求数列前N项和的七种方法含例题和答案
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求数列前N 项和的七种方法
点拨:
核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
1. 公式法
等差数列前n 项和：
11()(1)
22
n n n a a n n S na d ++=
=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =
(
)1111n n a q q S q
-≠=
-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：
1、)1(211+==∑=n n k S n
k n 2、)12)(1(611
2
++==∑=n n n k S n
k n
3、21
3)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利
用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝
2
11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=
n n S n ， )2)(1(2
1
1++=+n n S n （利用常用公式）
∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当
n
n 8=
，即n ＝8时，501)(max =n f
2. 错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1
)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的
通项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② ①－②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
解：由题可知，{
n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n
21}的通项之积 设n n n
S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
1
4322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ………………………………② （设制错位）
①
－
②
得
14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S
（错位相减）
1
1
2
221
2+--
-
=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
练习：
求：S n =1+5x+9x 2
+······+(4n-3)x n-1
解：S n =1+5x+9x 2
+······+(4n-3)x n-1 ①
①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②
①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n
x ）-（4n-3）x n
当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n
当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n
) 1-x
+1-（4n-3）x n
] 3. 反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++⋅⋅⋅+++的值
解：设
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2
++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1
sin 2sin 3sin 88sin 89sin 2
2
2
2
2
+++⋅⋅⋅++=S …………..②
（反序）
又因为 1cos sin ),90cos(sin 2
2
=+-=x x x x
①
+
②
得
（反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴ S ＝