第二讲整除与同余(教师版)
第二次课-- 整除与同余
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存 在两个整数u，v，使 (a，b)= ua+vb．
第一章 整除与同余
证明 设Z是全体整数集合，构造如下一个集合： S = {xa+ybx，yZ}． S中的元素显然大于等于0． 设d是S中的最小正整数，设 d = ua+vb． 现在我们证明da且db．做带余除法： a = qd+r，0 r d． 于是 r = a – qd = a – q(ua+vb) = (1–qu)a – qvb． 这说明r也可表示为a，b的组合，则rS． 由于d是S中的最小者，所以r = 0．故da．同理db． 设c是a，b的任意公因子，由ca和cb得cua+vb．故 d是a，b的最大公因子，证毕．
第一章 整除与同余
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素． 推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
例8 a = 2，b = 3．它们的公倍数集合为 {0，6，12，18，…}． 而[2，3] = 6．
第一章 整除与同余
最小公倍数与最大公约数关系
定理1.1.2 1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab 2） a，b a，b） ，特别地，如果(a，b) = 1， （ [a，b] = |ab|．
第一章 整除与同余
Eratosthenes筛法
定理1.2.3 设a是任意大于1的整数，则a的除1外最小正因子q 是一素数，并且当a是一合数时，
第二讲同余（数论复赛辅导）
第二讲同余（数论复赛辅导）第二讲同余一.基础知识1.定义1. 设m 是正整数，若用m 去除整数b a ,，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作a)(m o d m b .例如：)15(mod 434≡，)7(mod 11000-≡，98(mod 2) 等等。
当m b <≤0时，)(mod m b a ≡，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。
对于固定的模m ，通常有下面的性质：性质1. )(mod m b a ≡的充要条件是,a mt b t Z =+∈也即)(|b a m -。
性质2.同余关系满足以下规律：（1）（反身性）)(mod m a a ≡；（2）（对称性）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）（传递性）若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡；（4）（同余式相加）若)(m od m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a ±≡±；（5）（同余式相乘）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m bd ac ≡；注意：① 反复利用（4）（5），可以对多于两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式；② 特别地，由（5）易推出：若)(mod m b a ≡，c k ,为整数且0>k ，则)(mod m c b c a k k ≡；③ 同余式的消去律一般并不成立，即从)(mod m bc ac ≡未必能推出)(mod m b a ≡，可是我们却有以下结果：若)(mod m bc ac ≡，则≡),(mod c m m b a . 由此可以推出：（6）若,1),(=m c )(mod m bc ac ≡，则有)(mod m b a ≡，即在c 与m 互素时，可以在原同余式两边约去c 而不改变模.（7）若)(mod m b a ≡，d ｜m ，则)(mod d b a ≡；（8）若)(mod m b a ≡，0≠d ，则)(mod dm db da ≡；（9）若(mod )(1,2,,)i a b m i k ≡=，则12(mod [,,,])k a b m m m ≡，特别地，若12,,,k m m m 两两互素时，则有12(mod )k a b m m m ≡；性质3.若k i m b a i i ,,2,1),(m od =≡，则)(mod 11m b a k i k i i i ∑∑==≡；11(mod )k ki ii i a b m ==≡∏∏；性质4.设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则))(mod ()(m b f a f ≡。
大学整除与同余教案设计
教学目标：1. 理解整除与同余的概念，掌握整除与同余的基本性质。
2. 学会利用整除与同余的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
教学重点：1. 整除与同余的概念及基本性质。
2. 应用整除与同余的性质解决实际问题。
教学难点：1. 理解整除与同余的性质，并能灵活运用。
2. 将实际问题转化为整除与同余问题。
教学用具：1. 多媒体课件2. 白板或黑板3. 练习题教学过程：一、导入1. 复习初中阶段学习的整除概念，引导学生回顾整除的定义和性质。
2. 提出问题：如何判断一个数能否被另一个数整除？3. 引入整除与同余的概念，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 整除与同余的概念（1）整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数，且没有余数，那么我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
（2）同余：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的余数是整数c，那么我们就说a与b同余，记作a≡c（mod b）。
2. 整除与同余的性质（1）性质1：如果a能被b整除，那么a与b同余。
（2）性质2：如果a≡c（mod b），那么a-b能被b整除。
（3）性质3：如果a≡c（mod b），那么a+b≡c+b（mod b）。
3. 应用整除与同余的性质解决实际问题（1）判断一个数能否被另一个数整除。
（2）求解同余方程。
（3）解决实际问题，如日期、时间、密码等。
三、课堂练习1. 填空题：判断下列各数能否被3整除。
2. 选择题：下列哪个数与8同余？3. 应用题：求2008年2月29日到2010年2月28日共经过了多少天？四、课堂小结1. 回顾整除与同余的概念、性质及应用。
2. 强调整除与同余在解决实际问题中的重要性。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解整除与同余在其他领域的应用。
教学反思：本节课通过引入实际问题，引导学生理解整除与同余的概念，并掌握其基本性质。
在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
初等数论_第二章__同_余教案
因此
ac=bd(q1q2mq1dq2b)m，
再利用定理1，推出结论(ⅱ)。证毕。
定理4设ai，bi（0in）以及x，y都是整数，并且
xy(modm)，aibi(modm)，0in，
则
(modm)。(2)
证明留作习题。
例1设N= 是整数N的十进制表示，即
N=an10nan110n1a110a0，
解由
42n+13n+2=442n93n=416n93n
43n93n= 133n0 (mod 13)
得证。
。
例6设p是素数，a是整数，则由a21(modp)可以推出
a1或a1(modp)。
解由
a21(modp)pa21 = (a1)(a1)，
所以必是
pa1或pa1，
即a1(modp)或a1(modp)。
可以得到xi=xi，1in。
事实上，由条件(ⅲ)及式(3)易得，对于任意的i，1in，有
AixiAixi(modmi)。
由此并利用条件(ⅱ)和第一节定理5推得
xixi(modmi)，
因此xi=xi。证毕。
例1设A={x1,x2,,xm}是模m的一个完全剩余系，以{x}表示x的小数部分，证明：若(a,m) = 1，则
3yx= 0或11。
这样得到四个方程组：
，
其中a取值9或18，b取值0或11。在0x,y9的条件下解这四个方程组，得到x= 8，y= 0，z= 6。
第二次课
定理5下面的结论成立：
(ⅰ)ab(modm)，dm，ab(modd)；
(ⅱ)ab(modm)，kNakbk(modmk)；
(ⅲ)若akbk(modmk)，则ab(modm)；
第二讲整除与同余(教师版)
第二讲 整除与同余一、整数的进位制1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10的1 m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m .2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中{0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 .【例题分析】1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数.A 4000B 4004C 4008 4010 2．求满足3)(c b a abc 的所有三位数abc 。
解：由于999100 abc ，则999)(1003c b a ，从而95 c b a ；当5 c b a 时，33)521(1255 ； 当6 c b a 时，33)612(2166 ；当7 c b a 时，33)343(3437 ； 当8 c b a 时，33)215(5128 ；当9 c b a 时，33)927(7299 ；于是所求的三位数只有512.3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 10101023①；颠倒后的新数x y z y 10101023②由②－①得7812＝)(90)(999y z x y即2868111()10()10()10()()y x z y y x z x y x ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得6,8 x z x y .由于原四位数的千位数字x 不能为0，所以1 x ，从而98 x y ，又显然百位数字9 y ， 所以76,1,9 x z x y ，所以所求的原四位数为1979.二、整除的概念及其性质（一）、基本概念1、定义：设b a ,是给定的整数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a ,则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(或因数)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a ,记作b a .2、整除的性质(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性)； (2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ;若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ; 更一般，若i b a |，则 ni ii bc a 1|其中,1,2,,i c Z i n L ；(3) 若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ;特别地，若a b |且b a |，则b a ； (4) (带余除法定理)设b a ,为整数，0b ，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a ，其中0r b ，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 称为a 被b 除得的商，数r 称为a 被b 除得的余数。
整除性和同余性的定义和性质
整除性和同余性的定义和性质整除性和同余性是数学中非常重要的概念。
它们在代数、数论以及计算机科学等众多学科中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质等方面对整除性和同余性进行详细的介绍。
一、整除性的定义和性质1.1 定义整除性是指对于两个整数a和b，若存在另外一个整数k，使得a=k×b，则称a可以被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
通常记为b|a。
1.2 性质①任何整数都可以被1和其本身整除。
②如果b|a，且c|b，则c|a。
③如果b|a，且a|c，则b|c。
④如果b|a，且a|b，则a=b或a=-b。
⑤如果b|a且b≠0，则|b|≤|a|，并且|a|/|b|是一个整数。
1.3 应用整除性在代数学和数论中都有广泛的应用。
以代数为例，整除性是求最大公因数和最小公倍数的基本工具。
对于给定的两个整数a和b，可以通过求解它们的公共因子（即两者都能够整除的整数）的最大值来得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则可以通过求解a和b之间的联通代数条件来得到。
二、同余性的定义和性质2.1 定义同余性是指对于任意的整数a和b，若它们的差a-b能够被某一个正整数m整除，则称a和b在模m意义下同余，记为a≡b(mod m)。
2.2 性质① (自反性) a≡a(mod m)。
② (对称性) 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
③ (传递性) 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
④ (加减法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)。
⑤ (乘法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2.3 应用同余性在计算机科学中有广泛的应用。
由于计算机只能计算有限集合中的元素，因此需要在有限范围内的数据上进行运算。
同余性可以将数据限制在一个固定的范围内，并保证运算后的结果还在这个范围内，从而避免了数据溢出或越界的问题。
整数的整除性与同余(教案)
整数的整除性与同余（教案）教学内容 整除与同余教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质;2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.教学过程一、整数的整除性1、整除的定义：对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ⋅=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a.2、整除的性质1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am;2) 若b|a ，c|b ，则c|a3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ；4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ；5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）6）连续整数之积的性质任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。
证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z)例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。
解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。
若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 21n 23n 23-++对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。
整除和同余
整除和同余一、整除1、整除的定义：一般地，如a ，b ，c 为整数，b 不为零，a ÷b=c ,即整数a 除以整数b （b 不为零），除得的商c 正好是整数而没有余数，或者说余数为零，那么就称，a 能被b 整除，或者说b 能整除a ，记作 a b 。
否着就称a 不能被b 整除，或b 不能整除a ，记作a b 。
2、数的整除的性质（1）如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除。
即：若果 a c ，b c ，那么b a c ±。
（2）如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a 。
即：如果 a bc ，那么 a b ，a c 。
（3）如果b 、c 都整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a 。
即：如果 a b ， a c ，且（b ，c)=1，那么 a bc 。
（4）如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。
即：如果 b c ， a b ， 那么 a c 。
（5）推论：如果 1a b ，2a b ，......， n a b ，那么 n n a c a c a c b +++ 2211 。
3、数的整除特征（一）能被3整除的数的特征：能被4（或25）整除的数的特征：能被7（11或13）整除的数的特征：能被8整除的数的特征：能被9整除的数的特征：能被11整除的数的特征：4、带余除法定理：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b 不为零），那么一定存有另外两个整数q 和r ，r ≤0 ， r < b ，使得 r q b a +⨯= 。
5、辗转相除法： 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。
辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。
例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 − 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。
整除性与同余定理
对于同余定理问题，要熟练掌握扩展欧几里得算法、中国剩余定理等 技巧，善于将问题转化为同余方程进行求解。
04
在解题过程中，要注意细节和特殊情况的处理，避免因为粗心大意而 导致错误。
04 拓展延伸：费马小定理 和欧拉定理
费马小定理内容阐述
费马小定理是数论中的一个 重要定理，它给出了在模一 个质数p的情况下，任意整数
物理学
在量子力学和相对论等领域，同余定理可用于描 述物理现象的对称性和周期性规律。
06 总结回顾与展望未来
关键知识点总结
整除性定义
整除是数学中的一个重要概念，表示一个整数可以被另一个整数除尽，没有余数。整除性在数论、代数等领 域有广泛应用。
同余定理
同余定理是数论中的基本定理之一，它描述了整数在模运算下的性质。同余定理包括费马小定理、欧拉定理 等，是解决许多数论问题的基础。
k2使得a=b+k1m，c=d+k2m。
则
03
ac=(b+k1m)(d+k2m)=bd+(bk2+dk1)m+k1k2m
^2。
证明过程展示
因为m整除k1m和k2m，所以m也整除k1k2m^2，进而m整除ac-bd。
因此，ac≡bd(mod m)。
03 典型问题解析与技巧指 导
涉及整除性问题分类
整除性与同余定理
汇报人：XX
2024-01-29
目录
CONTENTS
• 整除性基本概念与性质 • 同余定理介绍与证明 • 典型问题解析与技巧指导 • 拓展延伸：费马小定理和欧拉定理 • 实际应用举例与探讨 • 总结回顾与展望未来
01 整除性基本概念与性质
整除定义及例子
湘教版七年级数学教案二：五大整除性质的认识
湘教版七年级数学教案二：五大整除性质的认识整除是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
在初中数学中，整除是一个必须要掌握的基础知识点。
因为整除的性质和规律在初中数学中出现的非常频繁。
湘教版七年级数学教案二就特别讲解了五大整除性质的认识，帮助学生更好地理解和掌握整除的概念和性质。
整除性质一：同余性质同余是一个非常常用的数学概念，对于整除的研究也是非常重要的。
所谓同余，就是指两个数在模某个数下余数相同。
例如，我们可以说4和11在模7下同余，因为它们都是在模7下余数为4。
同余可以表示为a≡b(mod m)。
其中a、b、m都是整数，m不等于0。
在湘教版七年级数学教案二中，同余性质被作为了整除的第一大性质来介绍。
同余性质有以下两个重要的定理：同余定理一：若a≡b(mod m)，则a+c≡b+c(mod m)。
同余定理二：若a≡b(mod m)，则ac≡bc(mod m)。
同余性质的理解和应用需要通过大量的例题和练习来掌握。
同时，同余在很多实际问题中也有着广泛的应用。
整除性质二：倍数性质我们已经知道整除的定义：设a和b是两个整数，且b≠0，则若存在整数c，使得a=bc，则称a被b整除，记作b|a。
倍数就是指某一个数是另一个数的整倍数，例如4是2的倍数，2是1的倍数等等。
倍数性质便是指整数a、b、c之间的倍数关系具有一系列特殊的性质。
倍数性质有以下三个定理：倍数定理一：若a|b且b|c，则a|c。
倍数定理二：若a|b，则a|bc。
倍数定理三：若a|b且a|c，则a|xb+yb（其中x、y为任意整数）。
倍数性质的难点在于理解和应用，湘教版七年级数学教案二中对倍数性质也进行了深入的讲解。
整除性质三：因数的互质性质互质性质是指两个数之间没有公因数，即它们的最大公约数为1。
例如，2和3、4和9都是互质的。
因为2和3没有公因数，2和4也没有公因数，4和9也没有公因数。
互质性质在数论中是一个基本概念，也是整除相关问题中比较重要的一个性质。
数论中的整除与同余概念
数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。
整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。
同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。
首先，我们来讨论整除的概念。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。
即b能够被 a 整除而没有余数。
整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。
例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。
这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。
那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。
正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。
整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。
质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。
这个思想就是质数检验的基础。
接下来，我们来深入讨论同余的概念。
给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。
2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。
3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。
例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。
那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。
整除和余数教案
整除和余数教案教案：整除和余数一、教学目标：1. 掌握整除和余数的概念；2. 能够灵活运用整除和余数的概念解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 整除的概念和性质；2. 余数的定义和计算方法；3. 整除和余数在实际问题中的应用。
三、教学过程：【导入】引入整除和余数的概念，以学生已掌握的知识为基础，如数的四则运算和倍数的概念。
【探究】1. 整除的概念和性质- 定义：若整数 a 能被整数 b 整除，即 a/b 的商为整数，则称 a 能被 b 整除，记作 b|a。
- 性质：（1）若 a 能被 b 整除且 b 能被 c 整除，则 a 也能被 c 整除；（2）一个数能被 1 整除；（3）一个数能被本身整除。
2. 余数的定义和计算方法- 定义：若整数 a 除以整数 b，商为 q，余数为 r，则 a = b * q + r，且 0 <= r < b。
- 计算方法：将 a 除以 b，取商的整数部分作为商，余数即为 a 除以 b 的余数。
3. 整除和余数在实际问题中的应用- 实际问题一：一辆公共汽车可乘坐 50 位乘客，已知有 576 人需要乘坐公共汽车，请问还需要多少辆公共汽车？分析：由题意可知，每辆公共汽车能乘坐 50 位乘客，因此需要的公共汽车数量等于 576 除以 50 的商加 1，余数不为 0 时需要再加 1。
解答：576 除以 50 等于 11，余数为 26，因此需要 11 辆公共汽车。
- 实际问题二：小明把一副扑克牌按照顺序排列，每次从中取出 4 张牌，最后剩下 3 张。
请问原本有多少张牌？分析：由题意可知，从中取出 4 张牌后，剩下的牌数除以 4 的余数为 3。
解答：设原本有 x 张牌，则 x 除以 4 的余数为 3，可以列方程 x ≡ 3 (mod 4)，解得 x = 3 + 4k（k 为任意整数）。
由题意可知，小明取出的 4 张牌不多于 52 张（一副扑克牌有 52 张），因此 x 的值不超过52，带入方程可得 x = 3, 7, 11, ..., 51。
备课讲解数论中的整除与同余
备课讲解数论中的整除与同余数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
在数论中，整除和同余是重要且常见的概念。
本文将详细介绍整除与同余的定义、性质以及应用。
一、整除的定义与性质整除是数论中最基本的概念之一，它描述的是一个整数是否能够被另一个整数整除。
具体来说，如果整数a能被整数b整除，则称a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
这是整除关系的一个重要性质，可以简单地通过数学归纳法证明。
2. 整除的性质：对于任意的整数a和b，有以下性质成立：（1）a|a，即任何整数都能被它自身整除；（2）1|a，即任何整数都能被1整除；（3）如果a|b且b|c，则a|c，即整除关系满足传递性；（4）如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y为任意整数。
3. 整数的因子与倍数：如果a能被b整除且a≠b，则b称为a的因子，a称为b的倍数。
例如，4能被2整除，2是4的因子，4是2的倍数。
二、同余的定义与性质同余是数论中另一个重要的概念，它描述的是两个整数在除以同一个数后得到相同的余数。
具体来说，如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
1. 同余的性质：对于任意的整数a、b和正整数m，有以下性质成立：（1）自反性：a≡a(mod m)；（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；（4）同余关系的加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；（5）同余关系的乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2. 同余类：对于给定的正整数m，每个整数a都与某个在0到m-1之间的整数对应。
整除与同余解析
定理２ (加减法与乘法)
a b(mod m), c d(mod m) a c b d(mod m)
定理３ (除法)
a c b d(mod m)
a c b c(mod m),c 0 a b(mod m )
特别地
(c, m)
a c b c(mod m), (c,m) 1 a b(mod m)
(a b)2 (a2 b2 )(4ab 1)
由此可得 a b (a b)(4ab 1) a b,
这显然是矛盾的. ∴ a b.
二.奇偶性分析与同余分析
同余理论是确定整数问题的重要而有力的 工具之一,用途十分广泛.同余理论的应用几乎 遍及数论的大多数问题. 同余分析是带余除法 的变形和深入,实质就是通过余数将研究的整 数进行分类,使它们余数的特征展现出来,方便 了问题的解决.
n
m
2.若在 ai bi中,除某一项外,其余各项都能
c c 被 整i除1 ,则i1这一项也能被 整除.
3.若 (a,b) 1,且a bc,则 a c.
4.若 (a,b) 1, 且a c,b c, 则 ab c.
5.若 p为素数,且 p bc,则 p b 或 p c.
例1 求证:对整数 x和 y,若 2x 3y、9x 5y中一
b3c bc3 bc(b2 c2 ), c3a ca3 ca (c2 a2 )
a3b ab3、b3c bc3、c3a ca3 中至少有一个能被5
整除. 综上,结论成立.
注：上述证明先利用整除性质简化问题, 再根 据给定数的特征, 采用分类讨论、考察完全平 方数的特征性质等方法, 使整除性逐步暴露出 来.本题如果用余数分析法则比较方便(见后面 同余分析).
奇偶性分析实质是模为 2 的一种特殊的同 余分析.
第二次课整除与同余
（3）因为性c质a3，：如则果存c在a且整c数b，q则1，cu使a+vb，其中u，v是整数
a = q1c
①
两边同乘以整数u，有
ua=p1c (其中p1=uq1) ② 同理cb，有
vb=p2c (其中p2=vq2) ③
②+③ 得出：
pc=ua+vb
其中p=p1+p2=uq1+vq2 ， 故cua+vb．
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素．
推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1．
证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件．
如果存在u，v，使 ua+vb = 1．
则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1． 整除性质3
3824 = 21837+150 1837 = 12150+37
150 = 437+2 37 = 182+1
2 = 21 得(3824，1837) = 1， 故(3824，1837) = 1．
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存在两个整数u， v，使 (a，b)= ua+vb．
显当r = 0时，ba．
证明
带余除法：
例3 1）a = –37， b= 5，则 –37 = (8)5+3，r = 3． 2）a = 67，b= 7，则 67 = (9)( 7)+4，r = 4．
最大公因子（定义）
定义2：
1）设a，b是两个整数，如果整数ca且cb，则c称为a，b的
公因子．
第二讲-同余(数论复赛辅导)
第二讲 同余一.基础知识1.定义1. 设m 是正整数，若用m 去除整数b a ,，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作a)(mod m b .例如：)15(mod 434≡，)7(mod 11000-≡，98(mod 2) 等等。
当m b <≤0时，)(mod m b a ≡，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。
对于固定的模m ，通常有下面的性质：性质1. )(mod m b a ≡的充要条件是,a mt b t Z =+∈也即)(|b a m -。
性质2.同余关系满足以下规律：（1）（反身性）)(mod m a a ≡；（2）（对称性）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）（传递性）若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡；（4）（同余式相加）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a ±≡±；（5）（同余式相乘）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m bd ac ≡；注意：① 反复利用（4）（5），可以对多于两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式 ；② 特别地，由（5）易推出：若)(mod m b a ≡，c k ,为整数且0>k ，则)(mod m c b c a kk ≡； ③ 同余式的消去律一般并不成立，即从)(mod m bc ac ≡未必能推出)(mod m b a ≡，可是我们却有以下结果：若)(mod m bc ac ≡，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡),(mod c m m b a . 由此可以推出：（6）若,1),(=m c )(mod m bc ac ≡，则有)(mod m b a ≡，即在c 与m 互素时，可以在原同余式两边约去c 而不改变模.（7）若)(mod m b a ≡，d ｜m ，则)(mod d b a ≡；（8）若)(mod m b a ≡，0≠d ，则)(mod dm db da ≡；（9）若(mod )(1,2,,)i a b m i k ≡=L ，则12(mod [,,,])k a b m m m ≡L ，特别地，若12,,,k m m m L 两两互素时，则有12(mod )k a b m m m ≡⋅⋅⋅L ；性质3.若k i m b a i i ,,2,1),(m od Λ=≡，则)(mod 11m b a k i k i i i ∑∑==≡；11(mod )k ki i i i a b m ==≡∏∏； 性质4.设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则))(mod ()(m b f a f ≡。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、引言1.整除与同余的概念2.不定方程的定义及背景二、整除与同余1.整除的定义与性质2.同余的定义与性质3.整除与同余的关系三、不定方程1.不定方程的概念与例子2.不定方程的解法与性质3.不定方程在数学中的应用四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系2.利用整除同余解决不定方程的案例五、总结1.整除同余与不定方程的重要性2.研究整除同余与不定方程的意义与价值正文：一、引言整除与同余是代数学中的基本概念，而不定方程作为代数学中的一个重要分支，也具有广泛的应用。
本文将围绕这三个主题展开讨论，分析它们之间的关系及其在数学中的应用。
二、整除与同余1.整除的定义与性质整除是指一个整数除以另一个整数后，余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
整除具有传递性、可交换性和结合性等性质。
2.同余的定义与性质同余是指两个整数除以某个整数后，余数相同。
例如，11 和17 同余，因为它们除以3 的余数都是1。
同余具有自反性、对称性和传递性等性质。
3.整除与同余的关系整除是同余的特殊情况，即当除数为1 时，同余就是整除。
另外，同余可以转化为整除，方法是将同余问题转化为整除问题，然后再用整除的性质解决问题。
三、不定方程1.不定方程的概念与例子不定方程是指含有未知数的等式，其中未知数的次数大于等于1。
例如，x^2 + 2x + 1 = 0 是一个二次不定方程。
2.不定方程的解法与性质求解不定方程的方法有多种，如因式分解法、代数余数定理等。
而不定方程的性质包括有解性、无解性、有唯一解、有无穷多解等。
3.不定方程在数学中的应用不定方程在数学中有着广泛的应用，如在密码学、计算机科学、组合数学等领域都有重要的应用价值。
四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系整除同余与不定方程之间存在密切的联系。
例如，求解不定方程时，有时需要利用整除同余的性质将问题进行转化。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程1.引言整除同余和不定方程是数论中的基础概念和重要研究领域。
它们在代数数论、数论几何以及密码学中都有广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地介绍整除同余和不定方程的相关概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
2.整除同余2.1 整除的定义在整数集中，如果某个整数a可以除尽另一个整数b，则称a整除b，记作a | b。
4整除12，我们可以表示为4 | 12。
2.2 同余的定义在整数集中，如果两个整数a和b除以一个正整数m得到的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
12被5除的余数为2，7被5除的余数也为2，所以我们可以表示为12 ≡ 7 (mod 5)。
2.3 重要性质整除同余关系具有以下重要性质： - 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，都有a + km ≡b (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，都有ak ≡ bk (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，且c ≡d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和ac ≡ bd (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，则a的n次幂与b的n次幂对模m同余。
3.不定方程3.1 不定方程的概念不定方程是指方程中有未知数，并且要求寻找整数解的方程。
ax + by = c就是一个不定方程，其中a、b和c是给定的整数，而x和y是未知数。
3.2 整数解与不定方程对于不定方程ax + by = c，如果存在整数解(x0, y0)，则称该不定方程有整数解。
3.3 整数解的存在性根据欧几里得算法和裴蜀定理，不定方程ax + by = c有整数解的充分必要条件是：gcd(a, b) | c，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。
4.应用与拓展整除同余和不定方程在数论中有着广泛的应用，并且在实际应用中有很多拓展。
4.1 应用1：代数数论整除同余和不定方程在代数数论中是非常重要的。
5 5 5 同余问题 教师版
5 5 5 同余问题教师版5-5-5同余问题教师版5-5-3.同余问题教学目标1.学习同余的性质2.利用整除性质判别余数科学知识指点同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除存有相同的余数，那么表示a、b对于模m同余，用式子则表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫作同余式。
同余式读成：a同余于b，模m。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m获得的余数相同，则a，b的差一定能够被m相乘（17?11）例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除．（2）用式子则表示为：如果存有a≡b(modm)，那么一定存有a－b＝mk,k就是整数，即m|(a－b)3、余数辨别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“n被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数r，使得：n与r对于除数m同余．由于r是一个较简单的数，所以可以通过计算r被m除的余数来求得n被m除的余数．⑴整数n被2或5除的余数等同于n的个位数被2或5除的余数；⑵整数n被4或25除的余数等同于n的末两位数被4或25除的余数；⑶整数n被8或125除的余数等同于n 的末三位数被8或125除的余数；5-5-3.同余问题.题库教师版page1of8⑷整数n被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数n被11除的余数等同于n的奇数位数之和与偶数位数之和的高被11除的余数；（比较减至的话先适度提11的倍数再减至）；⑹整数n被7，11或13除的余数等于先将整数n从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的高被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1)39?3?36，51-3=48，147?3?144，(36,144)?12，12的约数就是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于税金的余数相同，获得这个数一定能够相乘这三个数中的任一两数的差，也就是说它就是任一两数高的公约数．51?39?12，147?39?108，(12,108)?12，所以这个数就是4,6,12．【答案】4,6,12【基准2】某个两位数加之3后被3除余1，加之4后被4除余1，加之5后被5除余1，这个两位数就是______.【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空题【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加之3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
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A( a m 1 a m 2 a 0 ) p .【例题分析】位数•于是所求的三位数只有 512.3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为x,y,z ，则32原数 10 x 10 y 10z y①;QO颠倒后的新数103y 102z 10y x ②、整数的进位制1、【十进制数】给定一个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。
, A 可以表示成 m 2a m 2 10A a m 1 a m可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 10 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称a 1 p a ，其中 p 进制数，记为解: 由于 100 abc 999，则100 (a b3c) 999，从而 5 a bc ! 9 ；当a b c 5时， 53125 (1 2 5)3; 3当a b c 6时，6216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3;3当a b c 8时，8512 (5 12)3;当ab c 9时， 93 729 (7 2 9)3;b c ）3的所有三位数1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（）A 4000B 4004C 4008 40102.求满足abc (a abc 。
由②—①得7812 = 999(y x) 90(z y)2即868 111(y x) 10(z y) 10 (y x) 10(z x) (y x) ③比较③式两端百位、十位、个位数字得y x 8,z x 6.由于原四位数的千位数字x不能为0,所以x 1，从而y x 8 9，又显然百位数字y 9 ,所以y 9,x 1,z x 6 7，所以所求的原四位数为1979.二、整除的概念及其性质(一)、基本概念1、定义：设a,b是给定的整数，b 0，若存在整数c，使得a be,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(或因数)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述e，则称b不能整除a，记作a.2、整除的性质(1)若b | e且e | a，则b | a (传递性)；⑵若b |a且b | e，则b | (a e)；若反复运用这一性质，易知 b |a及b|e，则对于任意的整数u,v有b | (au ev);n更一般，若a |b i，则a | C i b 其中e Z, i 1,2 ,L , n；i 1⑶若b | a，则或者a 0，或者| a | | b |;特别地，若b | a且a | b，则a b ；(4)(带余除法定理)设a,b为整数，b 0，则存在一对整数q和r，使得a bq r，其中0 r b，满足以上条件的整数q和r是唯一确定•整数q称为a被b除得的商，数r称为a被b除得的余数。
注意：r共有b种可能的取值：0,1,……,b 1 ；若r 0，即为a被b整除的情形；(5)若n是正整数，则x n y n (x y)(x n 1 x n 2y xy n 2 y n 1)；n m(6) 如果在等式 a b k中去掉某一项外，其余项均为e的倍数，则去掉项也是e的倍数；i 1 k 1(7) m (m >2且m Z )个连续整数中，有且只有一个是m的倍数；(8) 任何n (n >2且n Z )个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续正整数之积能被6整除;(9 )若一个整数的未位数字能被 2 (或5)整除，则这个数能被 2 (或5)整除，否则不能；(10 ) 一个整数的数码之和能被 3 (或9)整除，则这个数能被 3 (或9)整除，否则不能；(11 )若一个整数的未两位数字能被 4 (或25 )整除，则这个数能被 4 (或25 )整除，否则不能；(12 )若一个整数的未三位数字能被8 (或125 )整除，则这个数能被8 (或125 )整除，否则不能；(13 )若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
