二元关系-
第四章 二元关系-4th-zhou-2
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偏序集合与哈斯图
在哈斯图中，用小圈表示每个元素。如果有x, y P ， 且x≤y和x≠y ，则把表示x的小圈画在表示y的小圈之 下。如果y盖覆x，则在x和y之间画上一条直线。如 果x≤y和x≠y ，但是y不盖覆x，则不能把x和y直接用 直线连结起来，而是要经过P的一个或多个元素把 它们连结起来。这样，所有的边的方向都是自下朝 上，故可略去边上的全部箭头表示。
24 36
12
6
2
3
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偏序集合与哈斯图
P( X ) 的元素间 P( X ) 是它的幂集。 例：设集合X={a,b}， 的偏序关系≤是包含关系 。试画出 P( X ), 的哈斯 图。
注意：对于给定偏序集合来说，其哈斯图不是唯一 的。由 P, 的哈斯图，可以求得其对偶 P, 的哈 斯图．只需把它的哈斯图反转180◦即可，使得原来 是顶部的结点变成底部上各结点。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P( X )中的偏 例：设集合X={a,b,c}, P( X )是它的幂集。 序关系≤是包含关系 。试画出 P( X ), 的哈斯图， 并指出 P( X ) 的子集的上界和下界。
第四章 二元关系
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回顾
• 关系的闭包 • 集合的划分和覆盖 • 等价关系
– 等价模数 – 等价类
2/43
四、次序关系
次序关系是集合中的可传递关系，它能提供一种比 较集合各元素的手段。 定义：设R是集合P中的二元关系．如果R是自反的、 反对称的和可传递的，亦即有
(a) (x)( x P xRx) (b) (x)(y)( x P y P xRy yRx x y ) (c) (x)(y)(z )( x P y P z P xRy yRz xRz )
二元关系
当（xi, yj）∈R 其他 (i=1, 2,…m; j=1, 2,…n)
称MR为R的关系矩阵。
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
5
离散数学讲义稿
4.2 关系性质
5种性质： 设R是集合A上的二元关系，则
离散数学讲义稿
第二部分
集合与关系
第4章
二元关系
林 兰
2011.3
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
1
离散数学讲义稿
4.1 二元关系及其表示
1. 二元关系
例1：集合A={ 2, 3, 5, 9 }上建立小于关系R，则可表达为： R={ (2,3), (2,5), (2,9), (3,5), (3,9), (5,9) } 例2：男队A={ a, b, c, d }，女队B={ e, f, g }。如果A和B的元素间 有混双配对关系：a和g，d和e。可表达为： R={ (a, g), (d, e) } 表示所有可能的混双配对有序对集合： A×B={ (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) } 有 R ⊆ A× B
∴ (R ◦S) -1 = S-1◦R-1
R-1的性质： 设R是A上的二元关系，R-1与R有相同的性质。 （自反，反自反，对称，反对称，传递）
4.4 关系的闭包
1. 定义 设R是集合A上的二元关系。如果另有A上关系R’满足：
二元关系的性质及二元关系的应用（可编辑）
二元关系的性质及二元关系的应用引言在日常生活中,关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念,我们都熟知关系一词的含义,例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系,如“4大于2”,“在点,之间”.在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念,广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系,数据库的数据特性关系,其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类,进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念,通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.最基本的关系就是二元关系,就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如有三个人和四项工作.已知可以从事,可以从事,可以从事,那么人和工作之间的对应关系可以记作: 这是人的集合到工作的集合之间的二元关系.