数学押题30天之专题三数列(学生版)

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高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）

⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。

(word完整版)高三数列专题练习30道带答案(2021年整理)

【方法点晴】本题考查等差数列及其性质、等比数列及其性质、数列的前项和，涉及特殊与一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.第一小题先由求得，再利用累加法求得 .又由求得，可得是等比数列再求得。第二小题化简，再利用错位相减法求得 .
（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的前项和．
11．已知数列的前项和为 , ．
（1）求数列的通项公式；
（2）若 ,求．
12．设公差不为0的等差数列的首项为1，且构成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2)若数列满足，求的前项和．
13．已知数列是等比数列,满足，数列满足，且是等差数列.
8．（1) ;（2）。
【解析】
试题分析:(1)根据已知列出关于首项和公比的方程组,解出首项和公比的值即可求得的通项公式；（2）由(1）可知，分三组分别求和即可。
试题解析：（1）设公比为，则 ,由已知有，
化简得
又，故，，
所以．
（2)由(1）可知，
因此．
考点：1、等比数列的通项及求和公式；2、“分组求和”的应用。
6．(1）；(2）。
【解析】
试题分析：（1）当时，，时，利用求得通项公式为；（2）根据（1）化简，利用裂项求和法求得 .
试题解析:
（1）对于任意的正整数 ①恒成立,当时， ,即 ,当时，有 ②, 得，即 , ，
数列是首项为公差为的等差数列。 .
（2)
。
考点:递推数列求通项，裂项求和法。
9．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据结合已知条件等式即可使问题得证；(Ⅱ）首先根据（Ⅰ)求得的通项公式，然后利用分组求和法与错位相减法求解即可。

高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）最值问题之03数列篇

2020年高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）最值问题之数列篇【例】【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【例】【2018全国卷Ⅱ】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．【例】(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．【例】（2016年全国I ）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .【例】（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

有关数列中最大项的问题：【例】（2020·海南中学高三月考）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令=n b()*,2020∈<n n N ，当k b 是数列{}nb 的最大项时，k =（）A ．1100B ．1001C ．1011D ．1010有关等差数列前n 和中的最值问题：【例】等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？数列与不等式恒成立相结合的最值问题：【例】（2020·山西实验中学高三）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．数列与基本不等式相结合的最值问题：【例】（2020·江西高三模拟）已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（）. A ．16 B ．283C ．5D ．4数列与导数相结合的最值问题：【例】等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.数列与“对勾函数”相结合的最值问题：【例】（2020·河南高三模拟）已知各项都是正数的数列{}n a 满足()*12n n a N a n n +-=∈，若当且仅当4n =时，na n取得最小值，则（） A ．1012a <<B ．11220a <<C ．112a =D ．120a =1、（2020·山西高三开学考试）已知数列{}n a 的通项公式为()370.9nn a n =+⨯，则数列{}n a 的最大项是（）{}n a n n S 100S =1525S =nnSA ．5aB ．6aC ．7aD ．8a2．（2020·河南高三）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–203．（2020·山东省青岛第五十八中学高三）等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S4.（2020·河北高三期末）已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-5．（2020江苏无锡高三）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．6．（2020北京高三）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时，{}n a 的前n 项和最大．7．（2020江西高三）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．8．（2020·河北邢台一中高三月）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =，540S =，则n S 的最大值为_________.9、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．10、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三数学一轮复习资料——数列

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三数学一轮复习资料——数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即acb =、b 、c 等比数列.ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分.iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=+=22122 →2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍...,,232k k k k k S S S S S --；②若等差数列的项数为2()+∈Nn n ，则，奇偶nd S S =-1+=n n a a SS 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇得到所求项数到代入12-⇒n n .3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nn a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为： ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.5. 数列常见的几种形式：⑴n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设nn n xc x c a 2211.+=，若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c . ⑵r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1( r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211 .③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：Pr P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (21))12,...(413,211n n -⋅⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证)(11---n nn n a a a a 为同一常数。

2022高三数学高考最后30天冲刺练习：数列

2022高考数学最后30天冲刺练习：数列例1、已知数列是首}{n a 项、公比都为q （q>0且q ≠1）的等比数列，*)(log 4N n a a b n n n ∈=（1）当q=5时，求数列的前n 项和S n ；（2）当1514=q 时，若1+<n n b b ，求n 的最小值解：（1）由题得5log 5log log ,444⋅⋅=⋅=⋅=∴=n n n n n n n n n q q a a b q a ………2分5log )55251(42n n n S ⨯++⨯+⨯=∴设n n n T 552512⨯++⨯+⨯= (1)13255)1(52515+⨯+-+⨯+⨯=n n n n n T ……………………（2分）两式相减：112254)15(5555554++⨯--=⨯-++++=-n n n nn n n T)1554(165+-⨯=n n n n T 5log )1554(1654+-⨯=n n n n S …………6分（2）1514log )1514(log 44n n n n n a a b == 1514log )1514()1514)(1(411n n n n n n b b -+=-++…………8分0)1514log 151514()1514(4>-=n n 14,0151514>>-∴n n ，即取15≥n 时，1+<n n b b所求的最小自然数是15……………………………………………………12分例2、已知数列中，0122,3,6a a a ===，且对时，有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．（Ⅰ）设数列满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=，求数列的前n 项和S n ．（Ⅰ）证明：由条件，得112234[(1)]4[(2)]n n n n n n a na a n a a n a ------=-----，则1112(1)4[]4[(1)]n n n n n n a n a a na a n a +----+=----．………………2分即111244.1,0n n n b b b b b +-=-==又，所以1122(2)n n n n b b b b +--=-，21220b b -=-≠．所以1{2}n n b b +-是首项为2，公比为2的等比数列． ……………4分2122b b -=-，所以112122(2)2n n n n b b b b -+-=-=-．两边同除以，可得111222n n n n b b ++-=-．……………………………6分于是2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以首项，－为公差的等差数列．所以11(1),2(1)2222n n n nb b n n b =--=-得．………………………8分（Ⅱ）111122(2)n n n n n n a na n n a -----=-=-，令2n n nc a =-，则1n n c nc -=．而111 (1)21(1)21n c c n n c n n =∴=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅，．∴(1)212n n a n n =-⋅⋅⋅+． ………………………………………12分 (1)212(1)!!2n n n na n n n n n n n =⋅⋅-⋅⋅⋅+=+-+⋅，∴2(2!1!)(3!2!)(1)!!(12222)n n S n n n =-+-+++-+⨯+⨯++⨯．…14分令T n ＝212222n n ⨯+⨯++⨯， ①则2T n ＝2311222(1)22n n n n +⨯+⨯++-⨯+⨯． ②①－②，得T n ＝212222n n n ++++-⨯，T n ＝1(1)22n n +-+．∴1(1)!(1)21n n S n n +=++-+．……………16分例3、已知以a 为首项的数列满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩1若0＜≤6，求证：0＜≤6;2若a ，∈N﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的与a ； 3若321m a =- m∈N﹡，试求数列的前4m2项的和【解】（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a , 故]6,0(1∈+n a ，所以当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． ……………………4分（2）①当时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N*．同理可得，当或4时，满足题意的∈=t t k ,3N*．当或6时，满足题意的∈=t t k ,2N*． ②当时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的不存在．③当时，由（1）知，满足题意的不存在．综上得：当421，，a =时，满足题意的∈=t t k ,3N*；当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N*． ……………………10分（3）由m N *，可得112≥-m ，故3123≤-=ma ,当m k ≤<1时，3223)12(223122321111111=⨯<-+⨯=-⨯≤-------m m m m m m m k a ．故a a k k 12-=且aa mm 21=+．又312231>-⨯=+m mm a ，所以a a a a m m m m m =--⋅=-=-=++3123232312．故4434)1(424++++--=m m m m a a S S =4a a a a m m m )22()(1121+-+⋅++-+ =4aa a a m m m m 11123)12(423)221(-+-⨯--=⨯-+++ =1212239)2342(113--⨯=⨯----+mm m m a ． ……16分例4、设数列的前项和为，且n n a S λλ-+=)1(，其中0,1-≠λ；（１）证明：数列是等比数列。

高考数学备考30分钟课堂集训系列专题3 数列(学生版)

高考数学备考30分钟课堂集训专题系列专题3 数列一、选择题1.（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424S S =，则64S S 的值为（） A 、94 B 、32 C 、54D 、4 2. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研)已知{}n a 为等差数列，若9843=++a a a ，则9S =A.24B. 27C. 15D. 543.（辽宁省锦州市2011年1月高三考试）设数列{}n a 满足12121,l o g l o g 1()n n a a a n N *+==+∈，它的前n 项和为n S ，则n 的最小为下列何值时S n >1025（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）124. （北京市西城区2011年1月高三试题）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是( )A ）35a a （B ）35S S （C ）n n a a 1+（D ）n n S S 1+ 5．(浙江省温州市2011年高三第一次适应性测试)已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．146．(辽宁省沈阳二中2010届高三第四次阶段测试)已知数列{}n a 满足*331246l o g 1l o g (),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则15793l o g ()a a a ++的值是（）A ．-5B ．15-C ．5D ．157．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研）设数列{}1n -()的前n 项和为n S ，则对任意正整数n ，n S =( )A ．112nn ⎡⎤--⎣⎦() B ．1112n --+() C ．112n -+() D ．112n --()8．(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学)在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则 91113a a -的值为( ) A ．14 B ．15C ．16D ．179. 数列0，32，54，76，… 的一个通项公式为（）(A)11+-=n n a n )(*∈Z n (B)121+-=n n a n)(*∈Z n (C)12)1(2--=n n a n )(*∈Z n (D) 122+=n n a n )(*∈Z n10.在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为（）A ．64-B ．64C ．48-D ．48 11. 数列{}n a 中，若211=a ，111--=n n a a （2≥n ，N n ∈），则2010a 的值为……（） A ．1- B ．1 C ．21D ．2 12. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= ( )A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424a a -=，39S =,则数列{}n a 的通项公式为（）（A ）n a n = （B ）2n a n =+ （C ）21n a n =- （D ）21n a n =+ 二、填空题14.(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试)已知数列{}n a 的前n 项和122-+=n n S n ，则25531a a a a ++++ = .15．(浙江省温州市2011年高三第一次适应性测试)已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，集合1210{,,,}A a a a =，从A 中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列共有．16．(江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研)已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中112242,1,,2a b a b a b====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= .17. (江苏省泰州市2011届高三年级第一次模拟)数列{}n a 为正项等比数列，若12=a ，且116-+=+n n n a a a ()2,≥∈n N n ，则此数列的前4项和=4S 。

2012年高考数学考前30天三轮专题提分必练绝密十

专题限时集训(十)[第10讲数列求和及数列应用](时间：10分钟＋35分钟)2012二轮精品提分必练1．等比数列{a n }首项与公比分别是复数i ＋2(i 是虚数单位)的实部与虚部，则数列{a n }的前10项的和为( )A ．20B ．210－1 C ．－20 D ．－2i2012二轮精品提分必练2012二轮精品提分必练1．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－8，a 15＝5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 10＝S 11 B ．S 10>S 11 C ．S 9＝S 10 D ．S 9<S 10 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于( )A ．1 B.12C ．－12D ．23．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．804．“神七升空，举国欢庆”，据科学计算，运载“神七”的“长征二号”F 火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟5．过圆x 2－5x ＋y 2＝0内点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦，这n 条弦的长度依次成等差数列{a n }，其中最短弦长为a 1，最长的弦长为a n ，且公差d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，12，那么n 的取值集合为( ) A ．{5,6} B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}6．{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 的值为( )A ．11B ．17C ．19D ．217．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝________.8．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k k ＋＝1k －1k ＋1，由此得，11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋＝1n －1n ＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝1－1n ＋1＝nn ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋n ＋(n ∈N *)”，其结果为________________．9．已知以1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋n 为奇数，a n2n 为偶数(n ∈N *)．(1)写出a 2，a 3，a 4，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和S n ，求数列{S n }的前n 项和T n .10．设数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .专题限时集训(十)【基础演练】1．A 【解析】根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算．该等比数列的首项是2，公比是1，故其前10项之和是20.2．A 【解析】由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ⇒S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44，所以选择A.3．A 【解析】 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.故选A.4．D 【解析】从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.【提升训练】1．C 【解析】设公差为d ，则d ＝5＋815－2＝1，所以a n ＝n －10，因此S 9＝S 10是前n 项和中的最小值，选择C.2．C 【解析】依题意，由2S 3＝S 1＋S 2得2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，解得q ＝－12，选择C.3．C 【解析】 S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n＋1)<－4，解得n >34－1＝80.4．C 【解析】设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n n －d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.故选C.5．B 【解析】已知圆的圆心为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，半径r ＝52.又|PQ |＝32，∴a 1＝2r 2－|PQ |2＝4，a n ＝2r ＝5，∴d ＝a n －a 1n －1＝1n －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，12，∴n ∈(3,6)，∴n ＝4或n ＝5.6．C 【解析】等差数列的前n 项和有最大值，则其公差为负值，数列单调递减，根据a 11a 10<－1可知一定是a 10>0，a 11<0，由此得a 11<－a 10，即a 11＋a 10<0，S 19＝a 1＋a 192×19＝19a 10>0，S 20＝a 1＋a 202×20<0，由于S n 在取得最大值后单调递减，根据已知S n 在[11，＋∞)上单调递减，所以使得S n 取得最小正值的n 值为19.7．350 【解析】 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝(a 1＋1)＋a 3＋a 5＋…＋a 25－1＝＋2×13－1＝350.8.n 2＋3n n ＋n ＋【解析】裂项1n n ＋n ＋＝121n n ＋－1n ＋n ＋，相消得结果为n 2＋3n n ＋n ＋.9．【解答】 (1)a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，a n ＝3＋－n2.(2)S n ＝3n 2＋12·－－－n]2＝3n 2－14＋14(－1)n， ∴T n ＝32·n n ＋2－14n ＋14·－[1－－n]1＋1＝34n 2＋12n ＋18·(－1)n－18(也可分奇数和偶数讨论解决)． 10．【解答】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，①∴n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1，② ①－②得na n ＝2n －1，a n ＝2n －1n(n ≥2)，在①中令n ＝1，得a 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，2n －1nn ，(2)∵b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，n ·2n －1n ，则当n ＝1时，S 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，③则2S n ＝4＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n，④④－③得S n ＝n ·2n －(2＋22＋23＋…＋2n －1)＝(n －1)2n＋2(n ≥2)，又S 1＝2满足上式，∴S n ＝(n －1)·2n ＋2(n ∈N *)．。

