩阵 则rik＝1 全为1 0 i≠j

2.“性质”在关系图和关系矩阵上的反应
（1）关系R是自反的  关系图中每个节点都有环  关系矩阵的主对角线上的元素全为1 （2）关系R是反自反的  关系图中每个节点都无环  关系矩阵的主对角线上的元素全为0
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(3) 关系R是对称的  关系图中任何一对结点之间， 要么有方向相反的两条边，要么无边  关系矩 阵为对称矩阵 (4) 关系R是反对称的  关系图中任何一对结点之 间，至多有一条边；  R的关系矩阵满足 rij· rji＝0，i,j=1,2,…,n，i≠j。