第二讲-绝对值
第二讲绝对值难题讲解学习
第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零•即卜当金〉0时！|a|= J 0）当离=0时|［怜当印<0时・绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关•在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数.反之，相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数.例1 a, b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1) I a+b | =| a | +| b | ;⑵| ab | = | a || b |; (3) | a-b | = | b-a |;⑷若 | a | =b,则a=b;⑸若| a |v| b |,贝U a v b;⑹若a> b，则 | a |>| b | .解（1）不对.当a, b同号或其中一个为0时成立.（2）对.⑶对.⑷不对.当a > 0时成立.⑸不对.当b > 0时成立.⑹不对.当a + b> 0时成立.例2设有理数a, b, c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简| b-a | + | a+c |+ I c-b |.團1-1解由图1-1可知，a>0, b v 0, c v 0,且有| c | >| a |>| b |> 0.根据有理数加减运算的符号法则，有b-a v 0, a+ c v 0, c-b v 0.再根据绝对值的概念，得| b-a | =a-b,| a+c | =-(a+c) , | c-b | =b-c.于是有原式=(a -b) -(a+c)+(b -c)=a -b-a-c+b-c=-2c.例3 已知x v -3,化简：| 3+ | 2- | 1+x |||.分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号.解原式=| 3+ | 2+(1+x) | | (因为1+x v 0)=| 3+ | 3+x | |=| 3-(3+x) | (因为3+x v 0)=| -x | =-x.例4若血弄0,则占+上十二询所有可能值是什么? l a! I b l l c l解因为abc丰0,所以a丰0, b^ 0, c丰0.=1 a, b, c均大于零时，原式=3;(1)当⑵当a, b, c均小于零时，原式=-3;⑶当§ a, b, c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1;⑷当§ a, b, c中有两个小于零，一个大于零时，原式--1瞅昏詁訥< 可能的值W辽说明本例的解法是采取把a, b, c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用.例5若丨x丨=3,| y | =2，且丨x-y | =y-x,求x+y的值.解因为 | x-y |> 0,所以y-x》0, y >x•由 | x | =3,| y | =2 可知，x v 0, 即x=-3.(1) 当y=2 时，x+y=-1 ；(2) 当y=-2 时，x+y=-5.所以x+y的值为-1或-5.例6 若a, b, c 为整数，且 | a-b | 19+ | c-a | 99=1, 试计算 | c-a | + | a-b |+ | b-c | 的值.解a , b, c均为整数，贝U a-b, c-a也应为整数，且| a-b | 19,| c-a | 99为两个非负整数，和为1,所以只能是| a-b | 19=0 且 | c-a | 99=1, ①或| a-b | 19=1 且 | c-a | 99=0.②由①有a=b且c=a± 1,于是| b-c | = | c-a | =1;由②有c=a且a=b ± 1,于是| b-c | =I b-c | =1 且 |a-b | + | c-a | =1,| a-b | =1.无论①或②都有所以I c-a | + | a-b | + | b-c | =2.例孑若I x-y+3 I I x+y-1999 I互为相反数，求的值. x-y解依相反数的意义有I x-y+3 | =- | x+y-1999 | .x-y+3 I =0 且I x+y-1999 I 因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有I=0•即(s + y-1999 = 0, ②由①有x-y=-3,由②有x+y=1999 .②-①得2y=2002, y=1001 ,所以幫一y x ~ y 一孑例8 化简：| 3x+1 I + I 2x-1 |.分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事.例如，化简I 3x+1 I,只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号.这里我们是分Q冷与篡＜冷两种情况加以讨论的，此瞅赵是一个分界点-类似地’对于1 2盖J I而言，葢二+是一个分界点r为同吋去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点J和:标在谿由上把数轴分为三个部分（如图1 -2所示），即这样我们就可以分类讨论化简了.區1解(1)当囂<冷时.原式=-(3x+1) -(2x-1)= -5x ;(2)当^<x<|时，原式=(3x+1) -(2x-1)=x+2 ;⑶当耳”时，原式=(3x+1)+(2x -1)=5x .即x + 2,当-时;5x(当Q右吋.说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”.例9已知y | 2x+6 | + | x-1 | -4 | x+1 求y的最大值.分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者.解有三个分界点：-3, 1, -1 .(1) 当x w -3 时，y=-(2x+6) -(x-1)+4(x+1)=x -1,由于x< -3，所以y=x-1w -4, y的最大值是-4.(2) 当-3< x w-1 时，y=(2x+6) -(x -1)+4(x+1)=5x+11 , 由于-3w x W -1,所以-4w 5x+11 w 6, y的最大值是6.(3) 当-1w x w 1 时，y=(2x+6) -(x-1)-4(x+1)= -3x+3, 由于-1 w x W 1，所以O w -3x+3w 6, y的最大值是6.(4) 当x> 1 时，y=(2x+6)+(x -1)-4(x+1)= -x+1 ,由于x> 1,所以1-x w 0, y的最大值是0.综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6.例10 设a v b v c v d，求I x-a | + | x-b | + | x-c | + | x-d |的最小值.分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦.若能利用| x-a|, | x-b | ,| x-c |,| x-d |的几何意义来解题，将显得更加简捷便利.解设a, b, c, d, x在数轴上的对应点分别为A, B, C, D, X,则| x-a |表示线段AX之长，同理，| x-b | , | x-c | , | x-d |分别表示线段BX, CX DX之长.现要求| x-a |,| x-b |,| x-c |, | x-d |之和的值最小，就是要在数轴上找一点X,使该点到A, B, C, D四点距离之和最小.因为a v b v c v d，所以A, B, C, D的排列应如图1 - 3所示:图1-3所以当X在B, C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC即(d-a)+(c -b).例11若2x+ | 4-5x | + | 1-3x | +4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值.分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0 一种情况.因此必须有I 4-5x | =4- 5x且| 1-3x | =3x-1.故x应满足的条件是(4-5x>O r解之得号£ V — *此时原式=2x+(4 -5x) -(1 -3x)+4=7 .练习二1. x是什么实数时，下列等式成立：(1) I (x -2)+(x -4) | = | x-2 | + | x-4 | ;(2) | (7x+6)(3x -5) | =(7x+6)(3x -5).2. 化简下列各式：(2) | x+5 | + | x-7 | + | x+10 | .3. 若a+ b v 0，化简 | a+b-1 | - | 3-a-b | .4. 已知y= | x+3 | + | x-2 | - | 3x-9 |，求y 的最大值.5. 设T= | x-p | + | x-15 | + | x-p-15 |，其中0 v p v 15,对于满足p< x< 15 的x来说，T的最小值是多少？6. 已知a v b,求| x-a | + | x-b |的最小值.7. 不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C,如果| a-b | + | b-c | = | a-c |，那么B点应为().(1) 在A, C点的右边；(2) 在A, C点的左边；(3) 在A, C点之间；(4) 以上三种情况都有可能.。
【衔接课精选讲义】新初一第2讲 认识数轴、绝对值与相反数(苏科版【含答案】)
课程类型：新授课—衔接课年级：新初一学科：数学课程主题第2讲：认识数轴、绝对值与相反数【要点梳理】1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．注意：（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．2、数轴的画法（1）画一条直线（通常画成水平位置）；（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…注意：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．3、数轴与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数例如无理数，比如 ．注意：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．【典型例题】1、（2021七上·海安期末）比－4.3大的负整数有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 无数个2、（2021七上·江阴期末）下列算式中，运算结果为负数的是（）A. B. C. D.3、（2020七上·溧阳期中）已知两个有理数、，如果 0且a+b 0，那么（）A. 0， 0B. 0， 0C. 、同号D. 、异号，且负数的绝对值较大4、在数轴上，位于﹣3和3之间的点有（）A. 7个B. 5个C. 4个D. 无数个5、在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（）A. ﹣4B. 2C. -1D. 36、数轴是一条（）A. 直线B. 射线C. 线段D. 不能确定7、下面画的数轴正确的是（）A. B. C. D.【同步演练】1、下列一组数：1，4，0，-，﹣3在数轴上表示的点中，不在原点右边的点的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、如图所示，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（）A. b>a>0>cB. a<b<0<cC. b<a<0<cD. a<b<c<03、如图，数轴上的点P、O、Q、R、S表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公交车距P站点3km，距Q站点0.7km，则这辆公交车的位置在（）A.P站点与O站点之间B. O站点与Q站点之间C. Q站点与R站点之间D. R站点与S站点之间4、若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足|m|＞1且m＜0，则下列数轴表示正确的是（）A. B.C. D.要点2：认识相反数【要点梳理】1、定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．注意：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．3、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．注意：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．【典型例题】1、（2021七下·苏州开学考）2021的相反数是（）A. -2021B.C. 2021D.2、（2020七上·高新期中）下列各对数中，互为相反数的是（）A. -（-3）与B. 与-0.25C. -（+3）与+（-3）D. +（-0.1）与-（- ）3、如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A. B. - C. 3 D. -34、下列结论正确的有（）①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；④若有理数a,b互为相反数，那么a+b=0；⑤若有理数a,b互为相反数，则它们一定异号。
数学 第二讲 绝对值的综合运用专题
第二讲 绝对值的综合运用专题绝对值⑴绝对值的几何意义及代数意义绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作│a │.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0.关于绝对值的几点需要注意：①取绝对值是一种用算，这个运算符号是“││”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号。
②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或零。
③任何一个有理数都是两部分组成的：符号和它的绝对值，如：-5，符号是负号，绝对值是5。
⑵字母a 的绝对值的分类①,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，或②,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，或③,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩⑶利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而小。
步骤：①计算两个负数的绝对值。
②比较这两个绝对值的大小。
③写出正确的判断结果。
⑷如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0。
例： 若0,0,0,0a b c a b c ++====则绝对值基本题型专项一、选择题1、有理数的绝对值一定是 （ ）A 、正数B 、整数C 、正数或零D 、自然数 2、下列说法中正确的个数有 （ ）①互为相反数的两个数的绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么 （ ） A 、甲数必定大于乙数 B 、甲数必定小于乙数C 、甲、乙两数一定异号D 、甲、乙两数的大小，要根据具体值确定 4、绝对值等于它本身的数有 （ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个 5、下列说法正确的是（ ）A 、a -一定是负数B 、只有两个数相等时它们的绝对值才相等C 、若a b =，则a 与b 互为相反数D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 二、填空题6、数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为___________.7、绝对值小于π的整数有______________________8、当0a >时，a ＝_________，当0a <时，a ＝_________， 9、如果3a >，则3a -＝__________，3a -＝___________.10、若1x x =，则x 是_______（选填“正”或“负”）数；若1xx=-，则x 是_______（选填“正”或“负”）数；11、已知3x =，4y =，且x y <，则x y +＝________ 三、解答题12、已知420x y -++=，求x ，y 的值绝对值经典题型专项1.2. 若1abcdabcd=，计算a b c d a b c d +++的值。
学而思七上第2讲绝对值几何意义突破
领先中考培优课程MATHEMATICS 2绝对值几何意义突破知识目标文案大全目标一熟练绝对值式子的几何意义——距离，理解最值的含义目标二掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法目标三掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法—一零点分段法思维引入——最值的含义知识导航最大值与最小值统称为最值，一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：当 x 等于任意数时，代数式x 2 能取到无数个值．但其中最小的值是0 ．因此可以说,仅当 x＝2时．x2 取得最小值为0 ；此时 x 2 可以无穷大．因此它没有最大值．当 1 ≤x≤3 时， 2x－ 3 能取到无数个值，但当x＝1时2x －3取得最小值为－1 ；当x＝ 3 时，2 x－3 取得最大值为 3 ．这里也可以描述为．当l≤x≤3时,－1≤2 x －3≤3．文案大全练习——最值的含义的理解1. 2x 的最小值是，当 x＝时它取得最小值；一 3 x 2，当 x＝的最大值是时它取得最大值；当 x＝时， (1 － 3 x)2 ＋ 2 取得最小值为；当 x＝时， 3 一x 1 取得最大值为；2. 先化简x 3 x 4 ，再求它的最值，并说明相应的x 的取围．3 ．先化简x 1 x 5 ，再求它的最值，并说明相应的x 的取值范围.总结归纳虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较大，耗时又易错.初中知识两大主线——几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数，后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合．现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁．灵活运用绝对值的代数意义与几何意义，文案大全融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的学习也大有裨益．本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法——绝对值的几何意义．模块一绝对值的几何视角——距离知识导航通过前面的学习．我们对绝对值的代数意义已经很熟悉．a b( a b)a b ＜，这让我们看到b a(a b)一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开．例如，当x1 这个式子出现在我们眼前，它就x 1(x1)被我们强迫症般的在脑海中变成了x 1．诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值1x( x＜1)化简时是必要且实用的．但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简．实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时．会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”．反过来，我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离．例如，a 表示数轴上数a 对应的点到原点的距离，mn 的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离.所以，当 x1 这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x 对应的点与1 对应的点之间的距离”．练习几何视角1. 1 2 的几何意义是数轴上表示－ 1 的点与表示 2 的点之间的距离，则 1 2 ＝；2 ．x 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离：x ＝ 1 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是：3. a b 的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离，且 a b b a ；a b 的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离， a b a b ；4 ．x 2 的几何意义是数轴上表示点与表示点之间的距离；若x 2 ＝2，则x＝；5 ．当x＝－ 1 时，x 5 x 2 ＝，当 x＝时，x 5 x 2 ＝.例 1 ．文案大全(1) 数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为p ,q ，r ，s．若pr10,p s 12, q s 9 则 q r ＝．(2)有理数 a、 b、 c、 d 各自对应着数轴上 X、 Y、 Z、 R 四个点，且它们满足以下三个条件：① b d 比 a b ， a c、a d 、b c 、c d 都大；② d a a c d c ；③ c 是 a、 b、 c、d 中第二大的数．则点X、 Y、 Z、 R 从左到右依次是.练满足 a b a b 成立的条件是( )．A． ab ≥0 B． ab ＞1 C. ab ≤0 D. ab ≤1模块二绝对值之和求最小值知识导航求 x 1 x2 的最小值；x 1 即数轴上x与1对应的点之间的距离，x 2 即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设A、B、P三点对应的数分别是1、 2、x.当 l≤x≤2时，即 P 点在线段 AB 上，此时x 1 x 2 PA PB AB 1；当 x＞2时，即 P 点在 B 点右侧，此时x 1 x2 ＝PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；当 x ＜1时，即 P 点在 A 点左侧，此时x 1 x2 ＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；文案大全综上可知，当 l＜ x＜2时（ P 点在线段 AB 上），x 1 x 2 取得最小值为 1 ．此结论可以推广：若已知以a＜ b ，则当 a≤x≤b 时，x a x b 取得最小值为b－a.题型一两个绝对值相加求最小值例 2（ 1 ）当 x 满足时 , x 5 x 200 取得最小值为；当 x 满足时 , x 3 x 4 取得最小值为；当 x 满足时， x 6 x 4 取得最小值为．（ 2 ）当－ 1 ≤x≤6 时， x 2 x 的最小值为,最大值为.（ 3 ）当 x 1 x 3 取得最小值时，试化简x 5 x 5 ＝．总结归纳绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．练（ 1 ）当 x 满足时， x 8 x 取得最小值为；当 x 满足时． x 1x1取得最小值为．3 2（ 2 ）已知 x 为整数，且满足x x 4 4 ,则x的所有可能值之和为. （ 3 ）求 x 4 x 5 的最小值，并写出相应的x 的范围．文案大全挑战压轴题（ 2014武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例： 如图所示，点 A 、B 在数轴上分别对应的数为 a 、b ，则 A 、B 两点间的距离表示为ABa b ，根据以上 知识解题：(1) 若数轴上两点 A 、B 表示的数为 x 、－1.① A 、 B 之间的距离可用含 x 的式子表为； ②若该两点之间的距离为2,那么x 值为.(2) x 1 x 2 的最小值为，此时 x 的取值范围是；已知 x 1 x 2 y 3 y 2 15 ，求x －2 y 的最大值和最小值. 拓◆已知 x 2 1 x 9 y 5 1 y ，求x ＋y 的最值．题型二多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求x 1 x 2 x 3 x 4 的最小值；设 A 、 B 、C 、D 、P 五点对应的数分别为1、 2、3 、4 、x ，在数轴上画出各点，排 好序之后由远及近依次两两一组求和。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质 作业4
化简：
．
答案 原式
．
解析 ①当 原式
②当 原式
③当 原式
时
； 时
； 时
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：零点分段法 作业5
化简：
．
答案 ．
解析 ①当 原式 ②当 原式 ③当 原式 ④当 原式
时， 时， 时，
时，
．
综上所得
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
已知 、 、 为有理数，且
A.
B.
，
，则
C. 或
的值为（ ）． D.
答案 B
解析
，
∵
，
，
∴ ， ， 为三个负数，或有其中两个为正数，一个为负数，
则原式
可能出现的结果为 ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：|a|/a的化简
二、课后创新培养
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
，
绝对值的奥数题及答案3则
绝对值的奥数题及答案3则以下是网友分享的关于绝对值的奥数题及答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
《绝对值奥数习题范文一》第二讲：绝对值例1 已知x 0, y >z >x ，那么x +z +y +z -x -y 的值（）（A ）是正数（B ）是负数（C ）是零（D ）不能确定符号第9届（1998年）初一培训题例2 若x =220012002，则x +x -+x -2+x -+x -4+x -5=第13届（2002年）初一培训题例3 数-a14是（）2003（A ）正数（B ）负数（C ）非正数（D ）零第14届（2003年）初一培训题例4 使代数式3x -x 4x的值为正整数的x 值是（）（A ）正数（B ）负数（C ）零（D ）不存在第12届（2001年）初一培训题例5 已知a , b , c 都是负数，并且x -a +y -b +z -c =0，则xyz 是（）（A ）负数（B ）非负数（C ）正数（D ）非正数第11届（2000年）初一第2试例6 已知a 第16届（2005年）初一培训题例7 已知x =1999，则4x 2-5x +9-4x 2+2x +2+3x +7=a a -1+-2等于（）例8 如果2a +b =0，则b b（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5第13届（2002年）初一第1试200220022002⎛a ⎫例9 如果a +b -c >0, a -b +c >0, -a +b +c >0，则⎪a ⎪⎝⎭于（）⎛b ⎫⎪- b ⎪⎝⎭⎛c ⎫⎪+ c ⎪⎝⎭等（A ）1 （B ）-1 （C ）0 （D ）3第13届（2002年）初一培训题例10 If a 、b 、c ，d are rational numbers，a -b ≤9,c -d ≤16and a -b -c +d =25, b -a -d -c =第14届（2003年）初一第2试例11 若m 是方程2000-x =2000+x 的解，则m -等于（）（A ）m -2001 （B ）-m -2001 （C ）m +2001 （D ）-m +2001例12 如果m -+(n +2) 2=0，则方程3mx +1=x +n 的解是第12届（2001年）初一培训题例13 化简y =2x -+x -2+x +x +3例14 不等式(x +x )(1-x ) 第13届（2002年）初一培训题例15 x ++x -的最小值是（）（A ）2 （B ）0 （C ）1 （D ）-1第12届（2001年）初一培训题例16 已知x ≤1, y ≤，且μ=x +y +y ++2y -x -4，则μ的最大值与最小值的和等于第12届（2001年）初一培训题例17 彼此不等的有理数a , b , c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C, 如果a -b +b -c =a -c ，那么A 、B 、C 的位置关系是第12届（2001年）初一培训题例18 某公共汽车运营线路AB 段上有A 、B 、C 、D 四个汽车站，如图2-4所示，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？第12届（2001年）初一培训题习题1. 若x 是有理数且x 3=-x ，则一定有（）（A ）x >0 （B ）x 第12届（2001年）初一培训题2. a 是非零有理数，则（）（A ）a ≥a （B ）a 2≥a （C ）1≥a （D ）a 2≥-a a3第12届（2001年）初一培训题3. 