总结导数的应用中常见四类问题

导数的应用中常见四类问题导析

导数的引入为解决有关函数问题提供了广阔的思路，利用导数解决一些实际问题是函数内容的继续延伸，使解决问题的方法变得简化，逐渐成为高考的一热点，下面对导数在实际应用四类题型作简单的分析：

一、与容积（体积）有关的实际问题：

例1、如图所示，在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，则箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积式多少？

分析：可设箱高为xcm ，然后表达体积关于x 的函数，再求最值。

解：设箱的高为xcm ，则箱底边长为(602)x cm -，则箱子容积V 关于箱高x 的函数关系

式为：2()(62)V x x x =-⋅，(030)x <<

∴2()124803600V x x x '=-+，

令()0V x '=，得10x =或30x =（舍去），

当010x <<时，()0V x '>；当1030x <<时，()0V x '<，

∴当10x =时，()V x 取得最大值。

此时，箱底边长为6021040()cm -⨯=，箱子的容积为2340101600()cm ⨯=，

即当箱子的高为10cm ，箱底边长为40cm 时，箱子容积最大，最大容积为31600()cm 。 点评：在实际问题中，若能判定函数在定义域开区间内有唯一的极值点时，那么可以判定这个极值点的函数值就是最大（小）值。

二、与生产利润有关的实际问题：

例2、某工厂生产某种产品，已知该产品的年生产量()x t 与每吨产品的价格P （元/吨）之间的函数关系式为21242005

P x =-，且生产()x t 的成本为5000020T x =+（元），问该厂每年生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润为多少？

分析：解本题的关键是利用“利润=收入－成本”这一等量关系，建立目标函数，注意确定

函数定义域，然后利用导数求最值。

解：设每年生产()x t 时的利润为()f x ，

则2311()(24200)(50000200)240005000055f x x x x x x =-

-+=-+-，(0)x ≥ 令23()2400005

f x x '=-+=， 解得12200,200x x ==-（舍去），

∵()f x 在[)0,+∞内只有一个点1200x =，使()0f x '=，且(200)0f >，

∴当200x =时，函数有最大值(200)3150000f =（元），

即该厂每年生产200吨产品才能利润达到最大，最大利润3150000元。

点评：解决本题的关键在于设出变量，建立函数关系式，确定函数的定义域，在利用导数求

解函数的最值，体现了导数在函数中的应用。

三、与建筑用料有关的实际应用：

例3、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为,x y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为2

8m ，问,x y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001m ）

分析：解答本题可先利用面积为28m ，找出,x y 的关系，再列用料的函数关系式求最值。 解：由题意，得1822x xy x +⋅=，∴2

8844

x x y x x -==

-(0x <<，

于是框架用料长度为316222)(2l x y x x =++⨯=++， 令0l '=

，即231602x

=，

解得1288x x =-=（舍去），

当08x <<-0l '<

；当8x <<时，0l '>，

∴当18x =-l

取得最小值，此时，18 2.343, 2.828x y =-≈≈， 即当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省。

点评：本题中有两个变量，应注意利用题目中的条件寻求两个变量的关键进行消元，变为只含一个变量的函数，消元过程中应特别注意挖掘变量的范围及实际问题中变量的范围。

四、与现实相关的实际问题：

例4、两县城A 和B 相聚20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在

的中点时，对称A 和城B 的总影响度为0.0065.

（1）将y 表示成x 的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理y x

厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离，若不存在，说明理由。

分析：根据题意，利用三角形勾股定理建立函数关系，利用导数求最值

解：（1）如右图,由题意知AC ⊥BC,22400BC x =-,224(020)400k y x x x

=+<<-， 当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时,垃圾处理厂到A 、B 的距离都相等，

且为

，所以有0.065=， 解得9k =， ∴2249(020)400y x x x

=+<<-

（2）∵'

'2249()400y x x =+-=322818(400)x x x -+-=423221064001280000(400)x x x x +--， 令'0y >，得426401280000x x +->，解得2160x ≥

，即x ≥，

又因为020x <<，所以函数22

49400y x x =+-

在x ∈上是减函数，

在x ∈

上是增函数，∴当x =时，y 取得最小值，

所以在弧AB 上存在一点，且此点到城市A

的距离为，使建在此处的垃圾 处理厂对城市A 、B 的总影响度最小.

点评：本题以实际应用题为背景,从实际问题中抽象出数学模型,在第(2)问中,求函数取最大值时的x 的值时,又考查了利用导数研究函数的单调性、最值以及运算能力.