中考压轴题系列52数字变化类规律性问题
中考数学规律问题数字变化类汇编及答案1
中考数学规律问题数字变化类汇编及答案1一、规律问题数字变化类1．已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：第1行1第2行-23第3行-45-6第4行7-89-10第5行11-1213-1415……按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（）A．-4954 B．4954 C．-4953 D．49532．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a2012为（）A．a2012＝4（12）2011B．a2012＝2（22）2011C．a2012＝4（12）2012D．a2012＝2（22）20123．将正偶数按下表排成5列第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行 (2826)…则2004应该排在（）A．第251行，第3列B．第250行，第1列C ．第500行，第2列D ．第501行，第5列4．观察下列等式：12=1，22=4，32=9，42 =16，52=25，．．．，若22222212345...n ++++++的个位数字是1（02020n <≤，且n 为整数），则n 的最大值是( ) A ．2001B ．2006C ．2011D ．20195．有一列数：a 1、a 2，a 3，…，a n ；其中a 1＝0，a 4＝2，若a i ＋a i ＋1＝a i ＋2 （i≥1，i 为正整数） ，则a 7＝（ ） A ．5B ．8C ．10D ．136．已知数列1b ，2b ，3b ，···满足121n n nb b b +++=，其中1n ≥ ，若12b =且25b =，则2019b 的值为 （ ）A ．2B ．5C ．45D ．357．a 是不为2的有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”，如：3的“哈利数”是2223=--，－2的“哈利数”是()21222=--，已知13a =，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，…，依次类推，则2018a =（ ） A ．3B ．-2C ．12D ．438．为了求2310012222+++++的值．可令2310012222S =+++++，则234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，即231001*********+++++=-．仿照以上推理计算23202013333+++++的值是（ ）A ．202031- B ．202131-C ．2020312-D ．2021312-9．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，用你所发现的规律得出2017201822+的末位数字是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．610．一列数，按一定规律排列成：1,2,4,8,16---，…，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a ，则这三个数中最大数与最小数的差为（ ） A ．aB ．aC ．2aD ．2a11．观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（ ） A ．2500B ．2501C ．2601D ．260212．已知有理数a ≠1，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112=--1，﹣1的差倒数是()11112=--．如果a 1=﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…依此类推，那么a 1+a 2+…+a 109的值是( ) A ．8B ．﹣8C ．6D ．﹣613．如果a 是大于1的正整数，那么a 的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，已知3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a 的值是（ ） A ．36 B ．45C ．52D ．6114．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（ ）A ．190B ．1360C ．1840D ．150415．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝11649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72022的末位数字是（ ） A ．0B ．6C ．7D ．916．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．计算（a +b ）n的结果中的各项系数依次对应杨辉三角的第（n +1）行中的每一项，如，（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，若t 是（a ﹣b ）2019展开式中ab 2018的系数，则t 的值为（ ）A ．2018B ．﹣2018C ．2019D ．﹣201917．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项式()na b +的展开式中各项系数的规律，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算()6a b +的展开式中从左起第四项的系数为（ ）A ．64B ．20C ．15D ．618．一串数字的排列规律是：第一个数是2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为1，则第2020个数是（ ） A ．12-B ．1-C ．2-D ．219．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…按此规律，若3m 分裂后，其中一个奇数是2021，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4320．按一定规律排列的一列数依次为：﹣22a ，55a ，﹣810a ，1117a ，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第10个数是（ ） A ．2363aB ．2680a -C ．29101aD ．32101a21．一列数按某规律排列如下： 1121231234,,,,,,,,,1213214321…，若第n 个数为57，则n =（ ） A ．50B ．60C ．62D ．7122．定义一种关于整数n 的“F”运算：（1）当n 时奇数时，结果为35n +；（2）当n 是偶数时，结果是2k n （其中k 是使2k n是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取58n =，第一次经F 运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74…；若449n =，则第449次运算结果是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 D ．823．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n 的值为（ ）A ．491B ．1045C ．1003D ．53324．根据图中数字的规律，则x+y 的值是（ ）．A ．729B ．550C ．593D ．73825．观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…根据上述算式中的规律，猜想202131-的末位数字应该是 （ ） A ．2B ．8C ．6D ．0【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类 1．A 解析：A 【分析】分析可得：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负；先求出99行最后一个数，然后可求出100行从左边数第4个数． 【详解】解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是：1；第2行有2个数，最后一个数的绝对值是：3=1+2=2(21)2⨯+； 第3行有3个数，最后一个数的绝对值是：6=1+2+3=3(31)2⨯+； 第4行有4个数，最后一个数的绝对值是：10=1+2+3+4=4(41)2⨯+； 第5行有5个数，最后一个数的绝对值是：15=1+2+3+4+5=5(51)2⨯+； ……；∴第n 行有n 个数，最后一个数的绝对值是：(1)2n n +； ∴第99行有99个数，此行最后一个数的绝对值为：99(991)49502⨯+=； ∴第100行从左边数第4个数的绝对值为4954， ∵奇数为正，偶数为负，∴第100行从左边数第4个数为-4954， 故选：A ． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类以及学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负． 2．B解析：B 【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a 1、表示出a 2、a 3、a 4…，根据规律得到第2012个正方形的边长a 2012＝（）2011a 1，把a 1＝2，代入即可求解 【详解】解：设第1个正方形的边长a 1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a 2＝2a 1，第3个正方形的边长为a 3＝2a 2＝2（2a 1）＝（2）2a 1，第4个正方形的边长为a 4＝2a 3＝2（2）2a 1＝（2）3a 1， …，第2012个正方形的边长a 2012＝（2）2011a 1， ∵a 1＝2，∴a 2012＝2（2）2011 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键．3．A解析：A 【分析】观察各行各列的规律，首先分析两端的规律：第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，因为20041612522=⨯+⨯，200482504=⨯+，所以2004在第251行第3列. 【详解】规律为第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，所以2004在第251行第3列. 故选：A. 【点睛】此题考查数字的规律，观察表格得到数字的排列规律，得到特定行列的数字规律并运用解决问题是解题的关键.4．B解析：B 【分析】通过计算得到个位数字为10个一循环，再分别验证选项中的个位数字，将符合个位数字为1的数比较大小可得． 【详解】解：12=1，22=4，32=9，42 =16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，102=100，112=121，122=144，∴个位数是10个数为一个循环， A 、2001÷10=200...1，则200×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+1=9001， B 、2006÷10=200...6，则200×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+（1+4+9+6+2+6）=9031， C 、2011÷10=201...1，则201×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+1=9046， D 、2019÷10=201...9，则201×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）=9090， ∵2001＜2006， 故选B ． 【点睛】本题考查了数字型规律以及有理数的混合运算，解题的关键是找到个位数字为10个一循环．5．B解析：B 【分析】根据a i ＋a i ＋1＝a i ＋2，令i ＝0，1，2依次根据等式求解即可． 【详解】解：∵a i ＋a i ＋1＝a i ＋2， ∴a 1＋a 2＝a 3， ∵a 1＝0， ∴a 2＝a 3，由a 2＋a 3＝a 4，又a 4＝2， ∴a 2＝a 3＝1， 由a 3＋a 4＝a 5， 得a 5＝3，依次，得：a 6＝a 4＋a 5＝5， a 7＝a 5＋a 6＝8， 故选B ． 【点睛】本题考查定义新运算，读懂通式a i ＋a i ＋1＝a i ＋2是关键．6．C解析：C 【分析】根据题中规律依次求出1b 、2b 、3b ······，然后可以发现5个数为一组循环，因此根据201954034÷=即可求解．【详解】由122,5b b ==， 则23115132b b b ++===， 342131455b b b ++===， 4534113535b b b ++===，56431185524545b b b ++===⨯=，与1b 相同．故每5个数为一组循环出现，201954034÷=，第2019个数与第4个数同，故选C ． 【点睛】 本题考查考了整式的规律，实数的规律问题，此类题的关键是要求出前几个数总结规律．7．B解析：B【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】 解：∵a 1＝3， ∴a 2＝223-＝﹣2， a 3＝22(2)--＝12，a 4＝2122-＝43， a 5＝2423-＝3， ∴该数列每4个数为一周期循环， ∵2018÷4＝504……2， ∴a 2018＝a 2＝﹣2， 故选B ． 【点睛】本题主要考查数字的变换规律，根据题意得出该数列每4个数为一周期循环是关键．8．D解析：D 【分析】令S ＝23202013333+++++，然后两边同时乘3，接下来按照例题的方法计算即可． 【详解】令S ＝23202013333+++++，则3S ＝2320213333++++，因此3S−S ＝202131-，所以2S ＝202131-．所以S ＝2021312-，故答案为：D ． 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，主要考查的同学们自主学习的能力，读懂例题是解题的关键．9．D解析：D 【分析】因为122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，观察发现：2n 的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据201745041÷=…，201845042÷=…，得出20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，进一步求解即可． 【详解】解：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，⋯．201745041÷=…， 201845042÷=…，∴20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4， 246+=．故2017201822+的末位数字是6． 故选：D ． 【点睛】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题．10．C解析：C 【分析】根据数字规律，分三个数中两端为正中间为负和两端为负中间为正两种情况讨论，由三个相邻数的和是a ，据题意列式即可求解． 【详解】解：①当三个数中两端为正中间为负 设相邻的三个数为n ，-2n ，4n 由题意可得n-2n+4n=a ，解得：a=3n此时三个数中最大数与最小数的差为：4n-(-2n)=6n=2a ； ②当三个数中两端为负中间为正 设相邻的三个数为-n ，2n ，-4n 由题意可得-n+2n-4n=a ，解得：a=-3n此时三个数中最大数与最小数的差为：2n-(-4n)=6n=-2a ∴则这三个数中最大数与最小数的差为2a 故选：C 【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，熟悉并会用代数式表示常见的数列是解题的关键．11．B解析：B 【分析】观察这个数列知，第n 行的最后一个数是n 2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．【详解】由题意可知，第n行的最后一个数是n2，所以第50行的最后一个数是502=2500，第51行的第1个数是2500+1=2501，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．12．B解析：B【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化规律，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：由题意可得，a1=-2，211 1(2)3a==--，31312 13a==-，a4=-2，…，则123131 2326a a a++=-++=-，∴a1+a2+…+a109=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a106+a107+a108）+a109=136(2) 6⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭=-6+（-2）-8，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．13．B解析：B【分析】根据题意，解得3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a -+，共有a 个奇数，当=45a 时，解得其第一个数与最后一个数，根据计算结果与2021作比较即可解题．【详解】3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，∴3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a -+，共有a 个奇数， =45a 时，第一个数是45(451)1=4544+1=1981⨯-+⨯，一共有45个奇数，最后一个奇数是1981+2(451)=1981+88=2069⨯- 1981<2021<2069∴有一个奇数是2021，则a 的值是45，故选：B ．【点睛】本题考查数字的变化规律，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 14．C解析：C【分析】观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数．【详解】从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是18，第9行的第一个数是19，第10行的第一个数是 110； 再按照上面的规律，可得： 第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即：1117856-=， 第9行的第2个数等于第8行的第1个数减去第9行的第1个数，即：1118972-=， 第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即：1115672252-=， 第10行的第2个数等于第9行的第1个数减去第10行的第1数，即：11191090-=， 第10行的第3个数等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数，即：1117290360-=， 则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即：111252360840-=． 故选：C ．【点睛】本题主要考察学生对规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律． 15．B解析：B【分析】先根据已知算式得出规律，再求出即可．【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，2022÷4=505…2，∴505×（7+9+3+1）+7+9=10116，∴71+72+73+…+72022的末位数字是6，故选：B ．【点睛】本题考查了尾数特征和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 16．C解析：C【分析】（a+b ）1=a+b 展开式中的系数1、1恰好对应图中第二行的数字；（a+b ）2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；（a+b ）3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字． 根据表格中的系数找出规律，ab 2018在展开式的倒数第二项，其系数与原平方式的指数相同．【详解】依据此规律，（a ﹣b ）2019展开式中ab 2018项的系数是2019故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．B解析：B【分析】先观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1，再根据上面观察的规律列出()6a b +的展开式对应的系数即得．【详解】∵杨辉三角数的规律为每排的首尾两数均为1，中间的数为上一排相邻两数之和，且()5a b+的展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1∴()6a b+展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1∴()6a b+的展开式中从左起第四项的系数为：20故选：B．【点睛】本题主要考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是基本抓住规律：每排的首尾两数均为1，中间的数为上一排相邻两数之和，指数为n时展开式的系数为杨辉三角数的()1n+排的数．18．D解析：D【分析】根据要求写出符合要求的数并找到数字变化的规律，利用规律求解即可．【详解】解：∵第一个数是2，第二个数是12，第三个数是-1，第四个数是2，…∴每三个数按照2，12，-1循环，∵2020÷3=673 (1)∴第2020个数和第1个数一致，即：2．故选：D．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解决此类问题时通常需要确定数列与序数的关系或者数列的循环周期等，此题得出这列数每3个数为一周期循环是解题的关键．19．B解析：B【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3分裂成m个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-， ∵2n+1=2021，n=1010， ∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==， ∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选：B ．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．20．C解析：C【分析】根据题目中的数字，从分子和分母两个角度总结规律，从而推出第n 个数的形式，然后代入n =10即可得出结论．【详解】解：首先观察出符号依次交替，则第n 个数的符号可表示为()1n -，然后对于分子，可观察得出分子的指数部分依次增加3，则第n 个数的分子为31n a -， 最后对于分母，可总结出第n 个数的分母为21n +，∴第n 个数表示为：()31211n n a n --+， 当n =10时，()3101291021101101a a ⨯--=+， 故选：C ．【点睛】本题考查数字变化类规律探究，分别从不同角度总结变化规律是解题关键． 21．B解析：B 【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1,(1,2),(1,2,3)，…，分母变化是1,(2,1),(3,2,1)，…，从而可以求得第n 个数为57时n 的值，本题得意解决． 【详解】 1121231234,,,,,,,,,1213214321，…，可写为： 1121231234,,,,,,,,,1213214321⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，∵57的分子和分母的和为12，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为1234567891011,,,,,,,,,, 1110987654321，∴第n个数为57，则123410560 n=++++⋯++=，故选B．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．22．D解析：D【分析】设449经过n次运算结果为a n，根据运算规则求出部分a n的值，根据数值的变化找出变化规律“a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)”，依此规律即可得出结论．【详解】设449经过n次运算结果为a n，通过计算发现规律：a1=1352，a2=169，a3=512，a4=1，a5=8，a6=1，…，∴a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)，∵449=2×224+1，∴a449=8．故选D．【点睛】本题主要考查新定义运算以及数列的变化规律，通过计算，找出数列的变化规律，是解题的关键．23．B解析：B【分析】观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；左下方的数字为20，21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可．【详解】解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；则2n-1=21，解得n=11左下方的数字为：20，21，22，…2n-1；令n=11可得：m=211-1=1024∴n=m+21=1024+21=1045故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类规律题，解题的关键在于根据图表观察、归纳数字变化的规律并灵活运用规律．24．C解析：C【分析】结合题意，根据数字规律，分别计算得x 和y 的值，从而得到x+y 的值．【详解】根据题意，得：88165x =⨯+=888658528y x =⨯+=⨯+=∴65528593x y +=+=故选：C ．【点睛】本题考查了数字规律、有理数运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、有理数加法和乘法、代数式计算的性质，从而完成求解．25．A解析：A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2021除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】已知31=3，末位数字为3，32=9，末位数字为9，33=27，末位数字为7，34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3，36=729，末位数字为9，…∴个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，∵2021÷4=5051，∴20213的个位数字与1次方的个位数相同，∴202131-的个位数字为3-1=2．故选：A ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，观察数据，找出“个位数字每4个数字为一个循环组依次循环”是解题的关键．。
中考数学规律问题数字变化类汇编经典和答案解析1(1)
中考数学规律问题数字变化类汇编经典和答案解析1(1)一、规律问题数字变化类 1．将正整数按下列规律排列数2在第二行第一列，与有序数对（2,1）对应；数5与（1,3）对应，数14与（3,4）对应，根据这一规律，数2015对应的有序数对为 A ．（45，44）B ．（45，12）C ．（44，45）D ．（45，11）2．点 1A 、 2A 、 3A 、…… 、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点 1A 在原点 O 的左边，且 1A O 1=；点 2A 在点 1A 的右边，且 21A A 2=；点 3A 在点 2A 的左边，且32A A 3=；点 4A 在点 3A 的右边，且 43A A 4=；……，依照上述规律，点 2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）A ．2008 、 2009-B ．2008- 、 2009C ．1004 、 1005-D ．1004 、 1004-3．对点(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义其变换法则如下：()()1,,P x y x y x y =+-；且规定()()11,,n n P x y P P x y -=⎡⎤⎣⎦（n 为大于1的整数）．如()()12,33,1P =-，()()()()21111,21,23,12,4P P P P==-=⎡⎤⎣⎦，()()()()31211,21,22,46,2P P P P===-⎡⎤⎣⎦．则()20211,1P -=（ ） A ．()10100,2B ．()10100,2-C ．()10110,2D ．()10110,2-4．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），…，现用等式(),M A i j =表示正整数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如()73,3A =，则2020A =（ ）A ．（44，81）B ．（44，82）C ．（45，83）D ．（45，84）5．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A 21n -B 22n -C 23n -D 24n -6．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将1-、2、3-、4、5-、6、7-、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中+a b 的值为（ ）A ．8-或1B ．6-或3-C ．1-或4-D ．1或1-7．为了求2310012222+++++的值．可令2310012222S =+++++，则234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，即231001*********+++++=-．仿照以上推理计算23202013333+++++的值是（ ）A ．202031-B ．202131- C ．2020312- D ．2021312- 8．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是4-，⋯，则第2021次输出的结果是（ ）A ．6-B ．4-C ．1-D ．2-9．已知f （1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），f （2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），f （3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），…，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2020）的值为（ ） A ．2020B ．4040C ．4042D ．403010．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…以此类推，则2018a 的值为（ ）A ．－1007B ．－1008C ．－1009D ．－201811．如果a 是大于1的正整数，那么a 的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，已知3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a 的值是（ ） A ．36B ．45C ．52D ．6112．若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1)--＝12，现已知x 1＝13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2020的值为（ ） A ．13B ．﹣2C ．﹣13D ．3213．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ）A ．160B ．1168C ．1252D ．128014．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A ．第504个正方形右上角顶点处B ．第505个正方形右下角顶点处C ．第505个正方形右上角顶点处D ．第504个正方形右下角顶点处15．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）A ．201612B ．201712C ．201812 D ．20191216．下面两个多位数1248624…，6248624…，都是按照如下方法得到的：从首位数字开始，将左边数字乘以2，若积为一位数，将其写在右边数位上，若积为两位数，则将其个位数字写在右边数位上．依次再进行如上操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（ ） A ．10091B ．10095C ．10099D ．1010717．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…按此规律，若3m 分裂后，其中一个奇数是2021，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4318．有依次排列的三个数：6，2，8，先将任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新的数串：6，-4，2，6，8，这称为第一次操作，第二次操作后同样可以产生一个新数串：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，继续操作下去，问：第2021次操作后所产生的新数串的所有数之和是（ ） A ．4054B ．4056C ．4058D ．406019．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．9820．已知整数1a 、2a 、3a 、4a 、…满足下列条件：11a =-，212a a =-+，323a a =-+，434a a =-+，…，11n n a a n +=-++（n 为正整数）依此类推，则2020a 的值为（）A ．－1009B ．－2019C ．－1010D ．－202021．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）33x =；（2）51x =；（3）7677x x >；（4）103104x x <；（5）20182019x x <其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐弯处，3在第2个拐弯处，5在第3个拐弯处，7在第4个拐弯处，……．那么，在第200个拐弯处的数是（ ）A ．10101B ．10001C ．399D ．39823．定义一种关于整数n 的“F”运算：（1）当n 时奇数时，结果为35n +；（2）当n 是偶数时，结果是2k n （其中k 是使2k n 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取58n =，第一次经F 运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74…；若449n =，则第449次运算结果是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 D ．824．有一列数：3591724816、、、它有一定的规律性．若把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，……．第n 个数记为a n ，则1232020a a a a ++++的值是（ ）A ．2020B ．2021-202012 C ．2020-202012 D ．2021-20211225．已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 -2 3 第3行 -4 5 -6 第4行 7 -8 9 -10 第5行 11 -12 13 -14 15 ……按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（ ） A ．