“表上作业法”ppt
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第二节运输问题求解表上作业法-PPT精品
规则来选取 xij ，则得到不同的方
法，较常用的方法有西北角法、最
小元素法和Vogel法。
7
1、西北角法： 从西北角（左上角）格开始，在
格内的右下角标上允许取得的最大数。 然后按行（列）标下一格的数。若某 行（列）的产量（销量）已满足，则 把该行（列）的其他格划去。如此进 行下去，直至得到一个基本可行解。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法——表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
1
一、初始基本可行解的确定 根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找到
27
由于有m + n 个变量（ ui , vj ）， m + n - 1 个方程（基变量个数），
故有一个自由变量，位势不唯一。
利用位势求检验数：
ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
28
前例，位势法求检验数：
step 1 从任意基变量对应的 cij 开始, 任取 ui 或 vj ，然后利用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj 从 c14 = 10 开始
19
可以证明，如果对闭回路的方向不 加区别（即只要起点及其他所有顶点完 全相同，而不区别行进方向），那么以 每一个非基变量为起始顶点的闭回路就 存在而且唯一。因此，对每一个非基变 量可以找到而且只能找到唯一的一个闭 回路。
表 4-10 中 用 虚 线 画 出 以 非 基 变 量
x22 为起始顶点的闭回路。
法，较常用的方法有西北角法、最
小元素法和Vogel法。
7
1、西北角法： 从西北角（左上角）格开始，在
格内的右下角标上允许取得的最大数。 然后按行（列）标下一格的数。若某 行（列）的产量（销量）已满足，则 把该行（列）的其他格划去。如此进 行下去，直至得到一个基本可行解。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法——表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
1
一、初始基本可行解的确定 根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找到
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由于有m + n 个变量（ ui , vj ）， m + n - 1 个方程（基变量个数），
故有一个自由变量，位势不唯一。
利用位势求检验数：
ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
28
前例，位势法求检验数：
step 1 从任意基变量对应的 cij 开始, 任取 ui 或 vj ，然后利用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj 从 c14 = 10 开始
19
可以证明，如果对闭回路的方向不 加区别（即只要起点及其他所有顶点完 全相同，而不区别行进方向），那么以 每一个非基变量为起始顶点的闭回路就 存在而且唯一。因此，对每一个非基变 量可以找到而且只能找到唯一的一个闭 回路。
表 4-10 中 用 虚 线 画 出 以 非 基 变 量
x22 为起始顶点的闭回路。
运输问题 表上作业法-PPT课件
丙
1
丁
产量（ai） 7 4 9
6 表4-5 乙 11 9 4 6
5 丙 3 2 10 5
6 丁 10 8 5 6 产量（ai） 7 4 9
A B C
销量（bj）
表4-5 甲 3 1 7 乙 11 9 4 丙 3 2 10 丁 10 8 5 产量（ai） 7 4 9
A B C
销量（bj）
3
6
5
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
5、最小元素法的基本步骤
找出最小运价，确定供求关系，最大量的供
