第五章——对流-扩散问题的有限体积法
第五章对流扩散问题(假扩散 高阶格式差分方程的求解)
第五章 对流扩散问题———假扩散
在P点的控制容积上对上边的 NW 微分方程进行积分，则：
1 6 N 5 w P E NE
u(Te Tw ) v(Tn Ts ) 0
W 2 SW
A 迎风格式
u(Te Tw ) v(Tn Ts ) 0 ue / w 0
n bb a EE n a EE WW WW b
第五章 对流扩散问题———假扩散
A5.3 PDMA算法 对五对角阵，有没有类似三对角阵TDMA那样的直接 求解方法呢？实际上对五对角阵，人们也可以找到相 应的直接求解方法，这个方法就是PDMA算法。下边 以一维为例来介绍这个算法。
第五章 对流扩散问题———假扩散
由此可见，对一维而言，所得到的差分方程不再是可以 用TDMA直接求解的三对角矩阵方程，而变成一个五对 角阵方程。对二维或三维而言，逐线联立求解的方程组 也不再是可以用TDMA直接求解的三对角矩阵方程，也
变成一个五对角阵方程。
那么，针对这样一种五对角方程，通常我们如何来求解 它们呢？
假设经过代入后得到的上三角方程为
i Ai i 2 Bi i 1 Ci
*#
问题的关键就变成为：找出系数Ai, Bi与Ci和系数a, b, c, d
, e及f之间的关系。为此，写出i-2点的上三角方程如下：
i 2 Ai 2i Bi 2i 1 Ci 2
****
(****)*(di+ eiBi-2)，有：
(di ei Bi 2 )i 1 Ai 1 (di ei Bi 2 )i 1 Bi 1 (di ei Bi 2 )i Ci 1 (di ei Bi 2 )
5-1扩散问题的有限体积法
扩散问题的有限体积法
◆稳态输运方程
→ r r ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV A A CV
◆非稳态输运方程
→ r r ∂ (ρφ )dV dt + ∫ ∫ n • ( ρφ U )dAdt = ∫ ∫ n • (Γ gradφ )dAdt + ∫ ∫ Sφ dV dt ∫ ∂t CV ∫ ∆t ∆t A ∆t A ∆t CV
∫
CV
div ( Γ grad φ ) dV =
∫
A
r n • ( Γ grad φ ) dA
→ r r ∂ (ρφ )dV + ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV ∫ ∂t CV A A CV
扩散问题的有限体积法
◆有限体积法输运方程的物理意义
流体仿真与应用
第六讲
扩散问题的有限体积法 （一）
扩散问题的有限体积法
◆通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程
→ ∂ (ρφ ) + div ( ρ U φ ) = div (Γ gradφ ) + S φ ∂t
瞬变项
对流项扩散项源项来自▼在应用有限体积法（控制容积法）进行数值求解时，通 在应用有限体积法（控制容积法）进行数值求解时， 常首先将通用公式在一个容积上进行积分 容积上进行积分， 常首先将通用公式在一个容积上进行积分，将微分方程转 化为积分方程，然后采用不同的近似方式在控制容积的边 化为积分方程，然后采用不同的近似方式在控制容积的边 界上对积分项进行处理，从而得到不同的差分格式。 界上对积分项进行处理，从而得到不同的差分格式。
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解
《流体力学中的湍流扩散方程解析解》
一、什么是湍流扩散方程？
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程，是一种常用的偏微分方程。
它是一种描述在空间中湍流的扩散过程的数学方程，其目的是描述物质和能量在湍流中的传播。
二、湍流扩散方程的公式：
湍流扩散方程的公式为：
∂C/∂t = D∇2C
左侧的第一项是物质的局部变化率，t 代表时间；右侧的第一项用来描述物质在空间中的传播，D 为扩散系数，∇2C 为Laplace 算子。
三、湍流扩散方程的解析解：
1.快速波动方法：即快速 Fourier 过程，是一种快速处理湍流扩散方程的方法，其大致操作是用离散傅立叶变换把扩散方程转化为一个秩为 0
的傅立叶方程，然后使用傅立叶级数解决得出结果；
2.有限差分方法：给定的湍流扩散方程先采用有限的体积分解，即在时间及空间的二维平面上将扩散方程的计算区域划分成均匀的小单元，然后在每个区间内建立一个线性的有限差分矩阵，把扩散方程就变为简单的线性方程组；
3.格式方法：即 Finite Element 方法，用此方法可以把湍流扩散方程从不同的坐标方程中任意变换到球形坐标系，然后用有限元计算机程序解决；
4.积分方法：则是用数值积分的方法解决湍流扩散方程，包括 Runge-Kutta 方法、Adams 方法及其它积分的方法。
四、总结
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程的数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程。
解决该方程有几种方法，即快速波动方法、有限差分方法、格式方法及积分方法。
以上是关于湍流扩散方程解析解的相关介绍，希望能够帮助到大家。
第五章对流扩散问题(假扩散)
该问题的数值解如下：
1 n i
u t n u t n (1 ) i i 1 x x
MUD : du d ux d (( ) ) dx dx 2 dx
第五章 对流扩散问题———假扩散
由图可以看出，在区间 P 2 ，中心差分格式预报的 P 值优于迎风格式的预报值。对比这两种格式，其扩散项 的处理是完全相同的，所不同的仅仅是对流项的处理上 ，在中心差分格式中对流项的差分格式具有二阶精度， 而在迎风格式中对流项的差分格式只具有一阶精度。在 区间 P 2 ，两种格式预报 P值所表现出的差异性恰恰是 这两种格式精度不同的体现。观察上图，迎风格式所预 报的 P值具有该高不高和该低不低的特点，这一特点正 是由一阶精度迎风格式所引起的扩散系数为 ux / 2 的 假扩散项造成的。也反映了假扩散项的影响。
n n ux ut 2 n ( ) i u( ) i (1 )( 2 ) i O( x 2 , t 2 ) t x 2 x x
由此可以看出，我们前边得到的差分方程所逼近的是 一个非稳态对流扩散问题，而非原型问题所要求的非 稳态对流问题。
第五章 对流扩散问题———假扩散
1 n (1 P
ut n ut n ) P W x x
用编号法表示
1 n i
1 n , n 在点 (i, n) i i 1
u t n u t n (1 ) i i 1 x x
做Taylor展开
n n u 2 n 1 2 n ( ) i u( ) i ( 2 ) i x ( 2 ) i t O( x 2 , t 2 ) t x 2 x 2! t
第五章 对流扩散问题———假扩散
将 i 1 和 i 1 台劳 级数展开代入
对流扩散方程有限差分方法
对流扩散方程有限差分方法流扩散方程是描述流体内部物质的扩散过程的方程，它可以用于描述溶质的扩散、热量的传导以及动量的传递。
在许多工程和科学领域中，比如地球科学、生物医学和工程学等，流扩散方程都有着广泛的应用。
在数值计算中，有限差分方法是一种常用的数值解法，可以非常有效地解决流扩散方程。
下面将详细介绍对流扩散方程有限差分方法的原理和步骤。
首先，考虑一维流扩散方程的一般形式：∂C/∂t=D∂²C/∂x²-V∂C/∂x其中，C是扩散物质的浓度，t是时间，x是空间位置，D是扩散系数，V是对流速度。
为了使用有限差分方法求解上述方程，我们需要将时间和空间分布离散化，得到方程在网格点上的近似表示。
首先，将时间轴分为n个等间隔的时间步长Δt，空间轴分为m个等间隔的网格点，网格点之间的间距为Δx。
然后，我们使用数值方法来逼近方程中的各个导数项，采用中心差分公式：∂C/∂t≈(C_i^(n+1)-C_i^n)/Δt∂²C/∂x²≈(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)/Δx²∂C/∂x≈(C_i+1^n-C_i-1^n)/(2Δx)将上述近似代入流扩散方程，可以得到：(C_i^(n+1)-C_i^n)/Δt=D(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)/Δx²-V(C_i+1^n-C_i-1^n)/(2Δx)整理上式，可以得到对流扩散方程的有限差分方程：C_i^(n+1)=C_i^n+(DΔt/Δx²)(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)-(VΔt/2Δx)(C_i+1^n-C_i-1^n)上述方程给出了方程在时刻n+1时刻网格点i的值，即C_i^(n+1)，它的值通过已知时刻n时刻各个网格点的值C_i^n来计算。
最后，我们可以使用迭代的方法，从初始条件C_i^0开始，依次计算下一个时刻的网格点C_i^(n+1)，直到达到所需的计算精度或者计算到需要的时间步长。
对流扩散方程的特征有限体积两重网格算法与误差估计
有 限体 积 法 （ ｉｉ ｏｕ ｅＭ ｔｏｓ 是 求 解 偏 Ｆｎｔ Ｖ ｌｍ ｅ ｄ ） ｅ ｈ 微 分方程 的新 技术 ， １８ 被 提 出 ， 自 ９ ２年 至今 已获 得 很 大发展 ¨ ， 种 方 法 国 内也 被 称 为 广 义 差 分 法 引 这
ｓｍｐ ｉ ｅ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｄ ｉ ｒ ｖ ｅ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｆ ｃｅ ｃ ． ｉ ｌ ｙ ｔ ｏ ｕ ａｉｎ ａ ｍｐ ｅ ｔ ｏ ｕ ａｉｎ ｅ ｉ ｎ ｙ ｆ ｈ ｎ ｏ ｈ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄ ｍ ｎ ｔ ｄ ｄｆ ｓ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ； ｃ ａ ａ ｔｒｓ ｃ ｎ ｔ ｏｕ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｖ ｃｉ ｏ ｏ ｉ ａｅ － ｉ ｕ ｉ ｑ ａ ｉ ｏ ｏ ｈ ｒ ｃｅ ｔ ｓ ｆ ｉ ｖ ｌ ｍｅ ｍｅ ｄ；ｔ —ｒ ｉｉ ｉ ｅ ｈ ｗｏ ｇｉ ｄ
网格 △ 上的近似解 （ 。理论分析及数值例子的计算结果均表明， Ｈ＞ ） 在收敛阶保持 不变的情 况下 ， 算法既 可消除 非线性对 流 占优 扩散 问题 数值震 荡现 象 ， 可 简化 计算 ， 高计 算效 率。 此 又 提
关键 词 ： 对流 占优 扩散 方程 ； 特征 有 限体 积 法 ；两重 网格 算法 ； 差估 计 误
ｔｒｓｉ ｎ ｔ ｏｕ ｏｕ ｉｎ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｉ ｉ ｔ ｄ ．Ｔ ｏ ｌｎ ａｉ ｅ ｅ ｅ ｐ ｎ ｅ ｂ ｕｔｔ ｅ ｃ ｓ ｓ ｅｉｔｃ ｆ ｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｓ ｌ ｔ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｎ ｔ ｓｓｕ ｙ ｈｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｔ ｓａ ｘ ａ ｄ ｄ ａ ｏ ｏ ｘ ｅ ｉ ｏ ｈ ｉ ｒ ｈ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｏ ｏ ｖｎ ｏ ｌ ｅ ｒｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄｆ ｓｏ ｑ ａ ｏ ｓｒ ｃ ：Ｆ ｒｓ ｌｉ ｇ ａ ｎ ｎ ｉ ａ ｏ ｖ ｃｉ ｉ ｕ ｉｎ ｅ ｕ ｔ ｎ，ａｔ —ｒｄ ｍｅ ｈ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｃ ａ ａ — ｎ ｏ ｉ ｗｏ ｇ ｉ ｔ ｏ ａ ｅ ｎ ｔ ｈ ｒ ｃ ｈ
变限积分的有限体积法解决对流扩散方程
Ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｃ ｏ ｎｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ－ ｄ ｉ ｆｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｉｎ ｆ ｉ ｔ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｍｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
ｗｉ ｔ ｈ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｔ ｈ ｅ ｏ ｎ ｅ — ｄ ｉ ｍｅ ｎｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ． ｄ ｉ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｏ ｎ ｅ — ｄｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｕ ｎ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｓ
Ｚ Ｈ Ａ Ｎ Ｇ Ｌ ｉ ｊ ｉ ａ ｎ ，Ｌ Ｕ Ｏ Ｙ ｕ ｅ ｓ ｈ ｅ ｎ ｇ ， Ｚ Ｈ Ａ Ｎ Ｇ Ｗｅ ｎ ｐ ｉ ｎ ｇ
（ １ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｐ ｏ ｗ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉ ｒ ｎ ｇ ， Ｈ ａ ｒ ｂ ｉ ｎ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉ ｒ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｈ ｒｂ ａ ｉ ｎ １ ５ ０ ０ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ２ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｈ ａ ｒ ｂ ｉ ｎ Ｅ ｎ ｉ ｇ ｎ ｅ ｅ ｉ ｒ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｓ ｒ ｉ ｔ ｙ ，Ｈ ｒｂ ａ ｉ ｎ １ ５ ０ ０ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
第３ ６ 卷第 ３ 期
２ ０ １ ５年 ３月
第五章对流扩散问题(多维对流扩散问题)
n 1 P
U P x VP y ) S P
xx yy 2 A x 2 B y g
A 0.5 RU P , B 0.5 RVP , R n 1 g (P P ) SP t
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
给线化的方程配置边界条件
R n 1 ( C nb nb C P P C P S P ) t n 1 P ( 1 C P R / t )
8
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题 如果把上式中的h和k改为x和y，则就获得了以前边 所配一类边界条件下对流扩散问题的精确解
R n 1 ( Cnb ( x, y ) nb CP ( x, y ) P C P ( x, y )S P ) t n 1 ( x , y ) (1 C P ( x, y )R / t )
De Dw 1, W 50, Fe Fw 4 Ds Dn 1, Fs Fn 4 E 200, S 50, N 200,
则，
a E 1 4 / 2 1 a W 1 4 / 2 3 a N 1 4 / 2 1 a S 1 4 / 2 3 a P 1 3 1 3 4
分离变量法
R n 1 ( C nb nb C P P C P S P ) t n 1 P ( 1 C P R / t )
8
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题 其中，
CEC exp( Ah ) exp(Ah ) PB , C WC PB 2 cosh( Ah ) 2 cosh( Ah ) exp(Ah Bk ) (1 PA PB ) 4 cosh( Ah ) cosh( Bk ) exp(Ah Bk ) (1 PA PB ) 4 cosh( Ah ) cosh( Bk )
第五章 有限体积法
n ( grad ) 就表示 向控制容积内的扩散率。从而等式右端第一项的物理意义
为控制容积内特征变量 由于边界扩散流动引起的净增加量。
积分后控制变量 在控制容积内的守恒关系可表述为：
随时间变化量 +由于边界对流引起的流出量 =由于边界扩散引起的增加量 +由于内源引起的增加量
) R f (
) Rb g (
(5.1.4a) (5.1.4b)
式中，R 和 Rb 称为余量。加权余量法的基本思想是在域Ω和边界 S 上寻找 n 个线性无关的函数 Wi (i=1,2,… ,n)， 使余量 R 和 Rb 在加权平均的意义上等于零， 即
R W d 0
f ( ) 0 (在域内）
（5.1.2a）
g ( ) 0 (在域边界上）
（5.1.2b）
为待求函数。首先选定一个试探函数
= cii
i 1 n
（5.1.3）
其中， ci 为待定常数， i 为试探函数项。 将试探函数代入式（5.1.2a）和（5.1.2b） ，一般来讲不可能正好满足，在域 Ω内和边界 S 上会产生误差，即
20 世纪 70 年代，在英国科学家 Zienkiewicz O. C.等人的努力下，将它推广到各 类场问题的数值求解，如温度场、电磁场，也包括流场。 有限元法离散方程的获得方法主要有直接刚度法、虚功原理推导、泛函变分 原理推导或加权余量法推导。 直接刚度法是直接从问题的物理定律、物理公司中 得到有限元离散方程。它只适用于比较简单的问题，如梁单元受力变形的有限元 离散方程。 虚功原理一般只适用于推导弹性力学中物体受力和变形问题的计算过 程。变分原理是将微分方程求解问题转换为某泛函求极值问题，再对泛函的表达 式进行一定的运算得到有限元离散方程。 它可以被用于各类场问题有限元离散方 程的推导， 但是首先要找到与所求解问题的微分方程对应的泛函。这不是一件容 易的事情。 在许多情况下所要求解的微分方程没有对应的泛函，例如前述流体流 动和传热的控制方程组就没有对应的泛函，因此变分原理推导法不能应用。这时 一般采用加权余量法推导。 加权余量法的思想很简单，设某些物理问题的控制微 分方程及其边界条件分别为
对流扩散方程及其解法
对流扩散方程及其解法对流扩散方程是物理学中最常见的一类偏微分方程，与流体力学、传热传质学等学科密切相关。
解析求解对流扩散方程可以揭示物理现象的本质，并在实际应用中提供有效的工程计算方法。
一、对流扩散方程对流扩散方程是将扩散项和对流项结合在一起的偏微分方程，一般形式如下：$$\dfrac{\partial u}{\partial t} = D\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - v\dfrac{\partial u}{\partial x} + f(x,t)$$其中 $u$ 是未知函数，$D$ 是扩散系数，$v$ 是速度场，$f(x,t)$ 是源项。
对流扩散方程描述了时间 $t$ 和空间 $x$ 上的某一物理量 $u$ 随时间的变化规律。
二、对流项与扩散项对流扩散方程中的对流项和扩散项代表不同的物理过程，互相作用形成物理现象。
对流项描述了物质由一点向另一点的移动，通常由质量流或者粒子流的线性变化来表示。
扩散项描述了物质的热或质量分布率随空间位置的二次变化。
对流项和扩散项的比值通常称为对流性能。
三、有限差分方法有限差分法是对流扩散方程的求解方法之一，将空间和时间的连续域离散化成离散点，并通过有限差分逼近偏微分方程的微分项，从而转化成一个代数问题。
常见的有限差分格式有向后差分法、向前差分法、中心差分法等。
假设在 $(x_i,t_n)$ 的数值解已知，设网格步长为 $\Delta x$ 和$\Delta t$，则有：$$u(x_i,t_{n+1}) \approx u(x_i,t_{n}) + \Delta tf(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$$其中 $f(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$ 是对流扩散方程右端的非线性项。
将$u(x_i,t_n)$ 用它四周的$u(x_{i-1},t_n)$、$u(x_{i+1},t_n)$、$u(x_i,t_{n-1})$ 替代，可以得到向后差分格式：$$u(x_i,t_{n+1}) \approx u(x_i,t_{n}) + D\dfrac{\Delta t}{\Deltax^2}[u(x_{i+1},t_n) - 2u(x_i,t_n) + u(x_{i-1},t_n)]-v\dfrac{\Deltat}{\Delta x}[u(x_{i+1},t_n) - u(x_{i-1},t_n)] + \Delta tf(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$$四、求解方法对流扩散方程的解法包括解析解和数值解，主要取决于方程的形式和边界条件的选取。
基于有限体积法处理分数阶对流扩散方程
分数阶扩散方程基于分数阶微积分提出的。在传统的整数阶微积 分中，我们知道某一点的导数值是由相近两点的函数值做差然后比上 间距取极限。这种方法求得的导数值具有局部性。也就是说，传统的整 数阶微积分具有局部性，仅仅与相邻两点有关系。而分数阶微积分则 与该点之前的所有点都有关系。在一些诸如不满足Fick第二定律的反 常扩散就可以用分数阶扩散方程很好的进行刻画。有限体积法，又称 为有限容积法，她是从物理量守恒这一基本要求出发的。其以守恒型 方程为出发点，通过对划分后的已知区域的子区域进行积分离散来构 造离散方程。
教研探索
基于有限体积法处理分数阶对流扩散方程
郭秀惠，左晨，杜茂啸
（中国石油大学(华东) 理学院，山东青岛 266000）
摘 要：建立了在一维空间中分数阶对流扩散方程的有限体积逼近格式。有限体积方法被证明是无条件稳定的，并且在时间步长和 空间方面具有二阶精度。同时，在计算时采用了快速算法，加快了计算效率。
参考文献： [1] Ervin, V.J, Heuer, N., Roop, J.P.Regularity of the solution to 1-d fractional order diffusion equations. [2] Diethelm,K., Ford, N.J.: Numerical analysis for distributed-order differential equations. J Comput. Appl.Math. 2009(225):96–104. [3] del-Castillo-Negrete, D., Carreras, B.A., Lynch, V.E.: Fractional diffusion in plasma turbulence. Phys.Plasmas 2004(11):3854. [4] Zheng X.C.Liu H., Wang H., Fu H.F. An Efficient Finite Volume Method for Nonlinear Distributed-Order Space-Fractional Diffusion Equations in Three Space Dimensions[J]. Journal of Scientific Computing,2019(3):1395-1418. [5] 张俊俊，张隽 . 非线性对流扩散方程的守恒律 [J]. 纯粹数学与应用数学， 2016（3）：68. [6] 陆俊卿，张小峰 . 一种计算二维对流扩散方程的数值格式 [J]. 水利水运 工程学报，2005（1）：36.
对流扩散问题的有限体积法
流体仿真与应用第八讲二、对流-扩散问题的有限体积法◆中心差分格式（例子）节点增加到20个结果◆离散格式的性质在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。
在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。
通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。
然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。
因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。
主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。
◆离散格式的性质——守恒性满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。
◆离散格式的性质——迁移性③当Pe 为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。
随着Pe 的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。
①，即纯扩散，无对流。
②，即纯对流，无扩散。
0=Pe ∞=Pe◆迎风格式迎风格式（Upwind Differencing Scheme ）在确定控制容积界面上的值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的值，称之为第二类迎风格式。
中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上的值取相邻上、下游节点的平均值。
当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。
φφφ◆迎风格式◆迎风格式在控制容积界面上对流项的取其上游节点处的值EW →φWw φφ=Pe φφ=()()W P w P E e W w P e D D F F φφφφφφ−−−=−()()[]()Ee W w w P w e e w w D F D F F D F D φφφ++=−+++WE →Pw φφ=Ee φφ=()()[]()Ee e W w Pw e e e w F D D F F F D D φφφ−+=−+−+◆迎风格式通用形式WW E E P P a a a φφφ+=()w e E W P F F a a a −++=EW →ww W F D a +=eE D a =W E →w W D a =ee E F D a −=◆迎风格式的特点迎风格式满足守恒性。
求解对流扩散方程的一种高效的有限体积法
求解对流扩散方程的一种高效的有限体积法
汪继文;窦红
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2008(25)3
【摘要】考虑无结构三角网格上求解对流扩散方程的有限体积法。
引入一种梯度函数的计算方法,将现有方法中计算解变量在网格单元中心和网格单元边界的梯度的两个独立过程改造成一个过程来完成,发展了一种求解对流扩散方程的高效的有限体积法。
数值实验结果表明,该方法完全达到了已有方法同样的精度,而在计算速度上有明显的提高。
【总页数】4页(P480-483)
【关键词】对流扩散方程;有限体积法;斜率限制器
【作者】汪继文;窦红
【作者单位】安徽大学
【正文语种】中文
【中图分类】O357.1;O241.82
【相关文献】
1.求解一维对流扩散方程的一种三层有限差分格式 [J], 黄素珍
2.对流扩散方程的一种显式有限体积-有限元方法 [J], 窦红
3.稳态对流扩散方程边值问题的一种有限元求解方法 [J], 邱俊;姚世举;王汉权;;;
4.一类非线性稳态对流扩散方程的有限体积元求解方法 [J], 王国婷;闵涛;马晓伟;