一基础知识定义1 设,为集合,用中元素为第一元素,中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做和的笛卡尔积,记作,符号化表示为.定义2 如果一个集合满足以下条件之一:⑴集合非空,且它的元素都是有序对;⑵集合是空集,则称这个集合是一个二元关系,通常记作大写的英文字母,二元关系也可简称为关系.对于二元关系,如果有序对,可记为,否则记为.例如, ,则为二元关系,不是二元关系,只是一集合,除非将和定义为有序对.二元关系中特别重要的是从到的关系与上的关系.定义3为集合,的任何子集所定义的二元关系叫做从到的二元关系,特别当时则叫做上的二元关系.集合上的二元关系的数目依赖于中的元素数,当含有个元素时即,则,的子集有个,每一个子集代表一个上的关系,所以上有个不同的关系.定义4 对任意的集合都有三种特殊的关系:①空集是任何集合的子集当然也是的子集,也是上的关系,称为空关系.②称为上的全域关系.③为上的恒等关系.给定集合,定义几种常用的关系:定义5 是实数集的任意非空子集,则称上的二元关系为上的小于等于关系.定义6 为非0整数集,则称上的二元关系为上的整除关系.定义7 设是整数集的任意非空子集,是任意正整数,则称上的二元关系为上的模同余关系.定义8 设是由一些集合构成的集合族,则称上的二元关系为上的包含关系.例:设,求上的包含关系.解:由于, 在日常生活、生产活动和科学研究中,人们常用点表示事物,用点与点之间是否有连线表示事物之间是否有某种关系,这样构成的图形就是图论中的图.定义9 一个无向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是无序集的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边,简称为边.定义10 一个有向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是笛卡尔积的有穷多重子集,称为边集, 其元素称为有向边,简称边.通常用图形来表示有向图和无向图:用小圆圈或实心点表示顶点,用顶点之间的连线表示无向图,用带箭头的连线表示有向边.定义11设为一个有向图,,若从到存在通路,则称可达,记作.规定总是可达自身的,即.若且,则称与是相互可达的,记作.规定.与定义9和定义10有关的还有下面一些概念和规定.⑴无向图和有向图统称为图,但有时也常把无向图简称为图.通常用表示无向图,表示有向图,有时也用泛指图有向的或无向的.用,分别表示的顶点集和边集, ,分别是的顶点数和边数.有向图也有类似的符号.⑵设为无向图, ,称为的端点,与关联.若,则称与的关联次数为1;若,则称与的关联次数为2,并称为环.如果顶点不与边关联,则称与的关联次数为0.若两个顶点与之间有一条边连接,则称这两个顶点相邻.若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.⑶设为有向图, ,称为的端点, 为的始点, 为的终点,并称与关联.若,则称为中的环.若两个顶点之间有一条有向边,则称这两个顶点相邻.若两个边中一条边的终点是另一条边的始点,则称这两条边相邻二关系的三种表示方法表示关系的方法有三种:集合表达式,关系矩阵和关系图.2.1 集合表达式由于关系是一种特殊的集合,当然可以用集合表达式表示.例如:设,则用集合表达式表示上的关系.⑴.⑵.解: ⑴⑵2.2 关系矩阵和关系图关系矩阵可以用来表示有穷集到的关系与上的关系,关系图只能表示有穷集上的关系.当关系中的元素较多时,利用关系矩阵和关系图可以形象直观的表示关系.设给定两个有限集合,,对应于从到的二元关系有一个关系矩阵,其中如果是有限集合上的二元关系或和含有相同数量的有限个元素,则其关系矩阵是方阵.而同时对应的关系图就是在平面上用个点分别表示中的元素,另外再在平面上画出个点分别表示中的元素,如果集合和中有相同的元素则用同一点表示.当时,则从点至画一条有向边,其箭头指向,否则就没有边联结.例从到的关系, 通常将和中的元素设定为升序顺序,则对应的关系矩阵为:对应的关系图为:特别地,当为上的二元关系时,如果,则对应于的关系矩阵是阶方阵,方阵中的元素应有: ……………… (★)其关系图表示可以在平面上仅画个点,有向边的规定不变.例如,则的关系矩阵是对应的关系图为实际上,除了二元关系可用图表示之外,图中还蕴含许多丰富的二元关系.从图论中图的定义简单分析,图有点、线和点边关系构成.根据图中“边”就可以获得图中点间的“邻接关系”、“可达关系”及点边之间的“关联关系”.在图中,这些关系都是在(★)式所规定的方法基础上来表示成矩阵. 下面就来看一下这几种关系在离散数学中的定义.邻接矩阵的定义:设有向图,,令为顶点邻接到顶点边的条数,称为的邻接矩阵,记作,或简记为.例如下图2.2.1, 写出其邻接矩阵有向图的邻接矩阵为: ;性质1 简单有向图的邻接矩阵是一个0,1的矩阵:对角线元素为0,但不一定对称.性质2 矩阵的各行和是相应顶点的出度,各个列和是相应顶点的入度。
第3章二元关系
第3章 二元关系
有些关系既不是对称的,又不是反对称的,例如图3.1―9 所示的关系.
