沪科版二次根式.
八年级数学下册《16.1二次根式》课件2 (新版)沪科版
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计3
沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计3一. 教材分析《二次根式的运算》是沪科版数学八年级下册第16.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘除法运算的基础上进行教学的。
本节的主要内容是二次根式的加减法运算和混合运算。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的加减法运算规则，以及如何将复杂的二次根式进行简化。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的基本性质和乘除法运算，但对于二次根式的加减法运算和混合运算，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例去理解二次根式加减法运算的规则，以及如何将复杂的二次根式进行简化。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减法运算规则。
2.让学生能够熟练地进行二次根式的混合运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减法运算规则。
2.复杂二次根式的简化方法。
五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、小组合作法等教学方法。
通过讲解和示范，让学生理解二次根式加减法运算的规则；通过练习，让学生巩固所学知识；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.练习题。
3.粉笔、黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习二次根式的性质和乘除法运算，然后引出本节课的内容——二次根式的加减法运算。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现二次根式的加减法运算规则，以及复杂二次根式的简化方法。
让学生观察和思考，引导学生在实例中发现规律，总结出运算规则。
3.操练（20分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误，并给出正确的解题方法。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT呈现一些典型的例题，让学生独立解答。
教师在旁边指导，帮助学生解决问题。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：如何将复杂的二次根式进行简化？让学生通过小组合作，共同探讨简化方法。
沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计2
沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计2一. 教材分析《二次根式的运算》是沪科版数学八年级下册第16.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘法、除法运算的基础上进行讲解的。
本节内容主要介绍了二次根式的加减运算、乘除运算以及混合运算。
通过本节内容的学习，使学生能够熟练掌握二次根式的运算方法，提高学生的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘法、除法运算。
但是，对于二次根式的加减运算以及混合运算，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，进行耐心细致的讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算方法。
三. 教学目标1.使学生掌握二次根式的加减运算、乘除运算以及混合运算的方法。
2.提高学生的数学运算能力。
3.培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。
2.二次根式的混合运算。
五. 教学方法1.采用讲解法，教师对二次根式的运算方法进行详细讲解。
2.采用示范法，教师进行典型例题的演示。
3.采用练习法，学生进行课堂练习和课后作业。
4.采用提问法，教师引导学生进行思考和讨论。
六. 教学准备1.教师准备PPT，包括教材内容、例题、练习题等。
2.教师准备课堂练习题和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次根式的性质和乘除运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现教材内容，对二次根式的加减运算、乘除运算以及混合运算进行讲解和示范。
3.操练（20分钟）教师给出典型例题，引导学生进行模仿练习。
学生在课堂上完成练习题，教师进行个别指导和讲解。
4.巩固（10分钟）教师针对学生练习中出现的问题，进行讲解和总结，帮助学生巩固二次根式的运算方法。
5.拓展（10分钟）教师给出一些拓展题目，引导学生进行思考和讨论，提高学生的逻辑思维能力。
沪科版八下数学1二次根式教学课件
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
沪科版数学八年级下册教学课件PPT16.1 二次根式
课程讲授
3 二次根式的性质
问题3：二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a ＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就 是说，当a ≥0时， a ≥0.我们把这个性质叫做二次根 式的双重非负性.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为___3___，面积为S 的正方 形的边长为___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 ㎡,则
130
它的宽为___2__m.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
即当x ≥-3时， x 3 在实数范围内有意义. （2）因为x为任何实数时都有x2≥0, 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
课程讲授
2 二次根式有意义的条件
练一练：若二次根式 2x 4 有意义 ,则实数 x的取
值范围是 （ D ）
A.x≥-2 B.x>-2 C.x<2 D.x≤2
课程讲授
3 二次根式的性质
练一练：若 ( C) A．1 B．－1 C．7 D．－7
x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y的值为
课程讲授
3 二次根式的性质
问题4：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中
的规律．
2
4
4
2
2
2
1 3
2
2
0
0
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m) 满足关系h =5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。
沪科版八下18-2《二次根式的运算》ppt课件
contents
目录
• 二次根式基本概念回顾 • 加减运算中二次根式应用 • 乘法运算中二次根式应用 • 除法运算中二次根式应用 • 复杂表达式中二次根式处理技巧 • 总结与提高：掌握核心知识点，提升解
题能力
01 二次根式基本概念回顾
二次根式定义及性质
简化规则
03
对于最简二次根式，被开方数中不含分母且不含能开得尽方的
因数或因式。
典型例题分析与解答
例题1
化简二次根式√48。
解答
√48 = √(16 * 3) = 4√3
例题2
计算(√5 + √3) * (√5 - √3)。
解答
利用平方差公式，原式= (√5)^2 - (√3)^2 = 5 - 3 = 2
二次根式除法公式
介绍二次根式除法的基本公式， 如
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}=sqrt{fra c{a}{b}}$（$b neq 0$）。
公式推导过程
详细阐述公式的推导过程，包括 分子分母同时乘以相同的二次根
式等步骤。
公式证明
通过具体例子或代数运算证明公 式的正确性和适用性。
除法运算中简化策略
有理化分母
对于分母中含有二次根式的分式，可 以采用有理化分母的方法，将其转化 为不含二次根式的分式，便于计算。
实际应用问题中加减运算
长度、面积、体积等计算
在几何问题中，经常需要计算长度、面积、体积等，这些计算往 往涉及到二次根式的加减运算。
物理问题中的运算
在物理问题中，如力学、电学等领域，也经常需要进行二次根式的 加减运算，以解决实际问题。
公式证明
(完整版)沪科版第16章二次根式归纳及题型
一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D. a b题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1-2、21x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_____________。
练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）（2）121+-x （3） .（5）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（6）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
5. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
7. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是8.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）A.x ≤0B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤02.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -3.若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）A 、x 为任意实数B 、1≤x ≤4C 、x ≥1D 、x ≤44.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计2
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计2一. 教材分析沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等基础知识后，进一步对根式的深入学习。
本节课的主要内容是二次根式的定义、性质和运算。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次根式的相关知识，为学生后续学习二次方程、二次函数等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对根式有一定的了解。
但学生对二次根式的定义、性质和运算规则可能还不够清晰，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
同时，学生需要通过实例来理解二次根式的实际应用，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算规则。
2.过程与方法：学生能够通过实例来理解二次根式的实际应用，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够激发对数学的兴趣，培养积极的学习态度，提高合作交流的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的定义、性质和运算规则。
2.难点：二次根式的实际应用，理解二次根式在解决问题中的作用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入二次根式的概念，使学生能够直观地理解二次根式的实际应用。
2.引导发现法：引导学生通过自主探究、合作交流，发现二次根式的性质和运算规则。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对二次根式的理解和运用。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解二次根式的概念和性质。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生的学习成果。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，用于板书和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义，通过实例来解释二次根式的实际应用。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些简单的二次根式运算题，巩固对二次根式的理解。
1二次根式课件数学沪科版八年级下册
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字
母的取值范围.
3.理解并掌握二次根式的基本性质 a a 和
2
重点
难点
aa 0,
a a
aa＜0.
2
1.掌握二次根式有意义的条件.
2.理解并掌握二次根式的基本性质.
会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
思考
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
S
(1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为
S ，则边长为_____．
(2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
65
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落
下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，
那么 t
h
为_____．
5
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ．
5
（1）这些式子分别表示什么意义？
h
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2
2
2
2
3
9 =3
4 2
9 3
归纳：由此可以看出： a 2 a ( a≥0 ).
a －a ( a≤0 ).
2
02 0
0.5
2
0.25 0.5
总结
a 2 的性质：
a2
沪科版八年级下册数学教学课件 第16章 二次根式 16-2 二次根式的运算 第16章 小结与复习
当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
考点五 本章解题思想方法
分类讨论思想 例8 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤－2时，原式=(－a－2)－[－(a－1)]
=－a－2+a－1=－3; 当－2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a－1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)－(a－1)=3.
8. 计算：
(1) 24 1 4 1 (1 2)0; (2) 3( 2 3) 24 | 6 3 | .
3
8
解：(1)原式
24 1 4 2 1 2 2
3
4
2
2.
(2)原式 6 3 2 6 3 6 6.
9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出 经验公式 v 16 df ，其中v是车速（单位：千米每 小时），d是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位： 米），f是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得 d=20米，f=1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出 事前的速度．
(1)7;
(2)x2 1;
解：(1)7
2
7.
(3) 1 . 11
2
(2)x2 1= x2 1 .
2
(3)
1 11
=
1
11
.
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
第16章
八年级数学下（HK） 教学课件
二次根式
沪科版数学八年级下册16.1二次根式教学设计
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过生活中的实例，如勾股定理的应用、面积计算等，引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.分层次教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
此外，学生在解决实际问题时，可能会对二次根式的应用感到陌生，难以将理论知识与实际问题相结合。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，通过生动的实例和丰富的教学活动，帮助学生克服恐惧心理，提高解决问题的能力。
同时，八年级学生的思维逐渐由具体形象思维向抽象逻辑思维转变，教师应抓住这一特点，引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和创新意识。在这个过程中，教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，使他们在探索中获得成就感，从而提高学习兴趣和自信心。
4.利用数形结合的方法，帮助学生理解二次根式的性质和运算法则，培养学生的直观想象能力。
5.引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情，使学生在二次根式的学习中感受到数学的魅力。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极的态度，增强克服困难的信心。
2.应用题：结合实际情境，设计一些需要运用二次根式解决问题的题目。这些题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，增强学生对数学实用性的认识。
例题：小华家的花园是一个矩形，长比宽多2米，如果花园的面积为48平方米，求花园的长和宽。
3.提高题：设置一些具有一定难度的题目，要求学生运用所学的二次根式性质和运算法则，进行混合运算。这类题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和解题技巧。
沪科版八年级数学下教案 二次根式的概念
16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标1．了解二次根式的概念；(重点)2．理解二次根式有意义的条件；(重点)3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)教学过程一、情境导入1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】二次根式的识别(2015·安顺期末)下列各式：①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．【类型二】二次根式有意义的条件代数式x＋1x－1有意义，则x的取值范围是()A．x≥－1且x≠1 B．x≠1C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．探究点二：利用二次根式的非负性求值 【类型一】 (1)已知a ，b 满足2a ＋8＋|b －1|＝0，求2a －b 的值；(2)已知实数a ，b 的值．解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋8＝0，b －1＝0，得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9；(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b －2≥0，2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3. 方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0.【类型二】 当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________．解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－23时，3x ＋2＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－23，3. 方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0.三、板书设计教学反思本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件.。
沪科版八年级下册数学第16章二次根式第一节《二次根式》参考课件
解:原式 1 2
解 :原式 (x y)2
(1 2)
xy
Qx y
2 1
x y 0 原式 （x y)
yx
1.若 (1 x)2 1 x ,则x的取值范围为 (A )
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A．x 2 B． x C． x2 2 D． x2 2
求xyz的 值。 (-5)×2×(-2)=20
注意：1）几个非负数的和为0时，这几个非负数 必须同时为0.
2）三个具有非负性的式子： a 2 0
a 0
a 0 (a 0)
例：已知：x＜0，化简： 16x2
解： 16x2 = （4x）2 =|4x| ∵x<0 , ∴4x＜0,
∴原式 = - 4x
3
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a4 9
(2)a4 6a2 9
解：(1)原式 （a2）2 32 (a2 3)(a2 3)
(a2 3)(a 3)(a 3)
(2)原式 (a2 3)2 (a 3)2(a 3)2
巩固提高：
1.若 (a 5)2 (2b 2)2 =0，则 ab2 =___5__。
观察： 上面几个式子中，被开方数
的特点？ 被开方数是非负数
3、
a（a≥0）表示什么？
表示非负数a的算术平方根
复习
1、如果 x2 4 ，那么x ±2 ；
2、如果 x2 3 ，那么x 3 ；
3、如果 x2 a(a 0) ，
那么 x a 。 x
a 2 a (a 0)
a (a 0) a2 a 0 (a 0)
二次根式课件沪科版数学八年级下册
【当堂检测】
1.（1）若使二次根式 2x 4 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
2
（2）当a ＜ 3
时，
3a
2 无意义， 2 x
2x
有意义的条件
是 x≤2且x≠-2 ．
【当堂检测】
2.要使式子
a(a a(a
0) »
0)
四、典型例题
例1.当x是怎样的实数时， 5 x 2x 在实数范围内有意义？
分析：要使式子有意义，则每个二次根式都需满足被开 方数大于等于0
解：5-x≥0，得x≤5 又2x≥0，得x≥0
综上所述：当0≤x≤5时， 5 x 2x 在实数范围内有意义
四、典型例题
方法总结： 二次根式中被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个式子，
总结： 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断
字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.
