第一章行列式的基本计算和线性代数的基本概念

第一章 行列式 §1. 1 二阶、三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

用消元法解二元线性方程组)2()

1( 2

2221211212111⎩⎨⎧=+=+b x a x a b x a x a ,

方程(2)⨯a 11-方程(1)⨯a 21得

(a 11a 22-a 12a 21) x 2= a 11b 2-b 1a 21, 于是 21

1222112

122211a a a a b a a b x --=

;

类似地有

(a 11a 22-a 12a 21) x 1= b 1a 22-a 12b 2, 21

12221121

12112a a a a a b b a x --=

.

我们把a 11a 22-a 12a 21称为二阶行列式, 并记为

22

2112

11a a a a , 即

21

122211222112

11a a a a a a a a -=.

在二阶行列式

22

2112

11a a a a 中, 横排称为行, 竖排称为列. a ij 称为行列式的元素,

它是行列式中第i 行第j 列的元素. 从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线, 从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线. 于是二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差, 这一计算法则称为对角线法则. 按对角线法则可得 22212

1212221a b a b b a a b =

-, 2

211

11211211b a b a a b b a =

-.

若记22211211a a a a D =

, 2221211a b a b D =, 2

211112b a b

a D =, 则线性方程组的解可表为

22

21

12

11

222

12

1

11a a a a a b

a b D D x ==, 22

21

12112

2111122a a a a b a b a D D

x =

=. 例1 求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=-.12,

12232

121x x x x

解 由于

07)4(31223≠=--=-=D ,

14)2(12112121=--=-=D ,

21243121232-=-==D ,

因此 27

1411===

D D x , 372122-=-==D D

x .

二 、三阶行列式

用消元法解三元线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++2

33323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , 可得

31

22133321123223113221133123123322113

221333212322313221332312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a a b a a a b a b a b a a a a b x ---+----+-=

x 2=⋅ ⋅ ⋅, x 3=⋅ ⋅ ⋅. 我们把表达式

a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31 称为三阶行列式, 记为

33

323123222113

1211a a a a a a a a a ,

即 33

323123222113

1211a a a a a a a a a =a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32

-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31. 对角线法则:

按对角线法则, 有

33

3232322213

121a a b a a b a a b =b 1a 22a 33+a 12a 23b 3+a 13b 2a 32

-b 1a 23a 32-a 12b 2a 33-a 13a 22b 3. 若记

333231232221131211a a a a a a a a a D =, 3332323222131211a a b a a b a a b D =, 3333123221131112a b a a b a a b a D =, 33231222211

1211b a a b a a b a a D =,

则三元线性方程组的解为

D D x 11=, D D

x 22=, D

D x 33=.

例2 计算三阶行列式2431224

21----=D .

解 按对角线法则, 有

D =1⨯2⨯(-2)+2⨯1⨯(-3)+(-4)⨯(-2)⨯4 -1⨯1⨯4-2⨯(-2)⨯(-2)-(-4)⨯2⨯(-3) =-4-6+32-4-8-24=-14.

例3 求解方程094321

112

=x x .

解 方程左端的三阶行列式

D =3x 2+4x +18-9x -2x 2-12=x 2-5x +6, 由x 2-5x +6=0解得x =2或x =3.

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式, 为研究四阶及更高阶行列式, 下面先介绍有关全排列的知识, 然后引出n 阶行列式的概念.