图 3.1―9 有些关系既是对称的，又是反对称的，例如空关系.
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第3章 二元关系
(5)如果对每一x,y,z∈A, xRy,yRz蕴含着xRz, 那么 R是传递的.即A上的关系R是传递的
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第3章 二元关系
例3 平面上的几何图形是平面R2的子集,也是一种关 系.设
R1={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≤9} R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧(1≤x≤3) ∧(0≤y≤3)} R3={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≥4} 则 R1∪R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧
图 3.1―6
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第3章 二元关系
(3)如果对每一x,y∈A, xRy蕴含着yRx, 那么R是对 称的.即A上的关系R是对称的
x y (x∈A∧y∈A∧xRy→yRx)
例如, A={1,2,3}, R4={〈1,2〉,〈2,1〉,〈1,3〉, 〈3,1〉,〈1,1〉}是对称的.其关系图和关系矩阵的特 点如图3.1―7所示.
图 3.1―3
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第3章 二元关系
3.1.4 关系的特性 定义3.1―5 设R是A上的二元关系, (1) 如果对A中每一x, xRx, 那么R是自反的.即
A上的关系R是自反的 x(x∈A→xRx)
《离散数学》课件-第四章 二元关系
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
二元关系的概念
二元关系（binary relation）是集合理论中的一个基本概念，它描述了两个集合之间的
关联。
给定两个集合A和B，二元关系R是从A到B的一个子集，即R ⊆ A × B。
这
里的A × B表示集合A和集合B的笛卡尔积，该积包含所有可能的有序对（a, b），其中a属于集合A，b属于集合B。
如果有序对（a, b）属于关系R，我们通常表示为a R b，意味着集合A中的元素a与
集合B中的元素b存在某种联系或关联。
例如，考虑两个集合A = {1, 2, 3}和B = {4, 5}。
一个可能的二元关系R为{(1, 4), (2, 5), (3, 4)}，表示1与4之间存在某种关系，2与5之间存在某种关系，以及3与4之间存
在某种关系。
二元关系的应用非常广泛，它们存在于各种数学、计算机科学和工程领域，例如函数、等价关系、偏序关系等。
二元关系的性质，如自反性（reflexivity）、对称性（symmetry）和传递性（transitivity），有助于进一步研究和分析问题。
二元关系
第二章
二元关系
例：（1）A={a，b}，B={c，d}，求A×B。 （2）A={a，b}，B={c，d}，求B×A。 （3）A={a，b}，B={1，2}，C={c}，求（A×B）×C和A×（B×C）。 解 ： （1）A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>}。 （2）B×A={c，d}×{a，b}={<c，a>，<c，b>，<d，a>，<d，b>}。 （3）（A×B）={a，b}×{1，2}={<a，1>，<a，2>，<b，1>，<b，2>}。 （A×B）×C ={<<a，1>，c>，<<a，2>，c>，<<b，1>，c>，<<b，2>，c>} B×C={1，2}×{c}={<1，c>，<2，c>}。 A×（B×C）={<a，<1，c>>，<a，<2，c>>，<b，<1，c>>， <b，<2，c>>}。
第二章
二元关系
例2： A={武汉，长沙，成都} B={黄石，常德，岳阳，遵义} 考虑A到B的同省关系： 则同省关系可以表示为： {武汉, 黄石， 长沙, 常德， 长沙, 岳阳}
例3： 设 A = {1, 2, 3, 4}.定义A 上的 关系.则该关系可以表示为 ： {1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 4}.
