第1章 费马原理与变折射率光学(0).jsp
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三、解释折射定律 _____ A CC sin i1 _____ sin i2 _____ AC AC _____ A v2 t CC v1t
sin i1 v1 const sin i2 v2
C Ｂ v1 v2 i1 Ａ i2 Ｂ0 Ｂ′ C′
Ａ′
§1.2 折射率
t+△t t
o
二、 原理意义：提出了光的波动理论，从几何学上 给出了寻求光传播方向的普遍方法。人们可以由某一 时刻的波前，用作图法导出下一时刻的波前，并确定 波前上各点的光射线。这就是说，该原理解决了波前 随时间在空间的传播问题。但是它也有着许多重大的 不足:比如它不能回答光振幅、光相位的传播问题。
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
2 光程与时差
li 1 1 t P tQ ti ni li LQP vi c c
LQP ct P t Q
光线经历ＱP两点的光程等于传播时间乘以真空光速。
§1.4 费马原理(描述光线传播行为的一个原理） 一、表述
n ( r)
l
l0
实际光线的传播路径,与邻近 各种可能的虚拟路径相比较,具有 什么特别的“品性”
意义：
物像等光程性将是否成像与是否等光程两者对应 起来。
严格等光程 近似等光程
不等光程
严格成像
近似成像 不成像
表明：有了这个推论，便将成像的理论，推进到现实 的可操作的理论分析的境界。
二、费马原理应用于球面反、折射系统 由费马原理导出球面镜傍轴成像及其物像公式 物点Q(s),待求“像 点”Q′(x)镜面半径(-r),镜 心于左r<0镜心于右r>0。 L(QMQ ′)= L(QOQ ′) 在同一介质中，即要求QM+MQ ′=QO+OQ ′，其中 QO=s，OQ ′=x
得
n1 sin i1 n2 sin i2
这就是折射定律
§1.5 费马原理与成像
一、推论：物像之间各条光线的光程是相等的——物 像等光程性。
同心光束：各光线本身或其沿长线交于同一点的光束。
物点Q 同心光束 像点Q′ 同心光束
同心光束的共轭变换
等光程是指L(QM1N1Q′)=L(QM2N2Q)=‥ ‥ ‥ 即: L(QMiNiQ′)=const。与i无关。 可取反证法证之
三、
均匀介质， 光的直线传播定律 由费马原理导出介质界面， 光的反射定律 介质界面， 光的折射定律
这说明，费马原理是几何光学三定律的一个理论概括。
Q i i′ α′ M n1 n2 P
α
β Q′
M是动点，入射——反射光程为 L（QMP），M为待定的反射点， 以满足L（QMP）为极值：引入 镜像对称点Q′，则β=α，且L （QM）=L（ Q′ M），于是L （QMP）= L（ Q′ MP），它
sin i1 n2 n12 sin i2 n1
sin i1 v1 const sin i2 v2
n2 v1 n1 v2
设入射方为真空，则n1=1，v1=c 于是
n2 c n1 v2
c n v c f 0 0 n v f
在线性介质的光场中，扰动的时间频率仅由光源 来决定，与介质无关。f~光源的本征频率。
2
于是普便的变分方程δL=0，在此被简化为一元微分方 程 dLx 0
即
dx 1 1 1 1 n1 2 x n2 2d x 0 2 2 2 2 2 a x b 2 d x x dx n1 n2 2 2 2 a x b 2 d x
成为极小值的条件是Q′ MP为直线，则：β=α′即：i=i ′, 反射角等于入射角，反射线与入射线在同一个入射面 内。这正是光在界面的反射定律。
Q a A n2 i1 M i2 d
n1 B b P
M是待定点，设AM=x,有MB=dx。入射——折射光程 L（QMP）=n1QM+n2MP
n1 a 2 x 2 n2 b 2 d x
显微镜物镜
五、阿贝正弦定理
ny sin u ny sin u sin u sin i r s0 sin u sin i r s0 sin u sin i s0 sin u sin i s0
sin u n y sin u n y
y V y
阿贝正弦定理是普遍成立的，也适用 于复合透镜，它是傍轴小物很好成像， 以消球差和慧差所必须满足的必要条 件，因此也称为阿贝正弦条件。
