近世代数与尺规作图世界名题

2、伽罗瓦与伽罗瓦理论
伽罗瓦(Galois)
1852 年起，有人首先读懂了伽罗瓦的论文并 弄清了他的思想 1894 年，狄德金 (Dedekind, 德国代数和数论专 家)对伽罗瓦理论作了系统的阐述
1948年，阿丁(Artin)所写的关于伽罗瓦理论的 讲义成为后人的样版
19世纪后期，人们才认识到伽罗瓦工作对于代数学划时代 的影响
二、尺规作图解析判别法
3、在平面几何作图题里，总可以把一己知线段当 做“单位长度线段”，即长度为 1 ，于是利用 尺规作图，很容易将该线段 n 等分，从而求得 长为 1 n 的线段，再将此线段m倍，又可得到 长为 m n的线段。总之，一切以有理数为长度 的线段都可以作出来。我们把点的坐标或线段 长度都简称为几何量
开平方”五则运算得出的数量，都可以用尺规 作出以这些数量为长度的线段，这些数量就可 以叫做“可作图几何量”。
二、尺规作图解析判别法
尺规作图题的解析判别法：
要判别一个平面几何上的尺规作题 是否可作，只要分析所要确定的几何量
是否为“可作图几何量” 就行了
二、尺规作图解析判别法
三个尺规作图难题的代数化
1、三分角问题
Байду номын сангаас
设己知角的三分之一为A，则已知角为3A，
cos3 A 4cos A 3cos A 令 2cos3 A m,2cos A x 得 x3 3x m 0
取余弦
3
由于x并不能表示成可作图几何量，故三分 角用尺规作图不可能
二、尺规作图解析判别法
三个尺规作图难题的代数化
近世代数与尺规作图世界名题
黄福生
近世代数与尺规作图世界名题
古代尺规作图三大难题的故事 尺规作图解析判别法 伽罗瓦(Galois)与近世代数 代数发展简史
一、古代尺规作图三大难题的故事
三分角问题 倍立方问题 圆化方问题
一、古代尺规作图三大难题的故事
1、三分角问题 任意给定一个角，作图工具仅限于直尺和圆 规，问能否将这个角三等分 ★这是历史最为长久、流传最为广泛的一个几何
2、伽罗瓦与伽罗瓦理论
伽罗瓦理论的基本思想
关于域的问题可以转化为域的自同构形
成的群的问题来进行讨论
3、三个尺规作图难题的代数证明
因用到域论和Galois理论的较 多知识，故略去
四、代数发展简史
1、 二次方程
★方程式：
ax bx c 0
2
★求根公式：
★发展阶段：公元前20世纪------公
四、代数发展简史
3、四次方程
★方程式： x
4
ax bx cx d 0
3 2
★求根公式：略 ★L.Ferrarri
(Italian,1522-1565)
四、代数发展简史
4、五次及五次以上方程
★方程式： x
★N.Abel
n
a1x
n1

an1x an 0, n 5
★ G.Cardano (Italian,1501-1576), N.Tartaglia (Italian,1499-1577) ，
卡丹Cardano
Cardano（1501～1576）生于意 大利 Pavia，卒於罗马，是意大 利米兰的学者。现在我们称三次 方程的求根公式叫作「Cardano 公式」，这公式其实不是 Cardano 发现的，而是他在1539 年从别人那里骗到的，把它写入 《Ars Magna》（大衍术）书中。 他有多方面的才干，曾写过一本 机率对局的书，这是有关机率论 最早的一本书。他性喜赌博，因 而对机率产生了兴趣
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
近世代数 研究各类代数系统（带运算或关系 的集合）的结构
2、伽罗瓦与伽罗瓦理论 伽罗瓦(Galois)
法国巴黎附近一座小镇镇长的儿子
1828 年， 17 岁时把论文“关于五次方程的代数 解 法 问 题 ” 提 交 法 兰 西 科 学 院 (1828, 柯 西;1830,富里叶;1831,泊松)
x r
2
2
不妨设r=1，则圆化方问题转化为用直尺和圆规作
一条线段其长为 x
，这也是做不到的。
三、伽罗瓦(Galois)与近世代数
古典代数、五次方程的根式求解、近 世代数 伽罗瓦与伽罗瓦理论 三个尺规作图难题的代数证明
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
