立体几何的动态问题30页PPT
合集下载
高中数学专题复习之动态立体几何公开课PPT课件
锥本溯源之动态立体几何
圆锥母线的简单性质：
1.母线与轴线所成的角是定值 ； 2.母线与底面所成的角是定值
3.母线与底面法线所成的角是定值 ；
A
4.母线所在直线所成角的范围？
S θ
；
O B
D
E
O
A
F
B
Q
OP
C
E
B
M
D
E
OG
在上述旋转过程中，
A
F
直线BE与BG所成的角？
C
直线BE与CD所成的角？
直线AB与CD所成的角？
说一说：最小角？
1
a
“锥”本溯源
之动态立体几何
课堂小结：
What：这节课我们研究了哪一类问题？
S
旋转过程中的角度问题（三类空间角） θ
How：解决这类问题的策略是怎样的？
构造圆锥（旋转角，轴线）
用到了哪些重要的思想方法？
A
O
转化与化归等
B
直观想象、数学抽象、数学建模的核心素养
课后思考：
（2） 则圆锥的母线EO与圆锥FO的母线夹
A1
P
平 面 α 与直线 A 1D 1所成角30° 转化
D1 A1
C1 B1
平面α 的 法线 m与直线 A 1D 1所成角60° 平 面 α 与平面ACC 1A 1所成角
转化
C 1A 1的 法线 n （即BD）所成角
D E
A
F
B
D
C
F
B (C )
小结3：在解决该问题的过程中，我们需关注哪些角的大小？ ①两个旋转角 ②两条轴线的夹角
B
小结1：在解决该问题的过程中，我们需关注哪些角的大小？ ①旋转角（圆锥的半顶角） ②轴线与直线的夹角
圆锥母线的简单性质：
1.母线与轴线所成的角是定值 ； 2.母线与底面所成的角是定值
3.母线与底面法线所成的角是定值 ；
A
4.母线所在直线所成角的范围？
S θ
；
O B
D
E
O
A
F
B
Q
OP
C
E
B
M
D
E
OG
在上述旋转过程中，
A
F
直线BE与BG所成的角？
C
直线BE与CD所成的角？
直线AB与CD所成的角？
说一说：最小角？
1
a
“锥”本溯源
之动态立体几何
课堂小结：
What：这节课我们研究了哪一类问题？
S
旋转过程中的角度问题（三类空间角） θ
How：解决这类问题的策略是怎样的？
构造圆锥（旋转角，轴线）
用到了哪些重要的思想方法？
A
O
转化与化归等
B
直观想象、数学抽象、数学建模的核心素养
课后思考：
（2） 则圆锥的母线EO与圆锥FO的母线夹
A1
P
平 面 α 与直线 A 1D 1所成角30° 转化
D1 A1
C1 B1
平面α 的 法线 m与直线 A 1D 1所成角60° 平 面 α 与平面ACC 1A 1所成角
转化
C 1A 1的 法线 n （即BD）所成角
D E
A
F
B
D
C
F
B (C )
小结3：在解决该问题的过程中，我们需关注哪些角的大小？ ①两个旋转角 ②两条轴线的夹角
B
小结1：在解决该问题的过程中，我们需关注哪些角的大小？ ①旋转角（圆锥的半顶角） ②轴线与直线的夹角
中考数学动态几何问题课件 (共37张PPT)
2 2
1
1
S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
2 2 2
1
1
1
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边 形PABQ面积的最小值为( C )
1
1
S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
2 2 2
1
1
1
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边 形PABQ面积的最小值为( C )
几何图形中的动态问题[优质ppt]
![几何图形中的动态问题[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/b8a0a774852458fb770b56ab.png)
(1)请写出y与X的函数关系式。 （2）在（1）的条件下，求y的最大 面积。
基本思想：“化动为静”
1、寻找临界点，再分类讨论（确定时间取值 范围）
2、用含时间的代数式表示相关线段的长度
3、根据变量与不变量之间的关系列出式 子
1、矩形ABCD中，AD=8cm ， AB=6cm，动点E从点 C开始沿CB边向点B以的2cm/s速度运动至点B停止， 动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运 动至点D停止，设运动时间为x(单位：s),阴影部分的面 积为y（单位：cm2）,则y与x之间的函数关系式用图像 表示大致是下图中的（ A ）
------特殊四边形中的动点问题
1、(湖北黄冈)在ΔABC中，BC=10，BC边上的 高h=12，点E是AB上的中点，过点E作EF∥BC， 交AC于F，D为BC边上的一动点，连接DE、 DF．则ΔDEF的面积为（ ） C
A. 13 B. 14 C. 15 D.无法确定
2、（潍坊）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为
（两点运动）
2、在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6cm，BC=12cm。 动点P从点A出发沿A-B-C-D方向以每秒2cm的速度前进，同时 动点Q从点A-D方向以每秒1cm的速度前进，当Q到达点D时两 个点同时停止运动。设运动时间为x秒，PQ经过的路径与线段 PQ围城图形的面积为y(cm2)，
本节课你有什么收获？请请跟大家分享 分享，还有什么疑惑？
1、（山东烟台）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿 A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的 面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A
B
C
D
2、（菏泽第）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F
基本思想：“化动为静”
1、寻找临界点，再分类讨论（确定时间取值 范围）
2、用含时间的代数式表示相关线段的长度
3、根据变量与不变量之间的关系列出式 子
1、矩形ABCD中，AD=8cm ， AB=6cm，动点E从点 C开始沿CB边向点B以的2cm/s速度运动至点B停止， 动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运 动至点D停止，设运动时间为x(单位：s),阴影部分的面 积为y（单位：cm2）,则y与x之间的函数关系式用图像 表示大致是下图中的（ A ）
