均值不等式应用(技巧)学生版

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均值不等式解题技巧总结

均值不等式解题技巧总结
均值不等式是数学中常用的一种算术不等式，可以用来证明和解决各种数学问题。

以下是一些常见的均值不等式解题技巧的总结：
1. 引入适当的均值：根据题目所给条件，选择适当的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。

2. 利用均值不等式：根据所选择的均值形式，利用均值不等式进行推导。

常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、几何-调和均值不等式、算术-几何-调和均值不等式等。

3. 引入适当的条件：在使用均值不等式之前，可以引入适当的条件，如非负性条件、大小关系条件等，以限制变量的取值范围，使得均值不等式成立。

4. 倒推法：对于一些需要证明的不等式，可以利用倒推法，从已知的均值不等式开始，逐步推导出需要证明的不等式。

5. 逼近法：对于一些复杂的不等式，可以通过逼近的方法，将其转化为一系列简单的均值不等式，从而解决问题。

6. 双曲线方法：对于一些特殊的均值不等式，可以利用双曲线的性质进行证明。

双曲线方法常用于解决两个变量的均值不等式。

7. 对称性方法：对于一些具有对称性的均值不等式，可以利用其对称性进行证明。

对称性方法常用于解决多个变量的均值不等式。

总之，解题时应根据具体情况选择合适的技巧和方法，并且需要灵活运用数学知识和技巧进行推导和证明。

均值不等式解题方法和技巧总结

利用均值不等式求最值的方法和技巧几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

一、配凑（8种技巧）1.拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=∙∙∙-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数)01y x x =<<的最大值。

解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++-⎪∙∙-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。

均值不等式应用

均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。

1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。

这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。

例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。

利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。

2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。

这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。

例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。

利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。

3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。

例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。

需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。

4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。

具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。

这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。

基本不等式(均值不等式)技巧

基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。

（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。

1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。

解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。

本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。

1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。

例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。

2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。

如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。

如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。

对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。

3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。

例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。

我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。

同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。

4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。

当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。

我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。

5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。

在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。

综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。

通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。

用均值不等式最值的方法和技巧

用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。

它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。

使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。

1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。

不同的均值不等式适用于不同的情况。

在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。

通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。

2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。

条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。

只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。

3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。

如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。

变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。

4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。

找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。

例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。

5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。

例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。

这样可以提高问题的求解效率和准确性。

综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。

同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。

用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

均值不等式八种技巧

运用均值不等式的八类拼凑技巧一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数)01y x x =<<的最大值。

解：y ==。

因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。

故max 9y =。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。

当且仅当()2224x x=-，即x ==”。

故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。

二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。

解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。

均值不等式八种技巧

例１已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数)01y x x =<<的最大值。

解：y ==。

因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。

故max 9y =。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。

当且仅当()2224x x=-，即x ==”。

故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。

解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。

基本不等式(均值不等式)技巧

罿基本不等式习专题之基本不等式做题技巧肃【基本知识】2丄以袄1. （1）若a,b ・R ，则a 2・b 2 _ 2ab （2）若a, b R ，则ab 乞空 —（当且仅当2a -b 时取“二”）賺2. (1)若 a,b • R *，则a b_ 一 ab (2)若 a,b • R *，则 a b -2 ab (当且仅当 a 二 b 2时取“=”)螆⑶若a,b ・R *，则ab 岂 …（当且仅当a = b 时取“=”）飞2丿成立;芃ab c _33abc =abc 「a ： c (a 、b 、c R )号成立2 2螇4.若a, b R ，则（_ ）2岂a—（当且仅当a = b 时取“=”）2 2蒄注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”蚂（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”莅(4) a 3 b 3 c 3 _3abc 二 abc<a 3b 3c 3（a 、b c R ），当且仅当a = b = c 时，当且仅当a = b = c 时,蚁⑶熟悉一个重要的不等式链: o薆祎【技巧讲解】肂技巧一：凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造)蒂5A蚆1 :已知x，求函数 v =4x_2 • ______ 的最大值。

