3-1_线性方程组的消元解法
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以用于描述多个未知数之间的关系。
解决线性方程组的问题是求解未知数的具体取值，从而得到方程组的解。
本文将介绍几种常见的解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
它通过矩阵变换的方式，将线性方程组转化为一个三角矩阵，从而简化求解过程。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中最后一列为常数项。
2. 选取一个非零元素作为主元，在当前列中将主元素所在的行作为第一行，然后通过初等行变换将其他行的主元素变为0。
3. 重复第2步，直到所有的主元素都变成1，并且每个主元素所在的列的其他元素都变为0。
4. 反向代入，从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。
二、矩阵的逆矩阵法矩阵的逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组。
以下是逆矩阵法的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，将方程组两边同时左乘A的逆矩阵AI，得到x=A^(-1)b。
2. 通过求解矩阵A的逆矩阵来得到未知数向量x的值。
3. 如果矩阵A不可逆，那么线性方程组没有唯一解，可能有无穷多解或者无解。
三、克拉默法则克拉默法则是另一种解决线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，令|A|=D，其中D表示矩阵A的行列式。
2. 分别计算将矩阵A的第i列替换为常数列b所得到的行列式|A_i|。
3. 未知数向量x的第i个分量可以通过x_i = |A_i|/D来得到。
克拉默法则的优点是简单直观，但是当方程组的规模很大时，计算行列式将变得非常复杂。
四、矩阵的广义逆法矩阵的广义逆法是一种应对方程组无解或者有无穷多解的情况的方法。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A不可逆，我们可以通过求解广义逆矩阵A^+来得到一个特解x_0。
1. 分别计算A^+ = (A^T·A)^(-1)·A^T和x_0 = A^+·b。
第3章3-01高斯消元法-列主元法ppt课件
顺序高斯消去法的计算量
消元中各步需乘除法次数
第i 步
乘法次数
1
(n 1)2
2
(n 2)2
n 1
合计
1
n (n 1)(2 n 1) 6
除法次数
n 1 n 2
1
n (n 1) 2
.
3.1.2 列主元高斯消去法
为什么列选主：数值不稳定
当高斯消去法的主元
a
(k kk
)
0
时 , 尽管“当
A
非奇异时，
0,
a(2) 22
0,
,
a(n) nn
0
消元过程
mik ai(jk1)
a(k) ik
a(k) kk
(k
1,2,
a(k) ij
mik ak(jk)
, n 1) (i, j k 1,k 2,
,n)
bi(k`)
b(k) i
mikbk(k )
.
回代过程
上 三 角 形 方 程 组 A(n)x b(n) 求 解 过 程
列选主元高斯消去法的优越性，不增加求解过程的运算量，而 大大减小误差。
经过 k 1次消元后得到增广矩阵 ( A(k) | b(k) ) ，在此增广
矩阵的第
k
列的元素
a(k kk
)
,
a(k) k 1,k
,
a(k nk
)
中选取
绝对值最大的
一个，记为
a(k) rk
，然后交换
(
A(k )
|
b(k)
)
中的第
k
第3章 线性代数方程组的数值解法
3.1 高斯消去法 3.2 矩阵三角分解法 3.3 平方根法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 迭代法 3.6 迭代法的收敛性 3.7 方程组的形态和误差分析
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中一种重要的数学模型，它描述了线性关系的集合。
解决线性方程组的问题在数学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：矩阵消元法和矩阵求逆法。
一、矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
它通过对增广矩阵进行一系列的行变换来化简线性方程组，最终达到求解方程组的目的。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取主元，即第一行第一列的元素作为主元，将主元移到对角线上。
3. 利用主元，通过一系列的行变换，将主元下方的元素化为零。
4. 对于主元右方的元素，依次选取主元，重复第2、3步，将其化为零。
5. 重复以上步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵。
6. 反向求解未知数，得到线性方程组的解。
这种方法的优点是简单易行，适用于任意大小的线性方程组。
