测度扩张定理的若干补充说明及其例证
概率论与随机过程----第四讲
2017/2/27
北京邮电大学电子工程学院
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f 1 ,f 2为(,)上的实可测函数，则f = f 1 +i.f 2为复可测函数。 关于可测函数有下面的结论： 定理2.1.2 （1） f 是(,) 上的实可测函数 对xR~(1) ，{: f ()x} （2.1.3） （2） f = (f 1, f 2,… f n) 是(,)上的 n 维实可测函数 k=1,2,…， f k R~(1) 是(,) 上的实可测函数 证明： （1） 的必要性利用实可测函数的定义显然成立
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为此引入辅助集合类：
={C：CR， f -1(C))(f -1())} 只须证明是包含的-代数（略，见P25）。 （2.1.2)
假设该结论成立，则有：σ()
即： f -1 (σ()) f -1 () (f -1 ()) 定义2.1.2 设(,)，(R, )是可测空间（、分别是Ω、R 上的σ-代数），f 是Ω到R上的映射，若对每一个B，有f -1() ，称 f 是(,)到(R, )上的可测映射。 二、可测函数和随机变量 可测映射的具体化即为可测函数 (1) (1) 的可测映射，则 R , Б 定义2.1.2 设 f 是(,)到 ~ n ~ n 称 f 为(,)上的实可测函数；若 f 是 (,)到 R ,Б 上的可测映射，则称 f 为 (,)上的n维实可测函数。
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逆象具有如下性质：
f 1R ，f 1 f 1 B f 1B ，B R f 1B1 \ B2 f 1 B1 \ f 1B2 ，B1，B2 R 1 f Bt f 1Bt ，Bt R，t T T是任一指标集 t T tT
北邮研究生概率论第三讲解析
9/19/2019
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（1.2.6）
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引理1.2.3 A *满足：
（2）若An A*，n 1,2,，Ai Aj ，i j
A An，故对D ，有 *AD *AnD
n1
n1
证明：由 A *是 代数，则 A An A *
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（3）若An ，n 1,2,
若 * An ， 则结论显然成立。
n1
若 * An :
n1
由定义： *
An
inf
k1
Ank
：An
k 1
Ank
,
Ank
A
0和每个An，Ank A，k 1,2,，使得：
v* D v* A1D v* A1D
v* A1D v* A1A2D v* A1 A2D
v* A1D v* A1A2D v* A1 A2 An1AnD v* A1 A2 An1 AnD
n1
D ，有：
*
D
*
An
D
*
An D
n1
n1
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由前面的结论，有:
*
D
*
An D
§2.2 外测度与测度的延拓
= µ∗ ( A ∩ E1 ) + µ∗ ( A ∩ E1c ) = µ∗ ( A)
A
C A ∩ E C = A ∩ E1C ∩ E2
A ∩ E1
A ∩ E1C ∩ E 2
E1
E2
图 2—2 (参见图 2—2)即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E 2 ∈ R . 因此 R 是一个代数. 为证 R 是一个 σ -代数, 只需再证明 R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第
i =1 k +1
因此当 n = k + 1 时(5)式成立. 因此(5)对任意 n 成立.■ 定理 4 设 µ 是环 R 上的测度, 成的集类. 则有
µ ∗ 是由 µ 导出的外测度. R ∗ 是 µ ∗ -可测集的全体所
(i). R ∗ 是 σ -代数.
(ii). µ ∗ 限制在是 R ∗ 上是一个测度.
A ⊂ ∪ An (或 A ⊂ ∪ An ), 则称 { An } 是 A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数并
n =1 n =1
k
∞
(只要令 An = Ak ( n > k ), 则
∪A =∪A
n n =1 n =1
k
∞
n
). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖.
设 µ 是环 R 上的测度. 对每个 A ⊂ X , 令
∞
ε
2
) = ∑ µ ∗ ( An ) + ε . n
n =1
∞
由于 ε > 0 是任意的, 因此得到 µ (
∗ ∗
∪ An ) ≤ ∑ µ ∗ ( An ). 即 µ ∗ 具有次可数可加性.■
n =1 n =1 ∗
科斯定理及其扩展的数学证明PPT教学课件
0
∴h (y2)-h(0)> y2,成立
当初始产权为A拥有时，交易成本为0，通过谈判可以
达到社会最优的污染水平。
2020/12/09
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综上，无论初始产权如何分配，在交易成本 为0的条件下，A，B双方通过谈判，可以达 到资源的有效配置。
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二、当交易成本不为0时，初始的当交易成 本不为0时，初始的资源分配导致不同的资 源配置效率
益为0，因此没有激励改变原来的状态，污染水平 为y1