4 4x —5羅2•当］n -时，求y =x(8 - 2x)的最大值。

沁3薁3 :设0 ：：： x ，求函数y=4x(3-2x)的最大值。

2螇5已知x 0，y0，且满足3x 2v=12，求igx• ig y 的最大值.2肃6已知x ，y 为正实数，且x 2+专=1，求x . 1 + y 2的最大值.羁7若a,b ，c 0且a(a b c) b^^2.3,求2a b c 的最小值虿技巧一答案:蝿1解：因4x-5：：：0,所以首先要“调整”符号，又(4x_2)L-丄不是常数，所以对4x-2 4x —5要进行拆、凑项，菜：x : 5,. 5 -4x 0， . y =4x -215 -4x 13 --2 3 = 14 4x-5(5-4x 丿1 蚄当且仅当5 -4x，即x=1时，上式等号成立，故当 x = 1时，y ma x = 1。

基本不等式(均值不等式)技巧窍门

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

5 已知，且满足，求的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

均值不等式八大技巧全学生版

利用均值不等式求最值的方法和技巧几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

例１已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

例2 求函数)01y x x =<<的最大值。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

2.拼凑定积例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。

例5 已知1x >-，求函数()()22413x y x +=+的最大值。

例6 已知0x π<<，求函数2cos sin xy x-=的最小值。

3.拼凑常数降幂例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。

例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。

例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。

用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式（Mean Inequality）是数学中常用的一种方法和技巧，用于求解包含均值的不等式问题。

它的核心思想是通过求解众多数据的平均值来确定问题的最值范围。

1.均值不等式的基本形式均值不等式分为均值-均值不等式和均值-次方均值不等式两种基本形式。

均值-均值不等式：对于任意给定的两个非负实数a和b，以及两个实数λ和μ满足λ+μ≠0，有：√(λa^2+μb^2)≥，λa+μb，/√(λ+μ)均值-次方均值不等式：对于任意给定的n个非负实数x₁，x₂，…，xₙ，以及实数p≥q>0，有：((x₁^p+x₂^p+…+xₙ^p)/n)^(1/p)≥((x₁^q+x₂^q+…+xₙ^q)/n)^(1/q)2.求解最值的一般步骤步骤1：根据不等式问题的具体情况，确定合适的均值不等式形式，即选择均值-均值不等式还是均值-次方均值不等式。

步骤2：根据题目给出的条件，选取合适的数据进行计算和代入，找到不等式中的系数和指数。

步骤3：应用均值不等式，将不等式转化为计算均值的形式。

步骤4：通过简化计算和代入数值，利用均值不等式得到最终的结果。

3.常见应用场景和例题分析均值不等式常用于求解最值问题，特别是在高中数学中的函数极值和数列极限中经常用到。

例如，求解非负整数a，b，c的最小值问题，已知条件是ab+bc+ca=8，可以利用均值不等式进行求解。

解题思路：设S=a+b+c，则利用均值-均值不等式可得：(S^2 + S^2 + S^2) / 3 ≥ (ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2) / 6代入条件ab+bc+ca=8，化简后可得：S^2≥(8+a^2+b^2+c^2)/4而根据平方平均不等式可得：(a^2+b^2+c^2)/3≥((a+b+c)^2)/9将其代入上式化简，可得：S^2≥20/3同时，由于a，b，c都是非负整数，所以可以得到S=√(a^2+b^2+c^2)的最小整数部分为4因此，a+b+c的最小整数部分为44.注意事项和常见误区在应用均值不等式求解最值问题时，需要注意一些常见的误区和陷阱。

均值不等式的应用技巧

均值不等式的应用技巧均值不等式：当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式。

用“均值不等式”求最值是求最值问题中的一个重要方法，也是高考考查的一项重要内容。

应用该不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件“一正、二定、三相等”。

在此过程中往往需要采用“变系数、凑项、分离、取倒数、平方”等变形技巧构造定值，下面是笔者总结归纳的一些变形方法和技巧。

一、凑系数例1、求函数的最大值。

分析：由于不是常数，所以需将x的系数1变为2，使和为定值。

解：由，知所以：当且仅当：，即时取等号，所以的最大值是二、凑项例2、已知，求函数的最大值。

解：因为，所以，故所以=0当且仅当：，即或时，等号成立，但不合条件，舍去，故当时，。

三、分离例3、求函数的最大值分析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋2）的项，再将其分离。

