圆导学案(答案版)
《圆》整理和复习(导学案)
5.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、合作探究，加深对圆的知识点的理解和应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆的基本概念：圆心、半径、直径、周长、面积的定义及其相互关系；
-圆的性质：半径相等、直径垂直、弧相等、圆心角相等的特点及其应用；
《圆》整理和复习（导学案）
一、教学内容
《圆》整理和复习（导学案）
1.圆的基本概念：圆心、半径、直径、周长、面积；
2.圆的性质：半径相等、直径垂直、弧相等、圆心角相等；
3.圆的方程：圆的相交、相离；
5.圆与圆的关系：相切、相交、相离；
6.圆的切线、割线；
7.圆的扇形、圆心角、圆周角；
举例解释：
-通过实际测量和计算，让学生掌握圆的周长和面积的计算方法，并理解其在生活中的应用，如计算车轮的行驶距离；
-通过几何作图，让学生直观感受圆的性质，如半径相等、圆心角相等，并应用于解决实际问题，如设计等分圆的图形。
2.教学难点
-圆的方程推导：理解圆的标准方程和一般方程的推导过程，尤其是从标准方程到一般方程的转换；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆的基本概念。圆是由一组等距离于圆心的点组成的几何图形。它是平面几何中最重要的图形之一，具有许多独特的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了圆在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题，如计算车轮的周长和面积。
-在计算扇形、圆心角、圆周角时，通过实际案例和公式推导，使学生能够熟练掌握计算方法，并应用于实际测量和设计问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
《圆》复习与整理导学案
《圆》复习与整理导学案复习目标：通过本节课的复习，我能熟练记住本章的所有有概念与公式，并会灵活运用所学知识解决生活中的问题。
复习重、难点：通过解决一些实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。
复习过程：一、合作交流师：同学们，这节课我们来复习《圆》这一单元的知识。
请同学们把自己整理的知识先在小组内交流。
出示要求：1.认真倾听小组内其他成员的汇报。
2.及时补充小组内的汇报内容。
师：刚才大家已把这半角的知识在小组内进行交流，谁能简要说一说，本单元主要学习了哪几方面的知识？生回答师板书：二、小组展示：师：下面我们来分组展示，第1、2组汇报圆的认识，第3、4组汇报圆的周长，第5、6组汇报圆的面积，第7、8组汇报扇形，第9组汇报“我的提醒”。
1.小组PK2.小组汇报（学生汇报师板书）三、课堂测评师：为了检测大家复习的效果，你们敢不敢向老师挑战？（一）判断并说明理由：1.半径是直径的1/2，直径是半径的2倍2.一个圆的周长与它的直径的比叫圆周率。
（ ）3..将圆转化成长方形后，长方形的周长就是圆的周长。
（ ）4.半圆的周长就是圆周长的一半。
（ ）5.半圆有无数条对称轴。
（ ）圆6.周长相等的圆、正方形、长方形，长方形的面积最大。
（）（二）1.测量出圆的有关数据并提出问题进行解答。
（只列式不计算）2.也可以对图形进行加工，利用测量的数据来解决提出的问题。
四、全课总结师：通过这节课的复习，你有什么向大家说得吗？教学反思：所谓整理和复习，我觉得重点应该在整理上，整理和复习不但要起到一个回顾知识点的作用，更重要的是将这一章节的内容进行梳理，从而找出知识之间的内在联系，形成更加完善的知识网络体系。
从这个角度上来说，整理和复习课应该让学生成为课堂的主人，通过学生之间的交流碰撞，引发知识的重新构建，并形成一个完善的体系。
课前我先让学生自己就本单元的知识进行一个罗列与整理，课堂上先进行全班的交流，最终形成一个知识的网络。
在这个节课上，为了让学生更好地灵活运用所学知识，我想了一种新的方法，就是给学生先提供一个具体的载体，利用这个载体去研究圆，通过这个圆来调动学生已有的知识经验，在这节课中我发给学生一个半径是2厘米的圆，以这个圆为载体，让学生利用手中的学具通过测量的数据，提出一些有关本节课所能解决的问题，课后练习围绕这个圆来研究。
人教版九年级上册数学第二十四章《圆》导学案(有答案)
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆学习目标1.理解圆的两种定义形式.2.理解与圆有关的一些概念.重点：圆的有关概念.难点：定义圆应该具备的两个条件．学习过程一、创设问题情境活动1:观察图形,从中找到共同特点.二、揭示问题规律(一)圆活动2:1.画圆2.圆的定义:归纳:圆心是确定圆在平面内的___________的,半径是确定圆的___________的,所以,圆是由___________和___________两个要素确定的.圆有___________个圆心, ___________条半径,同一个圆中所有的___________都相等.活动3:结合定义,师生共同讨论以下几个问题:(1)篮球是圆吗?为什么?(2)以3厘米为半径的圆,能画出几个?为什么?(3)以点O为圆心画圆,能画几个?为什么?(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?3.从画圆的过程可以看出:(1)圆上各点到___________的距离都等于___________.(2)到定点的距离等于定长的点都___________.因此,圆心为O,半径为r的圆可以看成是______________________的点的集合.活动4:讨论圆中相关元素的定义:(二)与圆有关的概念:(画图,结合图形说明)1.弦: ______________________.直径: ______________________.思考:直径是不是弦?弦是不是直径?答: ______________________.2.弧: ______________________.半圆: ______________________.由此可知:弧可分为三类,大于半圆的弧叫___________,小于半圆的弧叫___________,还有半圆.3.等圆:能够重合的圆.等圆的半径.4.同心圆:圆心相同,半径不同的圆.请你画出来:5.等弧: ______________________.思考:长度相等的两条弧是否是等弧?为什么?答: ______________________;等弧只能出现在___________或___________中.三、解决问题活动5:1.在现实生活中,许多物体给我们以圆的形象,同学们想一想,为什么车轮要做成圆形的,如果是椭圆的或其他形状可以吗?2.判断(1)直径是弦,弦也是直径.( )(2)半圆是弧,弧也是半圆.( )(3)同圆的直径是半径的2倍.( )(4)长度相等的弧是等弧.( )(5)等弧的长度相等.( )(6)过圆心的直线是直径.( )(7)直径是圆中最长的弦.( )四、变式训练活动6:1.如何在操场上画一个半径是5 m的圆?说出你的理由.2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树生长的年龄.如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?五、反思小结六、达标测试一、选择题1.下列说法中，（1）长度相等的两条弧一定是等弧；（2）半径相等的两个半圆是等弧；（3）同一条弦所对的两条弧一定是等弧；（4）直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线．其中正确说法的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（）A．（0，1） B．（0，-1）C．（ 1，0） D．（-1，0）2题图 3题图 4题图 6题图3.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（）A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定4.如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P 点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（）A．逐渐变大 B．逐渐变小C．不变 D．不能确定二、填空题5.在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有______个．6.将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO=_____度．7.如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O 为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为________.三、解答题8.若Rt△ABC的三个顶点A、B、C在⊙O上，求证：Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心．9.如图，已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且CD=R，试求AC的长．24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径学习目标1.掌握垂径定理及相关结论.2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题.难点：垂径定理及其推论.学习过程一、创设问题情境问题:你知道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?二、揭示问题规律活动1:用你手中的一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?活动2:如图1,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.图1(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?相等的线段:相等的弧:由此可得垂径定理: .请结合图形,写出它的推理形式.∵____________________；∴____________________.若将问题中的直径CD⊥AB改为CD平分AB,你又能得到结论:(图中弦AB是否可为直径?)请结合图形,写出它的推理形式. ∵____________________；∴____________________.三、解决问题活动3:1.在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.2.填空(1)如图(1),半径为4 cm的☉O中,弦AB=4 cm,那么圆心O到弦AB的距离是______________.(2)如图(2),☉O的直径为10 cm,圆心O到弦AB的距离为3 cm,则弦AB的长是____________.(3)如图(3),半径为2 cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是_______________.3.解决求赵州桥拱半径的问题.四、变式训练活动4:1.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?五、反思小结2.通过本节课的学习,你能编一道用垂径定理来解决的数学问题吗?六、达标测试一、选择题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE=BE B．弧BC=弧BD C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形1题图 2题图 3题图2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．203.坐标网格中一段圆弧经过点A、B、C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（）A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1） D．（2，1）二、填空题4.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．BC=8，ED=2，则⊙O的半径为________.4题图 5题图5.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则△OCE的面积为_______.6.已知⊙O的半径为5，P为圆内的一点，OP=4，则过点P弦长的最小值是______.三、解答题7.如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂直平分线，交圆O于C、D两点，垂足为H，连接BC、BD．（1）求证：BC=BD；（2）已知CD=6，求圆O的半径长．8.如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标理解弧、弦、圆心角之间的关系,并运用这些关系解决有关的证明、计算问题.重点：圆心角、弦、弧、弦心距的关系定理：难点：正确识别圆心角，圆心角所对的弧，圆心角所对的弦，圆心角所对的弦的弦心距，探索定理和推论及其应用．学习过程一、创设问题情境1.圆是轴对称图形,其对称轴是______________________.圆还是____________对称图形,其对称中心是____________.2.圆绕____________旋转____________度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性.二、揭示问题规律1.圆心角:顶点在____________的角,叫圆心角.2.探究:(1)如图,☉O中∠AOB=∠A'OB',则A________A'B', _______.(2)如图,☉O中=,则∠AOB_______∠A'OB',AB_______A'B'.(3)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB_______∠A'OB', ________.文字语言叙述:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧____________,所对的弦也____________.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角____________,所对的弦____________.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角____________,所对的弧____________.符号语言:如上图(1)∵∠AOB=∠A'OB',∴____________,____________.(2)∵=,∴____________,____________;(3)∵AB=A'B',∴____________,____________.3.反例:在图中,∠AOB=∠A'OB',但弦AB和A'B'相等吗?和相等吗?三、解决问题【例1】如图:在☉O中,弧=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.【例2】如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=35°,求∠AOE的度数.【例3】如图,在☉O中,AD=BC,比较与的大小.,并证明你的结论.四、变式训练为建设我们美丽的校园,学校准备把圆形花坛的外沿分成相等的三部分,每部分用不同颜色的花砖砌成,请你用所学知识帮助设计一种施工方案.五、反思小结六、达标训练一、选择题1.如图所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°1题图 2题图2.如图：AB是弧AB所对的弦，AB的中垂线CD分别交弧AB于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交弧AB于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交弧AB于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．弧AC=弧CB B．弧EC=弧CGC．弧AE=弧EC D．EF=GH3.如图所示，在⊙O中，弧AB＝2弧CD，那么（）A．AB＞2CD B．AB＜2CDC．AB=2CD D．无法比较3题图 4题图 5题图 6题图4.如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4．3．5．4cm二、填空题5.如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于______度．6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=_______．三、解答题7.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．8.已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是弧AB的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．求证：CD=AE=BF．9.如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O 的半径为1．请问：P在MN上什么位置时，AP+BP的值最小？并给出AP+BP的最小值．24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角学习目标1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.2.初步运用圆周角定理解决相关问题.3.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.重点：圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；圆内接四边形的概念及其性质.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.一、创设问题情境什么叫圆心角?在图1中画出所对的圆心角,能画几个?二、揭示问题规律(一)圆周角定义：1.定义:________________________________________叫圆周角.辨析:图中的角是圆周角的是_____________.2.在图1中画出弧所对的圆周角.能画几个?(二)探究1:1.根据圆周角与圆心的位置关系可将圆周角分为几类?在下图中画出所对的圆周角.2.量出所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .3.尝试证明你的发现.归纳:圆周角定理: .在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?(三)探究2:在图中画出直径AB所对的圆周角,你有什么发现?归纳:圆周角定理的推论:（四）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做 ,这个圆叫做这个 .问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆,猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为 . 由此得出圆内接四边形的性质: .三、解决问题1.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?2.四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A与∠C是一对对角,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C=,∠D=.3.☉O的内接四边形ABCD中,∠A,∠C是一对对角,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D=.五、反思小结六、达标训练一、选择题1.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°1题图2题图3题图2.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．33.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．80°二、填空题4.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．4题图 5题图5.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=________度．三、解答题6.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．7.如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．8.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系学习目标1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法,能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关系.2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆.重点：点和圆的三种位置关系；难点：点和圆的三种位置关系及数量间的关系.学习过程一、创设问题情境问题:我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得了荣誉.右图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?二、揭示问题规律1.点P与☉O有哪几种位置关系?画图说明.2.点P到圆心O的距离为d,根据每种位置关系比较☉O的半径r与d的数量关系.当点P在圆______________时,d______________r;当点P在圆______________时,d______________r;当点P在圆______________时,d______________r.3.结合画图说明:设点P到圆心O的距离为d,☉O的半径为r,若d>r,则点P在圆______________;若d=r,则点P在圆______________;若d<r,则点P 在圆______________;归纳:①点P在______________⇔d______________r;②点P在______________⇔d______________r;③点P在______________⇔d______________r.练习:1.已知圆的半径等于5厘米,点到圆心的距离是:A.8厘米B.4厘米C.5厘米,请你分别说出点与圆的位置关系.2.如图,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米.(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?4.画图探究:图1 图2(1)如图1,经过已知点A作圆,这样的圆你能作出多少个?(2)如图2,经过已知点A,B作圆,这样的圆你能作出多少个?它们的圆心分布有什么特点?(3)经过三点作圆①当点A,B,C在同一条直线上时,过这三点能否作圆?②当点A,B,C不在同一条直线上时,过这三点能否作圆?如果能,指出圆心位置.这样的圆能作出多少个?小结:(1)经过一点可以作___________个圆;经过两点可以作___________个圆,它们的圆心在______________________上.(2) ___________个点确定一个圆.(3)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的___________,这个三角形叫做圆的___________,圆心叫做三角形的___________.练习:画出以下几个三角形的外接圆归纳:锐角三角形外心在三角形___________部;钝角三角形外心在三角形___________部;直角三角形外心在___________.三、运用规律,解决问题(一)判断题:1.过三点一定可以作圆( );2.三角形有且只有一个外接圆( )3.任意一个圆有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形( )4.三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点( )5.三角形的外心到三边的距离相等( )(二)思考:如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心.(三)如何解决“破镜重圆”的问题四、变式训练1.思考:任意四个点是不是可以作一个圆?请举例说明.2.为美化校园,学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池,在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A,B,C),若不动花树,还要建一个最大的圆形喷水池,请设计你的实施方案.五、反思小结六、达标训练一、选择题1.在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是（）A．5 B．10 C．5或4 D．10或82.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°3.如图，动点M、N分别在直线AB与CD上，且AB∥CD，∠BMN与∠MND的角平分线相交于点P，若以MN为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．以上都有可能3题图 4题图 5题图4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）二、填空题5.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有______，在圆上的有_______，在圆内的有________．6.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是_______．三、解答题7.如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．8.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．24.2.2直线和圆的位置关系(第1课时)学习目标1.理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系.2.掌握它们的判定方法.重点：直线和圆的三种位置关系的性质和判定难点：通过数量关系判断直线与圆的位置关系学习过程一、创设问题情境活动1:1.点与圆有几种位置关系?2.怎样判定点和圆的位置关系?活动2:你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线和圆有几种位置关系吗?二、揭示问题规律活动3:(1)直线和圆的公共点个数的变化情况如何?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?(2)通过刚才的研究,你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型?1.判断下列直线和圆的位置关系.2.判断下列说法正确与否(1)直线与圆最多有两个公共点.( )(2)若C为☉O上的一点,则过点C的直线与☉O相切.( )(3)若A,B是☉O外两点,则直线AB与☉O相离.( )(4)若C为☉O内一点,则过点C的直线与☉O相交.( )活动4:议一议对比点和圆的位置关系的判定方法,是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系?三、解决问题活动5:如图,∠AOB=30°,P为OB上一点,且OP=5 cm,以P为圆心,以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?①R=2 cm;②R=2.5 cm;③R=4 cm.2.填表四、变式训练1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5 cm,BC=12 cm,以点C为圆心,r为半径作圆.(1)当r满足时,直线AB与☉C相离;(2)②当r满足时,直线AB与☉C 相切;(3)当r满足时,直线AB与☉C相交;(4)当r满足时,线段AB与☉C 有且只有一个公共点.2.试着编一道直线与圆位置关系的题目,使得直线与圆满足相离、相切、相交三种位置关系.五、反思小结六、达标训练一、选择题1.在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径2.同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定3.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，底边BC=6，若以顶点A为圆心，以4为半径作⊙A，则BC与⊙A（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定4.如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定4题图7题图二、填空题5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，以点C为圆心，6cm长为半径的圆与直线AB的位置关系是____________.6.已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2-2x+d=0没有实根，则点P与⊙O的位置关系是____________.7.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x与⊙O的位置关系是_________.三、解答题8.△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C与AB相交，求R的范围．9.如图，已知正方形ABCD的边长为a，AC与BD交于点E，过点E作FG∥AB，且分别交AD、BC于点F、G．问：以B为半径的圆与直线AC、FG、DC的位置关系如何？10.如图，点A是一个半径为300米的圆形公园的中心，在公园附近有B，C两村庄，AC的距离为700米，现要在B，C两村庄之间修一笔直公路将两村连通，现测得∠C=30°，问此公路是否会穿过该公园？请通过计算进行说明．24.2.2 直线和圆的位置关系(第2课时)学习目标1.掌握切线的判定定理的内容,并会运用它进行切线的证明.2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.重点：理解并掌握切线的判定定理和性质定理.难点：运用切线的判定定理和性质定理解决一些具体的题目.学习过程一、创设问题情境1.圆的直径是15 cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)5.5 cm,(2)7.5 cm,(3)15 cm,那么直线和圆的位置关系分别是(1) ,(2) ,(3) ;直线和圆的公共点的个数依次是___________,___________,___________.2.你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线?二、揭示问题规律1.切线的判定定理的得出:作图:在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,已知OA=r.那么,(1)圆心O到直线l的距离是___________;(2)直线l和☉O的位置关系是___________.归纳:切线的判定定理:经过___________并且___________的直线是圆的切线.请依据上图,用符号语言表达切线的判定定理:判断:(1)过半径的外端的直线是圆的切线.( )(2)与半径垂直的直线是圆的切线.( )(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.( )2.总结:到此为止学习的切线的判定方法共有:(1);(2);(3) .3. 如图,如果直线AB是☉O的切线,切点为点C,那么半径OC与直线AB是不是一定垂直呢?(用反证法说明)归纳:圆的切线的性质: 符号表示:三、解决问题1.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?2.如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.3.如图,以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,求证:AP=BP.四、变式训练1.如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AC于点E,以O为圆心,OE为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.2.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为点D,求证:AC平分∠DAB.五、反思小结若证直线是圆的切线,1.当该直线过圆上一点时,则连接,再证;2.当没有指明该直线过圆上一点时,则过作,再证.六、达标训练一、选择题1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BGB．AB∥EFC．AD∥BCD．∠ABC=∠ADC1题图 2题图2.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°3.直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（）A．25°或155°B．50°或155°C．25°或130°D．50°或130°二、填空题4.如图，两个同心圆，若大圆的弦AB与小圆相切，大圆半径为10，AB=16，则小圆的半径为_______.4题图 5题图 6题图5.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为______________（度）．6.如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_________.三、解答题7.如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）AC与CD相等吗？为什么？（2）若AC=2，，求OD的长度．8.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直径的AE．24.2.2 直线和圆的位置关系(第2课时)学习目标1.理解切线长定义.2.掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题.3.掌握画三角形内切圆的方法、三角形内心的概念.重点：切线长定理及其应用．难点：与切线长定理有关的证明和计算问题学习过程设计一、设计问题,创设情境1.已知△ABC,作三个内角的角平分线,说说它们具有什么性质?2.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理的内容是什么?3.过圆上一点可以作圆的几条切线?过圆外一点呢?圆内一点呢?二、揭示问题规律1.如图,经过平面内一点,画出☉O的切线.切线长定义: .2.如图,点P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点.连接OP,则线段PA与PB,∠APO与∠BPO分别有什么关系?由此我们得到切线长定理: .推理形式:3.如图是一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下的圆与三角形的三边都相切?归纳:与三角形各边叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形的交点,叫做三角形的.三、运用规律,解决问题【例1】如图,已知☉O是△ABC的内切圆,切点为D、E、F,如果AE=2,CD=1,BF=3,且△ABC 的面积为6.求内切圆的半径r.【例2】如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF,BD,CE的长.四、变式训练探究:PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,E,交AB于点C.(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中与∠OAC相等的角;。
初三数学圆导学案圆
圆的导学案3.1圆(1)一、导入新知：1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体。
思考：车轮为什么做成圆形？2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。
他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。
如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？ 二、学习内容：1、圆的定义：_______________ （运动的观点）2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是 和3、点和圆的位置关系点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 4、圆的集合定义（集合的观点）（1）思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？（2）圆是到定点距离 定长的点的集合.圆的内部是到 的点的集合；圆的外部是 的点的集合 。
三、典型例题1·如图，Rt △ABC 的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以r 1=2cm ，r 2=2．4cm ，r 3=3cm 为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系．2·如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．⇔⇔⇔rrrP PP3·已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．4·设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．5·由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？四、课堂达标1、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A 。
人教版数学六年级上册圆的认识导学案(精选3篇)
人教版数学六年级上册圆的认识导学案（精选３篇）〖人教版数学六年级上册圆的认识导学案第【1】篇〗一、教学目标（一）知识与技能根据生活实际，通过观察、操作、自学教材等活动认识圆，掌握圆的特征，了解圆的各部分名称并能用字母表示对应的名称。
（二）过程与方法了解可以应用不同的工具画圆，掌握用圆规画圆的方法，会用圆规正确地画圆。
运用画、折、量等多种手段，理解同圆或等圆中半径和直径的特征和关系。
（三）情感态度和价值观通过对圆的了解，进一步体会数学和日常生活的密切联系，提高数学学习的兴趣。
二、教学重难点教学重点：圆的各部分名称和特征，用圆规正确地画圆。
教学难点：归纳并理解半径和直径的关系。
三、教学准备多媒体课件、学具（圆规、尺子、剪刀、绳、钉子、各种物体表面有圆形的实物等）。
四、教学过程（一）情境创设，揭示课题1．谈话引入。
教师：我们学过的平面图形有哪些？（1）学生回忆交流：有长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆……（2）今天我们要更深入地来认识“圆”。
（板书课题：圆的认识。
）2．列举生活实例。
教师：在生活中，圆形的物体随处可见。
（1）展示教材：从奇妙的自然界到文明的人类社会，从手工艺品到各种建筑……到处都可以看到大大小小的圆。
（2）教师：你能说说自己所见过的圆吗？（学生列举回答。
）【设计意图】通过简短的“平面图形有哪些”的谈话直接引出课题，简洁明了，同时无形中也巩固了“圆是平面图形”这一知识点；学生对圆已有一定的认识，因此通过主题图欣赏生活中的圆，让学生找找自己生活中见过的圆，使学生对圆有了初步的了解，激发了进一步学习圆的兴趣。
（二）利用素材，尝试画圆1．尝试运用不同的工具画圆。
教师：如果请你在纸上画出一个圆，你会怎样画？预设：（1）利用圆形的实物模型的外框画圆；（2）用线绕钉子旋转画圆；（3）用三角尺；（4）用圆规……2．运用圆规画圆。
（1）认识圆规。
课件出示圆规，帮助学生认识圆规。
圆规的组成：一只“带有针尖的脚”，一只“装有铅笔的脚”。
最新人教版九年级数学上册《圆》全单元导学案
最新人教版九年级数学上册《圆》全单元导学案最新人教版九年级数学上册《圆》导学案研究目标：1.理解圆的概念；2.掌握解答基本的圆题型。
研究重点：1.圆的概念。
研究难点：1.解答基本的圆题型。
教学流程：导课】前段时间我们研究了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美好的事物！我们知道：一条线段至少旋转360°能和自身重合；一个等边三角形至少旋转120°能和自身重合；一个正方形至少旋转90°能和自身重合；思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象，比如：摩天轮、硬币、呼啦圈、方向盘、车轮、月亮、太阳等等。
那么，圆的基本要素是圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小。
当点A绕点B旋转一周时，点A的运动轨迹其实就是一个圆，其中点B是圆心。
阅读质疑自主探究】自学要求：阅读课本P78-P79圆的定义：1.在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
2.到定点O的距离等于定长的所有的点组成的图形。
（含义也是判断点在圆上的方法）表示方法：“⊙O”读作“圆O”。
构成元素：1.圆心、半径（直径）。
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。
3.优弧：大于半圆的弧；半圆弧：直径分成的两条弧；劣弧：小于半圆的弧。
如图：优弧ABC记作，半圆弧AB记作，劣弧AC记作。
4.同心圆：圆心相同，半径不同的两圆。
5.等圆：能够重合的两个圆。
6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
多元互动合作探究】1.如图，在圆O中，AC、BD为直径，求证：XXX。
2.如图，OA、OB为圆O的半径，C、D为OA、OB上两点，且AC=BD。
求证：AD=BC。
训练检测目标探究】1.下列说法正确的是：①直径是弦；②弦是直径；③半径是弦；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤半径相等的两个半圆是等弧；⑥长度相等的两条弧是等弧；⑦等弧的长度相等。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1
4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一 直线与圆的位置关系及判断思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.(2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.反思与感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解 方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0. Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ＞0， 即－36a 2＋90 000＞0，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0， 即a ＜－50或a ＞50. 方法二 (几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5， ①当直线和圆相交时，d ＜r ， 即|a |5＜10，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d ＞r ， 即|a |5＞10，a ＜－50或a ＞50. 题型二 圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.反思与感悟 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，有关圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程.解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， 所以2r ＝|15－(－5)|22＋12＝4 5.所以r ＝2 5.所以|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b －1a －2＝12.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 题型三 圆的弦长问题例3 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长.解 方法一 直线x －3yy ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x －3y ＋23＝0，x 2＋y 2＝4的解. 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. 所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2. 方法二 如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)， 所以|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝ 3.所以|AB |＝2|AM |＝2OA 2－OM 2 ＝222－(3)2＝2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.数形结合思想例4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2B.－1＜b≤1或b＝－2C.－1≤b＜1D.非以上答案分析曲线x＝1－y2变形为x2＋y2＝1(x≥0)，表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆，直线y＝x＋b表示一系列斜率为1的直线，利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题，首先要借助图形进行思考；其次要注意作图的完整准确，使得图形能够反映问题的全部；最后在求解中还要细心缜密，保证计算无误.1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上.方法二 直线kx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B解析 ∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴a 2＋b 2＞1. ∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 答案 D解析 依题意可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |22＋12＝5，解得c ＝±5.故所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)， 则|AB |＝2.5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上.于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.一、选择题1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C解析 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在， ∴l 与圆一定相交，故选C.2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1).又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )A.10－27B.5－7C.10－3 3D.5－322答案 A解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27.6.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 答案 A解析 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1. ∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. 由二次函数的图象可得 －34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 圆心到直线的距离d ＝|a －2＋3|a 2＋1＝22－(3)2＝1，解得a ＝0. 9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 答案2555解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.11.若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案 [1，2)解析 如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2). 三、解答题12.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1).第11页 共11页 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m,2－n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1,2).又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5.。
第二十四章《圆》导学案(全章)
AQP24．1.1圆（第1课时）【自主学习】 （一） 新知导学1．圆的运动定义：把线段OP 的一个端点O ，使线段OP 绕着点O 在 旋转 ，另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做 ，线段OP 叫做 .以O 为圆心的圆记作 .2.圆的集合定义：圆是到 的点的集合. 3．点与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么 点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ； 点P 在圆外⇔ .【合作探究】1.如图，已知：点P 、Q ，且PQ=4cm.（1）画出下列图形： ①到点P 的距离等于2cm 的点的集合； ②到点Q 的距离等于3cm 的点的集合；(2)在所画图中，到点P 的距离等于2cm ；且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们画出来.(3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ；且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来. 【自我检测】为圆心， 为半径的圆.为圆心，以 为半径的圆上. 3.矩形ABCD 边AB=6cm,AD=8cm ，(1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A______，点C 在⊙A_______，点D 在⊙A________，AC 与BD 的交点O 在⊙A_________；(2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_______.4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是5.如图，已知在⊿ABC 中，∠ACB=900,AC=12,AB=13,CD ⊥AB,以C 为圆心，5为半径作⊙C ，试判断A,D,B 三点与⊙C 的位置关系左下图，一根长4米的绳子，一端拴在树上，另一端拴着 .7.已知：如右上图，△ABC ，试用直尺和圆规画出过A ，B ，C 三点的⊙O ．8.△ABC 中,∠A=90°，AD⊥BC 于D ，AC=5cm ，AB=12cm ，以D 为圆心，AD 为半径作圆，则三个顶点与圆的位置关系是什么？画图说明理由.9.如右图，(1)若点O 为⊙O 的圆心，则线段__________是圆O 的半径； 线段________是圆O 的弦，其中最长的弦是______； ______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A =40°，则∠ABO =______，∠C =______，∠ABC =______．10．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．树S小狗4m24．1.1圆（第2课时）【自主学习】 （一）复习巩固： 1．圆的集合定义.2．点与圆的三种位置关系.⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 外一点，则OP 的长可能是（ ）（二）新知导学 1．与圆有关的概念①弦：连结圆上任意两点的 叫做弦. ②直径：经过 的弦叫做直径.③弧： ，弧分为：半圆（ 所对的弧叫做半圆）、劣弧（小于 的弧）和优弧（大于 的弧）.④同心圆： 相同， 不相等的两个圆叫做同心圆. ⑤等圆：能够互相 的两个圆叫做等圆.⑥等弧：在 或 中，能够互相 的弧叫做等弧. 2．同圆或等圆的性质：在同圆或等圆中，它们的 相等. 【合作探究】1.圆心都为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在（ ） A. 甲圆内 B.乙圆外 C. 甲圆外、乙圆内 D. 甲圆内、乙圆外2.下列判断：①直径是弦；②两个半圆是等弧；③优弧比劣弧长，其中正确的是（ ） A. ① B.②③ C. ①②③ D.①③ 【自我检测】1．已知⊙O 中最长的弦为16cm ，则⊙O 的半径为________cm ． 2.过圆内一点可以作出圆的最长弦_____条． 3.下列语句中，不正确的个数是（ ）①直径是弦； ②弧是半圆； ③长度相等的弧是等弧； •④经过圆内任一定点可以作无数条直径． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.下列语句中，不正确的是（ ）A ．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合D ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个第6题ABA CD31圆周的弧叫做（ ） A ．劣弧 B ．半圆 C ．优弧 D ．圆6．如图，⊙O 中，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（• ） A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．5条7.以已知点O 为圆心，已知线段a 为半径作圆，可以作（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个8.如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD=84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB=OC ，求∠A 的度数．9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB•于点D ，求∠ACD 的度数．10.如图，CD 是⊙O 的弦，CE=DF ，半径OA 、OB 分别过E 、F 点. 求证：△OEF 是等腰三角形.BACEDOO BAC FE11.如图，在⊙O中，半径OC与直径AB垂直，OE=OF,则BE与CF的大小关系如何？并说明理由。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一 求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ， 得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法三 设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )， 则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.题型四 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52，解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五 数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下：由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴点A 的坐标为(－2，－1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴点B 的坐标为(1，－1).∴线段AB 的中点坐标为(－12，－1).又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝12，设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.∵|MA ||MB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－4k |k 2＋1≤2.解得－33≤k ≤33.即k min ＝－33. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x ＋2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 22. ①y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22)2 ＝(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12)2. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0， 解得m ＝3±132.故当m ＝3±132时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。
圆导学案1
第二十四章圆测试1 圆一、基础知识填空1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________．3．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．8．半径相等的两个圆叫做____________．二、填空题9．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．综合、运用、诊断10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．11．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．拓广、探究、思考12．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．测试2 垂直于弦的直径课堂学习检测一、基础知识填空1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．二、填空题4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．综合、运用、诊断11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．12．已知：如图，试用尺规将它四等分．图1 图2 图3 图4 图5 图613．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．14．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度数．15．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．拓广、探究、思考16．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；(2)若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．17．如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥?测试3 弧、弦、圆心角课堂学习检测一、基础知识填空1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________． 3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么______________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________． 二、解答题5．已知：如图，A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB =CD ． 求证：∠AOC =∠DOB ．综合、运用、诊断6．已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点，试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．7．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，且C 为的中点，若∠BAD =20°，求∠ACO的度数．拓广、探究、思考 8．⊙O 中，M 为的中点，则下列结论正确的是( )．A ．AB >2AM B ．AB =2AMC ．AB <2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定9．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．10．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．测试4 圆周角课堂学习检测一、基础知识填空1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．5．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．5题图6题图7题图6．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠F AE=______，∠DAB=______，∠EF A=______．7．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______；若M是上一点，则∠BMC=______．二、选择题8．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°9．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°10．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°10题图11题图12题图13题图11．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°综合、运用、诊断14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．15．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．16．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．求证：FE=EH．17．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．拓广、探究、思考18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O 于M．求证：∠AMD=∠FMC．。
2.5.2 圆与圆的位置关系 导学案答案
2.5.2 圆与圆的位置关系【课前预习】知识点1.外切 相交 内切2.(3)Δ=0 Δ>0 d>r 1+r 2 |r 1-r 2|<d<r 1+r 2d=|r 1-r 2|诊断分析(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (1)由两圆相交的概念知结论正确.(2)若两个圆没有公共点,则这两个圆可能外离也可能内含,故结论不正确.(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,但反之不成立,若两圆有且只有一个公共点,则两圆可能外切也可能内切,故结论不正确.(4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆外离或内含,故结论不正确.【课中探究】探究点一例1 (1)D (2)C [解析] (1)由题意得圆C 1:(x-1)2+(y+2)2=1,圆C 2:(x-2)2+(y+1)2=14,则两圆的圆心分别为C 1(1,-2),C 2(2,-1),所以圆心距d=|C 1C 2|=√(2-1)2+(-1+2)2=√2.因为1-12<√2<1+12,所以两圆相交,则这两个圆的公切线有2条.(2)由题意得|O 1O 2|=√(3+1)2+(-2-1)2=5.∵圆O 1和圆O 2相内切,∴|O 1O 2|=|r-1|,即|r-1|=5,解得r=6或r=-4(舍去).故选C .变式 (1)D (2)(√5,3√5) [解析] (1)圆C 2的方程可化为(x-m )2+y 2=m ,所以m>0,即两圆的圆心分别为C 1(0,0),C 2(m ,0).设圆C 1,C 2的半径分别为r 1,r 2,则r 1=2,r 2=√m ,所以|C 1C 2|=m=r 1+r 2=2+√m ,可得m=4.故选D .(2)易知圆C 1的圆心为C 1(0,0),半径为m ,由x 2+y 2-2x-4y-15=0,得(x-1)2+(y-2)2=20,所以圆C 2的圆心为C 2(1,2),半径为2√5.因为圆C 1与圆C 2恰有两条公切线,所以圆C 1与圆C 2相交,所以|2√5-m|<|C 1C 2|<2√5+m ,又|C 1C 2|=√(1-0)2+(2-0)2=√5,所以可得√5<m<3√5,即m 的取值范围是(√5,3√5).探究点二例2 (1)B (2)D [解析] (1)由x 2+(y-2)2=5和(x+2)2+y 2=5两式相减得弦AB 所在直线的方程为x+y=0,点(0,2)到直线x+y=0的距离d=√2=√2,所以|AB|=2×√5-2=2√3.故选B .(2)由x 2+y 2=1与x 2+y 2-2x+2y+F=0(F<1)两式相减得公共弦所在直线的方程为2x-2y-1-F=0.圆O 2的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=2-F ,可得圆O 2的圆心为O 2(1,-1),半径r=√2-F ,则圆心O 2到直线2x-2y-1-F=0的距离d=√4+4=2√2,则(2√2)2+(√22)2=r 2=2-F ,可得F=-3,故r=√5.故选D .变式 解:(1)设两圆交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点的坐标是方程组{x 2+y 2+6x -4=0,x 2+y 2+6y -28=0的解, 将两方程相减,得x-y+4=0.因为A ,B 两点的坐标都满足此方程,所以x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.(2)方法一:解(1)中的方程组,得{x =-1,y =3或{x =-6,y =-2.设所求圆的圆心坐标为(a ,b ),因为圆心在直线x-y-4=0上,所以b=a-4,则√(a +1)2+(a -4-3)2=√(a +6)2+(a -4+2)2,解得a=12,故所求圆的圆心坐标为(12,-72),半径为√892. 故所求圆的方程为(x -12)2+(y +72)2=892, 即x 2+y 2-x+7y-32=0.方法二:设所求圆的方程为x 2+y 2+6x-4+λ(x 2+y 2+6y-28)=0(λ≠-1),则其圆心坐标为(-31+λ,-3λ1+λ),代入x-y-4=0,解得λ=-7,故所求圆的方程为x 2+y 2-x+7y-32=0.探究点三例3 (1)ABC [解析] 设M (x ,y ),∵|MA|2+|MB|2=12,∴(x-2)2+y 2+x 2+(y-2)2=12,∴(x-1)2+(y-1)2=4.∵圆C :(x-a )2+y 2=1上存在点M ,使得|MA|2+|MB|2=12,∴圆C 与圆(x-1)2+(y-1)2=4相交或相切,∴1≤√(a -1)2+1≤3,∴1-2√2≤a ≤1+2√2,故选ABC .(2)解:由题意,圆C 1:x 2+(y+4)2=1,圆C 2:x 2+(y-2)2=1,可得两圆的半径都为1,两圆的圆心分别为C 1(0,-4),C 2(0,2). 由题意得|CC 1|=|CC 2|,可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线,又因为线段C 1C 2的中点坐标为(0,-1),直线C 1C 2的斜率不存在,所以圆C 的圆心的轨迹方程为y=-1.变式 解:(1)设点P 的坐标为(x ,y ),点A 的坐标为(x 0,y 0),因为点B 的坐标是(6,5),且点P 是线段AB 的中点,所以{x =x 0+62,y =y 0+52,于是有{x 0=2x -6,y 0=2y -5①.因为点A 在圆C 1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动,所以(x 0-4)2+(y 0-3)2=4②.把①代入②,得(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4,整理得(x-5)2+(y-4)2=1,所以点P 的轨迹C 2的方程为(x-5)2+(y-4)2=1.(2)将圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-5)2+(y-4)2=1的方程相减得 2x+2y-19=0.圆C2:(x-5)2+(y-4)2=1的圆心为(5,4),半径r=1,且圆心(5,4)到直线2x+2y-19=0的距离d=√22+22=√24,所以|MN|=2√r2-d2=2×√1-18=√142.。
