第五章——对流-扩散问题的有限体积法

第五章 对流-扩散问题的有限体积法
一维稳态对流-扩散问题的有限体积法 举例：考虑一维无源项的稳态对流-扩散问题： （核心区的稳态能量方程） d d d d ( u ) ( ) ( u ) 0 dx dx dx dx
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
W
uw
w
P
x
xwp
ue
e
守恒性满足
有界性和迁移性有条件地满足
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其它的几种数值计算格式
（1）迎风格式 （2）混合格式 （3）幂指数格式 （4）QUICK格式
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迎风格式:在控制容积界面上对流项的 取其上游 节点处的值 Fee Fww De (E P ) Dw (P W )
FeE FwP De (E P ) Dw (P W )
[(Dw ) ( De Fw ) ( Fe Fw )]P DwW ( De Fw )E
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
流动方向从W E 流动方向从E W
[(Dw Fw ) De ( Fe Fw )]P ( Dw Fw )W DeE aW ( Dw Fw ) aE De
混合格式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优 点，具有守恒性、有界性和迁移性，其缺点是按 Taylor级数展开后截断误差为一阶，精度不高
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边界条件处理：
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上机课：高速流计算
一维时，Ae=Aw，
Fee Fww De (E P ) Dw (P W )
因为流场已知，F就已知，节点值为待求量，所以，需要对边界上的值进行处理
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边界值的中心差分格式 W P P E e w
Fe (
P E
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物理性质主要包括： （1）守恒性:在一个控制容积界面上，离开该 控制容积和进入相邻控制容积的某通量相等
（2）有界性:对角占优是满足有界性的一个特 征 （3）迁移性:对流过程只能把发生在某一点的 扰动向下游方向传递
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中心差分格式的性质：
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稳态时的对流-扩散问题的守恒方程为： div( U ) div(grad ) S 代表了在一个控制容积内的通量平衡：等号左 侧为净对流通量，右侧净扩散通量和净生成量 对流项离散的主要问题是在控制容积边界面 上 的计算，以及通过边界面的对流量的计算
Fw aW Dw 2 Fe aE De 2
2 Pe 2 中心差分格式
Pe 2 迎风格式（流动方向和x正向相同） Pe பைடு நூலகம்2 迎风格式（流动方向和x正向相反）
忽略 扩散 项， 只保 留对 流项
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混合格式中系数值的计算如下：
Fw aW max[ Fw , ( Dw ), 0] 2 Fe aE max[ Fe , ( De ), 0] 2
2
2
) Fw (
W P
2
2
) De (E P ) Dw (P W )
Fw Fe Fw Fe [( 整理得： Dw ) ( De )]P ( Dw )W ( De )E 2 2 2 2
为得到更通用的表达式，将上式改写成：
Fw Fe Fw Fe [( Dw ) ( De ) ( Fe Fw )]P ( Dw )W ( De )E 2 2 2 2
[(Dw ) ( De Fw ) ( Fe Fw )]P DwW ( De Fw )E
aW Dw aE De Fw
忽略扩散项
aW Fw aE 0
aW 0 aE Fw
为什么要忽略扩散项？？？？
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
混合格式:在控制容积界面上对流项的 根据不同 的 Pe 分别采用中心差分格式和迎风格式
流动方向从W E 流动方向从E W
w W e P
W
w
w P e E
W
w
P
x
xwp
e
E
P
x
e
E
x pe
xwp
x pe
xWP
xPE
xWP
xPE
FeP FwW De (E P ) Dw (P W )
[(Dw Fw ) De ( Fe Fw )]P ( Dw Fw )W DeE
E
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
P点中心差分
d ( u ) 0 dx
x pe
xWP
xPE
d d ( uA ) e ( uA ) w (A ) e (A ) w dx dx
设： F u
D x
w e De 有： Fw ( u) w Fe ( u ) e Dw xWP xPE
aPP aWW aEE
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
当速度较大时，采用中心差分格式处理边界值， 下游边界条件对数值计算结果影响非常大。
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
离散格式的性质： （1）在数学上，一个离散格式必须要引起很小 的误差才能收敛于精确解，即要求离散格式必 须稳定或网格必须满足稳定性条件。 （2）在物理上，离散格式所计算出的解必须要 具有物理意义，对于得到物理上不真实的解的 离散方程，其数学上精度再高也没有价值