高中奥数题及答案

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高中数学奥林匹克竞赛试题及答案

高中数学奥林匹克竞赛试题及答案1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k ＋1）2得出k2＋2k不是平方数．3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km ＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a?4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402?422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a 都不是素数．1969德国．【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2?m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4224，4234，…就得到无限多个符合要求的a．8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式中，末一列数字的和d＋a 为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c?9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！9 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．1973年加拿大【证】因p是奇数，2是p＋1的因数．因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．10 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．美国1973年【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，消去a，d，得化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m11 设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．1977年荷兰【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．式中不会出现a2．r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a22b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab2ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．12 证明在无限整数序列10001，100010001，1000100010001，…中没有素数．注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．1979年英国【证】序列1，10001，100010001，…，可写成1，1＋104，1＋104＋108，…一个合数．即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137273．故对一切n?2，a n均为合数．13 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．1984年苏【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，1043M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．14正整数d不等于2、5、13．证在集合｛2，5，13，d｝中可找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．1986年德【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设5d－1＝x2 5d－1＝y2 13d －1＝z2 其中x、y、z是正整数．x是奇数，设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即d＝2n2－2n＋1 说明d也是奇数．y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．15 .求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n?5）个数的和为合数．1987年全苏【解】由n个数a i＝i2n！＋1，i＝1，2，…，n组成的集合满足要求．因为其中任意k个数之和为m2n！＋k（m∈N，2?k ?n）由于n！＝1222…2n是k的倍数，所以m2n！＋k是k的倍数，因而为合数．对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．16 n?2，证：如果k2＋k＋n对于整数k素数．1987苏联（1）若m?p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．又（m－p）2＋（m－p）＋n?n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．（2）若m?p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n?n＞p因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以p－1－m?m，p?2m＋1由得4m2＋4m＋1?m2＋m＋n即3m2＋3m＋1－n?0由此得17 正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．1988德国a2－kab＋b2＝k （1）显然（1）的解（a，b）满足ab?0（否则ab?－1，a2＋b2＝k（ab＋1）?0）．又由于k不是完全平方，故ab＞0．设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a?b．固定k与b，把（1）看成a的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．但由（3）从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方． 18 求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．1989年瑞典提供．【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2?k?n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此a2＋k（2?k?n＋1）这n个连续正整数都不是素数的整数幂． 19 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？1990年全苏解32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）当n＞l时，3n －2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，原数是合数．当n＝1时，原数是13 20 设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．1991年罗马尼亚．证由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．令d＝a2－a1＞0．当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是31＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d?n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．21 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．1992年台北数学奥林匹克【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和?15005，所以A?15005另一方面，将1001～2000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402 ………………1901 1100 1801 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并记上述排列为a1，a2，…，a2000（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1?i?20，1?j?10）令S i＝a i＋a i＋1＋…＋a i＋9（i＝1，2，…，1901）则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．综上所述A＝15005．22 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？1992年友谊杯国际数学竞赛七年级【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，23 是否存在完全平方数，其数字和为1993？1993年澳门数学奥林匹克第二轮【解】存在，取n＝221即可．24 能表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？1993年美国数学邀请赛【解】答495．连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋5025 如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？1993年全俄数学奥林匹克【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k ＋m）（2k－m）是合数．26 设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．1994年澳大利亚数学奥林匹克【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2从而命题得证．27 设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．1995年莫斯科数学奥林匹克九年级题【解】由题意知正整数，将它们分别记作k与l．由。

全国高中数学奥林匹克竞赛试题

全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。

则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。

则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。

若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。

高中奥数竞赛试题及答案

高中奥数竞赛试题及答案1. 已知函数$ f(x) $在区间$ [0, 1] $上连续，且满足$ f(0)= 0 $，$ f(1) = 1 $，求证：存在至少一个$ x_0 \in (0, 1) $，使得$ f(x_0) = x_0 $。

答案：根据介值定理，由于$ f(x) $在$ [0, 1] $上连续，且$ f(0) = 0 $，$ f(1) = 1 $，那么对于任意$ y $在$ [0, 1] $内，都存在$ x $在$ [0, 1] $内，使得$ f(x) = y $。

特别地，取$ y = \frac{1}{2} $，那么存在$ x_0 $在$ (0, 1) $内，使得$ f(x_0) = \frac{1}{2} $。

由于$ f(x_0) $可以取到$ [0, 1] $内的所有值，因此必定存在$ x_0 $使得$ f(x_0) =x_0 $。

2. 计算不定积分$ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx $。

答案：首先，我们对分母进行因式分解，得到$ x^2 + 2x + 2 = (x+ 1)^2 + 1 $。

然后，我们使用代换法，设$ u = x + 1 $，则$ du = dx $。

代入原积分，得到$ \int \frac{1}{(u^2 + 1)^2}du $。

接下来，我们使用分部积分法，设$ v = \frac{1}{u^2 + 1} $，$ dw = \frac{1}{(u^2 + 1)^2} du $，则$ dv = -\frac{2u}{(u^2 + 1)^2} du $，$ w = -\frac{1}{u^2 + 1} $。

根据分部积分公式$ \int u dv = uv - \int v du $，我们得到$ \int \frac{1}{(u^2 + 1)^2} du = -\frac{1}{u^2 + 1} + C $。

高中国际奥数试题及答案

高中国际奥数试题及答案试题：高中国际奥数试题及答案题目一：几何问题在一个等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，且DE平行于BC。

已知AD = 2，AE = 3，求DE的长度。

解答：设DE = x。

由于DE平行于BC，根据相似三角形的性质，我们有：\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\]由于ABC是等边三角形，AB = AC = BC，设其长度为a。

则有：\[\frac{2}{a} = \frac{3}{a} = \frac{x}{a}\]由于AD = 2，AE = 3，我们可以得到：\[AB = AD + DB = 2 + DB\]\[AC = AE + EC = 3 + EC\]由于DE平行于BC，三角形ADE与三角形ABC相似，有：\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\]将已知数值代入，得到：\[\frac{2}{2 + DB} = \frac{3}{3 + EC}\]由于AD + DB = AB，AE + EC = AC，我们有：\[2 + DB = 3 + EC\]\[DB = EC + 1\]将DB代入相似比例中，得到：\[\frac{2}{3 + EC} = \frac{x}{a}\]由于AB = 2 + DB = 3 + EC，我们有：\[2 + EC + 1 = 3 + EC\]\[EC = 1\]将EC代入相似比例中，得到：\[\frac{2}{3 + 1} = \frac{x}{a}\]\[\frac{2}{4} = \frac{x}{a}\]\[x = \frac{a}{2}\]由于ABC是等边三角形，a = 2 + DB = 3 + EC = 4，所以：\[x = \frac{4}{2} = 2\]所以，DE的长度为2。

题目二：代数问题解方程：\[x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\]解答：首先尝试因式分解：\[x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)\]接着解$x^2 - 5x + 6 = 0$，这是一个二次方程，可以使用求根公式：\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将a = 1, b = -5, c = 6代入，得到：\[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}\]\[x = \frac{5 \pm 1}{2}\]所以，$x = 3$ 或 $x = 2$。

数学奥林匹克高中训练题()及答案

1 / 3 数学奥林匹克高中训练题（57）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题57)若()f x 是R 上的减函数，且()f x 图像经过点(0,3)A 和点(3,1)B -，则不等式(1)12f x +-<的解集为(D)．(A)(,3)-∞ (B)(,2)-∞ (C)(0,3) (D) (1,2)-2．(训练题57)若函数2()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线8x π=-对称，则a 的值等于(C)．(B)1或1- (C)1或2- (D)1-或2 3．(训练题57)设椭圆的方程为221,(0,1)3x y A +=-为短轴的一个端点，,M N 为椭圆上相异两点，若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是(C)．(A)(1,0]- (B)[0,1] (C)(1,1)- (D)[1,1]-4．(训练题57)()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x 满足(1)()f x f x +=-．已知当(2,3]x ∈时，()f x x =．那么，当(2,0]x ∈-时，()f x 的表达式为(C)．(A)()4f x x =+ (B)4,(2,1]()2,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨-+∈-⎩(C)4,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨--∈-⎩ (D)1,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x --∈--⎧=⎨--∈-⎩ 5．(训练题57)已知1111ABCD A BC D -是边长为１的正方体，P 为线段1AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上动点．则1PC PQ +的最小值为(A)．(A)12+(C)2(D)12 6．(训练题57)已知在数列{}n a 中，11,n a S =为前n 项的和，且满足2(1,2,)n n S n a n ==．则n a 的表达式为(D)．2 /3 (A)1(2)2n n ≥+ (B)1(3)(1)n n n ≥- (C)1(4)2(1)n n ≥+ (D)2(1)n n + 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题57)在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，且13AD BC =．则AC AB AB AC +2．(训练题57)已知函数1a x y x a -=--的反函数图像关于点(1,4)-成中心对称．则实数a 的值 3． 3．(训练题57)集合11{|(1)},{|}22A x a xB x x =+=-<，当A B ⊆时，a 的取值范4．(训练题57)已知线段//AD 平面α，且到平面α的距离等于８，点B 是平面α内的一动点，且满足10AB =．若21AD =，则点D 与B 距离的最小值为 17 ．5．(训练题57)已知多项式21x x --整除多项式541ax bx ++．则实数a = 3 ，b5-．6．(训练题57)设[2002]S =++++，其中表示不超过的最大整数.则值等于 242 ．三、(训练题57)(本题满分20分)已知ABC ∆的三内角平分线分别为111,,AA BB CC ．若向量111,,AA BB CC 满足关系1110AA BB CC ++=，试证：ABC ∆为正三角形．四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列{},n n a S 表示其前n 项和．若满足关系231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式n a 的表达式．(122n na n =-) 五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为a ，半短轴为b ，短轴的一个端点为O ，,P Q 为椭圆上异于点O 的任意两点，OP OQ ⊥．若点O 在线段PQ 上的身影为M ，试求点M 的轨迹．第二试一、(训练题57)(本题满分50分)如图，已知在Rt ABC ∆中，,90,o AC BC C O >∠=为斜边AB 的中点，CH 为斜边AB 上的高，延长CH 到D ，使得,CH DH F =为中线CO 上任意一点，过B 作BE AF ⊥的延长线于E ，连结DE 交BC 于G ．求证：CF GF =．A GEF H O DC B3 / 3 二、(训练题57)(本题满分50分)设0x >．求函数1()[][][][]1x x f x x x x x +=+++的值域．其中[]x 表示不超过x 的最大整数．三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着2002个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点．为确保圆周上至少有一个好点．试求所染黑点数目的最大值．。

高中奥数题及答案

高中奥数题及答案题目一：数列问题题目描述：已知数列 $ a_n $ 满足 $ a_1 = 1 $ 且 $ a_{n+1} = a_n +2n $ ，求 $ a_{10} $ 的值。

解答：我们可以利用递推公式计算数列的前几项：- $ a_2 = a_1 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 $- $ a_3 = a_2 + 2 \times 2 = 3 + 4 = 7 $- $ a_4 = a_3 + 2 \times 3 = 7 + 6 = 13 $...通过观察，我们可以发现数列的通项公式为：\[ a_n = n^2 - n + 1 \]将 $ n = 10 $ 代入公式，得到：\[ a_{10} = 10^2 - 10 + 1 = 100 - 10 + 1 = 91 \]所以，$ a_{10} $ 的值为 91。

题目二：几何问题题目描述：在三角形 ABC 中，已知 AB = 5，AC = 7，BC = 6，求角 A 的余弦值。

解答：根据余弦定理，我们有：\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]其中，a、b、c 分别是三角形的三边长，角 A 对边的边长为 a。

将已知的边长代入公式：\[ \cos A = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35} \]所以，角 A 的余弦值为 $ \frac{19}{35} $。

题目三：组合问题题目描述：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，求所有可能的放法。

解答：首先，我们可以将 5 个球分成 3 组，每组至少有一个球。

这可以通过组合数来计算，即：\[ C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \]这表示有 10 种方式将 5 个球分成两组，每组至少有一个球。

数学奥林匹克高中训练题33及答案

数学奥林匹克高中训练题33及答案数学奥林匹克高中训练题（33）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题33)1=的解集是(D)．(A){1(B)1{10(C)1{π (D)φ 2．(训练题33)一个三角形的三条边恰为221,21,1m m m m +++-，则这个三角形中最大角为(B)． (A)3π (B)32π (C)43π (D)56π 3．(训练题33)己知()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上的偶函数 , 若2()()23f x g x x x -=++, 则()()f x g x +=(A)．(A)223x x -+- (B)223x x +- (C)223x x --+ (D)223x x -+4．(训练题33)满足方程组221410580,x y x y ?+--+=?=的数组(,)x y 是(C)． (A) 294152180,294155217-+ (B) 294155217,294152180+- (C) 294152180,294155217+- (D) 294155217,294152180-+ 5．(训练题33)tan 1x =是54x π=的(A)． (A)必要条件, 但非充分条件． (B)充分条件, 但非必要条件．(C)充分条件, 也是必要条件． (D)非充分条件, 也非必要条件．6．(训练题33)正方形纸片ABCD , 沿对角线AC 对折, 使D 点在面ABC 外, 这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于(D)．(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题33)若1098762()222361f x x x x x x x x =+--++++, 则1)f = 4 ．2．(训练题33)n N ∈，则111112123123n++++=+++++++ 21n n + ．3．(训练题33)若2000199819961994(1)(62)(1)(3)(1)(237)(1)(102)i i i i z i i i i ++---=+-+-+ ，则z = 1 ． 4．(训练题33)多项式2200122001(22)(33)x x x x +++--展开后合并同类项，所得结果中x 的奇次项系数之和为 -1 ．5．(训练题33)正方体1111ABCD A BC D -棱长为1，E 是DC 中点，F 是1BB 中点，则四面体1AD EF 的体积是524 ．6．(训练题33)在坐标平面上，由条件1,23y x y x ?≥--??≤-+??所限定的平面区域的面积是16 ．三、(训练题33)(本题满分20分)tan5o 是有理数还是无理数？请证明！四、(训练题33)(本题满分20分)公差为4的有限项的等差数列，它的首项的平方与其余所有项之和不超过100．请你回答，这个等差数列最多可以有多少项？（8）五、(训练题33)(本题满分20分),,a b c 均为实数，,,a b b c c a ≠≠≠．证明：222322a b c b c a c a b a b b c c a+-++-++-≤<-+-+-．第二试一、(训练题33)(本题满分50分),O H 分别是锐角ABC ?的外心与垂心，点D 在AB 上，AD AH =，点E 在AC 上，AE AO =．证明：DE AE =．二、(训练题33)(本题满分50分)某工厂的m 位工人共提了n 条(1)n >不同的合理化建议．经统计发现，每两个工人提的合理化建议中都至少有一条相同的建议，但没有两个工人所提的建议完全相同．证明： 12n m -≤．三、(训练题33)(本题满分50分)在圆上有21个点．证明：以这些点为端点组成的所有弧中，不超过120o 的弧不少于100条．。