数轴上的点A 、B 、C 分别对应数：0，-1, x ，C 与A 的距离大于C 与B 的距离，则( )1（A ）x >0 （B ）x >-1 （C ）x 2第14届（2003年）初一培训题4. 是代数式x -x x的值为正整数的x 值是（）（A ）正数（B ）负数（C ）非零的数（D ）不存在的第13届（2002年）初一培训题5. 如图2-5，直线上有三个不同的点 A 、B 、C 且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（）（A ）是B 点（B ）是线段AC 的中点（C ）是线段AC 外一点（D ）有无穷多个点第13届（2001年）初一第2试6. If x ≤3，y ≤1，z ≤4，and x -2y +z =9，then x 2y 4z 6=第11届（2000年）初一第2试7. 若ab ≠0，则a b+不能等于-2，0，1，2这四个数中的（）a b（A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2第13届（2002年）初一培训题8. 已知x ++(y +2x ) 2=0，则x y =第13届（2002年）初一培训题9. 已知a 是有理数，则a -+a -的最小值是10. 设x ，y ，a 都是整数，x =1-a ，y =2+2a -a 2，则a =第13届（2002年）初一培训题11. 如图2-6，若数a 的绝对值是数b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点（“A ”, “B ”, “C ”, 或“D ”）.323212. 已知a =1999，则3a -3a +4a +1-3a -3a +3a -2001=第11届（2000年）初一培训题13. 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图2-7，则m =a +b +b --a -c --c -2b -3=14. 有理数a ，b ，c 均不为0，且a +b +c =0，设x = x 19-99x +2000之值。
北师大数学七年级上册第二章绝对值
第02讲_绝对值知识图谱绝对值知识精讲一．非负性绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即：对于一个数a，例：若，则k需要满足什么条件？k-6与6-k互为相反数，故k-6是负数，k<6绝对值的非负性绝对值具有非负性．即对于任意实数a，总有．如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如：若，则，，．*非负性的应用：1、若多个非负数之和为0，则它们都为0（1）若，则a、b的值为多少？绝对值是非负数，故a-3=0，b+2=0，即a=3，b=-2（2）若，则m、n的值为多少？绝对值和平方数都是非负数，故m+7=0，n-9=0，即m=-7，n=9 2、若有最大值，则c的值为多少？越小，原式值越大，，故当=0，即c=-8时，原式有最大值2二．绝对值的几何意义三点剖析一．考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．绝对值的计算1、 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值． 即对于任意实数a ，2、乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商． 即对于任意实数a 、b ，，3、绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：，绝对值的几何意义数轴上一个数所对应的点到原点的距离．即的 几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 推而广之：代数式的 几何意义就是数轴上数x 、数a 所对应的两点之间的距离． 例：表示数m 到7的距离；表示数n 到-5的距离几何含义的应用1、在数轴上到3的距离为8的数字是？，故x=11或-52、已知，求的值，x -y 的值为6或2二．重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．三．易错点：1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a ，总有a a ≥，a a ≥-．2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，a a =-． 3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，ab a b =，a ab b =(0)b ≠．4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面． 例如：22a a =，22a b a b =．非负性例题1、 ﹣2的绝对值是（ ）A.﹣2B.﹣12C.2D.12【答案】 C【解析】 因为|﹣2|=2例题2、 已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】 ±4【解析】 绝对值是4的数有两个，4或﹣4． 例题3、 设a 是实数，则|a|﹣a 的值（ ） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数 【答案】 B【解析】 （1）a ≥0时，|a|﹣a=a ﹣a=0； （2）a ＜0时，|a|﹣a=﹣a ﹣a=﹣2a ＞0． 故选B ．例题4、 当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（ ） A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【答案】 B【解析】 当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1．例题5、 已知|a+2|+|b ﹣1|=0，则（a+b ）﹣（b ﹣a ）=______． 【答案】 -4【解析】 ∵|a+2|+|b ﹣1|=0，∴a+2=0，b ﹣1=0，即a=﹣2，b=1， 则原式=a+b ﹣b+a=2a=﹣4．例题6、 已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【答案】 2a =，5b =-，13c =-．【解析】 由绝对值的非负性知，245310a b c -=+=+=．随练1、 若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧【答案】 B【解析】 ∵|a|=﹣a ， ∴a 一定是非正数，∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．随练2、 12-的绝对值是（ ）A.12-B.12C.2D.2-【答案】 B【解析】 1122-=绝对值的几何意义例题1、 如果a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，那么a d -=__________． 【答案】 3【解析】 可通过数轴画出得a d -=3例题2、 （1）x 的几何意义是数轴上表示____的点与____之间的距离；x _____0x -（选填“>”，“=”或“<”） （2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________ （3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________ （4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________【答案】 （1）x ；原点；=（2）x ；3；2或4（3）x ；2-；0或4-（4）1x + 【解析】 x a -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示a 的点之间的距离例题3、 如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为________，此时x 的取值范围是___________【答案】 4；13x -≤≤【解析】 利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当13x -≤≤时，13x x ++-为定值：()314--= 随练1、 若|a ﹣b|=b ﹣a ，且|a|=3，|b|=2，则（a+b ）3的值为（ ） A.1或125 B.﹣1 C.﹣125 D.﹣1或﹣125 【答案】 D【解析】 ∵|a ﹣b|=b ﹣a ， ∴a ＜b ，∴a=﹣3，b=±2．（1）a=﹣3，b=﹣2时，（a+b ）3=﹣125； （2）a=﹣3，b=2时，（a+b ）3=﹣1． 随练2、 探究题：（1）比较下列各式的大小：23-+______23-+，35-+-______()()35-+-，05+-______()05+-．（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳出当a 、b 为有理数时，a b +与a b +的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当55x x +=-时，求x 的取值范围． 【答案】 （1）>；=；=．（2）a b a b +≥+（3）0x ≤ 【解析】 （1）235-+=，231-+=，所以2323-+>-+；358-+-=，()()358-+-=，所以()()3535-+-=-+-；055+-=，()055+-=，所以()0505+-=+-．（2）通过比较（1）中的结论，不难发现a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取“=”）． （3）结合（2）中的结论，若55x x +=-，则应满足50x -≥，即0x ≤．