2019海南中考数学专题训练—2几何图形综合题
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几何图形综合题
1.已知：在等边△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAE ＝∠CBD ＜60°，DH ⊥AB ，垂足为点H .
(1)如图①，当点D 、E 分别在边AC 、BC 上时，求证：△ABE ≌△BCD ； (2)如图②，当点D 、E 分别在AC 、CB 延长线上时，探究线段AC 、AH 、BE 的数量关系；
(3)在(2)的条件下，如图③，作EK ∥BD 交射线AC 于点K ，连接HK ，交BC 于点G ，交BD 于点P ，当AC ＝6，BE ＝2时，求线段BP 的长．
第1题图
(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， 在△ABE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC
∠ABE ＝∠BCD
， ∴△ABE ≌△BCD (ASA )； (2)解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， ∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°. ∴在△ABE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC
∠ABE ＝∠BCD
，
∴△ABE ≌△BCD (ASA )， ∴BE ＝CD . ∵DH ⊥AB ， ∴∠DHA ＝90°， ∵∠CAB ＝60°， ∴∠ADH ＝30°， ∴AD ＝2AH ，
∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；
(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，
第1题解图
∵AC ＝6，BE ＝2， ∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,
与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8， ∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°， ∴∠CDS ＝30°，
∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7， ∵BD 2
＝BS 2
＋SD 2
＝72
＋(3)2
， ∴BD ＝213， ∵EK ∥BD ， ∴△CBD ∽△CEK ， ∴
CB CE ＝CD CK ＝BD EK
， ∴CK ＝
CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝813
3
. ∵HM ∥AC ，
∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，
∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4， 又∵HM ∥AC ， ∴△HMG ∽△KCG ， ∴HM KC ＝MG CG
， 即
3
82＝MG 4－MG
，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407，
∵EK ∥BD ， ∴△GBP ∽△GEK ， ∴
BP EK ＝GB GE
， ∴BP ＝2613
15
.
2. 如图①，在四边形ABCD 中，点P 是AB 上一点，点E 在射线DP 上，且∠BED ＝∠BAD ，连接AE .
(1)若AB ＝AD ，在DP 上截取点F ，使得DF ＝BE ，连接AF ，求证：△ABE ≌△ADF ；
(2)如图②，若四边形ABCD 是正方形，点P 在AB 的延长线上，BE ＝1，AE ＝32，求DE 的长；
(3)如图③，若四边形ABCD 是矩形，AD ＝2AB ，点P 在AB 的延长线上，AE ＝5BE ，若AE =nDE ，求n 的值.
图① 图② 图③
第2题图
(1)证明：∵∠BED ＝∠BAD ，∠BPE ＝∠DP A ， ∴∠ABE ＝∠ADF ，
又∵AB ＝AD ，BE ＝DF ， ∴△ABE ≌△ADF ；
(2)解：如解图①，延长ED 到点F ，使得DF ＝BE ，连接AF ，
第2题解图①
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ，
∵∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ， ∴∠ABE ＝∠ADF ， ∵BE ＝DF ，AB ＝AD ， ∴△ABE ≌△ADF ，
∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠F AD ，
∴∠F AD ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，
∴EF ＝2AE ＝32×2＝6，
∴DE ＝EF －DF ＝EF －BE ＝6－1＝5；
(3)解：如解图②，过点A 作AF ⊥AE 交ED 的延长线于点F ，
第2题解图②
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ＝90°， ∵AF ⊥AE ，∠P ＝∠P ，
∴∠PBE ＝∠ADP ，∠EAB ＝90°－∠EAD ＝∠F AD ， ∴∠ABE ＝180°－∠PBE ＝180°－∠ADP ＝∠ADF ， ∴△ABE ∽△ADF ， ∴，21===AF AE DF BE AD AB ∴AF ＝2AE ，DF ＝2BE ，
在Rt △AEF 中，由勾股定理得EF =5AE ，
∵AE ＝5BE ，∴EF ＝5AE ＝5·5BE ＝5BE ，
∴DE＝EF－DF＝5BE－2BE＝3BE，
3.已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC 于点F，点H是线段AF上一点.
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，求
(2)如图②，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的
HF
图①图②图③
第3题图
解：(1)过点D作DG∥BC交AC于点G，
第3题解图①
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGD是等边三角形，
∴AD=GD，
由题意知CE=AD，