高考数学备考30分钟课堂集训系列专题3 数列(学生版)

高考数学备考30分钟课堂集训系列专题3 数列(学生版）1. (广东省汕头市2012届高三教学质量测评)已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和为100，那么615a a 的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在5.(浙江省镇海中学2012届高三测试卷)设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件6．(2012年4月沈阳-大连第二次联考模拟考试)设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是( )A ．25B ．5C ． 25- D ．5- 7. (湖南省湘潭市2012届高三第三次模拟)在数列{}n a 中，*111001,,(),n n a a a n n N a +=-=∈则的值为( )A ．5050B ．5051C ．4950D ．49518．(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考)如果数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -，…是首项为1，公比为2-的等比数列，则5a 等于( )A ．32B ．64C ．32-D ．64-12. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测)等差数列{}n a 中，已知16a =-，0n a =，公差d ∈N *，则n ()3n ≥的最大值为（） A ．7 B ．6 C ．5 D ．8二、填空题15. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查）已知等差数列}{n a 中, 51a =,322a a =+,则11S = . 16. (山东省济南市2012年3月高三高考模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ﹡),且2446=-a a ,6453=a a ,则{a n }的前6项和是 .17. (2011年高考天津卷)已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值为 .18．(浙江省镇海中学2012届高三测试卷)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且n a 和n S 满足：24(1)(1,2,3,)n n S a n =+=，则S n ＝．三、解答题20．（东北四校2012届高三第一次高考模拟考试）（本小题满分12分）已知{}n a 为等比数列，141,27.n a a S ==为等差数列{}n b 的前n 项和，153,35.b S ==（1）求{}{}n n a b 和的通项公式；（2）设1122n n n T a b a b a b =+++，求.n T。

2021年高考理科数学考前30天--填空题专训(三)

高考理科数学考前30天--填空题专训（三）题组一1．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且()136n n n S a a =+，则数列{}n a 的通项公式为________．【答案】3n a n =【解析】当1n =时，()1111136S a a a ==+，解得13a =；当2n ≥时，()()1111336n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+⎡⎤⎣⎦，整理得()()1130n n n n a a a a --+--=．因为0n a >，所以130n n a a ---=，即13n n a a --=，所以{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313n a n n =+-=，即3n a n =． 2．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表；根据上表可得回归直线方程为ˆ0.9296.8y x =-，则表格中空白处的值为________．【答案】60【解析】根据回归直线经过样本中心(),x y 可得，表格中空白处的值为60． 3．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =，则m 的最小值为________．【解析】如图所示，()0,1A -，()0,1F ，过P 作准线的垂线，垂足是H ，由对称性，不妨令P 在第一象限，sin PF PHm PAH PA PA∴===∠，∴问题等价于求PAH ∠的最小值，而2111114tan 14x y PAH x x x x ++∠===+=≥，当且仅当时等号成立，所以，即：4．若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则关于的方程解的个数是________．【答案】1【解析】若函数与图象上存在关于轴对称的点，则等价为，在时，方程有解，即，即在上有解，令，则在其定义域上是增函数，且时，，，在上有解可化为：，1124x x x =⇒=sin m PAH =∠min m =()()()2ln 0f x x x a a =++>()()21e 02x g x x x =+-<y x 22ln 20x a x ax +-=()()()2ln 0f x x x a a =++>()()21e 02xg x x x =+-<y ()()g x f x =- 0x <()221e ln 2xx x x a +-=+-+()1e ln 02x x a ---+=(),0-∞()()1e ln 2xm x x a =---+()m x x →-∞()0m x <0a >()1e ln 02x x a ∴---+=(),0-∞()01e ln 02a -->即，故．令，，，，单调递增，时，，时，．有一个解．题组二13．5(1)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为．（用数字表示）【答案】0【解析】5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以()5(1)1x x +-展开式中含3x 项的系数为10-10=0．14．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 在b 方向上的投影为．【答案】【解析】由题知1λ=． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，ABC △的面积为34，则c b +的值为．【答案】【解析】tan tan 2tan b B b A c B +=-，∴由正弦定理1cos 2A =-，23A π=，8a =，由余弦定理可得：()22264b c bc b c bc =++=+-，又因为ABC △面积()1ln 2a<0a <<()22ln 2h x x a x ax =+-()()22222a h x x a x ax a x x'=+-=-+240a a -<()0h x '∴>()h x 0x →()h x →-∞x →+∞()h x →+∞()0h x ∴=1sin 2bc A =12=，16bc =，b c += 16．如图所示，点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A ，B 分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB △的周长的取值范围是．【答案】8,12（）【解析】易知圆()22216x y -+=的圆心为（2，0），正好是抛物线x y 82=的焦点，圆()22216x y -+=与抛物线x y 82=在第一象限交于点4(2)C ，，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为点D ，则AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点（6，0）时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<．。

高三数学第三轮总复习数列的极限押题针对训练人教版

高三数学第三轮总复习数列的极限押题针对训练人教版本周复习内容：数列的极限本周复习重点：数列的极限运算，数列及其极限的综合问题 <一>关于数列极限的运算1．运算法则：lim ∞→n a n =A, lim∞→n b n =B.(1) lim∞→n B A b a n n ±=±)( (2) lim∞→n AB b a n n =⋅)( (3) lim ∞→n )0(≠=B BAb a n n 注意：运算法则只可应用于有限个数列的运算当中。

2．几个基本数列的极限(1) lim∞→n c=c (2) lim∞→n 01=n(3) lim ∞→n q n=0 (0<|q|<1) 3．数列极限运算的几种基本类型：(1) 关于n 的分式型 (2) 关于n 的指数型 (3) 无穷多项的和与积 (4) 无穷递缩等比数列 <二> 本周例题例1．求下列数列的极限：(1) lim∞→n 97562322+++-n n n n (2) lim∞→n 113)2(3)2(++--+-n n n n(3) lim∞→n )11()411)(311)(211(2222n ----(4) lim∞→n )525152515251(212432n n ++++++-(5) lim∞→n ]31)1(2719131[1n n ⋅-+++--(6) lim ∞→n )1(n n n -+ (7) lim∞→n 11233331--+++++n n n a (8) lim ∞→n ])!1(!43!32!21[+++++n n (9) lim∞→n nn n ba a ++1(a,b>0) 分析：求数列的极限首先应判断属于哪一种基本类型，然后考虑如何转化哪一种基本数列的极限解决问题。

解: (1) lim ∞→n =+++-97562322n n n n lim ∞→n 5397562322=+++-n n n n (2) lim ∞→n 113)2(32++--+-n n nn ）（=lim ∞→n 313)32(21)32(-=--⋅-+-n n . (3) lim∞→n )11()411)(311)(211(2222n ----=lim∞→n )]11)(11()411)(411)(311)(311)(211)(211[(n n +-+-+-+-=lim∞→n )]1)(1(454334322321[nn n n +-⋅⋅⋅⋅⋅=lim∞→n 21121=+⋅n n (4) lim∞→n )525152515251(212432n n ++++++-=lim∞→n )]515151(2)515151[(242123n n +++++++-=lim ∞→n 247]511)511(512511)511(51[22222=--⋅+--nn 或另解：原式=lim∞→n ]5151(2)515151[(22123n n ++++++-24751151251151222=-⋅+-=(5) 分析：应能够很快地由数列的通项n n 31)1(1⋅--可识别出此数列为公比为(-31)的无穷递缩等比数列。

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