然而，该方法在某些情况下可能会出现无法求解的情况，例如矩阵的某一行全为零或等于其他行。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的解决线性方程组的方法。
该方法利用矩阵的逆矩阵，通过左乘逆矩阵将线性方程组转化为标准形式，从而求解未知数。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 判断系数矩阵A是否可逆，若可逆，则存在逆矩阵A^-1。
3. 左乘逆矩阵A^-1，得到X = A^-1 * B。
4. 计算逆矩阵A^-1和常数向量B的乘积，得到未知数向量X，即线性方程组的解。
矩阵求逆法相较于矩阵消元法更加灵活，但对于大规模矩阵的求逆可能会涉及到较复杂的计算。
此外，在某些情况下，系数矩阵A可能不存在逆矩阵，此时该方法无法求解。
总结线性方程组是数学领域中研究的重要课题，矩阵消元法和矩阵求逆法都是常见的解决线性方程组的方法。
选择合适的解法取决于问题的具体要求和所涉及的矩阵特性。
在实际问题中，我们根据具体情况选择适当的方法，以求得线性方程组的解。
注：本文中所使用的线性方程组解法仅涵盖了部分常见方法，并不是穷尽全部解法。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解决线性方程组可以帮助我们求解各种实际问题。
在本文中，我们将介绍几种常见的求解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见、最简单的一种求解线性方程组的方法。
该方法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为简化的梯形方程组，并进一步求解出方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取矩阵中的一个元素作为主元，将主元所在的行进行换位，使主元尽可能地靠近对角线。
3. 使用消元法，通过将主元下方的所有元素消为零，将矩阵化为简化的梯形矩阵。
4. 从最后一行开始，逆推求解出每个未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂，适用于一般的线性方程组。
然而，该方法在涉及大规模矩阵的情况下计算量较大，效率相对较低。
二、矩阵的逆和逆矩阵法矩阵的逆和逆矩阵法是通过求解矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
这种方法需要先求出矩阵的逆矩阵，然后利用逆矩阵和增广矩阵相乘得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 求解增广矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与增广矩阵相乘，得到方程组的解。
矩阵的逆和逆矩阵法的优点是适用于包含多个方程组的情况，且相对于高斯消元法在计算大型矩阵时具有更高的效率。
然而，该方法要求矩阵可逆，且逆矩阵存在才能得到准确的解。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的方法，用于求解含有n个未知数的n个线性方程组的解。
该方法通过求解方程组的行列式来得到各个未知数的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并求出系数矩阵的行列式D。
2. 分别将系数矩阵的每一列替换成常数项的列向量，分别求出替换后的矩阵的行列式D1、D2...Dn。
3. 通过D1/D、D2/D...Dn/D得到方程组的解。
克拉默法则的优点是对于小规模的线性方程组简单易懂，但对于大规模的线性方程组计算量较大，效率较低。
总结：以上介绍了几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和逆矩阵法，以及克拉默法则。
3-1 高斯消元法
3. 相容、不相容 相容、
方程组有解称为相容； 方程组有解称为相容； 相容 方程组无解称为不相容 方程组无解称为不相容. 不相容
Henan Agricultural University
二、高斯消元法
1. 线性方程组的消元解法与其增广矩阵的行变换是 等价的 2. 研究线性方程组增广矩阵的行变换，得到方程组 研究线性方程组增广矩阵的行变换， 的相容性理论 ＞＞＞
Henan Agricultural University
x1−2x2 +3x3 −x4 =1 例1 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 +5x3 −3x4 = 2 . 2x1 + x2 +2x3−2x4 =3 解 对增广矩阵B施行初等行变换, 得
1 −2 3 −1 1 r2 −3r1 1 −2 3 −1 1 B=3 −1 5 −3 2 ~ 0 5 −4 0 −1 2 1 2 −2 3 r3 −2r1 0 5 −4 0 1
−2 3 −1 1 ~ 0 5 −4 0 −1. 0 0 0 0 2 可见R(A)=2, R(B)=3, 故方程组无解.
