考研数学高等数学强化习题-不定积分

模块五 不定积分
Ⅰ经典习题
一．原函数与不定积分
1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0
()0,
0x x g x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在 （C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1
()()x
F x f t dt -=
⎰
，则(0)F '存在
2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( ) (A) 1sin x + (B) 1sin x -
\
(C) 1cos x + (D) 1cos x -
3、在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A)
()()d
f x dx f x dx
=⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰ (C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰
4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰
x
x e
f e dx _____.
二．有理函数积分
5、计算下列不定积分
（1）32211
++-⎰x x dx x （2）()()2223
11x dx x x +-+⎰ ;
（3）2
5
613
x dx x x +-+⎰ （4）2100
(1)-⎰x dx x （5）
21(21)(1)++⎰dx x x （6）21
(1)-⎰dx x x
（7）()
7
7
11x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）
()()
2
2
1
21---⎰dx x
x x （10）()()
322
2
412+++++⎰
x x x
dx x
x x
（11）241x dx x -⎰ （12）()
23
1
1x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421
dx
x x ++⎰
三．可化为有理函数的积分
1．三角有理式
（
6、计算下列不定积分 （1）
()1sin sin 1cos ++⎰x
dx x x （2）3sin cos ⎰dx x x
（3）3sin 2cos +⎰
x dx x （4）211cos +⎰dx x
（5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221
sin cos +⎰dx a x b x
（7）
()
()2
1
0sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()1
2cos sin dx x x
+⎰
（9）64tan cos sin ⎰x x dx x
（10）41
sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分
7、计算下列不定积分
.
（1）311++⎰x x
e dx e （2）21
1+⎰x
dx e （3）1
x x dx e e --⎰ （4）()
211x dx e +⎰
四．根式的处理
8、计算下列不定积分 （1
）
⎰
（2）
（3
）
3
（4）⎰
（5）
（6）⎰
（7） （8）
,
9、计算下列不定积分
（1）
()0>⎰a
（2）
（3）
（4）
（5）
⎰
（6）
五．分部积分法的使用
10、计算下列不定积分 （1）
2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰x
dx x
（3）2
sin ⎰x xdx （4）2
2
arctan 1+⎰x xdx x 》
（5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰x
x
e dx e （7）
()
2
arcsin ⎰x dx （8）2
ln 1
-⎰
x dx x
11、计算下列不定积分
（1
）(2
ln
x dx ⎰
（2
）2xdx
（3
）⎰
（4
） （5）
()
2
2arctan 1x x
dx x +⎰
（6
）arcsin
⎰ （7）2
cos sin cos x
x x
e dx x
+⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2
ln x ，则()'=⎰
xf x dx （ ）
|
(A) 2
ln ln -+x x C (B) 2
2ln ln ++x x C
(C) 2
2ln ln -+x x C (D) 2
ln ln ++x x C
13、已知
sin x
x
是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2
-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2
ln(1)x x +,求
()f x .
15、求积分()sin ln ⎰
x dx .
16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：
()()()1
21212124
x xf x dx f x f x C '''-=
---+⎰. 六．其他考查形式
17、设231,
0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪
=+<≤⎨⎪>⎩
求 ()f x dx ⎰.
18、设2
2
(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =
Ⅱ参考答案
一．原函数与不定积分
1、【答案】：（C ）
【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数
（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数 2、【答案】：(B) ^
【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得
()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.
所以()f x 的原函数
12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.
令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)
【解析】:由不定积分的概念和性质可知,
()()()()d
f x dx f x dx f x .dx
'==⎰⎰
！
()()()f x dx df x f x C '==+⎰⎰,C 为常数.
()()d f x dx f x dx.=⎰
故应选(A). 4、【答案】:
()--+x
F e
C
【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=x
u e
，则
()()()()()-----=-=-=-+=-+⎰⎰⎰
x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分
5、（1）【答案】：
()3
2
11ln
2
2
1
-++++x x
x C x
|
【解析】：
()()322223
2
12131111221111ln 221
+++⎡
⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥---+⎣
⎦⎝⎭-=
++++⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x x x x x x x C
x
（2）【答案】： (
)
2
151
3
ln 1ln 1ln +1arctan 4
422x x x x C -++---+
（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即
222538
613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰
2221(613)82613(34
d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223
(
1ln(613)432(1
x d x x x -=-++-+⎰）
2）2
213ln(613)4arctan 22
x x x C -=-+++ }
（4）【解析】：原式=100
1111()()()x x dx x +-+-⎰99100111()()x dx
dx x x +=+--⎰⎰ 9899100
2111()()()
dx dx dx
x x x =++---⎰⎰⎰979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设
22
1(21)(1)211+=+++++A Bx C x x x x ，计算得421
;;555
==-=A B C . ()()2222224211211211555
(21)(1)2115215151
211
ln 21ln 1arctan 555
⎛⎫-++ ⎪+=+=-+ ⎪+++++++ ⎪⎝⎭=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C
（6）【解析】：
2222
1111111
(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x
22221111111ln (1)(1)(1)1(1)11⎡⎤--==-=-+=-+⎢⎥-------⎣⎦
⎰⎰x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72
ln ln 17
x x C -
++ （
（8）【解析】：
222
6114421
(1)1(1)-+=+----x x x x x x x
222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1⎛⎫-+=+-=+-++ ⎪----⎝⎭
⎰⎰x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：
()()
()()()
()
2
2
2
2
1
1
211212111=
=
+++-+-----+--A B C D
x x x x
x x x x x x 其中1111;;;31242
=
=-=-=-A B C D . 故
()()()()()22222
1
11111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421
⎛⎫--- ⎪==+++ ⎪-+-------- ⎪⎝⎭
=--+--++-⎰⎰dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：
()()
()322
222
421
122+++=
++
+++++++x x x
A B Cx D
x x x x
x x x #
其中1;2;0;1====-A B C D .
()()()3222222412121ln 22121122⎛⎫++=+-=+-- ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭
⎰⎰⎰x x x
dx dx x dx x x x x x x x x x x
2
22
1
12
11
2
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
==+
++⎛⎫
++
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
d x
dx C
x x
x
，
故
()(
)
32
2
2
42
ln2
2
12
++
=+--
+
+++
⎰x x x dx x C
x
x x x
（11）【解析】：
111
ln arctan
412
x
x C
x
+
-+
-
（12）【解析】：(
)
2
21
ln ln1ln1
36
x x x x C
-+-++++
（13）【答案】：
【解析】：
（14）【答案】
：
2
2
11
ln
41
x x
C
x x
++
++
-+
|
【解析】：
()(
)
4222
22
2
2
1111
2222
111
11
11
ln
41
x x
dx dx
dx
x x x x x x
x x x x
x x
C
x x
⎡⎤
+-
⎢⎥
==-
⎢⎥
++++-+
++-+⎢⎥
⎣⎦
++
=+
-+
⎰⎰⎰
(
)2
2
1
1
ln
86
x
x C
x x
-
++
+
+
3
332
2
2
1111
175442
1
565616
1
2
11123
4224
11114
ln1
42823
1231
2
24
⎛⎫
+
⎪
+-
⎛⎫
=+=+-
⎪
⎪
+-+--++
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
⎡⎤