九年级数学上册 24.1.1 圆导学案(含解析)(新版)新人教
圆一、新课导入1、圆是我们生活中常见的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是圆形吗？2、对于圆，你了解它哪些方面的知识？你能画一个圆吗？二、学习目标1、掌握圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆的概念。
2、能用符号表示圆、优弧、劣弧。
三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本要求：知道圆的定义，掌握圆心、半径，会用符号表示圆。
一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、1、如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、线段OA叫圆的半径，点O叫做圆心。
3、圆的符号用⊙表示，圆心是O的圆表示为⊙O，读作圆O.完成尝试应用（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．圆是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．5、如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O.求证：点A、B、C、D在以O为圆心的圆上.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∵到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心的圆上，∴点A、B、C、D在以点O为圆心的圆上.研读二、认真阅读课本要求：理解弦、直径的关系，掌握弧、半圆、优弧、劣弧的定义；会用符号表示弧。
一边阅读一边完成检测二。
检测练习二、6、连接圆上任意两点的线段叫做弦；直径是最长的弦。
7、如下图所示，圆上两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弧的符号是“⌒”。
8、直径把圆分成两个半圆，小于半圆的弧叫劣弧，用表示弧的两个端点的字母表示，例如：AC，读作弧AC；9、大于半圆的弧叫优弧，用表示弧的两个端点的字母和和表示弧上的一个点的字母表求，例如：ABC，读作弧ABC。
结论：直径是最长的弦；半圆也是弧，直径把一个圆分成了两个半圆.研读三、什么样的圆是等圆？什么样的弧是等弧？能够重合的两个圆是等圆；半径相等的圆是等圆；如果两个圆是等圆，那么这两个圆的半径相等。
(新)冀教版数学六上《圆(1)》导学案(附答案)
1圆(1)项目内容1.下面的图形是轴对称图形吗?2.用一个瓶盖或圆柱体在纸上描出一个圆并剪下来。
将圆形纸片对折,打开;换个方向再对折,打开;反复几次。
你发现了什么?分析与解答:把圆对折,折痕都过圆心,折痕两侧完全相同。
(1)圆形纸片对折后重合,得到的折痕是( )。
(2)半圆对折,这些折痕相较于一点,这点是( )。
折痕是( ),在同一个圆中所有的半径都( ),直径是半径的( )倍。
(3)圆是( )图形,直径所在的直线是圆的( )。
3.通过预习,我知道了圆是轴对称图形,( )所在的直线就是圆的对称轴。
一个圆有无数条( ),所以圆也有无数条对称轴。
4.预习后我还知道:在( )圆中,所有的直径都相等,半径都相等的,直径是半径的2倍。
5.圆的半径是( )cm, 圆的半径是( )cm,圆的直径是( )cm。
圆的直径是( )cm。
温馨提示学具准备:圆形纸片、三角板、直尺。
知识准备:对称的知识。
参考答案：1.是2.(1)直径(2)圆心半径相等2(3)轴对称对称轴3.直径直径4.等(或同)5.3648问题解决项目内容1.有6只灰兔,2只白兔,灰兔是白兔的几倍?2.客车外面有8名学生,车里面坐的学生人数是外面的4倍。
车里坐了多少名学生?分析与解答:客车外面有8名学生,车里面坐的学生人数是外面的4倍,就是车里面坐的学生人数有( )个8人。
列式为8×4。
计算时想口诀“四八( )”,所以结果是32。
3.小山羊拔了2棵白菜,老山羊拔的白菜棵数是小山羊的8倍。
老山羊拔了多少棵白菜?分析与解答:老山羊拔的白菜棵数是小山羊的8倍,求老山羊拔了多少棵白菜,就是求8个2是多少,用( )法计算,列式为8×2=16(棵)。
4.已知一个数,求这个数的几倍是多少,就是求几个这样的数是多少,列( )法算式解答。
5.解答完要注意些单位和答语。
6.花坛里有6盆月季花,牡丹花的盆数是月季花的4倍。
花坛里有牡丹花多少盆?7.二(1)班做生物标本。
《圆(2)》导学案(有答案)
BA CB 3.1 圆（2）我预学1. 如图，已知线段AB .(1) 请作出线段AB 的垂直平分线；若点P 为这条垂直平分线上的任意一点，则线段P A 、PB 有怎样的数量关系？(2) 满足到A 、B 两点的距离相等的点在怎样的一条直线上？(3)如果要你画一个符合要求的圆，你觉得应该告诉你什么条件（或要求）？2. (1)已知点A ，请过A 点任意作一个圆，这样的圆你能作 个；(2) 已知B 、C 两点，请过点B 、点C 任意作一个圆，这样的圆你能作 个.3. 阅读教材中的本节内容后回答：本节内容中有一个圆的重要性质“不在同一直线上的三个点确定一个圆”.(1)为什么这三个点必须不在同一直线上？(2)为什么过不在同一直线上的三个点的圆是唯一确定的？我求助预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：我梳理的三个点确定一个圆. 经过三角形各个顶点的圆叫做 ， 叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的 三角形. 三角形的外心是三角形 的交点.我反思通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1.下列条件：①已知圆心和半径；②已知圆心和圆的任意一点；③已知三个点；④已知直径. 其中可以确定一个圆的条件是( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④2.等边三角形的外心在它的( )A. 外部B. 内部C. 边上D. 顶点处3.锐角△ABC 的∠A 逐渐增大时，它的外心逐渐向 边移动，当 ∠A 增大到90°时，外心在 处.4.如图，EF 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用 次，就可找到圆形工件的圆心.5.某地出土一个古代残破圆形瓷盘，为了复制该瓷盘，需要确定其圆心和半径. 请在图中用直尺和圆规找出瓷盘的圆心. (不要求写作法，但要保留作图痕迹)6.已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心.小贴士：根据圆的定义，待证的结论可转化为EA，EB，ED怎样的数量关系？。
《圆(1)》导学案(有答案)
3.1 圆（1）我预学1.用圆规画一个半径为2cm的圆.2.（1）你能向没有看到过圆的人（比如天生的盲人）描述什么样的图形叫圆吗？（2）请对比弦和弧的区别.3.阅读教材中的本节内容后回答：（1）圆心属于圆吗？半径属于圆吗？（2）点与圆的位置关系有哪几种情况？你觉得这样分类合理吗？为什么前面我们学习三角形、四边形时不探究学习点与三角形、四边形的位置关系？如果要探究你觉得可以吗？我求助预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：我梳理在内，线段绕它一个端点旋转一周，另一个端点所经过的曲线叫圆.内的两个圆叫等圆.错误!未找到引用源。
；错误!未找到引用源。
点在圆上；A B CD我反思通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1.如图，甲顺着大半圆从A 地到B 地，乙顺着两个小半圆从A 地到B 地，设甲、乙走过的路程分别为错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
，则（ ）A. 错误!未找到引用源。
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B. 错误!未找到引用源。
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C. 错误!未找到引用源。
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D.不能确定2.下列命题：①直径是弦；②弦是直径；③弧是半圆；④半圆是弧；⑤一个圆中可以有无数条弦，但只有一条直径；⑥圆上两点之间的部分叫弦，其中真命题有3.⊙O 中，直径AB =a ，弦CD =b ，则a 与b 大小为 .4.一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm ，则圆的半径为 .5.画边长为3cm 的正方形ABCD ，连接AC ，BD 相交于点O ，以点A 为圆心，2cm 长为半径画圆，试判断点B ，C ，D ，O 四点与这个圆的位置关系.知识链接： 弦是连接圆上两点间的 ；弧是圆上两点间的 ；直径是经过 的弦；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧都叫做 .小贴士：注意点与圆位置关系的讨论.6.如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一固定波段的无线电信号发射塔.已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的高速公路，现有一辆从A城开往C城的客车，其平均速度约为80千米/小时. （1）当客车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机收听该波段内容，当班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强.此时，客车到发射塔的距离是多少千米？（离发射塔越近，信号越强）（2）客车从A城到C城共需行驶1.5小时，请你判断客车到C城后，该人还能接收到这个波段的无线电信号吗？请说明理由.小贴士：把客车看作一个点，无线电信号范围看作一个圆，则实际问题就可以转化为点与圆的位置关系了！。