应 ； 划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要 同时划去行和列，必须要在该行或列的任意 位置填个“0”； 在剩余的运价表中重复1、2两步，直到得到 初始基可行解。
最小元素法
最小元素法的基本思想是就近供应，即 从单位运价表中最小的运价开始确定产 销关系，依此类推，一直到给出基本方 案为止。
表4-6 A B C 甲 3 1 7 乙 11 9 4 丙 3 2 10 丁 10 8 5 6 丁 3 3 5 6 产量（ai） 7 4 9
销量（bj）
表4-7
3
甲
6
乙
5
丙 4 1
A B C
销量（bj）
3 3 6 6
产量（ai） 7 4 9
最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见
表4-6。这一方案的总运费为86个单位。
产量（ai） 4 4 12
8.伏格法尔法
每次从当前运价表上，计算各行各列 中两个最小运价之差值（行差值hi，列差 值kj），优先取最大差值的行或列中最小 的格来确定运输关系，直到求出初始方案。
物流表上作业法与图上作业法(PPT63张)
• 有一配送中心P，其配送网络如图所示， A-D为各收货点，括号内的数字为各收 货点的需求量（吨），两点间连线上的 数字为两点间距离（公里）。运输货车 有最大载重量为2吨和4吨两种，试确定 配送路线。
0.8
D
0.6
C
1.7
B
P
A
0.7
• 假设有三个产地A1，A2，A3，产量分 别是200吨，160吨，100吨，四个销地 B1，B2，B3，B4其销售量分别是100吨、 140吨、160吨、60吨。其单价为下表。
B A
C
F
G
E
D
• 例题：在一个区域中，有四个生产厂A1， A2，A3，A4.也有四个用户B1，B2， B3，B4，需求量分别是100，120，160， 140吨。为了方便，在这个区域中将会 建设两个配送中心D1，D2，吞吐量分别 是360吨和260吨。
• 假设物流中心有某中商品的库存750单 位，安全库存300单位。每周的需求量 在120-180单位之间。
表上作业法
• 某公司下属四个储存某种物资的料库， 供应五个工地的需要。四个料库的供应 量和五个工地的需求量以及由各料库到 各工地调运单位物资的运价见下表。试 求运输费用最少的合理调运方案。 • •
× ×
100 ×
×
× ×
× ×
0
300
0
×
×
×
400
200
0
250
200
50
×
300
0
0
0
0
0
0
• 运费 =2×100+1×300+2×400+2×200+5× 250+4×200+7×50+8×300=6500
表上作业法.ppt
B2 11 9 4
6 5
B3
35
2 10
B4 10 8 5
Байду номын сангаас
5
6
1
3
产量 7 4 9
行差额 7 1 1
表上作业法
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
列差额
B1 B2 B3 B4
3
11 3 5 10
1
9
2×8
7
4
10 × 5
3
6
5
6
2
5
1
3
产量
7 4 9
行差额
7 1 1
表上作业法
单位 销地 运价
最优生产决策如下表，最小费用z＝773万元。
jⅠ
Ⅱ
Ⅲ
ⅣD
i
产量
Ⅰ
10
15
0
25
Ⅱ
0
5
30
35
Ⅲ
25
5
30
Ⅳ
10
10
销量
10
15
25
20
30
100 100
到最后供完为止。
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
3
11
3
1
9
43
3
10
1
2
8
6
3
7
4
10
5
3
6
5
6
产量 7 4 9
表上作业法
总的运输费＝(3×1)+(6×4) +(4×3) +(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元 元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小
管理运筹学运输问题之表上作业法课件
扩展适用范围
进一步扩展表上作业法的适用范 围，使其能够处理更多类型的运 输问题，包括带有特殊约束条件 的运输问题。
引入现代信息技术
利用现代信息技术，如大数据和 云计算等，提高表上作业法的计 算效率和精度，以满足实际应用 的需求。
THANKS
感谢您的观看
的优化配置。
应用实例二：农产品运输问题
总结词
多约束优化问题
详细描述