⎛⎫
+
⎪
⎢⎥
⎡⎤
⎛⎫
⋅++
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥⎛⎫
⎣⎦⎣⎦=+----⋅
⎪
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰
x
x x
dx dx x dx
x x x x x x x
x
d
d x
x x dx
x x
(
)
2
2
2
1
1
1
ln
86
+
-
=++
++
⎰dx
x
x C
x x
6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos ,sin ,(tan )112
t t x
x x t t t -=
==++，令2arctan x t =，则2
2
1=
+dx dt t
()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222
⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫⎝⎭==++=+++ ⎪+⎛⎫-⎝⎭
+ ⎪++⎝⎭
=
+++⎰⎰⎰t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x x
C （2）【答案】：
2
1tan ln tan 2
x x C ++ 【解析】：先作恒等变形，凑微分得
2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2
dx x I d x x x C x x x +===++⎰⎰ （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++⎰⎰x x dx d x x x
，令cos =t x ，故。

322222sin 1143322cos 222211
23ln 2cos 2cos 3ln cos 222
---+⎛⎫=-===-+ ⎪+++++⎝⎭=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰x t t t dx dt dt dt t dt x t t t t t t t C x x x C
（4）【解析】：
(
)222211tan 1cos 2tan cos 1sec ===++++⎰⎰⎰d x dx dx C x x x x （5）【解析】：
()()22
22sin 1sin sin sin tan tan sec sec 11sin cos cos sec tan -==-=--+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x dx dx dx xdx x xdx x dx x x x x x x C
（6）【解析】：
()22222222222tan 1sec 11arctan tan sin cos tan tan ⎛⎫
===+ ⎪+++⎝⎭
⎰⎰⎰d a x x a dx dx x C a x b x a x b a a x b ab
b
（7）【解析】：
()
()
()()22
2
22
tan 1
sec 111
tan sin cos tan tan cos sin cos +===-⋅+++++=-
++⎰⎰⎰d a x b x
dx dx C a a a x b
a x
b x a x b a x b x
C a x ab x
%
（8）【解析】：
()()()
2
31cos 2cos 1ln 61cos -+++x x C x （()()()111ln 2cos ln 1cos ln 1cos 326+-++-+x x x C ） （9）【解析】：
()
2
265
4331sin tan cos cos sin sin sin sin -==⎰⎰⎰
x x x x
dx dx d x x x x
令sin =t x 则原式为
()2
26
243
321tan cos 21112ln sin 22-⎛⎫
==
-+=--+ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰t x x
dx dt t dt t t C x t t t t 即662442tan cos tan cos 11
sin 2ln sin sin sin 22sin ==--+⎰⎰x x x x dx dx x x C x x x
（10）【解析】：
()2222222
4431sin cos csc 1cot csc csc cot sin sin 1cot cot 3
+==+=+=--+⎰⎰⎰⎰⎰x x dx dx x x dx xdx x xdx
x x x x C —
7、（1）【解析】： 方法一：
()()333221*********
ln ln 22
=+++⎛⎫
==
=+-
⎪+++⎝⎭
=+-+=+-+⎰⎰⎰⎰x
x x t e x x x x x x x e e t dx de dt t dt e t t t e e t t t C e e e C
方法二：令1=+x
t e ，则()1
1,ln 1,1
=-=-=
-x
e t x t dx t . 则原式为
()3
32111133
111-++-+=⋅=+--⎰⎰⎰x x t e t t dx dt dt e t t t
（2）【解析】：
()()()()222222*********
ln ln 1ln 122
=-⎛⎫
==
=+ ⎪++++⎝⎭
=-++=-++⎰⎰⎰⎰x
x
t e x x x x e t dx dx dt dt e t t e e t t t t C x e C
(
（3）【解析】：11
ln 21
x x
e C e -++ （4）【解析】：()1
ln 11x x
x e C e
+
-+++ 四．根式的处理
8、（1）【解析】：
)
4ln
1C +
（2）【解析】：
=
令4
=
t ，则()
3
24
414,11-==--t x dx dt t t .
()(
)324
2422441441
11211111ln
2arctan 2arctan 1-⎛⎫=--⋅⋅=-=- ⎪--+⎝⎭-+=-+=--⎰⎰⎰t t t dt dt dt t t t t t t
t C C
t
（3
）【解析】：令12
=
t 1211,12==x t dx t dt .
$
()641114128
35
133151394
12
4
211212242444244
51335133
--=⋅=--=--+=--+⎰⎰t t t dt t t t dt t t t t C x x x C
（
4）【答案】
：
)
1C +
【解析】：令2
1,2
t t x dx tdt +===
于是
t t t te dt te e dt ==-⎰
⎰⎰
(
)
)
11.t
t e C C =-+=
+
（5）【答案】
：ln
C -+ 【解析】
：
1
x t
=
21dt t ⎫
-=-⎪⎭⎰
ln 1t C C =-=--++=-+ ：
（
6）【解析】3
3arccos
C x
+ （7）
【解析】()3
22
3113x C x
++ （8
）【解析】C +
9、（1）【答案】
：1(ln
arcsin )2++x
C a
【解析】：令t a x sin =，则原式1cos sin 1cos sin 2sin cos 2sin cos t t t t
dt dt t t t t
-+=
+++⎰⎰
111ln sin cos arcsin )222=+++=++x
t t t C C a
（2
）
=令12sec θ-=x ，则2sec tan θθθ=dx d ，原式为。

()2sec tan sec 2sec 12tan 2sec 12cos θθθθθθ
θθθθ
====+++⎰
⎰⎰
d d d
利用万能公式：222
12cos ,sin ,(tan )112t t x
x x t t t -===++
222cos 3θθ==+++⎰⎰d dt C t
再将变量还原即可。

（3）【解析】：令sin =x t ，则cos =dx tdt
再将变量还原即可。

（4）【解析】：令tan =x t ，则2
sec =dx tdt
2
344
444343
1sec sec cos sin 11cos sin tan sin sin 3sin cos 13⋅=====-+⎛=-+ ⎪⎝⎭
⎰
⎰⎰⎰⎰t t t d t t dx dt dt dt C t x t t t t t
C
x /
（5）【解析】
ln x C
（6）【解析】：
()
3
11==⋅+⎰
x
令3
t =
则，()
32
23
316,11t t x dx dt t t +==---。

原式为
(
)2232121113ln 1112112
+++=-=-=+-++--=+⎰⎰⎰t t t dt dt dt C t t t t t C
五．分部积分法的使用
10、（1）【答案】：cot lnsin cot x x x x C -⋅--+ 【解析】：
2
2ln sin ln sin cot cot ln sin cot sin x dx xd x x x xdx x =-=-⋅+⎰⎰⎰
·
2cot lnsin (csc 1)cot lnsin cot .x x x dx x x x x C =-⋅+-=-⋅--
+⎰
()222sin cos sin cos arctan cos (2sin t)cos (2sin )
1cos ===-=-+--+⎰
⎰⎰t tdt tdt d t
t C t t t
（2）【答案】：
ln 1ln 1x x
C x x
-++- 【解析】：
2ln ln ln 1
1(1)1(1)11x x dx x dx dx x x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-----⎝⎭
⎰⎰⎰
ln 1ln 1x x
C x x
-=
++- （3）【答案】：
211
sin 2cos 2448
x x x x C --+ 【解析】：原式1cos 211
sin 2224
x x
dx xdx xd x -==-⎰
⎰⎰
211
sin 2sin 2444x x x xdx =
-+⎰
211
sin 2cos 2.448
x x x x C =
--+ ;
（4）【答案】：()()2
211arctan ln 1arctan 22
x x x x C -+-+ 【解析】：()211arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x ⎛
⎫
=-
=- ⎪+⎝⎭
⎰⎰⎰ ()2
21arctan arctan 12x x x dx x x =--+⎰ ()()22
11arctan ln 1arctan 22
x x x x C =-+-+
（5）【答案】：()11ln 1.x C x ⎛
⎫
-
-+ ⎪⎝⎭
【解析】： 原式()11ln 1dx x d x x ⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭
⎰⎰ ()()11
ln ln 11x x dx x x x =-
---⎰ ()111ln ln 11⎛⎫=-
--+ ⎪-⎝⎭
⎰x x dx x x x ，
()11ln 1.x C x ⎛
⎫
=--+ ⎪⎝⎭
（6）【解析】：
()()222222222arctan 11arctan arctan 22111arctan arctan arctan 212
-----⎡⎤⎢⎥=-=--+⎢⎥⎣⎦
⎛⎫=--+=-+++ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x
x x
x
x x x x x x x x x x
e de dx e de e e e e e de de e e e e e e C e e （7）【解析】：
()
(
)(
)(
)2
2
2
2
arcsin arcsin 2arcsin 2arcsin arcsin 2=-=+=+-+⎰⎰x dx x x x x x x x x C
（8）【解析】：
2222ln 1111111
ln ln ln -=--=-+-=-+⎰⎰⎰⎰⎰x dx xd dx x dx dx x C x x x x x x x
11、（1）【答案】
：(
(2
ln
2x x x x C -++
（2）【答案】：333
2
2222816ln ln 3927
x x x x x C -+
+ ~
（3）【答案】：(
)1x C +
（4）【答案】
：(
)22-x C （5）【答案】：
()()
221arctan arctan 42141x x x C x x -++++ （6）【答案】：(
)1arcsin x C + （7）【答案】：sec x
e x C + （8）【答案】：
tan x
C x
+ 12、【答案】：（C ）
【解析】：令()2ln =F x x ，则()()2
ln '==
f x F x x x
. ()()()()2
2ln ln '==-=-+⎰⎰⎰
xf x dx xdf x xf x f x dx x x C .
13、【解析】：已知sin x x 是()f x 的原函数，因此()2
sin cos sin '-⎛⎫== ⎪⎝⎭
x x x x
f x x x ，由分部积分法：
()()()()()333232
3222sin 33cos sin sin sin 36=cos 4sin 6cos '==-=--=⋅
-⋅+--+⎰⎰⎰⎰⎰x
x f x dx x df x x f x x f x dx x f x x d
x
x x x x x x x x dx x x x x x x x x C .
14、【解析】：由题知
2ln(1)dy
x x dx
=+，可知 2221
ln(1)ln(1)(1)2
y x x dx x d x =+=++⎰⎰.
由分部积分法得
22222
21112ln(1)(1)(1)ln(1)(1)2221x x d x x x x dx x
++=++-+⋅+⎰⎰ 222221
(1)ln(1)211
(1)ln(1).22
x x xdx x x x C =
++-=++-+⎰ 因为曲线()y f x =过点1(0,)2
-,故1
2
C =-
,所以所求曲线为 222111(1)ln(1)222
y x x x =++--.
15、【解析】：
()()()()()()()()()()()1sin ln sin ln sin ln sin ln cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln cos ln sin ln =-=-⋅⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=--⎰⎰⎰⎰⎰x dx x x xd x x x x x dx x
x x x x xd x dx x x x x x dx
故()()()
sin ln cos ln sin ln 2
-=
+⎰
x x x x x dx C .
16、【解析】：
()()()()
()()()()()()()1
21212121
2121
21212
11212121221
212124
xf x dx xf x d x xdf x xf x f x dx xf x f x d x x f x f x C
''''-=
--'=-⎡⎤''=---⎣⎦⎡⎤''=----⎢⎥⎣⎦'=---+⎰⎰⎰⎰⎰ 六．其他考查形式
17、【解析】：由题可知，0x =是()f x 在第一类间断点，故在(,)-∞+∞内，()f x 不存在原函数；而1x = 是连续点，所以()f x 得不定积分只能分别在区间(,0)-∞和(0,)+∞内得到。

1324
3,0(),013,
12
x C x x
f x dx x C x x C x ⎧
⎪+<⎪⎪=++<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⎰
因为1x =是()f x 的连续点，所以()f x 得原函数在1x =处连续，即
3423233211415lim lim 323
26x x x x x C C C C C C -+→→⎛⎫⎛⎫++=+⇒+=+⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34,0(),0135
,
126
x C x x
f x dx x C x x C x ⎧
⎪+<⎪⎪⇒=++<≤⎨⎪⎪++>⎪⎩
⎰
18、【答案】：2
ln(1).x x C ---+
【解析】：22
2
2sin (sin )12sin ,(01),1sin x
f x x x x
'=-+
<<-
所以
1()12211x f x x x x x
'=-+
=-+-- 因此
2
1()2ln(1).1f x x dx x x C x ⎛⎫=-+=---+ ⎪-⎝
⎭⎰。