一个磁控忆阻器混沌电路及其FPGA实现

电路与系统学报
第 16 卷
初值。为了减少电路的复杂性，只选择改变 φ 和 v1 这两个初值。 本文通过两个正弦信号发生器产生 φ 和 v1 端的随机初值，具体实现如图 8 所示， “ IncCount1”模 块是阶梯信号发生器，产生一个按时钟线性递增的地址信号，送往“ SinLUT”和“ SinLUT1”两个正 弦函数值的查找表模块，由递增的地址获得正弦波的量化值输出。因为“ SinLUT”和“ SinLUT1”两 个模块的正弦函数具有不同的步进弧度和幅度，从而预防了 φ、 v1 端产生初值的同步性，一定程度上 满足了随机性的要求。
（杭州电子科技大学 电子信息学院，浙江 杭州 310018 ）
摘要：忆阻器是一种新的电路元件。为研究忆阻器混沌的基本特性和实现方法，对一种三次光滑特性忆阻器混沌 电路的基本动力学特性进行了深入分析，包括平衡点集及其稳定性，暂态混沌及其状态转移，提出了一种克服暂态混 沌从而产生稳定混沌的方法，并基于 FPGA 研究了忆阻器混沌的数字化实现问题，获得了预期的实验结果。 关键词：忆阻器；混沌电路；暂态混沌 中图分类号： TN918 文献标识码： A
(a) v1 的相图 (b) v 1 的时域波形
图2
忆阻器混沌系统的 φ- v1 的相图和 v1 的时域波形
中间的混沌吸引子逐步向外扩展达到最外延的轨道边界，之后又逐渐收缩直至右侧的平衡点。最初 t=0~4.5×104 内的混沌即为暂态混沌， 因为随着时间的演化该电路由混沌逐渐转化为类周期和平衡点状 态。 向量场的散度为
* 收稿日期： 2011-06-20 修订日期： 2011-07-07
（ 1）
基金项目：国家自然科学基金资助项目（ 60971046 ）；浙江省重点科技创新团队资助项目（ GK110908002-7 ）
第6期
王光义等：一个磁控忆阻器混沌电路及其 FPGA 实现
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W ( )
dq ( ) 3 2 d
V v v i 1 2 L [ W ( ) ] v1 v 2 i L
（ 3）
在出现混沌的给定参数下，该散度为负。 电路的平衡点为 {( , v1 , v2 , iL ) | c, v1 v2 iL 0} ， c 为常数。即存在无穷多个平衡点并充满整个 φ 轴，是一个平衡点集。 在平衡点集线性化式（ 1），得 Jancobian矩阵： 0 0 0 W (c) J 0 0 0 特征方程为
3
从暂态混沌到稳定混沌
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电路与系统学报
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图 2 说明了忆阻器混沌电路中经常出现的一种暂态混沌现象。为进一步分析其过程，对图 2(a)进 行截段分析，发现 φ-v1 的相图大体经历了三个变化过程，如图 3 所示。初期的混沌状态图 3(a)、中期 发散后的类周期状态图 3(b)和后期收敛于平衡点的状态图 3(c)。
2
忆阻器混沌电路的动力学分析
文献 [6]提出的忆阻器混沌电路如图 1 所示， W 为一个忆
图1 磁控忆阻器替换蔡氏二 极管的蔡氏振荡电路
阻器，其电路状态方程为 dv1 dv 2 di L d v1 (t ); (v2 v1 ) W ( )v1 ; (v1 v2 ) i L ; 2 dt dt dt dt 其中
1
引言
忆阻器（ Memristor）是由电荷 q 和磁通 φ 定义的一种非线性电阻。L. O. Chua 1971 年提出了第四