(14 ［① 质数：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质数或素数；② 合数：如果一个正整数包含有大于1且小于其本身的因子，则称这个正整数为合数。
(二)、奇数、偶数的性质(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数，奇数奇数=奇数；任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数•(2)奇数的平方都可以表示成8m 1的形式，偶数的平方可以表示为8m或8m 4的形式，其中m Z；(3 )任何一个正整数n，都可以写成n 2m l的形式，其中m为负整数，|为偶数。
(4)若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
(三)、完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称为平方数，平方数有以下性质：(1 )平方数的个位数字只可能是0, 1 , 4,5 , 6, 9 ；(2 )偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1 ；(3)奇数平方的十位数字是偶数；(4 )十位数字是奇数的平方数的个位数一定是 6 ；(5 )不能被3整除的数的平方被 3除余1，能被3整除的数的平方能被 3整除。
因而，平方数被 9除的 余数为0,1 , 4,7，且此平方数的各位数字的和被 9除的余数也只能是 0,1 , 4,7 ;(6) 平方数的正约数的个数为奇数个； (7)任何四个连续整数的乘积加 1，必定是一个平方数。
(四) 、格点：数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点【例题分析】5、 (2008 )对每一实数对 Ly,函数 f(i )w JEr (x + y )-f(x) +f(y>+xy + l f 若 1(-2〉--2,试求 满足f(a)=a 的所有整数雲1、(2005 年 11 )若 2629 2n 为一个平方数，则正整数n22、(2009 )多项式 3x +3X-194 2223x+2 =a 0+a 1x+a 2x +L +a 22x ，贝U a+a 3+a 5+L +a 21 =3、(2007 )设数列 a n 满足：a 1=1, %1=5a n J24%2 1, n N ，求证： a 的各项都是正整数解(j -5 J =24a ： +14=l(n =2,3,…) 所以己】-10+ai = l(n-2,3,*»)(2)由(i) J2)得％釧足方程f -=1的抿+(V 】=10a,(同时由已知可 a n >0} a, = 1 宀=10191*3 = 10*2 - *4 是整数二 10%「％.】(nN2)是整数 所UllaJ 的各项鄒是4、( 2009 )证明：平面直角坐标系 xoy 内存在不在一条直线上的 2009个整点，使得每条直线上至少有3个整点，且任意两点的距离都是整数 证明 闵为(『-h ；)； +(2ab)" = (a :+b J )J设%・K!,h ■普住=2宀町= u/易蜥扎人,人(卜",……n)均为整慝 && A A (2^i < 显然为 SStiW A Q A E = Aj A t (k -2,+-n) 设点扎为⑺!4)小为(亠细肋人为(O,y k )(k =2t ..... ■)下面证唾A.A fc (k =2, ..... n )为整戴札札-Jew 尸■帶尸】2(3尸■ 为整敷显然 a b ，令(a,b) d ，则 a a i d,b bid ， (a^bj 12 2从而a b = (a 1 b 1)d ，将其代入①得2a 1 d a 1 b 1 3b 1 d ②2因为d | 2a 1 d ，所以d | (印bj ，从而d 印 d ；2而②式又可写成G b 1) (2a 1 2b 1 1) b 1d ；因为(a,b) d 且(a 1, b 1) 1，所以(a 1 b 1,b 1) 1 (a 1 b 1) 所以佝bi) | d ，从而a 1 b 1 d 。
所以d a 1 b 1，所以a b =⑻ bjd d 2，从而a b 为完全平方数。
三、同余的定义及其性质【定义1】.设m 是正整数，若用 m 去除整数a,b ，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作a b(modm)，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作 a*b(modm).例如：344(mod15), 1000 1(mod 7) , 9^8(mod2)等等。
当0 b m 时，a b(mod m)，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。
对于固定的模m ，通常有下面的性质： 性质1. a b(mod m)的充要条件是a mt b,t Z 也即m|(a b)。
性质2.同余关系满足以下规律： (1)(反身性) a a(mod m);(2)(对称性)若 a b(mod m)，则 b a(mod m)；(3) (传递性)若 a b(mod m), b c(mod m)，贝U a c(mod m);解：令 X = y =0,得 ffo) H - 1^x=y = f(祥 2} = f( -1)=-2^x = l T y= -1,得f(!)"^x = l t i» f(y + l) =f(y) +y+2 ①.-,f(y + l}-f(y)»y+2f(n + 】)一f(n)；sn+2即 f(2) -f(l) =1 +2,f(3)"⑵=2 + 2 f(n +1) -f(u) =n-»-2相加得 f(n)=~n 3+yn-lf(n)=叫解得n = l 或n = -26 .证明：若正整数 a, b 满足2a 2 a 3b 2b ，则a b 和2a 2b 1都是完全平方数。
2 2证：已知2a a 3b b2 2 22(a b ) (a b) b2(a b ) ( 2a 2b 1 )= b ①所以2a 2b 1b 2弓)2也是完全平方数。