控制系统校正的根轨迹方法

控制系统校正的根轨迹方法
用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。

根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。

应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。

在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。

等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。

在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。

等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。

根轨迹超前校正计算步骤如下。

(1)作原系统根轨迹图；
(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。

(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：
i
s s
=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)
此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。

为了使得根轨迹能够通过该点，
必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。

(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：
1
1
++=sTp sTz Kc
Gc (2)
例题：已知系统开环传递函数：
试设计超前校正环节，
使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。

解：由6.4)(*)(0*lim 0
==→s Gc s G s Kv s 得kc=2
计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;
den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1]));
G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数
[num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);
kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)
GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函
Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);
step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold on
step(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;
gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);
impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold on
impulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;
gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);
0 2.3
s(1+0.2s)(1+0.15s)
G =
rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;
gtext('校正前的'); gtext('校正后的');
为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kc
s G S Gc 11
1
)(0)(0
011=++=-，式中，M 0是校
正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。

令1
11θj e
M s -=，代入得)1(111
1
101+=
+---P j j c j z j T e
M e
M K e T e
M θθπ
θ
解得0sin )sin(sin 101001θθθθM M K M K T c C Z --=
；0
sin )
sin(sin 11010θθθθM M K T c p ++-=
从而计算串联超前环节参数子函数为: function Gc=cqjz_root(G,s1,kc) numG=G.num{1};, DenG=G.den{1}; ngv=polyval(numG,s1); dgv=polyval(denGs1); g=ngv/dgv;
theta_0=angle(g); %相角θ0 theta_1=angle(s1); %相角θ1 M1=abs(g); %幅值M1 M0=abs(s1); %幅值M0
Tz=(sin(theta_1)-kc*M0*sin(theta_0-theta_1))/(kc*M0*M1*sin(theta_0)); Tp=-(kc*M0*sin(theta_1)+ sin(theta_0-theta_1))/(M1*sin(theta_0); Gc=tf([Tz,1],[Tp,1]); 运行结果：
校正前系统开环传递函数： Transfer function: 2.3 ----------------------- 0.03 s^3 + 0.35 s^2 + s 超前校正传递函数：
Transfer function: 1.016 s + 1 ------------ 0.0404 s + 1
校正后系统开环传递函数： Transfer function:
4.672 s + 4.6 -------------------------------------------
0.001212 s^4 + 0.04414 s^3 + 0.3904 s^2 + s 校正前系统闭环传递函数： Transfer function: 2.3 ----------------------------- 0.03 s^3 + 0.35 s^2 + s + 2.3 校正后系统闭环传递函数： Transfer function:
4.672 s + 4.6 -------------------------------------------------------
0.001212 s^4 + 0.04414 s^3 + 0.3904 s^2 + 5.672 s + 4.6 得到以下图形：
图1-系统校正前后的单位冲激响应图
00.51 1.5
2 2.5
3 3.5
-4
-2
2
4
6
8
Impulse Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
图2-系统校正前后的单位阶跃响应
图3-系统校正前后的根轨迹曲线
00.51 1.5
2 2.5
3 3.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
10
20
-50-40
-30-20-10
01020
3040
50
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前超调量σ1=17.3%，校正后超调量σ2=31.7%，如图4
图4-超调量
根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前调节时间t s =2.92s ，校正后调节时间t s =2.3s ，如图5
图5-调节时间
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
00.51 1.5
2 2.5
3 3.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
00.51 1.5
2 2.5
3 3.5
根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前上升时间t r =0.58s ，校正后上升时间t r =0.123s ，如图6
图6-上升时间
由上可知，虽然系统的超调量增大了，但系统的上升时间和调节时间都缩短了，系统的性能有所提高。

由系统的根轨迹可以得到校正后的根轨迹左移，从而提高了系统的相对稳定性，缩短了系统的调节时间。

图7-校正前结构图
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
00.51 1.5
2 2.5
3 3.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
图8-校正后结构图
系统单位阶跃响应对比
图9-系统校正前后单位阶跃响应。