【当堂检测】
3.实数a在数轴上的位置如图所示，则 a 42 a 112化简后为（ A ）
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15
D．无法确定
【当堂检测】
4.若x＜2，化简 (x 2)2 3 x 的正确结果是 5-2x ．
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
一、学习目标
1.理解二次根式的概念 2.会用简单的一元一次不等式求被开方数中字母的取值范围 3.掌握二次根式的性质1、2,并能利用性质进行计算或化简
二、新课导入
你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为5的正方形的边长为___5__，面积为S 的正方形的边长为___S__．
《二次根式》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (3)
∠1是∠3的
，两边分别在同一条直线上.因
此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边 延长
得到的没有公共边的角
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且 ∠AOC的两边分别是∠BOD两边 的反向延长线.
对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶 点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两 个角叫做对顶角.
动手操作 问题：怎么样画已知直线的垂线？
1.用三角尺画垂线
(1)如图，已知直线 L,作L的垂线.
A
问题：
1靠、 2画线、
这样画L的 垂线可以
O
L
画几条？
无数条
(2)如图，已知直线 L 和L上的一点A ,作L的
垂线.
问题： 这样画L的 垂线可以
B 则所画直线AB是过
点A的直线L的垂线.
画几条？
L
A
什么叫做平方根？
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个 数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用a(a0)表 示 .
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
如图所示的值表示正方形的面积，
生活拓展
C观A察下Oa列各BD图A，C寻Ob找对D顶BACG角（E不FOc含平DH角B )
⑴ 如图a，图中共有 对对顶角 ⑵ 如图b，图中共有 对对顶角 ⑶ 如图c，图中共有 对对顶角 ⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之 间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成
对对顶角 ⑸ 若有2008条直线相交于一点，则可形成 对 对顶角.
E
16.1二次根式课件(沪科版八年级下)
⑴
1 2
⑵ 16
⑶ a2 2a2 ⑷ x (x 0)
倍 速
⑸
m 32
课
时
学
练
a9
⑹ a1 (a3)
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a1
2
1 1 2a
3 a32
解：（1）由题意得：
a10 a 1
即当 a 1 时， a 1 有意义.
倍 速 课
（2）a 1 2
a (3) 为任意实数
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
时
学 ①被开方数不小于零；
练
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x0 x
倍 速 课 时 学
(5) x3
x0 ( 6 )
1 x2
x0
(7) x 1 (x 2)0 x1,且x2
x3
练
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
学 练
a叫被开方数，
称为二次根号
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
倍
速课时 学 练 Nhomakorabea?
形 如 a ( a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
倍 速
哪些式子对字母有条件限制？
倍
分母；根号；实际问题
速
课
时
学
练
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
八年级数学下册《16.1二次根式》课件1 (新版)沪科版
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
知识(zhī 什s么hi()s回hé顾n me)叫做平方
根？一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个
(zhè ge)数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
第九页，共14页。
掌握二次根式有意义(yìyì)的条
二次根式 a 有意义的条件: ____a_≥_０______
例2.x是怎样的实数时，下列式子在实数范围 内有意义？
(1) x 1
(3) x2
(2) x2 2
(4) 1 3 2x
①被开方数(bèi kāi fānɡ shù)大于或等于零；
②分母中有字母(zìmǔ)时，要保证分母不为零. 第十页，共14页。
第五页，共14页。
掌握并应用(yìngyòng)二次根式的基 本性质
当 a大于或等于0时 ( a ) 2 = a
第六页，共14页。
掌握(zhǎngwò)并应用二次根式的基 本性质
例2.计算(jìsuàn)：
(1)( 12)2
(2)( 2 )ห้องสมุดไป่ตู้ 3
(3)( a b )2 (a b 0)
第七页，共14页。
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
在实数(shìshù)范围内,负数没 有平方根
第四页，共14页。
(sīkǎo)
思 考
a和 a 是二次根式吗？
为什么？如果(rúguǒ)不是，请改正
根式为：a a 0 a a 0
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2
2
二次根式的乘法
• 请计算：1.
2.