随练3、 如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若|a|+|b|=3，则原点是（ ）A.M 或NB.M 或RC.N 或PD.P 或R【答案】B【解析】∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．随练4、如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．（1）A、B两点的距离AB= ，A 、C两点的距离AC= ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= ；（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．【答案】（1）2，5；（2）|x+3|；（3）4【解析】（1）如图所示：AB=2，AC=5．故答案为：2，5；（2）根据题意可得：AE=|x+3|．故答案为：|x+3|；（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．故答案为：4．绝对值综合知识精讲一．绝对值的化简利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a>，0a<还是0a=）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号．如：计算1b-=_____________()1b<．由于1b<，所以10b-<，根据绝对值的代数意义，应有()111b b b-=--=-+．*注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来．例如，计算3x-：当3x≥时，33x x-=-；当3x<时，()333x x x-=--=-．利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简．例如：化简12x x+--．第一个绝对值内部为1x+，当1x=-时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x-，当2x=时第二个绝对值为零．我们将1-、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论．1、当1x <-时，1x +、2x -均为负值， 于是()()12123x x x x +--=-+---=-⎡⎤⎣⎦；2、当12x -≤<时，1x +为非负值、2x -为负值， 于是()121221x x x x x +--=+---=-⎡⎤⎣⎦；3、当2x ≥时，1x +、2x -均为非负值， 于是()()12123x x x x +--=+--=．零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负．零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．二．绝对值的最值问题 （一）和最小x a x b -+-的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）：0 2如计算的最小值．（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即． （3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值． *若将题目改为计算的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++-的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++． （二）差最大类比绝对值之和最小值问题，计算12x x ---的最大值求差的最大值，需要被减数越大1x -，减数2x -越小，从几何意义分析即x 与1距离远，与2距离近，当x 在1、2之间时，无论如何变化，距离之差始终不超过1；当x=2时，x 与2的距离最小，为0，此时原式结果恰好为1和2之间的距离，等于1；若x 继续增大，两距离之差依然为1。
绝对值与二次根式-
第二讲 绝对值与二次根式【基础知识】 一、绝对值1、绝对值代数定义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。
有时也可以记为：(0)(___0)||(0)(___0)a a a a a a a a a ≥⎧⎧=⎨⎨-<-⎩⎩或者 2、绝对值几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.如：|-2|表示-2的点到原点的距离；|x|则是在数轴上表示x 的点到原点的距离。
那么|x-1|表示在数轴上(x-1)的点到原点的距离.显然绝对值是非负数，即||0a ≥ 3、绝对值的基本性质：(1)任何一个数的绝对值一定是非负数，即 |a|≥0；(2)若干个非负数的和为零，则每个非负数为零；|a|+|b|+|c|=0，则a=0且b=0且c=0 (3)互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a|(4)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥ a ；|x||-2||x-1|1O-1-2x-1x(5)任何一个数都有唯一的绝对值； (6)绝对值最小的数是零；(7)两个互为相反数的数的绝对值相等，即 |a|=|-a|；(8)绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数。
绝对值为零的数只有一个零；(9)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.即||||0a b a b a b =⇒=+=或二、二次根式1、二次根式的定义：式子(0)a a ≥叫做二次根式。
2、二次根式的性质： (1)2(0)||(0)a a a a a a≥⎧==⎨-<⎩ (2)0a ≥(3)2()(0)a a a =≥(4)(0,0)ab a b a b =≥≥；(0,0)a a a b b b=≥> (5)0a b a b >⇔>≥ 【典型例题】 一、化简求值例1计算下列各式的值:①|3|π-；②02(1sin 60)-；③2|1|x x -+;解: ①∵3<π,即3-π<0,∴|3|π-=π-3;②02(1sin 60)-=033|1sin 60||1|122-=-=-.③22131()44x x x x -+=-++213()024x =-+> 所以22|1|1x x x x -+=-+注: ①化简主要是去绝对值符号, 要去绝对值符号,就得讨论绝对值里面的数或式是正还是负.②对于含有字母的代数式不一定要分类讨论,二次三项式往往采用“配方法”来判断是不是一个非负数. “配方法”是一种重要的数学方法. 例2 化简2||2x x +-解:当x<0时, 2||2x x +-=22x x -- 当x>0时, 2||2x x +-=22x x +-所以2222(0)||22(0)x x x x x x x x ⎧--<+-=⎨+-≥⎩注:x 的符号可“+”可“-”，还可以为“0”，因此，应该对x 进行分类讨论；最后应该有小结，就是把两种结果写在一起，使书写规范.例3 化简222692144x x x x x x +++-++-+ 解:原式=222(3)(1)(2)x x x +++--|3||1||2|x x x =++-+-以下利用零点区间讨论法,显然零值点有-3，1，2三点. 当x ≤-3时,原式=(-x-3)+(1-x)+(2-x)=-3x 当-3<x ≤1时, 原式=(x+3)+(1-x)+(2-x)=-x+6当1<x ≤2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(2-x)=x+4 当x>2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x综上所述，原式= 3(3)6(31)4(12)3(2)x x x x x x x x -≤-⎧⎪-+-<≤⎪⎨+<≤⎪⎪>⎩注: 零点区间讨论法是一种重要的数学方法.例4 化简 ||x-1|-2|+|x+1|解:先找零点：|1|01 |1|201|1|01x xx xx x-==⎧⎧⎪⎪--=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩或3所以零值点有－1，1，3三点，因此，我们应将数轴分成4部分．当x<-1时，原式=|-(x-1)-2|+[-(x+1)]=|-x-1|-x-1=-x-1-x-1=-2x-2当-1≤x≤1时,原式=|-(x-1)-2|+x+1=|-x-1|+x+1=x+1+x+1=2x+2当1≤ｘ＜3时，原式=||x-1|-2|+x+1=|x-3|+ x+1=3-x+x+1=4 当ｘ≥3时，原式=|x-1-2|+x+1=|x-3|+x+1=x-3+x+1=2x-2综上所述，原式＝22(1) 22(11) 4(13) 22(3)x xx xxx x--<-⎧⎪+-≤<⎪⎨≤<⎪⎪-≥⎩注: ①本题条件没有给出绝对值符号内的代数式的正负性，应采用零点区间讨论法．须注意的是本题含双重绝对值，应注意考虑||x-1|-2|的零点．②“分类讨论”是一种非常重要的数学思想, 绝对值问题经常采用这种数学思想.二、条件化简求值例5 化简2(3)|4|(34) x x x-+-<<解：因为3<x<4,所以x-3>0,x-4<0,所以原式= x-3+4-x=1.例6已知x＜-3，化简：|3+|2-|1+x|||．解 :原式=｜3+｜2+(1+x)|| (因为1+x＜0)=｜3+｜3+x||=｜3-(3+x)｜ (因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．注: ①这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号；②充分利用已知条件,是解决例5例6的关键,正确运用绝对值的概念是解决例5例6根本.