------特殊四边形中的动点问题
1、(湖北黄冈)在ΔABC中，BC=10，BC边上的 高h=12，点E是AB上的中点，过点E作EF∥BC， 交AC于F，D为BC边上的一动点，连接DE、 DF．则ΔDEF的面积为（ ） C
A. 13 B. 14 C. 15 D.无法确定
2、（潍坊）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为
（两点运动）
2、在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6cm，BC=12cm。 动点P从点A出发沿A-B-C-D方向以每秒2cm的速度前进，同时 动点Q从点A-D方向以每秒1cm的速度前进，当Q到达点D时两 个点同时停止运动。设运动时间为x秒，PQ经过的路径与线段 PQ围城图形的面积为y(cm2)，
本节课你有什么收获？请请跟大家分享 分享，还有什么疑惑？
1、（山东烟台）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿 A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的 面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A
B
C
D
2、（菏泽第）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F
2020年中考数学复习 初中数学动态几何问题 (29张PPT)
ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止 运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为 t.
(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．
[解析] (3)根据等腰三角形的腰的情况 进行分类讨论，从而求出t的值．
初中数学动态几何问题
动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，蕴涵一些运动变化的 几何元素，主要研究几何图形在运动中所遵循的规律，如图形的形状、 位置、数量关系等．
就运动对象而言，有点动(点在线段或弧线上运动)、线动(直线或线 段的平移、旋转)和面动(部分图形的平移、旋转、翻折)等，而且在运动 过程中大多是动中有静，动静结合．
(3)根据题意可知，MD＝12AD，DN＝12DC，MN＝12AC＝3.
i)当MD＝MN＝3时，△DMN为等腰三角形，此时AD＝AC＝6，
∴t＝6；
ii)当MD＝DN时，AD＝DC，
1 过D作DH⊥AC交AC于H，则AH＝2AC＝3， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，
∵cosA＝AAHD＝AACB＝35，
例 2 已知：如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴正半轴交 于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝x－2 经过 A、C 两 点，且 AB＝2.
(2)若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的 速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、D， 同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运 动．当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连结
位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD 的中点，连结MN，设点D运动的时间为t.
(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．
[解析] (3)根据等腰三角形的腰的情况 进行分类讨论，从而求出t的值．
初中数学动态几何问题
动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，蕴涵一些运动变化的 几何元素，主要研究几何图形在运动中所遵循的规律，如图形的形状、 位置、数量关系等．
就运动对象而言，有点动(点在线段或弧线上运动)、线动(直线或线 段的平移、旋转)和面动(部分图形的平移、旋转、翻折)等，而且在运动 过程中大多是动中有静，动静结合．
(3)根据题意可知，MD＝12AD，DN＝12DC，MN＝12AC＝3.
i)当MD＝MN＝3时，△DMN为等腰三角形，此时AD＝AC＝6，
∴t＝6；
ii)当MD＝DN时，AD＝DC，
1 过D作DH⊥AC交AC于H，则AH＝2AC＝3， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，
∵cosA＝AAHD＝AACB＝35，
例 2 已知：如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴正半轴交 于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝x－2 经过 A、C 两 点，且 AB＝2.
(2)若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的 速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、D， 同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运 动．当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连结
位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD 的中点，连结MN，设点D运动的时间为t.
立体几何中的动态问题课件-2025届高三数学一轮复习
解题观摩
即异面直线与所成角的大小为定值，A正确； 连接,,, ,由四边形是矩形，得，而 平面， 平面，则 平面，即点到平面的距离为定值， ，…………审题② 因此为定值，B正确； 连接,,,在 中，，则边上的高为，有，由 平面，知点到平面的距离为，令直线和平面 所成的中点，连接，交于点，连接，交 于点，连接，显然， ，…………审题④ 则当与重合时，有，D错误. 故选 .
由B的分析可知 平面, 平面,故，又 ，,, 平面， 平面， 平面 ，，，若的长为定值，则 的长也为定值，故C正确；由以上分析可知，，故， ,由于为 的中点，故，若的长为定值，则的值也为定值，故D正确.故选 .
与翻折问题结合
2.（多选题）如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿 翻折到的位置，是线段的中点，在翻折到 的过程中，下列说法正确的是( ) .
解析 取的中点，连接,（图略），则，故点在以 为球心，为半径的球面上.过点作，垂足为，连接，则 .在矩形中，,，故，故 ，而，故 平面，故点在过点且垂直于 的平面上，所以点在以为圆心，为半径的圆上，而为二面角 的平面角或补角，故 ，故点的轨迹长度为 .
培优点三 动态中的定值问题
典例3 （多选题）（2024 · 安徽校考）如图，在棱长为1的正方体 中，是线段 上的动点，则下列说法正确的是( ) .
立体几何中的动态问题
培优点一 动态中的位置关系判断
培优点二 动态中的轨迹问题
培优点三 动态中的定值问题
培优点四 动态中的最值（范围）问题
培优点一 动态中的位置关系判断
典例1 （多选题）（2024 · 海南模拟）如图，在矩形中，,,和交于点 ，将沿直线 翻折，则下列说法正确的是( ) .
又因为点与点，不重合，则，又 ，可得 ，故选项C错误； 对于选项D，由，， ，得，又，则为等边三角形，则 ，将以为轴旋转到与共面，得到 ，则为等边三角形， ，
即异面直线与所成角的大小为定值，A正确； 连接,,, ,由四边形是矩形，得，而 平面， 平面，则 平面，即点到平面的距离为定值， ，…………审题② 因此为定值，B正确； 连接,,,在 中，，则边上的高为，有，由 平面，知点到平面的距离为，令直线和平面 所成的中点，连接，交于点，连接，交 于点，连接，显然， ，…………审题④ 则当与重合时，有，D错误. 故选 .
由B的分析可知 平面, 平面,故，又 ，,, 平面， 平面， 平面 ，，，若的长为定值，则 的长也为定值，故C正确；由以上分析可知，，故， ,由于为 的中点，故，若的长为定值，则的值也为定值，故D正确.故选 .
与翻折问题结合
2.（多选题）如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿 翻折到的位置，是线段的中点，在翻折到 的过程中，下列说法正确的是( ) .
解析 取的中点，连接,（图略），则，故点在以 为球心，为半径的球面上.过点作，垂足为，连接，则 .在矩形中，,，故，故 ，而，故 平面，故点在过点且垂直于 的平面上，所以点在以为圆心，为半径的圆上，而为二面角 的平面角或补角，故 ，故点的轨迹长度为 .
培优点三 动态中的定值问题
典例3 （多选题）（2024 · 安徽校考）如图，在棱长为1的正方体 中，是线段 上的动点，则下列说法正确的是( ) .
立体几何中的动态问题
培优点一 动态中的位置关系判断
培优点二 动态中的轨迹问题
培优点三 动态中的定值问题
培优点四 动态中的最值（范围）问题
培优点一 动态中的位置关系判断
典例1 （多选题）（2024 · 海南模拟）如图，在矩形中，,,和交于点 ，将沿直线 翻折，则下列说法正确的是( ) .
又因为点与点，不重合，则，又 ，可得 ，故选项C错误； 对于选项D，由，， ，得，又，则为等边三角形，则 ，将以为轴旋转到与共面，得到 ，则为等边三角形， ，
高考数学总复习微专题立体几何中的动态问题初探公开课PPT课件
C
O
B
引申2:棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1 在空间直角坐标系中移动,但保持点A、B
分最别远在距D1 离x轴为、_y_轴__上_C_1移__4动,则y点C1到C原1 点O的
A1
B1
D1
B
•M
C
A
•
M
B
OA
x
引申3:在空间直角坐标系中棱长为2
的正四面体ABCD两个顶点A、B分别
在x轴、y轴上移动,M是棱CD的中点,
C. 一条直线
D.抛物线一部分
分析：
由AB1 ⊥平面A1BCD1，连接OP 点P到AB1的距离=OP，
由动点P到AB1和BC的距离相 等
到定点的距离与到定直线的距离相等
符合抛物线的定义。
点评：立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及 到动点的轨迹问题，优先考虑定义法。
立体几何中常见的轨迹问题——坐标法
O在以AB为直径 的球面上运动
3 1
B
C
•M
O
y
A x
引 申1 : 如 图,直 线l 平 面,垂 足 为O, 在ABC
中,ABC 900 , AB 2, BC 1,该 三 角 形 作 符
合 条 件 的 运 动: (1)A l,(2)B ,求C、O两 点
之 间 的 最 大 距 离.
l
A
1 2
例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，
若点P到直线A1D1和CD的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ B ）
A.抛物线
B.双曲线
C. 椭圆
D.直线
.P
本题从几何的角度很难找到突破口，我们可以尝试从代数的角度处理。 如图，建立直角坐标系x-D-y,设P（x,y),则有
动态几何问题问题课件
江门市蓬江区东华一路40号长怡大厦四楼中考数学专题 动态几何问题真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．CM B（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．A B M CN E D∵AB DE ∥，AB MN ∥．∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD=． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。
新高考数学空间中的动态问题精品课件
④已知点P,Q分别是BD1,B1C1的中点,若MP与CQ垂直,则点M的轨迹的周长为8+4 5.
其中正确说法的个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
增分微课(三)
[解析] 对于①,因为∠DD1A=∠DD1M,所以DA=DM,则满足条件的动点M的轨
迹是以D为圆心,以DA为半径的圆的一部分,故①正确;
2
图Z3-1
增分微课(三)
[总结反思]
解答折叠、展开问题的关键在于画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形,
抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是
平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和
重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体
1
3
角.在Rt△AFD中,DF= C1E= a,AF=
2
4
=
3
92 +4
=
2
1
42
3+ 2
3
≥
1
4
3+
3
=
2 − 2 =
92 +42
,∴tan∠DAF=
4
39
,当且仅当a=b时,等号成立,
13
∴直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为
故选D.
39
.
13
增分微课(三)
选项B正确.
增分微课(三)
1
1
当λ= 时,= +μ1 ,如图③,设BC,B1C1的中点分别为D,D1,连接DD1,AD,
2
2
A1D1,则点P在线段DD1上.当点P与点D重合时,BP⊥平面APD1A1,此时A1P⊥BP;
其中正确说法的个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
增分微课(三)
[解析] 对于①,因为∠DD1A=∠DD1M,所以DA=DM,则满足条件的动点M的轨
迹是以D为圆心,以DA为半径的圆的一部分,故①正确;
2
图Z3-1
增分微课(三)
[总结反思]
解答折叠、展开问题的关键在于画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形,
抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是
平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和
重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体
1
3
角.在Rt△AFD中,DF= C1E= a,AF=
2
4
=
3
92 +4
=
2
1
42
3+ 2
3
≥
1
4
3+
3
=
2 − 2 =
92 +42
,∴tan∠DAF=
4
39
,当且仅当a=b时,等号成立,
13
∴直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为
故选D.
39
.
13
增分微课(三)
选项B正确.
增分微课(三)
1
1
当λ= 时,= +μ1 ,如图③,设BC,B1C1的中点分别为D,D1,连接DD1,AD,
2
2
A1D1,则点P在线段DD1上.当点P与点D重合时,BP⊥平面APD1A1,此时A1P⊥BP;
2025年高考数学一轮复习 第八章 -第3课时 立体几何中的动态问题【课件】
=−
∴ 锐二面角 − − 的余弦值为
6
,
6
6
.
6
若选②,在题图1所示的△ 中,设 = ,
则 = + = + = + − = 1 − + .
2
3
1
3
1
3
又∵ = + ,∴ 由平面向量基本定理知 = ,即 = 1.
以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示
的空间直角坐标系 − ,
则 0,0,0 , 1,0,0 , 0,2,0 , 0,0,2 , 0,1,1 ,
= −1,1,1 .设 0, , 0 0 ≤ ≤ 2 ,则 =
1
, 1,0 ,则
2
1
解答题专项（四）立体几何中的综合问题
第3课时 立体几何中的动态问题
考向一 翻折问题
4
3
典例1 条件①:图1中tan 2 = − .
2
3
1
3
条件②:图1中 = + .
条件③:图2中三棱锥 − 的体积最大.
从以上三个条件中任选一个,补充在问题（2）中的横线上,并加以解答.
如图1所示,在△ 中,∠ = 45∘ , = 3,过点作 ⊥ ,垂足在线段上,沿
− , − 1,0
2
.
∵ ⊥ ,∴ ⋅ = 0,
1
2
即 − , − 1,0 ⋅ −1,1,1 = 0,
1
2
1
2
1
2
解得 = ,∴ 0, , 0 ,∴ 当 = （即是上靠近点的四等分点）时, ⊥ .
1
2
设平面的法向量为 = , , ,且 = −1, , 0 ,