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2、如果A有初始产权
A会要求B停产，A的利润为M，要想使得污染量从 0上升到y2，B应向A补偿y2+θ，B获利h (y2)-h(0)
①θ< h (y2)- y2-[h(0)-0]=P（y2）-P（0），
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下面证明在初始产权的配置的两种可能下 （即B有权排放污染或A有权要求清洁的环 境），只要双方可以自由协商，交易费用 为0，这两种产权配置下都可以社会总利 润最大的污染水平，实现社会的最优配置。
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1、初始产权B拥有，B有权排放污染
若B可以自由选择排放污染的水平，根据 利润最大化的考虑，又因为 h′(y)>0,h″(y)<0,B 会 选 择 污 染 y1, 使 得 h′(y1)=0,A的利润为M- y1
4、当政府事先规定一个污染水平，在产权清晰，交易成本不 为0的情况下，双方能否通过谈判达到资源配置最优
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一、科斯定理认为，在产权界定清晰，私人 各方可以无成本的就资源配置进行协商时 （交易成本为0），无论初始的产权如何界 定，私人市场都能够有效的解决外部性问题， 并有效的配置资源。
测度论第三章(第十二节)
。
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
证明：由关系式 E F1 F2 F1 ，可以推出 F1 ( F1 F2 ) F1 E 由于 F 是E的可测覆盖，因此有 1 类似地，有
{F1 ( F1 F2 )} 0
{F2 ( F1 F2 )} 0 因此 ( F1F2 ) 0
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测 度 论
第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质 本节的主要内容： 由一个测度可以引出一个外侧度，由 一个外侧度可以引出一个测度，如果我们 由一个测度 出发，先建立由它引出的 * * 外侧度 ，再建立由 引出的测度 ， 然后得出 和 之间的关系。
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出的外侧度，即由 可测集类上的测度 引出的外侧度。由此可见， 引出的外侧度和正则外侧度这两个概念是同等宽广的。
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内容结束
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且
( Fn ) * ( E )
1 n
，则
1 E F S ( R) 且 n * 由于n是任意的，因此 ( E) ( F ) 。如果 G S ( R) ，并且 G F E
* ( E ) ( F ) ( Fn ) * ( E )
和
S 上的测度
都是
有限的。
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
证明：根据§10 定理1，如果 是
有限的，则
*也是
有限的。
因此，对于 S 中的每一个集E，存在H（R）中之集的一个叙列 {Ei } 使得
关于(X,R,μ)到(X,R’,μ’)扩张的若干注记
Ｒ 上的 完全测 度及 Ⅳ一ＦＣＮ知 （ 一Ｆ ０ Ⅳ ）＝
（ ） 是 Ｒ上的测度 ｂ （ ） Ｒ 上 的完全 测度 ｃｇ 是
引理 １ 设 （ ， ） 测 度 空 间 ， ， ， Ｒ， 是 （ Ｒ
（ ＵＮ ≤ （ ） 从而 （ Ｎ） （ ） Ｆ ） Ｆ， ＦＵ ≤ Ｆ．
ｂ ｒｖ ｇｉｆ ｍ ｔｅｍ ａｕｅｏ ｏ ｅ 一 ｒ ｇ ， ）ｏ Ｘ， ） ｎ ｌ ｏｎｓ ｙｐｏ ｉ ｏ ｅｓｒ ｆ ｆ ｈ ｎ ｔｒ ｈ ｔ ｉ （ Ｒ， ｔ（ Ｒ ， ．Ａ ｄａｓ ｐ ｉｔ ｎ ｏ
ｏ ｔ ｈ ｔ ｅ ｉ ａ ｒ ｇｏ ｕ ａ ｔ ｗｈ ｎ Ｒ ｓ ｉ ｆ ｎ Ｘ，ｔ ｅ ｅ ｔ ｎ ｉｎ ｏ ｉ ｋ ｎ ｓｉ ｏ ｓｂ ｅ ｈ ｘｅ ｓｏ ｆ ｈ ｓ ｉ ｄ ｉ ｍｐ ｓ ｉ ｌ ． ｔ
没 有给 出证 明． 问题 作为 定理叙 述 如下 ． 该
（）． Ｆ一 ｉ／ ｔ （ Ⅳ）＝ （ ） Ｆ （ｉ ｉ ）
证 明
（） ２ （） ３
（ ＦｕⅣ）＝ （ Ｆ）
其 中 Ｆ∈Ｒ， Ｎ∈Ｎ
（） Ｆ— ｉ由 ＮＣＦ ． Ｆ—Ｎ） （ ， ￣／ ｔ （ ≤ Ｆ） 另一 方 面 ， 为 ＦＣ（ 因 Ｆ一Ⅳ） ｕⅣ，
环 ； 测 集 零
当 Ｒ 是 上 的环 时 ， 种 扩 张 是 不 可 能 的． 这
关键词 ： ； 环
中图分类号 ￣ ７ ．２ ０１４ １
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：６２— ９ ６ ２０ ）５— ６ ８— ３ １７ ０４ （０ ７ ０ ０ ０ ０
Ｓ ｍｅｐ ａｍａ ｂ ｕ ｘｅ ｓ ｎｆｏ （ Ｒ， ）ｏ ， ） ｏ ｒｇ ｓａ ｏ ｔ ｔｎｉ ｍ Ｘ， ｔ（ Ｒ ， ｅ ｏ ｒ
分解定理及扩张原理
要证明两个模糊集相等，可证它们的任意截集相等.
A( x)
xA xA
X {x1, x2 , x3 , x4 , x5} X 0 0.2 {x , x , x , x } 0.2 0.5 1 2 3 5 A {x1 , x3 , x5} 0.5 0.6 求A. {x , x } 0.6 0.7 1 3 {x3} 0.7 1 A( x1 ) 0.7 A( x2 ) 0.5 A( x3 ) 1
性质： (i) 1 2 1 A 2 A;
(ii) A1 A2 A1 A2
A( x) A( x)
A
A
事实上， 1 2 (1 A)( x) 1 A( x) 2 A( x) ( 2 A)( x)
分解定理I
求B f ( A), f ( B).
