第二讲整除与同余(教师版)

A

( a m 1 a m 2 a 0 ) p .

【例题分析】

位数•

于是所求的三位数只有 512.

3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换）

，所得的新数减去原数，所得的差为

7812，求原来的四位数。

解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为

x,y,z ，则

3

2

原数 10 x 10 y 10z y

①;

Q

O

颠倒后的新数

103y 102z 10y x ②

、整数的进位制

1、【十进制数】给定一

个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余

A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。, A 可以表示成 m 2

a m 2 10

A a m 1 a m

可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 1

0 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2

a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称

a 1 p a ，其中 p 进制数，记为

解: 由于 100 abc 999，则100 (a b

3

c) 999，从而 5 a b

c ! 9 ；

当a b c 5时， 53

125 (1 2 5)3

; 3

当a b c 6时，6

216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3

;

3

当a b c 8时，8

512 (5 1

2)3;

当a

b c 9时， 93 729 (7 2 9)3;

b c ）3的所有三位数

1、（2008）a 是由2005个9组成的2005

位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（）

A 4000

B 4004

C 4008 4010

2.求满足abc (a abc 。

由②—①得7812 = 999(y x) 90(z y)

2

即868 111(y x) 10(z y) 10 (y x) 10(z x) (y x) ③

比较③式两端百位、十位、个位数字得y x 8,z x 6.

由于原四位数的千位数字x不能为0,所以x 1，从而y x 8 9，又显然百位数字y 9 ,

所以y 9,x 1,z x 6 7，所以所求的原四位数为1979.

二、整除的概念及其性质

(一)、基本概念

1、定义：设a,b是给定的整数，b 0，若存在整数c，使得a be,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(或因数)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述e，则称b不能整除a，记作a.

2、整除的性质

(1)若b | e且e | a，则b | a (传递性)；

⑵若b |a且b | e，则b | (a e)；

若反复运用这一性质，易知 b |a及b|e，则对于任意的整数u,v有b | (au ev);

n

更一般，若a |b i，则a | C i b 其中e Z, i 1,2 ,L , n；

i 1

⑶若b | a，则或者a 0，或者| a | | b |;特别地，若b | a且a | b，则a b ；

(4)(带余除法定理)

设a,b为整数，b 0，则存在一对整数q和r，使得a bq r，其中0 r b，满足以上条件的整数q和r是唯一确定•整数q称为a被b除得的商，数r称为a被b除得的余数。

注意：r共有b种可能的取值：0,1,……,b 1 ；若r 0，即为a被b整除的情形；

(5)若n是正整数，则x n y n (x y)(x n 1 x n 2y xy n 2 y n 1)；

n m

(6) 如果在等式 a b k中去掉某一项外，其余项均为e的倍数，则去掉项也是e的倍数；

i 1 k 1

(7) m (m >2且m Z )个连续整数中，有且只有一个是m的倍数；

(8) 任何n (n >2且n Z )个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续正整数之积能被6整除;

(9 )若一个整数的未位数字能被 2 (或5)整除，则这个数能被 2 (或5)整除，否则不能；

(10 ) 一个整数的数码之和能被 3 (或9)整除，则这个数能被 3 (或9)整除，否则不能；

(11 )若一个整数的未两位数字能被 4 (或25 )整除，则这个数能被 4 (或25 )整除，否则不能；

(12 )若一个整数的未三位数字能被8 (或125 )整除，则这个数能被8 (或125 )整除，否则不能；

(13 )若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，

否则不能。

(14 ［① 质数：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质数或素数；

② 合数：如果一个正整数包含有大于1且小于其本身的因子，则称这个正整数为合数。

(二)、奇数、偶数的性质

(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数，奇数奇数=奇数；任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的

和、差为偶数•

(2)奇数的平方都可以表示成8m 1的形式，偶数的平方可以表示为8m或8m 4的形式，其中m Z；

(3 )任何一个正整数n，都可以写成n 2m l的形式，其中m为负整数，|为偶数。

(4)若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

(三)、完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称为平方数，平方数有以下性质：

(1 )平方数的个位数字只可能是0, 1 , 4,5 , 6, 9 ；

(2 )偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或