解：因为，所以，所以由及得即当时，。

四、取倒数例4、若，求函数的最大值。

分析：此题形式上无法直接用均值不等式，但通过取倒数则可解：因为，所以故五、平方法例5、求函数的最大值。

解析：注意到的和为定值，所以又，所以当且仅当，即时取等号。

故。

评注：本题将解析式两边平方构造出摵臀ㄖ禂，为利用均值不等式创造了条件。

六、整体代换例6、已知，且，求的最小值。

解：不妨将乘以1，而1用代换。

=16当且仅当，且时取等号所以时，的最小值是16。

七、换元例7、求函数的最大值。

解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当：，即时取等号，此时故。

八、化归转化，例8、设，求的最小值。

解：因为当且仅当，即时取等号所以点评：若与分别利用平均值不等式，再相乘求最值，会出现前后取等号条件不一致。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

均值不等式常用变形及解题方法总结

均值不等式应用（一）均值不等式* 也可是值为正的代数式1.调和平均数：2.几何平均数：3.算数平均数：4.平方平均数：·均值不等式：，当且仅当时等号成立常用：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。

（二）常见变形1.2.3.4.5.6.（）7.（）8.9.（）10.（）11.12.（三）解题技巧（一定、二正、三相等、四同时）1.计算函数最值·形函数例：求函数2y =的值域。

(2)t t =≥2y =1(2)t t t ==+≥当1t t=时函数在x 轴正半轴有最小值，在y 轴负半轴有最大值，即1t =± ∵1t =±不属于区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

∵1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增， ∴52y ≥∴所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭·分离法例3.：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解：当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（，当且仅当x ＝1时等号成立·换元法例：已知，则解：令则·拼凑（系数、常数）例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.解：x 1＋y 2＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 2x 2＋(12 ＋y 22 )22 ≤ 342例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：∵54x <∴540x -> ∴11425432314554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭ 当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立 ∴当1x =时，max 1y =。

·化积为和（因式分解、平方）例：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

应用均值不等式的技巧

均值不等式的变形技巧利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值或最小值时，应满足：（1）各项都是正数；（2）积或和是定值；（3）等号能够取到。

三个条件缺一不可。

学生在应用中往往容易出错，实际上，掌握一些常见的变形技巧，则可起到事半功倍的效果。

一、巧妙调整这里的调整包括：（1）符号的调整；对于负数可以通过加负号调整成正数。

（2）顺序的调整；通过调整各项的顺序，构造均值不等式的形式，达到求最值的目的。

例1、若x>1,求log x 21+ log 21x的最大值[分析]：当x>1时, log x 21<0,不能直接使用公式，需要首先调整符号。

[解答]：log x 21+ log21x= log x 21+x21log1=-[（- log x 21）+（-x21log1）]≤-2当且仅当x=2时取等号。

例2、已知a 、b 为常数，m 为正数，求（1+m ）a 2+(1+m 1)b 2的最小值。

[分析]：由于所求式子不能直接使用均值定理，注意到m 与m1积为定值，可以首先调整顺序，构造定值。

[解答]：（1+m ）a 2+(1+m1)b 2= m a 2+m1 b 2+ a 2+ b 2≥2ab+ a 2+ b 2=（a+b ）2二、恰当配凑如果积或和不是定值，则需要通过添拆项或配凑项构造常数。

例3、已知x<45,求函数y=4x-2+541-x 的最大值。

[分析]：首先注意到4x-5<0，需要调整符号；同时（4x-2）541-x 不是定值，需要将4x-2拆成（4x-5）+3的形式，构造定值。

[解答]：y=4x-2+541-x =4x-5+541-x +3=-[-（4x-5）+（-541-x ）]+3 ≤-2+3=1当且仅当x=1时y 有最大值1。

例4、a 、b 为正实数，a 2+22b=1,求a 21b +的最大值。

[分析]：考虑到a 21b +=)1(22b a +，而a 2+22b是定值，可以将1+b 2凑成2⎪⎭⎫⎝⎛+22121b ，构造定值，利用均值不等式求最值。

人教版高数必修五第13讲：均值不等式(学生版)