农产品运输问题需要考虑时间、保鲜度、运 输量等多种约束条件，要求在满足需求的前 提下，实现运输成本和损耗的最小化。表上 作业法可以通过多目标优化算法，综合考虑 各种约束条件，制定最优的农产品运输方案
。
应用实例三：城市物流配送问题
要点一
在迭代过程中，需要有一个判断准则来确定何时停止迭代并输出最优解。常用的判断准则包括最大最 小准则和最小最大准则。
迭代求解
根据判断准则，通过不断调整运输方案，使目标函数（通常是总运输费用最小）逐渐逼近最优解。在 每次迭代中，需要检查运输方案的可行性，并更新基可行解。
终止阶段：确定最优解并输出结果
确定最优解
03
表上作业法原理
表上作业法的定义与步骤
在此添加您的文本17字
定义：表上作业法是一种求解运输问题的线性规划方法， 通过在运输表上逐行计算和调整，最终找到最优解。
在此添加您的文本16字
步骤
在此添加您的文本16字
1. 建立初始运输方案；
在此添加您的文本16字
2. 检查运输方案的可行性；
在此添加您的文本16字
确定单位运输成本
根据运输距离、运输方式等因素确定单位运输成本。
建立数学模型
根据供求关系、运输能力限制等因素建立线性规划模型。
运输问题的表上作业法ppt课件
点，编号为1，依次对一切顶点编号。 可分为奇数顶点和偶数顶点 偶数顶点中的运输量最小顶点，作为空格所要
添加的运量 奇数顶点和偶数顶点的计算
几点阐明
换入变量以负的检验数中最小的那个； 最优解出现时，假设有某非基变量对应的检验
数为零，那么无穷多最优解； 退化的处置
运输问题的退化
产地
销地
S1
S2
S3 销量
运输表
D1
D2
D3
8
5
7
4
9
4
6
2
2
1
3
2
3
3
2
6
4<3+3-1=5，问题出现退化！
产量 4 4 3
退化的处置〔第1步〕
产地
销地
S1
S2
S3 销量
运输表
D1
D2
8
5
2
0
49
4 2
1
3
3
3
2
+8-1+2-7 =2
D3
7 4
6 2
2 0
6
产量 4 4 3
退化的处置〔第2步〕
产地
销地
S1
j 1,2, , n
i1
x
ij
0, i
1,2,
,m;
j
1,2,
,n
产销平衡与产销不平衡
产销平衡：
m
n
si d j
i1
j 1
产销不平衡： m
n
si d j
i 1
j 1
留意：对于产销平衡问题，约束条件有一个是多余的。
表上作业法
根本步骤
1按某种规那么找出一个初始解； 最小元素法 西北角法 沃格尔〔Vogel〕法 拉塞尔〔Russell〕法 2对解作最优性判别； 假设不是最优，那么在运输表上进展改良，得
添加的运量 奇数顶点和偶数顶点的计算
几点阐明
换入变量以负的检验数中最小的那个； 最优解出现时，假设有某非基变量对应的检验
数为零，那么无穷多最优解； 退化的处置
运输问题的退化
产地
销地
S1
S2
S3 销量
运输表
D1
D2
D3
8
5
7
4
9
4
6
2
2
1
3
2
3
3
2
6
4<3+3-1=5，问题出现退化！
产量 4 4 3
退化的处置〔第1步〕
产地
销地
S1
S2
S3 销量
运输表
D1
D2
8
5
2
0
49
4 2
1
3
3
3
2
+8-1+2-7 =2
D3
7 4
6 2
2 0
6
产量 4 4 3
退化的处置〔第2步〕
产地
销地
S1
j 1,2, , n
i1
x
ij
0, i
1,2,
,m;
j
1,2,
,n
产销平衡与产销不平衡
产销平衡：
m
n
si d j
i1
j 1
产销不平衡： m
n
si d j
i 1
j 1
留意：对于产销平衡问题，约束条件有一个是多余的。
表上作业法
根本步骤
1按某种规那么找出一个初始解； 最小元素法 西北角法 沃格尔〔Vogel〕法 拉塞尔〔Russell〕法 2对解作最优性判别； 假设不是最优，那么在运输表上进展改良，得
经典表上作业法.ppt
平衡的，而是下列的一般运输问题模型
min
mn
f
=
i=1
j=1
cij
xij
（1）
n
s.t.
j=1
xij
si
i = 1,2,…,m
（2）
m
i=1xij (=,)dj j = 1,2,…,n
(3）
xij 0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) （4）
.精品课件.
我们可以通过增加虚设产地或销地 （加、减松弛变量）把问题转换成产销 平衡问题，下面分别来讨论。
从上面的讨论可以看出，当某个非基变量 增加一个单位时，有若干个基变量的取值受 其影响。
.精品课件.