古典代数的中心问题 ：解代数方程和方 程组 有效工具 ：矩阵论和线性代数学 四次方程的一般求解公式 ：1545年 L.Ferrarri (Italian,1522-1565)
2、倍立方问题
设原立方体的边长为a，新立方体的边长为x
2a 不妨设a=1，则问题变为三次方程 x3 2 的求解
则倍立方问题表示为代数方程 x3 问题，然而这也是不可能的
3
二、尺规作图解析判别法
三个尺规作图难题的代数化
3、圆化方问题
设正方形的边长为x，己知圆的半径为r，则圆化
方问题即可表示为代数方程
狄德金
尤利乌斯· 威廉· 理查德· 戴德金 （Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916） 又译狄德金，最伟大的德国 数学家、理论家和教育家， 近代抽象数学的先驱。据 《辞海》，戴德金还是格丁 根大学哲学博士、柏林科学 院院士。
阿丁(Artin)
Artin(1898～1962)奥地利数学家。 阿丁前期工作主要是在类域论、实 域理论 、抽象代数等方面 。在此 期间 ，他和E.诺特以及他们的学派 极大地推动了抽象代数学的发展。 后期工作主要是在环论、伽罗瓦理 论、代数数论中的类数问题及拓扑 学的辫子理论方面。 著作有《类 域论》和《阿廷文集》。
★ 古希腊 著名学者阿纳克萨戈勒斯的监狱
囚室阳光联想
二、尺规作图解析判别法
1、每一个平面作图题，我们都可以放到坐 标平面上来考虑，事实上，我们只要在平 面上引进坐标系就行了
二、尺规作图解析判别法
2、因平面几何作图题总是要求人们去作出 一些线段，或定出一些点的位置，因为点 的位置都可以用坐标来确定。所以，归根 结底，作图题无非是要求人们去作出具有 某种长度的线段，当然，每两个坐标点联 结起来也就确定一条线段，因此可以说， 几何作图归结为要求定出某些坐标点
作图问题，两千多年来，不断有人在这个题目 上花费时间，甚至毕生精力。
一、古代尺规作图三大难题的故事
2、倍立方问题 要求作一个立方体，使其体积等于己知 立方体体积的两倍
★倍立方问题又以“黛利亚神问题”相传
一、古代尺规作图三大难题的故事
3、圆化方问题 要求作一个正方形，使其面积等于一个 己知圆的面积
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
寻找五次方程的根式求解公式
P.Ruffini
Lagrange的学生意大利人P.Ruffini证明了一
般n次方程当 n 5 时不能用根式解。然而他是在
“方程的解的根式表达式中，每一根号下的式子
都是方程的诸根以及单位根的有理函数”这一假
设下证明的 。
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数 寻找五次方程的根式求解公式
（1）从1545年以来近300年的努力与失败
（2）1830年才由天才的法国数学家伽罗瓦
完全解决
（3）这中间应特别提到Lagrange，
P.Ruffini(1765-1822)，
N.H.Abel(1802-1829)等人的名字。
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
二、尺规作图解析判别法 4、设r为任一正有理数，则以 r为长度的 线段也可以作出来。事实上，如图，利用 1+r 为直径作圆，从线段连接点 P 引垂线 交圆于Q，则PQ=
r
Q
r
r
P O
二、尺规作图解析判别法
5、反复利用上述手续，可见长度为
4
r, r,
8
的线段也都可以作出来 。
★只要是由有理数经过有限次“加、减、乘、除、
b b 4ac x 2a
2
元后12世纪
四、代数发展简史
2、三次方程
★方程式： ★求根公式：
x ax bx c 0
3 2
a x 3
3 3 3
2p
2
3 q 4 p q 27c 27c
3 2

3
q 4 p q 27c 27c 54
刘维尔(Joseph Liouville)