种电路元件忆阻器的概念 [1]，直到 2008 年惠普实验室在纳米级上实现了具有忆阻器性能的器件后 [2]， 忆阻器研究才引起了人们的关注，并成为近几年电子学领域和材料学领域的研究热点，相继提出了实 现忆阻器性能的各种物理模型 [2,3]。忆阻器在生物科学，人工神经网络，微电子等多个领域展现了其潜 在的应用前景。 忆阻器作为一种非线性电阻可构成混沌电路，以期产生更加复杂的混沌信号。典型的例子是用忆 阻器替换蔡氏二极管后构造的一种忆阻器蔡氏混沌电路 [4,5]。文献 [4] 用一个磁控忆阻器和一个负电导 的并联替代蔡氏电路的非线性电阻构造了几个混沌电路，文献 [5,6]用一个近似的非线性函数和光滑三 次非线性函数分别替代蔡氏电路中的非线性电阻设计了几个混沌电路。文献 [7~10]则利用一个具有光 滑三次磁控特性的忆阻器和一个负电导的并联替代蔡氏电路中的蔡氏二极管设计了几个混沌电路，并 对一些有别于一般混沌的特性如暂态混沌、平衡点集及其稳定性和初值敏感性进行了分析。但在基于 忆阻器的蔡氏电路研究中，文献 [4~6]未发现暂态混沌现象，所获得的一些结果如 Lyapunov 指数、吸 引子等肯定存在缺陷。文献 [7~9]研究了暂态混沌和稳定的周期轨，并提出这种暂态混沌与忆阻器对初 值的高度敏感有关。文献 [6]提出的忆阻器混沌电路较为简单，并提出了模拟电路的一种实现方法，但 未对其动力学特性和暂态混沌进行分析，而且用模拟电路实现忆阻器混沌其参数漂移、难以同步等诸 多问题更为突出，很难应用于实际工程。为此，本文对文献 [6]的忆阻器混沌电路继续进行深入研究，对其基本动力学特 性进行了分析，在出现暂态混沌情况下提出了一种产生稳定 混沌的方法，并基于 FPGA 研究了忆阻器混沌的数字化实现 问题。
图看出迭代次数大于
(a) 迭代 10000 次的分岔图 (b) 迭代 150000 次的分岔图
10000 以后分叉图发生了
图4
迭代不同次数得出的分岔图
变化，说明电路的状态发生了转移。结合图 2、图 3 可知随着时间 的推移，在迭代次数大于 10000 之后，电路相继产生了类周期和收 敛于平衡点的状态。 瞬态混沌的出现给忆阻器混沌的工程应用带来了困难。为产生 稳态混沌，其基本思路是控制忆阻器混沌电路始终处于混沌状态， 而不发生上述状态转移现象。 通过分析容易计算瞬态混沌的过渡时间。因为瞬态混沌是电路 在某一初值下的最初的一个过渡状态，当电路从混沌状态过渡到其 他非混沌状态时给电路强行赋一个新的初值，从而使电路切换到一 个新的瞬态混沌开始运行，如此周而复始可使电路持续保持一种稳 定的混沌状态。此时要求初值限定在一定的范围内，即使其处于产 生瞬态混沌吸引子的吸引域内。具体的实现如图 5 所示。 上述解决方法要求必须知道电路何时到达混沌和非混沌状态的边界，同时还要保证电路每次到达 边界时重新获得一个随机的初值，从而预防不同的瞬态混沌之间产生两个完全相同或者具有一定周期 性的暂态混沌，提高了混沌的随机性。
c 1.1989
（ 5）
（ 6）
其中 a0 1 ， a1 W (c) ， a 2 W (c) ， a3 W (c) ， W (c) 3c 2 。由式（ 6 ）得 （ 7）
显然，当 c 1.1989 时平衡点集不稳定。
第 16 卷 第 6 期 2011 年 12 月
文章编号： 1007-0249 (2011) 06-0114-06
电路与系统学报 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS
Vol.16 No.6 December， 2011
一个磁控忆阻器混沌电路及其 FPGA 实现*
王光义， 王春雷， 陈维， 谭德
（见图 6） ， 从而触发多路选择器从初值输入端 获得一个新的初值，开始一个新的暂态混沌， 具体电路实现如图 7 所示。
2、随机初值发生器设计
当图 7 电路检测到瞬态混沌边界时，触发
图8
v1 端的随机初值发生器
多路选择器必须产生一组新的初值。因此需要设计一个随机初值发生器，为初值输入端产生新的随机
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（ 2）
为忆阻器 W 的记忆电导 ， α、 β 为实常数。 系统参数分别为： 1 / RC1 ， 1 / C1 ， 1 / RC 2 ， 1/ C2 ，