例7 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜.解：观察数轴得：a<0,b<0,c>0且|a|>|b|>|c|, 所以b-a>0,a+c<0,c-b>0 故｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜ =(b-a)+(-a-c)+(c-b) =-2a注:解决本题充分利用了“数”与“形”的结合.“数形结合”又是数学中的重要数学思想. 例8 已知24|34|0:x x y x y -+-+=，求值.解:由非负数的意义得:2402:1:13402x x x y x y y -==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-+==⎩⎩.例9 已知212005|1|04x y x ++-+=，求2008200520052y x +⨯的值. 解: 212005|1|04x y x ++-+=20051()2005|1|02x y ⇒-++=10210x y ⎧-=⎪⇒⎨⎪+=⎩ 121x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=-⎩20082005200520082005200512(1)2()1122y x ⇒+⨯=-+⨯=+=注:非负数的和为0，那么每个非负数都应为0，你能证明吗？初中常见的非负数有哪些？例10 方程|||1|0xy x y +-+=的图象是（ ）（A ）三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 （B ）两条直线： x=0，x-y+1=0 （C ）一点和一条直线：(0,0)，x-y+1=0 （D ）两个点：(0,1)，(-1,0)Ob ac解:由已知，根据非负数的性质，得010xy x y =⎧⎨-+=⎩即010x x y =⎧⎨-+=⎩或010y x y =⎧⎨-+=⎩解之得：01x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩故原方程的图象为两个点：(0,1)，(-1,0).注:利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决.例11 实数a 满足||01a a a +=≠-，， 那么||1|1|a a -=+ .解:由||01a a a +=≠-，， 可得 0a ≤且1a ≠- 当1a <- 时，||111|1|(1)a a a a ---==+-+；当10a -<≤ 时，||111|1|1a a a a ---==-++.所以1(1)||11(10)|1|a a a a <-⎧-=⎨--<≤+⎩注: ①有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论.②若|a|=a ，则a 0；若|a|=-a,则a 0；如果2(2)2x x -=-，则x 0. ③在解决有关数学问题时，经常采用“逆向思维”. 三、求最大（小）值例12 式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是_________。
第2讲 绝对值综合(word版)
第2讲绝对值综合【学习目标】1．熟悉参数与绝对值的分类讨论2．挑战绝对值综合难题【专题简介】参数和绝对值是代数问题中两大难点，关键点都是在分类讨论，这两者结合的难度较大，需要理清思路，不断练习，通过题目来锻炼思考方式。
关于绝对值的综合难题数不胜数，本讲我们就一起来挑战一下．【专题分类】1、含参绝对值：2、绝对值综合：模块一含参绝对值【例1】若||x－2|－1|＝a有三个整数解，求a的值．【练1】（＂华杯赛＂邀请赛试题）设a、b为有理数，且|a|＞0，方程||x－a|－b|＝3有三个不相等的解，求b的值．【例2】解关于x的方程|x－1|＋|x＋5|＝a【练2】|x－1|－|x＋5|＝a【例3】解关于x的方程|x＋1|＋|x－a|＝1【练3】解关于x的方程|x＋1|－|x－a|＝1【例4】|x－1|－|x＋5|≥a，求a的取值范围【练4】（1）若不等式|x＋1|＋|x－a|≤1无解，求a的取值范围（2）若不等式|x＋1|＋|x－a|≥1有解，求a的取值范围【例5】已知方程|x|＝ax＋1有一个负根而没有正根，求a的取值范围．【练5】已知关于x的方程kx＝3＋|2x|有一个正数解，求k的取值范围．【拓】已知|a|＝a＋1，|x|＝2ax，且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值为7，求m的值．模块二绝对值综合【例6】有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，后则显示| x1－x2|的结果，比如依次输入1，2，则输出的结果是|1－2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．（1）若小明依次输入3，4，5，则最后输出的结果是；（2）若小明将1到2011这2011个整数随意的一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，则m的最大值为；（3）若小明将1到n（n≥3）这n个整数随意的一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，探究m的最大值和最小值．【例7】整数x0，x1，x2，x3，·····x2008，满足条件：x0＝1，| x1|＝|x0＋1|，| x2|＝|x1＋1|···| x2008|＝|x2007＋1|，则|x0＋x1＋x2＋x3＋x2008|的最小值为．【例8】将1，2，3，4·····，2n，这2n个数任意分成两组，每组n个数，将一组数按从小到大的顺序排列（记为a1＜a2＜a3＜·····＜a n），另一组按从大到小的顺序排列（记为b1＞b2＞b3＞·····＞b n）试证：|a1－b1|＋|a2－b2|＋·····＋|a n－b n|＝n2【例9】对于所有的a、b，求|a－1|，|a－b|，|b＋1|中最大者的最小值第2讲七年级尖端班课后作业绝对值综合【习1】已知方程|x|＝ax＋1有一个正根而没有负根，求a的取值范围．【习2】(2014－2015武昌区统考第25题)有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示| x1－x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1－2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．（1）若依次输入1，2．3，4，则最后输出的结果是；若将1，2，3，4这4个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是，最小值是；(2)若随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，求k的最小值．【习3】少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是:输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示| x1－x2|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算。
七年级数学第二讲 绝对值
探究:
若|a|+|b-1|=0，
0 ， b=_____. 1 则a=_____
绝对值的基本性质
（1）非负性 （2） ab
a 0
； 距离不可能是负的
a b；
23 6 6 2 3 23
a a 2 2 2 2 (b 0)； （3） 3 3 3 3 b b
-1
0
1
2
3
4
在数轴上两个点表示的数，右边的总比它左边的大。 相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的 如1和-1，3和-3，+100和-100 相反数，也称这两个数互为相反数。 a的相反数是-a ， a可表示任意数(正数、负数、0)，求任 意一个数的相反数就可以在这个数前加一个“－”号． 0的相反数是0。
（4） a
2
a a
2
2
； 2 22 4 22 4
2
（5） a b
a b； 2 3 5 5 2 3
23 5 5 2 3
2 3 1 1 2 3
1．已知
a 1 ， b 2， c 3， 且a>b>c，那么a+b－c= 2 。 a 1 ， b 2， c 3， 且a>b>c，
a=1,b=-2,c=-3 a+b-c=1+(-2)-(-3)=1-2+3=2 ∴ ∴
解：∵
2．若有理数x、y满足2002（x－1）2+︱x－2y+1︱=0， 则x2+ y2= 2 。 解： ∵ 2002（x－1）2≥0， ︱x－2y+1︱≥0 2002（x－1）2+︱x－2y+1︱=0 ∴ ∴ x-1=0,x=1 x-2y+1=0,y=1 x2+y2=12+12=2
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a＜－b＜0，所以a，－a，b，－b的大小关系是－a＜－b＜b＜a．【答案】－a＜－b＜b＜a．2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算 （1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。
02：第二讲：绝对值
第二讲：绝对值一：数系应用例1：已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3， 求()()()20032001231ab x n m x ab n m x -++++++-的值。
1、已知03452=+-+b a a ，求320068b a-的值；2、若,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，x 的绝对值是1，求a bx cd x+++的值； 3、已知2++b a 与4)12(-ab 互为相反数，求代数式++-+ba abab b a 33)(21的值； 4、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2221(12)a b m m cd-+÷-+的值。
二：绝对值的非负性例1：已知022=-+-a ab ，求()()()()()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值；5、如果2(1)|2|0a b -++=，求代数式220062005()()2()b a a b ab a b -++++的值。
6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
7、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三：去绝对值例1：（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求54-+-x x 的最小值？ （4）求987-+-+-x x x 的最小值？8、若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 9、若0<x ，化简：|||2||3|||x x x x ---；10、若0<a ，且0<ab ，化简：74---+-b a a b 11、设0<a ，且||ax a ≤，试化简：|1||2|x x +-- 12、如果0abc ≠，求：||||||a b c a b c++的值。
《绝对值教案》
《绝对值教案》word版一、教学目标：1. 让学生理解绝对值的定义，掌握绝对值的性质。
2. 培养学生运用绝对值解决问题的能力。
3. 引导学生运用数形结合的思想方法，直观地理解绝对值。
二、教学内容：1. 绝对值的定义与性质。
2. 绝对值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 绝对值的定义及其性质。
2. 运用绝对值解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解绝对值的定义与性质。
2. 采用案例分析法，分析绝对值在实际问题中的应用。
3. 采用数形结合法，让学生直观地理解绝对值。
五、教学过程：1. 导入：通过数轴引入绝对值的概念，引导学生直观地理解绝对值。
2. 新课讲解：讲解绝对值的定义与性质，让学生掌握绝对值的基本概念。
3. 案例分析：分析绝对值在实际问题中的应用，培养学生运用绝对值解决问题的能力。
4. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并进行小组讨论，交流解题心得。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，拓展绝对值在其他领域的应用。
6. 课堂小结：回顾本节课所学知识，加深对绝对值的理解。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课后作业：通过布置相关习题，评估学生对绝对值概念和性质的理解。
2. 课堂问答：通过提问，检查学生对绝对值知识的掌握程度。
3. 小测验：设计一份包含不同类型题目的测验，评估学生应用绝对值解决问题的能力。
七、教学资源：1. 数轴图示：用于直观展示绝对值的概念。
2. 练习题库：提供多种难度的练习题，供学生巩固知识点。
3. 教学PPT：制作精美的PPT，辅助讲解绝对值的相关概念和例题。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍绝对值的定义和性质。
2. 第二课时：讲解绝对值在实际问题中的应用。
3. 第三课时：练习题讲解和讨论。
4. 第四课时：总结绝对值的知识点，拓展应用。
九、教学反思：1. 课后收集学生作业，分析学生的掌握情况，为下一步教学提供依据。
人教版七年级数学上册同步讲义 第二讲 绝对值【解析】
第二讲绝对值2.1绝对值的定义绝对值的定义【例1】如果|a|=﹣a，则a是（）A.a＞0B.a=0C.a＜0D. a≤0【答案】D【练习1.1】若实数a<0，则3a﹣5|a|等于（）A. 8aB.﹣2aC.﹣8aD. 2a【答案】A【练习1.2】若|a﹣1|=1﹣a，则（）A.a>1B.a<1C.a≥1D.a≤1【答案】D【例2】若|a|=3，|b|=5，则|a+b|的值为（）A.8B.2C.2或8D.以上都不对【答案】C【练习2.1】如果|a|=3，|b|=1，那么a+b的值一定是（）A.4B.2C.﹣4D.±4或±2【答案】D【练习2.2】已知|a|=8，|b|=5，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A.3B.13C.13或﹣13D.3或﹣3【答案】C【例3】如图，数轴上的点A所表示的数为k，化简|k|+|1﹣k|的结果为（）A. 1B. 2k﹣1C. 2k+1D. 1﹣2k【答案】B【练习3.1】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|+|b﹣a|结果为（）A.﹣2aB.﹣2a+2bC.﹣2bD.﹣2a﹣2b【答案】A【练习3.2】已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|﹣|a﹣1|+|b+2|的结果是（）A.1B.2b+3C.2a﹣3D.﹣1【答案】B2.2 绝对值的非负性⏹绝对值的非负性【例4】已知（1﹣m）2+|n+2|=0，则m+n的值为（）A.﹣1B.﹣3 C .3 D.不能确定【答案】A【练习4.1】若（x﹣1）2+|y+2x|=0，则代数式2xyx y+的值是（）A.不能确定B.4C.43- D.﹣4【答案】B2.3绝对值的几何意义⏹绝对值的几何意义【例5】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a=；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．【答案】（1）3；5；a=1或﹣5；（2）6．【练习5.1】在数轴上距﹣2有3个单位长度的点所表示的数是（）A.﹣5B.1C.﹣1D.﹣5或1【答案】D【练习5.2】我们知道：式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，则式子|x﹣2|+|x+1|的最小值为．【答案】32.4绝对值的综合应用（选讲）绝对值的综合应用【例5】若xyz＜0，则的值为（）A.0B.﹣4C.4D.0或﹣4【答案】D【练习5.1】如果a、b、c是非零有理数，且0a+b+c=，那么的所有可能的值为________________；【答案】0【练习5.2】ba ca b c++=1，求（abcabc）2003÷（bc ac abab bc ac⨯⨯）的值．【答案】﹣1．+++x y z xyzx y z xyz||||||||a b c abca b c abc+++课后作业:1．2的相反数和绝对值分别是（ ） A.2，2B.﹣2，2C.﹣2，﹣2D.2，﹣2【答案】B2．下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②﹣a 一定是一个负数；③没有绝对值为﹣3的数；④若|a |=a ，则a 是一个正数；⑤离原点左边越远的数就越小；正确的有多少个（ ） A.0B.3C.2D.4【答案】C3．有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a 、b 、﹣a 、|b |的大小关系正确的是（ ）A.|b|＞a ＞﹣a ＞bB.|b|＞b ＞a ＞﹣aC.a ＞|b |＞b ＞﹣aD .a ＞|b |＞﹣a ＞b【答案】A4．实数a 在数轴上的位置如图所示，则 =（ ）A. 2.5-aB.2.5-aC. 2.5a +D. 2.5--a【答案】B5．若实数a<0，则3a ﹣5|a|等于（ ） A. 8aB.﹣2aC.﹣8aD. 2a【答案】A6．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示：化简|a|+|a ﹣b |= ______ ．25-a .【答案】b ﹣2a7．已知|x |=3，|y |=2，则|x ﹣y |的值等于 ______ ． 【答案】1或58．已知a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简12|1|2||﹣﹣﹣﹣+a b a b ．【答案】3a ﹣4b +3．9．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是2，求的值。
七年级数学上册第二章有理数及其运算2.3绝对值教学
-5到原点的距离(jùlí)是5,
所以-5的绝对值是5,
记做|-5|=5
0到原点的距离是0, 所以0的绝对值是0, 记做|0|=0
4到原点的距离(jùlí)是 4,所以4的绝对值是4,
记做|4|=4
│－５│＝５
│４│＝４
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
第九页，共三十一页。
3米
东
3米
A
3
O
3
B
-3
-2
-1
问题：
1.它们所跑的路线相同吗？
0
1
2
路线(lùxiàn) 不同，正 负性
3 路程一样，到原 点的距离相等(不
管(bùguǎn)方向)
2.它们所跑的路程(lùchéng)(线段OA、OB的长度)一样吗？
第八页，共三十一页。
知识要点
我们(wǒ men)把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做 这个数的绝对值，用“| |”表示.
4.|-6|的相反数是_____-_6
5.+7.2的相反数的绝对值是___7_.2__
第二十五页，共三十一页。
6.判断：
(1)一个数的绝对值是 2 ，则这数是2 . (2)|5|＝|－5|. (3)|－0.3|＝|0.3|. (4)|3|＞0. (5)|－1.4|＞0. (6)有理数的绝对值一定是正数. (7)若a＝b，则|a|＝|b|. (8)若|a|＝|b|，则a＝b. (9)若|a|＝－a，则a必为负数(fùshù).
