近世代数与尺规作图世界名题
三大尺规作图问题
引人入胜的千古难题——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。
尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。
直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。
公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。
于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。
数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。
尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。
所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。
于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。
但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。
于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。
正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。
近世代数习题解答(张禾瑞)三章
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载近世代数习题解答(张禾瑞)三章地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容近世代数习题解答第三章环与域1 加群、环的定义1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.证(ⅰ)若S是一个子群则是S的零元,即对的零元,即(ⅱ)若今证是子群由对加法是闭的,适合结合律,由,而且得再证另一个充要条件:若是子群,反之故2. ,加法和乘法由以下两个表给定:证明,作成一个环证对加法和乘法的闭的.对加法来说,由习题6,和阶是4的非循环群同构,且为交换群.乘法适合结合律事实上.当或,的两端显然均为.当或x=c,的两端显然均为.这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.两个分配律都成立事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样,只看或以及或就可以了.至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看或 (可省略的情形)的情形,此时两端均为剩下的情形就只有R作成一个环.2 交换律、单位元、零因子、整环1. 证明二项式定理在交换环中成立.证用数学归纳法证明.当时,显然成立.假定时是成立的:看的情形(因为)即二项式定理在交换环中成立.2. 假定一个环对于加法来说作成一个循环群,证明是交换环. 证设是生成元则的元可以写成(整数)证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其他条件的结果 (利用)证单位元是, 是环的任意二元,找一个我们还没有提到过的有零因子的环.证令是阶为的循环加群规定乘法:而则显然为环.阶为2 有而但即为零因子或者为矩阵环.证明由所有实数 (整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说是一个整环.证令整数(ⅰ) 是加群适合结合律,交换律自不待言.零元的负元(ⅱ)乘法适合结合律,交换律，并满足分配律.(ⅲ)单位元(ⅲ) R没有零因子，任二实数或3 除、环、域1. {所有复数是有理数}证明对于普通加法和乘法来说是一个域.证和上节习题5同样方法可证得F是一个整环.并且(ⅰ)有(ⅱ) 即中至少一个因而有,使故为域2. {所有实数是有理数}证明对于普通加法和乘法来说是一个域.证只证明有逆元存在.则中至少有一个 ,我们说不然的话,若则矛盾)但不是有理数既然则的逆为证明例3的乘法适合结合律.证又,5. 验证,四元数除环的任意元 ,这里是实数,可以写成的形式.证4 无零因子环的特征1. 假定是一个有四个元的域,证明.()的特征是2;()的或1的两个元都适合方程证 () 设的特征为则的(加)群的非零元的阶所 (是群的阶)但要求是素数,() 设由于,所以加法必然是,而故有又构成乘群,所以乘法必然是(否则 )故有这样, 显然适合2. 假定是模的一个剩余类.证明,若同互素,那么所有的书都同互素(这时我们说同互素).证设且则由于故有 ,且有因为所以3. 证明, 所有同互素的模的剩余类对于剩余类的乘法来说作成一个群(同互素的剩余类的个数普通用符号来表示,并且把它叫做由拉函数)证而同互素}显然非空,因为(ⅰ)则又有(ⅱ)显然适合结合律.(ⅲ)因为有限,所以的阶有限.若即由此可得即有另一个消去律同样可证成立.作成一个群4. 证明,若是, 那么(费马定理)证则而的阶是的阶的一个因子因此即5 子环、环的同态1. 证明,一个环的中心是一个交换子环.证设是环的中心.显然，是环的任意元是子环,至于是交换环那是明显的.2. 证明, 一个除环的中心是个域.证设!是除环！是中心由上题知是的交换子环显然,即包含非零元,同时这个非零元是的单位元.即!是一个域3. 证明, 有理数域是所有复数是有理数）作成的域的唯一的真子域. 证有理数域是的真子域.设!是的一个子域,则(因为是最小数域)若而则这就是说,是的唯一真子域.4. 证明, 有且只有两自同构映射.证有理数显然变为其自己.假定则由或这就证明完毕.当然还可以详细一些:确是的两个自同构映射.现在证明只有这两个.若(有理数变为其自己)则由若是有理数,在就出现矛盾,所以有因而在就是说, 只能或i5. 表示模3的剩余类所作成的集合.找出加群的所有自同构映射,这找出域!的所有自同构映射.证 1）对加群的自同构映射自同构映射必须保持!故有2）对域的自同构映射.自同构映射必须保持，所有只有6. 令是四元数除环, 是子集{一切这里阿是实数,显然与实数域同构.令是把中换成后所得集合;替规定代数运算.使,分别用表示的元 ,那么的元可以写成是实数）的形式(参看习题). 验证.，证 1）对来说显然2）{一切实数{一切（实数一切复数对是不属于的的元.一切规定由于与的补足集合没有共同元,容易验证是与间的一一映射.规定的两个唤的和等于它们的逆象的和的象.的两个元的积等于它们的逆象的积的象.首先,这样规定法则确是的两个代数运算.其次,对于这两个代数运算以及的两个代数运算来说在之下（3）由习题5知这里实数这是因为令（4）同样6 多项式环1. 证明, 假定是一个整环,那么上的一个多项式环也是一个整环.证 !是交换环交换环,有单位元是的单位元,没有零因子没有零因子事实上，则因为没有零因子,所以因而这样是整环2．假定是模7的剩余类环,在里把乘积计算出来解原式=3. 证明:(ⅰ)(ⅱ) 若是上的无关未定元,那么每一个都是上的未定元. 证（ⅰ）{一切一切由于因而（ⅱ）设即因为是上的无关未定元,所以即是上的未定元4. 证明:(ⅰ) 若是和上的两组无关未定元,那么(ⅱ) !上的一元多项式环能与它的一个真子环同构.证(ⅰ)根据本节定理3容易验证这样（ⅱ）令一切显然但不然的话这与是上未定元矛盾.所以是上未定元显然故有（ⅰ）这就是说,是的真子环,且此真子环与同构.7 理想1. 假定是偶数环,证明,所有整数是的一个理想,等式!对不对? 证是的一个理想.等式不对这是因为没有单位元,具体的说但2. 假定是整数环,证明证是整数环,显然又3. 假定例3的是有理数域,证明,这时是一个主理想.证因为2与互素,所以存在使。
近世代数参考答案
近世代数参考答案安徽大学2008－2009学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）参考答案一、名词解释题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、对，显然模n 的同余关系满足以下条件：1）对Z 中的任意元素a 都有(mod )a a n ≡；（反身性）2）如果(mod )a b n ≡，必有(mod )b a n ≡；（对称性）3）如果(mod )a b n ≡，(mod )b c n ≡，必有(mod )a c n ≡（传递性）则这个关系是的一个等价关系．2、错，因为2Z ∈，在Z 中没有逆元．3、错，因为由于[]Z x x Z <>?，而整数环Z 不是一个域．4、错，在同态满映下，正规子群的象是正规子群．5、对，[]F x 是一个有单位元的整环，且1）存在?：()()f x f x →的次数，是非零多项式到非负整数集的一个映射；2）在[]F x 中任取()f x 及()0g x ≠，存在[]F x 上的多项式()q x ，()r x 满足 ()()()(f x g x q x r x =+，其中()0r x =或()r x 的次数<()g x 的次数．因此[]F x 作成一个欧式环．二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）1、στ=(2453)，2τσ=(2346)，1τστ-=(256413)．2、12Z 的所有的可逆元为1,5,7,11；n Z 的子环共有()T n 个，故12Z 共有6个子环，它们分别是{}10S =，{}20,6S =，{}30,4,8S =，{}40,3,6,9S =，{}50,2,4,6,8,10S =和12Z 本身．3、在8Z 中：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+5432[4][4][3][5][3][6]x x x x x =-+-+-．三、举例题（本题共3小题，1,2题各3分，第3题4分，共10分）1、在整数环上的一元多项式[]Z x 中，由于[]Z x x Z <>?，整数环Z 是一个整环而不是一个域，故主理想x <>是整数环的一个素理想而不是极大理想．2、22,,,a b R Z a b c d Z c d ==∈?? ?对普通的矩阵的加法和乘法作成一个环，R 有单位元1001?? ，000a S a Z =∈?? ?对普通的矩阵的加法和乘法作成R 的一个子环，S 有单位元1000?? ???，二单位元不相等． 3、Klein 四元群4K 是四次对称群4S 的一个正规子群，{}4(1),(12)(34)B =是4K 的一个正规子群（4K 是一个交换群），但4B 不是4S 的正规子群（44(13)(13)B B ≠）．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）1、证明：1）设G 是一个有限群，a 是G 的任意一个阶大于2的元素，则显然1a a -≠（否则将有2a e =，与a 阶大于2矛盾！），但a 与1a -有相同的阶，即1a -的阶也是大于2．又设b 也是G 的一个阶大于2的元素，且1,b a b a -≠≠，则容易得到：111,b a b a ---≠≠，这就是说，G 中阶大于2的元素总是成对出现的，由于G 是一个有限群，故中的阶大于2的元素个数必为偶数．2）设G 是一个偶数阶的有限群，由于单位元是阶为1的惟一元素，又由1）知G 中的阶大于2的元素个数一定是偶数，这样阶等于2的元素的个数一定是奇数．2、证明：设H 是G 的一个子群，任取1axa -，1aya -1aHa -∈（,x y H ∈），则由于H 是一个子群，故1xy H -∈，这样11111()()a x a a y a a x y a a H a ------=∈，从而1aHa G -≤．又由于易证1:x axa ?- 是H 到1aHa -的一个双射，且1()()x y a x y a ?-=11()()axa axa --=()()x y ??= 故?是H 到1aHa -的一个同构映射，从而1aHa H -?．2、证明：首先易证集合2,a b R a b F b a =∈?? ?数域关于普通的矩阵的加法作成一个加群，其零元为零矩阵，负元为负矩阵．其次，对22,a b c d R b a dc ∈ ? ，其中,,,a b cd F ∈，我们有2222a b c d c d a b b a d c d c b a = 2222ac bd ad bc R bc ad bd ac ++??=∈ ?++??, 即普通矩阵的乘法是R 上的一个代数运算．且有 222a b c d e f b a d c f e ? 222a b c d e f b a d c f e = ? ?，即R 对于普通的矩阵的乘法作成一个半群．另外，1001R ∈，使得对2a b R b a ∈ ，1022100101a b a b b a b a = ??? ???2a b b a ??= ???，综上所述，2,a b R a b F b a =∈?? ?数域关于普通的矩阵的加法和乘法作成一个有单位元的交换环．4、证明：1）若R 的每个非零元素的阶都是无限，命题成立；若R 中有某个元素0a ≠的阶为n ，则在R 中任取0b ≠，有()()00na nb na b b ===．但0a ≠，且R 无零因子，故nb 0=，b n ≤．设b m =，则()()0ma b a mb ==，0ma =，故n m ．从而n m b ≤=．因此b n =，即R 中每个非零元素的阶都是n ．2）设char R 1n =>，且12n n n =， 1i n n <<．则在R 中任取0a ≠，由于R 中每个非零元素的阶都是n ，故10na ≠，20n a ≠．但21212()()()n a n a n n a =20na == 这与R 中无零因子环矛盾，故n 必为素数．5、证明：1）任取,x y G ∈，则由于G H 与G K 都是交换群，故x y H y x H =，xyK yxK =．于是()xy H K xyH xyK = yxH yxK = ()yx H K = ，即GH K 也是一个交换群． 2）任取h H ∈，k K ∈，由于,H K 都是群G 的正规子群，故1111()hkh k h kh k H ----=∈，1111()hkh k hkh k K ----=∈，从而{}11hkh k H K e --∈= ，故11hkh k e --=，即得到hk kh =，得证！6、证明：(1)设N 是R 的诣零理想，若R 是诣零的，下证R N 也是诣零的．对R a N N ?+∈，因为R 是诣零的，故存在n Z +∈，使得0n a =，从而()0n n a N a N N N +=+=+=，即R N 也是诣零的．反之，若R N 是诣零的，下面说明R 也是诣零的．对a R ?∈，因R N 是诣零的，故存在m Z +∈，使得()m m a N a N N +=+=，即m a N ∈，又N 是R 的诣零理想，故存在n Z +∈，使得()0m n mn a a ==，从而R 是诣零的．(2) 若,A B 是环R 的诣零理想，则A B ?是R 的诣零理想，且A B ?分别是,A B 的诣零理想．由环第二同构定理知A B B A A B +??，由(1)知，B A B ?是诣零的，从而A B A +也是诣零的．而A 是R 的诣零理想，也是A B +的诣零理想，因此由(1)知A B +也是R 的诣零理想，得证．安徽大学2009－2010学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）参考答案一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）1、设:X Y ?→为一个映射，A 是X 的一个非空子集，则1(())AA ??-=．答：不正确．只有当?为单射时等号才成立，一般的1(())A A ??-?．2、整数集Z 对于普通的数的乘法作成一个半群．答：正确．利用半群的定义易验证．3、整数环的全部素理想是由所有素数p 生成的主理想p <>和自己本身．答：不正确．由于整数环无零因子，故零理想也是它的素理想．4、若,H G K G ≤≤，则HK G ≤．答：不正确．两个子群的乘积是原来群的子群充要条件是它们相乘时可交换．5、域是一个欧氏环．答：正确。
尺规作图著名问题
尺规作图著名问题尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。
其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：■三等分角问题：三等分一个任意角；■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。
直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。
而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图作品尺规作图不能问题。
还有另外两个著名问题：■正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形。
·只使用直尺和圆规，作正六边形。
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。
■四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。
编辑本段相关延伸用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图■只用直尺及生锈圆规作正五边形■生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB = BC = CA 尺规作图。
■已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点。
■尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达。
10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。
2024学年全国中考数学必刷好题(通用版)专项(尺规作图及简单几何证明)练习(附答案)
2024学年全国中考数学必刷好题（通用版）专项(尺规作图及简单几何证明)练习1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．2．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）（2）求证：四边形AFCE是菱形．3．如图，已知等边△ABC中边AB＝10，按要求解答下列问题：（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，射线BP交边AC于点P．（不写作法，用2B 铅笔作图并保留痕迹）（2）在（1）作图中，若点D在线段BP上，且使得AD＝5，求BD的长．（结果保留根号）4．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．5．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（1）请用尺规作出△ABC两腰上的中线BD、CE（保留痕迹，不写作法）；（2）结合图形，写出已知、求证和证明过程．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．7．如图，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．（1）用尺规作图的方法作出AC边的中垂线；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求△ABC的面积．8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．9．如图，BD是△ABC的角平分线．（1）用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝5，AB＝6，S△ABC＝11，求DF的长．10．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M． （1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）（2）求证：AE＝CF．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．12．如图，在平行四边形ABCD中，CF平分∠BCD交B于点F．（1）尺规作图：过点A作AE平分∠BAD交BD于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．（2）求证：AE＝CF．13．如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．14．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF＝AE，连接OF，若OD＝2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N，交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④作FE∥AB交BC于E；⑤连接AE交BF于点P；（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CP，若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求CP的长．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB 折叠，得到△EBP．（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC，并求出此时△BEC的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接CE并延长交线段AD于点Q，则AQ的最大值为．（直接写出答案）17．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．18．如图，四边形ABCD为正方形．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点P，使得点P到AB、CD的距离相等，且点P到BC的距离等于P A的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为4，求P A的长．19．已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．20．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝ °，（）（填推理的依据） ∴OA⊥AP， ⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（）（填推理的依据）参考答案1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．【详细解答】解：（1）如图：（2）证明：如图，连接DF，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．在△ADE和△FBE中，，∴△ADE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD与AF互相垂直且平分，∴四边形ABFD为菱形．2．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）（2）求证：四边形AFCE是菱形．【详细解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵AC的中点是O，∴OA＝OC，在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．3．如图，已知等边△ABC中边AB＝10，按要求详细解答下列问题：（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，射线BP交边AC于点P．（不写作法，用2B铅笔作图并保留痕迹）（2）在（1）作图中，若点D在线段BP上，且使得AD＝5，求BD的长．（结果保留根号）【详细解答】解：（1）如图所示，射线BP即为所求．（2）∵△ABC为等边三角形，∠PBA＝30°，∴BP平分∠ABC，∴BP⊥AC，在Rt△ABP中，BP＝AP＝5，∴AP＝AB＝5＜5，在Rt△ADP中，PD＝＝＝5，∴BD＝BP﹣PD＝5﹣5．4．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．【详细解答】解：（1）如图，直线EF即为所求作．（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝22.5°，BD＝CD，∵GB＝GC，∵EF垂直平分线段AB，∴GA＝GB＝GC＝1，∴∠GBA＝∠BAG＝22.5°，∠GCA＝∠GAC＝22.5°，∴∠BGD＝∠GBA+∠GAB＝45°，∠CGD＝∠GCA+∠GAC＝45°，∴∠BGC＝90°，∴S△BGC＝•BG•GC＝．5．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（1）请用尺规作出△ABC两腰上的中线BD、CE（保留痕迹，不写作法）；（2）结合图形，写出已知、求证和证明过程．【详细解答】解：（1）如图所示，中线BD、CE即为所求；（2）已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE．证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SAS）．∴BD＝CE．即等腰三角形的两腰上的中线相等．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．【详细解答】（1）解：如图，EF为所作；（2）证明：连接AE，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADF＝90°，EB＝EA，而∠DAF＝180°﹣∠BAC＝60°，∠EAB＝∠B＝30°，∴∠DF A＝90°﹣60°＝30°，∠EAF＝90°，∴∠EF A＝∠C，∴EF＝EC，而EA⊥CF，∴AC＝AF．7．如图，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°． （1）用尺规作图的方法作出AC边的中垂线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求△ABC的面积．【详细解答】解：（1）如图（1）所示：EF即为所求；（2）如图（2），过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABC＝30°，∴AD＝AB＝4，∴BD＝＝4，在Rt△ACD中，∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝4+4，∴S△ABC＝BC•AD＝×（4+4）×4＝8+8，即△ABC的面积为8+8．8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．【详细解答】解：（1）如图，线段DE即为所求作．（2）过点E作EH⊥CD于H．∵∠A＝60°，EA＝ED，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，AEB＝AD＝DE＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED＝60°，∵∠DHE＝∠CHE＝90°，∴DH＝DE•cos60°＝2，EH＝DE•sin60°＝2，∵AB＝CD＝6，∴CH＝CD﹣DH＝4，∴EC＝＝＝2．9．如图，BD是△ABC的角平分线．（1）用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝5，AB＝6，S△ABC＝11，求DF的长．【详细解答】解：（1）如图，DF为所作；（2）作DE⊥AB于E，如图，∴BD是△ABC的角平分线．∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝AB•DE+BC•DF，∴DF（5+6）＝11，∴DF＝2．10．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M． （1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）（2）求证：AE＝CF．【详细解答】（1）解：如图，CN为所作；（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAC＝∠BCD，∵AE平分∠BAD，CN平分∠BCD，∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，∴∠ABE＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在Rt△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．【详细解答】（1）解：如图，BG为所作；（2）证明：∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，∵射线AF平分∠BAE，∴∠EAF＝∠BAF，∵∠EAB＝∠ABC+∠ACB，即∠EAF+∠BAF＝∠ABC+∠ACB，∴∠EAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴AD⊥AF，∴∠ADB＝∠DAG＝90°，∵BG⊥AF，∴∠BGA＝90°，∴四边形ADBG为矩形．12．如图，在平行四边形ABCD中，CF平分∠BCD交B于点F． （1）尺规作图：过点A作AE平分∠BAD交BD于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．（2）求证：AE＝CF．【详细解答】（1）解：如图，AE为所作；（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝BAD，∠DCF＝∠BCD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．13．如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．【详细解答】解：（1）如图所示；（2）∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∠BED＝90°，∵BA⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝31°，∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠B）＝118°，∴∠AED＝∠QEB﹣∠BED＝118°﹣90°＝28°．14．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF＝AE，连接OF，若OD＝2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．【详细解答】解：结论：CE＝OF．理由：图形如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，AD∥BC，∵AE⊥BC，OF⊥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEC＝∠DAE＝∠AOD＝∠DFO＝90°，∴∠EAC+∠DAO＝90°，∠FDO+∠DAO＝90°，∴∠CAE＝∠ODF，∵OD＝2AO，AC＝2AO，∴AC＝OD，在△AEC和△DFO中，，∴△AEC≌△DFO（AAS），∴CE＝OF．15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N，交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④作FE∥AB交BC于E；⑤连接AE交BF于点P；（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CP，若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求CP的长．【详细解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥CD，∴EF∥AB，∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，由作法得BF平分∠ABE，即∠ABF＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠EBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴平行四边形ABEF为菱形；（2）解：过P点作PH⊥BC于H，如图，∵四边形ABEF是菱形，∴∠PBH＝∠ABC＝×60°＝30°，BP⊥PE，BE＝BA＝8，在Rt△PBE中，PE＝BE＝4，∴BP＝PE＝4，在Rt△BPH中，PH＝BP＝2，∴BH＝PH＝2×＝6，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣6＝6，∴PC＝＝4．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB 折叠，得到△EBP．（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC，并求出此时△BEC的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接CE并延长交线段AD于点Q，则AQ的最大值为1．（直接写出答案）【详细解答】解：（1）如图，点P即为所求作．过点E作EH⊥BC于H，由作图可知，∠EBC＝30°，∴EH＝BE＝，∴S△BCE＝•BC•EH＝×5×＝．（2）如图2中，由题意，BE＝BA，可知点E的运动轨迹是⊙B，当EC与⊙B相切时，AQ的值最大，此时P，Q重合，∵∠BEC＝90°，BC＝5，BE＝AB＝3，∵EC＝＝＝4，∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠CPD，∵∠BEC＝∠D＝90°，∴△BCE∽△CPD，∴＝，∴＝，∴PD＝4，∴AQ的最大值＝5﹣4＝1．故答案为：1．17．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．【详细解答】解：（1）如图，直线PM即为所求作．（2）如图，点C即为所求作．18．如图，四边形ABCD为正方形．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点P，使得点P到AB、CD的距离相等，且点P到BC的距离等于P A的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为4，求P A的长．【详细解答】解：（1）如图，点P为所作；（2）设P A＝x，则PE＝x，∴PF＝4﹣x，在Rt△APF中，AF＝2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即AP的长为．19．已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．【详细解答】解：如图，⊙P为所作．20．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝ 90°，（直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据） ∴OA⊥AP， OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线 ）（填推理的依据）【详细解答】解：如图，证明：连接OA，OB，∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直径所对的圆周角为直角）∴OA⊥AP，OB⊥BP，∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线）故答案为90°，直径所对的圆周角为直角；OB；过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线．。
2022年全国中考数学真题分类汇编专题17：尺规作图(附答案解析)
2022年全国中考数学真题分类汇编专题17：尺规作图一．选择题（共13小题）1．如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于 t的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（）A． B．4C．6D．2．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）A．AF＝BF B．AE ACC．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC3．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAQ＝40°B．DE BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）A．BD＝BC B．AD＝BD C．∠ADB＝108°D．CD AD 5．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B＝45°B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD 7．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD ＝4，AB＝2．则四边形MBND的周长为（）A． B．5C．10D．208．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（）A．36°B．54°C．72°D．108°9．过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE．则下列结论不一定正确的是（）A．AB＝AE B．AD＝CD C．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE 11．如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°12．要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行13．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．二．多选题（共1小题）（多选）14．如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段AB ＝2，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接AC、BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H．则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．AB⊥CDC．AH＝BH D．∠ACD＝45°三．填空题（共8小题）15．如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数°．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于cm．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于 AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是．18．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD 的周长为．19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于；（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是．21．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE＝BF；分别以E、F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H．若AD 1，则BH的长为．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为．四．解答题（共19小题）23．在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．24．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC 的长．26．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．27．已知：Rt△ABC，∠B＝90°．求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．28．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．29．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．30．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．31．如图，△ABC为锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为．32．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC 有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．33．如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）34．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．35．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）36．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；以点D为圆心，以BD长为半径画弧与 ֠交于点F；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与֠ 交于点G；作射线BF，BG．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．37．课本再现（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是 所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C ∠AOB；知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．38．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．39．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．40．我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠F＝90°，∴①．∵EF∥BC，∴②．又∵③，∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：④．S△ABC＝S△ADC+S△ABD S矩形ADCF S矩形AEBD S矩形BCFE ah．41．在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC 的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴①∵AD∥BC，∴②又③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得④＝S△EFB+S△EFC S矩形ABFE S矩形EFCD S矩形ABCD．∴S△BCE2022年全国中考数学真题分类汇编专题17：尺规作图参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于 t的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（）A． B．4C．6D．【解答】解：如图，连接OC．根据作图知CE垂直平分AO，∴AC＝OC，AE＝OE＝1，∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝2，∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝2，即AB＝AO+BO＝4，∵线段AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理得， t t ，故选A．2．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）A．AF＝BF B．AE ACC．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．由垂直平分线的性质可得AF＝BF，故A选项不符合题意；∵DF为线段AB的垂直平分线，∴∠BDF＝90°，∴∠DBF+∠DFB＝90°，故C选项不符合题意；∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠EBC，∵AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠EBC，故D选项不符合题意；根据已知条件不能得出AE AC，故B选项符合题意．故选：B．3．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAQ＝40°B．DE BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°【解答】解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP ∠BAC＝40°，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴DE BD，故选项B正确，不符合题意；C．∵∠B＝30°，∠BAP＝40°，∴∠AFC＝70°，∵∠C＝70°，∴AF＝AC，故选项C正确，不符合题意；D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，∴∠EQF＝20°；故选项D错误，符合题意．故选：D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）A．BD＝BC B．AD＝BD C．∠ADB＝108°D．CD AD 【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C （180°﹣36°）＝72°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°．∴∠ABD＝∠A．∴AD＝BD．故选项B正确；∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°．∴∠C＝∠BDC．∴BD＝BC．故选项A正确；∵∠BDC＝72°，∴∠ADB＝108°．故选项C正确；在△BCD与△ACB中，∵∠CBD＝∠A＝36°，∠C为公共角．∴△BCD∽△ACB．∴ t t t t．∴BC2＝AC•CD．∵BC＝BD＝AD，AC＝AD+CD．∴AD2＝（AD+CD）•CD．整理得，CD2﹣AD•CD﹣AD2＝0．解得，CD AD．∴CD AD．故选项D错误．故选：D．5．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：由作法得BP平分∠ABN，∴∠PBN ∠ABN 140°＝70°，∵OG平分∠MON，∴∠BOP ∠MON 50°＝25°，∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°．故选：B．6．如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B＝45°B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD【解答】解：由作图痕迹得CD垂直平分AB，AE＝BE，AC＝BC，AB⊥CD．所以A选项不一定成立，B、C、D选项成立．故选：A．7．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD ＝4，AB＝2．则四边形MBND的周长为（）A． B．5C．10D．20【解答】解：由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，∴BM＝MD，BN＝ND．设PQ与BD交于点O，如图，则BO＝DO．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，在△MDO和△NBO中，t tt tt t ，∴△MDO≌△NBO（AAS），∴DM＝BN，∴四边形BNDM为平行四边形，∵BM＝MD，∴四边形MBND为菱形，∴四边形MBND的周长＝4BM．设MB＝x，则MD＝BM＝x，∴AM＝AD﹣DM＝4﹣x，在Rt△ABM中，∵AB2+AM2＝BM2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得：x ，∴四边形MBND的周长＝4BM＝10．故选：C．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（）A．36°B．54°C．72°D．108°【解答】解：由题意可得BP为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，∴∠ABC＝2∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∴∠A+∠ABC+∠C＝∠A+2∠A+2∠A＝180°，解得∠A＝36°．故选：A．9．过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∵QA＝QB，∴点Q在线段AB的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；选项B，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝QA，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，∵PB＝QB，∴点B在线段PQ的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意；选项D，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝QA，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，∴点B在线段PQ的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；故选：C．10．在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE．则下列结论不一定正确的是（）A．AB＝AE B．AD＝CD C．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE 【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴AD＝DC，EA＝EC，∠ADE＝∠CDE＝90°，故选项B，C，D正确，故选：A．11．如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【解答】解：由题意可得AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，∴∠CAB＝∠CBA＝15°，∵l1∥l2，∴∠1＝∠CBA＝15°．12．要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行【解答】解：方案Ⅰ，∵∠HEN＝∠CFG，∴MN∥CD，根据两直线平行，内错角相等可知，直线AB，CD所夹锐角与∠AEM相等，故方案Ⅰ可行，方案Ⅱ，根据三角形内角和定理可知，直线AB，CD所夹锐角与180°﹣∠AEH﹣∠CFG 相等，故方案Ⅱ可行，故选：C．13．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，故选：D．二．多选题（共1小题）（多选）14．如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段AB ＝2，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接AC、BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H．则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．AB⊥CDC．AH＝BH D．∠ACD＝45°【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，AC＝BC＝AB，∴△ABC为等边三角形，AB⊥CD，AH＝BH，所以A、B、C选项符合题意；∴∠ACD ∠ACB＝30°．所以D选项不符合题意；故选：ABC．三．填空题（共8小题）15．如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数60°．【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠ABD＝∠CDB＝60°．由作法可知，BF是∠ABD的平分线，∴∠EBF ∠ABD＝30°．由作法可知，EF是线段BD的垂直平分线，∴∠BEF＝90°，∴∠BFE＝90°﹣30°＝60°，∴∠α＝60°．故答案为：60．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于8cm．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴FC⊥AC，∵FG⊥AB，由作图方法可得：AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，FC＝FG，在Rt△ACF和Rt△AGF中，t ttt t ，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AG，∵AC＝BC，∴AG＝BC，∴△BFG的周长＝GF+BF+BG＝CF+BF+BG＝BC+BG＝AG+BG＝AB＝8cm．故答案为：8．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于 AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是18°．【解答】解：由作图可得，AF⊥AB，∴∠BFC＝90°，∴∠BCF＝90°﹣∠B＝36°，又∵AB＝AC，∠B＝54°，∴∠ACB＝∠B＝54°，∴∠ACF＝54°﹣36°＝18°，故答案为：18°．18．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD 的周长为23．【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．故答案为：23．19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．【解答】解：（Ⅰ）EF ．故答案为： ；（Ⅱ）如图，点M，N即为所求．步骤：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O 于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．故答案为：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM 交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求20．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是10°或100°．【解答】解：如图，点D即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC （180°﹣80°）＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．故答案为：10°或100°．21．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE＝BF；分别以E、F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H．若AD 1，则BH的长为 ．【解答】解：在▱ABCD中，∠ABC＝150°，∴∠C＝30°，AB∥CD，BC＝AD 1，由作图知，BH平分∠ABC，∴∠CBH＝∠ABH，∵AB∥CD，∴∠CHB＝∠ABH，∴∠CHB＝∠CBF，∴CH＝BC 1，过B作BG⊥CD于G，∴∠CGB＝90°，∴BG t CG∴HG＝CH﹣CG∴BH ，故答案为： ．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为50°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝20°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°，由作图可知，MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝20°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝70°﹣20°＝50°，故答案为：50°．四．解答题（共19小题）23．在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．【解答】解：利用三角板可作图1，图2；（1）如图1，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC AC＝3，OB＝OD BD＝4，∴AB 5＝BC＝CD＝AD，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝90°，AE＝AD，∴∠OAD+∠FAE＝180°﹣90°＝90°，又∵∠FAE+∠FEA＝90°，∴∠OAD＝∠FEA，在△AOD和△EFA中，t t֠t ֠t b֠ ，∴△AOD≌△EFA（AAS），∴AF＝DO＝4，EF＝AO＝3，在Rt△CEF中，CF＝4+6＝10，EF＝3，∴EC tt ֠t b；（2）如图2，过点E作BD的垂线，交BD的延长线于点F，过点C作EF的垂线交EF 的延长线于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∵EF⊥BD，∴∠OFG＝90°，又∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴四边形OCGF是矩形，由（1）的方法可证，△AOD≌△DFE（AAS），∴DF＝AO＝3，EF＝DO＝4，∴OF＝OD+DF＝4+3＝7＝CG，在Rt△ECG中，CG＝7，EG＝EF+FG＝4+3＝7，∴EC t ֠ 7 ；综上所述，EC b或EC＝7 ．24．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是直角三角形；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【解答】解：（1）∵AC ，AB 2 ，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC 的长．【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，∴∠BOA＝150°，∴∠BCA ∠AOB＝75°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC•cos30° ，∴BC＝2 ．26．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【解答】解：如图，△ABC为所作．27．已知：Rt△ABC，∠B＝90°．求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．【解答】解：①先作出线段BC的垂直平分线EF；②再作出∠ABC的角平分线BM，EF与BM的交点为P；则P即为所求作的点．28．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．29．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积 14×1.3＝9.1（cm2）．30．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；31．如图，△ABC为锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；（2）过点A作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，∴BH＝AB•cos60°＝1，AH＝AB•sin60° ，∴CH＝BC﹣BH＝2，∵∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵AH⊥CB，CD⊥AD，∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，∴四边形AHCD是矩形，∴AD＝CH＝2，（2+3） ，∴S四边形ABCD故答案为： ．32．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC 有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．33．如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，射线CP即为所求．34．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．【解答】解：（1）如图所示：（答案不唯一）．（2）如图所示：35．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，t即为所求．36．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，∠ABC为直角，以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；以点D为圆心，以BD长为半径画弧与 ֠交于点F；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与 ֠ 交于点G；作射线BF，BG．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．37．课本再现所对的圆心角，∠C是 所对的圆周角，我们在数学课上（1）在⊙O中，∠AOB是探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数试题库
近世代数答案：D 5、设A=R （实数域），B=R+（正实数域）f?:a - 10a??^A 则f是从A 到B 的（）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 既非单射也非满射答案：D&有限群中的每一个元素的阶都（）一、单项选择题 1、若 A={1, 2, 3, 5}, B={2, 3, 6, 7}，则 A c B =()A {1 , 2, 3, 4}B 、{2 , 3, 6, 7}C 、{2 , 3}D 、{1 , 2, 3, 5, 6, 7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（）A 循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 以上都不对 答案：A3、下列命题正确的是（）A n 次对换群S n 的阶为n!B 整环一定是域C 、交换环一定是域D 以上都不对答案：A I4、关于陪集的命题中正确的是（）设 H 是G 的子群，那么 对于 V aH'bH,有 aH cbH ，或aH =bHB 、 以上都对A、有限B、无限C 为零D答案：A答案：D8、若S 是半群,则（）A 、任意 abc^S,都有 a(bc)=(ab)cB 、任意 a,^ S,都有ab=ba C 必有单位元D 任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z 中，6的真因子是（）A 、±1,±6B 、±2, ±3C ±1, ±2D ±3, ±6答案：B10、偶数环的单位元个数为（）A 、0个B 、1个C 2个D 无数个答案：A设A 1,A 2,…，A n 和D 都是非空集合，而f 是A^A n 到D 的一个映射，那么（）集合A 1, A 2,…，A n , D 中两两都不相同;AXA2X …XAn 中不同的元对应的象必不相同;一个元（a 1,a 2,…,a n 的象可以不唯一。
7、整环（域） 的特征为（）A 、素数B 、 无限C 、有限D 或素数或无限B 、 A 1,A 2,…，A n 的次序不能调换;答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（）A在整数集Z 上, aV =口^abB、在有理数集Q上，&叱=』0耳；C、在正实数集R"上, a0b=alnb ；n > o｝上，a 叱=答案：D13、设。
近世代数模拟试题--附详细答案
近世代数模拟试题一一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔 〕A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔 〕个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是〔 〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的<两方程解一样> 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔 〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔 〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最##想,则---------。
近世代数练习题题库
近世代数练习题题库§1 第一章基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。
（）1.2 A ×B = B ×A （）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。
（）1.7 在整数集Z 上，定义“”：ab=ab(a,b ∈Z)，则“”是Z 的一个二元运算。
（）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a ff 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A 到B 的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。
（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
多所高校近世代数题库及部分答案
多所高校近世代数题库及部分答案一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ × ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（× ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（√ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（√ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ √ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（√ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（√ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（× ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ × ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（② ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。
以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。
答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。
答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。
答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。
例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。
2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。
例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。
四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。
答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。
- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。
- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。
- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。
例如，a的逆元是a^3。
G的子群有：- {1}：平凡子群。
- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。
- G本身：{1, a, a^2, a^3}。
2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。
答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。
2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。
4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。
5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。
6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。
7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。
8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。
9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。
10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。
11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。
12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。
13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。
（ ）14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ ）15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
（ ）三．证明题1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
近世代数与尺规作图世界名题
总之，一切以有理数为长度的线段都可以作出来。 二、尺规作图解析判别法 法国巴黎附近一座小镇镇长的儿子
要求作一个立方体，使其体积等于己知 1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
★1855：Cayley引入了矩阵的运算 Cardano（1501～1576）生于意大利 Pavia，卒於罗马，是意大利米兰的学者。 方法去代替这些不同的解法，在讨论中他引入置 寻找五次方程的根式求解公式