这样，利用单位产品变化（运输的单位费用） 可计算出它们对目标函数的综合影响，其作用 与线性规划单纯形方法中的检验数完全相同。 故也称这个综合影响为该非基变量对应的检验
数。上面计算的两个非基变量的检验数为 24 = -1，22 = 1。闭回路方法原理就是通过寻找
.精品课件.
2.销量大于产量的情况
mn
考虑 i=1si<j=1dj 的运输问题，得到的数学模型为
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=.精1品课,件2. ,…,m;j=1,2,…,n)
.精品课件.
(2)从 ai 和 bj 中分别减去 xij 的值，修正 为新的ai 和 bj ，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需求量；
(3)若 ai = 0，则划去对应的行（已经把拥有 的量全部运走），若 bj = 0 则划去对应的 列（已经把需要的量全部运来），且每次 只划去一行或一列（即每次要去掉且只去 掉一个约束）；
表上作业法与图上作业法PPT课件
3
7
8
250
200
50
5
.4
-1
-3
3
5
3
1
2
1
3
4
400
200
4
2
2
-1
7
300
7
58
工地
料库
甲 U1=0
乙 U2=-1
丙 U3=-1
丁 U4=5
A V1=0
B V2=-1
C V3=2
D V4=3
E V5=3
3
3
1
3
2
4
3
300
3
3
8
8
3
7
8
250
300
50
5
.4
2
3
1
1
5 100
3
2
3
4
400
➢ A1B1B2A3B4外圈长5+4+3＝12，大于全圈长23的 1/2
.
16
❖ (3)调整方案:
➢ 方法：在有迂回的外圈各流量中减去一个最 小调运量，在内圈（含无调运量的边）各流 量上加上这一最小调运量。
➢ 圈A1B1B2A3B4中的最小流量为，在外圈上减 去该最小调运量后，有两条边同时为，需在 任意一边上记上0运量，于是，得到调整后的 调运方案。如图
1 业法要求在流向图上的箭头数（
有调运量的边数）也应为收点数
A13
4
(1)
+发点数-1。这一要求也可以等 2 价地表述为：在去线破圈后得到
5
(3)
2
B1
(1)
3
4 B2
(2)
北邮运筹学ch33 表上作业法.ppt
Transportation Simplex Method
2020/1/31
Page 12 of 36
【解】 求行差额 ui, i=1,2,3及列差额vj,j=1,2,3,4.计算公式为 ui= i行次小运价—i行最小运价 vj= j列次小运价—j例最小运价
销地
B1
B2
B3
B4
ai ui
产地
A1
5
×
这里λ34<0，说明这组基本可行解不是最优解。
只要求得的基变量是正确的且数目为m+n－1，则某个非基变量的闭 回路存在且唯一，因而检验数唯一。
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法 Ch3 Transportation Problem
Transportation Simplex Method
2020/1/31
Page 5 of 36
产地 销地
A1
A2
A3 未满足
量
B1
B2
B3
可发量
20 8
15 4
25 7
642005
6 30
3
4 30 0
10
7
320 0
5
410 5
8
20 5
100
100
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法 Ch3 Transportation Problem
810 5 10
C
25
115
20
15 15
8 C 215
15
510 10
15
20
15
前一种按最小元素法求得，总运费是Z1=10×8+5×2+15×1=105， 后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，如果不先调运x21， 到后来就有可能x11≠0，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21， 再是x22，其次是x12这时总运北费京邮Z电2=大1学0×运筹5学+15×2+5×1=85<Z1。