历年高中奥数试题及答案

历年高中奥数试题及答案一、选择题1. 已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 $，求$ f(2) $的值。

A. -1B. 3C. -3D. 7答案：将$ x = 2 $代入函数$ f(x) $，得到$ f(2) =2*2^3 - 3*2^2 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1 $。

正确答案为A。

2. 一个圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：圆的面积公式为$ A = πr^2 $，代入半径$ r = 5 $，得到$ A = 25π $。

正确答案为B。

二、填空题1. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

______答案：等差数列的通项公式为$ a_n = a_1 + (n-1)d $，代入首项$ a_1 = 2 $和公差$ d = 3 $，求第10项，得到$ a_{10}= 2 + 9*3 = 29 $。

2. 如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形是______三角形。

答案：根据勾股定理，$ 3^2 + 4^2 = 5^2 $，所以这是一个直角三角形。

三、解答题1. 解不等式：$ |x - 3| < 2 $。

解答：首先将不等式分为两部分：$ x - 3 < 2 $ 和 $ -(x - 3) < 2 $。

解得 $ x < 5 $ 和 $ x > 1 $。

因此，不等式的解集是 $ 1 < x < 5 $。

2. 证明：对于任意正整数$ n $，$ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + ... + n^2 + n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $。

证明：根据等差数列求和公式和等差数列平方和公式，可以证明上述等式成立。

结束语以上是一些历年高中奥数试题及答案的示例，奥数题目通常需要学生具备较强的逻辑思维能力和数学知识。

往年奥数试题及答案高中

往年奥数试题及答案高中试题一：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB为斜边，BC=6，AC=8，求AB的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设AB的长度为x，则有：\[ x^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ x^2 = 36 + 64 \]\[ x^2 = 100 \]\[ x = 10 \]所以，AB的长度为10。

试题二：代数问题题目：解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $。

解答：这是一个二次方程，我们可以使用因式分解法来解它。

首先找到两个数，它们的乘积为6，和为-5。

这两个数是-2和-3。

因此，我们可以将方程分解为：\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]所以，方程的解是 $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，其中至少一组有2个球。

我们可以使用组合数来计算：\[ C(5,2) \times C(3,1) \]\[ = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} \]\[ = 10 \times 3 \]\[ = 30 \]但是，我们还需要考虑球在盒子中的排列方式。

由于每个盒子至少有一个球，我们可以将30种分法中的每种都视为3个盒子的排列，即$ 3! $ 种方式。

所以总的放法为：\[ 30 \times 3! = 30 \times 6 = 180 \]试题四：数列问题题目：一个数列的前几项为 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，求第10项。

解答：这是一个斐波那契数列，每一项都是前两项的和。

我们可以通过递推的方式来计算第10项：\[ a_1 = 1, a_2 = 1, a_3 = a_1 + a_2 \]\[ a_4 = a_2 + a_3, a_5 = a_3 + a_4, \ldots \]继续递推，我们可以得到：\[ a_{10} = a_8 + a_9 \]\[ a_8 = 13, a_9 = 21 \]\[ a_{10} = 13 + 21 = 34 \]所以，第10项是34。

高三奥数题及答案

高三奥数题及答案高三奥数题通常涉及高等数学、几何、代数和数论等领域的高级概念和技巧。

以下是一些典型的高三奥数题目及它们的答案：# 题目1：几何问题题目：在一个圆中，有一个内接三角形ABC，已知圆的半径为r，三角形的边AB和AC的长度分别为a和b，求边BC的长度。

答案：根据圆内接三角形的性质，可以使用余弦定理来解决这个问题。

设BC的长度为c，根据余弦定理有：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle ABC) \]由于三角形ABC是圆的内接三角形，角ABC的余弦值可以通过圆的半径和边长来表示：\[ \cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB\cdot AC} \]将这个表达式代入上面的余弦定理中，我们可以得到：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] 简化后得到：\[ c^2 = 2r^2 \]所以，边BC的长度为：\[ c = \sqrt{2r^2} \]# 题目2：代数问题题目：解方程 $ x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 $。

答案：这是一个三次方程，我们可以通过因式分解来解决。

首先尝试找到根，观察方程，我们可以猜测 $ x = 1 $ 是一个根，因为$ 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 1 = 0 $。

然后我们可以将多项式除以 $ x - 1 $ 来找到其他根：\[ x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = (x - 1)(x^2 - 2x + 1) \]进一步分解 $ x^2 - 2x + 1 $，我们发现它是一个完全平方：\[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]所以，原方程的解是 $ x = 1 $，这是一个三重根。

数学奥数高中试题及答案

数学奥数高中试题及答案试题一：几何问题题目：在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，B(3,4)，C(6,8)，求三角形ABC的面积。

解答：首先，我们可以观察到点A、B、C的坐标满足线性关系y=2x。

这意味着三角形ABC的三个顶点都在一条直线上。

因此，三角形ABC的面积为0。

试题二：代数问题题目：解方程：$ x^2 - 5x + 6 = 0 $。

解答：这是一个二次方程，我们可以使用因式分解的方法来解它。

将方程分解为 $ (x - 2)(x - 3) = 0 $。

因此，$ x = 2 $ 或$ x = 3 $。

试题三：数列问题题目：数列 $ a_n $ 满足 $ a_1 = 1 $ 且 $ a_{n+1} = a_n + n $，求 $ a_{10} $ 的值。

解答：我们可以通过递推的方式计算 $ a_{10} $ 的值。

$ a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2 $$ a_3 = a_2 + 2 = 2 + 2 = 4 $...$ a_{10} = a_9 + 9 $通过递推，我们可以得到 $ a_{10} = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 1 + \frac{9 \times (9 + 1)}{2} = 1 + 45 = 46 $。

试题四：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，求不同的放法总数。

解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少一个球。

我们可以使用隔板法来解决这个问题。

将5个球排成一行，有4个空位可以插入隔板来分组。

我们需要在这4个空位中选择2个位置放置隔板，这样可以得到 $ C_4^2 $ 种分法。

然后，将分好的三组球分配到3个盒子中，有 $ 3! $ 种分配方式。

因此，总的放法是 $ C_4^2\times 3! = 6 \times 6 = 36 $ 种。

高中奥数竞赛试题及答案

高中奥数竞赛试题及答案【试题一】题目：设$ a, b, c $是正整数，且满足$ a^2 + b^2 = c^2 $。

求证：$ a, b, c $中至少有一个是偶数。

【答案】假设$ a, b, c $均为奇数，即$ a = 2m + 1, b = 2n + 1, c =2p + 1 $，其中$ m, n, p $为非负整数。

将这些代入等式得：\[ (2m + 1)^2 + (2n + 1)^2 = (2p + 1)^2 \]\[ 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 + 4n + 1 = 4p^2 + 4p + 1 \]\[ 4m^2 + 4m + 4n^2 + 4n = 4p^2 + 4p \]\[ m^2 + m + n^2 + n = p^2 + p \]这表明左边是一个奇数，而右边是一个偶数，这是不可能的。

因此，$ a, b, c $中至少有一个是偶数。

【试题二】题目：若$ x $和$ y $是实数，且满足$ x^2 - 5xy + 6y^2 = 0 $，求$ \frac{x}{y} $的值。

【答案】将等式$ x^2 - 5xy + 6y^2 = 0 $进行因式分解，得到：\[ (x - 2y)(x - 3y) = 0 \]这意味着$ x = 2y $或$ x = 3y $。

因此，$ \frac{x}{y} $的值可以是2或3。

【试题三】题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，点D在斜边AB上，且满足$ CD^2 = AD \cdot DB $。

求证：$ \angle ADC = \angle BDC $。

【答案】由题意知，$ CD^2 = AD \cdot DB $，根据相似三角形的性质，我们可以得到：\[ \frac{CD}{AD} = \frac{DB}{CD} \]这表明$ \triangle ADC $和$ \triangle BDC $是相似的。

高中奥数综合测试卷及答案

高中奥数综合测试卷及答案第一部分：选择题1.已知函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+a)$，其中$a>0$，且存在两个实数$x_1$和$x_2$，满足$f(x_1-f(x_2))=1, f(x_2-f(x_1))=2$，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=$？A. $2a$B. $3a$C. $4a$D. $5a$2.若$arcsin\frac{x}{2}+arccos\frac{x+1}{3}=\frac{5\pi}{6}$，则$x=$？A. $\frac{\sqrt{21}}{2}$B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$3.已知函数$f(x)$在区间$[-1,1]$内的取值满足$-x\leq f(x)\leq x$，则$f(\frac{1}{10})$的取值范围是？A. $[0,\frac{1}{10}]$B. $[\frac{1}{10},\frac{2}{9}]$C. $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$D. $[\frac{1}{3},1]$4.在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(1,0),B(0,-1)$，$M$为$x$轴上一点，点$N$在直线$BM$上，且$\angle{NBA}=\frac{\pi}{3}$，则$\triangle{AMN}$的面积为？A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$C. $\frac{2\sqrt{3}}{9}$D. $\frac{1}{3}$5.已知一个集合$M=\{1,2,3,4,5,6\}$，将它的元素两两相组合，全组合为N，则在N中任取一组，得到$\{1,2\}$或$\{2,3\}$或$\{3,4\}$或$\{4,5\}$或$\{5,6\}$的概率为？A. $\frac{1}{6}$B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$第二部分：简答题1. 已知立方体ABCDA'B'C'D'中，F，E分别是线段AC'，BD'的中点，求证：1）FE垂直于平面A'CD，2）FE垂直于平面CEA；2. 小明和小红两个人玩纸牌游戏，开始时小明有18张牌，小红有16张牌，小明每次抽走小红恰好一张牌，并给小红1元钱，小红每次抽走小明恰好一张牌，并给小明2元钱，若两人可以不停地玩下去，求小明获胜的概率是多少？第三部分：计算题1.已知$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+3\times2^{n-1}$，求$a_{10}$的值。