★倍立方问题又以“黛利亚神问题”相传 1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
★最早出现：巴比伦(公元前1900年) 二、尺规作图解析判别法 古典代数的中心问题 ：解代数方程和方程组
一、古代尺规作图三大难题的故事
3、圆化方问题 要求作一个正方形，使其面积等于一个 己知圆的面积 ★古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯的监狱
二、尺规作图解析判别法
3、在平面几何作图题里，总可以把一己知线段当 做“单位长度线段”，即长度为1，于是利用 尺规作图，很容易将该线段n等分，从而求得
长为 1 n 的线段，再将此线段m倍，又可得到
长为 m n 的线段。总之，一切以有理数为长度
的线段都可以作出来。我们把点的坐标或线段 长度都简称为几何量
二、尺规作图解析判别法
尺规作图题的解析判别法：
要判别一个平面几何上的尺规作题 是否可作，只要分析所要确定的几何量 是否为“可作图几何量” 就行了
二、尺规作图解析判别法
三个尺规作图难题的代数化 1、三分角问题 设己知角的三分之一为A，则已知角为3A，
取余弦 c o s 3 A 4 c o s 3A 3 c o sA
r
寻找五次方程的根式求解公式
★1812：Cauchy引入现代意义下的行列式，证明了行列式乘法定理
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2、伽罗瓦与伽罗瓦理论 伽罗瓦(Galois)
1832年 4 月出狱后不久在与人决斗时负 重伤，5月31日上午10时去世 14 年 后 ， 1846 年 法 国 数 学 家 刘 维 尔 (Liouville)从伽罗瓦的弟弟手中收集到 一些尚未发表的手稿，陆续发表在自已创 办并主编的《理论数学与应用数学》杂志 上
b b 4ac x 2a
2
元后12世纪
四、代数发展简史
2、三次方程
★方程式： ★求根公式：
x ax bx c 0
3 2
a x 3
3 3 3
2p
2
3 q 4 p q 27c 27c
3 2
3
q 4 p q 27c 27c 54
2、伽罗瓦与伽罗瓦理论
伽罗瓦(Galois)
1852 年起，有人首先读懂了伽罗瓦的论文并 弄清了他的思想 1894 年，狄德金 (Dedekind, 德国代数和数论专 家)对伽罗瓦理论作了系统的阐述
1948年，阿丁(Artin)所写的关于伽罗瓦理论的 讲义成为后人的样版
19世纪后期，人们才认识到伽罗瓦工作对于代数学划时代 的影响
二、尺规作图解析判别法 4、设r为任一正有理数，则以 r为长度的 线段也可以作出来。事实上，如图，利用 1+r 为直径作圆，从线段连接点 P 引垂线 交圆于Q，则PQ=
r
Q
r
r
P O
二、尺规作图解析判别法
5、反复利用上述手续，可见长度为
4
r, r,
8
的线段也都可以作出来 。
★只要是由有理数经过有限次“加、减、乘、除、
2、倍立方问题
设原立方体的边长为a，新立方体的边长为x
2a 不妨设a=1，则问题变为三次方程 x3 2 的求解
则倍立方问题表示为代数方程 x3 问题，然而这也是不可能的
3
二、尺规作图解析判别法
三个尺规作图难题的代数化
3、圆化方问题
设正方形的边长为x，己知圆的半径为r，则圆化
方问题即可表示为代数方程
刘维尔(Joseph Liouville)
法国数学家,（1809—1882），刘 维尔在1836年1月创办《纯粹与应 用数学杂志》(Journal de matématiques pures et appli－ quées)，并亲自主持了前39卷的编 辑出版工作(第1辑，1—20卷， 1836—1855年；第2辑，1—19卷， 1856—1874年)。该杂志刊登纯粹、 应用数学领域所有分支的论文，记 录了19世纪中期的40年里数学活动 的一部分重要内容，被后人称为 《刘维尔杂志》(Liou－ville′s Journal)。
寻找五次方程的根式求解公式
Lagrange
1770年法国数学家拉格朗日才开始意识到一般五
次方程这样的求解公式可能是不存在的 。他分析
了己知的解方程的方法，并指出可用一个统一的
方法去代替这些不同的解法，在讨论中他引入置
换、置换的乘法、置换群的概念。
约瑟夫· 拉格朗日
约瑟夫· 拉格朗日，全名约瑟夫· 路 易斯· 拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法国数 学家、物理学家。1736年1月25 日生于意大利都灵，1813年4月 10日卒于巴黎。他在数学、力学 和天文学三个学科领域中都有历 史性的贡献，其中尤以数学方面 的成就最为突出。
x r
2
2
不妨设r=1，则圆化方问题转化为用直尺和圆规作
一条线段其长为 x
，这也是做不到的。
三、伽罗瓦(Galois)与近世代数
古典代数、五次方程的根式求解、近 世代数 伽罗瓦与伽罗瓦理论 三个尺规作图难题的代数证明
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
古典代数的中心问题 ：解代数方程和方 程组 有效工具 ：矩阵论和线性代数学 四次方程的一般求解公式 ：1545年 L.Ferrarri (Italian,1522-1565)
寻找五次方程的根式求解公式
N.H.Abel
后来Abel证明了上面这一假设是成立的，并在
1824年，22岁的挪威大学生阿贝尔再一次独立
地得到了Ruffini的证明，至此就完整地证明了一
般n次方程当n 5 时不能用根式解。不幸，阿贝
尔于1829年4月6日早逝于结核病。
阿贝尔
翻开近代数学的教科书和专门著作， 阿贝尔这个名字是屡见不鲜的：阿贝 尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方 程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔 部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝 尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。 只有很少几个数学家能使自己的名字 同近代数学中这么多的概念和定理联 系在一起。然而这位卓越的数学家却 是一个命途多舛的早夭者，只活了短 短的27年。尤其可悲的是，在他生前， 社会并没有给他的才能和成果予以公 正的认可。
四、代数发展简史
3、四次方程
★方程式： x
4
ax bx cx d 0
3 2
★求根公式：略 ★L.Ferrarri
(Italian,1522-1565)
四、代数发展简史
4、五次及五次以上方程
★方程式： x
★N.Abel
n
a1x
n1
an1x an 0, n 5
2、伽罗瓦与伽罗瓦理论
伽罗瓦理论的基本思想
关于域的问题可以转化为域的自同构形
成的群的问题来进行讨论
3、三个尺规作图难题的代数证明
因用到域论和Galois理论的较 多知识，故略去
四、代数发展简史
1、 二次方程
★方程式：
ax bx c 0
2
★求根公式：
★发展阶段：公元前20世纪------公
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
寻找五次方程的根式求解公式
Galois
年青而有才华的数学家伽罗瓦深刻地阐明了
用根式解代数方程的理论基础。他的天才想法是
研究方程根之间的置换，由此产生了群的概念，
这使得他们工作的意义远远超出了解代数方程的
问题范围，而成为群论以致于近世代数的开拓者。
伽罗华
（Évariste Galois，公元 1811年~公元1832年）是法国对函 数论、方程式论和数论作出重要贡 献的数学家，他的工作为群论（一 个他引进的名词）奠定了基础；在 父亲自杀后，他放弃投身于数学生 涯，注册担任辅导教师，结果因撰 写反君主制的文章而被开除，且因 信仰共和体制而两次下狱。伽罗华 死于一次决斗，可能是被保皇派或 警探所激怒而致，时年21岁。他被 公认为数学史上两个最具浪漫主义 色彩的人物之一。
狄德金
尤利乌斯· 威廉· 理查德· 戴德金 （Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916） 又译狄德金，最伟大的德国 数学家、理论家和教育家， 近代抽象数学的先驱。据 《辞海》，戴德金还是格丁 根大学哲学博士、柏林科学 院院士。
阿丁(Artin)
Artin(1898～1962)奥地利数学家。 阿丁前期工作主要是在类域论、实 域理论 、抽象代数等方面 。在此 期间 ，他和E.诺特以及他们的学派 极大地推动了抽象代数学的发展。 后期工作主要是在环论、伽罗瓦理 论、代数数论中的类数问题及拓扑 学的辫子理论方面。 著作有《类 域论》和《阿廷文集》。
★ G.Cardano (Italian,1501-1576), N.Tartaglia (Italian,1499-1577) ，
卡丹Cardano
Cardano（1501～1576）生于意 大利 Pavia，卒於罗马，是意大 利米兰的学者。现在我们称三次 方程的求根公式叫作「Cardano 公式」，这公式其实不是 Cardano 发现的，而是他在1539 年从别人那里骗到的，把它写入 《Ars Magna》（大衍术）书中。 他有多方面的才干，曾写过一本 机率对局的书，这是有关机率论 最早的一本书。他性喜赌博，因 而对机率产生了兴趣
二、尺规作图解析判别法
3、在平面几何作图题里，总可以把一己知线段当 做“单位长度线段”，即长度为 1 ，于是利用 尺规作图，很容易将该线段 n 等分，从而求得 长为 1 n 的线段，再将此线段m倍，又可得到 长为 m n的线段。总之，一切以有理数为长度 的线段都可以作出来。我们把点的坐标或线段 长度都简称为几何量
作图问题，两千多年来，不断有人在这个题目 上花费时间，甚至毕生精力。
一、古代尺规作图三大难题的故事
2、倍立方问题 要求作一个立方体，使其体积等于己知 立方体体积的两倍
★倍立方问题又以“黛利亚神问题”相传
一、古代尺规作图三大难题的故事
3、圆化方问题 要求作一个正方形，使其面积等于一个 己知圆的面积
开平方”五则运算得出的数量，都可以用尺规 作出以这些数量为长度的线段，这些数量就可 以叫做“可作图几何量”。
二、尺规作图解析判别法
尺规作图题的解析判别法：
要判别一个平面几何上的尺规作题 是否可作，只要分析所要确定的几何量
是否为“可作图几何量” 就行了
二、尺规作图解析判别法
三个尺规作图难题的代数化
1、三分角问题
设己知角的三分之一为A，则已知角为3A，
cos3 A 4cos A 3cos A 令 2cos3 A m,2cos A x 得 x3 3x m 0
取余弦
3
由于x并不能表示成可作图几何量，故三分 角用尺规作图不可能
二、尺规作图解析判别法
三个尺规作图难题的代数化
1、古典代数、五次程的根式求解、近世代数
寻找五次方程的根式求解公式
P.Ruffini