均值不等式1. 算术平均值与几何平均值（1）算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数___________叫做,a b 的算术平均值（2）几何平均值：对任意两个正实数,a b ，数__________叫做,a b 的几何平均值2. 均值定理如果,a b R +∈，那么____________，当且仅当__________时，等号成立3. 均值不等式的常见变形（1）),a b a b R ++≥∈ （2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b a a b+≥（,a b 同号且不为0）（4）)2,11a b R a b +≤∈+类型一：均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（） A.2b a a b +≥ B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++ 练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2 练习2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b 2<b 类型二：均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6 练习3. 设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( )A ．10B ．63C ．46D ．18 3练习4. 已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( )A ．100B ．75C ．50D ．25类型三：利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．练习5. 已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．练习6.若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.. 例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4SC ．θ＝2，r ＝3SD ．θ＝2，r ＝S练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元1. 若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( )A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy ≥1 2. 已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．103. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤184. 实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．435．设x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339C ．1＋22D ．56. 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．14基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b2. 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]3. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 4. 已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________5. a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a >b >cB ．c >a > bC ．b >a >cD ．a >c >b6. 设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( )A ．a 11＝b 11B ．a 11>b 11C ．a 11<b 11D ．a 11≥b 117. 已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( )A ．6B ．9C ．12D ．188. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件9. 已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________． 10. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．11. 做一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)13. 一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，12)．其中可作为(l ，S )的取值的实数对的序号是________．`14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．能力提升15. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则 1x ＋13y的最小值是( ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．2 316. 设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数17. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．418. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q 19. 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1 20. 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y 2<y 21. 设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④22. 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．923.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A ．14B ．12C ．2D ．4 24. 当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]25. 已知正数x 、y 满足1x ＋4y＝1，则xy 有( ) A ．最小值116 B ．最大值16 C ．最小值16 D ．最大值11626. 若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________27. 已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明． 28. 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋C 29．求函数y ＝1－2x －3x的值域． 30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？。

均值不等式应用(技巧)学生版

均值不等式应用（技巧）一．知识归纳：应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x<，求函数14245y xx=-+-的最大值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x=-的最大值。

变式：设230<<x，求函数)23(4xxy-=的最大值。

技巧三：分离例3. 求2710(1)1x xy xx++=>-+的值域。

技巧四：换元练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈2．已知01x <<，求函数y .；3．203x <<，求函数y .技巧五：转化条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是 .变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x+的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab 的最小值.变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.变式:求函数15()22y x<<的最大值。

均值不等式的巧用

均值不等式的巧用均值不等式的巧用陵水中学李莎在教学实践中,我们发现均值不等式是求解函数的最值问题和证明不等式问题的重要工具。

现举例介绍如下：一、求函数的最值问题运用均值不等式求函数最值问题时，应特别注意"一正、二定、三相等"。

例1 若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）分析由题意知，注意到若取最大值，a、b必同号，不妨设a、b均为正数，则将问题转化为a>0，b>0，且，求的最大值。

由，知而，当且仅当a=b，且即，时，取得最大值。

例2 求二元函数（x，y>0）的最大值。

解：∵4 = ，&there4;所以函数的最大值为5，当且仅当时取得。

例3 ΔABC的三边a、b、c依次成等比数列，求角B的取值范围。

分析在中，注意到分式的积，我们把化为" "即可求出最值。

解：∵&there4;又∵B ，&there4;例4 用长为的铁丝围成直角三角形的三边，求直角三角形的最大面积。

分析设直角边长分别为x，y（x，y>0），面积为S，则①又S= ，注意到求积的最值，我们把①式中的和分别化为" "和" "即可巧妙求出最值。

解：∵&there4;所以S的最大值为，当且仅当即等腰直角三角形时取得。

二、证明不等式的问题运用均值不等式证明不等式时，常常需要根据不等式的结构特征，配以适当的技巧，方能如愿。

例5 设a、b、c各为不相等的正数，求证： >分析所证不等式两边均为和的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠加的方法。

证明：∵ >>>&there4;2（）>2（）&there4; >例6 设a、b、c ，求证：（a+b)(b+c)(c+a) 8abc分析所证不等式的两边都是积的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠乘的方法。