第二十三页理数的绝对值一定（D ）
A.大于0
B.小于0
C.小于或等于0 D.大于或等于0
2.若|a|+|b-1|=0，则a=____0_， b=_____. 1
(教案)2.第二讲绝对值
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与绝对值相关的实际问题，如数轴上两点间的距离。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。如在数轴上移动点，观察其绝对值的变化。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
此外，在总结回顾环节，我尝试让学生用自己的话来总结绝对值的概念和性质，以便了解他们对知识点的掌握程度。从学生的回答来看，大部分学生对绝对值的理解较为深刻，但仍有个别学生存在误区。针对这个问题，我计划在课后进行个别辅导，帮助他们巩固知识点。
最后，我认为在本节课中，教学难点和重点的把握还有待提高。在今后的教学中，我将更加关注学生的需求，及时调整教学策略，使他们在掌握绝对值知识的同时，提高解决问题的能力。
解决方法：通过数轴上点的对称性，以及具体数值的运算，引导学生推导出绝对值的性质。
（3）绝对值在数轴上的应用：在解决数轴上两点间距离的问题时，学生可能难以将绝对值与实际应用结合起来。
解决方法：通过示例和练习，让学生将绝对值与数轴上的实际距离联系起来，提高解题能力。
（4）绝对值运算的顺序：在涉及多层绝对值时，如||a||，学生可能不清楚运算顺序。
5.练习绝对值相关的运算Hale Waihona Puke 提高解题技巧。二、核心素养目标
《数学》七年级上册第三章第一节：绝对值。
1.培养学生的数感和符号意识，理解绝对值在数学表达和问题解决中的重要作用。
2.提升学生运用数学语言进行描述、分析和解决问题的能力，特别是在绝对值相关情境中。
3.培养学生的逻辑推理能力，通过绝对值的性质探究，形成严密的数学思维。
1.讨论主题：学生将围绕“绝对值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
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第二讲 绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题。
一．基础知识回顾：1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
4绝对值的求法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 。
5．数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -6．零点：使某个绝对值等于0的x 的值叫做式子（方程、不等式）的零点。
7、绝对值的基本性质：⑴非负性：0a ≥；⑵a a =- ⑶ab a b = （4）b b a a=（0a ≠）（5）222n n n a a a ==（n 为正整数）；8、与绝对值有关的最值问题：（1）x 的最小值为_____（其中x 为任意实数）；（2）代数式x a x b -+-，当a x b ≤≤时取得最小值为a b -（其中a b <）；（3）代数式x a x b x c -+-+-，当x b =时取得最小值为a c -（其中a b c <<）；思考： 若1a <2a <3a <…<n a ①当n 为偶数时，当x 满足什么条件时，代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值；②当n 为奇数时，x 满足什么条件代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值.（4）代数式 x a x b ---（其中a b <），当x a ≤时，有最小值a b --，当x b ≥时有最大值a b -9、绝对值方程：（1）x a = ① 当 0a >时，方程有两个解x a =±；② 当 0a =时，方程有一解0x = ③当0a <时，方程无解；（2）x a x b m -+-=（a b <）①当 m b a >-时，方程有两解：2a b m x ++=或 2a b m x +-= ② 当m b a =-时，方程有无数个解，即满足a x b ≤≤的所有值 ③当m b a <-时，方程无解（3）x a x b m ---=（a b <）①当 a b m a b --<<-时，方程有一解 ② 当 m a b =-或 m a b =--时，方程有无数个解 ③当m a b >-或m a b <--时，方程无解二、【典型例题分析】（一）绝对值的化简：含有绝对值符号的化简的关键是先确定绝对值符号内部分的正负，再利用绝对值的代数意义化去绝对值符号（就是非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数）。
绝对值符号的化简方法大致有三种类型。
1、 根据题设条件（已知字母的取值范围，直接能确定绝对值内式子的符号）例1、设1-<x 化简222---x ；思路分析 由1-<x 可知032<-<-x 可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解 222---x x x x x +=--=-=---=2)(22)2(22归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．例2、设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x≤15的x 的来说，T 的最小值是多少？解：由已知条件可得T=（x-p ）+（15-x ）+（p+15-x ）=30-x.∵当p≤x≤15时，上式中在x 取最大值时T 最小；当x=15时，T=30-15=15，故T 的最小值是15.2、借助数轴例3 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简代数式c b a c b a a -+-++- ；思路分析 由数轴上容易看出0,0,0,0<-<-<+∴<<<c b a c b a c a b ，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．解 原式[]a c b c a c b a a -=-+-++---=2)()()(归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：1．原点的左边都是负数，右边都是正数．2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．3、采用零点分段讨论法例4 化简422+--x x思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于4,2+-x x 的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况―一讨论．解 令02=-x 得零点：2=x ；令04=+x 得零点：4-=x ，把数轴上的数分为三个部分（如图）x -4O 2 ①当 时,∴ 原式②当 时，，∴ 原式2≥x24<≤-x 4-<x③当时， ， ∴ 原式 ∴归纳点评 虽然4,2+-x x 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：（1）求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．（2）分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．（3）在各区段内分别考察问题．（4）将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．例12 已知0,0,,a ab b c a <>>>化简c a b a c b c a -+--+++2解：∵0,0a ab <>，∴0b <，c 的正负无法确定，需要分2种情况讨论：①当0c >时，∵||||c a >，∴c a >-，则0a c +>∵||||b c >，∴b c ->，则0b c +<∵||||b a >，∴b a <，则0a b ->∵0a <，∴20a <，又∵0c >，∴0c -<，则22()0a c a c -=+-<故c a b a c b c a -+--+++2=22a c b c a b a c a c +---+-+=-+①当0c <时，∵0a <，∴0a c +<∵0b <，∴0b c +<∵||||b a >，∴b a <，则0a b ->∵0a <，∴20a <，又∵0c <，∴0c ->，一个负数与一个整数的和，无法判别 2||a 与||c 的大小，故又需要分3种情况讨论：⑴当2||a =||c 时，|2|0a c -=故c a b a c b c a -+--+++2=22a c b c a b a c -----+=--⑵当2||a >||c 时，有2a c ->-，故20a c -<故c a b a c b c a -+--+++2=24a c b c a b a c a c -----+-+=--⑶当2||a <||c 时，有2a c -<-，故20a c -> 故c a b a c b c a -+--+++2=23a c b c a b a c c -----++-=-例8 上午8点，某人驾驶一辆汽车从A 地出发，向东记为正，向西记为负。
记录前4次行驶过程如下：-15公里，+25公里，-20公里，+30公里，若要汽车最后回到A 地，则最后一次如何行驶？已知汽车行驶的速度为55千米/小时，在这期间他办事花去2小时，问他回到A 地的时间？解：前4次行驶完成后，汽车位于：1525203020-+-+= A 点东边20公里处若要汽车最后回到A 地，则最后一次：20-，即向西行进20公里总共路程：|15|25|20|30|20|110-++-++-=，路上花费时间：110÷55=2小时期间他办事花去2小时，所以总共耗时4小时，他回到A 地的时间：8+4=12（二）绝对值与最值：对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x 的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x 的点与表示数a 的点的距离.下面举例说明其应用.1、利用几何方法求最值例1 已知y=|x-2|-|x-5|,求y 的最大值与最小值.分析 此题常见的方法是根据x 的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了.解 设数轴上表示数2、5、x 的点分别为A 、B 、C.C 可在数轴上移动,那么y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C 点在B 点右边时,AC-BC=AB=5-2=3；当C点在A点左边时（如C1处），AC-BC=-AB=-3；当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3≤AC-BC≤3.综上所述,y的最大值为3,最小值为-3.例2已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值.解设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，y=AC+BC=AB=1,综上所述y≥1,y的最小值为1.通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值.并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围.3、利用界点分段法求最值例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，112233，，，，然后分段讨论。
≤<≤<≤>x x x x∣解：这里有三个分界点：1、2、3当ｘ≦１时，原式＝－（x－１）－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝６－３ｘ这时ｘ＝１时有最小值３当１＜ｘ≦２时，原式＝x－１－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝４－ｘ这时ｘ＝２时有最小值２当２＜ｘ≦３时，原式＝x－１＋（ｘ－２）－（ｘ－３）＝ｘ这时ｘ没有最小值当ｘ＞３时，原式＝x－１＋ｘ－２＋ｘ－３＝ｘ这时ｘ没有最小值综合以上几种情况，原式的最小值是2。