高中奥数题及答案

高中奥数题及答案【篇一：高中数学试题及答案】择题：本大题共12小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合a?{1,2,3,4,5},b?{(x,y)x?a,y?a,x?y?a}；,则b中所含元素的个数为（） (a)3(b)6 (c)? (d)??2、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）a.简单随机抽样b.按性别分层抽样c.按学段分层抽样d.系统抽样3、设函数f(x)，g(x)的定义域都为r，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是（）（a）f(x)g(x)是偶函数（c）|f(x)|g(x)是奇函数（b）f(x)|g(x)|是奇函数（d）|f(x)g(x)|是奇函数4、直线l过点p(－1,2)，且与以a(－2，－3)，b(4,0)为端点的线段相交，则l的斜率的取值范围是( ) ?2??2?a.?－，5? b.?－，0?∪(0,5] ?5??5?a,a,...,an，输出a,b，则5、如果执行右边的程序框图，输入正整数n(n?2)和实数12（）(a)a?b为a1,a2,...,an的和a?b(b)2为a1,a2,...,an的算术平均数(c)a和b分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数(d)a和b分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数6、设等差数列?an?的前n项和为sn,sm?1??2,sm?0,sm?1?3，则m?( )a.3b.4c.5d.67.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于m,n两点,且m,n关于直线x+2y=0对称,则实数k+m=( )a.-1b.1c.0d.28、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a．16?8?b．8?8?c．16?16? d．8?16?（第8题）（第9题）9、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）500?866?1372?cm3cm3cm32048?cm3 a.3b. 3c. 3 d. 310、如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为()2323a.550d．不能估计x2?2x,x?0?ln(x?1),x?011、已知函数f(x)?，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是（）a．(??,0] b．(??,1] c．[?2,1]d．[?2,0]12、阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(gauss)函数如[-2]=-2，[-1.5]=- 2，[2.5]=2,则[log211]?[log2]+[log21]+[log23]+[log24]43的值为( )a、0b、-2c、-1d、l二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。

高一奥数试题及答案

高一奥数试题及答案第一题：已知函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)+2，且f(4)=9，求f(2019)的值。

解析：我们可以通过递推的方式来求解该题。

首先，我们观察到当x为偶数时，f(x)的值会比之前多出一个常数项2。

因此，我们可以猜测f(x)的形式为f(x)=ax+b，其中a和b为待定常数。

将f(x)的形式代入给定的函数等式中，得到：f(x+2) = 3(ax+b) + 2= 3ax + 3b + 2根据题意，我们得到 3ax + 3b + 2 = 3f(x) + 2，整理得：3b = 2 - 3ax由于题目中给出了初始条件f(4)=9，代入求解得：3b = 2 - 3a(4)3b = 2 - 12a将此结果代入3b = 2 - 3ax，得到：2 - 12a = 2 - 3ax12a = 3axa = 4代入3b = 2 - 12a，得到：3b = 2 - 12(4)3b = -46b = -46/3综上所述，我们得到f(x)的表达式为f(x) = 4x - 46/3。

将x代入f(x)，我们可以得到f(2019)的值：f(2019) = 4 * 2019 - 46/3= 8076 - 46/3因此，f(2019)的值为8076 - 46/3。

第二题：已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n = n^2 + 2n，若a_{12} = 18，求第1项a_1的值。

解析：由题意，我们知道等差数列{a_n}的前n项和S_n的公式为S_n = n^2 + 2n，即a_1 + a_2 + ... + a_n = n^2 + 2n。

根据等差数列的性质，我们知道第n项a_n的表达式为：a_n = a_1 + (n-1)d，其中d为等差数列的公差。

我们将已知条件代入：a_1 + a_2 + ... + a_{12} = 12^2 + 2*12a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + 11d) = 144 + 2412a_1 + 66d = 168另外，已知a_{12} = 18，代入a_n的表达式中得：a_{12} = a_1 + (12-1)d18 = a_1 + 11d通过解这个线性方程组，我们可以求得a_1和d的值。

高一函数奥数试题及答案

高一函数奥数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x^3-3x^2+1的零点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知函数f(x)=x^2-2x+2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值：A. 0B. 1C. 2D. 43. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-1D. x^2-3x二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为______。

2. 函数f(x)=3x-1在x=2处的切线斜率为______。

3. 函数y=x^3-6x^2+9x+1的极大值为______。

4. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为______。

三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的单调区间。

2. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的极值点。

3. 已知函数f(x)=x^4-4x^2+4，求f(x)的零点。

4. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

四、证明题（每题20分，共20分）1. 证明函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,1)上是单调递增的。

答案：一、选择题1. D2. C3. C4. A二、填空题1. 12. 73. 54. x=2三、解答题1. 函数f(x)=x^2-6x+8的单调递增区间为(3,+∞)，单调递减区间为(-∞,3)。

2. 函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1的极值点为x=1和x=2。

3. 函数f(x)=x^4-4x^2+4的零点为x=±√2。

4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值为12，最小值为0。

历年奥数试题及答案高中

历年奥数试题及答案高中一、选择题1. 若一个数列的前三项依次为1, 2, 3，且满足递推关系式an = an-1 + an-2 + an-3（n≥4），则数列的第四项为：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a, b, c为常数，且f(1) = 2, f(-1) = 0, f(0) = -1。

则f(x)的表达式为：A. x^2 + x - 1B. x^2 - x - 1C. -x^2 + x + 1D. -x^2 - x + 1答案：B二、填空题3. 一个圆的半径为r，其内接正六边形的边长为______。

答案：r4. 一个等差数列的前三项依次为2, 5, 8，求该数列的第10项。

答案：27三、解答题5. 已知函数f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x + 1，求f(x)的极值点。

答案：首先求导数f'(x) = 9x^2 - 4x - 5，令f'(x) = 0，解得x =1 或 x = -\frac{5}{9}。

将这两个值代入原函数，得到f(1) = -1，f(-\frac{5}{9}) = \frac{283}{729}。

因此，x = 1时为极大值点，x = -\frac{5}{9}时为极小值点。

6. 一个圆的直径为10，求其内切正三角形的边长。

答案：设圆的半径为r，则r = 5。

内切正三角形的边长等于圆的半径，因此边长为5。

四、证明题7. 证明：对于任意正整数n，等式(1+2+3+...+n)^2 = 1^3 + 2^3 +3^3 + ... + n^3成立。

答案：首先，我们知道等式左边是等差数列的和的平方，即(1+2+3+...+n)^2 = (n(n+1)/2)^2。

等式右边是等差数列的立方和，即1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3。

根据数学归纳法，可以证明对于任意正整数n，等式成立。

当n=1时，等式显然成立。

高一数学奥赛试题及答案

高一数学奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，求第10项的值。

A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A3. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, 2)D. (-3, -2)答案：A4. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R），且|z| = √5，求a^2 + b^2的值。

A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B5. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(3)的值。

A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。

A. 3√3B. 4√3C. 5√3D. 6√3答案：B二、填空题（每题5分，共30分）7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的表达式。

答案：f'(x) = 3x^2 - 6x8. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，求第5项的值。

答案：b5 = 4869. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，求直线l与x轴的交点坐标。

答案：(-1/2, 0)10. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。

答案：z* = 1 - i11. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(x)的最小值。

答案：f(x)_min = -412. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 5，b = 6，c = 7，求三角形ABC的外接圆半径。

答案：R = √61 / √3三、解答题（每题20分，共40分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4，求f(x)的极值点。

往年奥数试题及答案高中

往年奥数试题及答案高中一、选择题1. 若函数$ f(x) = ax^2 + bx + c $在$ x = 1 $处取得极值，则下列说法正确的是：A. $ a = 0 $B. $ b = 0 $C. $ a + b + c = 0 $D. $ a + b = 0 $答案：D2. 已知数列$ \{a_n\} $满足$ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = 2a_n + 1 $，求$ a_3 $的值。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：B二、填空题3. 若$ x^2 - 4x + 4 = 0 $，则方程$ x^2 - 4x + k = 0 $的根为整数的$ k $值是______。

答案：04. 一个等差数列的前三项分别为$ 3, 7, 11 $，求该数列的第10项。

答案：37三、解答题5. 已知函数$ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求证：该函数在$ x = 1 $处取得极小值。

证明：首先求导数$ f'(x) = 3x^2 - 3 $。

令$ f'(x) = 0 $，解得$ x = 1 $或$ x = -1 $。

由于$ f'(x) $在$ x = 1 $处由负变正，所以$ x = 1 $是函数的极小点。

又因为$ f''(x) = 6x $，在$ x = 1 $处$ f''(x) > 0 $，所以$ x = 1 $处确实是极小值点。

6. 已知圆$ C $的方程为$ x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0 $，求圆$ C $的半径。

解：将圆的方程化为标准形式$ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 $，对比系数可得圆心为$ (3, 4) $，半径$ r $为$ \sqrt{3^2 +4^2 - 24} = \sqrt{1} = 1 $。

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（13）已知向量a,b夹角为45，且?a?1,2a?b?；则b?_____(14) 设x,y满足约束条件：?x,y?0??x?y??1?x?y?3?；则z?x?2y的取值范围为（15）已知a，b，c为圆o上的三点，若___________． ao?1(ab?ac)2，则ab与ac的夹角为（16）已知a，b，c分别为?abc三个内角a，b，c的对边，(2?b)(sina?sinb)?(c?b)sinc，且a?2，则?abc面积的最大值为_____________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分8分）高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；(2)求射击一次，至少命中8环的概率；(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．18、（本小题满分8分）已知a,b,c分别为?abc三个内角a,b,c的对边，acoscsinc?b?c?0（1）求a （2）若a?2，?abc的面积为；求b,c。

19、（本小题满分8分）已知数列其中?为常数．（Ⅰ）证明：?an?的前n项和为sn，a1?1，an?0，anan?1??sn?1，an?2?an??；（Ⅱ）是否存在?，使得an为等差数列？并说明理由．【篇二：高一数学集合练习题及答案-经典】一、选择题（每题4分，共40分）1、下列四组对象，能构成集合的是（）a 某班所有高个子的学生b 著名的艺术家c 一切很大的书d 倒数等于它自身的实数2、集合{a，b，c }的真子集共有个（）a 7b8 c 9 d103、若{1，2}?a?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合a的个数是（）a.6b.7c.8d.94、若u={1，2，3，4}，m={1，2}，n={2，3}，则c u（m∪n）=（）a .{1，2，3} b. {2} c. {1，3，4} d. {4}x?y?15、方程组x?y??1的解集是( )a .{x=0,y=1} b. {0,1} c. {(0,1)} d. {(x,y)|x=0或y=1}6、以下六个关系式：0??0?，?0，0.3?q,0?n, ?a,bb,a? ，?x|x2?2?0,x?z?是空集中，错误的个数是（）a 4b 3c 2d 17、点的集合m＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( )a.第一象限内的点集b.第三象限内的点集c. 第一、第三象限内的点集d. 不在第二、第四象限内的点集8、设集合a=x?x?2，b=xx?a，若a?b，则a的取值范围是（）a aa?2baa?1 caa?1d aa?29、满足条件m?1?=1,2,3?的集合m的个数是（）a 1 b2c 3d 410、集合p??x|x?2k,k?z?，q??x|x?2k?1,k?z?，r??x|x?4k?1,k?z?，且a?p,b?q，则有（）a a?b?pb a?b?qca?b?r da?b不属于p、q、r中的任意一个二、填空题11、若a?{?2,2,3,4}，b?{x|x?t2,t?a}，用列举法表示12、集合a={x| x+x-6=0}, b={x| ax+1=0}, 若b?a，则a=__________ 213、设全集u=2,3,a?2a?3，a=?2,b，cua=?5，则a，b 214、集合a??x|x??3或x?3?，b??x|x?1或x?4?，a?b?____________.15、已知集合a={x|x?x?m?0}, 若a∩r=?，则实数m的取值范围是16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人.三、解答题2222218、已知二次函数f(x)=x?ax?b,a=xf(x)?2x?22?,试求 f(x)的解析式2219、已知集合a1,1?，b=xx?2ax?b?0，若b??，且a?b?a 求实数??a，b的值。

2220、设x,y?r，集合a?3,x?xy?y，b?1,x?xy?x?3，且a=b，求实数x，y 的值答案一、选择题（每题4分，共40分）二、填空题（每题3分，共18分）11、 ?4,9,16? 12、 ?,11,013、3214、 x|x??3或x?4 15 、 m1 16、4三、解答题（每题10分，共40分）18、由xf(x)?2x?22?得方程x?ax?b?2x有两个等根22 2根据韦达定理x1?x2?2?a?44x1x2?b?484 解得a??422 所以f（x）=x-42x+484 b?48419解：由a?b?a，b??得b??1?或??1?或?1,?1?当b??1?时，方程x?2ax?b?0有两个等根1，由韦达定理解得2a?1 b?1a??1 b?1a?0 b??12当b1?时，方程x?2ax?b?0有两个等根—1，由韦达定理解得当b??1,?1?时，方程x?2ax?b?0有两个根—1、1，由韦达定理解得2x?3x??120、由a=b得解得或2y??2y??6x?xy?x?3?3x2?xy?y?1,【篇三：高中数学经典50题(附答案)】求下列函数的值域：解法2 令t＝sinx，则f(t)＝－t＋t＋1，∵ |sinx|≤1,∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．2本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m万千米和4m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32和3，求该慧星与地球的最近距离。

x2y2解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点f(?c,0)处，椭圆的方程为2?2?1ab（图见教材p132页例1）。

时，由椭圆的几何意义可知，彗星a只312能满足?xfa?(或?xfa/?)。

作ab?ox于b，则fb?fa?m3323当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为ca2m?(?c)??ac故由椭圆第二定义可知得?24mc(ac2m)ac33c213?m,?a?2c.代入第一式得m?(4c?c)?c, a32222?c?m.?a?c?c?m.332答：彗星与地球的最近距离为m万千米。

3两式相减得m?说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a?c，另一个是a?c.（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。

另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

3. a，b，c是我方三个炮兵阵地，a在b正东6km，c在b正北偏西30，相距4km，p为敌炮阵地，某时刻a处发现敌炮阵地的某种信号，由于b，c两地比a距p地远，因此4s后，b，c才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，a若炮击p地，求炮击的方位角。