巧妙求和(一)

巧妙求和一、知识要点在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1【例题1】：求1+2+3+4+……+99+100的和1、计算①1+2+3+4+5+……+199+200 ②1+3+5+7+9+……+97+992、1000-1-2-3-4-……-403、7000-2-4-6-……-100【例题2】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习2：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2. 2.有一个等差数列：2.5，8，11 (101)这个等差数列共有多少项？这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题3】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习3：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题4】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习4：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60【例题5】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习5：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+...+195+200 （3）9+18+27+36+...+261+270 【例题6】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习6：用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+...+1999）（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)【例题7】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习7：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题8】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？练习8：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？3.有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？【例题9】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？练习9：1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？【例题10】：100以内除以4而没有余数的数一共有几个？它们的和是多少？练习10：1、300以内除以6没有余数的数共有（）个，它们的和是（）。

2、200以内除以5余2的所有数的和是（）。

【例题11】：求除以7而没有余数的所有三位数的和是多少？练习11：1、除以6而没有余数的所有三位数的和是（）。

2、大于1500而小于2000的所有除以5没有余数的数的和是（）。

【例题12】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。

练习12：1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。

2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。

3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。

.【例题13】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。

练习13：1.求1～308连续自然数的全部数字之和。

2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。

3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。

随课练习1)1+2+3+4+……+50 2+4+6+8+……+120 1500-1-2-3-……-402)1+5+9+13+……+441 8000-2-7-12-17-……-1173)等差数列 1、5、9、13……的第15项是（）。

4)等差数列1、5、9、13、17……的第50项是（），第100项是（）。

5)小芳做游戏，她在地上第一行摆小棒3根，第二行摆小棒8根，第三行摆小棒13根……依次类推，那么第20行要摆小棒（）根，第30行她要摆小棒（）根。

6)等差数列中，如ａ1=4，ａ2=6，ａ3=8，ａ4=10，……则ａ20=（），ａ100=（）。

7)等差数列1、3、5、7……207、209各项的和是（）。

8)所有三位数的和是（）。

9)500以内所有除以7余2的数的和是（）。

10)1至120以内除以4没有余数的所有数之和是（）。

11)等差数列5、8、11……，62在第（）项，前60项的和是（）。

12)某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。

则这个剧院共有座位（）个。

13)小文从1月1日开始写大字，第一天写4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，1月30日他写大字91个。

则小文每天比前一天多写（）个大字。

14)已知数到5、9、13、17、21……①这个数列中第50项是（）；②397是这个数列的第（）项；③这个数列的前100个数的和是（）。

15)等差数列1、4、7、10、13……，共有80项，其中所有奇数项的数的和是（）。

16)1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-10117)（1994+1992+1990+……+4+2）-（1+3+5+7+……+1991+1993）18)从300中第一次减去1，第二次减去2，第三次减去3……，这样连续减去（）次以后还剩下129。

19)一个七层的书架上放了777本书，已知上边一层比下边一层少放7本书。

则最上面一层放了（）本书。

20)1至100这个自然数中，所有不能被9整除的数的和是（）。

21)在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，则这7个数的和是（）。

22)7、100个连续自然数的和是8250，去掉这100个数中的第奇数个数（第1个，第2个第3个……第99个），剩下的50个数相加的和是（）。

23)前37个自然数的和加上1998，所得的结果等于另外37个连续自然数的和，这37个自然数中最小的是（）。

24)一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的数量互不相同，那么 100个桃子最多够这只猴子吃（）天。

25)李先生到某公司应聘，该公司前3个月是试用期，试用期间每月工资600元，试用期结束后的第一个月工资800元，以后每月工资比上一个月多50元，李先生第一年的收入是（）元。

26)从1开始的29个自然数的和加上2001，所得的结果等于另外29个连续自然数的和，这29个自然数中，最小的是（）。

27)用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果多个接头处都重叠1厘米，那么每张纸条长（）厘米。

28)从101到309包括这两个数的所有三位数，且只有十位上是0的数的和是（）。

29)小华将50多个同样的玻璃球放入一排同样的盒子里，其中只有一个没有装，然后他就去玩了。

小刚从每个有玻璃球的盒子里，各拿了一个放在空盒子里，又把盒子重新排好。

小华回家仔细一看，没有发现有人动过这个盒子和玻璃球。

则共有（）个盒子，（）个玻璃球。

30)从1开始的几个连续自然数，如果去掉其中的一个，其余各数相加，然后再减去去掉的那个数，恰好等于100。

这个去掉的数是（），最大的一个数是（）。

31)公路上每隔2千米有一个仓库，每个仓库存有10吨货物，现要把所有货物全部运送到距第10个仓库20千米的码头上，已知每吨货运1千米的运费是1元，则10个仓库的总运费是( )元。

32)从20起往后数30个连续的偶数，则最后一个偶数是（），这20个偶数的和是（）。

33)有一串数1、7、13、19、25……这列数的第1998个数是（）34)按1、4、7、10、13、……排列的一列数中，第51个数是（）。

35)王雪读一本故事书，第一天读了8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了32页正好读完。

她一共读了（）天。

36)1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+……-2-1=（）37)1996-5-12-19-26-……-145-152=（）38)由小到大排列的8个整数，后一个数都比前一个数多5，这8个数相加的和正好是1996。

排到最后的那个数是（）。

39)在等差数列6、13、20、27……中，从左向右数第（）个数是1994。

40)1992-1989+1986-1983+……+12-9+8-3=（）41)计算：15-5+25-10+35-15+45-20+55-25+65-30+75-35+85-40+95-45+105-50+115-55+125-60=（）42)1994+1993-1992-1991+1990+1989-1988-1987+…10+9-8-7+6+5-4-3+2+1=（）43)“重阳节”那天，延龄茶座来了25位老人品茶。

他们的年龄恰好是25个连续的自然数。

两年以后这25位老人的年龄和正好是2000岁。

则其中年龄最大的老人今年（）岁。

44)一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位？45)（1）11+12+13……+998+999+1000（2）2+6+3+12+4+18+5+24+6+3046)求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几？47)求等差数列46，52，58……172共有多少项？48)求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项？49)求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几？在这个数列中，2000是第几项？50)从35开始往后面数18个奇数（单数），最后一个奇数是多少？51)已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这个等差数列的第10项是多少？52)100+200+300+ (2100)53)81+79+……+17+15+1354)有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次？55)请用被4除余数是1的所有两位数组成一个等差数列。