r3 −r2 1
Henan Agricultural University
x1 +x2 −3x3 −x4 =1 例2 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 −3x3+4x4 =4 . x1 +5x2 −9x3 −8x4 =0 解 因为
解 (3)当λ=−3时, R(A)=R(B)=2, 方程组有无限多个解. 这时,
−2 1 1 0 1 0 −1 −1 B = 1 −2 1 3 ~0 1 −1 −2 , 1 1 −2 −3 0 0 0 0
线性方程组的解法线性方程组
线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。
解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。
本文将介绍线性方程组的解法和应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。
它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。
2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。
3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。
4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。
高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。
它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。
2. 计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。
三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。
它利用行列式的性质来求解未知数。
具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。
2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。
3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。
4. 将每个未知数的解依次计算出来。
克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中的基础概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的解法，帮助读者更好地理解和解决相关问题。
Ⅰ. 一元一次方程的解法一元一次方程是线性方程组中最简单的形式，通常以“ax + b = 0”的形式表示，其中a和b为已知数，x为未知数。
解此方程的步骤如下：1. 将方程变形，将未知数项和常数项分别移至等式两边，得到“ax = -b”；2. 若a≠0，两边同时除以a，得到“x = -b/a”；3. 若a=0，若-b=0，则方程有无数解；否则，方程无解。
Ⅱ. 二元一次方程组的解法二元一次方程组包含两个未知数和两个方程，一般以如下形式表示：{a₁x + b₁y = c₁,a₂x + b₂y = c₂}常用的解法有以下三种：1. 代入法：将其中一个方程的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程，解得一个未知数的值，再代入回第一个方程求得另一个未知数的值。
这种方法特别适用于其中一个方程的一个未知数的系数为1，或者已经表示为另一个未知数的函数的情况。
2. 消元法：通过消去其中一个未知数，得到一个只含一个未知数的一元一次方程，然后按照一元一次方程的解法求解。
这种方法特别适用于其中一个方程的一个未知数的系数相等，但反号的情况。
3. 克莱姆法则：通过计算系数行列式的值，可以求得二元一次方程组的解。
具体步骤是构造齐次线性方程组的系数矩阵，并计算系数矩阵的行列式值D。
然后使用未知数的系数与常数项分别替换掉系数矩阵的对应列，并计算新矩阵的行列式值Dx和Dy。
最后，解得x = Dx / D，y = Dy / D。
克莱姆法则适用于系数矩阵的行列式值不为0的情况。
Ⅲ. 三元及以上线性方程组的解法三元及以上线性方程组的解法相对复杂，但仍然可以利用与二元一次方程组相似的方法求解。
1. 高斯消元法：高斯消元法是一种基于矩阵的线性方程组求解方法。
通过初等行变换将线性方程组化为阶梯形，然后回代求解得到每个未知数的值。
线性方程组的消元解法
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 1 1 2 1 2 r3 0 3 2 2 0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3)
得
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个
未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组
。 精品课件
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
(3)-(2) 得
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
2 x3 4
（阶梯形方程组）
(-1/2)×(3) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
1 1 2 1
r3 r 2 0 3 2
2
0 0 2 4
（行阶梯形矩阵）
精品课件
x1 x2 2 x3 1
， (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
精品课件
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的
算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方 程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去， 直至得到便于求解的一个形式简单的方程。
精品课件
对于一般的线性方程组
线性方程组的解法(代入消元法)
线性方程组的解法(代入消元法)引言线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种。
其中，代入消元法是一种比较常用且简单的解法。
本文将介绍代入消元法的原理和步骤，以及具体的示例。
原理代入消元法的基本思想是：将一个方程的解代入到其他方程中，通过逐步消去未知数的方法求得最终的解。
这种方法适用于方程组的规模较小的情况。
步骤代入消元法的步骤如下：1. 确定方程组的个数和未知数的个数，假设方程组有n个方程和n个未知数。
2. 选择一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式。
3. 将已知方程的解代入到其他方程中，并逐步消去未知数。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最后一个未知数的解求得。
5. 将求得的未知数的值代入到其他方程中，验证解是否正确。
示例假设有如下线性方程组：2x + y = 53x - 2y = -4我们可以选择第一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式：y = 5 - 2x然后，将y的值代入到第二个方程中：3x - 2(5 - 2x) = -4通过展开和合并同类项的运算，得到：7x - 10 = -4继续化简，得到：7x = 6解得x的值为x = 6/7。