1.57600
1.58606 1.59441
1.67050
1.68059 1.68882
1.72000
1.73780 1.75324
三、色散:一种介质对不同波长的光具有不同的折射 率。 正常色散:随波长的增加而折射率减小。
n ( λ)
λ
色散本领
nF nC nD 1
四、折射率与光速比、波长比
光线路径的几何长度与所经过的介质折射率的 乘积。
均匀介质
l
P
介质分区均匀
n2 l2 n3 l3 n4 l4
变折射场合
ds
n
Q
n1 l1 Q
P
P Q
L(QP ) nl
L(QP ) n1l1 n2l2 nili
L(QP ) Q n r ds (l )
s 2 2sd d 2 2rd d 2 s 2 2s r d
2 QM s d h 2 s r d s 1
2项.傍轴:d<<r,s,x 同级近似 , 泰勒展开 , 互略 d s2 x r d 2 2 MQ x d h x1 同等近似处理 2 x
被用于研究电磁波被电离层反射。
四、大气中声线的弯曲 地面附近空气中，声速
v 331.45 0.61t m / s
§1.7 人工变折射率
一、阶越型光纤 n0 θ0 θ1
n2 n1
2 N . A. n0 sin 0 n12 n2
二、梯度型光纤
1 2 n(r ) n0 1 r 2
d D r0 2.36cm
θ /° r/cm
0 7.64
6 7.77
12 8.17
18 8.95
24 10.31
26 11.0
§1.6 自然变折射率——大气光学现象
一、海市蜃楼 寒冷海面上空： 高度y↗，T↗，n ↘
n y n n e
2 2 o
2 y p
no ~ 1.000233, n p ~ 0.45836, ~ 2.303 / m
三、微透镜 厚度d<<a， d~10μm,a~100 μm
1 f no ad
a2 f 2no nq
用途：制成微透镜列阵，用于集成光学中的光耦合 或光互连，也可以与光电元件搭配实现图像的光电转换。
四、强光变折射率 强光 108W/cm2 n(I) n(r) 自聚焦（类似于正透镜） 自散焦（类似于负透镜）
二、沙洲神泉 炽热地面上空： 高度y↗，T ↘ ，n ↗
n y n n 1 e
2 2 o 2 p
y
2 y 2 n y no 1 2n 2 o
2 2 2 n y n y 三、大气电离层（D层） o
2 y 2 no
第一章 费马原理与变折射率光学
§1.1 惠更斯原理 一、原理内容：光扰动同时 到达的空间曲面被称为波面或 波前，波前上的每一点可以被 看作一个新的扰动中心，称其 为子波源或次波源，次波源向 四周激发次波，下一时刻的波 前应当是这些大量次波面的公 共切面，也称其为包络面，次 波中心与其次波面上的那个切 点的连线方向，给出了该处光 传播方向，亦即光射线方向。
解出
设计要求:n=1.5,R=5.0cm,D=10.00cm
r0 r 1 1.5 cos 3 cos 2
1 1.5r0
R M arctan 26.6 D
rM R 2 D 2 11.2cm
r 0 rM 3 cos M 2 7.64cm
0 n
例：一光源发射的一束光，在空气中波长为 600nm，看起来为橙色。问：当这个光源置于水中时 这束光的波长是多少：潜水员观察到的这束光呈何颜 色：
λ=600nm×3/4=450nm 决定色视角的是振动频率，而不是波长 光与一切接收器的相互作用，是光振动与物质的 相互作用。
§1.3 光程 一、定义
P
Q
光线沿光程平稳值的路径而传播。
极小值常见 P n r ds — 平稳值 极大值个别 Q l 0 常数物 — 像
二、数学表达式
LQP Q n r ds L(l) l
P
被称为泛函or程函，eikonal。通俗道，“函数的函 数”.“平稳值”满足变分为零
代入等光程方程有
s r d x r d s 1 1 sx x 2 s x2 s r d x r d 0 消去 d s x 1 1 2 与d无关,成像,近似成像 s x r 1 1 2 物像距关系式 s s r r f 焦距(当s=∞) 2
在信息光学中，用于光存储；“读出”、“写 入”。
§1.8 光线方程 一、特殊情形n(y) 1 折射率分层均匀
Q nds 0
l
P
对“变分”可认为它就是函数的微分。
二、数学表达式
LQP Q n r ds L(l) l
P
被称为泛函or程函，eikonal。通俗道，“函数的函 数”.“平稳值”满足变分为零
Q nds 0
l
P
对“变分”可认为它就是函数的微分。 变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时， 函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶 微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点 A B，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一 般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时 光程的改变一般称为变分。
sin u W sin u n V W n
例题：如图所示，一宽平 行光束入射于一透镜，要 求被严格聚焦于F′点，试问 透镜的第二曲面应当是何 形状： 解:设动点为M,取极坐标 r(θ)描述动点的轨迹,它应当满足等光程性,即 L(NMF′)=L(OHO′F′)
r nr cos r0 r 0 1 n 1r0 ep 1 n r0 n r r 1 e cos 1 n cos 1 n cos
P
二、光程的初步意义： 1 光程与相位差 曾记得，沿光的传播方 向，相位逐点落后
2 2 P Q l1 l2 2 1 2 2 n1l1 n2l2 0 0 2 2 nili LQP
一、定义 sin i1 n2 n12 const sin i2 n1
二、典型数据
标识符号 波长／nm C 656.3 冕牌玻璃 1.52042 轻火石 1.57208 重火石 1.66650 特重火石 1.71303
D
F G
589.2
486.1 434.0
1.52300
1.52933 1.53435
正负号约定:
物像点在左,s>0,ś >0 物像点在右,s<0, s′<0
傍轴是指倾角u<< 1rad~0.4rad，即所谓的小倾角光线
三、反射等光程面
四、齐明点 以C为参考点,则齐明点的位置为：
n s0 CQ0 r n n s 0 CQ0 r n
正负号约定：r>0或r<0分别对 应球心C在球面定顶点的右侧或 左侧。S0>0或<0分别对应物点 在球心的左方或右方；像距的 正负号约定与物距的相反
sin i1 v1 const sin i2 v2
C Ｂ v1 v2 i1 Ａ i2 Ｂ0 Ｂ′ C′
Ａ′
§1.2 折射率
t+△t t
o
二、 原理意义：提出了光的波动理论，从几何学上 给出了寻求光传播方向的普遍方法。人们可以由某一 时刻的波前，用作图法导出下一时刻的波前，并确定 波前上各点的光射线。这就是说，该原理解决了波前 随时间在空间的传播问题。但是它也有着许多重大的 不足:比如它不能回答光振幅、光相位的传播问题。
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
2 光程与时差
li 1 1 t P tQ ti ni li LQP vi c c
LQP ct P t Q
光线经历ＱP两点的光程等于传播时间乘以真空光速。
§1.4 费马原理(描述光线传播行为的一个原理） 一、表述
n ( r)
l
l0
实际光线的传播路径,与邻近 各种可能的虚拟路径相比较,具有 什么特别的“品性”
意义：
物像等光程性将是否成像与是否等光程两者对应 起来。
严格等光程 近似等光程
不等光程
严格成像
近似成像 不成像
表明：有了这个推论，便将成像的理论，推进到现实 的可操作的理论分析的境界。
二、费马原理应用于球面反、折射系统 由费马原理导出球面镜傍轴成像及其物像公式 物点Q(s),待求“像 点”Q′(x)镜面半径(-r),镜 心于左r<0镜心于右r>0。 L(QMQ ′)= L(QOQ ′) 在同一介质中，即要求QM+MQ ′=QO+OQ ′，其中 QO=s，OQ ′=x
得
n1 sin i1 n2 sin i2
这就是折射定律
§1.5 费马原理与成像
一、推论：物像之间各条光线的光程是相等的——物 像等光程性。
同心光束：各光线本身或其沿长线交于同一点的光束。
物点Q 同心光束 像点Q′ 同心光束
同心光束的共轭变换
等光程是指L(QM1N1Q′)=L(QM2N2Q)=‥ ‥ ‥ 即: L(QMiNiQ′)=const。与i无关。 可取反证法证之
三、
均匀介质， 光的直线传播定律 由费马原理导出介质界面， 光的反射定律 介质界面， 光的折射定律
这说明，费马原理是几何光学三定律的一个理论概括。
Q i i′ α′ M n1 n2 P
α
β Q′
M是动点，入射——反射光程为 L（QMP），M为待定的反射点， 以满足L（QMP）为极值：引入 镜像对称点Q′，则β=α，且L （QM）=L（ Q′ M），于是L （QMP）= L（ Q′ MP），它
sin i1 n2 n12 sin i2 n1
sin i1 v1 const sin i2 v2
n2 v1 n1 v2
设入射方为真空，则n1=1，v1=c 于是
n2 c n1 v2
c n v c f 0 0 n v f
在线性介质的光场中，扰动的时间频率仅由光源 来决定，与介质无关。f~光源的本征频率。
2
于是普便的变分方程δL=0，在此被简化为一元微分方 程 dLx 0
即
dx 1 1 1 1 n1 2 x n2 2d x 0 2 2 2 2 2 a x b 2 d x x dx n1 n2 2 2 2 a x b 2 d x
成为极小值的条件是Q′ MP为直线，则：β=α′即：i=i ′, 反射角等于入射角，反射线与入射线在同一个入射面 内。这正是光在界面的反射定律。
Q a A n2 i1 M i2 d
n1 B b P
M是待定点，设AM=x,有MB=dx。入射——折射光程 L（QMP）=n1QM+n2MP
n1 a 2 x 2 n2 b 2 d x
显微镜物镜
五、阿贝正弦定理
ny sin u ny sin u sin u sin i r s0 sin u sin i r s0 sin u sin i s0 sin u sin i s0
sin u n y sin u n y
y V y
阿贝正弦定理是普遍成立的，也适用 于复合透镜，它是傍轴小物很好成像， 以消球差和慧差所必须满足的必要条 件，因此也称为阿贝正弦条件。
1.57600
1.58606 1.59441
1.67050
1.68059 1.68882
1.72000
1.73780 1.75324
三、色散:一种介质对不同波长的光具有不同的折射 率。 正常色散:随波长的增加而折射率减小。
n ( λ)
λ
色散本领
nF nC nD 1
四、折射率与光速比、波长比
光线路径的几何长度与所经过的介质折射率的 乘积。
均匀介质
l
P
介质分区均匀
n2 l2 n3 l3 n4 l4
变折射场合
ds
n
Q
n1 l1 Q
P
P Q
L(QP ) nl
L(QP ) n1l1 n2l2 nili
L(QP ) Q n r ds (l )
s 2 2sd d 2 2rd d 2 s 2 2s r d
2 QM s d h 2 s r d s 1
2项.傍轴:d<<r,s,x 同级近似 , 泰勒展开 , 互略 d s2 x r d 2 2 MQ x d h x1 同等近似处理 2 x
被用于研究电磁波被电离层反射。
四、大气中声线的弯曲 地面附近空气中，声速
v 331.45 0.61t m / s
§1.7 人工变折射率
一、阶越型光纤 n0 θ0 θ1
n2 n1
2 N . A. n0 sin 0 n12 n2
二、梯度型光纤
1 2 n(r ) n0 1 r 2
d D r0 2.36cm
θ /° r/cm
0 7.64
6 7.77
12 8.17
18 8.95
24 10.31
26 11.0
§1.6 自然变折射率——大气光学现象
一、海市蜃楼 寒冷海面上空： 高度y↗，T↗，n ↘
n y n n e
2 2 o
2 y p
no ~ 1.000233, n p ~ 0.45836, ~ 2.303 / m
三、微透镜 厚度d<<a， d~10μm,a~100 μm
1 f no ad
a2 f 2no nq
用途：制成微透镜列阵，用于集成光学中的光耦合 或光互连，也可以与光电元件搭配实现图像的光电转换。
四、强光变折射率 强光 108W/cm2 n(I) n(r) 自聚焦（类似于正透镜） 自散焦（类似于负透镜）
二、沙洲神泉 炽热地面上空： 高度y↗，T ↘ ，n ↗
n y n n 1 e
2 2 o 2 p
y
2 y 2 n y no 1 2n 2 o
2 2 2 n y n y 三、大气电离层（D层） o
