六年级重点易错专题之 比和比例应用题

比和比例应用题

典型例题

例1：幼儿园大班和中班共有32个男生，18个女生。已知大班男生人数与女生人数的比为5：3，中班男生与女生人数的比为2：1。那么大班女生有多少人？

分析：题目中涉及到两个比例关系，看起来是无从下手。注意到两个班的男、女总数都已知，于是我们可以设大班女生人数为X，则中班女生人数为（18－X），再利用比例关系表示出两个班男生的人数，列方程即可求出。

解：设大班女生人数为X，则中班女生人数为（18－X），根据题意列方程，得

（5/3）X＋2（18－X）=32

X=12

即大班女人有12人。

说明：这是1998年全国小学生奥林匹克数学竞赛预赛试题，属按比例分配类型应用题，利用方程解比和比例应用题是十分有效易懂的方法。

例2：甲、乙两厂人数的比是7：6，从甲厂调360人到乙厂后，甲、乙两厂比为2：3。甲、乙两厂原有多少人？

分析：从甲厂调360人到乙厂，甲、乙两厂人数的总数不变，因此，可将这个不变量看作是单位“1”。

甲厂原有人数占总人数的7/13，甲厂现有人数占总人数的2/5，360人就是总人数的7/13－2/5=9/65，总人数=360/（9/65）=2600人。又因为甲、乙两厂原有人数之比为7：6，所以甲厂原有2600×7/13=1400人，乙厂原有2600×6/13=1200人。

说明：解这类应用题时，可抓住题目中的不变量，把它看作单位“1”，然后找已知数量的对应分率，逐步推出所求的量。

例3：王师傅原定在若干小时内加工完一批零件，他估算了一下，如果按原速度加工120个零件后工作效率提高25%，可提前40分钟完成；如一开始工

作效率就提高20%，就可提前1小时完成。他原计划每小时加工多少个零件？

分析：此题的关键还是在于找出不变量，确定正反比例关系。

由于加工120个零件后，加工余下的零件工作效率提高25%，则提高后的工作效率与原工作效率比为（1＋25%）：1=5：4，而工作量（即加工120个零件后余下的零件）没有改变（不变量），所以，所需时间与原工作时间的比应与效率成反比例关系，即4：5。这样加工余下零件原来所用时间是：

40÷（5－4）×5=200分钟=10/3小时。

如果一开始工作效率就提高20%，提高后的工作效率与原工作效率比为（1＋20%）：1=6：5，所需工作时间与原工作时间之间的比是5：6，于是原工作时间为1÷（6－5）×6=6小时，这样便可知道加工120个零件原来需要6－10/3=8/3小时，所以，他原计划每小时加工零件120÷8/3=45个。

说明：根据工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例的关系推出王师傅加工120个零件原来所需的时间，进而就可推出他原计划每小时加工的零件数。

例4：有A、B、C三种盐水，按A与B数量之比为2：1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B数量之比为1：2混合，得到浓度为14%的盐水；如果按A、B、C数量之比为1：1：3混合成的盐水浓度为10.2%。问：盐水C的浓度是多少？

分析：这是一道利用比例关系来解的浓度问题，关于浓度配比有这样一个性质：两种不同浓度的溶液混合，两种溶液的浓度与混合后的浓度分别相减所得的比与所需数量之比恰好成反比例关系，我们将以此为理论依据对此题做出解答。

解答：设A种盐水的浓度为X，B种盐水的浓度为Y。

（13%－X）：（Y－13）=1：2

（14%－X）：（Y－14%）=2：1

解得X=12%，Y=15Y。

当A、B、C三种盐水按数量1：1：3混合时，相当于A、B按1：1混合，混合后再与盐水C混合；

由于A、B两种盐水按数量1：1混合后的浓度为（12%＋15%）÷2=13.5%，

于是上面A、B、C三种盐水混合的问题就转化为浓度为13.5%的盐水两份与3份C种盐水混合后的浓度为10.2 %，求C的浓度。

设C种盐水的浓度为Z，列方程

（13.5－10.2）：（10.2－Z）=3：2，求出Z=8%。

说明：比和比例在行程问题和浓度问题中，有着广泛的应用，灵活、巧妙地应用比和比例解答应用题，对提高我们的能力有很大的帮助。

例5：某校和某工厂之间有一条公路，该下午2点派车去该厂接劳模作报告，往返需1小时。这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立即上车驶向学校，在下午2点40分到达。问汽车的速度是劳模速度的几倍？

分析：如图示意

B

A表示学校，B表示工厂，C表示劳模和汽车相遇的地点。根据题意，汽车从A到B往返需1小时，即汽车从A到B需要30分钟；汽车从A到C往返用了40分钟，即汽车从A到C用了20分钟。所以，汽车从C到B需要30－20=10分钟。

如果能进而求得劳模从B到C走的时间，问题就迎刃而解。

劳模从B到C所走的时间是1小时40分－20分=1小时20分=80分，这就是说，从B到C，劳模所走的时间是汽车的8倍，因此，汽车的速度是劳模步行速度的8倍。

例6：猎犬发现在他10米远的前方有一只奔跑着的野兔，猎犬马上紧追上去。猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步；但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步。猎犬至少跑多少米能追上兔子？

分析：由题意，猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步，这就是说，猎犬每步的长：兔子每步的长=9：5；又因为猎犬跑2步的时间，兔子能跑3步，这就是说在整个追及过程中，猎犬跑的步数：兔子跑的步数=2：3。

由上面的两个关系，可得

猎犬跑的路程：兔子跑的路程=（9×2）：（5×3）=6：5。

设猎犬跑了X米追上兔子，那么兔子跑了（X－10）米。

则有：X：（X－10）=6：5

X=60

例7：小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回来时每小时走9千米，来回共用5小时。小明来回共走了多少千米？

分析：要想求小明来回共走多少千米，只要求出甲地到乙地距离再乘2就可以了。

路程一定，速度与时间成反比例。由

去时的速度与回来时的速度比是6：9=2：3，可得去时的时间与回来时的时间比是3：2。所以，去时的时间是：5×3/5=3小时，去时的路程是6×3=18千米，来回的路程是18×2=36千米。

说明：本题主要是利用路程一定，速度与时间成反比例来解决问题。

例8：2只圆珠笔的价钱和30支铅笔的价钱相等，3支钢笔的价钱和15支圆珠笔的价钱相等。用买8支钢笔的钱可以买多少支铅笔？

分析：根据总价一定，支数与单价成反比例关系来解决问题。

由题意，总价一定时，圆珠笔与铅笔支数的比是2：30=1：15，可得圆珠笔与铅笔的单价比是15：1；

同理，由圆珠笔与钢笔支数的比是15：3=5：1，得圆珠笔与钢笔单价的比是1：5=15：75；

所以，铅笔与钢笔的单价比是1：75，铅笔与钢笔的数量比是75：1。

所以，买8支钢笔的钱可以买钢笔75×8=600支。