保险精算 复习分析

或：
m n
s m an (1 i)
m n
2)期初付延期年金
现值
m
n v v a
m
m 1
v
2
m n 1
v (1 v v v )
m
n1
n v a
m
或：
m
n a m n a m a
。
终值
2 n s ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
1）期末付延期年金
现值
m
an v v
m
m 1
v
m n 1
v an
m
或：
m
an am n am
终值
2 n 1 s 1 ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
(1 i ) n 1 sn i
n
每年末存入1元，第n年末可得 sn
二、
n 1 v v v a
2
n 1
1 v d
n
n v 或： 1 da
n
。
2 n sn (1 i ) (1 i ) (1 i )
(1 i ) n 1 d
三、延期m年的n年期年金
5、标准递减型年金
n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-----，1 现值：
( Da)n
n an i
终值
( Ds ) n (1 i ) ( Da ) n
n

n(1 i)n sn i
2) 、期初付
现值：
)n ( Da
终值：
公式一 公式二
d 1 v
及：
及：
vt vt (1 d )t
v 1 d
at (1 d )
t
三、实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。

实际利率为i。 每次计息的实际利率为 i（m）/m 。 则：
1 vn 1 vn ln v (1 i ) n 1

永续年金 a 1

7、永续年金
1）期末付年金现值
2）期初付年金现值
1 vn 1 a lim an lim n n i i
n
1 期初投资 i 元，
则 每年可获得1元
1 期初投资 d 元，则
终值
( Is ) n (1 i ) ( Ia ) n
n

sn n i
.
2）期初付 各年初支付如下： 1，2，3，-----，n 现值：
)n ( Ia
n nv a d
n
终值
) n (1 i ) ( Ia ) n ( I s
n

sn n d
d ( m) m

i( m ) m

d ( m) m
(1
d ( m) m m
)
六、利息力
瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能 力。 1）常数利息力 定义 ：
lim i
m
( m)
。
lim m[(1 i) 1]
m
1 m
ln(1 i)
第二章
设年名义利率为i（m），年
所以：
i (1
或：
i( m ) m m
) 1
1 m
1 i (1
i( m ) m m
i
( m)
m[(1 i) 1]
)
四、实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。
名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现
率。
设年名义贴现率为d(m), 所以： 实际贴现率为d， 则：每次的贴现率为d ( m ) d ( m) m d 1 (1 )
n an d
n
) n ( D s) n (1 i ) ( Da
n(1 i) sn
n
d
6、连续年金
现值
an 终值 sn
n 0 t ( 1 i ) (1 i )t dt ln( 1 i) n 0 n 0 t v v t dt ln v n 0
年金
主要内容
年金的定义 年金的类型 年金的现值与终值
一、
an v v v
2
n
1 v i
年金。
n
年初存入 an ，则每年末可得到 1元的
。
sn 1 (1 i ) (1 i ) (1 i )
2 n 1
(1 i) 1 i
1 v 1 lim a n lim a n n d d
每年可获得1元
第一章 生命表基础
主要内容：
1、生命状态 2、死亡函数、生存函数 3、余命函数 4、取整余命 5、几种生存函数假设
一、x分布函数
1、死亡函数
F ( x) Pr(X x)
第一章
利息的基本概念
主要内容
累积函数 利息 利率 单利与复利 现值函数 一年计息m次的实际利率与实际贴现率 利息力
一、贴现率与利率
d
或：
an an1 an

(1i ) (1i ) n (1i )
n
n1

i 1i
d i v i
d 1d
二、贴现率与折现因子
(1 i) n 1 d sn
或：
m
n m a n (1 i ) s
m n
4、标准递增型年金
1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-----，n 现值：
( Ia ) n v 2v 3v nv
2 3
n
( Ia)n
n nvn a i
m
m
或：
1 d (1
d ( m) m m
)
d
( m)
m[1 (1 d ) ]
1 m
五、i(m)与d(m) 的关系
1元钱在年末的累积值 为： 则：
i(m) m (1 ) 得：m
(1
或：
i
(m)
(1
m
)
m
d ( m) m m
பைடு நூலகம்
)
i( m ) m

( x 0)
又称为0岁的人在 F (0) 0 F ( ) 1
x
岁之前死亡的概率。通常假定
且F(x)是一个连续型随机变量。
2、生存函数
s(x)用表示0岁的人在x岁还活着的概率，则：