离散数学第七章二元关系
19
证明
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(FG)1 <y,x>∈FG t (<y,t>∈F∧<t,x>∈G) t (<x,t>∈G1∧<t,y>∈F1) <x,y>∈G1 F1 所以 (F G)1 = G1 F1
20
关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R <x,y> <x,y>∈RIA t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系
11
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0 0 0 1 1 MR 0 0 0 0 0 1 0 0
10
关系的表示
二元关系与划分
二元关系与划分
一、互补性
1、抽象与具体：抽象性思维和具体性思维是彼此互补的，前者能建立抽象的大局，后者则能深入表达真实的特征。
2、理论与实践：理论建构和实践尝试是彼此互补的，前者能提供理论经验，后者
则可以检验理论有效性。
3、思想与行动：审视思想和行动表达是彼此互补的，前者能提供长期的思想支持，后者则可以检验行动的有效性。
二、对立性
1、自我与他者：自我思维和他者思维是彼此对立的，前者是深刻理解自我的内容，后者则能检视对立他者的情况。
2、独立与合作：独立思考和合作行为是彼此对立的，前者是理解自身思维独立性，后者则是与他人共同行动出结果。
3、客观与主观：客观观察和主观想象是彼此对立的，前者能提供客观真实的信息，后者给予创造性的思维建构。
二元关系分类
二元关系分类
二元关系是一种描述两个实体之间的关系的方式。
在这种关系中，每个实体都有可能与另一个实体有特定的联系。
下面是一些常见的二元关系分类：
1. 相互依赖关系：指两个实体之间相互依存的关系，其中一个实体的存在或状态取决于另一个实体。
雇主和员工之间的关系，供应商和客户之间的关系等。
2. 继承关系：指一个实体从另一个实体继承属性或特征的关系。
父类和子类之间的关系，接口和实现类之间的关系等。
3. 关联关系：指两个实体之间存在某种关联的关系，但彼此之间没有依赖关系。
学生和课程之间的关系，医生和病人之间的关系等。
4. 包含关系：指一个实体包含另一个实体的关系。
公司和部门之间的关系，国家和城市之间的关系等。
5. 同一关系：指两个实体具有相同属性或特征的关系。
兄弟姐妹之间的关系，同一学校的学生之间的关系等。
6. 依赖关系：指一个实体依赖于另一个实体的关系。
一个类中的方法依赖于其他类的方法或属性。
7. 协作关系：指两个实体之间通过合作实现共同目标的关系。
团队成员之间的合作关系，合作伙伴之间的关系等。
以上是一些常见的二元关系分类，它们在不同领域中都有广泛的应用。
这些分类可以帮助我们理解实体之间的关联和相互作用，进而更好地分析和解决问题。
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
二元关系
domR {1,2,4} ， ranR {2,3,4} ， fldR {1,2,3,4}
定义 7.7
设 R 为二元关系，R 的逆关系，简称为 R 的逆，记作 −1 ，
其中
−1 = {<y,x> | <x,y>R}
例如
若 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}
则 −1 ={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
定义 7.8 设 A 、 B 、C 是三个集合， R 是从 A 到 B 的二元关系， S 是从 B 到 C 的二元关系，则 R 与 S 的
复合关系 R S 是从 A 到 C 的二元关系，并且
R S x, y t ( x, t R t, y S )
等都是从
A 到 B 的二元关系，而3 和 R4 同时也是 A 上的二元关系。
例设 A {a, b} ， B {c, d} ，试写出从 A 到 B 的所有不同的二元关系。
解：从 A 到 B 的所有不同的二元关系，即 A B 的所有子集。
0 元子集： ；
1 元子集： { a, c } 、 { a, d } 、 { b, c } 、 { b, d } ；
简化这种记法，下面给出关系的幂的定义。
定义 7.10 设 R 是集合 A 上的二元关系， n 为自然数，则 R 的 n 次幂定义为：
（1） R x, x x A I A ；
0
（2） R n1 R n R ，
（n 0）
。
由定义容易得到，对于任意的 m, n N ，有 R R R
二元关系
2
2
则Ｒ1·Ｒ2是由Ａ到Ｃ的二元关系，称为Ｒ1，Ｒ2
Ｒ ＝｛（ａ，ｃ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ ａｎｄ （ｂ，ｃ）∈
3
1
Ｒ｝ 2
记Ｒ3＝Ｒ1·Ｒ2
二元关系的运算
Relation 关系
３．把逆关系也看成是一种运算，那么与其他一些运算的组合可以有一些 结论。设Ｒ，Ｓ是Ａ到Ｂ的二元关系，Ｔ是Ｂ到Ｃ的二元关系，Ｐ是Ｃ到
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
注意，相关性，与指定的规则有关。如：
扑克牌中的方块ｋ与梅花ｋ，以同花关系来说是不相关的，而以 同点关系来说是相关的。
父子二人，以同辈关系来说是不相关的，以父子关系来说是相关 的。
以上例子都是二个对象相关的关系，称为二元关系，多个对
象之间的关系，称多元关系，我们常常把多元关系也化成二
1）（Ｒ∪Ｓ）c＝Ｒc∪Ｓc 2）（Ｒ∩Ｓ）c＝Ｒc∩Ｓc 3 4）（Ｒ－Ｓ）C＝ＲC－ＳC 5）（Ａ×Ｂ）C＝Ｂ×
6） ＝（Ａ× 7）（Ｓ·Ｔ）C＝ＴC·ＳC 8）（Ｒ·Ｔ）·Ｐ＝Ｒ·（Ｔ· 9）（Ｒ∪Ｓ）·Ｔ＝Ｒ·Ｔ∪Ｓ· 但：Ｓ·Ｔ≠Ｔ·
二元关系的运算
Relation 关系
二元关系的运算
Relation 关系
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
对不同的Ａ与Ｂ，在不少情况下，可以把Ａ∪Ｂ看成某
一有意义的集合，若Ｃ＝Ａ∪Ｂ，那么Ａ到Ｂ的二元关系可
以看成是Ｃ上的二元关系。
如：Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ／ｂ，ａ，ｂ∈Ｎ｝是自然数集Ｎ上
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
若（ａ，ｂ），（ｂ，ｃ）∈Ｒ，则（a，ｃ）∈Ｒ，称这样 的Ｒ为传递的二元关系(Transitive relation)。 此Ｒ的相关矩阵满足（）∨＝１
二元关系ppt
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6 2023/9/6
第四节 关系的性质
本节我们讨论关系的一些常见性质，主要内 容是:
1.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性的定义;
2.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性等在关系矩阵及关系图上的反应，其 中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困 难;
3.讨论了关系的各种运算对上述特性的影响.
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7 2023/9/6
第五节 关系的闭包(1)
我们希望某个关系具有比较好的性质，比如我 们希望它具有自反性，对称性，传递性.但如 果该关系又不具有上述性质，那么我们就要对 该关系进行适当的改造，即在该关系中适当添 加一些元素得到一个新的关系，使这个新关系 具有我们需要的性质，同时新关系与原来的关 系不要相差得太多，这样就要求我们添加的元 素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加 元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的 闭包，我们通常考虑关系的三种闭包，即自反 闭包，对称闭包，传递闭包.
第七节 偏序关系
数的大小，集合中元素的排列次序，计算机程 序的执行顺序等都牵涉到次序关系，这些在数 学上都表现为序关系的研究,本节主要内容有:
1.具有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏 序关系;
2.偏序关系的简化关系图—哈斯图,哈斯图与原 图的关系是一种压缩与解压缩的关系;
3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1);
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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5 2023/9/6
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定1. 引言1.1 介绍二元关系二元关系是离散数学中一个非常重要的概念。
在离散数学的研究中，我们常常需要研究元素之间的各种关系，而二元关系就是其中一种最基本的形式。
简而言之，二元关系就是一个元素对的集合，其中每个对代表了两个元素之间的关系。
举个简单的例子来说明二元关系。
假设我们有一个集合A={1,2,3,4}，我们可以定义一个二元关系R为{(1,2),(2,3),(3,4)}。
在这个关系中，元素1和2之间存在关系，元素2和3之间也存在关系，但是元素1和3之间并没有直接的关系。
二元关系可以通过图形的形式来表示，通常我们用有向图或者无向图来表示不同类型的二元关系。
有向图中，每个节点代表集合中的一个元素，而每条边代表元素之间的关系。
无向图则更多地表示元素之间的对称关系。
通过研究二元关系，我们可以更深入地探讨元素之间的关系性质，为解决各种离散数学中的问题奠定基础。
在接下来的我们将深入研究二元关系的性质以及传递性的重要性。
1.2 引入传递性概念传递性是离散数学中一个重要的性质，它指的是如果集合中的元素之间存在某种关系，那么这种关系是否能够由某种规律或者条件连接起来，使得如果集合中的某两个元素之间存在这种关系，那么它们之间也存在这种关系。
传递性是二元关系中的一个基本概念，它能够帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系，从而推断出更多的信息。
在离散数学中，传递性的概念是非常重要的。
通过传递性，我们可以将复杂的关系简化为更加清晰和直观的形式，从而更好地理解集合中元素之间的联系。
传递性也为我们解决问题提供了一种有效的方法，例如在图论、逻辑推理和关系代数等领域中，传递性都扮演着重要的角色。
了解二元关系的传递性及其判定方法对于深入学习离散数学是非常有帮助的。
在接下来的正文中，我们将详细介绍二元关系的定义、性质和传递性的概念，以及如何判定二元关系是否具有传递性，希望能够带给读者更多的启发和认识。
《离散数学》 二元关系
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学工具。
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第 4章 二元关系
1
历史人物
学习要求
内容导航
CONTENTS
4.1
二元关系及其表示
4.2
关系的运算
4.3
关系的性质
4.4
关系的闭包
4.5
关系的应用
4.6
作业
4
历史人物
第 4章 二元关系
5
1868-1942，德国数学家，
20
定义4.5 设A,B为两个非空集合，称A×B的任何子集R为从A到B的二元关系，简称
关系(Relation)，记作R：A→B；
如A＝B，则称R为A上的二元关系，记作R：A→A。
若<x,y>∈R，则记为xRy，读作“x对y有关系R”；
若<x,y>R，则记为xRy，读作“x对y没有关系R”。
解题小贴士—给定集合是否为从A到B的一个关系的判断方法
所以
（1）S1不是A×B的子集，从而S1不是A到B上的一个关系。
（2）S2是A×B的子集，从而S2是A到B上的一个二元关系。
第 4章 二元关系
4.1.2 关系的定义
例4.4 设A = {1,2}，试判断下列集合是否为A上的关系。
（1）T1＝ Φ ；
是，空关系
（2）T2＝A×A；
是，全关系
（3）T3＝{<1，1>，<2，2>}；
（2）序偶中的两个元素具有确定的次序。即<a,b>≠<b,a>，但{a,b}={b,a}。
定义4.2 给定序偶<a,b>和<c,d>，
离散数学之3—二元关系
R10={(1,1)}
既对称, 也反对称。 R9={(1,2), (2,1), (1,4)} 既不是对称, 也不是反对称。
5。如果(x, y) R (y, z) R (x, z) R, 就说 R是A上的一个传递关系。 例：设A={a, b, c}， S1 ={ (a, c), (a, b), (b, b), (c, b), (c, c) }, S2 ={ (a, a), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, S3 ={ (a, c), (a, b) }, 则 S1, S3 都是传递的, 而 S2 不是传递的。
(a, c) (R T) (S T)。
⑵ (a, c) (R S) T