将x的值代入到第一个方程中，得到：2(6/7) + y = 5y = 5 - 12/7化简，得到：y = 23/7因此，线性方程组的解为x = 6/7，y = 23/7。
结论代入消元法是一种简单而有效的解线性方程组的方法。
通过选择一个方程作为基本方程，并逐步代入其他方程中消去未知数，最终可以求得方程组的解。
在实际应用中，代入消元法常用于解决线性方程组个数较少的情况。
以上是关于线性方程组的解法(代入消元法)的介绍，希望对你有所帮助。
线性方程组的解法与应用知识点总结
线性方程组的解法与应用知识点总结线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
解决线性方程组的问题需要掌握一系列的解法和相关知识点。
本文将对线性方程组的解法和应用进行总结，并给出一些例子来说明其实际应用。
一、解线性方程组的基本方法1. 列主元消元法：列主元消元法是解决线性方程组最常用的方法之一。
其基本思想是通过将方程组化为阶梯型或最简形，进而求解方程组的解。
2. 高斯-约当消元法：高斯-约当消元法是解决线性方程组的另一种常用方法。
它与列主元消元法不同，是以行出发进行消元，最终将方程组化为最简形。
3. 矩阵方法：矩阵方法是一种便捷的解线性方程组的方法。
通过将线性方程组的系数矩阵进行相应运算，可以得到方程组的解。
二、线性方程组的应用1. 工程问题中的线性方程组：在线性方程组的解法中，工程问题是其中的重要应用之一。
例如，在电路分析中，可以通过列主元消元法或矩阵方法解决多个电路元件之间的关系，进而求解未知电流或电压。
2. 经济模型中的线性方程组：经济学中的模型通常涉及到多个未知数之间的关系，而这些关系可以用线性方程组来表示。
通过解决线性方程组，可以得到经济模型的平衡解，以便进行相关的经济分析。
3. 自然科学中的线性方程组：自然科学中的许多问题都可以通过线性方程组的方法求解。
例如，在化学反应中，可以通过解线性方程组来确定各个物质的摩尔浓度；在物理学中，可以通过线性方程组来描述多个物体之间的相互作用。
4. 数据分析中的线性方程组：在数据分析中，线性方程组也有着广泛的应用。
例如，在回归分析中，可以通过解线性方程组来确定自变量与因变量之间的线性关系；在最小二乘法中，可以通过解线性方程组来拟合数据并进行预测。
以上仅仅是线性方程组在实际应用中的一些典型例子，事实上，线性方程组在各个学科中都有着重要的地位，解决实际问题时经常涉及到线性方程组的分析与求解。
总结：通过本文的总结，我们了解了解线性方程组的基本解法和常见应用。
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
线性方程组消元法
§1 线性方程组消元法引例：用消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解：为观察消元过程，我们将消元过程中每个步骤的方程组及与其对应的矩阵一并列出：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x ①←→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2836141722512 ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+1327202936223232321x x x x x x x ②←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/72/91232002 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-+132130293622332321x x x x x x ③←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/132/91032002 ③ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-+20293622332321x x x x x x ④←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20612/91032002 ④ 从最后一个方程得到X3=2，将其代入第二个方程可得到x2=3，再将x2=3 与X3=2一起代入第一个方程得到x1=1。
通常我们把过程①——④称为消元过程，矩阵④是行阶梯型矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯型方程组。
从上述过程可以看出，用消元法求解线性方程组的具体做法就是对方程组反复实施以下三种变换：（1） 交换某两个方程的位置；（2） 用一个非0数乘某一个方程的两边；（3） 将一个方程的倍数加到另一个方程上去。
以上三种变换称为线性方程组的初等变换。
而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组，显然这个阶梯形方程组与原方程组同解。
如果用矩阵表示其系数及常数项，则将原方程组化为阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。
将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的，所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。
线性代数—解线性方程组的消元法
例4 t 为何值时线性方程组
x1 x3 t 4x1 x2 2x3 t 2 6x1 x2 4x3 2t 3
有解? 并求解.
解
1 0 1 t 1 0 1
t
A 4 1 2 t 2 0 1 2 3t 2
6 1 4 2t 3 0 1 2 4t 3
1 0 1 t 当 t1时 ， r(A )r(A )2,
若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
A(Ab) 341
1 6
6
2 2
若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) r, 若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) 1 ,
线性方程组解的判定定理
线 性 方 程 组 A b 有 解 的 x 充 分 必 要 条 件 是 r(A)r(A).
在有解的情况下，
当 r(A )n时 有 唯 一 解 ； 当 r(A ) n 时 有 无 穷 多 解 ； 这 时 自 由 未 知 量 个 数 为 n r ( A ).
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
3
x1 x2 2x3 x4 4, 1
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3.1 消元法(线性方程组解的判定)
0 x1 − x2 − x3 + x4 = 例4: 求解齐次方程组的通解: 0 x1 − x2 + x3 − 3 x4 = x − x − 2x + 3x = 0 2 3 4 1
解：对系数矩阵 A进行初等变换:
1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 0 −1 1 1 1 3 0 0 2 4 0 0 1 2 A= − − → − → − 1 −1 2 3 0 0 −1 2 0 0 0 0
x称为未知量矩阵称为常数项矩阵 ,b .
线性方程组的矩阵形式为： Ax = b.
