3-1_线性方程组的消元解法

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由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增 广矩阵的行初等变换。
例1
求解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
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互换(1)与(2)的位置得
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
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(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
(3)-(2) 得
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(3)-(2) 得
（阶梯形方程组） (-1/2)×(3) 得
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本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。
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齐次线性方程组解的判定方法
将线性方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵后：
1. 若非零行行数等于未知量个数，则有唯一解； 2. 若非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。
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线性方程组的解题步骤 线性方程组 行变换 增广矩阵 判断是否有解 有 解 无解 结束
行最简形
同解方程组
得其解
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将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？
研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法；
2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
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第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
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第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未 知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
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第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，(-1/2)×(6) 得
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有何特点？ 同解方程组最后一个方程 0 =－2 是矛盾方程！ 所以方程组无解， 此时称该方程组是不相容的或 矛盾的。
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由以上3例思考 不一定！ 1. 线性方程组都有解吗？若有解，解一定唯一吗？ 2. 如何判断解的各种情况？
唯 一 解
无 穷 多 解
无解
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线性方程组解的判定方法
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增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此 对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只 对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 ri rj ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k ri ; 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 ri k rj . 称此三种变换为矩阵的行初等变换。
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在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公 元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量) 三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十 四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗， 问上、中、下禾一秉几何？ 该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式 是自上而下，从右到左)：
（行阶梯形矩阵）
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(-1/2)×(3) 得
(1)-2×(3)，(2)+2×(3) 得
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(1)-2×(3)，(2)+2×(3) 得
(-1/3)×(2) 得
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(-1/3)×(2) 得
(1)-(2) 得
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(1)-(2) 得
（行最简阶梯形矩阵） 阶梯上第一个元素为1，同列的其它元素都为零。 从而原方程组的解为
讨论下面的线性方程组何时无解，何时有无 穷多解。
思考
d3≠0 时无解；
d3＝0 时有无穷多解。
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小 结
本节主要围绕解一般线性方程组的问题，从运用
加减消元法去求解特殊的线性方程组入手，一步一 步的提出问题，分析问题，逐步探索出求解任意线 性方程组的一般方法：高斯消元法。 高斯消元法的基本思想：逐步将原方程组化简，
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(1)
此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。
加上常数项得数表
定义1
(2)
称上述矩形表为矩阵，横的排称为行， 竖的排称为列，其中的数称为矩阵的元素。 矩阵(1)称为方程组的系数矩阵，记为A，矩阵(2) 称为方程组的增广矩阵，记为 A.
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对于一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
a11 a21 A am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b2 amn bm
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
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线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形
成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解，
在中国古代的数学著作《九章算术· 方程》章中，
已经作了比较完整的叙述，其中所述方Байду номын сангаас实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
例习
试列出此问题的方程 组，并用高斯消元法求 出其解。
上禾秉数 中禾秉数 下禾秉数
斗数
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上禾秉数 中禾秉数 下禾秉数 斗数
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上禾一秉，九斗四分 斗之一；中禾一秉，四 斗四分斗之一；下禾一 秉，二斗四分斗之三。
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讨论下列线性方程组解的情况，并从几何上 给以说明。
思考
(1) 无解，平行但不重合； (2) 无穷多解，平行且重合；
直至易于求解的形式；
使用的手段：施行矩阵的行初等变换，将增广矩
阵化为行最简阶梯形矩阵；
理论依据：变形后的方程组与原方程组同解。
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作业
1. 求解齐次线性方程组
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2. 《九章算术 方程》第三问：今有上禾二秉，中和 三秉，下禾四秉,实皆不满斗；上取中，中取下，下 取上各一秉，而实满斗。问上、中、下禾实一秉各 几何？
(3) 唯一解，相交但不重合；
(4) 同(2) 。
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例2
解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
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有何特点？
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有何特点？
则同解方程组为
，即
令 x3 = k，则原方程组的解为 显然方程组有无穷多解，称上述含任意常数的解为 方程组的通解。
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例3
解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
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第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
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第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，(-1/3)×(9) 得
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第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，(-1/3)×(9) 得
例1
求解线性方程组
解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1， 由 (-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
该方程组比原方程组少一个未知量。
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其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，由(5)-(4) 得 这比原方程组又少了一个未知量。 由(-1/2)×(6) 得 最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
齐次线性方程组解的情况
例4
求解齐次线性方程组
解：对系数矩阵施行行初等变换化为行最简阶梯形
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齐次线性方程组解的情况
有何特点？
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齐次线性方程组解的情况
有何特点？
写出等价方程组并移项
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齐次线性方程组解的情况
写出等价方程组并移项 令 则方程组的通解为 事实上，齐次线性 方程组总有零解，称 其为平凡解。
将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵后：
1. 若出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行，则无解； 2. 若不出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行，则有解，且 ①. 非零行行数等于未知量个数，则有唯一解； ②. 非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。
唯 一 解
无解
无 穷 多 解
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经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有
和未知量的系数以及右端的常数项有关！
问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是 对什么在运算？什么在变化？
未知量的系数以及右端的常数项！ 基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时就 出现了由未知量系数以及右端常数项组成的数表：
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。 由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
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线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
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第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
由此得到了方程组的解。 思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步 对原方程组进行消元变简？
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用到了如下三种变换 1、交换两个方程的顺序； 2、用一个非零常数乘某个方程； 3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上； 称上述三种变换为线性方程组的初等变换。 初等变换的作用在于 将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与原 方程组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质 对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐步 化简以求其解。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
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例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
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(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
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随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入， 矩阵在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提 供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代 数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然 的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结 为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论 物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
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由(-1/3)×(8) 得 将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由
(-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
故原方程组的解为
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从上述求解过程可以看出
加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算 术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程 组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直 至得到便于求解的一个形式简单的方程。
(1)
其中有 n 个未知量 x1 , x2 , , xn，m 个方程，aij R (i 1, , m; j 1, , n) 是未知量的系数， b1 , , bm R 是常数项。 若右端常数项 b1 , b2 ,
, bm 均为零， 则称方程组为
齐次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
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2、数表
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
的线性运算（重要的工具）。
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§1 线性方程组的消元解法
对二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
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上述解法的基本思路和步骤
反复利用矩阵的行初等变换，逐步将线性方程组
的增广矩阵化成行最简阶梯形矩阵，从而求出方程
组的解。 此种方法称为高斯消元法，它是解线性方程组的
最一般、最有效的方法。
将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步
化行阶梯形：从上到下，从左到右；
化行最简阶梯形：从下到上，从右到左。