1
扩张原理提供了将普通映射和运算模糊化的
一般方法。通过普通映射的扩张，可将普通集合
论中的一些非模糊概念扩张为模糊概念，这就为
经典数学的各领域结构的模糊化提供了可能的途
径。
对任意X上的模糊集A
A A
[ 0 ,1]
A
A
A
A
X
( A )( x) (A )( x) 证明：
[ 0 ,1]
[ 0 ,1]
( A ( x))
[ 0 ,1]
xA
A( x)
A( x )
A 所以， A [ 0 ,1]
普通集？
定义
设X是论域，A F ( X ), [0,1],
扩展证明费马大定理(全面版)资料
扩展证明费马大定理（全面版）资料扩展证明费马大定理：证明：m,n属于非负整数， x，y，z是正整数。
j 表示“奇数”，k=2^（m+1）j 表示“偶数”。
按奇数与偶数的加法形式讨论费马方程：1）偶数+偶数：k1^n+k2^n=k3^n2^n 2^m1n j1^n + 2^n 2^m2n j2^n = 2^n 2^m3n j3^n2^m1n j1^n + 2^m2n j2^n = 2^m3n j3^n等式两边同时除以 min (2^m1n，2^m2n ，2^m3n)，又分七种情况：A)m1=m2=m3得：j1^n + j2^n = j3^n，偶数=奇数，产生矛盾。
B)仅m1=m2j1^n + j2^n = 2^(m3-m1)n j3^n ，令m4=m3-m1若m4<0j1^n + j2^n = [ j3 /2^(-m4)]^n，[j3 /2^(-m4)]^n为小数， j1^n + j2^n 为整数，产生矛盾。
可见，m4<0时，不成立。
若m4>0，j1^n + j2^n = j3^n 2^(m4)n，n>2若j3是j1^n与j2^n的公因数j1=j2=j3则有j4^n+j5^n=2^(m4)n ——待证明2^(m4)n不是j1^n与j2^n的公因数j1^n/ 2^(m4)n+ j2^n /2^(m4)n= j3^n若j1=j2则有2j1^n/ 2^(m4)n= j3^n奇数/偶数=奇数，产生矛盾，j1不等于j2奇数 /2^n ，为末尾为5的小数若要 j1^n/ 2^(m4)n+ j2^n /2^(m4)n等于整数， j1^n/ 2^(m4)n与 j2^n/2^(m4)n的小数位数要相同j1/ 2^(m4)与 j2 /2^(m4)的小数位数也要相同通过计算观察， j1^n/ 2^(m4)n+ j2^n /2^(m4)n要等于整数只能等于奇数，推出j3=奇数j1^n/ 2^(m4)n+ j2^n /2^(m4)n=奇数j1^n/2^n+ j2^n/2^n =奇数乘 2^(m4-1)n奇数乘2^(m4-1)n不等于奇数，产生矛盾，可见，m1<m3时，也不成立。
tietze扩张定理证明的步骤
Tietze扩张定理是拓扑学中的一个重要定理，它给出了一种在紧致拓扑空间中的连续函数到整个空间的扩张方法。
Tietze扩张定理的证明是一个具有挑战性的问题，需要借助不少拓扑学的知识和技巧。
下面将详细介绍Tietze扩张定理的证明步骤。
1. 我们需要澄清Tietze扩张定理的内容。
Tietze扩张定理表述如下：对于一个紧致的Hausdorff拓扑空间X和X上的实数值连续函数f，如果f定义在X的一个闭子集A上，那么可以在整个X上扩张成一个连续函数。
2. 证明的第一步是利用X的紧致性和Hausdorff性质，运用拓扑学基本定理证明X上的实数值连续函数都是有界的。
这一步骤是Tietze扩张定理证明的基础，需要详细探讨X的性质和连续函数的性质。
3. 接下来，我们要利用X的Hausdorff性质和f在闭子集A上的连续性，构造一个新的连续函数g，使得g在整个X上都连续，并且满足g|A = f。
这一步需要巧妙地利用拓扑学的知识，构造一个合适的函数以实现扩张。
4. 在构造出函数g后，还需要证明g在整个X上都连续。
这一步通常需要运用Hausdorff拓扑空间的性质以及f和g的连续性，进行严密的推导和论证。
5. 我们需要验证g|A = f，即新构造的函数g在闭子集A上与原函数f 一致。
这一步需要仔细检查g在A上的取值，以及f在A上的取值，确保它们相等。
通过以上的证明步骤，我们可以完成Tietze扩张定理的证明。
这个过程需要深入理解拓扑学的相关知识，运用定理和技巧，进行严密的推导和论证。
Tietze扩张定理的证明是拓扑学中的经典问题之一，具有一定的难度，但也具有重要的理论意义和应用前景。
对于对拓扑学感兴趣的人来说，掌握Tietze扩张定理的证明步骤将有助于深入理解拓扑学的核心概念和方法。
在上面的文章中，我们介绍了Tietze扩张定理的证明步骤，但是这只是一个初步的了解。
下面我们将深入探讨Tietze扩张定理证明的细节和相关的拓扑学知识，为了更好地理解和掌握这个重要的定理。
关于测度扩张定理的应用
92旅游管理研究2013年07月下半月刊美食、价格信息、交通信息和住宿信息所占比例较大。
目前，去哪儿旅行、携程无线以及百度旅行等旅游APP都包括了以上旅游信息。
各旅游APP应加大对这些旅游信息的提供量并且做到及时更新。
旅游APP开发商也可以积极推出单独类别的旅游APP，如景点通，仅提供关于景点介绍的信息。
在单独的方面做精做细，让消费者了解到更加全面、充分的信息。
（2）注重旅游APP的易用性。