1/ L 。
当 -1000 ， = - 0.599 10 -3 ， =0.0218 10 -3 ， R 1.98kΩ ， C1 6.8nF ， C 2 68nF ，L=18mH时 [6]， 即 7.4272 10 4 ， 1.4706 10 8 ， = 7.4272 10 -3 ， 1.4706 10 7 ， 55.5556 ，初始值为（ 0, 0.1, 0.1, 0）时电路产生一个混沌吸引子， φ- v1的相图和 v1的时域波形如图 2所示。 从图 2 看出，在最 初 演 化 的 t=0~4.5×104 内电路的状态是混沌 的，对应图 2(a)中 φ-v1 相图中间部分的混沌吸 引子，但随着时间的推 移， 在 t=4.5×104~7×104 时间内， v1 波形幅度经 历了一个类似的调幅过 程后逐渐变为零，这对 应着图 2(a)中的轨线由
图6
Matlab 中用 DSP Builder 库搭建的数字电路模型
图7
暂态混沌边界检测电路
v1 50 ，true 端会输出高电平“ 1” ，而 false 端
则会输出低电平 “0”，触发单脉冲模块“ Signal
Pulse”从 output 输出端产生一个单脉冲信号， output 输出端连接在多路选择器的控制信号端
DSP Builder 库中的比较
模块“ If Statement ” 。 “ If
Statement”模块有 a、 b 、 c 三个输入端和 true、 false 两个输出
端， a 端输入值为每次迭代生成的 v1 的值，b、c 端分别是常数暂态混沌边 界幅值 50 和 -50。当满足 a 端输入值
（ 8）
（ 9）
在 Matlab 的 simulink 中，利用 DSP Builder 库中的单元模块搭建数字电路，如图 6 所示。为解决 瞬态混沌和状态转移现象，基于 FPGA 实现需要在数字电路模型中添加两个模块：
1、暂态混沌边界检测模块电路
由于暂态混沌的过渡 时间与初值有关，可利用 暂态混沌过后信号幅值的 大小标定暂态混沌结束时 的边界（参考图 2(b)） 。分 析可知，当 v1 50 时数字 电路处于瞬态混沌状态， 当 v1 50 时 将 过 渡 到 类 周期等非混沌状态。 因此， 可以通过检测 v1 的值来判 断电路何时处于何种状 态。 要在 FPGA 中来自百度文库现检 测 v1 的变化，需要利用
0 0 0
（ 4）
4 [ W (c) ]3 [ W (c)]2 [ W (c)] 0
根据 Routh-Hurwitz条件，平衡点集稳定的充要条件是： 1 a1 0 2 a1a2 a1a3 0 3 a3 (a1a2 a1a3 ) 0 平衡点集稳定的条件为
图5 瞬态混沌解决方案示意图
4
忆阻器混沌的 FPGA 实现
通过 FPGA 来实现图 1 所示的蔡氏振荡电路，首先要将其状态方程（ 1）离散化。在此采用一阶
离散化公式：
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x[ k 1] x[k ] t 7 为了达到较高的精度，取采样时间 t 5 10 ，得到系统（ 1）的离散化方程： [k 1] [k ] t 1000 v1[k ] v1[k 1] v1[k ] t ( 1 ( v2 [ k ] v1[k ] ( 3 2 ) v1[k ])) C1 R 1 v1[k ] v2 [k ] iL [k ])) v2 [k 1] v2 [k ] t ( C ( R 2 v2 [ k ] ) iL [k 1] iL [ k ] t ( L x
(a)
混沌状态
(b)
类周期状态
(c)
收敛状态
图3
v1 的相图经截段后的不同变化状态
可以通过分岔图进一 步证明图 1 所示的振荡电 路存在瞬态混沌和状态转 移问题。图 4(a)为迭代次 数为 1-10000 的分岔图， 反映了瞬态混沌及其随 α 变化时的分叉情况图；图
4(b) 为 迭 代 次 数 为 1-150000 的分岔图，由该