2. 高斯消元法： 2 x1 + x2 = 例: 用消元法解线性方程组： 3 x1 − x2 = 对应方程组的增广矩阵: 对线性方程组用消元法: 2 (1) x1 + x2 = 1 1 2 A= x − x = 3 (2) 1 2 − 1 1 3 消去 x1, (1)-(2)得： 0 2 −1 2 x2 = −1 (3) A1 = x − x = 3 (4) − 1 1 3 1 2 (3)×1/2 得： 1 1 0 1 − = (5) x2 = − A 2 2 2 1 1 3 − 3 (6) x1 − x2 = (5)↔(6) 得：
( )
0, x1 − x2 − x3 + x4 = 其同解方程组为： 2 x 3 − 4 x4 = 1.
取 x2, x4 作为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得： x1 − x3 = x2 − x4 , x3 4 x4 + 1. 2=
令得 = : x2 k = k2 , 1 , x4 :
b讲解介绍线性方程组的解法包括代入法和消元法
b讲解介绍线性方程组的解法包括代入法和消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，是解决多个线性方程同时成立的问题。
在实际应用中，线性方程组的解法非常重要，本文将详细介绍两种常用的解法：代入法和消元法。
一、代入法代入法是一种直接的解法，通过将一个方程的解代入另一个方程中，逐步消去未知数从而求得解。
以下是代入法的步骤：1. 首先，我们需要给线性方程组中的每个方程进行编号，例如：方程(1)、方程(2)、方程(3)等。
2. 选取一个方程，通常我们选择最简单的一条方程作为起点。
假设我们选择了方程(1)。
3. 将方程(1)中的一个未知数表示成其他未知数的函数。
例如，将方程(1)中的x表示为y和z的函数，即x = f(y, z)。
4. 将x = f(y, z)代入其他方程中的x，并逐步消去x。
这样就得到了一个只包含y和z的方程，记作F(y, z) = 0。
5. 接下来，我们需要求解得到方程F(y, z) = 0的解。
可以采用多种方法解决，例如求解一元二次方程等。
6. 根据解出的y、z值，再回代到方程(1)中求得x的值。
7. 最后得到线性方程组的解。
通过代入法解线性方程组的优点是直观易懂，适用于小规模的线性方程组求解。
但当方程组比较复杂时，代入法的计算过程会相对冗长。
二、消元法消元法是一种比较常用的解线性方程组的方法，它通过对方程组中的方程进行一系列的加减操作，逐步消去未知数，从而得到解。
以下是消元法的步骤：1. 首先，我们同样需要给线性方程组中的每个方程进行编号，例如：方程(1)、方程(2)、方程(3)等。
2. 选取其中一个方程作为基准方程，通常我们选择最简单的一条方程。
3. 对于基准方程以外的其他方程，通过加减操作使得其他方程的某个未知数系数为0。
这一步需要根据实际情况进行变形和调整。
4. 逐步操作其他方程，直到将所有未知数系数为0的方程得到。
5. 此时得到的方程组为阶梯形或行最简形。
这种形式的方程组可以很容易得到其解，通过回代等方法。
经典：3-1线性方程组的同解变换
A 称为方程组的增广矩阵.
《线性代数》
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结束
方程组的解 定义2 若以n个数组成的有序数组c1, c2, …, cn替代
未知量x1, x2, …, xn，使方程组(1)的每一个方程都成为 恒等式，则称该有序数组c1, c2, …, cn是方程组(1)的一 个解.
即若c1, c2, …, cn是方程组(1)的一个解，则有：
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结束
1.设 A 是 mn 矩阵，AX=O 是非齐次线性方程组
AX=B 所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的 是（ ） A、若 AX=O 仅有零解，则 AX=B有惟一解；
B、若 AX=O有非零解，则 AX=B 有无穷多个解； C、若 AX=B有无穷多个解，则 AX=O 仅有零解；
D、若 AX=B有无穷多个解，则 AX=O 有非零解．
例1.
r1r2 —— —rr2—3-+3rr11 —r3—-2r2
《线性代数》
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
- 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = - 4
1
[A b] =
1
-1 2 1
1
-2
-1
2
0
0 1
0 0
10
7
-
1 7
3 -1 5 3
-
2
2
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(3) 唯一科数学
例2
解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
文科数学
有何特点？
文科数学
有何特点？
则同解方程组为
，即
令 x3 = k，则原方程组的解为 显然方程组有无穷多解，称上述含任意常数的解为 方程组的通解。
文科数学
例3
解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
文科数学
文科数学
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入， 矩阵在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提 供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代 数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然 的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结 为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论 物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
文科数学
文科数学
有何特点？ 同解方程组最后一个方程 0 =－2 是矛盾方程！ 所以方程组无解， 此时称该方程组是不相容的或 矛盾的。
文科数学
由以上3例思考 不一定！ 1. 线性方程组都有解吗？若有解，解一定唯一吗？ 2. 如何判断解的各种情况？
唯 一 解
无 穷 多 解
无解
文科数学
线性方程组解的判定方法
例1
求解线性方程组
解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1， 由 (-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
该方程组比原方程组少一个未知量。
文科数学
其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，由(5)-(4) 得 这比原方程组又少了一个未知量。 由(-1/2)×(6) 得 最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
(1)
其中有 n 个未知量 x1 , x2 , , xn，m 个方程，aij R (i 1, , m; j 1, , n) 是未知量的系数， b1 , , bm R 是常数项。 若右端常数项 b1 , b2 ,
, bm 均为零， 则称方程组为
齐次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。 由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
文科数学
线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
文科数学
2、数表
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
的线性运算（重要的工具）。
文科数学
§1 线性方程组的消元解法
对二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数学
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
齐次线性方程组解的情况
例4
求解齐次线性方程组
解：对系数矩阵施行行初等变换化为行最简阶梯形
文科数学
齐次线性方程组解的情况
有何特点？
文科数学
齐次线性方程组解的情况
有何特点？
写出等价方程组并移项
文科数学
齐次线性方程组解的情况
写出等价方程组并移项 令 则方程组的通解为 事实上，齐次线性 方程组总有零解，称 其为平凡解。
（行阶梯形矩阵）
文科数学
(-1/2)×(3) 得
(1)-2×(3)，(2)+2×(3) 得
文科数学
(1)-2×(3)，(2)+2×(3) 得
(-1/3)×(2) 得
文科数学
(-1/3)×(2) 得
(1)-(2) 得
文科数学
(1)-(2) 得
（行最简阶梯形矩阵） 阶梯上第一个元素为1，同列的其它元素都为零。 从而原方程组的解为
文科数学
在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公 元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量) 三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十 四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗， 问上、中、下禾一秉几何？ 该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式 是自上而下，从右到左)：
文科数学
由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增 广矩阵的行初等变换。
例1
求解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
文科数学
互换(1)与(2)的位置得
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
文科数学
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
(3)-(2) 得
文科数学
(3)-(2) 得
（阶梯形方程组） (-1/2)×(3) 得
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
文科数学
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形
成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解，
在中国古代的数学著作《九章算术· 方程》章中，
已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
文科数学
将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？
研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法；
2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
文科数学
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
文科数学
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，(-1/3)×(9) 得
文科数学
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，(-1/3)×(9) 得
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
文科数学
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未 知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
文科数学
第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，(-1/2)×(6) 得
讨论下面的线性方程组何时无解，何时有无 穷多解。
思考
d3≠0 时无解；
d3＝0 时有无穷多解。
文科数学
小 结
本节主要围绕解一般线性方程组的问题，从运用
加减消元法去求解特殊的线性方程组入手，一步一 步的提出问题，分析问题，逐步探索出求解任意线 性方程组的一般方法：高斯消元法。 高斯消元法的基本思想：逐步将原方程组化简，
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
文科数学
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
由此得到了方程组的解。 思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步 对原方程组进行消元变简？
文科数学
用到了如下三种变换 1、交换两个方程的顺序； 2、用一个非零常数乘某个方程； 3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上； 称上述三种变换为线性方程组的初等变换。 初等变换的作用在于 将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与原 方程组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质 对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐步 化简以求其解。
文科数学
上述解法的基本思路和步骤
反复利用矩阵的行初等变换，逐步将线性方程组
的增广矩阵化成行最简阶梯形矩阵，从而求出方程
组的解。 此种方法称为高斯消元法，它是解线性方程组的
最一般、最有效的方法。
将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步
化行阶梯形：从上到下，从左到右；
化行最简阶梯形：从下到上，从右到左。
将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵后：
1. 若出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行，则无解； 2. 若不出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行，则有解，且 ①. 非零行行数等于未知量个数，则有唯一解； ②. 非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。
唯 一 解
无解
无 穷 多 解
文科数学
文科数学
(1)
此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。
加上常数项得数表
定义1
(2)
称上述矩形表为矩阵，横的排称为行， 竖的排称为列，其中的数称为矩阵的元素。 矩阵(1)称为方程组的系数矩阵，记为A，矩阵(2) 称为方程组的增广矩阵，记为 A.
文科数学
对于一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
文科数学
经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有
和未知量的系数以及右端的常数项有关！
问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是 对什么在运算？什么在变化？