易用性与利用旅游APP信息搜索努力成正相关，且影响程度较大。
对于消费者来说，可选择的旅游APP数量较多，对某一旅游APP的第一次使用感受至关重要。
易用性则是影响第一次使用感受的重要因素。
消费者认为使用方便就会加大对其的使用。
用户对携程无线的评价就提出页面显示繁琐的缺点。
旅游APP开发商应注重软件使用的方便性。
（3）重视旅游APP提供信息的准确性。
网络信任与利用旅游APP信息搜索努力成正相关。
消费者认为旅游APP上提供的信息是真实准确可以信任的，就会经常使用搜索自己需要的旅游信息。
这就要求旅游APP的开发商要对旅游APP上的信息经常审核，纠正错误信息，及时更新，确保消费者可以搜索到最真实、最新的旅游信息。
（4）丰富旅游经验信息交流平台。
产品知识与利用信息搜索努力成正相关，且影响程度最大。
若消费者本身已经拥有较多的旅游知识，他更加会经常通过旅游APP丰富自己的旅游知识。
这类消费者使用旅游APP更注重的是发表、浏览和评价他人的旅游信息和经验。
目前，去哪儿旅行和携程无线等人气旅游APP还皆不支持打分和评点功能。
因此，丰富旅游信息交流平台应是今后旅游APP开发的重要部分。
2、对消费者的启示（1）利用多渠道的信息搜索。
在旅游信息搜索的过程中，消费者可选择的渠道有很多种。
本研究得出的数据显示，消费者多数选择上网搜索，亲朋好友推荐和咨询旅行社。
消费者通过多方面的信息搜索有利于积累旅游知识，做出合理的旅游安排。
因此，在日常生活中，消费者可以多多阅读旅游相关的书籍、报刊及杂志，多与他人交流旅游经验，丰富旅游知识。
扩张三角形形态讲解_概述说明以及解释
扩张三角形形态讲解概述说明以及解释1. 引言1.1 概述扩张三角形是一种几何形态，具有特定的定义和特征。
它在数学和几何领域中被广泛研究和讨论。
扩张三角形的外观与传统的等边三角形有所不同，其中一条或多条边被拉伸，使其边长不再相等。
这种变化导致了一些特殊的几何性质和特点。
1.2 文章结构本文将分为四个主要部分进行讲解。
第一个部分是引言，旨在概述文章内容和目的，并简要介绍扩张三角形的定义和特征。
第二部分将详细探讨扩张三角形的形态以及扩张的原因和机制。
第三部分将进一步说明扩张三角形的应用和意义，并通过实际问题案例进行详细分析。
最后一部分是结论，总结了扩张三角形的重要性、应用前景，并展望了未来研究方向。
1.3 目的本文旨在提供一个全面而详细地讲解关于扩张三角形形态及其相关内容。
通过对其定义、特征、分类以及应用案例的研究分析，读者可以更好地理解扩张三角形的性质和意义。
同时，本文也对未来研究方向进行了展望，并提供了一些建议，以推动该领域的进一步发展和应用。
通过阅读本文，读者将能够全面了解扩张三角形的真正含义和它在实际生活中的应用价值。
2. 扩张三角形形态讲解：2.1 定义和特征:扩张三角形是指在空间中存在的一种特殊几何形态，它具有独特的结构和特征。
扩张三角形由于其非常规的形状而引起了人们广泛的兴趣和研究。
在数学上，扩张三角形被定义为一个具有至少一条边或至少一个内角相对于传统三角形较长(或较大)的三角形。
扩张三角形的特征可以通过其边长、内角大小以及其他几何性质来描述。
常见的特征包括：边长比例不均匀、其中一个内角明显偏大或偏小、某些边或内角之间存在明显的差异等。
这些特征使得扩张三角形在几何学分析和实际应用中具有独特性和重要意义。
2.2 扩张的原因和机制:扩张三角形产生的原因可以归结为以下几个方面:首先，扩张可能是由于外部环境因素引起的。
例如，在物理世界中，力量或压力作用下，传统正常状态下稳定的普通三角形可能发生形变，导致边长或内角的变化。
关于测度扩张定理的应用
关于测度扩张定理的应用作者：罗林来源：《旅游纵览·行业版》2013年第07期本文首先通过在半环上构造外测度，并利用拓展定理将其拓展到波雷尔域上去，从而证明了一个分布函数在一维波雷尔域上确定一个概率测度。
从钟开莱的《概率论教程》中，我们知道在分布函数与概率测度是一一对应的；对于每个概率测度确定一分布函数书中已给出；本文将证明每一分布函数通过给定关系确定上一概率测度。
通过证明过程帮助对第二章测度论的学习。
一、正文定义：令表示的所有自己（包括空集）所构成的集类，设为上的一非负集函数（约定）.如果有单调性并满足如下的次可加性：则称为上的一外测度。
命题：设为上一集类，且。
又设为上的一半可加非负函数，且），令（1）则为的外测度，且限于与一致，我们称为由引出的外测度。
命题：设为半环上的一非负集函数（约定）。
则为要是可加的，必须且只需为有限可加且半可加的。
证必要性设为可加的，显然为有限可加。
令且要证令则由半环的定义知，且有，从而由于，故存在，使得由得可加性推知但由于，故由得有限可加性易知因此有，此即的半可加性。
充分性现设有限且半可加。
设，我们要证。
由于对一切，故由得有限可加性知。
但是任意的，故。
证毕定理3：设为可测空间上一测度，则从上连续且从下连续（从而也在处连续）。
此外，有单调性及如下的可减性：，且。
证单调性及可减性是显然的。
有可减性及从下连续立即推得从上连续性，只须证的从从下连续性。
设。
为证，不妨设，有，则有由于，故由定理4：设为上的一类，及为上的两个有限测度。
若，且与限于一致，则与在上一致。
证令，则有定理4知为类。
但以假定，有，故由单调类定理知，从而。
证毕定理5：每一个分布函数通过（3）中任一个关系式或（4）在上确定一个概率测度。
其中，（3）：对任意的：（4）：。
证明：不失一般性，不妨以（3）中的第一个关系式来证明此结论。
令，已知它是半环，在定义集函数其中若能证明是上的概率测度，则它显然是有限测度，则由拓展定理知可唯一的拓展到上去，且保持.我们首先证明由式定义的集函数是单值的，即与其表现形式无关. 事实上，设令则下证是上概率测度. 显然由于的不减性知是非负的. 而由故知是概率测度. 剩下的只需证明在上满足加性了.设而可以表示为如下的形式某中是某一个。
测度扩张定理
测度扩张定理
测度扩张定理是一个数学定理，其指代数学中的测度理论的一个重要概念。
简单来说，测度是一种用于给出一个集合大小的函数，它将集合映射到实数。
例如，长度和面积就是测度的例子。
然而，在实际情况下，很多我们想要度量的集合并不是完美的集合，而是被称为“可测”的集合。
这些集合既不是开集合也不是闭集合，因此很难用简单的方法为它们分配一个测度（即大小）。
测度扩张定理就是解决这个问题的一种办法。
简单来说，它允许我们将一个测度从一个小的、容易处理的集合扩展到包括大多数非常规集合的集合系统。
这个扩展的测度被称为“扩张测度”。
为了更好地理解这个概念，让我们来看一个简单的例子。
考虑一个只有整数的集合，我们想要将这个集合映射到实数。
我们可以将整数映射到与其相等的实数，将集合中剩余的点映射到0。
这个映射称为“零外展”。
例如，如果集合是{1, 2, 4}，那么我们可以将其映射为{x | x=1或x=2或x=4。
}。
然而，存在一些更奇怪的集合，比如{√2}，显然它不能轻松地用这种方法映射到实数。
这就是测度扩张定理的用武之地了。
它允许我们通过扩充原始的测度（即大小），为这些非常规集合分配一个大小。
测度扩张定理的形式化定义相对复杂，不过核心概念非常重要且易于理解。
无论是在数学还是应用领域，扩张测度都是非常有用的概念。
L-S测度_2010级第4讲
2010-9-29 北京邮电大学电子工程学院 3
因此，只需证明ν* (A)≥ ν(A)
∀A ∈ A ，若A ⊂ ∪ An，An ∈ A ，n = 1,2,
n =1
∞
⎛∞ ⎞ ∞ ∴ A = A ∩ ⎜ ∪ An ⎟ = ∪ ( AAn ) ，且AAn ∈ A ，n = 1,2, ⎝ n =1 ⎠ n =1
∞
考虑到v*(Φ)=0，所以∀A∈ A *上，有： v*(A)≥0 则v*是A *上的测度。 整个引理的证明完毕。
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3、测度扩张定理
问题： A *是否是包含A的σ-代数？若是，则ν *便是 定义在A上的测度ν在A *的一个扩张；进一步地，这 样的扩张唯一吗？为了保证唯一性，不必将ν 扩张到 A *上，而只需扩张到σ(A)即可。 定理1.2.4 设ν是Ω的集代数A上的测度，则ν在σ(A) 上存在一个扩张；如果ν在A上是σ-有限的，则ν在 σ(A)上的扩张是唯一的。 证明：由前面的一系列引理，只须说明A ⊂ A *即可
2010-9-29 1
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以下讨论的前提是A是Ω的集代数，ν是A上的测度 1、FΩ上的外测度ν*(A)
∞ ⎧∞ ⎫ * （1.2.1） ν ( A ) = inf ⎨∑ν ( An )：A ⊂ ∪ An , An ∈ A ⎬ n =1 ⎩ n =1 ⎭
其中A∈ FΩ，称FΩ上的v*是由A上的v所引出的外测度。 (可列多个集合的并集合覆盖A，该可列多个集合的测 度和的下确界，即为集合A的外测度。） 还需回顾下确界的性质
v* (D ) = v* ( A1 D ) + v* A1 D
第五节 扩张原理和模糊数
3
4 5 6
0.9/3
0/4 0.4/5 0.2/6
V
1/a 0.4/b 0.2/c
0/d
f-1
f-1(B)
B
例题7.4
设R为实数域，映射 f: R → R，且
求f(A)
f
A(x)
例题7.5
设论域X,Y为实数域，映射 f: X →Y x ↦ y=f(x)=1+sinx
求f(A)
2
练习1
设U={a,b,c,d,e,f}, V={x,y,z},
导出。
扩张原理的其他表现及性质
扩张原理可由截集的形式表现
定理1：设f: U →V，A ∈ ℱ(U), B ∈ ℱ(V)，则
多元扩张原理
设有映射
由f诱导出一个新映射
其中，
二元直积映射
定义1
设Ai ∈ ℱ(Ui),i=1,2,则A1,A2的直积映射
其隶属函数
扩张原理II
定义2 设映射 由f诱导出映射
凸模糊集
什么是凸？（对于普通集合而言） 某个集合A是凸是指，对于任意两点x,y∈A及 ∀λ∈[0,1]，联结x,y的线段上的点 z=λx+(1-λ)y都包含于A中。
x y z x A A y z
凸模糊集
定义1 设R是实数域，A∈F(R)，若∀x1, x2, x3 ∈R， 且 x1< x2< x3，均有 则称A是凸模糊集 。
例题7.3
设U={1,2,3,4,5,6}, V={a,b,c,d}, 且
A=1/1+0.9/3+0.4/5+0.2/6 求B=f(A)及f -1(B)