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ui
令u1=0 0 =c − v u 2 24 4 =8-10=-2 u-2 3=c34− v4 =5-10=-5 -5
24
A1 A2
0
3
令λ21=0
② ②
11 9 4
5
3 2 10
2令 10 λ =0 1 8
令λ34=0
λ22=c22 − u2 − v2 =9 −(−2) −9=2 A3 ⑨
3
1
① 令λ32=0
§4
运输问题的表上作业法
B1 B2 B3 B4
令λ14=0
销地 产地
λ11=c11− u1 − v λ 1 12=c12 − u1− v2= 11− =3− 0− 2=1 0−9=2 令λ13=0
ui
令u1=0
A1 A2
①
λ22=c22 − u2 − v2 =9 −(−1)-9=1 A3 ⑩
3
λ31= c31 − u3− v1= j 7−(−5)-2=10
§4
运输问题的表上作业法
调整后运费增加
产量
寻找非基变量x11的检验数：
销地 产地
B1 3-3+2-1=1 B百元 2
B3
B4
A1 A2 A3
销量
x11调运量增加 1t， 非基变量 x11 运费增加3百元 ①
3
保持A1产量平衡， x13减 少1t，运费减少3百元 4 3 保持B3销量平衡， x23 7增 加1t，运费增加2百元
vj
3
3
λ23= c23− u2− v3=2−(−2) −3= 1 10
3 5
§4
运输问题的表上作业法
四、如何找多个最优方案 多个最优解的判别：最优方案中存在非基变量的检验 数为零。
§4
运输问题的表上作业法
B1 B2
x11=min(2,3)=2
销地 产地
B3
B4
产量
A1 A2 A3
销量
（+2）
5
§4
运输问题的表上作业法
销地 运价 百元/t 产地
B1 3 1 7 3
B2 11 9 4 6
B3 3 2 10 5
B4 10 8 5 6 20
产量/t 7 4 9 20
A1 A2 A3 销量/t
§4
运输问题的表上作业法
一、确定初始基本可行解 1. 西北角法
对西北角的变量分配运输量 使运输量最大 至少使一产地或销地的剩余量为0
v2=c32 − u3 =4-(-5)=9
3
11 ②
4
3
3 10
§4
运输问题的表上作业法
三、改进运输方案的办法—闭回路调整法 调整判别准则：存在检验数小于零 调整方法：选取所有负检验数最小的非基变量作为入基 变量
§4
运输问题的表上作业法
B1 B2 B3 B4
销地 产地
ui
0 -1
-5
A1 A2 A3
v
2
0u2=c23− v3 令λ23=0 =2-3=-1 令 λ =0 1 21 ① 9 1 2 8 -1 -1 u3=c34− v4 令λ32=0 令λ =0 =5-10=-5 7 6 4 10 3 5 34 12 λ24= c24− u2− v4=8−(− -5 1)-10= -1 10 λ33 = c33 9− u3− v3 = 3 10−3 −(−5)=12 v4=c14− u1=10-0=10 v3=c13− u1=3-0=3 v1=c21 − u2 =1-(-1)=2
12
7
6
9
v4=c14− u1=10-0=10 v3=c13− u1=3-0=3 λ31= c31 − u3− v1= 7−(−5) −3=9 所有非基变量检验数都大于等于零，基变量的检验数等 v1=c21 − u2 v2=c32 − u3 λ33 = c − u − v = 10−3 =1-(-2)=3 33 3 3 =4 (−5)=9 85百元。 于零，此解释最优解。最小总费用为 −(−5)=12
3 (-1)
(+1)
x24=min(3,1)=1
7
4 9
3 6
§4
运输问题的表上作业法
调整后的运输方案：
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
5
2
7
A2
A3
销量
3
6
1
3
4
9
3
6
5
6
§4
运输问题的表上作业法
B1 B2 B3 B4
令λ14=0
销地 产地
λ11=c11− u1 − v λ1 12=c12 − u1− v2= 11− =3− 0− 3=0 0−9=2 令λ13=0