2 y 2 no
第一章 费马原理与变折射率光学
§1.1 惠更斯原理 一、原理内容：光扰动同时 到达的空间曲面被称为波面或 波前，波前上的每一点可以被 看作一个新的扰动中心，称其 为子波源或次波源，次波源向 四周激发次波，下一时刻的波 前应当是这些大量次波面的公 共切面，也称其为包络面，次 波中心与其次波面上的那个切 点的连线方向，给出了该处光 传播方向，亦即光射线方向。
解出
设计要求:n=1.5,R=5.0cm,D=10.00cm
r0 r 1 1.5 cos 3 cos 2
1 1.5r0
R M arctan 26.6 D
rM R 2 D 2 11.2cm
r 0 rM 3 cos M 2 7.64cm
0 n
例：一光源发射的一束光，在空气中波长为 600nm，看起来为橙色。问：当这个光源置于水中时 这束光的波长是多少：潜水员观察到的这束光呈何颜 色：
λ=600nm×3/4=450nm 决定色视角的是振动频率，而不是波长 光与一切接收器的相互作用，是光振动与物质的 相互作用。
§1.3 光程 一、定义
P
Q
光线沿光程平稳值的路径而传播。
极小值常见 P n r ds — 平稳值 极大值个别 Q l 0 常数物 — 像
二、数学表达式
LQP Q n r ds L(l) l
P
被称为泛函or程函，eikonal。通俗道，“函数的函 数”.“平稳值”满足变分为零
代入等光程方程有
s r d x r d s 1 1 sx x 2 s x2 s r d x r d 0 消去 d s x 1 1 2 与d无关,成像,近似成像 s x r 1 1 2 物像距关系式 s s r r f 焦距(当s=∞) 2
在信息光学中，用于光存储；“读出”、“写 入”。
§1.8 光线方程 一、特殊情形n(y) 1 折射率分层均匀
Q nds 0
l
P
对“变分”可认为它就是函数的微分。
二、数学表达式
LQP Q n r ds L(l) l
P
被称为泛函or程函，eikonal。通俗道，“函数的函 数”.“平稳值”满足变分为零
Q nds 0
l
P
对“变分”可认为它就是函数的微分。 变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时， 函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶 微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点 A B，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一 般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时 光程的改变一般称为变分。
sin u W sin u n V W n
例题：如图所示，一宽平 行光束入射于一透镜，要 求被严格聚焦于F′点，试问 透镜的第二曲面应当是何 形状： 解:设动点为M,取极坐标 r(θ)描述动点的轨迹,它应当满足等光程性,即 L(NMF′)=L(OHO′F′)
r nr cos r0 r 0 1 n 1r0 ep 1 n r0 n r r 1 e cos 1 n cos 1 n cos
P
二、光程的初步意义： 1 光程与相位差 曾记得，沿光的传播方 向，相位逐点落后
2 2 P Q l1 l2 2 1 2 2 n1l1 n2l2 0 0 2 2 nili LQP
一、定义 sin i1 n2 n12 const sin i2 n1
二、典型数据
标识符号 波长／nm C 656.3 冕牌玻璃 1.52042 轻火石 1.57208 重火石 1.66650 特重火石 1.71303
D
F G
589.2
486.1 434.0
1.52300
1.52933 1.53435
正负号约定:
物像点在左,s>0,ś >0 物像点在右,s<0, s′<0
傍轴是指倾角u<< 1rad~0.4rad，即所谓的小倾角光线
三、反射等光程面
四、齐明点 以C为参考点,则齐明点的位置为：
n s0 CQ0 r n n s 0 CQ0 r n
正负号约定：r>0或r<0分别对 应球心C在球面定顶点的右侧或 左侧。S0>0或<0分别对应物点 在球心的左方或右方；像距的 正负号约定与物距的相反