第七讲 扩张原理与模糊数
f : P ( X ) P (Y ), A | f ( A) { y | x A, y f ( x )}
由给定的映射f : X Y诱导出两个映射，称为经典 扩张原理.
uU
( A(u) 1) A(u)
f ( u ) v f ( u ) v
f 1 ( B)(u ) B f 1 (u ) ( B(v) f 1 (v, u ))
vV
( B (v) 1) B (v)
f (u ) v f ( u ) v
0.1 0.9 0.1 0.2 0.8 0.2 A 1 1 ; 2 A2 0 1 2 1 2 3 根据扩张原理,则
f ( A1 , A2 )( u)
u1 u2 u 0 1 1
( A( u1 ) A( u2 ))
u1 u2 u
6
模糊扩张原理
定义: 设U,V为经典集合,给定U到V的映射 f : U V，v | f(u) 可诱导出两个映射:一个是F(U)到F(V)的映射,记为f ; 另 一个是F(V)到F(U)的映射,记为f 1,分别定义为:
f : F (U ) F (V ), A | f ( A), A( u) f 1 (v ) f ( A)( v ) f ( u ) v A( u) 0 f 1 ( v ) v f ( u )) f 1 : F (V ) F (U ), B | f 1 ( B ), f 1 ( B )( u) B( v ), v f ( u) ( 0)
caratheodory测度扩张定理
caratheodory测度扩张定理Carathéodory测度扩张定理是测度论中的一个重要定理，它提供了一种方法来扩张一个度量空间上的测度。
这个定理的证明相对复杂，但是它的应用非常广泛，对于理解测度论的基本概念和性质非常有帮助。
在介绍Carathéodory测度扩张定理之前，我们先来回顾一下测度的基本概念。
在测度论中，我们希望给一个集合赋予一个数值，用来表示这个集合的“大小”。
这个数值被称为测度，而赋予这个数值的过程被称为测度的构造。
一般来说，我们希望测度具有一些基本性质，比如非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
Carathéodory测度扩张定理是在给定一个外测度的情况下，如何构造一个测度的问题。
外测度是对于任意一个集合，我们可以用一个数值来估计它的“大小”。
而Carathéodory测度扩张定理告诉我们，如果一个外测度满足一定的条件，那么我们可以用它来构造一个测度。
具体来说，设E是一个集合，m*是E上的一个外测度。
如果对于任意一个集合A，有m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ E^c)，其中E^c 表示E的补集，那么我们称m*是可测集上的一个外测度。
而Carathéodory测度扩张定理告诉我们，对于可测集上的一个外测度m*，存在一个sigma代数M和一个测度m，使得对于任意一个可测集A，有m*(A) = m(A)。
这个定理的证明相对复杂，涉及到一些度量空间的性质和测度的构造方法。
不过，我们可以简单地理解一下这个定理的意义和应用。
首先，Carathéodory测度扩张定理告诉我们，通过构造一个外测度，我们就可以得到一个测度。
这样一来，我们就可以给集合赋予一个“大小”，从而更好地理解集合的性质和关系。
Carathéodory测度扩张定理还有一些重要的应用。
例如，在概率论中，我们需要给事件赋予一个概率，以描述其发生的可能性。
《点集拓扑学》§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理
§6.3 Urysohn 引理和Tietze 扩张定理本节重点:掌握Urysohn 引理的内容(证明不要求)；掌握定理6.3.2的证明方法．定理6.3.1 [Urysohn 引理]设X 是一个拓扑空间，[a ，b]是一个闭区间．则X 是一个正规空间当且仅当对于X 中任意两个无交的闭集A 和B ，存在一个连续映射f:X→[a ，b]使得当x ∈A 时f(x)=a 和当x ∈B 时f(x)=b ．证明：由于闭区间同胚于[0,1],因此我们只需对闭区间[0,1]的情形给以证明. 充分性:设B A ,是X 中的两个闭集,]1,0[:→X f 是一个连续映射使得当Ax ∈时,0)(=x f ,B x ∈时1)(=x f .由于集合]1,21(),21,0[是[0,1]中两个不相交的开集,因此.))21,0([1-=f U 和])1,21((1-=f V 是X 中两个不相交的开集,并且,U A ⊆V B ⊆,因此X 是一个正规空间.必要性.设X 是一个正规空间, A ,B 是X 中两个不相交的闭集,证明的主要思想是首先利用X 的正规性在X 中构造一个以[0,1]中的有理数为指标集的一个开集族,然后利用这个开集族定义连续映射]1,0[:→X f ,使得A x ∈时,0)(=x f ,B x ∈时1)(=x f .第一步,设1Q 是[0,1]中的全体有理数集合,对1Q r ∈我们将定义一个与它相对应的开集r U ,使得当q r Q q r <∈,,1时,B X U U U A q r r -⊆⊆⊆⊆,这样,开集族}|{1Q r U r ∈在包含关系下是一个有序集,而且随着开集r U 的指标r 的增大所对应的开集也就越大.由于1Q 是可数集合,我们应用归纳的方式来定义开集族}|{1Q r U r ∈.先将1Q 排列成一个无限序列,即建立一一映射1:Q Z g →+,为了方便,不失一般性,设1)1(=g 和0)2(=g 是这个序列的前两个元素.首先,B X A -⊆,令B X U -=1.又由于X 是一个正规空间,由定理 6.4.2可知存在开集V 使得B X V V A -⊆⊆⊆.记V U =0,假设对于≥n 2,集族},,,,{)()3(01n g g U U U U 已有定义,而且当)()(j g i g <时B X U U U A j g i g i g -⊆⊆⊆⊆)()()(,对于1)1(Q g n ∈+,由于集合,|)({1n i i g ≤≤})()1(+<n g i g 是一个有限集,而且有|)({0)2(i g g ∈=,1n i ≤≤})()1(+<n g i g ,故这个集合必有最大元,设|)({max i g p =,1n i ≤≤})()1(+<n g i g ,又集合,|)({1n i i g ≤≤)}1()(+>n g i g 是一个有限集合,而且|)({1)1(i g g ∈=,1n i ≤≤)}1()(+>n g i g ,令|)({min i g q =,1n i ≤≤})()1(+>n g i g .由归纳假设知一定有B X U U U A q p p -⊆⊆⊆⊆.由于q p U U ⊆,由定理6.4.2知存在X 中开集V 使得q p U V V U ⊆⊆⊆.令V U n g =+)1(,则集族},,,,{)1()()2()1(+n g n g g g U U U U 也满足:当)()(j g i g <时,)(i g U A ⊆)()(j g i g U U ⊆⊆B X -⊆.这是因为对)()(j g i g <：①若},{,,2,1n j i ∈时,由归纳假设知包含关系成立.②若1+=n i 时,由于)()(1j g g n <+,则必有q j g ≥)(.即|)({min )(i g j g ≥,1n i ≤≤)1(+n g )}(i g <,因此由)1(+n g 的定义及归纳假设有B X U V V U A j g n g -⊆⊆⊆=⊆+)()1(.③若1+=n j ,则)()(1+<n g i g ,则必有p i g ≤)(,即max )(≤i g ,1|)({n i i g ≤≤)}()(1+<n g i g .因此由)1(+n g 定义及归纳假设有B X U V U U A n g i g i g -⊆=⊆⊆⊆+)1()()(.因此由归纳原理我们构造了集族}|{1Q r U r ∈满足条件：对,,1Q q p ∈p p U U A ⊆⊆B X U q -⊆⊆,而且随着指标r 的增加,r U 也随着增大(在包含关系的意义下).下面,我们令},{54,53,52,51,41,32,31,21,0,11 =Q 来说明上面的归纳定义集族}|{1Q r U r ∈的过程.在定义了,1B X U -=0U 之后,定义1U 于10,U U 之间使之满足1011U U U U ⊆⊆⊆,再定义1U 于1,0U U 之间,使之满足1110U U U U ⊆⊆⊆.接着定义2U 于1,1U U 之间使之满足1221U U U U ⊆⊆⊆,对于41=r ,由于}{m i n }{m a x 1,32,21,31410<<,定义3141410U U U U ⊆⊆⊆,…至第九步我们定义52U ,由于}{min }{max 1,32,43,215231,41,51,0<<,因此使52U 满足5231U U ⊆2152U U ⊆⊆,….如图6.3.1.第二步,将第一步定义的集族}|{1Q r U r ∈中的指标集扩张成实数空间R 中的有理数Q ,具体作法是令⎩⎨⎧><∅=10p X p U p 这样,易验证开集族}|{Q r U r ∈满足：当q p <时,q p p U U U ⊆⊆.第三步,对X x ∈,定义}|{)(r U x r x Q ∈=,即)(x Q 由所有包含x 的开集r U 的下标构成.则对任意)(x Q r ∈,必有0≥r ,(这是因为0<r 时,r U =∅，因此∈x r U ),且对于1>r ,必有)(x Q r ∈,(因为1>r 时,r U =X ，因此∈x r U ),因此)(x Q 有下界,从而)(x Q 有下确界,且下确界必属于[0,1],定义：}|{inf )(inf )(r U x r x Q x f ∈==第四步,验证第三步中定义的映射f 就是满足要求的映射.(1)设A x ∈,则对0,≥∈r Q r ,均有A x ∈r U ⊆,因此}|{)(0≥=r r x Q ,从而0)(in f )(==x Q x f .设B x ∈,由定义有B X U -=1,且1<r 时,1U U r ⊆,因此对于任意Q r ∈,若r U x ∈必有X U r =,因此必有>r 1,因此}|{)(1>=r r x Q ,从而1)(inf )(==x Q x f .(2) 先证下面两个结论:(a )∈x r x f U r ≤⇒)(,(b )∈x r x f U r ≥⇒)(.如果∈x r U ,由集族}|{Q r U r ∈定义有对任意r s >,s U x ∈,因此}|{}|{)(r s s U x p x Q p >⊇∈=,从而r r s s x Q x f =>≤=}|{inf )(inf )( 如果r U x ∈,则对任意s U x r s ∈<,,因此}|{)(p U x p x Q ∈=}|{r s s >⊆,从而 r r s s x Q x f =>≥=}|inf{)(inf )((3) 证明]1,0[:→X f 是一个连续映射.设X x ∈0,),(d c 是一个含有)(0x f 的R 中的开区间,我们只需证明存在0x 的邻域U 使得),()(d c U f ⊆.为此,取有理数)),(()),(,(00d x f q x f c p ∈∈.令p q U U U -=,(见图6.3.2).①U 是一个开集,这是因为p q U U U -==pq U U ' . ②U x ∈0,这是因为q x f <)(0,且q x f >)(0,由第三步易见p q U x U x ∈∈00,,因此p q U U x -∈0.③),()(d c U f ⊆,这是因为对p q U U U x -=∈,则q q U U x ⊆∈,因此q x f ≤)(,又p U x ∈,因此p U x ∈,从而p x f ≥)(,从而),(],[)(d c q p x f ⊆∈(见图6.3.2),从而由习题§3.2.1可知f 是一个连续映射.Urysohn 引理说明对于正规空间中的任何两个不相交的闭集,存在连续映射]1,0[:→X f 使得},{)(0=A f }{)(1=B f ,也就是说B A ,可用一个连续函数分离,回想一下正则空间的定义6.4.1和定理6.4.1,我们会有这样一个思考:Urysohn 引理可推广到正则空间中去吗？即就是说对于正则空间中的点x 及其中不包含x 的闭集F ,是否一定存在连续映射]1,0[:→X f 使得,)(0=x f 1)(=F f .由定理6.4.1我们可取,1F X U -=0U 为满足F X V V x -⊆⊆∈的开集V ,这和Urysohn 定理的证明是一致的,但要21U (或对于除0,1之外的一个有理数p )满足条件00U ⊆12121U U ⊆⊆⊆,只有X 的正则性显然是不可能的.为此,将正则空间中的点与不含此点的闭集F 要用连续映射分离,我们有下面的分离公理：定义 6.5.1 设X 是一个拓扑空间,如果对于X 中任意点X x ∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集F ,存在一个连续映射]1,0[:→X f 使得=)(x f 0,以及对于任意=∈)(,y f F y 1,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.定理 6.3.2空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．证明 设C 是空间X 中的一个连通子集．如果C 不只包含着一个点，任意选取，x,y ∈X ,x≠y,对于空间X 中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn 引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1． 由于C 是X 中一个连通子集，因此f （X ）也连通．由于0，1∈f （X ），因此f （X ）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C 也是一个不可数集．作业:P168 1．。
haar测度定理
haar测度定理
haar测度定理是数学界一个重要的定理，它最初出自于著名的数学家卢森堡Alonzo Church和John von Neumann的合作，后来又被数学家G.H. Haar改进，取名为haar测度定理。
它是一个概括性的定理，是众多应用数学的基石，它的引用次数可以追溯至20世纪40年代末。
haar测度定理的正式定义是：“haar测度定理强调了有限维度空间中向量空间中任意一组线性无关向量的haar测度（也叫haar测度）是唯一的。
”也就是说，对于任意给定的有限维度空间，存在着一个唯一的haar测度，它可以完全充分地描述这一空间的线性结构。
haar测度定理的扩展，即haar-斯定理，更进一步补充了haar 测度定理的内容。
haar-斯定理指出，在任意的有限维度的空间中，存在一个haar测度，可以完全描述空间的结构。
haar测度定理的应用非常广泛，它几乎涉及到几乎所有研究维度空间结构的学科。
在几何数学中，它被用于证明曲线、曲面等与其所位于空间的关系；在数学物理学中，它被用于证明空间中某种特定的属性存在的必要条件；在计算机科学中，它被广泛应用于图形处理、图像分析等方面。
对haar测度定理的理解，可以说是当前数学界许多重大成果的基础。
随着社会的发展和科学技术的进步，haar测度定理的应用也越来越广泛，它在各个学术领域发挥着重要作用，有助于推动科学技术的进步。
总而言之，haar测度定理是数学界一个重要的定理，它涉及到几乎所有学科，广泛地应用于几何数学、数学物理学、计算机科学等方面，它是研究维度空间结构的基础定理，因而也受到了许多学者的关注和研究。