4 25
4 25
4 16
4 16
我们发现，它们的值都是相等的，这是为什么呢？
2 2 2 （ 2 3） 根据积的乘法法则， （ 2） （ 3） 23
所以，它就是2×3的算术平方根，即为
23
就是说：
2 3 23
二次根式的乘法：
a b ab （a 0，b 0）
（两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘即可）
上面我们已经得到 可以写成：
a b ab （a 0，b 0）
ab a （ b a 0，b 0）
a
3、
1、 ab a b a 0, b 0 两个公式
a2
a 2、 b
a b
(a 0, b 0)
四种运算
加 、减、乘、除
上面我们已经得到：
a a （a 0，b＞0） b b
可以写成：
a a （a 0，b＞0） b b
这就是商的算术平方根公式
（商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数 的算术平方根）
请做题：
化简：
1 2
题型3最简二次根式：
１、被开方数不含分数； ２、被开方数不含开的尽方的因数或因式； 注意：分母中不含二次根式。
这就是积的算术平方根公式
（积的算术平发根，等于各因式算术平方根的积）
请做题：
1.化简
4a
3
（使被开方数不含完全平方的因式）
二次根式的除法
结合乘法的式子想象，除法的公式是什么样？
a a （a 0，b＞0） b b
这就是二次根式的除法公式
（两个根式相除，将它们的被开方数相除） 做题：
15 3
二次根式
• 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a的平方根（这个数可以是正的，负的和零， 但是a一定不是负的） • 正数a的正的平方根和零的平方根统称为算 术平方根，用 a 表示（a≥0）
• 如果两个含有根式的代数式的积不再含有 根式，那么这两个代数式叫做有理化根式, 也称有理化因式
二次根式的概念
请做题： 计算
8 18 12
题型5：利用 a ( a ) (a 0) 进行分解因式
2
例：分解因式：
(1) x 2
2
x 2 ( 2 )2 x 2 x 2
(2)2 x 2 3 y 2
( 2x)2 ( 3 y)2 2x 3y 2x 3y
y 1 0
2
x y
2
的值
2．计算 （１） ( 5) 2 ( 5) 2
（２） ( 10) (3 3)
2
2
第一章结束
知识结构
两个概念
最简二次根式
同类二次根式 有理化根式 1、 a 0(a 0)
（简单知道即可）
二 次 根 式
三个性质
2、
a
2
a a 0
x 1
A.3
+3(y-2)2 =0,则x-y的值为(
D )
B.-3
C.1
D.-1
根号下a2等于什么呢？
2
2
,
5
2
2
a
2
,
(5)
2
我们会发现，当a≥0时，根号下a2＝a 当a＜0时，根号下a2＝﹣a
( a ) 与 a 有什么不同？
1.从运算顺序来看： 2.从取值范围来看： 3.从运算结果来看：
2．（１）
3 ( 3) ____
2
2
x 1 （２）当 x 1 时， (1 x) ____
（３） ( x 2) 2 x 2 ，
x2 则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若
( x 7) ， 1 x7 x＜7 则Ｘ的取值范围是＿＿＿
2
练一练
1．若 求
x 1
１．二次根式的定义： 形如 a（a 0）的式子 叫做二次根式
（a可以是具体的数，也可以是含有字母的数式）
２．二次根式的识别： （１）．被开方数
a0
（２）．根指数是２
（没具体说明取值的时候，可以看做符合被开方数大于等于零）
判别．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
是
15
2
②
3a
练习1：把下列各式化为最简二次根 3 式 1 2 x 2
5
5 5
32
7
2 7 7
3y
4 2
x 6 xy 3y
练习：把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5 (2) 4a 2 16a 2
3 6 2 2
20a2 2 5a
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
题型4同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 下列哪些是同类二次根式
18
3 2
18
、
27
3 3
8
2 2
、
9m
32
3 m 4 2
8
32 是同类二次根式
二次根式的加减法
要点：二次根式的加减法，与整式的加减法类 似，关键是将同类二次根式合并 基本做法：第一步：把二次根式化简 第二步：将同类二次式合并
练习．在实数范围内分解因式
（1）
3x 15
2
（2）
2a 4b
2
2
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围 1 （１）
3 x
（２）
2x 5
由3 x 0得：x 3
（３） 1 x
x
5 由2 x 5 0得： x 2
1 x 0 由 得：x 1且x 0 x0
解： x
5 0 3- x 0
①
②
不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知：
x4
+
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且
③
x 100
是
是
④
是
a b
2
⑤
不是
a2 1
⑥
Байду номын сангаас
不是
144
⑦
ab
2 2
是
⑧ 3
5
不是
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 2. _____时， 3 x 有意义。 x ≤3 有意义的条件是 a 4 .
a 4+ 4 a
3.求下列二次根式中字母的取值范围 1 x 5 3 x 说明：二次根式被开方数