法国数学家,（1809—1882），刘 维尔在1836年1月创办《纯粹与应 用数学杂志》(Journal de matématiques pures et appli－ quées)，并亲自主持了前39卷的编 辑出版工作(第1辑，1—20卷， 1836—1855年；第2辑，1—19卷， 1856—1874年)。该杂志刊登纯粹、 应用数学领域所有分支的论文，记 录了19世纪中期的40年里数学活动 的一部分重要内容，被后人称为 《刘维尔杂志》(Liou－ville′s Journal)。
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
寻找五次方程的根式求解公式
Galois
年青而有才华的数学家伽罗瓦深刻地阐明了
用根式解代数方程的理论基础。他的天才想法是
研究方程根之间的置换，由此产生了群的概念，
这使得他们工作的意义远远超出了解代数方程的
问题范围，而成为群论以致于近世代数的开拓者。
伽罗华
（Évariste Galois，公元 1811年~公元1832年）是法国对函 数论、方程式论和数论作出重要贡 献的数学家，他的工作为群论（一 个他引进的名词）奠定了基础；在 父亲自杀后，他放弃投身于数学生 涯，注册担任辅导教师，结果因撰 写反君主制的文章而被开除，且因 信仰共和体制而两次下狱。伽罗华 死于一次决斗，可能是被保皇派或 警探所激怒而致，时年21岁。他被 公认为数学史上两个最具浪漫主义 色彩的人物之一。
考入巴黎高等师范学校 因参加政治活动而两次入狱并被学校开除
2、伽罗瓦与伽罗瓦理论 伽罗瓦(Galois)
1832年 4 月出狱后不久在与人决斗时负 重伤，5月31日上午10时去世 14 年 后 ， 1846 年 法 国 数 学 家 刘 维 尔 (Liouville)从伽罗瓦的弟弟手中收集到 一些尚未发表的手稿，陆续发表在自已创 办并主编的《理论数学与应用数学》杂志 上
寻找五次方程的根式求解公式
Lagrange
1770年法国数学家拉格朗日才开始意识到一般五
次方程这样的求解公式可能是不存在的 。他分析
了己知的解方程的方法，并指出可用一个统一的
方法去代替这些不同的解法，在讨论中他引入置
换、置换的乘法、置换群的概念。
约瑟夫· 拉格朗日
约瑟夫· 拉格朗日，全名约瑟夫· 路 易斯· 拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法国数 学家、物理学家。1736年1月25 日生于意大利都灵，1813年4月 10日卒于巴黎。他在数学、力学 和天文学三个学科领域中都有历 史性的贡献，其中尤以数学方面 的成就最为突出。
(Norwegian,1802-1829)
五次以上一般方程不能用根式求解
★E.Galois
(French,1811-1832)
一个方程可用根式求解的条件
四、代数发展简史
5、线性方程组
★最早出现：巴比伦(公元前1900年)
★消元法：中国(公元前200年)---三元线性方程组 ★系统研究的开端：Leibnitz(1693) ★Cramer法则(1750) ★Gauss消元法(1800)
★Gauss-Jordan消元法(1888)
四、代数发展简史
6、行列式
★1693：Leibnitz解线性方程组时发现了行列式
寻找五次方程的根式求解公式
N.H.Abel
后来Abel证明了上面这一假设是成立的，并在
1824年，22岁的挪威大学生阿贝尔再一次独立
地得到了Ruffini的证明，至此就完整地证明了一
般n次方程当n 5 时不能用根式解。不幸，阿贝
尔于1829年4月6日早逝于结核病。
阿贝尔
翻开近代数学的教科书和专门著作， 阿贝尔这个名字是屡见不鲜的：阿贝 尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方 程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔 部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝 尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。 只有很少几个数学家能使自己的名字 同近代数学中这么多的概念和定理联 系在一起。然而这位卓越的数学家却 是一个命途多舛的早夭者，只活了短 短的27年。尤其可悲的是，在他生前， 社会并没有给他的才能和成果予以公 正的认可。