-4954B ．4954C ．-4953D ．4953【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类 1．D 解析：D 【详解】试题分析：根据所给数表可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；∵45×45=2025，2015在第45行，向右依次减小，∴2015所在的位置是第45行，第11列，其对应的有序数对为（45，11）．故选D ． 考点：探寻规律．2．C解析：C 【分析】先找到特殊点，根据特殊点的下标与数值的关系找到规律，数较大时，利用规律解答． 【详解】解:根据题意分析可得:点A₁, A₂，A₃， .. A n 表示的数为-1，1，-2，2,-3，3,...依照上述规律，可得出结论:点的下标为奇数时，点在原点的左侧，且为下标加1除以2的相反数;点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2; 即:当n 为奇数时，n 1A 2n +=-， 当n 为偶数时，2n n A =所以点A 2008表示的数为: 2008÷2= 1004 A 2009表示的数为:- (2009+1) ÷2=-1005 故选: C ． 【点睛】本题考查探索与表达规律．这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，然后找到规律．3．C解析：C 【分析】根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得()20211,1P -的值即可． 【详解】解：P1（1，-1）=（0，2），P2（1，-1）=（2，-2） P3（1，-1）=（0，4），P4（1，-1）=（4，-4） P5（1，-1）=（0，8），P6（1，-1）=（8，-8） …当n 为奇数时，Pn （1，-1）=（0，122n +），∴()20211,1P -应该等于()101102，．故选C ． 【点睛】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．4．D解析：D 【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答． 【详解】解：根据排列规律，2020是第2020个数，设2020在第n 组， 则1+3+5+···(2n －1)≥2020， ∴(121)2n n+-⋅≥2020，即n 2≥2020，当n=44时，1+3+5+…+87= 1936， 当n=45时，1+3+5+…+89=2025， ∴2020在第45组，又∵第44组最后一个数为1936， ∴2020－1936=84，即2020是第45组第84个数， ∴2020A =（45，84）， 故答案选：D ． 【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，熟记公式1+3+5+···(2n －1)=(121)2n n+-⋅，善用联想探索数字规律是解决此类问题的常用方法．5．B解析：B 【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可． 【详解】解：前（n ﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n ﹣1）=n （n ﹣1），所以，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左到右数第n ﹣2个数的被开方数是n （n ﹣1）+n ﹣2=n 2﹣2，所以，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左到右数第n ﹣2． 故选：B ． 【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．6．B解析：B 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c ，大圈上的数为d ， -1+2-3+4-5+6-7+8=4，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，则b=2-8-6-(-7)=-5，以c=2-4-6-(-5)=-3，剩下两个数为-1和2，且满足-1+2-3+4=2， ∵当a=-1时，d=2，则a+b=-1-5=-6， 当a=2时，d=-1，则a+b=2-5=-3， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的加、减法的应用．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．7．D解析：D 【分析】令S ＝23202013333+++++，然后两边同时乘3，接下来按照例题的方法计算即可． 【详解】令S ＝23202013333+++++，则3S ＝2320213333++++，因此3S−S ＝202131-，所以2S ＝202131-．所以S ＝2021312-，故答案为：D ． 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，主要考查的同学们自主学习的能力，读懂例题是解题的关键．8．A解析：A 【分析】根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第2021次输出的结果，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， 第一次输出的结果为1， 第二次输出的结果为4-， 第三次输出的结果为2-， 第四次输出的结果为1-， 第五次输出的结果为6-， 第六次输出的结果为3-， 第七次输出的结果为8-， 第八次输出的结果为4-， 第九次输出的结果为2-， ⋯，由上可得，从第二次输出结果开始，以4-，2-，1-，6-，3-，-8依次循环出现， (20211)63364-÷=⋯，∴第2021次输出的结果是6-，故选：A ． 【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点．9．B解析：B 【分析】根据题意，可以写出前几项，即可发现末位数字的变化特点，从而可以求出所求式子的值． 【详解】解：∵f （1）=2（取1×2的末位数字）， f （2）=6（取2×3的末位数字）， f （3）=2（取3×4的末位数字）， f （4）=0（取4×5的末位数字）， f （5）=0（取5×6的末位数字）， f （6）=2（取6×7的末位数字）， f （7）=6（取7×8的末位数字）， f （8）=2（取8×9的末位数字）， f （9）=0（取9×10的末位数字），f （10）=0（取10×11的末位数字）， f （11）=2（取11×12的末位数字）， …，可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现， ∵2020÷5=404，∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2020） =（2+6+2+0+0）×404 =10×404 =4040， 故选：B ． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．10．C解析：C 【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值2,n a n =-从而得到2018a 的答案．【详解】 解：10,a =211011,a a =-+=-+=-322121,a a =-+=--+=- 433132,a a =-+=--+=- 544242,a a =-+=--+=- 655253,a a =-+=--+=- 766363,a a =-+=--+=-…以此类推，发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值是其顺序数的一半的相反数，即2,n a n =- 则2018120181009.2a =-⨯=- 故选：C ． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律型，同时考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，乘法运算，掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．11．B【分析】根据题意，解得3a改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a-+，共有a 个奇数，当=45a时，解得其第一个数与最后一个数，根据计算结果与2021作比较即可解题．【详解】3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，∴3a改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a-+，共有a个奇数，=45a时，第一个数是45(451)1=4544+1=1981⨯-+⨯，一共有45个奇数，最后一个奇数是1981+2(451)=1981+88=2069⨯-1981<2021<2069∴有一个奇数是2021，则a的值是45，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化规律，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．12．A解析：A【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，然后即可发现数字的变化特点，从而可以得到x2020的值．【详解】由题意可得，x1＝13，x2＝1113-＝32，x3＝1312-＝﹣2，x4＝11(2)--＝13，…，∵2020÷3＝673…1，∴x2020＝13，【点睛】本题考查了数字类的变化规律、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得相应项的值．13．B解析：B 【分析】根据给出的数据可得：第n 行的第三个数等于112n n --的结果再乘11n -，再把n 的值代入即可得出答案． 【详解】解：根据给出的数据可得：第n 行的第三个数等于112n n --的结果再乘11n -， 则第8行第3个数（从左往右数）为111182881168⎛⎫-⨯= ⎪--⎝⎭； 故选：B ． 【点睛】本题考查与实数运算相关的规律题，通过阅读题意归纳总结有关规律再运算是解题关键．14．B解析：B 【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解． 【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角； 第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角； 第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角； 第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角； 第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环 ∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处． 故选：B 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．15．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意求出面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长，得到S 2，同理求出S 3，根据规律解答． 【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，∴面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长为2，则S 2＝211122==⎝⎭面积标记为S 3的等腰直角三角形的直角边长为2×2＝12 ，则S 3＝22111242⎛⎫== ⎪⎝⎭……则S 2018的值为：201712，故选：B ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键．16．B解析：B 【分析】根据题意进行计算，找到几个数字一循环，然后乘以循环的次数加上非循环的部分即可得到结果． 【详解】解：当第一个数字为3时， 这个多位数是362486248…， 即从第二位起，每4个数字一循环， （2020﹣1）÷4＝504…3， 前2020个数字之和为：3+（6+2+4+8）×504+6+2+4＝10095． 故选：B ． 【点睛】本题考查循环类数字规律题，根据题意找到循环次数，即可求解；本题易错点为是否能找对几个数字循环，易错数目为505次，由于第一个数字不参与循环即易错点为2020漏减1．17．B解析：B 【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-，∵2n+1=2021，n=1010，∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==，∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即m=45． 故选：B ． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．18．C解析：C 【分析】首先根据题意，分别求出前三次操作得到的数分别是多少，再求出它们的和各是多少；然后总结出第n 次操作：求和结果是16+2n ，再把n =2021代入，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：第一次操作：6，-4，2，6，8，求和结果：18，第二次操作：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，求和结果：20，第三次操作：6，-16，-10，6，-4，10，6，-4，2，2，4，2，6，-4，2，6，8，求和结果：22， ……第n 次操作：求和结果：16+2n ， ∴第2021次结果为：16+2×2021=4058． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数字的变化规律，要熟练掌握．19．C解析：C 【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值.【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+……2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y ∴== 79x y ∴+=故选C 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.20．C解析：C 【分析】依次计算1a 、2a 、3a 、4a 、…，得到规律性答案，即可得到2020a 的值. 【详解】11a =-，212a a =-+=-1， 323a a =-+=-2， 434a a =-+=-2，5453a a =-+=-， 6563a a =-+=-，，由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-2n（n 为偶数）， ∴202010102=， ∴2020a 的值为－1010， 故选：C. 【点睛】此题考查代数式规律探究，计算此类题的关键是依次计算得出答案的规律并总结出答案与序数间的关系式，由此来解答问题.21．C解析：C【分析】机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2．【详解】依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1；根据此规律即可推导判断：（1）和（2），显然正确；（3）中，76÷5=15……1，故x76=15+1=16，77÷5=15……2，故x77=15+2=17，16＜17，故错误；（4）中，103÷5=20……3，故x103=20+3=23，104÷5=20……4，故x104=20+2=22，23＞22，故错误；（5）中，2018÷5=403……3，故x2018=403+3=406，2019÷5=403……4，故x2019=403+2=405，故正确．故选：C．【点睛】本题考查的是归纳探索能力，确定循环次数和第n次的对应数字是解题的关键．22．A解析：A【分析】观察图形，依次得到每一个拐弯处的数字与拐弯数n的个数之间的关系，得到相应规律，代入计算即可．【详解】解：第1个拐弯处：1+1=2第2个拐弯处：1+1+1=3第3个拐弯处：1+1+1+2=5第4个拐弯处：1+1+1+2+2=1+(1+2)×2=7第5个拐弯处：1+1+1+2+2+3=1+(1+2)×2+3=10第6个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3=1+(1+2+3)×2=13第7个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+4=1+(1+2+3)×2+4=17……第200个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+…+99+99+100+100=1+(1+100)×100÷2×2=10101故选：A【点睛】本题考查数字的变化规律；得到第n(n为奇数)个拐弯处=1+[1+2+3+…+(n+1)÷2] ×2+(n+1) ÷2,第n(n为偶数)个拐弯=1+1+1+2+2+…+n÷2+n÷2的规律是解决本题的关键．23．D解析：D 【分析】设449经过n 次运算结果为a n ，根据运算规则求出部分a n 的值，根据数值的变化找出变化规律“a 2n =1，a 2n+1=8(n≥2且n 为整数)”，依此规律即可得出结论． 【详解】设449经过n 次运算结果为a n ，通过计算发现规律：a 1=1352，a 2=169，a 3=512，a 4=1，a 5=8，a 6=1，…， ∴a 2n =1，a 2n+1=8(n≥2且n 为整数)， ∵449=2×224+1， ∴a 449=8． 故选D ． 【点睛】本题主要考查新定义运算以及数列的变化规律，通过计算，找出数列的变化规律，是解题的关键．24．B解析：B 【分析】分析数据可得a n = 212n n+= 112n +；从而得到1232020a a a a ++++的表达式为232020111111112222++++++++,根据等比数列的特征即可求和.【详解】解：观察可知∵a n =212n n+= 112n +, 设1232020a a a a ++++=b,则b=232020111111112222++++++++ =23202011112020()2222+++++∴2b=23201911114040(1)2222++++++∴2b-b=23201911114040(1)2222++++++-[23202011112020()2222+++++]∴b=202012020(1)2+-=2020120212-,即1232020a a a a ++++=2020120212-,故选:B. 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题找到a n 的表达式是解题关键.25．A解析：A 【分析】分析可得：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负；先求出99行最后一个数，然后可求出100行从左边数第4个数． 【详解】解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是：1；第2行有2个数，最后一个数的绝对值是：3=1+2=2(21)2⨯+； 第3行有3个数，最后一个数的绝对值是：6=1+2+3=3(31)2⨯+； 第4行有4个数，最后一个数的绝对值是：10=1+2+3+4=4(41)2⨯+； 第5行有5个数，最后一个数的绝对值是：15=1+2+3+4+5=5(51)2⨯+； ……；∴第n 行有n 个数，最后一个数的绝对值是：(1)2n n +； ∴第99行有99个数，此行最后一个数的绝对值为：99(991)49502⨯+=； ∴第100行从左边数第4个数的绝对值为4954， ∵奇数为正，偶数为负，∴第100行从左边数第4个数为-4954， 故选：A ． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类以及学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负．。
【备考期末】福州市中考数学期末规律问题数字变化类汇编
【备考期末】福州市中考数学期末规律问题数字变化类汇编一、规律问题数字变化类1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数，通过一种计算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T= ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是（ ） A ．363B ．153C ．159D ．4562．借助计算器可求得22435，22443355+=，22444333555+=，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想222020420203444333+个个等于（ ）A ．20174555个B ．20185555个C ．20195555个D ．20205555个3．已知整数1234,,,a a a a ……满足下列条件：12132430,1,2,3a a a a a a a ==-+=-+=-+……，依次类推，则2019a 的值为（ ）A ．2018B ．2018-C ．1009-D ．10094．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a 2012为（ ）A ．a 2012＝4（12）2011B ．a 2012＝2（22）2011 C ．a 2012＝4（12）2012D ．a 2012＝2（22）2012 5．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），…，现用等式(),M A i j =表示正整数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如()73,3A =，则2020A =（ ）A ．（44，81）B ．（44，82）C ．（45，83）D ．（45，84）6．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，…，由以上等式可推知3＋32＋33＋34＋…＋32021的结果的末位数字是( )A ．0B ．9C ．3D ．27．已知数列1b ，2b ，3b ，···满足121n n nb b b +++=，其中1n ≥ ，若12b =且25b =，则2019b 的值为 （ ）A ．2B ．5C ．45D ．358．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是4-，⋯，则第2021次输出的结果是（ ）A ．6-B ．4-C ．1-D ．2-9．小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果321-=87654+--=1514131211109++---=242322212019181716+++----= ……根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（ ） A ．360 B ．339C ．440D ．48310．已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：第1行 1 第2行 -2 3 第3行 -4 5 -6 第4行 7 -8 9 -10 第5行 11 -12 13 -14 15 ……按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（ ） A ．-4954B ．4954C ．-4953D ．495311．若线段122A A =，在线段12A A 的延长线上取一点3A ，使2A 是13A A 的中点；在线段13A A 的延长线上取一点4A ，使3A 是41A A 的中点；在线段41A A 的延长线上取一点5A ，使4A 是15A A 的中点……，按这样操作下去，线段2021A A 的长度为（ ）A ．182B ．192C ．202D ．21212．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．10B ．89C ．165D ．29413．将正整数按下列规律排列数2在第二行第一列，与有序数对（2,1）对应；数5与（1,3）对应，数14与（3,4）对应，根据这一规律，数2015对应的有序数对为 A ．（45，44）B ．（45，12）C ．（44，45）D ．（45，11）14．如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律， A 2019的坐标为（ ）A ．（﹣1008，0）B ．（﹣1006，0）C ．（2，﹣504）D ．（2，-506）15．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）A ．201612B ．201712C ．201812 D ．20191216．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．计算（a +b ）n的结果中的各项系数依次对应杨辉三角的第（n +1）行中的每一项，如，（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，若t 是（a ﹣b ）2019展开式中ab 2018的系数，则t 的值为（ ）A ．2018B ．﹣2018C ．2019D ．﹣201917．一串数字的排列规律是：第一个数是2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为1，则第2020个数是（ ） A ．12-B ．1-C ．2-D ．218．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…按此规律，若3m 分裂后，其中一个奇数是2021，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4319．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2016次输出的结果为（ ）A ．3B ．6C ．4D ．820．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．9821．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）33x =；（2）51x =；（3）7677x x >；（4）103104x x <；（5）20182019x x <其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足()()122018232019M x x x x x x =++++++，()()122019232018N x x x x x x =++++++，则M ，N 的大小关系是( )A ．M N <B ．M N >C ．MND ．M N ≥23．观察下面三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…； 1，7，－5，19，－29，67，…； －1，2，－4，8，－16，32，…．分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ ） A ．2563B ．2365C ．2167D ．206924．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n 的值为（ ）A ．491B ．1045C ．1003D ．53325．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．20195)C ．2020(5)D ．20205【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类 1．B 解析：B 【详解】解：把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153； 开始重复，则T=153．故选B ．2．D解析：D 【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可． 【详解】解：∵5，55=，555=， ……∴222020420203444333+个个=20205555个．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．3．C解析：C 【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，结果等于-12（n-1），n 是偶数时，结果等于-2n，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】 解：2 3 4 5|01|1 |12|1 |13|2 |24|2a a a a =-+=-=--+=-=--+=-=--+=-6 7 8|25|3 |36|3 |37|4a a a =--+=-=-+=-=--+=-⋯⋯∴201920181009a a==-，故选择C【点睛】本题考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．4．B解析：B【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a1、表示出a2、a3、a4…，根据规律得到第2012个正方形的边长a2012＝（）2011a1，把a1＝2，代入即可求解【详解】解：设第1个正方形的边长a1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a2＝2a1，第3个正方形的边长为a3＝2a2＝2（2a1）＝（2）2a1，第4个正方形的边长为a4a3）2a13a1，…，第2012个正方形的边长a2012＝（2）2011a1，∵a1＝2，∴a2012＝2（2）2011故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键．解析：D 【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答． 【详解】解：根据排列规律，2020是第2020个数，设2020在第n 组， 则1+3+5+···(2n －1)≥2020， ∴(121)2n n+-⋅≥2020，即n 2≥2020，当n=44时，1+3+5+…+87= 1936， 当n=45时，1+3+5+…+89=2025， ∴2020在第45组，又∵第44组最后一个数为1936， ∴2020－1936=84，即2020是第45组第84个数， ∴2020A =（45，84）， 故答案选：D ． 【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，熟记公式1+3+5+···(2n －1)=(121)2n n+-⋅，善用联想探索数字规律是解决此类问题的常用方法．6．C解析：C 【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32021结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2021÷4＝505……1， 而3+9+7+1＝20， 20×505+3＝10103．所以算式：3+32+33+34+…+32021结果的末位数字是3． 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．7．C解析：C 【分析】根据题中规律依次求出1b 、2b 、3b ······，然后可以发现5个数为一组循环，因此根据201954034÷=即可求解．【详解】由122,5b b ==， 则23115132b b b ++===， 342131455b b b ++===， 4534113535b b b ++===，56431185524545b b b ++===⨯=，与1b 相同．故每5个数为一组循环出现，201954034÷=，第2019个数与第4个数同，故选C ． 【点睛】 本题考查考了整式的规律，实数的规律问题，此类题的关键是要求出前几个数总结规律．8．A解析：A 【分析】根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第2021次输出的结果，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， 第一次输出的结果为1， 第二次输出的结果为4-， 第三次输出的结果为2-， 第四次输出的结果为1-， 第五次输出的结果为6-， 第六次输出的结果为3-， 第七次输出的结果为8-， 第八次输出的结果为4-，第九次输出的结果为2-， ⋯，由上可得，从第二次输出结果开始，以4-，2-，1-，6-，3-，-8依次循环出现， (20211)63364-÷=⋯，∴第2021次输出的结果是6-，故选：A ． 【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点．9．C解析：C 【分析】根据左起第一个数3，8，15，24的变化规律，得出第n 行的左起第一个数为2(11)n +-，由此即可求出第20行的左起第一个数．【详解】根据题意可知，每行的左起第一个数依次为：2321=-， 2831=-， 21541=-， 22451=-，第n 行的左起第一个数为2(11)n +-．∴第20行的左起第一个数为2(201)1440+-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数字的变化规律．根据题意找到规律并利用规律解决问题是关键．10．A解析：A 【分析】分析可得：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负；先求出99行最后一个数，然后可求出100行从左边数第4个数． 【详解】解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是：1；第2行有2个数，最后一个数的绝对值是：3=1+2=2(21)2⨯+；第3行有3个数，最后一个数的绝对值是：6=1+2+3=3(31)2⨯+； 第4行有4个数，最后一个数的绝对值是：10=1+2+3+4=4(41)2⨯+； 第5行有5个数，最后一个数的绝对值是：15=1+2+3+4+5=5(51)2⨯+； ……；∴第n 行有n 个数，最后一个数的绝对值是：(1)2n n +； ∴第99行有99个数，此行最后一个数的绝对值为：99(991)49502⨯+=； ∴第100行从左边数第4个数的绝对值为4954， ∵奇数为正，偶数为负，∴第100行从左边数第4个数为-4954， 故选：A ． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类以及学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负． 11．B解析：B 【分析】根据线段中点的定义，和两点之间的距离，找出题目中的规律，即可得到结论． 【详解】 由题意可知：如图写出线段的长，A 1A 2=2，A 2是 A 1A 3 的中点得A 1A 2=A 2A 3=2， A 1A 3=4，A 3是 A 1A 4的中点得A 1A 3=A 3A 4=4， A 1A 4=8，A 4是 A 1A 5的中点得A 1A 4=A 4A 5=8，…… 根据线段的长，找出规律，∵A 1A 2=2，A 2A 3=2=21，A 3A 4=4=22，A 4A 5=8=23， A 5A 6=16=24，A 7A 8=……， 总结通项公式，∴线段 A n A n+1=2n-1（n 为正整数） ∴线段 A 20A 21=219 故此题选：B 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键.12．D解析：D【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．【详解】依题意，还在自出生后的天数是：2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，故选：D．【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．13．D解析：D【详解】试题分析：根据所给数表可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；∵45×45=2025，2015在第45行，向右依次减小，∴2015所在的位置是第45行，第11列，其对应的有序数对为（45，11）．故选D．考点：探寻规律．14．A解析：A【分析】用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题．【详解】依题意列出前面几个n A的坐标如下表对于n A，当n除以4余1时，n A的纵坐标为0，横坐标32n；当n除以4余2时，n A的纵坐标为n2，横坐标1；当n 除以4余3时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n --； 当n 除以4，整除时，n A 的纵坐标为2n，横坐标2． 运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点2019A 的纵坐标为0，横坐标为2019310082--=-，所以点2019A 的坐标为（-1008，0） ． 故选：A ． 【点睛】 本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．15．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意求出面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长，得到S 2，同理求出S 3，根据规律解答． 【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，∴面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长为2，则S 2＝2111222⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭面积标记为S 3＝12 ，则S 3＝22111242⎛⎫== ⎪⎝⎭……则S 2018的值为：201712，故选：B ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键．16．C解析：C（a+b）1=a+b展开式中的系数1、1恰好对应图中第二行的数字；（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．根据表格中的系数找出规律，ab2018在展开式的倒数第二项，其系数与原平方式的指数相同．【详解】依据此规律，（a﹣b）2019展开式中ab2018项的系数是2019故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．D解析：D【分析】根据要求写出符合要求的数并找到数字变化的规律，利用规律求解即可．【详解】解：∵第一个数是2，第二个数是12，第三个数是-1，第四个数是2，…∴每三个数按照2，12，-1循环，∵2020÷3=673 (1)∴第2020个数和第1个数一致，即：2．故选：D．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解决此类问题时通常需要确定数列与序数的关系或者数列的循环周期等，此题得出这列数每3个数为一周期循环是解题的关键．18．B解析：B【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-，∵2n+1=2021，n=1010，∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==，∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即m=45． 故选：B ． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．19．C解析：C 【分析】根据题意和题目中的运算程序，可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以得到第2016次输出的结果． 【详解】 解：由题意可得，开始输入的x 值为48，第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12， 第3次输出的结果为6， 第4次输出的结果为3， 第5次输出的结果为8， 第6次输出的结果为4， 第7次输出的结果为2， 第8次输出的结果为1， 第9次输出的结果为6， …，由上可得，输出结果从第三次开始，依次以6，3，8，4，2，1循环出现， ∵（2016﹣2）÷6＝335…4， ∴第2016次输出的结果为4， 故选C ． 【点睛】此题考查了代数式求值，通过计算找出其中的规律是解决本题的关键．20．C解析：C依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值.【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+……2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y ∴== 79x y ∴+=故选C 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.21．C解析：C 【分析】机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2． 【详解】依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1；根据此规律即可推导判断：（1）和（2），显然正确；（3）中，76÷5=15……1，故x 76=15+1=16，77÷5=15……2，故x 77=15+2=17，16＜17，故错误；（4）中，103÷5=20……3，故x 103=20+3=23，104÷5=20……4，故x 104=20+2=22，23＞22，故错误；（5）中，2018÷5=403……3，故x 2018=403+3=406，2019÷5=403……4，故x 2019=403+2=405，故正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是归纳探索能力，确定循环次数和第n 次的对应数字是解题的关键．22．B解析：B 【分析】 设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，然后求出M -N 的值，再与0进行比较即可. 【详解】解：根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，∴1p q x -=，∴()()12201823201920192019()M x x x x x x p q x pq p x =++++++=•+=+•； ()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++++++=+•=+•；∴20192019()M N pq p x pq q x -=+•-+•=2019()x p q •- =201910x x •>； ∴M N >； 故选：B. 【点睛】本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小.23．A解析：A 【分析】先总结各行数字的规律：第1行的数是以2为底数，指数是从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；第2行的数字依次比第1行对应位置上的数多3；第3行的数是以2为底数，指数是从0开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；利用上面发现的规律，写出每行的第10个数，进一步求和得出答案即可． 【详解】解：由题意可知，第1行第10个数为：210； 第2行第10个数为：210＋3； 第3行第10个数为：29； 三数和为：210＋210＋3＋29＝2563， 故选：A ． 【点睛】此题考查数字的规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．24．B解析：B 【分析】观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n -1；左下方的数字为20，21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可． 【详解】解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n -1； 则2n-1=21，解得n=11左下方的数字为：20，21，22，…2n -1； 令n=11可得：m=211-1=1024 ∴n=m+21=1024+21=1045 故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类规律题，解题的关键在于根据图表观察、归纳数字变化的规律并灵活运用规律．25．B解析：B 【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解 【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012A A∵1212B A A A = ∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B由题意，以此类推，21C B =22C B =∴第3个正方形1234C C C C 25== …∴第n 个正方形的边长为1n -∴第2020个正方形的边长为2019 故选：B ． 【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．。
北京东直门中学中考数学期末规律问题数字变化类汇编
北京东直门中学中考数学期末规律问题数字变化类汇编一、规律问题数字变化类1．将正整数按下列规律排列数2在第二行第一列，与有序数对（2,1）对应；数5与（1,3）对应，数14与（3,4）对应，根据这一规律，数2015对应的有序数对为A ．（45，44）B ．（45，12）C ．（44，45）D ．（45，11） 2．已知整数1234,,,a a a a ……满足下列条件：12132430,1,2,3a a a a a a a ==-+=-+=-+……，依次类推，则2019a 的值为（ ） A ．2018 B ．2018- C ．1009- D ．10093．点 1A 、 2A 、 3A 、…… 、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点 1A 在原点 O 的左边，且 1A O 1=；点 2A 在点 1A 的右边，且 21A A 2=；点 3A 在点 2A 的左边，且 32A A 3=；点 4A 在点 3A 的右边，且 43A A 4=；……，依照上述规律，点 2008A 、 2009A 所表示的数分别为（ ）A ．2008 、 2009-B ．2008- 、 2009C ．1004 、 1005-D ．1004 、 1004-4．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a 2012为（ ）A ．a 2012＝4（12）2011 B ．a 2012＝22）2011 C ．a 2012＝4（12）2012 D ．a 2012＝2（22）2012 5．观察下列等式：12=1，22=4，32=9，42 =16，52=25，．．．，若22222212345...n ++++++的个位数字是1（02020n <≤，且n 为整数），则n 的最大值是( )A ．2001B ．2006C ．2011D ．20196．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），…，现用等式(),M A i j =表示正整数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如()73,3A =，则2020A =（ ）A ．（44，81）B ．（44，82）C ．（45，83）D ．（45，84） 7．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是2，…，则第2020次输出的结果是（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-8．a 是不为2的有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”，如：3的“哈利数”是2223=--，－2的“哈利数”是()21222=--，已知13a =，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，…，依次类推，则2018a =（ ）A ．3B ．-2C ．12D ．439．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，用你所发现的规律得出2017201822+的末位数字是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．610．一列数，按一定规律排列成：1,2,4,8,16---，…，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a ，则这三个数中最大数与最小数的差为（ ）A ．aB ．aC ．2aD ．2a11．计算：123452=2,2=4,2=82=16,2=32，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测20172的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．612．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．10B ．89C ．165D ．29413．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ）A ．160B ．1168C ．1252D ．128014．小明用教材上的计算器输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为100，那么第2020步之后，显示的结果是（ ）A ．100B ．0.0001C ．0.01D ．1015．已知有理数1a ≠，我们把11a -称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1=-112-，-1的差倒数是11=1(1)2--．如果12a =-，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么12100a a a +++的值是（ ）A ．-7.5B ．7.5C ．5.5D ．-5.5 16．下列图形是按一定规律排列的．依照此规律，第⑥个图形需（ ）根火柴棒A ．40B ．41C ．42D ．4317．已知整数1a 、2a 、3a 、4a ……满足下列条件：11a =-，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，……，1n n a a n +=-+（n 为正整数）依此类推，则2019a 的值为（ ）A ．1010-B ．1009-C ．1008-D ．1007- 18．按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n （0＜n ＜10）作为第一位上的数字，将这个整数n 乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…以此类推．若先任意写的一个整数n 是7作为第一位上的数字，进行2020次如上操作后得到了第2021位上的数字，则第2021位上的数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．919．一列数按某规律排列如下： 1121231234,,,,,,,,,1213214321…，若第n 个数为57，则n =（ ）A ．50B ．60C ．62D ．7120．定义一种关于整数n 的“F”运算：（1）当n 时奇数时，结果为35n +；（2）当n 是偶数时，结果是2k n （其中k 是使2k n 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取58n =，第一次经F 运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74…；若449n =，则第449次运算结果是（ ）A ．1B ．2C ．7D ．821．如图，将1、2、3三个数按图中方式排列，若规定(,)a b 表示第a 排第b 列的数，则(5,4)与(51,30)表示的两个数的积是（ ）A 6B 3C 2D ．122．观察下面三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…；1，7，－5，19，－29，67，…；－1，2，－4，8，－16，32，…．分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ ）A ．2563B ．2365C ．2167D ．206923．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A ．第504个正方形右上角顶点处B ．第505个正方形右下角顶点处C ．第505个正方形右上角顶点处D ．第504个正方形右下角顶点处 24．在一列数123x x x ，，，……中，已知11x =，且当2k ≥时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2014x 等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 25．观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…根据上述算式中的规律，猜想202131-的末位数字应该是 （ ）A ．2B ．8C ．6D ．0【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类1．D解析：D【详解】试题分析：根据所给数表可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；∵45×45=2025，2015在第45行，向右依次减小，∴2015所在的位置是第45行，第11列，其对应的有序数对为（45，11）．故选D ．考点：探寻规律．2．C解析：C【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，结果等于-12（n-1），n 是偶数时，结果等于-2n ，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：123450|01|1|12|1|13|2|24|2a a a a a ==-+=-=--+=-=--+=-=--+=-678|25|3|36|3|37|4a a a =--+=-=-+=-=--+=-⋯⋯∴201920181009a a ==-，故选择C【点睛】本题考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．3．C解析：C【分析】先找到特殊点，根据特殊点的下标与数值的关系找到规律，数较大时，利用规律解答．【详解】解:根据题意分析可得:点A₁, A₂，A₃， .. A n 表示的数为-1，1，-2，2,-3，3,...依照上述规律，可得出结论:点的下标为奇数时，点在原点的左侧，且为下标加1除以2的相反数;点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2;即:当n 为奇数时，n 1A 2n +=-， 当n 为偶数时，2n n A = 所以点A 2008表示的数为: 2008÷2= 1004A 2009表示的数为:- (2009+1) ÷2=-1005故选: C ．【点睛】本题考查探索与表达规律．这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，然后找到规律．4．B解析：B【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a 1、表示出a 2、a 3、a 4…，根据规律得到第2012个正方形的边长a 2012＝（）2011a 1，把a 1＝2，代入即可求解 【详解】解：设第1个正方形的边长a 1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a 21，第3个正方形的边长为a 3＝2a 2＝2（2a 1）＝（2）2a 1，第4个正方形的边长为a 4＝2a 3＝2（2）2a 1＝（2）3a 1， …，第2012个正方形的边长a 2012＝（2）2011a 1， ∵a 1＝2，∴a 2012＝2）2011 故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键． 5．B解析：B【分析】通过计算得到个位数字为10个一循环，再分别验证选项中的个位数字，将符合个位数字为1的数比较大小可得．【详解】解：12=1，22=4，32=9，42 =16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，102=100，112=121，122=144，∴个位数是10个数为一个循环，A 、2001÷10=200...1，则200×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+1=9001，B 、2006÷10=200...6，则200×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+（1+4+9+6+2+6）=9031，C 、2011÷10=201...1，则201×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+1=9046，D 、2019÷10=201...9，则201×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）=9090，∵2001＜2006，故选B ．【点睛】本题考查了数字型规律以及有理数的混合运算，解题的关键是找到个位数字为10个一循环．6．D解析：D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答．【详解】解：根据排列规律，2020是第2020个数，设2020在第n 组，则1+3+5+···(2n －1)≥2020， ∴(121)2n n +-⋅≥2020， 即n 2≥2020， 当n=44时，1+3+5+…+87= 1936，当n=45时，1+3+5+…+89=2025，∴2020在第45组，又∵第44组最后一个数为1936，∴2020－1936=84，即2020是第45组第84个数，∴2020A =（45，84），故答案选：D ．【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，熟记公式1+3+5+···(2n －1)=(121)2n n +-⋅，善用联想探索数字规律是解决此类问题的常用方法． 7．B解析：B【分析】把x=2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2020次输出的结果．【详解】解：把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，⋯，由此可知，奇数次运算结果是1，偶数次运算结果为2∴第2020次输出的结果为2，故选：B ．【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．8．B【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．【详解】解：∵a 1＝3，∴a 2＝223-＝﹣2， a 3＝22(2)--＝12， a 4＝2122-＝43， a 5＝2423-＝3，∴该数列每4个数为一周期循环，∵2018÷4＝504……2，∴a 2018＝a 2＝﹣2，故选B ．【点睛】本题主要考查数字的变换规律，根据题意得出该数列每4个数为一周期循环是关键． 9．D解析：D【分析】因为122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，观察发现：2n 的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据201745041÷=…，201845042÷=…，得出20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，进一步求解即可．【详解】解：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，⋯．201745041÷=…，201845042÷=…，∴20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，246+=．故2017201822+的末位数字是6．故选：D ．本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题．10．C解析：C【分析】根据数字规律，分三个数中两端为正中间为负和两端为负中间为正两种情况讨论，由三个相邻数的和是a，据题意列式即可求解．【详解】解：①当三个数中两端为正中间为负设相邻的三个数为n，-2n，4n由题意可得n-2n+4n=a，解得：a=3n此时三个数中最大数与最小数的差为：4n-(-2n)=6n=2a；②当三个数中两端为负中间为正设相邻的三个数为-n，2n，-4n由题意可得-n+2n-4n=a，解得：a=-3n此时三个数中最大数与最小数的差为：2n-(-4n)=6n=-2a∴则这三个数中最大数与最小数的差为2a故选：C【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，熟悉并会用代数式表示常见的数列是解题的关键．11．A解析：A【分析】先根据已知找出幂的个位数的周期出现规律，分析出20172的个位数字即可；【详解】由12=2，22=4，32=8，42=16，52=32……可以发现2n的个位数字以“2，4，8，6…”4个数字循环周期出现，∵ 2016÷4=504整除，∴20162的个位数是6，∴20172的个位数是2；故答案为：A．【点睛】本题主要考查了数字的规律探索问题，根据已知数据确定数字的周期性规律是解题的关键；12．D解析：D【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．【详解】依题意，还在自出生后的天数是：2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，故选：D．【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．13．B解析：B【分析】根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于112n n--的结果再乘11n-，再把n的值代入即可得出答案．【详解】解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于112n n--的结果再乘11n-，则第8行第3个数（从左往右数）为1111 82881168⎛⎫-⨯=⎪--⎝⎭；故选：B．【点睛】本题考查与实数运算相关的规律题，通过阅读题意归纳总结有关规律再运算是解题关键．14．B解析：B【分析】分别计算出第1至第8步的显示结果，据此可以得出显示结果每6步为周期循环，利用此循环规律求解可得．【详解】解：第1步显示结果为10000，第2步显示结果为1 10000，第3步显示结果为1 100，第4步显示结果为1 10000，第5步显示结果为10000，第6步显示结果为100，第7步显示结果为10000，第8步显示结果为110000，…… 所以显示结果每6步为周期循环，∵2020÷6＝336……4，∴第2020步后显示结果与第4步显示结果相同，为110000＝0.0001， 故选：B ．【点睛】本题主要考查计算器的计算和数字的变化规律，解题的关键是多次计算后得出显示结果每6步为周期循环的规律． 15．A解析：A【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【详解】 解：∵12a =-， ∴2111(2)3a ==--，3131213a ==-，412312a ==--，…… ∴这个数列以-2，13，32依次循环，且1312326-++=-， ∵1003331÷=， ∴121001153327.562a a a ⎛⎫+++=⨯--=-=- ⎪⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 16．C解析：C【分析】根据图形找出图形中的规律即可求解；【详解】第一个图形：12；第二个图形：18；第三个图形：24；……则第n 个图形有6+6n 个，故第六个图形有：6+36=42个故选：C ．【点睛】本题考查了规律探索的题目，关键是仔细观察图形，找到规律；17．A解析：A【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22n n a -=-，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：a 1=-1，a 2=-|a 1+1|=-|-1+1|=0，a 3=-|a 2+2|=-|0+2|=-2，a 4=-|a 3+3|=-|-2+3|=-1，a 5=-|a 4+4|=-|-1+4|=-3，a 6=-|a 5+4|=-|-3+5|=-2，a 7=-|a 6+4|=-|-2+6|=-4…， 所以，n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22n n a -=-， a 2019=12-（2019+1）=-1010， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．18．C解析：C【分析】根据题意，进行六次操作后找到规律，是以7139四位数为周期循环出现，由此可以得出第2021位上的数字．【详解】解：进行第一次操作，7×3＝21，积是两位数，所以得到的数是71；进行第二次操作，1×3＝3，积是一位数，所以得到的数是713；进行第三次操作，3×3＝9，积是一位数，所以得到的数是7139；进行第四次操作，9×3＝27，积是两位数，所以得到的数是71397；进行第五次操作，7×3＝21，积是两位数，所以得到的数是713971；进行第六次操作，1×3＝3，积是一位数，所以得到的数是7139713；进行第七次操作，3×9＝27，积是两位数，所以得到的数是71397139；此时，根据以上规律，可以发现这个数是以7139四位数为周期循环出现；所以，第2020次操作后：2021÷4＝55…1，意思是进行2020次操作后，7139已经完整循环了55次，还余下1次，而第2021位上应是下一个循环的开头的数字7．故选：C．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，理解题意，找准变化的规律是解题的关键．19．B解析：B【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1,(1,2),(1,2,3)，…，分母变化是1,(2,1),(3,2,1)，…，从而可以求得第n个数为57时n的值，本题得意解决．【详解】1121231234 ,,,,,,,,, 1213214321，…，可写为：1121231234,,,,,,,,,1213214321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，∵57的分子和分母的和为12，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为1234567891011,,,,,,,,,, 1110987654321，∴第n个数为57，则123410560 n=++++⋯++=，故选B．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．20．D解析：D【分析】设449经过n次运算结果为a n，根据运算规则求出部分a n的值，根据数值的变化找出变化规律“a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)”，依此规律即可得出结论．【详解】设449经过n次运算结果为a n，通过计算发现规律：a1=1352，a2=169，a3=512，a4=1，a5=8，a6=1，…，∴a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)，∵449=2×224+1，∴a449=8．【点睛】本题主要考查新定义运算以及数列的变化规律，通过计算，找出数列的变化规律，是解题的关键．21．A解析：A【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到(5,4)与(51,30)表示的两个数，进而(5,4)与(51,30)表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环（5，4）在数列中是第（1＋4）×4÷2＋4＝14个，14÷3＝4……2，（5，4）表示的数正好是第5轮的第二个，即（5，4，（51，30）在数列中是第（1＋50）×50÷2＋30＝1305个，1305÷3＝435，（51，435）表示的数正好是第435轮的最后一个，即（51，30故（5，4）与（51，30=故选：A.【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．22．A解析：A【分析】先总结各行数字的规律：第1行的数是以2为底数，指数是从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；第2行的数字依次比第1行对应位置上的数多3；第3行的数是以2为底数，指数是从0开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；利用上面发现的规律，写出每行的第10个数，进一步求和得出答案即可．【详解】解：由题意可知，第1行第10个数为：210；第2行第10个数为：210＋3；第3行第10个数为：29；三数和为：210＋210＋3＋29＝2563，故选：A．【点睛】此题考查数字的规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．23．B【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解．【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角；第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角；第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角；第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处．故选：B【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．24．B解析：B【分析】根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．【详解】解：当2k =时，[]()2111401140024x x ⎛⎫⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 当3k =时，()32211421400344x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当4k =时，()43321431400444x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当5k =时，()54431441410144x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当6k =时，()65541411411244x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， ……发现结果是一个循环，每4个数一个循环，201445032÷=，∴201422x x==．故选：B．【点睛】本题考查数字规律总结，解题的关键是尝试着去寻找规律，利用循环问题的解题方法去解决．25．A解析：A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2021除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】已知31=3，末位数字为3，32=9，末位数字为9，33=27，末位数字为7，34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3，36=729，末位数字为9，…∴个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，∵2021÷4=5051，∴20213的个位数字与1次方的个位数相同，∴202131-的个位数字为3-1=2．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，观察数据，找出“个位数字每4个数字为一个循环组依次循环”是解题的关键．。
2023中考数学复习： 规律性问题
例题 3
5
6
专题二 规律性问题—点坐标变换规律
返回类型清单
当堂检测
5.如图,在△OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),将△OAB与正方
形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次
旋转结束时,点D的坐标为( D )
A.(10,3)
B.(-3,10)
C.(10,-3)
二次函数性质找到最大值.