( b)[ bA (a, b) R S (b, c) T ] ( b)[ bA ( (a, b) R (a, b)S ) (b, c)T ] ( b)[ bA (a, b) R ( b, c)T ) ] ( b)[ bA
R = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, b), (c, b), (c, c) }, S = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, 则 R S ={ (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (b, b), (c, b), (c, c) },
那么，详细写出即是 R={(2, 4), (5, 25), (2, 1), (5, 4)}。
例 2：设A={2，3，4，5，6，8}，定义A到自身的一 个
二元关系为 MOD3={(a, b)a, bA (a b(mod 3))}，
那么，MOD3={(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (8, 8),
02-第4讲：二元关系
表示方法
1 集合表示法 （前已使用） 2 关系矩阵法（从有穷集A到有穷集B的关系） 3 关系图（有穷集A上的关系）源自基本概念定义4.4
设两个有穷集A={x1, x2, …, xm}，
B={y1, y2, …, yn}，R A×B。
则对应于二元关系R有一个关系矩阵:
MR=(rij)m×n，其中
rij
离散数 学罗 元 勋 博 士
厦门大学数学科学学院
第4讲 二元关系
基本概念
定义4.1
二元关系 如果一个集合为空集或者它的每个元素都是有 序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记 作R。二元关系也可简称关系。
对于二元关系R， 如果<x,y>∈R，则记作xRy；
如果<x,y>R，则记作xRy。
基本概念
基本概念
定义4.3
对任何集合A： EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A， IA＝{<x,x>｜x∈A}。
例子
例4.1 设A＝{a,b}，请写出P(A)上的包含关系R 。 解：P(A)＝{,{a},{b},A}。 R ＝{<,>,<,{a}>,<,{b}>, <,A>,<{a},{a}>,<{a},A>, <{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}。
定义4.2
设A,B为集合，A×B的任何子集所定义的 二元关系称作从A到B的二元关系。特别 当A＝B时，则叫做A上的二元关系。
基本性质
思考
有穷集A上有多少个不同的二元关系?
若|A|=n
则|A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2
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2.“性质”在关系图和关系矩阵上的反应
（1）关系R是自反的 关系图中每个节点都有环 关系矩阵的主对角线上的元素全为1 （2）关系R是反自反的 关系图中每个节点都无环 关系矩阵的主对角线上的元素全为0
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(3) 关系R是对称的 关系图中任何一对结点之间， 要么有方向相反的两条边，要么无边 关系矩 阵为对称矩阵 (4) 关系R是反对称的 关系图中任何一对结点之 间，至多有一条边； R的关系矩阵满足 rij· rji＝0，i,j=1,2,…,n，i≠j。
（2）S={<1,2>,<2,1>},
则 S是反自反的,对称的.
4
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（3）U ={<2,2>,<3,3>},
则 U 是对称的,反对称的,传递的.
（4）V ={<1,2>}, 则 V 是反对称的,传递的. （5）T={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,2>}, 则 T 5个性质都没有.
(5) 关系R是传递的 图中,任何三个节点x,y,z(可 以相同)之间，若从x到y有一条边存在 ,从y到z有 一条边存在,则从x到z一定有一条边存在.
关系矩阵中,如果rij＝1且rjk＝1,则rik＝1
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例 A={1,2,3}上关系: 1 3 2 1 有:自反性,反对 称性和传递性
4.三角形的相似关系具有自反性、对称性和传递性。
5.人的集合上的朋友关系具有自反性和对称性; 父子关系具有反自反性和反对称性.
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例2：设A是任意的非空集合，则 A上的全关系A×A是 自反的、对称的、传递的关系； A上的空关系Φ是 反自反的、反对称的、对称的、传 递的关系； A上的恒等关系IA是 自反的、对称的、反对称的、传 递的关系。 例3：设A={1,2,3}，A上的关系： （1）R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>}, 则 R是自反的,反对称的,传递的.