销量
3 =min (4,3) 11 x11 =3
3
4
x23 =1 3 =min (1,5)10 3
7 30
1 7
6
9 =min (9,6) =6 2 x32 1 4 5
4 0
x8 (3,6) 1 0 =3 34 =min4 3
10
5
93 0
3
0
6
0
6
3 0
§4
运输问题的表上作业法
注意： （1）出现 Ai 的产量与 Bj 的销量都改为零时，只划去 Ai 行或 Bj 列（两者只能取1）。 （2）划去某一行或某一列前，必须填上一个数，这个数 为所剩销量或产量的最小值（可以为零）。 保证基变量的个数为 m+n-1 个
34
10
6
5
96 0
6
2 0
5
3 0
6
0
§4
运输问题的表上作业法
2．最小元素法 对单位运价最小的变量分配运输量 使运输量最大 至少使一产地或销地的剩余量为0
§4
运输问题的表上作业法
B1 B2 B3 B4
x14 =min (3,3) =3
产量
销地 产地
x13 =min (7,4) =4
A1 A2 A3
3
1
1 2
保持A2与B1平衡， x21减 少1t，运费减少1百元
4 9 6
3
6
5
§4
运输问题的表上作业法Fra bibliotek2．位势法 运输表上的每一行赋予数值 ui，每一列赋予数值vj。 数值由基变量 xij 的检验数 λij = cij−ui−vj = 0 决定。 非基变量 xij的检验数为λij= cij −ui−vj 。
本章内容
1
2
运输问题的计算机求解 运输问题的应用
3
4
运输问题的表上作业法
§4
运输问题的表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实 质是单纯形法。 运输问题都存在最优解。
§4
运输问题的表上作业法
基本可行解 （m+n-1个基变量） 非基变量检验数 闭回路法调整方案
计算过程（假设产销平衡）
检验数大 于等于0
否
非基变量检 验数等于0
否
唯一最优解 多个最优解
是
§4
运输问题的表上作业法
例11. 喜庆食品公司有三个生产面包的分厂 A1、A2、 A3， 有四个销售公司 B1，B2，B3，B4，其各分厂每 日的产量、各销售公司每日的销量以及各分厂到各销 售公司的单位运价如表，在表中产量与销量的单位为 吨，运价的单位为百元/吨。问该公司应如何调运产品 在满足各销点的需求量的前提下总运费最少？
①
3 1 7
②
11 9 4
12
4
3
3 10
-1
3
⑩ 2
①
1 2 10
8 3 5
6
9
vj
3
10 非基变量检验数 最小为-1，对应 非基变量为x24 基，为入基变量， 作闭回路
§4
运输问题的表上作业法
B1 B2 B3 B4
产量
销地 产地
A1 A2 A3
销量
4 (+1) 3 6 3 6 5 1 (-1)
§4
运输问题的表上作业法
B1 B2 B3 B4
产量
销地 产地
x12 =min (4,6) =4 x11 =min (7,3) =3
A1 A2 A3
销量
3
3 4
x =2 22 =min (4,2) x 11 3 =min (2,5)10 =2
23
74 0
1 7 3
0
2
9 4
2 3
2 =min (3,9)x 8 =min4 2 0 =6 x33 =3 (6,6)
§4
运输问题的表上作业法
二、最优解的判别 1．闭回路法 从非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，只 有碰到基变量的格才能垂直拐弯（或穿过），直至回到发 点，形成的封闭折线叫做闭回路。 一个空格存在唯一的闭回路
§4
运输问题的表上作业法
闭回路法：对闭回路各顶点进行编号，非基变量（编 号为1）调运量调整为加 1，并对闭回路上顶点的调运量 加1（奇数顶点）或减少 1（偶数顶点），以保持产销平 衡的要求。 非基变量检验数：调整运输方案引起费用的变化。 检验数都大于等于零，则已求得最优解。
2 （-2） 1 （+2）
7 4 9
3（-2） 6 3 6 5
3 6
§4 最优方案
销 地 产地
运输问题的表上作业法
B1
B2
B3
B4
A1
2
5
A2
A3
1
6
3
3
最小费用为85百元。
谢 谢！