考研数学高等数学强化习题-不定积分

模块五 不定积分

Ⅰ经典习题

一．原函数与不定积分

1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0

()0,

0x x g x x

x ⎧

≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在 （C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1

()()x

F x f t dt -=

⎰

，则(0)F '存在

2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( ) (A) 1sin x + (B) 1sin x -

\

(C) 1cos x + (D) 1cos x -

3、在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A)

()()d

f x dx f x dx

=⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰ (C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰

4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰

x

x e

f e dx _____.

二．有理函数积分

5、计算下列不定积分

（1）32211

++-⎰x x dx x （2）()()2223

11x dx x x +-+⎰ ;

（3）2

5

613

x dx x x +-+⎰ （4）2100

(1)-⎰x dx x （5）

21(21)(1)++⎰dx x x （6）21

(1)-⎰dx x x

（7）()

7

7

11x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）

()()

2

2

1

21---⎰dx x

x x （10）()()

322

2

412+++++⎰

x x x

dx x

x x

（11）241x dx x -⎰ （12）()

23

1

1x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421

dx

x x ++⎰

三．可化为有理函数的积分

1．三角有理式

（

6、计算下列不定积分 （1）

()1sin sin 1cos ++⎰x

dx x x （2）3sin cos ⎰dx x x

（3）3sin 2cos +⎰

x dx x （4）211cos +⎰dx x

（5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221

sin cos +⎰dx a x b x

（7）

()

()2

1

0sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()1

2cos sin dx x x

+⎰

（9）64tan cos sin ⎰x x dx x

（10）41

sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分

7、计算下列不定积分

.

（1）311++⎰x x

e dx e （2）21

1+⎰x

dx e （3）1

x x dx e e --⎰ （4）()

211x dx e +⎰

四．根式的处理

8、计算下列不定积分 （1

）

⎰

（2）

（3

）

3

（4）⎰

（5）

（6）⎰

（7） （8）

,

9、计算下列不定积分

（1）

()0>⎰a

（2）

（3）

（4）

（5）

⎰

（6）

五．分部积分法的使用

10、计算下列不定积分 （1）

2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰x

dx x

（3）2

sin ⎰x xdx （4）2

2

arctan 1+⎰x xdx x 》

（5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰x

x

e dx e （7）

()

2

arcsin ⎰x dx （8）2

ln 1

-⎰

x dx x

11、计算下列不定积分

（1

）(2

ln

x dx ⎰

（2

）2xdx

（3

）⎰

（4

） （5）

()

2

2arctan 1x x

dx x +⎰

（6

）arcsin

⎰ （7）2

cos sin cos x

x x

e dx x

+⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2

ln x ，则()'=⎰

xf x dx （ ）

|

(A) 2

ln ln -+x x C (B) 2

2ln ln ++x x C

(C) 2

2ln ln -+x x C (D) 2

ln ln ++x x C

13、已知

sin x

x

是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2

-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2

ln(1)x x +,求

()f x .

15、求积分()sin ln ⎰

x dx .

16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：

()()()1

21212124

x xf x dx f x f x C '''-=

---+⎰. 六．其他考查形式

17、设231,

0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪

=+<≤⎨⎪>⎩

求 ()f x dx ⎰.

18、设2

2

(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =