复变函数-孤立奇点--无穷

lim
z0
z4
lim z0
4z3
3
1 z
1 ez
1
2z
法一 洛朗展开法
1
1
1
1
1z
ez 1 1 z z2 L
1 z 1
z
z2 L
(1 L ) z 2!
2!
2! 3!
法二 零点法
ez 1 z z 0分别是分子分母的2级零点, z(ez 1) 又z 0是奇点，则z 0是可去奇点.
(2)
1 z
1 ez
1
2z
;
ez cos z
1
(4) sin3 z ; (5) (ez 1)sin z2 ;
(3)sin 1 ; z 1
(ez 1)z2
(6)
.
z sin z
答：(1) z 0是3级极点； （2）z 0是可去奇点； （3）z 1本性奇点； （4）z k是3级极点；
（5）z 0, 3级极点,z k , k 1, 2,L 是1级极点； （6）z 0可去奇点。
1
R
R | z |
z 0 | | 1
R
又记
f (z) f ( 1 ) : ( ),
则( )在0 | | 1 内解析, 所以 0为( )的
R 一个孤立奇点.
5
定义4 若 0为( )的可去奇点、m级极点、本性奇点，则
相应地称z 为f (z)的可去奇点、m级极点、本性奇点.
0为( ) 1 的单极点，
7
极限判别法
(1) 是f (z)的可去奇点 lim f (z)存在且有限 z
(2) 是f (z)的级点 lim f (z) z
(3) 是f (z)的本性奇点 lim f (z)不存在且不为 z 例如： 多项式pn (z) an z n an1z n1 a1z a0 ,
1
ez
1
则
n1
n1
( )
f (1)
cn n c0 cn n
n1
n1
命题 z 是f (z)的孤立奇点，则
(1) 是可去奇点 f (z)的洛朗展式不含正幂项；
(2) 是m级极点 f (z)的洛朗展式含有有限正幂项， 且zm为最高正幂项；
(3) 是本性奇点 f (z)的洛朗展式含有无穷多正幂项；
10
11
z 为f (z) z的单极点.
0为 ( ) sin 1 的本性奇点 z 为f (z) sin z的本性奇点
类似于有限孤立奇点的讨论，也可以利用极限或者 f (z)在R | z | 内的展开式来判断奇点z 的类型.
6
洛朗展式判别法
f (z)在R | z | 的洛朗展式为
f (z) cnzn c0 cnzn
1 z
1 2! z 2
1 3! z 3
,
ez ,sin z,cos z都以z 为本性奇点.
8
思考题 :
求出
sin z z3
z
和
z
z
的所有奇点，并判断其类型. 1
例：求f
(z)
(z2 1)(z 2)3
(sin z)3
的所有奇点，并判断类型.
解： z k (k为整数) 是 sin z 的1级零点，
2
1 e2z (1) z4 ; 法一 洛朗展开法
1 e2z z4
1
22 z2
z4 [1 (1 2z 2! L )]
2 2 23 z3 z2 3!z L
法二 零点法
z 0是z4的4级极点，是1- e2z的1级零点，则z 0是 f (z)的3级极点.
法三 极限法
1 e2z
2e 2 z
法三 极限法
ez 1 z
ez 1
ez
1
lim
z0
z(ez
1)
lim
z0
ez
1 zez
lim
z0
2e z
zez
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2
4
5、函数在无穷远点的性态
定义5.3 若f (z)在z 的去心邻域R | z |
(R 0)内解析，则称为f (z)的孤立奇点.
设点z 为f (z)的孤立奇点, (若R 0,则规定 1 )
回顾: 孤立奇点 可去奇点
Laurent级数的特点 无负幂项
lim f (z)
z z0
存在且为 有限值
含有限个负幂项
m级极点 关于(z z0 )1的最高幂
为 (z z0 )m
本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在
1
练习：考察下列函数的孤立奇点，奇点类型，
如果是极点，指出它的级数.
1 e2z (1) z4 ;
z 1是f (z)的2级极点， z 2是f (z)的可去奇点，
其他均为3级奇点.
关于z ,
1 (1 2 )(1 2 )3
f( )
5 sin3 /
0,k
1 k
(k为整数)为f
(1
)的奇点.
不是孤立奇点.
9
本讲小结：
1、熟悉奇点的概念以及分类情况,
2、知道奇点类型的判定方法;
3、了解函数在z 的性态.