牟行洋
5.求解对流扩散方程的一种有限分析方法 [J], 陆君安;石岗
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5. 有限体积法
控制方程的通用形式
• 表示通用变量
( ) ( u ) ( grad ) s t
( ) ( u ) ( v ) ( w ) t x y z ( ) ( ) ( ) s x x y y z z
其中：通用变量可以代表u、v、w、T等求解变量； 为广义扩散系数； S为广义源项。
控制方程的通用形式
( ) ( u ) ( grad ) s t
非守恒型控制方程
有限体积法入门
有限体积法主要优势： 处理复杂网格 差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
显式时间积分方案
• f=0时
• 方程稳定性条件
Crank-Nicolson 时间积分方案
• f=1/2时
全隐式时间积分方案
• f=1
有限体积法基本原则
• 1.控制体积界面上的连续性原则 通过某特定界面从一个控制体积所流出的热通量，必须等 于通过该界面进入相邻控制体积的热通量。 • 2. 正系数原则 • 3.源项的负斜率线性化原则
ˆ V ˆ f ˆ f ˆ ˆ f ˆ V ˆ V U 1 2 3 1 2 3 t
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 优点 不足 简单、计算量小、易 于提高精度 有限体积法 本身包含几何信息， 易处理复杂网格
差分离散与几何解耦， 复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
第五章对流扩散问题(引言)
第五章 对流扩散问题 ———引言
u j ( ) S t x j x j x j
典型的对流 扩散问题 在这四项中，通过上一章的学习，我们已经知道时间
项、扩散项和源项如何来处理。所以，本章我们研究
对流扩散问题的重点是在其对流项的处理上，即对流 项存在的情况下，如何保证正系数准则得到遵守。
aN Dn
Ft aT Dt 2
P Vol P ( Fe Fw Fn Fs Ft Fb ) Vol P (S p ) P t
n n P P Vol P b (S C )P Vol P t
第五章 对流扩散问题 ———引言 导致正系数准则不满足的三种可能原因
边界问题
源项负线化问题 差分方程如何求解问题 正系数问题
不论什么过程的数值 计算中，均存在这些 问题
尚未解决
为此，我们先来回顾以下所谓的正系数问题
第五章
对流扩散问题 ———引言
含时间项、对流项、扩散项和源项的热物理过程控制方 程的通用形式的差分方程，如下(在时间方向上，我们 采用全隐格式)：
aP P
第五章 对流扩散问题 ———引言 正系数准则问题 是由输运方程中的 对流项引起的
同时解决这 两个问题， 将会使我们 的解决过程 变得十分复 杂和混乱
压力梯度项的特殊性问题
是由动量方程中的 压力梯度项的
第五章 对流扩散问题 ———引言 注意到这两个问题并不互成因果关系，即 正系数问题只要有流动就存在，但与流动 的起因却没有关系。因此，可以分开来解 决它们。 为此，我们完全可以在一个已知流动过程 的基础上来讨论正系数问题，即无须一定 要求解流动问题，从而可以避免压力梯度 项的特殊性问题的引入。
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混合格式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优 点，具有守恒性、有界性和迁移性，其缺点是按 Taylor级数展开后截断误差为一阶，精度不高
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
边界条件处理：
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
上机课：高速流计算
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
一维稳态对流-扩散问题的有限体积法 举例：考虑一维无源项的稳态对流-扩散问题： （核心区的稳态能量方程） d d d d ( u ) ( ) ( u ) 0 dx dx dx dx
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
W
uw
w
P
x
xwp
ue
e
E
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
P点中心差分
d ( u ) 0 dx
x pe
xWP
xPE
d d ( uA ) e ( uA ) w (A ) e (A ) w dx dx
设： F u
D x
w e De 有： Fw ( u) w Fe ( u ) e Dw xWP xPE
aPP aWW aEE
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
当速度较大时，采用中心差分格式处理边界值， 下游边界条件对数值计算法
离散格式的性质： （1）在数学上，一个离散格式必须要引起很小 的误差才能收敛于精确解，即要求离散格式必 须稳定或网格必须满足稳定性条件。 （2）在物理上，离散格式所计算出的解必须要 具有物理意义，对于得到物理上不真实的解的 离散方程，其数学上精度再高也没有价值
FeE FwP De (E P ) Dw (P W )
[(Dw ) ( De Fw ) ( Fe Fw )]P DwW ( De Fw )E
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
流动方向从W E 流动方向从E W
[(Dw Fw ) De ( Fe Fw )]P ( Dw Fw )W DeE aW ( Dw Fw ) aE De
守恒性满足
有界性和迁移性有条件地满足
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
其它的几种数值计算格式
（1）迎风格式 （2）混合格式 （3）幂指数格式 （4）QUICK格式
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
迎风格式:在控制容积界面上对流项的 取其上游 节点处的值 Fee Fww De (E P ) Dw (P W )
一维时，Ae=Aw，
Fee Fww De (E P ) Dw (P W )
因为流场已知，F就已知，节点值为待求量，所以，需要对边界上的值进行处理
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
边界值的中心差分格式 W P P E e w
Fe (
P E
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
稳态时的对流-扩散问题的守恒方程为： div( U ) div(grad ) S 代表了在一个控制容积内的通量平衡：等号左 侧为净对流通量，右侧净扩散通量和净生成量 对流项离散的主要问题是在控制容积边界面 上 的计算，以及通过边界面的对流量的计算
2
2
) Fw (
W P
2
2
) De (E P ) Dw (P W )
Fw Fe Fw Fe [( 整理得： Dw ) ( De )]P ( Dw )W ( De )E 2 2 2 2
为得到更通用的表达式，将上式改写成：
Fw Fe Fw Fe [( Dw ) ( De ) ( Fe Fw )]P ( Dw )W ( De )E 2 2 2 2
流动方向从W E 流动方向从E W
w W e P
W
w
w P e E
W
w
P
x
xwp
e
E
P
x
e
E
x pe
xwp
x pe
xWP
xPE
xWP
xPE
FeP FwW De (E P ) Dw (P W )
[(Dw Fw ) De ( Fe Fw )]P ( Dw Fw )W DeE
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
物理性质主要包括： （1）守恒性:在一个控制容积界面上，离开该 控制容积和进入相邻控制容积的某通量相等
（2）有界性:对角占优是满足有界性的一个特 征 （3）迁移性:对流过程只能把发生在某一点的 扰动向下游方向传递
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
中心差分格式的性质：
[(Dw ) ( De Fw ) ( Fe Fw )]P DwW ( De Fw )E
aW Dw aE De Fw
忽略扩散项
aW Fw aE 0
aW 0 aE Fw
为什么要忽略扩散项？？？？
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
混合格式:在控制容积界面上对流项的 根据不同 的 Pe 分别采用中心差分格式和迎风格式
Fw aW Dw 2 Fe aE De 2
2 Pe 2 中心差分格式
Pe 2 迎风格式（流动方向和x正向相同） Pe 2 迎风格式（流动方向和x正向相反）
忽略 扩散 项， 只保 留对 流项
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
混合格式中系数值的计算如下：
Fw aW max[ Fw , ( Dw ), 0] 2 Fe aE max[ Fe , ( De ), 0] 2