证明： 由题意,可得m+n=60,将n=60-m代入mn,得mn=m2+60m=(m-30)2+900,
∵-1<0,
∴当m=30时,mn有最大值,最大值为900.
例题 1
1
2
专题二 规律性问题—竖式规律
返回类型清单
当堂检测
1.（ 2022·河北一模）观察下列等式①1=12,②1+3=22,③1+3+5=32,……, 则第6个等式为 1+3+5+7+9+11=62 ;探究其中的规律,通过猜想 写出第n个等式为 1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2 .
例题 2
3
4
专题二 规律性问题—图形规律
返回类型清单
解题技巧
第一步:标序号,按图号标序. 第二步:找规律,将每个图中所求量的个数表示成与序号n有关的式子,使 其呈现一定的规律,从而得到第n个图中所求量的个数. 第三步:验证,代入序号验证所列的关系式是否正确. 第四步:求结果,将所求项的序号代入关系式求得结果.
例题 1
1
2
专题二 规律性问题—竖式规律 例题1
返回类型清单
中考数学规律问题数字变化类汇编经典和答案解析
中考数学规律问题数字变化类汇编经典和答案解析一、规律问题数字变化类1．已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 -2 3 第3行 -4 5 -6 第4行 7 -8 9 -10 第5行 11 -12 13 -14 15 ……按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（ ） A ．-4954B ．4954C ．-4953D ．49532．已知整数1234,,,a a a a ……满足下列条件：12132430,1,2,3a a a a a a a ==-+=-+=-+……，依次类推，则2019a 的值为（ ）A ．2018B ．2018-C ．1009-D ．10093．已知有理数a≠1，我们把11a-称为a 的差倒数，如： 2的差倒数是112-＝－1，－1的差倒数11(1)--＝12．如果a 1＝－2， a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4 是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1＋a 2＋……＋a 100的值是（ ） A ．7.35B ．－7.5C ．5.5D ．－5.54．如图，是小刚在电脑中设计的一个电子跳蚤，每跳一次包括上升和下降，即由点A —B —C 为一个完整的动作．按照图中的规律，如果这个电子跳蚤落到9的位置，它需要跳的次数为 ( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次5．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a 2012为（ ）A ．a 2012＝4（12）2011B ．a 2012＝2（22）2011 C ．a 2012＝4（12）2012D ．a 2012＝2（22）2012 6．某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小时后分裂成8个，按此规律，n 小时后细胞的个数超过1000个，n 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．500D ．5017．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，…，由以上等式可推知3＋32＋33＋34＋…＋32021的结果的末位数字是( ) A ．0B ．9C ．3D ．28．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第6行第3个数（从左往右数为（ ）A ．130B ．148C ．160D ．11059．一列数，按一定规律排列成：1,2,4,8,16---，…，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a ，则这三个数中最大数与最小数的差为（ ） A ．aB ．aC ．2aD ．2a10．计算：123452=2,2=4,2=82=16,2=32，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测20172的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．611．已知f （1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），f （2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），f （3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），…，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f（2020）的值为（ ） A ．2020B ．4040C ．4042D ．403012．若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1)--＝12，现已知x 1＝13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2020的值为（ ） A ．13B ．﹣2C ．﹣13D ．3213．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…以此类推，则2018a 的值为（ ）A ．－1007B ．－1008C ．－1009D ．－201814．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：若输入的值为π，则10y 的值为（ ） A ．2562551ππ+B ．5125111ππ+C ．102410231ππ+D ．204820471ππ+15．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．20195)C ．2020(5)D ．2020516．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…按此规律，若3m 分裂后，其中一个奇数是2021，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4317．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2016次输出的结果为（ ）A ．3B ．6C ．4D ．818．已知整数1a 、2a 、3a 、4a ……满足下列条件：11a =-，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，……，1n n a a n +=-+（n 为正整数）依此类推，则2019a 的值为（ ） A ．1010-B ．1009-C ．1008-D ．1007-19．已知整数1234,,,,a a a a ⋅⋅⋅，满足条件：12132430,1,2,3,a a a a a a a ==-+=-+=-+⋅⋅⋅，依次类推2021a 的值为（ ）A ．1009-B ．1010-C ．1011-D ．2020-20．已知整数1a 、2a 、3a 、4a 、…满足下列条件：11a =-，212a a =-+，323a a =-+，434a a =-+，…，11n n a a n +=-++（n 为正整数）依此类推，则2020a 的值为（）A ．－1009B ．－2019C ．－1010D ．－202021．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）33x =；（2）51x =；（3）7677x x >；（4）103104x x <；（5）20182019x x <其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．定义一种关于整数n 的“F”运算：（1）当n 时奇数时，结果为35n +；（2）当n 是偶数时，结果是2k n （其中k 是使2kn 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取58n =，第一次经F 运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74…；若449n =，则第449次运算结果是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 D ．823．如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律， A 2019的坐标为（ ）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（2，-506）24．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A．第504个正方形右上角顶点处B．第505个正方形右下角顶点处C．第505个正方形右上角顶点处D．第504个正方形右下角顶点处25．如图是一组按照某种规律摆放而成的图形，第1个图中有3条线段，第二个图中有8条线段，第三个图中有15条线，……，则第10个图中线段的条数是（）A．60B．90C．120D．143【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类1．A解析：A【分析】分析可得：第n行有n个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n；且奇数为正，偶数为负；先求出99行最后一个数，然后可求出100行从左边数第4个数．【详解】解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是：1； 第2行有2个数，最后一个数的绝对值是：3=1+2=2(21)2⨯+； 第3行有3个数，最后一个数的绝对值是：6=1+2+3=3(31)2⨯+； 第4行有4个数，最后一个数的绝对值是：10=1+2+3+4=4(41)2⨯+； 第5行有5个数，最后一个数的绝对值是：15=1+2+3+4+5=5(51)2⨯+； ……；∴第n 行有n 个数，最后一个数的绝对值是：(1)2n n +； ∴第99行有99个数，此行最后一个数的绝对值为：99(991)49502⨯+=； ∴第100行从左边数第4个数的绝对值为4954， ∵奇数为正，偶数为负，∴第100行从左边数第4个数为-4954， 故选：A ． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类以及学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负． 2．C解析：C 【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，结果等于-12（n-1），n 是偶数时，结果等于-2n，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】 解：123450|01|1|12|1|13|2|24|2a a a a a ==-+=-=--+=-=--+=-=--+=-6 7 8|25|3 |36|3 |37|4a a a =--+=-=-+=-=--+=-⋯⋯∴201920181009a a==-，故选择C【点睛】本题考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．3．B解析：B【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【详解】解：12a=-，211 1(2)3a∴==--，3131213a==-，412312a==--，⋯⋯∴这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，1003331……÷=，1210011533()27.562a a a∴++⋯+=⨯--=-=-，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．4．C解析：C【分析】首先观察图形，得出一个完整的动作过后电子跳骚升高2个格，根据起始点为-5，终点为9，即可得出它需要跳的次数．【详解】解：由图形可得，一个完整的动作过后电子跳骚升高2个格，如果电子跳骚落到9的位置，则需要跳9(5)72--=次．故选C．此题考查数字的规律变化，关键是仔细观察图形，得出一个完整的动作过后电子跳骚升高2个格，难度一般．5．B解析：B 【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a 1、表示出a 2、a 3、a 4…，根据规律得到第2012个正方形的边长a 2012＝（）2011a 1，把a 1＝2，代入即可求解 【详解】解：设第1个正方形的边长a 1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a 2＝2a 1，第3个正方形的边长为a 3＝2a 2＝2（2a 1）＝（2）2a 1，第4个正方形的边长为a 4＝2a 3＝2（2）2a 1＝（2）3a 1， …，第2012个正方形的边长a 2012＝（2）2011a 1， ∵a 1＝2，∴a 2012＝2（2）2011 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键．6．B解析：B 【分析】设经过n 个小时，然后根据有理数的乘方的定义列不等式，计算求出n 的最小值即可． 【详解】由题意得，21000n ≥， ∵92512=，1021024=， ∴n 的最小值是：10， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记乘方的定义并列出不等式是解题的关键．7．C解析：C【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32021结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2021÷4＝505……1， 而3+9+7+1＝20， 20×505+3＝10103．所以算式：3+32+33+34+…+32021结果的末位数字是3． 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．8．C解析：C 【分析】根据给出的数据可得：第n 行的第一个数等于1n ，第n 行的第二个数等于11-1n n-的结果，第n 行的第三个数等于()()()112-11n n n n ---的结果，再把n 的值代入即可得出答案． 【详解】 解：寻找规律：∵第n 行有n 个数，且两端的数均为1n ，1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和， ∴第4，5，6行从左往右第1个数分别为14，15，16； 第5，6行从左往右第2个数分别为111-=4520，111-=5630； 第6行从左往右第3个数分别为120-130=160． 故选择：C ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律．9．C解析：C【分析】根据数字规律，分三个数中两端为正中间为负和两端为负中间为正两种情况讨论，由三个相邻数的和是a，据题意列式即可求解．【详解】解：①当三个数中两端为正中间为负设相邻的三个数为n，-2n，4n由题意可得n-2n+4n=a，解得：a=3n此时三个数中最大数与最小数的差为：4n-(-2n)=6n=2a；②当三个数中两端为负中间为正设相邻的三个数为-n，2n，-4n由题意可得-n+2n-4n=a，解得：a=-3n此时三个数中最大数与最小数的差为：2n-(-4n)=6n=-2a∴则这三个数中最大数与最小数的差为2a故选：C【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，熟悉并会用代数式表示常见的数列是解题的关键．10．A解析：A【分析】先根据已知找出幂的个位数的周期出现规律，分析出20172的个位数字即可；【详解】由12=2，22=4，32=8，42=16，52=32……可以发现2n的个位数字以“2，4，8，6…”4个数字循环周期出现，∵ 2016÷4=504整除，∴20162的个位数是6，∴20172的个位数是2；故答案为：A．【点睛】本题主要考查了数字的规律探索问题，根据已知数据确定数字的周期性规律是解题的关键；11．B解析：B【分析】根据题意，可以写出前几项，即可发现末位数字的变化特点，从而可以求出所求式子的值．【详解】解：∵f（1）=2（取1×2的末位数字），f（2）=6（取2×3的末位数字），f（3）=2（取3×4的末位数字），f（4）=0（取4×5的末位数字），f（5）=0（取5×6的末位数字），f（6）=2（取6×7的末位数字），f（7）=6（取7×8的末位数字），f（8）=2（取8×9的末位数字），f（9）=0（取9×10的末位数字），f（10）=0（取10×11的末位数字），f（11）=2（取11×12的末位数字），…，可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现，∵2020÷5=404，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=（2+6+2+0+0）×404=10×404=4040，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．12．A解析：A【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，然后即可发现数字的变化特点，从而可以得到x2020的值．【详解】由题意可得，x1＝13，x2＝1113-＝32，x3＝1312-＝﹣2，x4＝11(2)--＝13，…，∵2020÷3＝673…1，∴x 2020＝13， 故选：A ．【点睛】 本题考查了数字类的变化规律、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得相应项的值．13．C解析：C【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值2,n a n =-从而得到2018a 的答案．【详解】解：10,a =211011,a a =-+=-+=-322121,a a =-+=--+=-433132,a a =-+=--+=-544242,a a =-+=--+=-655253,a a =-+=--+=-766363,a a =-+=--+=-…以此类推，发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值是其顺序数的一半的相反数，即2,n a n =- 则2018120181009.2a =-⨯=- 故选：C ．【点睛】本题考查的是数字的变化规律型，同时考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，乘法运算，掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键． 14．C解析：C【分析】据题意逐步计算，发现规律后，直接写出10y 的值．【详解】第1次121y ππ=+，第2次1214241213111y y y ππππππ+===++++ 第3次2322428314171131y y y ππππππ⨯+===++++ 第4次416151y ππ=+ 观察前4次归纳出2(21)1n n n y ππ=-+ 令n=10，得10101021024(21)110231y ππππ==-++， 故选：C ．【点睛】此题考查归纳发现规律，用代数式表示规律并运用规律．其关键是理解题意的基础上算出前几次的n y ．15．B解析：B【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A的边长为012A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B由题意，以此类推，21C B =22C B =∴第3个正方形1234C C C C25==…∴第n个正方形的边长为1n -∴第2020个正方形的边长为2019故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．16．B解析：B【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-， ∵2n+1=2021，n=1010，∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==， ∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选：B ．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．17．C解析：C【分析】根据题意和题目中的运算程序，可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以得到第2016次输出的结果．【详解】解：由题意可得，开始输入的x 值为48，第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第3次输出的结果为6，第4次输出的结果为3，第5次输出的结果为8，第6次输出的结果为4，第7次输出的结果为2，第8次输出的结果为1，第9次输出的结果为6，…，由上可得，输出结果从第三次开始，依次以6，3，8，4，2，1循环出现，∵（2016﹣2）÷6＝335…4，∴第2016次输出的结果为4，故选C ．【点睛】此题考查了代数式求值，通过计算找出其中的规律是解决本题的关键．18．A解析：A【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22n n a -=-，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：a 1=-1，a 2=-|a 1+1|=-|-1+1|=0，a 3=-|a 2+2|=-|0+2|=-2，a 4=-|a 3+3|=-|-2+3|=-1，a 5=-|a 4+4|=-|-1+4|=-3，a 6=-|a 5+4|=-|-3+5|=-2，a 7=-|a 6+4|=-|-2+6|=-4…， 所以，n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22n n a -=-， a 2019=12-（2019+1）=-1010， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．19．B解析：B【分析】分别计算：1234567,,,,,,a a a a a a a ⋅⋅⋅，再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案．【详解】解：探究规律：10a =，2111a a =-+=-，3221a a =-+=-，4332a a =-+=-，5442a a =-+=-，6553a a =-+=-，7663a a =-+=-，……，总结规律：当n 是奇数时，结果等于12n --；n 是偶数时，结果等于2n -； 运用规律： 20212021110102a -=-=-， 故选：B ．【点睛】 本题考查的是数字类的规律探究以及列代数式，掌握规律探究的基本方法是解题的关键． 20．C解析：C【分析】依次计算1a 、2a 、3a 、4a 、…，得到规律性答案，即可得到2020a 的值.【详解】11a =-，212a a =-+=-1，323a a =-+=-2，434a a =-+=-2，5453a a =-+=-，6563a a =-+=-，，由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-2n （n 为偶数）， ∴202010102=， ∴2020a 的值为－1010，故选：C.此题考查代数式规律探究，计算此类题的关键是依次计算得出答案的规律并总结出答案与序数间的关系式，由此来解答问题.21．C解析：C【分析】机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2．【详解】依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1；根据此规律即可推导判断：（1）和（2），显然正确；（3）中，76÷5=15……1，故x76=15+1=16，77÷5=15……2，故x77=15+2=17，16＜17，故错误；（4）中，103÷5=20……3，故x103=20+3=23，104÷5=20……4，故x104=20+2=22，23＞22，故错误；（5）中，2018÷5=403……3，故x2018=403+3=406，2019÷5=403……4，故x2019=403+2=405，故正确．故选：C．【点睛】本题考查的是归纳探索能力，确定循环次数和第n次的对应数字是解题的关键．22．D解析：D【分析】设449经过n次运算结果为a n，根据运算规则求出部分a n的值，根据数值的变化找出变化规律“a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)”，依此规律即可得出结论．【详解】设449经过n次运算结果为a n，通过计算发现规律：a1=1352，a2=169，a3=512，a4=1，a5=8，a6=1，…，∴a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)，∵449=2×224+1，∴a449=8．故选D．【点睛】本题主要考查新定义运算以及数列的变化规律，通过计算，找出数列的变化规律，是解题的关键．23．A解析：A【分析】用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题．依题意列出前面几个n A 的坐标如下表对于n A ，当n 除以4余1时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n +； 当n 除以4余2时，n A 的纵坐标为n 2，横坐标1； 当n 除以4余3时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n --； 当n 除以4，整除时，n A 的纵坐标为2n ，横坐标2． 运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点2019A 的纵坐标为0，横坐标为2019310082--=-，所以点2019A 的坐标为（-1008，0） ． 故选：A ．【点睛】 本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．24．B解析：B【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解．【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角；第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角；第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角；第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处．故选：B【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．25．C解析：C【分析】先根据前4个图得出一般性的规律，再依据规律解答即可．【详解】解：第1个图中有3=22−1条线段，第2个图中有8=32−1条线段，第3个图中有15=42−1条线段，第4个图中有24=52−1条线段，……，所以第n 个图中有(n+1)2−1条线段；所以第10个图中有112−1=121-1=120条线段．故选：C【点睛】本题考查了图形的变化类规律，由简单的图形中线段的条数得出一般性的规律是解此题的关键．。
上海储能中学中考数学期末规律问题数字变化类汇编
上海储能中学中考数学期末规律问题数字变化类汇编一、规律问题数字变化类1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数，通过一种计算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T= ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是（ ） A ．363B ．153C ．159D ．4562．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，……．根据上述算式中的规律，你认为20192的个位数字是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），…，现用等式(),M A i j =表示正整数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如()73,3A =，则2020A =（ ）A ．（44，81）B ．（44，82）C ．（45，83）D ．（45，84）4．已知数列1b ，2b ，3b ，···满足121n n nb b b +++=，其中1n ≥ ，若12b =且25b =，则2019b 的值为 （ ）A ．2B ．5C ．45D ．355．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A 21n -B 22n -C 23n -D 24n -6．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第6行第3个数（从左往右数为（ ）A ．130B ．148C ．160D ．11057．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，．．．，依次类推，则a 2020的值为（ ）A ．-1010B ．-1009C ．-2019D ．-20208．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2020个格子中的数为（ ） 4 abc2－3 ……9．一列数，按一定规律排列成：1,2,4,8,16---，…，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a ，则这三个数中最大数与最小数的差为（ ） A ．aB ．aC ．2aD ．2a10．若2012个数1a 、2a 、…、2021a 满足下列条件：12a =，216a a =-+，326a a =-+，…，202120206a a =-+，则2021a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．4-D ．8-11．小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果321-=87654+--=1514131211109++---=242322212019181716+++----= ……根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（ ） A ．360B ．339C ．440D ．48312．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．713．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A ，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．2020514．小明用教材上的计算器输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为100，那么第2020步之后，显示的结果是（ ）A ．100B ．0.0001C ．0.01D ．1015．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．计算（a +b ）n的结果中的各项系数依次对应杨辉三角的第（n +1）行中的每一项，如，（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，若t 是（a ﹣b ）2019展开式中ab 2018的系数，则t 的值为（ ）A ．2018B ．﹣2018C ．2019D ．﹣201916．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，即8，16，24均为“和谐数”），若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a 1，a 2，a 3，……，a n ，则a 1+a 2+a 3+…+a n ＝（ ） A ．4n 2+4B ．4n+4C ．4n 2+4nD ．4n 217．观察下列有规律的算式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100，13+23+33+43+53=225，…，探究并运用其规律计算：113+123+133+143+153+163+173+183+193+203的结果可表示为（ ）A ．265155⨯B ．275145⨯C ．285145⨯D ．255165⨯18．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…按此规律，若3m 分裂后，其中一个奇数是2021，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4319．已知整数1234,,,,a a a a ⋅⋅⋅，满足条件：12132430,1,2,3,a a a a a a a ==-+=-+=-+⋅⋅⋅，依次类推2021a 的值为（ ）A ．1009-B ．1010-C ．1011-D ．2020-20．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．9821．将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐弯处，3在第2个拐弯处，5在第3个拐弯处，7在第4个拐弯处，……．那么，在第200个拐弯处的数是（ ）A ．10101B ．10001C ．399D ．39822．观察下面三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…； 1，7，－5，19，－29，67，…； －1，2，－4，8，－16，32，…．分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ ） A ．2563B ．2365C ．2167D ．206923．有一列数：3591724816、、、它有一定的规律性．若把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，……．第n 个数记为a n ，则1232020a a a a ++++的值是（ ）A ．2020B ．2021-202012C ．2020-202012 D ．2021-20211224．如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律， A 2019的坐标为（ ）A ．（﹣1008，0）B ．（﹣1006，0）C ．（2，﹣504）D ．（2，-506）25．记12n n s a a a =+++，令12nn s s s T n+++=，则称n T 为12,...,n a a a 这列数的“凯森和”．已知51002,...,a a a 的“凯森和”为2004，那么13，51002,...,a a a 的“凯森和”为（ ） A ．2013B ．2015C ．2017D ．2019【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类 1．B 解析：B 【详解】解：把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153； 开始重复，则T=153．故选B ．2．D解析：D 【分析】根据上述等式，得到结果的末位以四个数（2，4，8，6）依次循环，而2019除以4商504余3，故得到所求式子的末位数字为8． 【详解】解：根据上述等式，得到结果的末位以四个数（2，4，8，6）依次循环， ∵2019÷4=504…3， ∴22019的末位数字是8． 故选：D 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，属于规律型试题，弄清本题的规律是解题关键．3．D解析：D 【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答． 【详解】解：根据排列规律，2020是第2020个数，设2020在第n 组， 则1+3+5+···(2n －1)≥2020， ∴(121)2n n+-⋅≥2020，即n 2≥2020，当n=44时，1+3+5+…+87= 1936， 当n=45时，1+3+5+…+89=2025， ∴2020在第45组，又∵第44组最后一个数为1936， ∴2020－1936=84，即2020是第45组第84个数， ∴2020A =（45，84）， 故答案选：D ． 【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，熟记公式1+3+5+···(2n －1)=(121)2n n+-⋅，善用联想探索数字规律是解决此类问题的常用方法．4．C解析：C 【分析】根据题中规律依次求出1b 、2b 、3b ······，然后可以发现5个数为一组循环，因此根据201954034÷=即可求解．【详解】由122,5b b ==， 则23115132b b b ++===，342131455b b b ++===， 4534113535b b b ++===，56431185524545b b b ++===⨯=，与1b 相同．故每5个数为一组循环出现，201954034÷=，第2019个数与第4个数同，故选C ． 【点睛】 本题考查考了整式的规律，实数的规律问题，此类题的关键是要求出前几个数总结规律．5．B解析：B 【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可． 【详解】解：前（n ﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n ﹣1）=n （n ﹣1），所以，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左到右数第n ﹣2个数的被开方数是n （n ﹣1）+n ﹣2=n 2﹣2，所以，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左到右数第n ﹣2． 故选：B ． 【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．6．C解析：C 【分析】根据给出的数据可得：第n 行的第一个数等于1n ，第n 行的第二个数等于11-1n n-的结果，第n 行的第三个数等于()()()112-11n n n n ---的结果，再把n 的值代入即可得出答案． 【详解】 解：寻找规律：∵第n行有n个数，且两端的数均为1n ，1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，∴第4，5，6行从左往右第1个数分别为14，15，16；第5，6行从左往右第2个数分别为111-=4520，111-=5630；第6行从左往右第3个数分别为120-130=160．故选择：C．【点睛】本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律．7．A解析：A【分析】根据题意先求出前几个数的值，进而可得规律，再根据规律求解即可．【详解】解：10a=，211011a a=-+=-+=-，322121a a=-+=--+=-，433132a a=-+=--+=-，544242a a=-+=--+=-，……，所以n为奇数时，结果等于12n--，n为偶数时，结果等于2n-，所以a2020=202010102-=-．故选：A．【点睛】本题考查了数字的变化规律，属于常考题型，根据前几个数值找到规律是解答的关键．8．A解析：A【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是-3可得b=-3，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2020除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴4+a+b=a+b+c，解得c=4，a+b+c=b+c+2，解得a=2，∴数据从左到右依次为4、2、b、4、2、b，∴第9个数与第三个数相同，即b=-3，∴每3个数“4、2、-3”为一个循环，∵2020÷3=673…1，∴第2020个格子中的整数与第1个格子中的数相同，为4．故选：A．【点睛】此题考查数字的变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据数字规律，分三个数中两端为正中间为负和两端为负中间为正两种情况讨论，由三个相邻数的和是a，据题意列式即可求解．【详解】解：①当三个数中两端为正中间为负设相邻的三个数为n，-2n，4n由题意可得n-2n+4n=a，解得：a=3n此时三个数中最大数与最小数的差为：4n-(-2n)=6n=2a；②当三个数中两端为负中间为正设相邻的三个数为-n，2n，-4n由题意可得-n+2n-4n=a，解得：a=-3n此时三个数中最大数与最小数的差为：2n-(-4n)=6n=-2a∴则这三个数中最大数与最小数的差为2a故选：C【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，熟悉并会用代数式表示常见的数列是解题的关键．10．B解析：B【分析】先分别求出1a、2a、3a、4a、5a，找到规律，从而得到答案．【详解】解：根据题意，12a =，2268a =-+=-， 3862a =--+=-， 4264a =--+=-，5462a =--+=-，……∴从3a 开始，每两个数为一个循环，偶数项为4-，奇数项为2-； ∴20204a =-，∴2021462a =--+=-； 故选：B ． 【点睛】本题考查了数字变化的规律，以及绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握题意，正确找到规律进行解题．11．C解析：C 【分析】根据左起第一个数3，8，15，24的变化规律，得出第n 行的左起第一个数为2(11)n +-，由此即可求出第20行的左起第一个数．【详解】根据题意可知，每行的左起第一个数依次为：2321=-， 2831=-， 21541=-， 22451=-，第n 行的左起第一个数为2(11)n +-．∴第20行的左起第一个数为2(201)1440+-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数字的变化规律．根据题意找到规律并利用规律解决问题是关键．12．A解析：A 【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2020÷4＝505， 而3+9+7+1＝20， 20×505＝10100．所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0． 故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．13．B解析：B 【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解 【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012A A∵1212B A A A = ∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B由题意，以此类推，21C B =22C B =∴第3个正方形1234C C C C 25== …∴第n 个正方形的边长为1n -∴第2020个正方形的边长为2019 故选：B ． 【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．14．B解析：B 【分析】分别计算出第1至第8步的显示结果，据此可以得出显示结果每6步为周期循环，利用此循环规律求解可得．【详解】解：第1步显示结果为10000，第2步显示结果为1 10000，第3步显示结果为1 100，第4步显示结果为1 10000，第5步显示结果为10000，第6步显示结果为100，第7步显示结果为10000，第8步显示结果为1 10000，……所以显示结果每6步为周期循环，∵2020÷6＝336……4，∴第2020步后显示结果与第4步显示结果相同，为110000＝0.0001，故选：B．【点睛】本题主要考查计算器的计算和数字的变化规律，解题的关键是多次计算后得出显示结果每6步为周期循环的规律．15．C解析：C【分析】（a+b）1=a+b展开式中的系数1、1恰好对应图中第二行的数字；（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．根据表格中的系数找出规律，ab2018在展开式的倒数第二项，其系数与原平方式的指数相同．【详解】依据此规律，（a﹣b）2019展开式中ab2018项的系数是2019故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16．C解析：C【分析】根据题意设两个连续奇数为2n﹣1，2n+1（n为自然数），则“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2，据此解答即可．【详解】解：a1+a2+a3+…+a n＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n﹣1）2﹣（2n﹣1）2+（2n+1）2＝4n2+4n．故选：C．【点睛】本题考查平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b），同时也考查对代数式的变形能力．17．A解析：A【分析】找出已知等式的运算规律，并归纳公式，然后先求出13+23+33+……+113+123+133+143+153+163+173+183+193+203的值，再求出13+23+33+……103的值，最后两式相减并利用平方差公式化简即可．【详解】解：13=1，13+23=9=（1+2）2，13+23+33=36=（1+2+3）2，13+23+33+43=100=（1+2+3+4）2，13+23+33+43+53=225=（1+2+3+4+5）2，∴13+23+33+……+n3=（1+2+3+……+n）2=()2 n12+⎡⎤⎢⎥⎣⎦n，∴13+23+33+……+113+123+133+143+153+163+173+183+193+203=()2 202012⨯+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2102①而13+23+33+……103=()2 101012⨯+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=552②∴①－②，得113+123+133+143+153+163+173+183+193+203=2102－552=（210＋55）×（210－55）=265×155故选A．【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解决此题的关键．18．B解析：B【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-，∵2n+1=2021，n=1010，∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==，∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即m=45． 故选：B ． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．19．B解析：B 【分析】分别计算：1234567,,,,,,a a a a a a a ⋅⋅⋅，再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案． 【详解】 解：探究规律：10a =，2111a a =-+=-， 3221a a =-+=-，4332a a =-+=-，5442a a =-+=-， 6553a a =-+=-， 7663a a =-+=-，……， 总结规律：当n 是奇数时，结果等于12n --；n 是偶数时，结果等于2n-； 运用规律：20212021110102a -=-=-， 故选：B ． 【点睛】 本题考查的是数字类的规律探究以及列代数式，掌握规律探究的基本方法是解题的关键．20．C解析：C 【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值.【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+……2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y ∴==79x y ∴+=故选C 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.21．A解析：A 【分析】观察图形，依次得到每一个拐弯处的数字与拐弯数n 的个数之间的关系，得到相应规律，代入计算即可． 【详解】解：第1个拐弯处：1+1=2 第2个拐弯处：1+1+1=3 第3个拐弯处：1+1+1+2=5第4个拐弯处：1+1+1+2+2=1+(1+2)×2=7 第5个拐弯处：1+1+1+2+2+3=1+(1+2)×2+3=10 第6个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3=1+(1+2+3)×2=13 第7个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+4=1+(1+2+3)×2+4=17 ……第200个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+…+99+99+100+100 =1+(1+100)×100÷2×2 =10101 故选：A 【点睛】本题考查数字的变化规律；得到第n(n 为奇数)个拐弯处=1+[1+2+3+…+(n+1)÷2] ×2+(n+1) ÷2,第n(n 为偶数)个拐弯=1+1+1+2+2+…+n÷2+n÷2的规律是解决本题的关键．22．A解析：A 【分析】先总结各行数字的规律：第1行的数是以2为底数，指数是从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；第2行的数字依次比第1行对应位置上的数多3；第3行的数是以2为底数，指数是从0开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；利用上面发现的规律，写出每行的第10个数，进一步求和得出答案即可． 【详解】解：由题意可知，第1行第10个数为：210； 第2行第10个数为：210＋3； 第3行第10个数为：29； 三数和为：210＋210＋3＋29＝2563， 故选：A ． 【点睛】此题考查数字的规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．23．B解析：B 【分析】分析数据可得a n = 212n n+= 112n +；从而得到1232020a a a a ++++的表达式为232020111111112222++++++++,根据等比数列的特征即可求和.【详解】解：观察可知∵a n =212n n+= 112n +, 设1232020a a a a ++++=b,则b=232020111111112222++++++++ =23202011112020()2222+++++∴2b=23201911114040(1)2222++++++ ∴2b-b=23201911114040(1)2222++++++-[23202011112020()2222+++++]∴b=202012020(1)2+-=2020120212-,即1232020a a a a ++++=2020120212-,故选:B. 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题找到a n 的表达式是解题关键.24．A解析：A 【分析】用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】依题意列出前面几个n A 的坐标如下表对于n A ，当n 除以4余1时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n +； 当n 除以4余2时，n A 的纵坐标为n2，横坐标1； 当n 除以4余3时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n --； 当n 除以4，整除时，n A 的纵坐标为2n，横坐标2． 运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点2019A 的纵坐标为0，横坐标为2019310082--=-，所以点2019A 的坐标为（-1008，0） ． 故选：A ． 【点睛】 本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．25．A解析：A 【分析】 根据题意可知125005002004500S S S T +++==，即可求出125002004500S S S +++=⨯．再列出新的凯森和的式子，代入计算即可．【详解】根据题意可知125005002004500S S S T +++==，∴125002004500S S S +++=⨯．∴13，1a ，2a ，…，500a 的“凯森和”为：1250050113(13)(13)(13)501S S S T +++++++=1250013501()501S S S ⨯++++=135012004500501⨯+⨯=2013=．故答案为：A ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，掌握“凯森和”的概念，再找出其规律是解答本题的关键．。
上海七宝实验中学中考数学期末规律问题数字变化类汇编
上海七宝实验中学中考数学期末规律问题数字变化类汇编一、规律问题数字变化类1．已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 -2 3 第3行 -4 5 -6 第4行 7 -8 9 -10 第5行 11 -12 13 -14 15 ……按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（ ） A ．-4954B ．4954C ．-4953D ．49532．已知有理数a≠1，我们把11a-称为a 的差倒数，如： 2的差倒数是112-＝－1，－1的差倒数11(1)--＝12．如果a 1＝－2， a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4 是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1＋a 2＋……＋a 100的值是（ ） A ．7.35B ．－7.5C ．5.5D ．－5.53．有一列数：a 1、a 2，a 3，…，a n ；其中a 1＝0，a 4＝2，若a i ＋a i ＋1＝a i ＋2 （i≥1，i 为正整数） ，则a 7＝（ ） A ．5B ．8C ．10D ．134．已知数列1b ，2b ，3b ，···满足121n n nb b b +++=，其中1n ≥ ，若12b =且25b =，则2019b 的值为 （ ）A ．2B ．5C ．45D ．355．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是2，…，则第2020次输出的结果是（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-6．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2019次输出的结果为（ ）A ．3B ．6C ．4D ．17．为了求2310012222+++++的值．可令2310012222S =+++++，则234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，即231001*********+++++=-．仿照以上推理计算23202013333+++++的值是（ ）A ．202031- B ．202131-C ．2020312-D ．2021312-8．一列数，按一定规律排列成：1,2,4,8,16---，…，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a ，则这三个数中最大数与最小数的差为（ ） A ．aB ．aC ．2aD ．2a9．已知f （1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），f （2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），f （3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），…，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2020）的值为（ ） A ．2020B ．4040C ．4042D ．403010．观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…根据上述算式中的规律，猜想202131-的末位数字应该是 （ ） A ．2B ．8C ．6D ．011．若2012个数1a 、2a 、…、2021a 满足下列条件：12a =，216a a =-+，326a a =-+，…，202120206a a =-+，则2021a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．4-D ．8-12．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．713．小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果321-=87654+--=1514131211109++---=242322212019181716+++----= ……根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（ ） A ．360 B ．339C ．440D ．48314．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（ ）A ．190B ．1360C ．1840D ．150415．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝11649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72022的末位数字是（ ） A ．0B ．6C ．7D ．916．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．20195)C ．2020(5)D ．2020517．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ）A ．160B ．1168 C ．1252 D ．128018．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…按此规律，若3m 分裂后，其中一个奇数是2021，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4319．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．9820．已知整数1a 、2a 、3a 、4a 、…满足下列条件：11a =-，212a a =-+，323a a =-+，434a a =-+，…，11n n a a n +=-++（n 为正整数）依此类推，则2020a 的值为（）A ．－1009B ．－2019C ．－1010D ．－202021．将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐弯处，3在第2个拐弯处，5在第3个拐弯处，7在第4个拐弯处，……．那么，在第200个拐弯处的数是（ ）A ．10101B ．10001C ．399D ．39822．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n 的值为（ ）A ．491B ．1045C ．1003D ．53323．如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律， A 2019的坐标为（ ）A ．（﹣1008，0）B ．（﹣1006，0）C ．（2，﹣504）D ．（2，-506）24．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A ．第504个正方形右上角顶点处B ．第505个正方形右下角顶点处C ．第505个正方形右上角顶点处D ．第504个正方形右下角顶点处25．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…以此类推，则2018a 的值为（ ）A ．－1007B ．－1008C ．－1009D ．－2018【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类 1．A 解析：A 【分析】分析可得：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负；先求出99行最后一个数，然后可求出100行从左边数第4个数． 【详解】解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是：1；第2行有2个数，最后一个数的绝对值是：3=1+2=2(21)2⨯+； 第3行有3个数，最后一个数的绝对值是：6=1+2+3=3(31)2⨯+； 第4行有4个数，最后一个数的绝对值是：10=1+2+3+4=4(41)2⨯+； 第5行有5个数，最后一个数的绝对值是：15=1+2+3+4+5=5(51)2⨯+； ……；∴第n 行有n 个数，最后一个数的绝对值是：(1)2n n +； ∴第99行有99个数，此行最后一个数的绝对值为：99(991)49502⨯+=； ∴第100行从左边数第4个数的绝对值为4954， ∵奇数为正，偶数为负，∴第100行从左边数第4个数为-4954， 故选：A ． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类以及学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负． 2．B解析：B 【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【详解】解：12a =-，2111(2)3a ∴==--，3131213a ==-，412312a ==--，⋯⋯∴这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，1003331……÷=，1210011533()27.562a a a ∴++⋯+=⨯--=-=-，故选：B ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．3．B解析：B 【分析】根据a i ＋a i ＋1＝a i ＋2，令i ＝0，1，2依次根据等式求解即可． 【详解】解：∵a i ＋a i ＋1＝a i ＋2， ∴a 1＋a 2＝a 3， ∵a 1＝0， ∴a 2＝a 3，由a 2＋a 3＝a 4，又a 4＝2， ∴a 2＝a 3＝1， 由a 3＋a 4＝a 5， 得a 5＝3，依次，得：a 6＝a 4＋a 5＝5， a 7＝a 5＋a 6＝8， 故选B ． 【点睛】本题考查定义新运算，读懂通式a i ＋a i ＋1＝a i ＋2是关键．4．C解析：C 【分析】根据题中规律依次求出1b 、2b 、3b ······，然后可以发现5个数为一组循环，因此根据201954034÷=即可求解．【详解】由122,5b b ==， 则23115132b b b ++===， 342131455b b b ++===，4 534113535b bb ++===，5 6431185524545b bb ++===⨯=，与1b相同．故每5个数为一组循环出现，201954034÷=，第2019个数与第4个数同，故选C．【点睛】本题考查考了整式的规律，实数的规律问题，此类题的关键是要求出前几个数总结规律．5．B解析：B【分析】把x=2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2020次输出的结果．【详解】解：把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，⋯，由此可知，奇数次运算结果是1，偶数次运算结果为2∴第2020次输出的结果为2，故选：B．【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．6．B解析：B【分析】根据程序框图计算出前9次的输出结果，据此得出除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环，从而得出答案．【详解】解：∵第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第3次输出的结果为6，第4次输出的结果为3，第5次输出的结果为8，第6次输出的结果为4，第7次输出的结果为2，第8次输出的结果为1， 第9次输出的结果为6， ……∴除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环， ∵（2019−2）÷6＝336…1， 则第2019次输出的结果为6． 故选：B ． 【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键．7．D解析：D 【分析】令S ＝23202013333+++++，然后两边同时乘3，接下来按照例题的方法计算即可． 【详解】令S ＝23202013333+++++，则3S ＝2320213333++++，因此3S−S ＝202131-，所以2S ＝202131-．所以S ＝2021312-，故答案为：D ． 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，主要考查的同学们自主学习的能力，读懂例题是解题的关键．8．C解析：C 【分析】根据数字规律，分三个数中两端为正中间为负和两端为负中间为正两种情况讨论，由三个相邻数的和是a ，据题意列式即可求解． 【详解】解：①当三个数中两端为正中间为负 设相邻的三个数为n ，-2n ，4n 由题意可得n-2n+4n=a ，解得：a=3n此时三个数中最大数与最小数的差为：4n-(-2n)=6n=2a ； ②当三个数中两端为负中间为正 设相邻的三个数为-n ，2n ，-4n 由题意可得-n+2n-4n=a ，解得：a=-3n此时三个数中最大数与最小数的差为：2n-(-4n)=6n=-2a ∴则这三个数中最大数与最小数的差为2a故选：C【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，熟悉并会用代数式表示常见的数列是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据题意，可以写出前几项，即可发现末位数字的变化特点，从而可以求出所求式子的值．【详解】解：∵f（1）=2（取1×2的末位数字），f（2）=6（取2×3的末位数字），f（3）=2（取3×4的末位数字），f（4）=0（取4×5的末位数字），f（5）=0（取5×6的末位数字），f（6）=2（取6×7的末位数字），f（7）=6（取7×8的末位数字），f（8）=2（取8×9的末位数字），f（9）=0（取9×10的末位数字），f（10）=0（取10×11的末位数字），f（11）=2（取11×12的末位数字），…，可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现，∵2020÷5=404，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=（2+6+2+0+0）×404=10×404=4040，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．10．A解析：A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2021除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】已知31=3，末位数字为3，32=9，末位数字为9，33=27，末位数字为7，34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3，36=729，末位数字为9，…∴个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，∵2021÷4=5051，∴20213的个位数字与1次方的个位数相同，∴202131-的个位数字为3-1=2．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，观察数据，找出“个位数字每4个数字为一个循环组依次循环”是解题的关键．11．B解析：B【分析】先分别求出1a、2a、3a、4a、5a，找到规律，从而得到答案．【详解】解：根据题意，12a=，2268a=-+=-，3862a=--+=-，4264a=--+=-，5462a=--+=-，……∴从3a开始，每两个数为一个循环，偶数项为4-，奇数项为2-；∴20204a=-，∴2021462a=--+=-；故选：B．【点睛】本题考查了数字变化的规律，以及绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握题意，正确找到规律进行解题．12．A解析：A【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2020÷4＝505， 而3+9+7+1＝20， 20×505＝10100．所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0． 故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．13．C解析：C 【分析】根据左起第一个数3，8，15，24的变化规律，得出第n 行的左起第一个数为2(11)n +-，由此即可求出第20行的左起第一个数．【详解】根据题意可知，每行的左起第一个数依次为：2321=-， 2831=-， 21541=-，22451=-，第n 行的左起第一个数为2(11)n +-．∴第20行的左起第一个数为2(201)1440+-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数字的变化规律．根据题意找到规律并利用规律解决问题是关键．14．C解析：C 【分析】观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数． 【详解】从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是18，第9行的第一个数是19，第10行的第一个数是110；再按照上面的规律，可得：第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即：111 7856 -=，第9行的第2个数等于第8行的第1个数减去第9行的第1个数，即：111 8972 -=，第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即：111 5672252-=，第10行的第2个数等于第9行的第1个数减去第10行的第1数，即：111 91090 -=，第10行的第3个数等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数，即：1117290360-=，则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即：111252360840-=．故选：C．【点睛】本题主要考察学生对规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律．15．B解析：B【分析】先根据已知算式得出规律，再求出即可．【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，2022÷4=505…2，∴505×（7+9+3+1）+7+9=10116，∴71+72+73+…+72022的末位数字是6，故选：B．【点睛】本题考查了尾数特征和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．16．B解析：B【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012A A∵1212B A A A = ∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B由题意，以此类推，21C B =22C B =∴第3个正方形1234C C C C 25== …∴第n 个正方形的边长为1n -∴第2020个正方形的边长为2019 故选：B ． 【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．17．B解析：B 【分析】根据给出的数据可得：第n 行的第三个数等于112n n --的结果再乘11n -，再把n 的值代入即可得出答案． 【详解】解：根据给出的数据可得：第n 行的第三个数等于112n n --的结果再乘11n -， 则第8行第3个数（从左往右数）为111182881168⎛⎫-⨯= ⎪--⎝⎭； 故选：B ． 【点睛】本题考查与实数运算相关的规律题，通过阅读题意归纳总结有关规律再运算是解题关键．18．B解析：B 【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-，∵2n+1=2021，n=1010，∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==，∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即m=45． 故选：B ． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．19．C解析：C 【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值.【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+……2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y ∴==79x y ∴+=故选C 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.20．C解析：C 【分析】依次计算1a 、2a 、3a 、4a 、…，得到规律性答案，即可得到2020a 的值. 【详解】11a =-，212a a =-+=-1，323a a =-+=-2， 434a a =-+=-2， 5453a a =-+=-，6563a a =-+=-，，由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-2n（n 为偶数）， ∴202010102=， ∴2020a 的值为－1010， 故选：C. 【点睛】此题考查代数式规律探究，计算此类题的关键是依次计算得出答案的规律并总结出答案与序数间的关系式，由此来解答问题.21．A解析：A 【分析】观察图形，依次得到每一个拐弯处的数字与拐弯数n 的个数之间的关系，得到相应规律，代入计算即可． 【详解】解：第1个拐弯处：1+1=2 第2个拐弯处：1+1+1=3 第3个拐弯处：1+1+1+2=5第4个拐弯处：1+1+1+2+2=1+(1+2)×2=7 第5个拐弯处：1+1+1+2+2+3=1+(1+2)×2+3=10 第6个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3=1+(1+2+3)×2=13 第7个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+4=1+(1+2+3)×2+4=17 ……第200个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+…+99+99+100+100 =1+(1+100)×100÷2×2 =10101 故选：A 【点睛】本题考查数字的变化规律；得到第n(n 为奇数)个拐弯处=1+[1+2+3+…+(n+1)÷2] ×2+(n+1) ÷2,第n(n 为偶数)个拐弯=1+1+1+2+2+…+n÷2+n÷2的规律是解决本题的关键．22．B解析：B 【分析】观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n -1；左下方的数字为20，21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可． 【详解】解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n -1； 则2n-1=21，解得n=11左下方的数字为：20，21，22，…2n -1； 令n=11可得：m=211-1=1024 ∴n=m+21=1024+21=1045 故选：B ． 【点睛】本题考查了数字的变化类规律题，解题的关键在于根据图表观察、归纳数字变化的规律并灵活运用规律．23．A解析：A 【分析】用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】依题意列出前面几个n A 的坐标如下表对于n A ，当n 除以4余1时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n +； 当n 除以4余2时，n A 的纵坐标为n2，横坐标1； 当n 除以4余3时，n A 的纵坐标为0，横坐标32n --； 当n 除以4，整除时，n A 的纵坐标为2n，横坐标2． 运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点2019A 的纵坐标为0，横坐标为2019310082--=-，所以点2019A 的坐标为（-1008，0） ． 故选：A ． 【点睛】 本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．24．B解析：B 【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解． 【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角； 第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角； 第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角； 第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角； 第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环 ∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处． 故选：B 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．25．C解析：C 【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值2,n a n =-从而得到2018a 的答案．【详解】 解：10,a =211011,a a =-+=-+=- 322121,a a =-+=--+=- 433132,a a =-+=--+=- 544242,a a =-+=--+=- 655253,a a =-+=--+=-766363,a a =-+=--+=-…以此类推，发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值是其顺序数的一半的相反数，即2,n a n =- 则2018120181009.2a =-⨯=- 故选：C ． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律型，同时考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，乘法运算，掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．。
上海梅陇中学中考数学期末规律问题数字变化类汇编
上海梅陇中学中考数学期末规律问题数字变化类汇编一、规律问题数字变化类1．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1=-112-，-1的差倒数是11=1(1)2--．如果12a =-，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么12100a a a +++的值是（ ）A ．-7.5B ．7.5C ．5.5D ．-5.52．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．73．已知有理数a≠1，我们把11a-称为a 的差倒数，如： 2的差倒数是112-＝－1，－1的差倒数11(1)--＝12．如果a 1＝－2， a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4 是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1＋a 2＋……＋a 100的值是（ ） A ．7.35B ．－7.5C ．5.5D ．－5.54．已知有理数a ≠1，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112=--1，﹣1的差倒数是()11112=--．如果a 1=﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…依此类推，那么a 1+a 2+…+a 109的值是( ) A ．8B ．﹣8C ．6D ．﹣65．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将1-、2、3-、4、5-、6、7-、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中+a b 的值为（ ）A ．8-或1B ．6-或3-C ．1-或4-D ．1或1-6．为了求2310012222+++++的值．可令2310012222S =+++++，则234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，即231001*********+++++=-．仿照以上推理计算23202013333+++++的值是（ ） A ．202031- B ．202131-C ．2020312-D ．2021312-7．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第6行第3个数（从左往右数为（ ）A ．130B ．148C ．160D ．11058．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，．．．，依次类推，则a 2020的值为（ ）A ．-1010B ．-1009C ．-2019D ．-20209．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．262510．观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（ ） A ．2500B ．2501C ．2601D ．260211．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…以此类推，则2018a 的值为（ ）A ．－1007B ．－1008C ．－1009D ．－201812．若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1)--＝12，现已知x 1＝13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2020的值为（ ） A ．13B ．﹣2C ．﹣13D ．3213．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数，通过一种计算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T= ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是（ ） A ．363B ．153C ．159D ．45614．小明用教材上的计算器输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为100，那么第2020步之后，显示的结果是（ ）A ．100B ．0.0001C ．0.01D ．1015．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）A ．201612B ．201712C ．201812 D ．20191216．有一列数按如下规律排列：2314，5-67，…，则第2019个数是（ ）A 2020B 2020C ．2020D ．202017．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，3=+++，…按此规律，若3m分裂后，其中一个奇数是37911=++，34131517192021，则m的值是（）A．46 B．45 C．44 D．4318．有依次排列的三个数：6，2，8，先将任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新的数串：6，-4，2，6，8，这称为第一次操作，第二次操作后同样可以产生一个新数串：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，继续操作下去，问：第2021次操作后所产生的新数串的所有数之和是（）A．4054 B．4056 C．4058 D．406019．探索：2-+=-x x x(1)(1)123-++=-(1)(1)1x x x x324(1)(1)1-+++=-x x x x x4325-++++=-(1)(1)1x x x x x x……判断22020+22019+22018+…+22+2+1的值的个位数是几？（）A．1 B．3 C．5 D．720．将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐弯处，3在第2个拐弯处，5在第3个拐弯处，7在第4个拐弯处，……．那么，在第200个拐弯处的数是（）A．10101 B．10001 C．399 D．39821．观察下面三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…；1，7，－5，19，－29，67，…；－1，2，－4，8，－16，32，…．分别取每行的第10个数，这三个数的和是（）A．2563 B．2365 C．2167 D．206922．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为（）A ．491B ．1045C ．1003D ．53323．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A ．第504个正方形右上角顶点处B ．第505个正方形右下角顶点处C ．第505个正方形右上角顶点处D ．第504个正方形右下角顶点处24．在一列数123x x x ，，，……中，已知11x =，且当2k ≥时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2014x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．425．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．20195)C ．2020(5)D ．20205【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类 1．A 解析：A 【分析】32326再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【详解】解：∵12a=-，∴211 1(2)3a==--，3131213a==-，412312a==--，……∴这个数列以-2，13，32依次循环，且1312326-++=-，∵1003331÷=，∴12100115 3327.562a a a ⎛⎫+++=⨯--=-=-⎪⎝⎭，故选A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．2．A解析：A【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字．【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，所以2020÷4＝505，而3+9+7+1＝20，20×505＝10100．所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0．故选：A．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．3．B解析：B【分析】32326再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【详解】解：12a=-，211 1(2)3a∴==--，3131213a==-，412312a==--，⋯⋯∴这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，1003331……÷=，1210011533()27.562a a a∴++⋯+=⨯--=-=-，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．4．B解析：B【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化规律，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：由题意可得，a1=-2，211 1(2)3a==--，31312 13a==-，a4=-2，…，则123131 2326a a a++=-++=-，∴a1+a2+…+a109=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a106+a107+a108）+a109=136(2) 6⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭=-6+（-2）-8， 故选：B ． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．5．B解析：B 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c ，大圈上的数为d ， -1+2-3+4-5+6-7+8=4，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，则b=2-8-6-(-7)=-5，以c=2-4-6-(-5)=-3，剩下两个数为-1和2，且满足-1+2-3+4=2， ∵当a=-1时，d=2，则a+b=-1-5=-6， 当a=2时，d=-1，则a+b=2-5=-3， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的加、减法的应用．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．6．D解析：D 【分析】令S ＝23202013333+++++，然后两边同时乘3，接下来按照例题的方法计算即可． 【详解】令S ＝23202013333+++++，则3S ＝2320213333++++，因此3S−S ＝202131-，所以2S ＝202131-．所以S ＝2021312-，故答案为：D ． 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，主要考查的同学们自主学习的能力，读懂例题是解题的关键．7．C解析：C 【分析】根据给出的数据可得：第n 行的第一个数等于1n ，第n 行的第二个数等于11-1n n-的结果，第n 行的第三个数等于()()()112-11n n n n ---的结果，再把n 的值代入即可得出答案． 【详解】 解：寻找规律：∵第n 行有n 个数，且两端的数均为1n ，1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和， ∴第4，5，6行从左往右第1个数分别为14，15，16； 第5，6行从左往右第2个数分别为111-=4520，111-=5630； 第6行从左往右第3个数分别为120-130=160． 故选择：C ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律．8．A解析：A 【分析】根据题意先求出前几个数的值，进而可得规律，再根据规律求解即可． 【详解】 解：10a =，211011a a =-+=-+=-，322121a a =-+=--+=-， 433132a a =-+=--+=-， 544242a a =-+=--+=-，……，所以n 为奇数时，结果等于12n --，n 为偶数时，结果等于2n-， 所以a 2020=202010102-=-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，属于常考题型，根据前几个数值找到规律是解答的关键．9．A解析：A 【分析】根据题意找到规律：()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦即可求解． 【详解】 解：∵13=12， 13+23=(1+2)2=32， 13+23+33=(1+2+3)2=62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102， …，∴()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦，53+63+73+83+93+103=(33333123410++++⋯+)-(33331234+++)22 (123410)(1234)=++++⋯+-+++()()221011041422⎡⎤⎡⎤⨯+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦225510=-2925=．故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．10．B【分析】观察这个数列知，第n 行的最后一个数是n 2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．【详解】由题意可知，第n 行的最后一个数是n 2，所以第50行的最后一个数是502=2500，第51行的第1个数是2500+1=2501，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n 行的最后一个数是n 2的规律． 11．C解析：C【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值2,n a n =-从而得到2018a 的答案．【详解】解：10,a =211011,a a =-+=-+=-322121,a a =-+=--+=-433132,a a =-+=--+=-544242,a a =-+=--+=-655253,a a =-+=--+=-766363,a a =-+=--+=-…以此类推，发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值是其顺序数的一半的相反数，即2,n a n =- 则2018120181009.2a =-⨯=- 故选：C ．【点睛】本题考查的是数字的变化规律型，同时考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，乘法运算，掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键． 12．A解析：A根据题意，可以写出这列数的前几项，然后即可发现数字的变化特点，从而可以得到x2020的值．【详解】由题意可得，x1＝13，x2＝1113-＝32，x3＝1312-＝﹣2，x4＝11(2)--＝13，…，∵2020÷3＝673…1，∴x2020＝13，故选：A．【点睛】本题考查了数字类的变化规律、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得相应项的值．13．B解析：B【详解】解：把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B．14．B解析：B【分析】分别计算出第1至第8步的显示结果，据此可以得出显示结果每6步为周期循环，利用此循环规律求解可得．【详解】解：第1步显示结果为10000，第2步显示结果为1 10000，第3步显示结果为1100 ， 第4步显示结果为110000， 第5步显示结果为10000，第6步显示结果为100，第7步显示结果为10000，第8步显示结果为110000，…… 所以显示结果每6步为周期循环，∵2020÷6＝336……4，∴第2020步后显示结果与第4步显示结果相同，为110000＝0.0001， 故选：B ．【点睛】本题主要考查计算器的计算和数字的变化规律，解题的关键是多次计算后得出显示结果每6步为周期循环的规律． 15．B解析：B【解析】【分析】根据题意求出面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长，得到S 2，同理求出S 3，根据规律解答．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，∴面积标记为S 2 ，则S 2＝2111222⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭面积标记为S 3的等腰直角三角形的直角边长为2×2＝12 ， 则S 3＝22111242⎛⎫== ⎪⎝⎭……则S 2018的值为：201712，故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键．16．A解析：A【分析】根据所给的算式，找出规律即可解答.【详解】观察算式可得，分子是连续整数的算术平方根，分母是2的整数次幂，整列数是两个负数及一个正数的循环，∵2019÷3=673，∴第2019个数是正数，∴第2019个数为20192. 故选A.【点睛】本题是数字规律探究题，根据所给的算式找出规律是解决问题的关键. 17．B解析：B【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-， ∵2n+1=2021，n=1010，∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==， ∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选：B ．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．18．C【分析】首先根据题意，分别求出前三次操作得到的数分别是多少，再求出它们的和各是多少；然后总结出第n 次操作：求和结果是16+2n ，再把n =2021代入，求出算式的值是多少即可．【详解】解：第一次操作：6，-4，2，6，8，求和结果：18，第二次操作：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，求和结果：20，第三次操作：6，-16，-10，6，-4，10，6，-4，2，2，4，2，6，-4，2，6，8，求和结果：22，……第n 次操作：求和结果：16+2n ，∴第2021次结果为：16+2×2021=4058．故选：C ．【点睛】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数字的变化规律，要熟练掌握． 19．A解析：A【分析】仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解．【详解】解：观察所给等式得出如下规律：211(1)(1)1n n n n x x x x x x --+-++++=-…… 变形得121111n n n n x x x x x x +---++++=-…… 令其x =2，n =2020得22020+22019+22018+…+2+1==（22021-1）÷（2-1）=22021-1，∵2n 的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505，∴22020的个位数字是6，∴22021的个位数字为2，∴22021-1的个位数字是1，∴22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是1．故选：A ．【点睛】此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问题的关键．20．A【分析】观察图形，依次得到每一个拐弯处的数字与拐弯数n的个数之间的关系，得到相应规律，代入计算即可．【详解】解：第1个拐弯处：1+1=2第2个拐弯处：1+1+1=3第3个拐弯处：1+1+1+2=5第4个拐弯处：1+1+1+2+2=1+(1+2)×2=7第5个拐弯处：1+1+1+2+2+3=1+(1+2)×2+3=10第6个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3=1+(1+2+3)×2=13第7个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+4=1+(1+2+3)×2+4=17……第200个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+…+99+99+100+100=1+(1+100)×100÷2×2=10101故选：A【点睛】本题考查数字的变化规律；得到第n(n为奇数)个拐弯处=1+[1+2+3+…+(n+1)÷2] ×2+(n+1) ÷2,第n(n为偶数)个拐弯=1+1+1+2+2+…+n÷2+n÷2的规律是解决本题的关键．21．A解析：A【分析】先总结各行数字的规律：第1行的数是以2为底数，指数是从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；第2行的数字依次比第1行对应位置上的数多3；第3行的数是以2为底数，指数是从0开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；利用上面发现的规律，写出每行的第10个数，进一步求和得出答案即可．【详解】解：由题意可知，第1行第10个数为：210；第2行第10个数为：210＋3；第3行第10个数为：29；三数和为：210＋210＋3＋29＝2563，故选：A．【点睛】此题考查数字的规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．22．B解析：B【分析】观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；左下方的数字为20，21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可．【详解】解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n -1；则2n-1=21，解得n=11左下方的数字为：20，21，22，…2n -1；令n=11可得：m=211-1=1024∴n=m+21=1024+21=1045故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类规律题，解题的关键在于根据图表观察、归纳数字变化的规律并灵活运用规律．23．B解析：B【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解．【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角；第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角；第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角；第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处．故选：B【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．24．B解析：B【分析】根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．【详解】解：当2k =时，[]()2111401140024x x ⎛⎫⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 当3k =时，()32211421400344x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当4k =时，()43321431400444x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当5k =时，()54431441410144x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当6k =时，()65541411411244x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， ……发现结果是一个循环，每4个数一个循环， 201445032÷=，∴201422x x ==．故选：B ．【点睛】本题考查数字规律总结，解题的关键是尝试着去寻找规律，利用循环问题的解题方法去解决．25．B解析：B【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B由题意，以此类推，21C B =22C B =∴第3个正方形1234C C C C 25==…∴第n 个正方形的边长为1n -∴第2020个正方形的边长为2019故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．。
深圳金碧实验学校中考数学期末规律问题数字变化类汇编
深圳金碧实验学校中考数学期末规律问题数字变化类汇编一、规律问题数字变化类1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数，通过一种计算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T= ，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A．363 B．153 C．159 D．4562．将正偶数按下表排成5列则2004应该排在（）A．第251行，第3列B．第250行，第1列C．第500行，第2列D．第501行，第5列3．某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是（）A．9 B．10 C．500 D．5014．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是2，…，则第2020次输出的结果是（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-5．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2019次输出的结果为（ ）A ．3B ．6C ．4D ．16．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，用你所发现的规律得出2017201822+的末位数字是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．67．计算：123452=2,2=4,2=82=16,2=32，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测20172的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．68．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是4-，⋯，则第2021次输出的结果是（ ）A ．6-B ．4-C ．1-D ．2-9．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．262510．已知f （1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），f （2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），f （3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），…，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2020）的值为（ ） A ．2020B ．4040C ．4042D ．403011．如图是一组按照某种规律摆放而成的图形，第1个图中有3条线段，第二个图中有8条线段，第三个图中有15条线，……，则第10个图中线段的条数是（）A．60B．90C．120D．14312．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a2012为（）A．a2012＝4（12）2011B．a2012＝2（22）2011C．a2012＝4（12）2012D．a2012＝2（22）201213．将正整数按下列规律排列数2在第二行第一列，与有序数对（2,1）对应；数5与（1,3）对应，数14与（3,4）对应，根据这一规律，数2015对应的有序数对为A．（45，44）B．（45，12）C．（44，45）D．（45，11）14．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（）A ．190B ．1360C ．1840D ．150415．下面两个多位数1248624…，6248624…，都是按照如下方法得到的：从首位数字开始，将左边数字乘以2，若积为一位数，将其写在右边数位上，若积为两位数，则将其个位数字写在右边数位上．依次再进行如上操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（ ） A ．10091B ．10095C ．10099D ．1010716．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…按此规律，若3m 分裂后，其中一个奇数是2021，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4317．已知整数1234,,,,a a a a ⋅⋅⋅，满足条件：12132430,1,2,3,a a a a a a a ==-+=-+=-+⋅⋅⋅，依次类推2021a 的值为（ ）A ．1009-B ．1010-C ．1011-D ．2020-18．已知整数1a 、2a 、3a 、4a 、…满足下列条件：11a =-，212a a =-+，323a a =-+，434a a =-+，…，11n n a a n +=-++（n 为正整数）依此类推，则2020a 的值为（）A ．－1009B ．－2019C ．－1010D ．－202019．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）33x =；（2）51x =；（3）7677x x >；（4）103104x x <；（5）20182019x x <其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．已知一列数：123401232222,,,2222a a a a a a a a ====⋯----，当03a =时，则2018a 等于( )A ．3B ．2-C ．12D ．4321．定义一种关于整数n 的“F”运算：（1）当n 时奇数时，结果为35n +；（2）当n 是偶数时，结果是2k n （其中k 是使2kn 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取58n =，第一次经F 运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74…；若449n =，则第449次运算结果是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 D ．822．如图，将1、2、3三个数按图中方式排列，若规定(,)a b 表示第a 排第b 列的数，则(5,4)与(51,30)表示的两个数的积是（ ）A 6B 3C 2D ．123．有一列数：3591724816、、、它有一定的规律性．若把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，……．第n 个数记为a n ，则1232020a a a a ++++的值是（ ）A ．2020B ．2021-202012C ．2020-202012D ．2021-20211224．在一列数123x x x ，，，……中，已知11x =，且当2k ≥时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2014x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．425．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…以此类推，则2018a 的值为（ ）A ．－1007B ．－1008C ．－1009D ．－2018【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类 1．B解析：B 【详解】解：把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153； 开始重复，则T=153．故选B ．2．A解析：A 【分析】观察各行各列的规律，首先分析两端的规律：第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，因为20041612522=⨯+⨯，200482504=⨯+，所以2004在第251行第3列. 【详解】规律为第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，所以2004在第251行第3列. 故选：A. 【点睛】此题考查数字的规律，观察表格得到数字的排列规律，得到特定行列的数字规律并运用解决问题是解题的关键.3．B解析：B 【分析】设经过n 个小时，然后根据有理数的乘方的定义列不等式，计算求出n 的最小值即可． 【详解】由题意得，21000n ≥， ∵92512=，1021024=， ∴n 的最小值是：10， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记乘方的定义并列出不等式是解题的关键．4．B解析：B 【分析】把x=2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2020次输出的结果． 【详解】解：把x=2代入得：0.5×2=1， 把x=1代入得：1+1=2，把x=2代入得：0.5×2=1， 把x=1代入得：1+1=2， ⋯，由此可知，奇数次运算结果是1，偶数次运算结果为2 ∴第2020次输出的结果为2， 故选：B ． 【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．5．B解析：B 【分析】根据程序框图计算出前9次的输出结果，据此得出除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环，从而得出答案． 【详解】解：∵第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12， 第3次输出的结果为6， 第4次输出的结果为3， 第5次输出的结果为8， 第6次输出的结果为4， 第7次输出的结果为2， 第8次输出的结果为1， 第9次输出的结果为6， ……∴除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环， ∵（2019−2）÷6＝336…1， 则第2019次输出的结果为6． 故选：B ． 【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键．6．D解析：D 【分析】因为122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，观察发现：2n 的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据201745041÷=…，201845042÷=…，得出20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，进一步求解即可． 【详解】解：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，⋯．201745041÷=…， 201845042÷=…，∴20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4， 246+=．故2017201822+的末位数字是6． 故选：D ． 【点睛】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题．7．A解析：A 【分析】先根据已知找出幂的个位数的周期出现规律，分析出20172的个位数字即可； 【详解】由12=2，22=4，32=8，42=16，52=32……可以发现2n 的个位数字以“2，4，8，6…”4个数字循环周期出现， ∵ 2016÷4=504整除，∴ 20162的个位数是6， ∴ 20172 的个位数是2； 故答案为：A ． 【点睛】本题主要考查了数字的规律探索问题，根据已知数据确定数字的周期性规律是解题的关键；8．A解析：A 【分析】根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第2021次输出的结果，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， 第一次输出的结果为1， 第二次输出的结果为4-， 第三次输出的结果为2-， 第四次输出的结果为1-， 第五次输出的结果为6-， 第六次输出的结果为3-，第七次输出的结果为8-， 第八次输出的结果为4-， 第九次输出的结果为2-， ⋯，由上可得，从第二次输出结果开始，以4-，2-，1-，6-，3-，-8依次循环出现， (20211)63364-÷=⋯，∴第2021次输出的结果是6-，故选：A ． 【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点．9．A解析：A 【分析】根据题意找到规律：()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦即可求解． 【详解】 解：∵13=12， 13+23=(1+2)2=32， 13+23+33=(1+2+3)2=62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102， …，∴()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦，53+63+73+83+93+103=(33333123410++++⋯+)-(33331234+++) 22 (123410)(1234)=++++⋯+-+++()()221011041422⎡⎤⎡⎤⨯+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦225510=-2925=．故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．10．B解析：B【分析】根据题意，可以写出前几项，即可发现末位数字的变化特点，从而可以求出所求式子的值．【详解】解：∵f（1）=2（取1×2的末位数字），f（2）=6（取2×3的末位数字），f（3）=2（取3×4的末位数字），f（4）=0（取4×5的末位数字），f（5）=0（取5×6的末位数字），f（6）=2（取6×7的末位数字），f（7）=6（取7×8的末位数字），f（8）=2（取8×9的末位数字），f（9）=0（取9×10的末位数字），f（10）=0（取10×11的末位数字），f（11）=2（取11×12的末位数字），…，可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现，∵2020÷5=404，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=（2+6+2+0+0）×404=10×404=4040，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．11．C解析：C【分析】先根据前4个图得出一般性的规律，再依据规律解答即可．【详解】解：第1个图中有3=22−1条线段，第2个图中有8=32−1条线段，第3个图中有15=42−1条线段，第4个图中有24=52−1条线段，……，所以第n个图中有(n+1)2−1条线段；所以第10个图中有112−1=121-1=120条线段．故选：C【点睛】本题考查了图形的变化类规律，由简单的图形中线段的条数得出一般性的规律是解此题的关键．12．B解析：B【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a 1、表示出a 2、a 3、a 4…，根据规律得到第2012个正方形的边长a 2012＝（）2011a 1，把a 1＝2，代入即可求解 【详解】解：设第1个正方形的边长a 1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a 2＝2a 1，第3个正方形的边长为a 3＝2a 2＝2（2a 1）＝（2）2a 1，第4个正方形的边长为a 4＝2a 3＝2（2）2a 1＝（2）3a 1， …，第2012个正方形的边长a 2012＝（2）2011a 1， ∵a 1＝2，∴a 2012＝2（2）2011 故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键． 13．D解析：D【详解】试题分析：根据所给数表可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；∵45×45=2025，2015在第45行，向右依次减小，∴2015所在的位置是第45行，第11列，其对应的有序数对为（45，11）．故选D ．考点：探寻规律．14．C解析：C【分析】观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数．【详解】从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是18，第9行的第一个数是19，第10行的第一个数是110；再按照上面的规律，可得：第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即：111 7856 -=，第9行的第2个数等于第8行的第1个数减去第9行的第1个数，即：111 8972 -=，第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即：111 5672252-=，第10行的第2个数等于第9行的第1个数减去第10行的第1数，即：111 91090 -=，第10行的第3个数等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数，即：1117290360-=，则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即：111252360840-=．故选：C．【点睛】本题主要考察学生对规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律．15．B解析：B【分析】根据题意进行计算，找到几个数字一循环，然后乘以循环的次数加上非循环的部分即可得到结果．【详解】解：当第一个数字为3时，这个多位数是362486248…，即从第二位起，每4个数字一循环，（2020﹣1）÷4＝504…3，前2020个数字之和为：3+（6+2+4+8）×504+6+2+4＝10095．故选：B．【点睛】本题考查循环类数字规律题，根据题意找到循环次数，即可求解；本题易错点为是否能找对几个数字循环，易错数目为505次，由于第一个数字不参与循环即易错点为2020漏减1．16．B解析：B【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-， ∵2n+1=2021，n=1010，∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==， ∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选：B ．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．17．B解析：B【分析】分别计算：1234567,,,,,,a a a a a a a ⋅⋅⋅，再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案．【详解】解：探究规律：10a =，2111a a =-+=-，3221a a =-+=-，4332a a =-+=-，5442a a =-+=-，6553a a =-+=-，7663a a =-+=-，……，总结规律：当n 是奇数时，结果等于12n --；n 是偶数时，结果等于2n -； 运用规律： 20212021110102a -=-=-， 故选：B ．【点睛】 本题考查的是数字类的规律探究以及列代数式，掌握规律探究的基本方法是解题的关键． 18．C解析：C【分析】依次计算1a 、2a 、3a 、4a 、…，得到规律性答案，即可得到2020a 的值.【详解】11a =-，212a a =-+=-1，323a a =-+=-2，434a a =-+=-2，5453a a =-+=-，6563a a =-+=-，，由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-2n （n 为偶数）， ∴202010102=， ∴2020a 的值为－1010，故选：C.【点睛】此题考查代数式规律探究，计算此类题的关键是依次计算得出答案的规律并总结出答案与序数间的关系式，由此来解答问题.19．C解析：C【分析】机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2．【详解】依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1；根据此规律即可推导判断：（1）和（2），显然正确；（3）中，76÷5=15……1，故x 76=15+1=16，77÷5=15……2，故x 77=15+2=17，16＜17，故错误；（4）中，103÷5=20……3，故x 103=20+3=23，104÷5=20……4，故x 104=20+2=22，23＞22，故错误；（5）中，2018÷5=403……3，故x 2018=403+3=406，2019÷5=403……4，故x 2019=403+2=405，故正确．故选：C ．【点睛】本题考查的是归纳探索能力，确定循环次数和第n 次的对应数字是解题的关键． 20．C解析：C【分析】根据数字的变化类寻找规律即可求解．【详解】解：当03a =时，12a =-， ∴212a =，343a =，43a =，52a =-，612a =… ∴从1a 开始四个数一个循环，∵2018÷4=504…2 ∴201812a =， 故选：C ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是通过计算寻找规律．21．D解析：D【分析】设449经过n 次运算结果为a n ，根据运算规则求出部分a n 的值，根据数值的变化找出变化规律“a 2n =1，a 2n+1=8(n≥2且n 为整数)”，依此规律即可得出结论．【详解】设449经过n 次运算结果为a n ，通过计算发现规律：a 1=1352，a 2=169，a 3=512，a 4=1，a 5=8，a 6=1，…，∴a 2n =1，a 2n+1=8(n≥2且n 为整数)，∵449=2×224+1，∴a 449=8．故选D ．【点睛】本题主要考查新定义运算以及数列的变化规律，通过计算，找出数列的变化规律，是解题的关键．22．A解析：A【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到(5,4)与(51,30)表示的两个数，进而(5,4)与(51,30)表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环（5，4）在数列中是第（1＋4）×4÷2＋4＝14个，14÷3＝4……2，（5，4）表示的数正好是第5轮的第二个，即（5，4，（51，30）在数列中是第（1＋50）×50÷2＋30＝1305个，1305÷3＝435，（51，435）表示的数正好是第435轮的最后一个，即（51，30故（5，4）与（51，30=故选：A.【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积． 23．B解析：B【分析】分析数据可得a n = 212n n += 112n +；从而得到1232020a a a a ++++的表达式为232020111111112222++++++++,根据等比数列的特征即可求和.【详解】 解：观察可知∵a n = 212n n+= 112n +, 设1232020a a a a ++++=b,则 b=232020111111112222++++++++=23202011112020()2222+++++ ∴2b=23201911114040(1)2222++++++ ∴2b-b=23201911114040(1)2222++++++-[23202011112020()2222+++++] ∴b=202012020(1)2+-=2020120212-, 即1232020a a a a ++++=2020120212-, 故选:B.【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题找到a n 的表达式是解题关键. 24．B解析：B【分析】 根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．【详解】解：当2k =时，[]()2111401140024x x ⎛⎫⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 当3k =时，()32211421400344x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当4k =时，()43321431400444x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当5k =时，()54431441410144x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 当6k =时，()65541411411244x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， ……发现结果是一个循环，每4个数一个循环， 201445032÷=，∴201422x x ==．故选：B ．【点睛】本题考查数字规律总结，解题的关键是尝试着去寻找规律，利用循环问题的解题方法去解决．25．C解析：C【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值2,n a n =-从而得到2018a 的答案．【详解】解：10,a =211011,a a =-+=-+=-322121,a a =-+=--+=-433132,a a =-+=--+=-544242,a a =-+=--+=-655253,a a =-+=--+=-766363,a a =-+=--+=-…以此类推，发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值是其顺序数的一半的相反数，即2,n a n =- 则2018120181009.2a =-⨯=- 故选：C ．【点睛】本题考查的是数字的变化规律型，同时考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，乘法运算，掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．。
【决胜】(预测题)中考数学 专题52 数字变化类规律性问题(含解析)
专题52 数字变化类规律性问题探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题。
归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。
它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。
探讨归纳规律性问题常见的有：（1）根据数的排列规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳等。
本专题原创编写数字变化类规律性问题模拟题。
1.把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2，4），（6，8，10，12），（14，16，18，20，22，24），…，现用等式A M=（i，j）表示正偶数M是第i组第j个数（从左往右数），如A10=（2，3），则A2014=【】A．（31，15） B．（31，16） C．（32，15） D．（32，16）【答案】C。
【考点】探索规律题（数字的变化类）。
∵前31组共2+4+6+8+…+62=()262319922+⋅=个数，∴2014是第32组的100799215-=个数。
∴A2014=（32，15）。
故选C。
2.观察数表根据表中数的排列规律，则B+D= ．【答案】23。
【解析】∵仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，∴1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。
∴B=8，D=15。
∴B+D=8+15=23。
专题52数字变化类规律性问题(预测题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题52：数字变化类规律性问题 探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中．学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法．创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题．探讨归纳规律性问题常见的有：（1）根据数的排列规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳等． 本专题原创编写数字变化类规律性问题模拟题．原创模拟预测题1．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．8 原创模拟预测题2．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m =（i ，j ）表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2015=（ ）A ．（31，50）B ．（32，47）C ．（33，46）D ．（34，42）原创模拟预测题3．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：5323+=，119733++=，1917151343+++=，…按此规律，若3m 分裂后其中有一个奇数是2015，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．43原创模拟预测题5．将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行，第b 列，则a +b = ． 原创模拟预测题6．若1m ，2m ，…，2015m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若122015...m m m +++=1525，222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，则1m ，2m ，…，2015m 中为2的个数是 ． 原创模拟预测题7．a 是不为1的数，我们把11a -称为a 的差倒数，如：2的差倒数为1112=--；1-的差倒数是111(1)2=--；已知112a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数．4a 是3a 差倒数，…依此类推，则2015a = ．原创模拟预测题8．观察下表我们把某格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x ＋y ，回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 ；（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求x ，y 的值．原创模拟预测题9．填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）． （3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．原创模拟预测题10．阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为1a ，依次类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为n a ．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q 为 ，第4项是 ． （2）如果一个数列1a ，2a ，3a ，4a ，…是等比数列，且公比为q ，那么根据定义可得到：所以：q a a ⋅=12，()21123q a q q a q a a ⋅=⋅⋅=⋅=，()312134q a q q a q a a ⋅=⋅⋅=⋅=， 由此可得：=n a （用1a 和q 的代数式表示）（3）若一等比数列的公比q =2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．原创模拟预测题11．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x ≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．。
上海曹杨二中附属江桥实验中学中考数学规律压轴选择题专题
上海曹杨二中附属江桥实验中学中考数学规律压轴选择题专题一、规律问题数字变化类 1．观察下面三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…； 1，7，－5，19，－29，67，…； －1，2，－4，8，－16，32，…．分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ ） A ．2563B ．2365C ．2167D ．2069答案：A解析：A 【分析】先总结各行数字的规律：第1行的数是以2为底数，指数是从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；第2行的数字依次比第1行对应位置上的数多3；第3行的数是以2为底数，指数是从0开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；利用上面发现的规律，写出每行的第10个数，进一步求和得出答案即可． 【详解】解：由题意可知，第1行第10个数为：210； 第2行第10个数为：210＋3； 第3行第10个数为：29； 三数和为：210＋210＋3＋29＝2563， 故选：A ． 【点睛】此题考查数字的规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 2．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足()()122018232019M x x x x x x =++++++，()()122019232018N x x x x x x =++++++，则M ，N 的大小关系是( )A ．M N <B ．M N >C ．MND ．M N ≥答案：B解析：B 【分析】 设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，然后求出M -N 的值，再与0进行比较即可. 【详解】解：根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，∴1p q x -=， ∴()()12201823201920192019()M x x x x x x p q x pq p x =++++++=•+=+•；()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++++++=+•=+•；∴20192019()M N pq p x pq q x -=+•-+•=2019()x p q •- =201910x x •>； ∴M N >； 故选：B. 【点睛】本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小.3．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）33x =；（2）51x =；（3）7677x x >；（4）103104x x <；（5）20182019x x <其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：C 【分析】机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2． 【详解】依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1；根据此规律即可推导判断：（1）和（2），显然正确；（3）中，76÷5=15……1，故x 76=15+1=16，77÷5=15……2，故x 77=15+2=17，16＜17，故错误；（4）中，103÷5=20……3，故x 103=20+3=23，104÷5=20……4，故x 104=20+2=22，23＞22，故错误；（5）中，2018÷5=403……3，故x 2018=403+3=406，2019÷5=403……4，故x 2019=403+2=405，故正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是归纳探索能力，确定循环次数和第n 次的对应数字是解题的关键． 4．a 是不为2的有理数，我们把称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，-2的“哈利数”是， 已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依次类推，则=（ ）．A ．3B ．-2C ．D ．答案：D解析：D 【详解】 试题分析：=3，；；；，则这组数是以3、－2、和这四个数进行循环；则2016÷4=504，则=.考点：规律题 5．记12n n s a a a =+++，令12nn s s s T n+++=，则称n T 为12,...,n a a a 这列数的“凯森和”．已知51002,...,a a a 的“凯森和”为2004，那么13，51002,...,a a a 的“凯森和”为（ ） A ．2013B ．2015C ．2017D ．2019答案：A解析：A 【分析】 根据题意可知125005002004500S S S T +++==，即可求出125002004500S S S +++=⨯．再列出新的凯森和的式子，代入计算即可．【详解】根据题意可知125005002004500S S S T +++==，∴125002004500S S S +++=⨯．∴13，1a ，2a ，…，500a 的“凯森和”为：1250050113(13)(13)(13)501S S S T +++++++=1250013501()501S S S ⨯++++=135012004500501⨯+⨯=2013=．故答案为：A ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，掌握“凯森和”的概念，再找出其规律是解答本题的关键． 6．为了求2310012222+++++的值．可令2310012222S =+++++，则234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，即231001*********+++++=-．仿照以上推理计算23202013333+++++的值是（ ）A ．202031- B ．202131-C ．2020312-D ．2021312-答案：D解析：D 【分析】令S ＝23202013333+++++，然后两边同时乘3，接下来按照例题的方法计算即可．【详解】令S ＝23202013333+++++，则3S ＝2320213333++++，因此3S−S ＝202131-，所以2S ＝202131-．所以S ＝2021312-，故答案为：D ． 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，主要考查的同学们自主学习的能力，读懂例题是解题的关键．7．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2019次输出的结果为（ ）A ．3B ．6C ．4D ．1答案：B解析：B 【分析】根据程序框图计算出前9次的输出结果，据此得出除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环，从而得出答案． 【详解】解：∵第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12， 第3次输出的结果为6， 第4次输出的结果为3， 第5次输出的结果为8，第6次输出的结果为4， 第7次输出的结果为2， 第8次输出的结果为1， 第9次输出的结果为6， ……∴除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环， ∵（2019−2）÷6＝336…1， 则第2019次输出的结果为6． 故选：B ． 【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键． 8．观察下列等式：12=1，22=4，32=9，42 =16，52=25，．．．，若22222212345...n ++++++的个位数字是1（02020n <≤，且n 为整数），则n 的最大值是( ) A ．2001B ．2006C ．2011D ．2019答案：B解析：B 【分析】通过计算得到个位数字为10个一循环，再分别验证选项中的个位数字，将符合个位数字为1的数比较大小可得． 【详解】解：12=1，22=4，32=9，42 =16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，102=100，112=121，122=144，∴个位数是10个数为一个循环， A 、2001÷10=200...1，则200×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+1=9001， B 、2006÷10=200...6，则200×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+（1+4+9+6+2+6）=9031， C 、2011÷10=201...1，则201×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+1=9046， D 、2019÷10=201...9，则201×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）=9090， ∵2001＜2006， 故选B ． 【点睛】本题考查了数字型规律以及有理数的混合运算，解题的关键是找到个位数字为10个一循环．9．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a2012为（）A．a2012＝4（12）2011B．a2012＝2（22）2011C．a2012＝4（12）2012D．a2012＝2（22）2012答案：B解析：B【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a1、表示出a2、a3、a4…，根据规律得到第2012个正方形的边长a2012＝（22）2011a1，把a1＝2，代入即可求解【详解】解：设第1个正方形的边长a1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a2＝22a1，第3个正方形的边长为a3＝22a2＝22（22a1）＝（22）2a1，第4个正方形的边长为a4＝22a3＝22（22）2a1＝（22）3a1，…，第2012个正方形的边长a20122）2011a1，∵a1＝2，∴a2012＝2（22）2011故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键．10．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．7答案：A解析：A【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字．【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，所以2020÷4＝505，而3+9+7+1＝20，20×505＝10100．所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0．故选：A．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．二、规律问题算式变化类11．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n 的代数式表示）（）．A21n-D24n-n-B22n-C23答案：C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的解析：C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n （n-1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n （n-1）+n-3＝n 2-3，∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3故选：C ． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．12．求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S －S ＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（ ）A ．2020202012020-B ．2021202012020-C ．2021202012019-D ．2020202012019-答案：C 【分析】由题意可知S ＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S ＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①解析：C 【分析】由题意可知S ＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S ＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S 的值． 【详解】解：设S ＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020① 则2020S ＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021② 由②－①得： 2019S ＝20202021－1∴2021202012019S -=．故答案为：C ． 【点晴】本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算． 13．求23201312222+++++的值，可令220131222S =++++，则23201422222S =++++，因此2014221S S -=-．仿照以上推理，计算出23201315555+++++的值为（ ）A．201451-B．201351-C．2014514-D．2013514-答案：C【分析】类比题目中所给的解题方法解答即可．【详解】解：设a=1+5+52+53+ (52013)则5a=5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+5201 解析：C【分析】类比题目中所给的解题方法解答即可．【详解】解：设a=1+5+52+53+ (52013)则5a=5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014，∴5a-a=（5+52+53+…+52013+52014）-（1+5+52+53+…+52013）=52014-1，即a=2014514-．故选：C．【点睛】本题是阅读理解题，类比题目中所给的解题方法是解决问题的基本思路．14．计算111111 122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果为（）．A．67B．67-C．17-D．17答案：D【分析】将式子进行变形，然后计算即可．【详解】解：==【点睛】本题考查有理数的计算，关键在于进行变形．解析：D【分析】将式子进行变形，然后计算即可．【详解】解：111111122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =111111111111()()()()()22334455667----------- =17【点睛】本题考查有理数的计算，关键在于进行变形．15．已知ABC 的面积为28cm ，连接ABC 各边中点构成第一个三角形，再连接这个新三角形的各边中点得到第2个三角形．依此类推，则第100个三角形的面积为（ ） A ．10314 B ．16012 C ．19712 D ．9812 答案：C 【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2，再求第二个三角形．依次为，…2-2n+3，然后求出当n=100即可 【详解】 如图所示：∵点D 、E 、F 是△ABC 各边的中点， ∴DE ∥BC解析：C 【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2，再求第二个三角形12．依次为18，…2-2n+3，然后求出当n=100即可【详解】 如图所示：∵点D 、E 、F 是△ABC 各边的中点， ∴DE ∥BC ，且DE=12BC, ∴同理EF=12AB ，DF=12AC ， ∴DE EF 1==BC AB 2DF AC =， ∴△ABC ∽△FED ，∴S △ABC ：S △FED =AB 2：EF 2=4：1， ∵S △ABC =8cm 2，∴S △FED =14 S △ABC =2，称为S 1，由此S 2=14S 1=14×2=12，S 3=18…2=21,,12=2-1,18=2-3…2-2n+3， 当n=100时，S 100=2-197=19712． 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形各边中点围成的三角形面积，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键．16．观察下列单项式：223344191920202,2,2,2,,2,2,x x x x x x ---，则第n 个单项式是（ ） A ．2n n xB ．(1)2n n n x -C ．2n n x -D ．1(1)2n n n x +-答案：B 【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（-1）n2n ，字母变化规律是xn ． 【详解】因为第一个单项式是； 第二个单解析：B 【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（-1）n 2n ，字母变化规律是x n ． 【详解】因为第一个单项式是1112(1)2x x -=-⨯； 第二个单项式是222222(1)2x x =-⨯； 第三个单项式是333332(1)2x x -=-⨯， …，所以第n 个单项式是(1)2nnnx -． 故选：B ． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的规律探索，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式改写成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 17．已知11(0 1)a x x x =+≠≠-且，231211,11a a a a ==--，…，111n n a a -=-，则a 2020 等于（ ） A ．xB ．x +1C ．1x-D ．1x x + 答案：B 【分析】把a1代入确定出a2，进而求出a3，a4，找出结果的规律，判断即可． 【详解】解：把a1=x+1代入得：， 依此类推，以循环， ∵2020÷3=673…1， 则a2020=x+1．解析：B 【分析】把a 1代入确定出a 2，进而求出a 3，a 4，找出结果的规律，判断即可． 【详解】解：把a 1=x+1代入得：2341111,,111(1)11()11x a a a x x x x x x x ==-====+-++---+， 依此类推，以11,,1xx x x +-+循环， ∵2020÷3=673…1， 则a 2020=x+1． 故选：B ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，探索与表达规律．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1的计算结果的个位数字是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2答案：B 【分析】原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字．【详解】解：原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）…（216+1）+1 ＝（22﹣1）•解析：B 【分析】原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字． 【详解】解：原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）…（216+1）+1 ＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）…（216+1）+1 ＝（24﹣1）•（24+1）…（216+1）+1 ＝232﹣1+1 ＝232，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴其结果个位数以2，4，8，6循环， ∵32÷4＝8，∴原式计算结果的个位数字为6， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键． 19．计算242(21)(21)(21)(21)n +++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．21n -B ．221n -C ．421n -D ．2221n -答案：C 【解析】 【分析】原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】 解：=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1） =（24-1）（24+1）…解析：C 【解析】 【分析】原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：242(21)(21)(21)(21)n+++⋅⋅⋅+=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n +1） =（24-1）（24+1）…（22n +1），=（28-1）（28+1）…（22n+1），=（22n-1）（22n+1），=24n-1，故选C．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及巧添1=（2-1）是解本题的关键．20．观察下列等式：①23﹣13＝32﹣2；②33﹣23＝52﹣6；③43﹣33＝72﹣12；④53﹣43＝92﹣20…请根据上述规律，请判断下列等式错误的是（）A．20163﹣20153＝40312﹣2016×2015 B．20173﹣20163﹣40332＝2017×2016 C．40352﹣20183+20173＝2018×2017 D．2018×2019﹣20183+20193＝40372答案：B【分析】根据题意找出数字的变化规律，根据规律计算，判断即可．【详解】解：观察等式可以得到规律：（n+1）3﹣n3＝（2n+1）2﹣n（n+1），20163﹣20153＝40312﹣201解析：B【分析】根据题意找出数字的变化规律，根据规律计算，判断即可．【详解】解：观察等式可以得到规律：（n+1）3﹣n3＝（2n+1）2﹣n（n+1），20163﹣20153＝40312﹣2016×2015A正确，不符合题意；20173﹣20163＝40332﹣2017×2016∴20173﹣20163﹣40332＝﹣2017×2016B错误，符合题意；40352﹣20183+20173＝2018×2017C正确，不符合题意；2018×2019﹣20183+20193＝40372D正确，不符合题意；，故选B．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算、数字的变化规律，掌握有理数的混合运算法则、正确找出数字的变化规律是解题的关键．三、规律问题图形变化类21．用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1枚棋子，第二个图形有5枚棋子，第三个图形有12枚棋子，…依此规律，第7个图形比第6个图形多（）枚棋子A ．20B ．19C ．18D ．17解析：B 【详解】试题分析：设第n 个图形的棋子数为Sn ， 则第1个图形，S 1＝1；第2个图形，S 2＝1+4，S 2－S 1=4＝3×1+1； 第3个图形，S 3＝1+4+7；S 3－S 2=7＝3×2+1； 第3个图形，S 3＝1+4+7+10；S 4－S 3＝10=3×3+1； ……∴第n 个图形比第（n －1）个图形多()3n 113n 2-+=-棋子. ∴第7个图形比第6个图形多372=19⨯-棋子. 故选B.考点：探索规律题（图形的变化类）.22．如图1，已知 AB=AC ，D 为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD 、 CD ；如图2，已知 AB= AC ，D 、E 为∠BAC 的平分线上两点，连接 BD 、CD 、BE 、CE ；如图3，已知 AB=AC ，D 、E 、F 为∠BAC 的平分线上三点，连接BD 、CD 、BE 、CE 、 BF 、CF ；…，依次规律，第 n 个图形中全等三角形的对数是（ ）A ．nB ．2n-1C ．()12n n + D ．3（n+1）解析：C 【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n 个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD=∠CAD ． 在△ABD 与△ACD 中， AB=AC ， ∠BAD=∠CAD ， AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD ．∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，△ABE ≌△ACE ， ∴BE=EC ， ∵△ABD ≌△ACD ． ∴BD=CD ， 又DE=DE ， ∴△BDE ≌△CDE ，∴图2中有3对三角形全等； 同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n 个图形中全等三角形的对数是(1)2n n +． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．23．如图，由等圆组成的一组图中，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由11个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第⑧个图由（ ）个圆组成A ．71B ．72C ．73D ．74解析：A 【分析】先观察前几个图形，找到规律，用含有n 的代数式将规律表示出来，然后算第⑧个． 【详解】解：可以将整个图形分成三部分看，上面部分整体和中间一行以及下面部分整体， 上部分和下部分都是一样的规律，第n 个图形有1231n ++++-个圆，所以上部分加上下部分一共有()()123121n n n ++++-⨯=-个圆，中间一行，第n 个图形有21n -个圆， 所以第n 个整个图形中有21n n +-个圆， 令8n =，解得第⑧个图形中有71个圆． 故选：A ． 【点睛】本题考查找规律，解题的关键是能够用含有n 的代数式将图形的规律表示出来． 24．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，⋯按此规律作下去，若11A B O a ∠=，则20202020A B O ∠=（ ）A ．20202a B ．20192aC ．4040aD ．4038a解析：B 【分析】根据等腰三角形两底角相等结合三角形外角性质用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论． 【详解】解：1212B A B B =，11A B O α∠=， 22111122A B O A B O α∴∠=∠=，同理3322211112222A B O A B O αα∠=∠=⨯=，∴44312A B O α∠=， 112n n n A B O α-∴∠=， 2020202020192A B O α∴∠=，故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，和三角形外角性质,图形的变化规律，依次求出每个三角形的一个底角，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键． 25．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）A ．61B ．62C ．63D ．65解析：A【分析】根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决．【详解】解：由图可得，第一个图有1个蜂巢，第二个图有1+6×1＝7个蜂巢，第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢，…，则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61，故选：A．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数．26．把圆形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（）A．42 B．54 C．55 D．56解析：C【分析】根据题意找到图案中圆形个数的规律，从而求解【详解】解：第①个图案中有0+12=1个圆形，第②个图案中有1+22=5个圆形，第③个图案有2+32=11个圆形，第④个图案有3+42=19个圆形，第n个图案有（n-1）+n2个圆形，∴第7个图案中圆形的个数为：6+72=55故选：C．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中圆形个数的变化找出变化规律是解题的关键．27．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第8个图中共有点的个数是（）个A ．108B ．109C ．110D ．112解析：B 【分析】由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…，由此规律得出第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n 3(1)12n n +=+个点，然后依据规律解答即可． 【详解】解：第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， …第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n=13(123)n ++++⋯+3(1)12n n +=+个点， ∴第8个图中共有点的个数38(81)11092⨯+=+=个， 故选B. 【点睛】此题考查图形的变化规律，根据图形得出数字之间的运算规律是解题的关键． 28．观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（ ）A ．210B ．236C ．249D ．251解析：C 【分析】设图中第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数），然后列出各个图形星星的个数，去判断星星个数的规律，然后计算第20个图形的星星个数．【详解】解：第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数）则a 1=2=1+1，a 2=6=1+2+3，a 3=11=1+2+3+5，a 4=17=1+2+3+4+7∴a n =1+2+3+……+n +（2n -1）=2(1)15(21)1222n n n n n ++-=+- 令n =20，则2215151?20+?20-12222n n +-==249故选：C 【点睛】本题主要考查根据图形找规律，解题的关建是找出图形规律，然后计算． 29．如图，已知3343111122224,,,AB A B A B A A A B A A A B A A ====，若68A ︒∠=，则11n n n A A B --∠的度数为（ ）A ．682nB ．1682n - C ．1682n + D ．2682n + 解析：B 【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以写出前面几个11n n n A A B --∠的度数及其与顶点下标的关系,然后通过类比和不完全归纳法可以得到 11n n n A A B --∠ ． 【详解】解：∵116868A AB A B BA A ∠=︒=∴∠=︒，，， ∵11211121112,BA A A A B A B A A B A A ∠=∠+∠=，∴ 121682A AB ︒∠=， 同理可得：23234323686822A A B A A B ︒︒∠=∠=，， ∴111682n n n n A A B ---︒∠=， 故选B ． 【点睛】本题考查图形类规律探索，熟练掌握三角形的外角性质、等腰三角形的性质及不完全归纳法的运用是解题关键．30．如图，在第一个1ABA ∆中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =，得到第二个12A A C ∆；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4A 为顶点的等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．170︒B ．175︒C ．10︒D ．5︒解析：A【分析】 先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A 5的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，∴∠BA 1A= 1802B ︒-∠=80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1=18022BA A ︒∠==40°； 同理可得∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴∠A n =1802n ︒-， 以点A 4为顶点的等腰三角形的底角为∠A 5，则∠A 5=4802︒=5°， ∴以点A 4为顶点的等腰三角形的顶角的度数为180°-5°-5°=170°． 故选：A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．。
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探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题。
归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。
它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。
探讨归纳规律性问题常见的有：（1）根据数的排列规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳等。
本专题原创编写数字变化类规律性问题模拟题。
原创模拟预测题1.把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2，4），（6，8，10，12），（14，16，18，20，22，24），…，现用等式A M=（i，j）表示正偶数M是第i组第j个数（从左往右数），如A10=（2，3），则A2014=【】
A．（31，15）B．（31，16）C．（32，15）D．（32，16）
【答案】C。
【考点】探索规律题（数字的变化类）。
∵前31组共2+4+6+8+…+62=()
26231
992
2
+⋅
=个数，
∴2014是第32组的100799215
-=个数。
∴A2014=（32，15）。
故选C。
原创模拟预测题2.观察数表
根据表中数的排列规律，则B+D= ．
【答案】23。
【解析】∵仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，
∴1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。
∴B=8，D=15。
∴B+D=8+15=23。
原创模拟预测题3.观察一列单项式：2x，4x2，6x3，8x，10x2，12x3，…，则第2014个单项式是。
【答案】4028x。
【考点】探索规律题（数字的变化类）。
【分析】先看系数的变化规律，然后看x 的指数的变化规律，从而确定第2014个单项式：
∵系数依次为2，4，6，8，10，12，…2n ，
∴可得第2014个单项式的系数为4028；
x 的指数依次是1，2，3，1，2，3，1，2，3，…可见三个单项式一个循环，
∵2014÷3=671…1，∴第2013个单项式指数为1。
∴第2014个单项式是4028x 。
原创模拟预测题4. 观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则
2+6+10+14+…+2014的值是 。
【答案】508032。
【考点】探索规律题（数字的变化类）。
【分析】根据已知数字变化规律，得出连续奇数之和为数字个数的平方，进而得出答案：
∵1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，
∴
()()()222222121262132226102135232610142135724=⨯=⨯+=⨯+=⨯++=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯⋅⋅⋅ ；；；；
∴左边括号中最后一个数字是2n －1。
∵2014=21007⨯，
∴由2n －1=1007解得n=504。
∴1+3+5+…+2014=10072=22504508032⨯=。
原创模拟预测题5. 观察下列各数的个位数字的变化规律：21＝2，22＝4，23＝8，24
＝16，25＝32，26＝64……通过观察，你认为22011的个位数字应该是
【答案】8
【解析】
原创模拟预测题6. 让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n 1=5，计算n 12+1得a 1；
第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；
第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；
…………
依此类推，则a 2008=___ __.
【答案】26
【解析】
试题分析：根据题意，进行计算261=a ；因为2+6=8，所以652=a ；因为6+5=11，所以1223=a ；因为1+2+2=5，所以13a a =．发现：每3个一循环，即可得到结果． 由题意得，26，65，122每3个数一循环，
∵66932008=÷余1，
.262008=∴a
考点：本题考查的是数字的变化
点评：此类题主要应根据要求进行正确计算，发现几个一循环，找到规律，再进行计算．
原创模拟预测题7. 已知11112442⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭，111146423⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭，111168434⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭，… 依据上述规律，计算
111124466820122014+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的结果为 （写成一个分数的形式）
【答案】5032014。
【考点】探索规律题（数字的变化类），分式的化简计算。