3
2
有:反自反性和反对称性
0 1 MS 0 0 1 0
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0 1 0
有:反自反性和反对称性
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例
设A＝{a,b,c},试判断如下图所示A上关系的性质：
图图 (a) 的关系是自反的、 图(b)的关系是具备反自 图(c)的关系是具备对称 (d) 的关系是不具备任 对称的、反对称的、传 反的、对称的、反对称 图 (e)的关系是具备自反 的、反对称的、传递的 何的性质关系 图(f)的关系是具备反自 图 (g) 的关系是具备反自 图 (h) 的关系是具备反自 递的关系 的、传递的关系 的、对称的、传递的关 关系 a 反的、反对称的、传递 a a a 反的、反对称的关系 反的、反对称的、传递的 系 的关系 b c b b b c c c 关系
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总结
自反 反自反 对称 反对称 传递 定 <x,x> <x,x> <x,y>∈R <x,y>∈R∧<y, <x,y>∈R∧<y,z> 义 ∈R R <y,x>∈R x>∈Rx=y ∈R<x,z>∈R
每 个 每对结点间 任 三 个 结 点 x,y,z ， 关 每个结 每对结点间至 结 点 或有方向相 若从 x 到 y 有边，从 系 点都无 多有一条边存 都 有 反的两条边， y到z有边，则从x 图 环 在 环 或无任何边 到z一定有边 对 角 对角线 rij• rji=0, 关系 如 rij ＝ 1 且 rjk ＝ 1 线 上 上全为 对称矩阵 i,j=1,2,…,n, 矩阵 则rik＝1 全为1 0 i≠j
中间过程
x ＝ y。
任取x,yA，x≠y， 假设<x,y>R，
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R，那么称R在A上是反自
例1：1.整数集I上的“等于”关系是自反的、反对称的、对 称的、传递的关系。
“小于等于”关系是自反的、反对称的、传递的关系；
“小于”关系是反自反的、反对称的、传递的关系。 2.幂集上的“包含”关系关系是自反的、反对称的、传递 的关系。 3.命题公式集合上的蕴涵关系“”具有自反性、反对称 性和传递性。
(a) a b (e)
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(b) a c b (f) c b
(c) a c (g) b
(d) a c (h)
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注:
(1) 非空集合A上的关系,若有自反性,则一定没有反自
反性; 反知, 若有反自反性,则一定没有自反性; (2) 存在既不是对称也不是反对称的关系； (3) 存在既是对称也是反对称的关系； (4)非空集合A上的空关系具有反自反性、对称性、 反对称性和传递性； (5)空集上的空关系5个性质都具有.
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关系性质的证明方法
1. 自反 任取xA， 中间过程 <x,x>R。
2. 反自反
任取xA， 中间过程 <x,x>R。
3. 对称
任取x,yA， 假设<x,y>R，
2018gt;R。
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关系性质的证明方法(续)
4. 反对称 任取x,yA，假设 <x,y>R，<y,x>R， 或者
6.4 关系的性质------重点
本节涉及到的关系，如无特别声明，都是假定 其前域和后域相同。即都为定义在集合 A上的关系， 且 A 是非空集合。对于前后域不相同的关系，其性 质无法加以定义。
6.4.1 关系性质的定义
1.关系性质的定义
1
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定义6.4.1-3
设R是集合A上的关系，
1. 如果对任意x∈A，都有<x,x>∈R，那么称R在A上是自反 的，或称R具有自反性. 2.如果对任意x∈A，都有<x,x> 反的，或称R具有反自反性。 3.对任意x,y∈A，如果<x,y>∈R，那么<y,x> ∈R，则称关 系R是对称的，或称R具有对称性； 4. 对 任 意 x,y∈A ， 如 果 <x,y>∈R 且 <y,x>∈R ， 那 么 x ＝ y （或者 , 若x≠y,则 <x,y> 与 <y,x> 不全属于 R ），则称 关系R是反对称的，或称R具有反对称性。 5.对任意x,y,z∈A，如果<x,y>∈R且<y,z>∈R，那么 <x,z>∈R，则称关系R是传递的，或称R具有传递性。